Einf¨ uhrung

Strukturen digitaler Filter

Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung 21. November 2016

Siehe Skript, Kapitel 8 Kammeyer & Kroschel, Abschnitt 4.1

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Strukturen digitaler Filter

1

Einf¨ uhrung Filterstrukturen: FIR vs. IIR

2

Strukturen digitaler Filter Strukturvarianten

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Strukturen digitaler Filter

Motivation: Grundlage f¨ ur Hardware- und Software-Realisierung digitaler Systeme Auswahl optimaler Struktur Vermeidung quantisierungsbedingter Probleme

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Strukturen digitaler Filter

Filterstrukturen: FIR vs. IIR

Kurznotation: Signalflussgraph Technisches Element

T

x(k)

x(k)

Signalflussgraf x(k-1)=D {x(k)}

X(z)

a x(k)

x(k)

z-1

a

1 X(z) z

a x(k)

a a1 x1 (k)

x1 (k)

a1

a2 x2(k)

x2(k)

+ a3

a2

å ai x i (k)

å ai x i (k)

i

x3 (k)

a3

i

x3 (k)

Figure : Elemente zeitdiskreter LTI-Systeme [2].

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Filterstrukturen: FIR vs. IIR

Struktur eines FIR-Filters v(k)

b0

z-1 v(k-1)

b1

z-1 v(k-2)

b2

v(k-N-1)

z-1 v(k-N)

y(k)

bN-1 bN

Figure : Filter mit endlicher Impulsantwort (Finite Impulse Response FIR). Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturen digitaler Filter

Filterstrukturen: FIR vs. IIR

M¨ogliche Struktur eines IIR-Filters v(k)

b0

z-1 v(k-1)

b1

a1

z-1 y(k-1)

z-1 v(k-2)

b2

a2

z-1 y(k-2)

bN-1

aN-1

bN

aN

v(k-N-1)

z-1 v(k-N)

y(k)

-1

y(k-N-1)

z-1 y(k-N)

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response IIR). Dies ist die Direktform I, andere Strukturen werden im n¨achsten Abschnitt besprochen. Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturen digitaler Filter

Filterstrukturen: FIR vs. IIR

FIR vs. IIR-Filter FIR-Filter

IIR-Filter

nur Nullstellen

i.A. Pole und Nullstellen

Stabilit¨at

immer

nicht immer

Effizienz

oft große Filterordnung n¨ otig

i.A. geringere Ordnung

linearphasiger Entwurf

Nachimplementierung analoger Filter

Rechenaufwand

Stabilit¨at

¨ Ubertragungsfunktion

besondere M¨oglichkeiten Probleme

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Strukturen digitaler Filter

¨ Faktorisierung der Ubertragungsfunktion ¨ Die Ubertragungsfunktion war: Pm

µ=0 H(z) = Pn

bµ z −µ

ν=0 aν z

−ν

mit a0 = 1 (1)

oder Pm H(z) = z

n−m

Pµ=0 n

bµ z m−µ

ν=0 aν z

n−ν

.

(2)

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Strukturen digitaler Filter

M¨ogliche Struktur eines IIR-Filters v(k)

b0

z-1 v(k-1)

b1

a1

z-1 y(k-1)

z-1 v(k-2)

b2

a2

z-1 y(k-2)

bN-1

aN-1

bN

aN

v(k-N-1)

z-1 v(k-N)

y(k)

-1

y(k-N-1)

z-1 y(k-N)

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response IIR). Dies ist die Direktform I.

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Strukturvarianten

Varianten und Verbesserungsm¨oglichkeiten

Die erste, geradlinige Realisierung hat einige Nachteile, vor allem: Unn¨otig viele Verz¨ ogerungsterme und Unn¨otig viele Signalpfade.

