Digitale Signalverarbeitung

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Author: Liese Berger
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3

4

Digitale Signalverarbeitung Vorlesung, zuerst gehalten im Sommersemester 2003



[ Lehrstuhl f¨ur Numerische Mathematik Justus–Liebig–Universit¨at Gießen Heinrich–Buff–Ring 44 D-35392 Gießen



Tomas Sauer



Die Wissenschaften sind nicht wie Minerva, welche vollst¨andig bewaffnet dem Haupte Jupiters entsprang. Sie sind die T¨ochter der Zeit und bilden sich langsam, zuerst durch Sammlung der Methoden, welche die Erfahrung angibt, und sp¨ater durch Entdeckung der Principien, die aus der Combination der Methoden sich folgern lassen. ] 









ausdr¨uckte, erDer Erste, der durch Zeichen jenes einfache Verh¨altniss fand die Mathematik, jene m¨achtige Wissenschaft, welche wirklich den Menschen auf den Thron der Welt erhob. J. A. Brillat–Savarin, Physiologie des Geschmacks

Version 1.0 Vorl¨aufig endg¨ultige Version 18.10.2003

c(0)

p*c

1

FFT

ω

c(3)

c(2m+1)

Fc(1)

Fc(m−1)

c(2m) c(1)

FFT

ω

m

m+1

ω

m−1

Fc(m) Fc(m+1)

...

r*c

Fc(0)

ω

...

Fc

...

c(2)

...

c

n−1

ω

Fc(n−1)

INHALTSVERZEICHNIS

1

1 SIGNALE, FILTER, FOURIER

2

Inhaltsverzeichnis



 





: Ein zeitbeschr¨anktes kontinuierliches Signal. Mittels einer (affinen) Umskalierung und gilt. Ist des Intervalls k¨onnen wir eigentlich immer gew¨ahrleisten, daß außerdem , dann k¨onnen wir das Signal periodisch zu einem unbeschr¨ankten kontinuierlichen Signal fortsetzen, indem wir einfach 







66 66 69 76 83



. . . .



. . . .



. . . .



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. . . .



. . . .



. . . .

ist. Dabei

: Ein (prinzipiell) unbeschr¨anktes kontinuierliches Signal.



. . . .

F¨ur uns soll vorerst ein Signal eine Abbildung sein, wobei betrachtet man vor allem die folgende F¨alle des Definitionsbereichs :

setzen. Analog k¨onnen wir eine –periodische Funktion auch als Funktion auf dem Torus betrachten. : Ein zeitdiskretes Signal, also eine (doppeltunendliche) Folge. Wir werden also solche Gebilde bequemerweise als diskrete Funktionen schreiben.

Nat¨urlich betrachtet man nicht beliebige, v¨ollig unstrukturierte Signale, sondern solche, die gewissen mathematischen Voraussetzungen gen¨ugen2 , insbesondere in irgendeiner Form beschr¨ankt sind. Daher erst einmal ein paar Definitionen. 

Subband–Coding und Wavelets 4.1 Allpass–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Upsampling, downsampling und Filterb¨anke . . 4.3 Zweikanal–Filterb¨anke . . . . . . . . . . . . . 4.4 Subband–Kaskaden, Subdivision und Wavelets

1.1 Signale 

47 47 52 55 56 58 62



. . . . . .



. . . . . .



. . . . . .

Definition 1.1 (Signalr¨aume) Wir bezeichnen mit die Gesamtheit aller reellwertigen Funktionen3 und mit alle reellen Folgen und definieren die folgenden Ra¨ ume: 

. . . . . .



. . . . . .

  

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. . . . . .

Die Objekte der digitalen Signalverarbeitung sind, wie der Name schon sagt, Signale und Methoden, diese zu modifizieren und zu analysieren. Das “Standardsignal” im Rahmen dieser Vorlesung wird ein zeitabh¨angiges Signal sein, das also nur von einem1 Parameter abh¨angt.

. . . . . .

. . . . . .

1 Signale, Filter, Fourier



. . . . . .

. . . . . .

Chr. Morgenstern, Phanta’s Schloß



. . . . .



