UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA

Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli.

Trabajo Especial de Grado presentado ante la ilustre Universidad Central de Venezuela por el Br. Gabriel M´ arquez para optar al t´ıtulo de Licenciado en Matem´atica. Tutor: Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela Mayo 2008

ii

Nosotros, los abajo firmantes, designados por la Universidad Central de Venezuela como integrantes

del

Jurado

Examinador

del

Trabajo

Especial

de

Grado

titulado

“Diferentes presentaciones de los polinomios de Bernoulli”, presentado por el Br. Gabriel M´ arquez, titular de la C´edula de Identidad 16.332.768, certificamos que este trabajo cumple con los requisitos exigidos por nuestra Magna Casa de Estudios para optar al t´ıtulo de Licenciado en Matem´ atica.

Marisela Dom´ınguez Tutor

Ram´ on Bruzual Jurado

Manuel Maia Jurado

iii

Agradecimiento

A todos aquellos que no creyeron en mi. Tambi´en quisiera hacer un especial agradecimiento al Consejo de Desarrollo Cient´ıfico y Human´ıstico de la UCV por el apoyo en la impresi´on de este trabajo.

´Indice general Introducci´on

1

Cap´ıtulo 1. Preliminares.

3

1. Polinomios de Bernoulli.

3

2. Teorema de Taylor.

6

3. Teorema de la convergencia de las series de Fourier.

8

4. C´alculo umbral.

9

Cap´ıtulo 2. Soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer.

12

1. Existencia de la soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer.

12

2. Unicidad de la soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer.

15

Cap´ıtulo 3. Polinomios de Bernoulli y ecuaci´on funcional de Lehmer.

17

1. Sucesiones de Appell

17

2. C´alculo umbral

18

3. F´ormula de Bernoulli

19

4. Series de Fourier

21

5. Funci´on generatriz

24

Bibliograf´ıa

27

iv

Introducci´ on Jacob Bernoulli (Basilea, Suiza 1654-1705) se interes´o en el estudio del c´alculo integral, y colabor´o con su hermano Johan en las matem´aticas aplicadas. Entre los a˜ nos 1696 y 1701 hizo grandes aportes a los temas de las curvas transcendentales (estudio de la catenaria), isometr´ıa, entre otros. Aparte desarroll´o t´ecnicas para la soluci´on de ecuaciones diferenciales separables y fue uno de los primeros matem´aticos en utilizar las coordenadas polares. Hasta una curva lleva su nombre, la lemniscata de Bernoulli. Una de sus obras m´as destacadas es el “arte de las conjeturas”, publicado por su sobrino Nicol´as tras ocho a˜ nos de su muerte. All´ı dejo plasmados grandes aportes para la teor´ıa de probabilidades, como son la enumeraci´on de probabilidades de los riesgos de azar y su representaci´on del teorema conocido como la ley de los grandes n´ umeros. Algunos resultados de este trabajo son los polinomios y n´ umeros de Bernoulli. En 1705, mediante suma de potencias, Bernoulli defini´o los polinomios que llevan su nombre. Los polinomios de Bernoulli est´an relacionados con el estudio de ciertas funciones especiales como la funci´on zeta de Riemann y la funci´on zeta de Hˆ urwitz. Appell en el a˜ no de 1832 demostr´o que los polinomios de Bernoulli forman un tipo especial de sucesi´on, que llevan el nombre de sucesi´on de Appell y dio una definici´on alternativa de estos polinomios. Al igual que Appell y el propio Bernoulli otros matem´aticos han dado otras definiciones a estos polinomios, entre las que est´an: Euler (1738) mediante la funci´on generatriz, Lucas (1891) mediante el c´alculo umbral y Hˆ urtwitz (1890) mediante series de Fourier. Ahora bien, Lehmer en su publicaci´on “A new approach to Bernoulli polynomials”([9]) proporcion´o otra definici´on de los polinomios de Bernoulli, mediante el teorema de la multiplicaci´on. El teorema de la multiplicaci´on es un tipo de identidad obedecida por la funci´on Gamma; la identidad viene dada por un producto de valores, de all´ı el nombre. Para los polinomios de Bernoulli el teorema de la multiplicaci´on fue dado a conocer por el matem´atico Josseph Ludwing Raabe en el a˜ no de 1851. 1

´ INTRODUCCION

2

El objetivo de este trabajo es estudiar diferentes definiciones de los polinomios de Bernoulli, relacionarlas con series de Taylor, series de Fourier, n´ umeros de Bernoulli, funciones generatrices, c´alculo umbral y otras ´areas de las matem´aticas. Se usar´a el art´ıculo “A new approach to Bernoulli polynomials”de Lehmer ([9]). En el cap´ıtulo uno de este trabajo se dar´an algunos resultados preliminares, entre ellos, el teorema de Taylor, funci´on suave a trozo, coeficientes de las series de fourier, teorema de la convergencia de series de Fourier y algunos resultados del c´alculo umbral. Luego en el cap´ıtulo dos, se probar´a que las soluciones del teorema de la multiplicaci´on son polinomios m´onicos y adem´as estos son u ´nicos. Por u ´ltimo en el cap´ıtulo tres se verificar´a que las soluciones obtenidas son en efecto los polinomios de Bernoulli, y que esta cumple las otras definiciones dadas hasta el momento de la publicaci´on del art´ıculo de Lehmer.