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Strukturvarianten

Erste kanonische Form Sukzessive Umformung f¨ uhrt zur ersten kanonischen Struktur: v(k)

b0

y(k) z-1

b1

-a1

z-1 b2

-a2

bN-1

-aN-1 z-1

bN

-aN

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, erste kanonische Struktur Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturvarianten

Zweite kanonische Struktur

Zur Umformung jedes beliebigen Signalflussgrafen l¨asst sich die Graph-Transponierung einsetzen. Dabei wird jede Signalflussrichtung umgekehrt jede Verzweigung zu einem Summenknoten und umgekehrt und der Eingang wird mit dem Ausgang vertauscht. Beweis: Siehe [1] (Abschnitt zur “Gain Formula of Signal Flow Graph Theory.”)

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Strukturvarianten

Zweite kanonische Struktur Graph-Transposition f¨ uhrt zur zweiten kanonischen Struktur: v(k)

b0

y(k)

z-1 -a1

b1

z-1 -a2

b2

-aN-1

bN-1 z-1

-aN

bN

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, zweite kanonische Struktur Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturvarianten

Die dritte kanonische Struktur ergibt sich aus einer Faktorisierung der Gesamt¨ ubertragungsfunktion: H(z) =

p Y

Hi (z).

(3)

i=1

¨ Dabei werden alle einzelnen Ubertragungssysteme als Systeme erster oder zweiter Ordnung realisiert: Hi (z) =

b0i + b1i z −1 1 + a1i z −1

(4)

bzw.

b0i + b1i z −1 + b2i z −2 (5) 1 + a1i z −1 + a2i z −2 Teilsysteme erster Ordnung k¨ onnen je einen Pol und eine Nullstelle des Gesamtsystems beitragen, w¨ahrend Teilsysteme zweiter Ordnung ein konjugiert komplexes Pol-/Nullstellenpaar liefern. Hi (z) =

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Strukturvarianten

Dritte kanonische Struktur

V(z)

H1(z)

H2(z)

...

Hp(z)

Y(z)

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, dritte kanonische Struktur

Die Teilsysteme werden in 1. oder 2. kanonischer Struktur realisiert. Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturvarianten

Dritte kanonische Struktur

Vorteile: Pole und Nullstellen k¨ onnen so zusammengefasst werden, wie es am sinnvollsten ist. Das heißt: Jede Stufe sollte m¨ oglichst gut ausgesteuert sein und in jeder Stufe sollte der Fehler durch Koeffizientenquantisierung minimiert werden (siehe VL6.)

Stabilit¨at kann pro Teilsystem u ¨berpr¨ uft werden.

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Strukturvarianten

Dritte kanonische Struktur

Figure : Matlab-Filter in Biquad-Struktur Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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Strukturvarianten

Vierte kanonische Struktur

Die vierte (und letzte) kanonische Struktur ist schließlich durch eine Partialbruchzerlegung von H(z) in der Form H(z) = b0 +

q X

Hi (z).

(6)

i=1

zu erhalten, und stellt das Gesamtsystem also als Summe von Teilsystemen dar:

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Strukturvarianten

Vierte kanonische Struktur b0

H1(z)

H2(z)

Y(z)

...

V(z)

Hq(z)

Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, vierte kanonische Struktur

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Strukturvarianten

Vierte kanonische Struktur

¨ Uberlegungen: Es bleiben die Vorteile der dritten kanonischen Struktur gegen¨ uber den ersten beiden, direkten Realisierungen: Pole und Nullstellen k¨ onnen so zusammengefasst werden, wie es am sinnvollsten ist. Stabilit¨at des quantisierten Systems kann pro Teilsystem u ¨berpr¨ uft werden.

Die Struktur ist nun parallel statt sequentiell.

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Strukturvarianten

Lernziele

Sie sollten die Unterschiede zwischen FIR- und IIR-Filtern kennen, und die Vor- und Nachteile beider Filterarten verstehen. Sie sollten die vier kanonischen Filterstrukturen kennen, und diese ineinander umrechnen k¨ onnen.

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Vielen Dank f¨ur Ihre Aufmerksamkeit!

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S. Mason and H.J. Zimmermann. Electronic Circuits, Signals and Systems. Wiley, New York, 1960. Hans Wilhelm Sch¨ ußler. Digitale Signalverarbeitung, volume 1. 4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.

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