Dinámica del equilibrio. Externalidades de red Dinámica del equilibrio general. Procesos de tanteo. Teorema de Debreu-Mantel-Sonnenschein Axioma Débil de la Preferencia Revelada. Procesos de no tanteo. Externalidades de red y su dinámica. Hemos visto que, bajo condiciones plausibles de comportamiento de los agentes (consumidores y empresas) siempre es posible esperar que exista un sistema de precios (entendido como un vector) que iguala a la demanda de cada bien con la oferta en ese mercado. Pero hasta el momento, no tenemos garantía de que la economía opere en ese punto de "equilibrio". ¿Qué fuerzas hacen que los precios se muevan hacia un vector de precios de equilibrio? El problema más importante está relacionado con la idea de competencia y de ajuste de los precios. Si todos los agentes económicos consideran a los precios como dados y por consiguiente, fuera de su control ¿cómo se pueden mover los precios? ¿Quién los ajusta? Este quid ha llevado a la construcción de una elaborada mitología que postula la existencia de un "subastador walrasiano" cuya única función es buscar un sistema de precios de equilibrio. Según esta construcción, un mercado competitivo funcionaría de la siguiente manera. En el momento 0 el subastador walrasiano comunica algún sistema de precios. Todos los agentes determinan sus demandas y ofertas de bienes (¡corrientes y futuros!) a estos precios. El subastador examina el vector agregado de exceso de demanda, ajustando los precios según alguna regla, presumiblemente aumentando el precio de los bienes para los que se registra un exceso de demanda y bajando el precio de los bienes para los que hay exceso de oferta. Este proceso continúa hasta que se obtiene un vector de precios de equilibrio. En este punto, se realizan todas las transacciones (incluyendo las transacciones sobre contratos futuros). La economía procede a operar luego a lo largo del tiempo, cumpliendo cada agente con los contratos suscriptos. Este es un modelo bastante irreal pero la idea de que los precios se mueven en dirección del exceso de demanda parece plausible. ¿Bajo qué condiciones este tipo de proceso lleva al equilibrio? Procesos de tanteo Supondremos que los precios se ajustan según la regla siguiente, que es llamada comúnmente la ley de la oferta y la demanda: los precios de aquellos bienes que tienen un exceso de demanda positivo aumentan, mientras que los de aquellos bienes con exceso de demanda negativo bajan. Recordemos que denominamos exceso de demanda a la diferencia entre la demanda total existente por un bien a precios determinados para todos los bienes, y la oferta existente a esos mismos precios. Un exceso de demanda negativo es, simplemente, un exceso de oferta sobre la demanda. Un razonamiento formal será útil en este punto. Denotamos como p al vector de k precios de los bienes, y como z(p) al vector de demandas excedentes, mercado por mercado. Una forma particular que podría adoptar la ley de la oferta y la demanda es entonces la siguiente: dp/dt = z(p)

es decir, que el cambio del precio en cada mercado es directamente proporcional (con proporción igual a 1) a la diferencia entre la demanda y la oferta en ese mercado. Consideremos ahora la ley de Walras, que en nuestro contexto establece que el valor del vector de exceso de demanda es nulo. Es decir p z(p)=0 ó Σpi(t)zi(p(t))=0 . Al vector z(p) lo llamaremos el exceso de demanda de la economía. Esta ley introduce un requerimiento muy conveniente. Para ello, definamos la norma del vector de precios de la siguiente manera: N=Σ pi2 es decir, es la suma de los cuadrados de los precios (y por consiguiente es siempre positiva o nula). Como los precios van a estar cambiando en el tiempo, podemos calcular su cambio de la manera siguiente: d/dt Σ pi2(t) = Σ2pi(t) [dpi(t)/dt] = 2 Σpi(t) zi(p(t))=0 por la ley de Walras. Luego, la ley de Walras requiere que la norma de los precios no cambie cuando los precios son ajustados. Ahora bien, como fue demostrado por Debreu, Mantel y Sonnenschein, cualquier función de exceso de demanda que sea continua, que satisfaga la ley de Walras, puede ser la función de exceso de demanda de alguna economía. Este resultado es conocido como el teorema de Debreu-Mantel-Sonnenschein. Lo que nos dice este resultado es que las hipótesis de que los consumidores maximizan su utilidad y de que las empresas maximizan sus beneficios no ponen restricciones sobre la demanda agregada, y por consiguiente se necesitan hipótesis más específicas sobre las funciones de demanda para obtener un resultado dinámico. Una de estas hipótesis posibles es que la demanda agregada satisface al Axioma Débil de Preferencia Revelada. Esta condición establece que si px(p)≥px(p*) donde p y p* son vectores de precio cualesquiera, entonces p*x(p)>p*x(p*). En palabras, si los consumidores eligieron la demanda x(p) cuando estaban vigentes los precios p, el gasto realizado cuando los precios cambian a p* debe ser necesariamente inferior al gasto realizado en la canasta x(p) evaluado a estos nuevos precios p*. Esta condición, como vale para todos los sistemas de precio (recuérdese que p y p*son cualesquiera) debe cumplirse también cuando p* es el sistema de precios de equilibrio. Es fácil verificar que también se debe cumplir la condición para la demanda excedente, es decir que si pz(p)≥pz(p*) entonces [1] p*z(p)>p*z(p*). Ahora, observemos que la ley de Walras requiere que pz(p)=0 y, en equilibrio, se requiere que pz(p*)=0. Por lo tanto, se deduce de [1] que p*z(p) >0 para todos los sistemas de precio p*≠p. Volvamos ahora al comportamiento dinámico de la economía. Supongamos que definimos una "distancia" entre los sistemas de precio, adoptando la siguiente definición de distancia: D(p) = ∑[(pi-pi*)2] Vamos a calcular ahora cómo cambia esta distancia a medida que pasa el tiempo:

Dinámica del equilibrio. Externalidades

p. 3

dD(p)/dt = ∑2(pi-pi*) (dpi(t)/dt) =2 ∑(pi-pi*)zi(p) (reemplazando por las ecuaciones dinámicas del modelo de tanteo), y =2∑ (pi zi(p) – pi* zi(p)) = 0 – 2 p*z(p)