CAP´ıTULO 1

Preliminares. En este cap´ıtulo se dar´a las diferentes presentaciones dadas para los polinomios de Bernoulli, as´ı como tambi´en algunos resultados entre ellos el teorema de Taylor, funci´on suave a trozos, coeficientes de la serie de fourier, teorema de la convergencia de la serie de Fourier y algunos resultados del c´alculo umbral. 1. Polinomios de Bernoulli. Sea

Q n

el conjunto de polinomios reales de grado igual a n.

´ n 1.1. Los polinomios de Bernoulli, son una sucesi´on de polinomios {Bn }∞ Definicio n=0 Q con Bn ∈ n que se definen en forma recurrente de la siguiente manera: B0 (x) = 1, Z

1 d Bn (x) = Bn−1 (x), n dx 1

Bn (x)dx = 0,

n = 0, 1, 2, . . . .

0

Los n´ umeros Bn (0) con n = 0, 1, · · · se llaman n´ umeros de Bernoulli ([2]) ´ n 1.2. Todo polinomio de Bernoulli es m´onico. Observacio Ejemplo 1.3. El polinomio de Bernoulli de grado n = 1 est´a definido por d B1 (x) = B0 (x). dx Integrando con respecto a x obtenemos lo siguiente Z B1 (x) = B0 (x)dx. 3

1. POLINOMIOS DE BERNOULLI.

Tomando en cuenta que B0 (x) = 1, resulta

4

Z

B1 (x) =

dx,

B1 (x) = x + c. Como

Z

1

B1 (x)dx = 0, 0

se tiene que Z

·

1

0=

x+c = 0

=

x2 + cx 2

¸1 0

1 + c. 2

De donde 1 c=− . 2 Por lo tanto 1 B1 (x) = x − . 2 De manera an´aloga podemos hallar los siguientes polinomios de Bernoulli: 1 B2 (x) = x2 − x + , 6 3 x B3 (x) = x3 − x2 + , 2 2 1 , 30 5x4 5x3 x B5 (x) = x5 − + − , 2 3 6 4 2 5x x 1 B6 (x) = x6 − 3x5 + − + . 2 2 42 B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 −

Como se dijo en la introducci´on, se han dado por lo menos cinco diferentes definiciones para los polinomios de Bernoulli. ´ n 1.4. Bernoulli (1705), por medio de suma de potencias de los primeros Observacio n´ umeros naturales hall´o que los polinomios de Bernoulli satisfacen m−1 X k=0

k n−1 =

1 {Bn (m) − Bn (0)}. n

1. POLINOMIOS DE BERNOULLI.

5

´ n 1.5. Euler (1738), por medio de la funci´on generatriz, prob´o que para los Observacio polinomios de Bernoulli se tiene que ∞ X Bn (x)tn n=0

n!

=

text , et − 1

si |t| ≤ 2π.

´ n 1.6. Lucas (1891) hall´o una expresi´on para los polinomios de Bernoulli Observacio por medio del calculo umbral. La expresi´on es la siguiente Bn (x) = (b + x)n . El c´alculo umbral es un tipo c´alculo con expresiones matem´aticas en la que los exponentes del desarrollo binomial del polinomio se denotan como sub´ındices (ver tambi´en Secci´on 4). ´ n 1.7. Appell (1832) demostr´o que los polinomios de Bernoulli forman un Observacio tipo especial de sucesi´on que llevan su nombre. Es decir Bn−1 (x) =

1 d Bn (x). n dx

´ n 1.8. Hurwitz (1890) hall´o una expresi´on para los polinomios de Bernoulli, Observacio usando series de Fourier. La expresi´on es la siguiente −n! X −n 2πikx k e , Bn (x) = (2πi)n k6=0

si 0 < x < 1.

El desarrollo en series de Fourier es una herramienta matem´atica utilizada para analizar funciones peri´odicas a trav´es de la descomposici´on de dicha funci´on en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho m´as simples. ´ n 1.9. En 1851 Raabe demostr´o que los polinomios de Bernoulli verifican la Observacio identidad

µ ¶ m−1 1 X k Bn x + = m−n Bn (mx). m k=0 m

Esta f´ormula conocida como teorema de multiplicaci´on, puede ser interpretada como una ecuaci´on funcional, cuya soluci´on son los polinomios de Bernoulli.

En el art´ıculo de Lehmer ([9]) se considera la ecuaci´on funcional asociada a la f´ormula anterior. Se consideran las soluciones y se prueba que estas soluciones cumplen ciertas propiedades relacionadas con los resultados enunciados anteriormente.