. . . . .



. . . . .

  

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Fourier – schnell und diskret 3.1 Die diskrete Fouriertransformation 3.2 Die schnelle Fouriertransformation 3.3 Anwendungen der FFT . . . . . . 3.4 Realisierung der FFT . . . . . . . 3.5 Undichte Fenster . . . . . . . . . 3.6 Fensterfunktionen . . . . . . . . .

. . . . .



29 29 31 37

. . . . .



4

Ein gr¨oßeres Repertoire an Filtern 2.1 Die –Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rationale Filter und ihre Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

Auf Silberwellen kommt gegangen unsagbar s¨uße Harmonie, in eine Weise eingefangen, unendlichfache Melodie

 

3

. . . . .

2 2 4 14 17 20



2

Signale, Filter, Fourier 1.1 Signale . . . . . 1.2 Fourieranalysis . 1.3 Der Abtastsatz . . 1.4 Unsch¨arfe . . . . 1.5 Filter . . . . . . .



1

1 Im Gegensatz zu Bildern, die normalerweise eine Funktion von zwei Parametern sind, deren Wert ein Grauwert oder ein RGB–Wert ist. 2 Und in Lehrb¨uchern f¨ur Signalverarbeitung oft einfach gemacht werden, ohne gesondert darauf hinzuweisen. 3 Man k¨onnte auch lokale Integrierbarkeit verlangen.

1 SIGNALE, FILTER, FOURIER

4



,





 









+





0 7







 











7













 



 















98







00 

7

Definition 1.3 ( –Puls, Dirac–Puls) Ein ganz besonderes Signal ist der “Puls” definiert durch8





1. Quadratsummierbare Funktionen



7



3



1.1 Signale

7

Man spricht hier oftmals auch von einer “Funktion” namens Dirac 9 – , obwohl es sich dabei eigentlich um eine Distribution handelt.

 

 







  

  























<

















; : 1

 







; :





















bzw.

 



 

 





 






=



   



9 . 

(1.16)

&

0

0



.













D &





D &



  

 

D &









 



   





0 ( 



Proposition 1.10 (Riemann–Lebesgue–Lemma) Ist , so ist

17

und somit, nach (1.10),

Siehe (1.4). Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826–1866, Sch¨uler von Gauss mit Beitr¨agen zu Analysis, Algebra, Geometrie. 19 Henri Lebesgue, 1875–1941, sein bedeutendstes Werk war seine Dissertation “Int´egrale, longueur, aire” (1902).

.















   





 ( 



9

D



18

 



, die wir nennen wollen.







ist eine Cauchyfolge und konvergiert gegen eine Funktion in Beweis von Satz 1.11: Wir definieren















. Außerdem ist 













      

 





  





1

so “brav”, daß





und

ist24 , dann ist mit (1.14)





C 



 9







 





       









25

 

  

sind die Fourierkoeffizienten definiert als







D &



 





9  





Diese Aussage hilft uns nun, die Definition der Fouriertransformierten auf betrachtet man eine Folge Zu

und die Fourierreihe26 zu

D 



  



(1.19)







)





















 







+











D

&

D  

D





D







 





&

D  &









&

 

D  &











 





24 Das ist beispielsweise der Fall, wenn und Lebesgue–Lemma, Proposition 1.10. 25 Man bemerke, daß f¨ur 26 Eine sogenannte trigonometrische Reihe.



differenzierbar sind; dies folgt aus (1.12) und dem Riemann– ist.











 

  





 

. Da außerdem f¨ur









und



Man beachte, daß sogar die unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Tr a¨ger eine bilden. dichte Teilmenge von 21 spielt in der Signalverarbeitung schon deswegen so eine wesentliche Rolle, weil das gerade die Signale (und die sind normalerweise nicht unbedingt stetig) mit endlicher Energie sind – eine ziemlich realistische Annahmen, oder nicht? 22 Marc–Antoine Parseval des Chˆenes, 1755–1836, Zeitgenosse von Fourier, der ziemlich heftig in die Wirren der franz¨osischen Revolution verwickelt wurde, publizierte ¨uberhaupt nur 5 (in Worten: “f¨unf”) Arbeiten, die er aber allesamt der Acad´emie des Sciences vorlegte. 23 Leider keine biografischen Daten.