2. TEOREMA DE TAYLOR.

6

En este trabajo desarrollaremos el art´ıculo de Lehmer, se probar´a que las soluciones de la ecuaci´on funcional son polinomios (ver Cap´ıtulo 2) y se verificar´a que estos son los polinomios de Bernoulli (ver Cap´ıtulo 3). Antes de hacer esto, se presentan algunos resultados, necesarios para el desarrollo de este trabajo. 2. Teorema de Taylor. ´ n 1.10. Sea f : R → R una funci´on infinitamente diferenciable en un entorno Definicio de α ∈ R, el polinomio de Taylor de f centrado en α es la suma P (x) =

n−1 (n) X f (α) n=0

n!

(x − α)n .

Para funciones f : C → C, se tiene una definici´on similar. 0

00

Teorema 1.11 (Teorema de Taylor). Sea f : [a, b] → R tal que f ,f ,...,f (n+1) est´ an definidas sobre [a, x] (n entero positivo). Sean α y x puntos distintos del intervalo [a, b] y sea P (x) =

n−1 (k) X f (α) k=0

k!

(x − α)k .

Entonces existe un punto c entre α y x tal que f (x) = P (x) +

f (n) (c) (x − α)n n!

´ n. Sea Demostracio P (x) =

n−1 (k) X f (α) k=0

k!

(x − α)k .

Es decir P (x) =

f (α) f 0 (α) f (n−1) (α) + (x − α) + · · · + · · · + (x − α)n−1 , 0! 1! (n − 1)!

Tomando x = α tenemos que P (α) = f (α). Adem´as P (k) (α) = f (k) (α).

2. TEOREMA DE TAYLOR.

7

Consideremos a x como un punto fijo de R. Sea M el n´ umero real, que depende de x, dado por M=

f (x) − P (x) , (x − α)n

entonces f (x) = P (x) + M (x − α)n . Sea g la funci´on de variable t definida por g(t) = f (t) − P (t) − M (t − α)n . Como f (α) = P (α) se tiene que g(α) = 0. Derivando con respecto a t obtenemos que g 0 (t) = f 0 (t) − P 0 (t) − nM (t − α)n−1 . Como P 0 (α) = f 0 (α) obtenemos que g 0 (α) = 0. Si seguimos derivando, obtenemos g (k) (t) = f (k) (t) − P (k) (t) − n(n − 1).....(n − k + 1)M (t − α)n−k . Usando que P (k) (α) = f (k) (α) para k = 0, 1, . . . , n − 1 obtenemos que g(α) = g 0 (α) = · · · = g (n−1) (α) = 0. Del teorema de Rolle se sigue que existe un x1 , entre α y x, tal que g 0 (x1 ) = 0. Como g 0 (α) = 0, por el teorema de Rolle existe x2 , entre α y x1 , tal que g 00 (x2 ) = 0. Despu´es de n pasos se concluye que g (n) (xn ) = 0, para alg´ un xn entre α y xn−1 . Este punto xn tambi´en est´a entre α y x. Tomemos c = xn Para a < t < b tenemos que P (n) (t) = 0, y por lo tanto g n (t) = f n (t) − n!M.

3. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER.

8

Luego f (n) (c) − n! = 0. De donde M=

f (n) (c) . n!

Obtenemos lo siguiente f (n) (c) f (x) − P (x) = , n! (x − α)n despejando f (x) nos queda que f n (c) f (x) = P (x) + (x − α)n . n! ¤ ´ n 1.12. Sea f : R → R una funci´on infinitamente diferenciable en un entorno Definicio de α ∈ R. La serie de Taylor de f centrada en α es la serie de potencias ∞ X f (n) (α) n=0

n!

(x − α)n

Si α = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. 3. Teorema de la convergencia de las series de Fourier. Antes de enunciar el teorema de la convergencia de la series de Fourier presentaremos algunas definiciones.([4],[6]) ´ n 1.13. Sea f : R → R. Se dice que f es suave a trozos en alg´ Definicio un intervalo de R, si el intervalo se puede dividir en subintervalos, tales que en cada uno de ellos la funci´on f es continua y su derivada f 0 tambi´en es continua. ´ n 1.14. Sea f : R → R una funci´on de per´ıodo 2π e integrable en el intervalo Definicio [0, 2π]. Los coeficientes de Fourier de f son: Z 1 2π an = f (x) cos(nx)dx, para n = 0, 1 . . . , π 0 Z 1 2π bn = f (x) sen(nx)dx, para n = 1, 2 . . . π 0 La serie de Fourier de f es la siguiente suma formal ∞

a0 X + an cos(nx) + bn sen(nx). 2 n=1

´ 4. CALCULO UMBRAL.