 











.







)



 





 

   



 

dann ist

20







   

  

 .

  

   

    

  

 .

   

    





 





konvergiert. Da



gegen







in der Norm









die f¨ur



1

 







 

 

Eigentlich sollte uns die trigonometische Reihe in (1.19) bekannt vorkommen: Definieren mit Fourierkoeffizienten , , die Folge wir n¨amlich zu



D





  



 



















als



zu u¨ bertragen:



















(1.18)









     

 



9



Definition 1.12 Zu

,



also insbesondere, mit



Jetzt machen wir als n¨achstes einen kleinen Abstecher in die Welt der Fourieranalysis auf dem Torus , bei dem wir den Begriff der Fourierreihe kennelernen und mit den bisherigen Fourierismen in Beziehung bringen werden. Tats¨achlich wird n¨amlich der Beweis des Shannonschen Abtastsatzes, Satz 1.16 ebenfalls auf der Interaktion zwischen Fourierreihen und der Fouriertransformierten basieren. Doch dazu sollten wir erst einmal die Fourierreihe einer Funktion definieren.



















 



(1.17)

was (1.17) liefert. Und die Plancherel–Identita¨ t (1.18) ist dann eine unmittelbare Konsequenz aus der Parseval–Formel (1.17). 



1













ist

9













Satz 1.11 (Parseval/Plancherel) F¨ur









9



+



















Wie sieht es nun auf anderen –R¨aumen, , insbesondere mit aus21 ? Hier nutzt man aus, daß eine dichte Teilmenge von ist. F¨ur gibt es nun noch eine besonders sch¨one Eigenschaft, n¨amlich eine Isometrie, f¨ur die Parseval 22 bzw. Plancherel23 die Namensgeber sind.





C



und da man beliebig klein w¨ahlen kann, folgt die Behauptung.























=





  



also

    







.









  





  



. 





  



 . 

       .         



=





sinc

 

 

 

 















  

 









    

  







und

# >























sinc

ist

9



Satz 1.13 (Poisson–Summenformel) F¨ur







0.6



0.4

   

9







D &



 

  

D &





 

 

 





D &



 



0.2







 





















 



9

 9

9











ist und insbesondere wohldefiniert – die Summe in (1.22) divergiert nicht allzu unmotiviert. Die Fourierkoeffizienten von haben dann die Form

w¨urden konvergieren , erhalten

-0.2









-0.4 -60

 

-40

-20

0

20

40

60

 

 



 

 



















 





 



  



  

 0

 













   

9

und, angenommen die Partialsummen der Fourierreihe von so, daß



0

28

Abbildung 1.1: Die Funktion sinc.







 

 

 





















 



  







 













 



 













  

9

was die erste Identit¨at liefert. Mit deren Hilfe und (1.9) ergibt sich dann, daß

27 Sim´eon Denis Poisson, 1781–1840, studierte bei Laplace und Legendre, Beitr¨age zur Fourier–Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie (“Poisson–Verteilung”), schrieb zwischen 300 und 400 Arbeiten, auch ¨uber Elektrizit¨at, Magnetismus und Astronomie. 28 Ansonsten m¨ussten wir ein Summationsverfahren, beispielsweise den F´ejer–Kern verwenden.

Das n¨achste Resultat, der Shannonsche30 Abtastsatz31 , sagt uns nun, daß man bandbeschr¨ankte Funktionen rekonstruierbar abtasten kann. 29

In Ingenieurskreisen auch als “si”–Funktion bezeichnet. Claude Elwood Shannon, 1916–2001, Elektroingenieur und Mathematiker, Erfinder des Wortes “bit” und Entwickler von Schachprogrammen (und zwar um 1950). 31 Der eigentlich gar nicht von Shannon ist, siehe Bemerkung 1.17. 30

1 SIGNALE, FILTER, FOURIER

16





 9  

9













 



 

 











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