9

Teorema 1.15. Si f es suave a trozos en el intervalo [0, 2π] y x ∈ [0, 2π], entonces la serie de Fourier de f en x converge a: (a) f (x) si x es un punto de continuidad de f , (b) la media de los l´ımites laterales 1 [f (x+) + f (x−)], 2 si x es un punto de discontinuidad de salto de f . 4. C´ alculo umbral. El c´alculo umbral del siglo XIX es un m´etodo notacional para derivar las identidades que implican sucesiones puestas en un ´ındice de n´ umeros, fingiendo que los ´ındices son exponentes. Interpretado literalmente, es absurdo, pero es muy u ´til. Las identidades que se obtuvieron v´ıa el c´alculo umbral tambi´en se pueden derivar por m´etodos m´as complicados, que se pueden tomar literalmente sin dificultad l´ogica. El c´alculo umbral de t´erminos era una manera de expresar las semejanzas que exist´ıan entre las ecuaciones polin´omicas y otra relaci´on matem´atica, las pruebas eran ciertas t´ecnicas vagas. Estas t´ecnicas fueron introducidas por Juan Blissard en 1861 y se conocen como el m´etodo simb´olico de Blissard. Edouard Lucas y James Sylvester usaron esta t´ecnica extensivamente, por esta raz´on a veces se les atribuye a ellos. Entre los a˜ nos 1930 y los a˜ nos 1950, Eric Temple Bell intent´o dar unas bases m´as rigurosas para el c´alculo umbral. Entre los a˜ nos 1970 y 1980, Steven Roman, Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el c´alculo umbral por medio de funcionales lineales en espacios de polinomios. Actualmente, por c´alculo umbral se entiende el estudio de las sucesiones de Sheffer, incluyendo sucesiones polin´omicas y de las sucesiones binomiales de Appell ([17]). A continuaci´on se presentan los polinomios de Bernoulli y se prueba una proposici´on relativas a estas de dos maneras: primero de la manera tradicional y posteriormente usando el c´alculo umbral. Sea Bn el n-´esimo polinomio de Bernoulli, para k = 0, . . . , n sean bn,k los coeficientes de Bn , donde n denotara el grado del polinomio y k la posici´on del coeficiente, es decir, n µ ¶ X n Bn (x) = b(n),n−k xk k k=0

´ 4. CALCULO UMBRAL.

10

´ n 1.16. Proposicio b(n),k = b(n−1),k para todo k = 0, . . . , n, para todo n ∈ N. ´ n. En primer lugar Demostracio n µ ¶ X n Bn (x) = b(n),n + b(n),n−k xk k k=1

luego, derivando Bn0 (x)

=

n µ ¶ X n k=1

k

b(n),n−k kx

k−1

¶ n−1 µ X n = b(n),n−j−1 (j + 1)xj . j + 1 j=0

Por otro lado, para j = 0, · · · , n − 1, se tiene ¶ n−1 µ X n−1 0 b(n−1),n−1−j xj . Bn (x) = nBn−1 (x) = n j j=0 De donde

µ

¶ ¶ µ n−1 n b(n−1),n−1−j . b(n),n−j−1 (j + 1) = n j j+1

Como se tiene ¶ µ ¶ µ n n!(j + 1) n−1 n(n − 1)! (j + 1) = , = =n j+1 j (j + 1)!(n − 1 − j)! j!(n − 1 − j)! resulta que b(n),n−j−1 = b(n−1),n−j−1 , para j = 0, · · · , n − 1, Por lo tanto b(n),k = b(n−1),k

para k = 0, . . . , n − 1. ¤

Usando el c´alculo umbral se sustituye la demostraci´on anterior por el siguiente tipo de razonamiento tambi´en conocido como prueba umbral. Tomando en cuenta que (xn )0 = nxn−1 es similar a Bn0 (x) = nBn−1 (x)

´ 4. CALCULO UMBRAL.

y tomando en cuenta que n

(y + x) =

n µ ¶ X n

k

k=0

es an´aloga a

n µ ¶ X n k=0

k

11

y n−k xk

b(n),n−k

se finge que el sub´ındice n − k es un exponente. En realidad esto puede ser incorrecto, pero se puede trabajar de todos modos. As´ı que se considera la expresi´on Bn (x) =

n µ ¶ X n k=0

k

k bn−k (n) x .

La proposici´on anterior se demuestra usando c´alculo umbral, de la siguiente manera: Se tiene que Bn (x) = (b(n) + x)n . entonces Bn0 (x) = n(b(n) + x)n−1 . Por otro lado Bn0 (x) = nB(n−1) (x) = n(b(n−1) + x)n−1 . Por lo tanto b(n) = b(n−1) . Finalmente bk(n) = bk(n−1)

para k = 0, . . . , n − 1.

´ n 1.17. Tomando en cuenta la proposici´on anterior se tiene que existe Observacio {bn } ⊆ R tal que Bn (x) =

n µ ¶ X n k=0

k

bn−k xk

Adem´as bn = Bn (0), En consecuencia, bn es el n-´esimo n´ umeros de Bernoulli.

CAP´ıTULO 2

Soluci´ on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer. La ecuaci´ on funcional de Lehmer es la ecuaci´on ¶ m−1 µ k 1 X f x+ = m−n f (mx), m k=0 m

(2.1)

donde m y n son enteros positivos y f : R → R. En este cap´ıtulo veremos primero la existencia de la soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer. M´as precisamente, se probar´a que existe una u ´nica familia de polinomios que satisface esta ecuaci´on funcional.

1. Existencia de la soluci´ on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer. Lema 2.1 (Existencia). Sean n y m dos n´ umeros enteros positivos. Entonces existen polinomios de grado n en x que satisfacen la ecuaci´ on funcional de Lehmer (2.1). ´ n. Si m = 1 entonces la ecuaci´on (2.1) se convierte en f (x) = f (x) de Demostracio modo que podemos asumir m > 1. Sea (2.2)

Pn (x) = b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn ,

con b0 6= 0,

donde los coeficientes bk , k = 0, 1 . . . , n, son indeterminados. Si f es soluci´on de (2.1) lo es tambi´en de cf donde c es cualquier constante. Por lo tanto se puede elegir b0 = 1. A continuaci´on se analizar´an ambos lados de la ecuaci´on (2.1) cuando se reemplaza f por el polinomio Pn .

12

´ DE LA ECUACION ´ FUNCIONAL DE LEHMER. 1. EXISTENCIA DE LA SOLUCION

13

Si se sustituye (2.2) en el lado izquierdo de la ecuaci´on (2.1) se obtiene µ ¶ µ ¶n−v m−1 m−1 n 1 X k 1 XX k Pn x + = bv x + m k=0 m m k=0 v=0 m ¶ µ ¶λ µ m−1 n n−v n−v 1 X X X n−v−λ k = bv x m k=0 v=0 λ=0 m λ µ ¶ m−1 n−v n X X 1 X kλ n−v−λ n − v x = bv λ m k=0 mλ v=0 λ=0 ¶ m−1 µ n n−v X kλ X X n−v−λ n − v = bv x . λ+1 λ m v=0 λ=0 k=0 Por lo tanto ¶ X µ ¶ µ n−v m−1 n X 1 X k n−v−λ −λ−1 n − v bv Pn x + = x m Sλ (m), m k=0 m λ v=0 λ=0 donde Sλ (m) =

m−1 X

kλ.

k=0

Haciendo el cambio de variable r = λ + v se obtiene ¶ µ ¶ X µ m−1 n n X 1 X k n−r v−r−1 n − v Pn x + Sr−v (m). = bv x m r − v m k=0 m v=0 r=v Intercambiando las dos sumas convenientemente se obtiene ¶ µ ¶ X µ m−1 n X r 1 X k n−r v−r−1 n − v Pn x + = bv x m Sr−v (m). (2.3) r−v m k=0 m r=0 v=0 Por otro lado, tomando la expresi´on dada para Pn (x) en (2.2) y sustituy´endola en el lado derecho de la ecuaci´on (2.1) se obtiene m−n Pn (mx) = m−n

n X

br (xm)n−r

r=0

= m

−n

n X

br xn−r mn−r

r=0

=

n X r=0

br xn−r mn−r−n .

´ DE LA ECUACION ´ FUNCIONAL DE LEHMER. 1. EXISTENCIA DE LA SOLUCION

De donde (2.4)

m

−n

Pn (mx) =

n X

xn−r br m−r .

r=0

Si Pn fuese soluci´on de la ecuaci´on funcional se tendr´a que µ ¶ m−1 k 1 X Pn x + = m−n Pn (mx). m k=0 m Identificando los coeficientes de xn−r en (2.3) y (2.4) se sigue que ¶ µ r X n−v −r mv−r−1 Sr−v (m). br m = bv r − v v=0 Luego

¶ µ r X n−v br = bv mv−1 Sr−v (m). r − v v=0

para r = 1 se tiene que

b1

¶ µ ¶ µ n n−1 −1 = bo m S1 (m) + b1 m0 S0 (m) 1 0 n (m − 1) m + b1 m m 2 n(m − 1) b0 2 n(m − 1) b0 2 n(m − 1) 1 b0 2 (1 − m) n −b0 2

b1 = bo b1 − b1 m = b1 (1 − m) = b1 = b1 = como b0 = 1 se obtiene que

b1 = −

n 2

Luego µ ¶ µ ¶ r r−1 X X n−v n−v v−1 r−1 br = bv m Sr−v (m) = br m + bv mv−1 Sr−v (m). r − v r − v v=0 v=0

14

´ DE LA ECUACION ´ FUNCIONAL DE LEHMER. 2. UNICIDAD DE LA SOLUCION

15

Por lo tanto (2.5)

(m

r−1

µ ¶ r−1 X n−v − 1)br = − bv mv−1 Sr−v (m). r − v v=0

Como m > 1 y r > 1 se obtiene que µ ¶ r−1 X n−v bv mv−1 Sr−v (m). br = − r−1 r−v m − 1 v=0 1

En general si se han determinado los valores b1 , b2 , . . . , br−1 , la f´ormula (2.5) sirve para determinar br . Esto demuestra la existencia del polinomio.

¤

2. Unicidad de la soluci´ on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer. Lema 2.2 (Unicidad). Sea n un n´ umero entero positivo entonces existe un u ´nico polinomio m´ onico de grado n que satisface la ecuaci´ on funcional de Lehmer (2.6)

¶ m−1 µ k 1 X f x+ = m−n f (mx) m k=0 m

(m > 1).

´ n. Sean Pn y Qn dos polinomios m´onicos diferentes de grado n que satisDemostracio facen la ecuaci´on (2.6). Sup´ongase que Pn (x) − Qn (x) = 4d (x) = A0 xd + A1 xd−1 + · · · (2.7)

=

d X

Aj xd−j ,

j=0

donde d < n y A0 6= 0. Sustituyendo en (2.6) se tiene (2.8)

µ ¶ m−1 1 X k 4d x + = m−n 4d (mx). m k=0 m

´ DE LA ECUACION ´ FUNCIONAL DE LEHMER. 2. UNICIDAD DE LA SOLUCION

16

Se estudiar´a el lado izquierdo de la ecuaci´on (2.8) para buscar el coeficiente de xd . µ µ ¶ ¶d−j m−1 m−1 d k 1 X k 1 XX 4d x + = Aj x + m k=0 m m k=0 j=0 m " µ # ¶d µ ¶d−1 m−1 1 X k k = A0 x + + A1 x + + · · · + Ad m k=0 m m # " ¶ µ ¶d−1−w ¶d−w m−1 d µ ¶µ d−1 µ X X 1 X d k d − 1 k = A0 xw + A1 xw + · · · + Ad . w w m k=0 m m w=0 w=0 Tomando el primer t´ermino de la igualdad (2.9) y desarrollando queda que # "µ ¶ ¶d−w µ ¶ µ ¶d−1 µ ¶µ ¶ d µ ¶µ d X d k d k d k k w d−1 d A0 x = A0 + x + ··· + x +x w m m 1 m d−1 m w=0 Por otro lado si se reemplaza 4d (x) por su representaci´on dada en (2.7) se tiene que m−n 4d (mx) = m−n [A0 (mx)d + A1 (mx)d−1 + . . . + Ad ] = md−n A0 xd + md−1−n A1 xd−1 + . . . + Ad . Identificando los coeficientes de xd en ambos lados se obtiene A0 = md−n A0 Como d < n y m > 1 entonces md−n 6= 0, por lo tanto A0 = 0 lo cual contradice la hip´otesis. Por lo tanto existe un u ´nico polinomio m´onico que satisface la ecuaci´on de Lehmer (2.1) ¤

CAP´ıTULO 3

Polinomios de Bernoulli y ecuaci´ on funcional de Lehmer. Teorema 3.1. La sucesi´ on de soluciones de la ecuaci´ on funcional de Lehmer es la sucesi´ on de polinomios de Bernoulli. ´ n. Por el resultado de Raabe (ver Observaci´on 1.9) se tiene que los poliDemostracio nomios de Bernoulli son soluciones de la ecuaci´on funcional de Lehmer. Por lo probado en el Cap´ıtulo 2 la soluci´on es u ´nica, por lo tanto tienen que coincidir.

¤

Por esta raz´on en su art´ıculo Lehmer define los polinomios de Bernoullli como la soluci´on de la ecuaci´on funcional (2.1). A continuaci´on, a partir de la ecuaci´on funcional de Lehmer, se probar´a que esta sucesi´on {Bn } es una sucesi´on de Appell, se dar´a la expresi´on de Lucas usando c´alculo umbral, se hallar´a la f´ormula de Bernoulli mediante sumas de potencias, se obtendr´a la f´ormula de H¨ urwitz mediante series de Fourier y finalmente se demostrar´a la f´ormula de Euler por medio de la funci´on generatriz. Se usar´a Bn para indicar el polinomio de Bernoulli de grado n. 1. Sucesiones de Appell ´ n 3.2. Sea {fn } una sucesi´on de funciones se dice que {fn } es una sucesi´ Definicio on de Appell si fn−1 (x) =

1 d fn (x) n dx

para todo n ≥ 1. En esta secci´on se ver´a que la familia de polinomios que es soluci´on de la ecuaci´on funcional (2.1) tambi´en es una sucesi´on de Appell. Teorema 3.3. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer, entonces {Bn }∞ n=0 es una sucesi´ on de Appell, es decir, verifica Bn−1 (x) =

1 d Bn (x), n dx 17

para n = 1, 2, . . .

´ 2. CALCULO UMBRAL

18

´ n. Dado un n´ Demostracio umero entero positivo n sea Bn el u ´nico polinomio m´onico de grado n que satisface la ecuaci´on funcional de Lehmer. Si se deriva a ambos lados de la ecuaci´on funcional de Lehmer (ver ecuaci´on 2.1) se obtiene que µ ¶ m−1 k 1 X 0 0 Bn x + = m−n+1 Bn (mx). m k=0 m

(3.1) Multiplicando por

1 n

en ambos lados de la ecuaci´on (3.1) se tiene que µ ¶¶ µ ¶ m−1 µ k 1 X 1 0 1 0 −n+1 =m B x+ B (mx) . m k=0 n n m n n

Por otro lado para el polinomio de grado n − 1 que es soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer se tiene que ¶ µ m−1 1 X k = m−n+1 Bn−1 (mx). Bn−1 x + m k=0 m Como

1 0 B (x) n n

y Bn−1 satisfacen la ecuaci´on (2.1) por la unicidad (ver Lema 2.2) se tiene

que Bn−1 =

1 0 B . n n ¤

2. C´ alculo umbral A continuaci´on veremos la relaci´on entre el c´alculo umbral y la ecuaci´on (2.1). Teorema 3.4. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer, entonces ¶ µ n X n Bn (x) = bn−k xk , k k=0 donde bn = Bn (0), es el n-´esimo n´ umero de Bernoulli. ´ n. Por el Teorema 3.3 se tiene que {Bn } es una sucesi´on de Appell, es Demostracio decir verifica Bn−1 (x) = Derivando k-veces se obtiene

µ

d dx

¶k

1 d Bn (x) n dx

µ ¶ n Bn (x) = k! Bn−k (x). k

´ 3. FORMULA DE BERNOULLI

19

Considerando la expansi´on de Maclaurin de Bn (x) µ ¶k n X xk d Bn (x) = Bn (0) k! dx k=0 µ ¶ n X k n = x Bn−k (0) k k=0 µ ¶ n X k n = x bn−k . k k=0 lo cual demuestra el teorema.

¤

Se ha demostrado que las definiciones dadas por Lehmer y Lucas (ver Observaci´on 1.6) son equivalentes. 3. F´ ormula de Bernoulli En esta secci´on se ver´a que la definici´on dada por Lehmer es equivalente a la dada por Bernoulli mediante sumas de potencias. Teorema 3.5. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer, entonces Bn (x + 1) − Bn (x) = n xn−1 . ´ n. Se har´a por inducci´on. Demostracio Se ver´a que es cierto para n = 1. Por el Teorema 3.4 se tiene que B1 (x) = b1 + b0 x. Luego B1 (x + 1) − B1 (x) = b1 + b0 (x + 1) − b1 − b0 x = b0 x + b0 − b0 x = B0 (0) = 1. Sup´ongase que el resultado es cierto para n = k, esto es, Bk (x + 1) − Bk (x) = kxk−1 .

´ 3. FORMULA DE BERNOULLI

Integrando se consigue Z

Z

x

x

[Bk (t + 1) − Bk (t)] dt = 0

20

ktk−1 dt.

0

Por lo tanto Z

Z

x

(3.2)

x

Bk (t + 1)dt − 0

Bk (t)dt = xk .

0

Por otro lado, por el Teorema 3.3, Z x Z (3.3) (k + 1) Bk (t)dt = 0

x 0

0 Bk+1 (t)dt = Bk+1 (x) − Bk+1 (0).

De (3.3) y (3.2) se sigue que 1 [Bk+1 (x + 1) − Bk+1 (0) − Bk+1 (x) + Bk+1 (0)] = xk . k+1 De donde 1 [Bk+1 (x + 1) − Bk+1 (x)] = xk . (k + 1) Por lo tanto el resultado es cierto para n = k + 1. Esto demuestra el teorema.

¤

Corolario 3.6. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer entonces m−1 X k=0

k n−1 =

1 (Bn (m) − Bn (0)) n

´ n. Del teorema anterior se sigue que si Bn es soluci´on de la ecuaci´on Demostracio funcional de Lehmer entonces Bn (k + 1) − Bn (k) = n k n−1 . Por lo tanto m−1 X k=0

k n−1 =

m−1 1X 1 Bn (k + 1) − Bn (k) = (Bn (m) − Bn (0)). n k=0 n

¤ La f´ormula que aparece en este corolario es la f´ormula probada originalmente por Bernoulli (ver Observaci´on 1.4).

4. SERIES DE FOURIER

21

4. Series de Fourier En esta secci´on se ver´a que la definici´on de los polinomios de Bernoulli dada por Euler mediante series de Fourier es equivalente a la definici´on dada por Lehmer. Pero antes se dar´an algunos resultados que se usar´an en la demostraci´on. ´ n 3.7. Sea f : [−π, π] → R dada por Proposicio f (t) =

t . 2π

Entonces f (t) =

∞ X (−1)n−1 n=1

nπ

sen(nt).

´ n. La funci´on f es continua e integrable en [−π, π]. A continuaci´on se Demostracio calcular´an los coeficientes de Fourier de f . Para n = 0, 1, 2 . . . an

1 = 2π 2

Z

π

t cos(nt)dt −π

· ¯π 1 1 ¯ − = sen(nt)t −π 2π 2 n · ¯π 1 1 ¯ − = sen(nt)t −π 2π 2 n

1 n

Z

π

¸ sen(nt)dt

−π

¸ ¯π 1 ¯ cos(nt) −π . n2

Entonces ¸ · 1 π π 1 1 an = 2 sen(tπ) − sen(tπ) − 2 cos(tπ) + 2 cos(tπ) = 0. 2π n n n n Para n = 1, 2, 3 . . . bn

1 = 2π 2

Z

π

t sen(nt)dt −π

· ¯π t 1 ¯ + − cos(nt) = −π 2π 2 n · ¯π 1 t ¯ + = − cos(nt) −π 2π 2 n

1 n

Z

¸

π

cos(nt)dt −π

¸ ¯π 1 sen(nt)¯−π . n2

4. SERIES DE FOURIER

22

Entonces bn

· µ µ ¶ ¶ ¸ 1 π −π π π = − cos(nπ) − − cos(n(−π)) + 2 sen(nπ) − 2 sen(n(−π)) 2π 2 n n n n · ¸ 1 2π = − cos(nπ) 2 2π n (−1)n−1 = . nπ

Como f es continua, por el Teorema 1.15 nos dice que ∞ X f (t) = a0 + (an cos(nt) + bn sen(nt)). n=1

De donde f (t) =

∞ X (−1)n−1 n=1

nπ

sen(nt). ¤

´ n 3.8. Si 0 < x < 1, entonces Proposicio ∞

∞

1 −1 X sen(2πnx) −1 X 1 2πirx x− = = e . 2 π n=1 n 2πi r6=0 r ´ n. Sea x ∈ (0, 1). Tomando Demostracio µ ¶ 1 t = 2π x − . 2 Entonces t ∈ [−π, π]. Por la Proposici´on 3.7 se tiene que ∞

∞

X (−1)n−1 1 t −1 X sen(2πnx) x− = = sen nt = . 2 2π nπ π n=1 n n=1 Como e2πirx = cos(2πrx) + i sen(2πrx) = cos(2π(−r)x) − i sen(2π(−r)x), se obtiene la u ´ltima igualdad del enunciado de la proposici´on.

¤

El siguiente teorema demostrar´a que la definici´on de los polinomios de Bernoulli dada por Euler es equivalente a la dada por Lehmer (ver Observaci´on 1.8).

4. SERIES DE FOURIER

Teorema 3.9. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer, entonces −n! X e2πirx Bn (x) = (2πi)n r6=0 rn para 0 < x < 1. ´ n. Sea Demostracio

−n! X e2πirx , (2πi)n r6=0 rn

Qn (x) = entonces Qn−1 (x) =

−(n − 1)! X e2πirx , (2πi)n−1 r6=0 rn−1

Derivando Qn se tiene que d −n!2πir X e2πirx Qn (x) = dx (2πi)n r6=0 rn −n! X e2πirx = . (2πi)n−1 r6=0 rn−1 ahora multiplicando por

1 n

se obtiene que 1 d −(n − 1)! X e2πirx Qn (x) = . n dx (2πi)n−1 r6=0 rn−1

Por lo tanto 1 d Qn (x) = Qn−1 (x) n dx Derivando n veces se tiene que 1 dn−1 1 Qn (x) = Q1 (x) = x − . n−1 n! dx 2 Por lo tanto Qn es un polinomio m´onico de grado n. Ahora se ver´a que los polinomios Qn satisfacen la ecuaci´on funcional de Lehmer. µ ¶ m−1 m−1 X −n! X e2πir(x+ mk ) 1 X k Qn x + = m k=0 m m(2πi)n r6=0 rn k=0 =

m−1 X k=0

=

k −n! X e2πirx e2πir m m(2πi)n r6=0 rn

m−1 −n! X e2πirx X 2πirk/m e m(2πi)n r6=0 rn k=0

23

´ GENERATRIZ 5. FUNCION

24

Para r ∈ Z, r 6= 0, se analizar´a la siguiente suma m−1 X

e2πirk/m .

k=0

Caso 1: (r no es m´ ultiplo de m). Para todo h se tiene que r 6= mh y la suma geom´etrica. Sea w = e2πirk/m y Sm = 1 + w + · · · + wm−1 entonces Sm =

wm − 1 e2πirk − 1 1−1 = 2πirk/m = 2πirk/m = 0. w−1 e −1 e −1

Caso 2: (r es m´ ultiplo de m). Es decir r = mh para un entero h. Se sigue que m−1 X

2πimhk/m

e

=

k=0

m−1 X

2πihk

e

=

k=0

m−1 X

1 = m.

k=0

Por lo tanto si r = mh, se tiene que µ ¶ m−1 1 X k −n! X 1 Qn x + = e2πihmx m n n m k=0 m m(2πi) h6=0 (mh) = m−n

−n! X e2πihmx (2πi)n h6=0 (h)n

= m−n Qn (mx). De donde Qn es una soluci´on de la ecuaci´on funcional de Lehmer. Por la unicidad del Lema (2.2) Qn (x) = Bn (x). ¤ 5. Funci´ on generatriz Usando la funci´on generatriz se probar´a la expresi´on de Euler para los polinomios de Bernoulli (ver Observaci´on 1.5). Teorema 3.10. Si Bn es soluci´on de la ecuaci´ on funcional de Lehmer, entonces ∞ X Bn (x)tn n=0

n!

=

text . (et − 1)

´ GENERATRIZ 5. FUNCION

25

´ n. Sea F la funci´on dada por Demostracio (3.4)

text . (et − 1)

F (x, t) =

F es infinitamente diferenciable como funci´on de la segunda variable, por lo tanto existen funciones Ψn tales que (3.5)

F (x, t) =

∞ X Ψn (x)tn n=0

n!

.

Sup´ongase que (n)

(n)

Ψn (x) = A0 xn + A1 xn−1 + · · · + A(n) n . De (3.4) y (3.5) se obtiene µ (3.6)

F

1 , ty y

¶

1

∞

X Ψn ( y )t tyet = ty = yn , (e − 1) n=o n! n

Por un lado µ l´ım F

y→0

1 , ty y

¶

tyet = et . y→0 (ety − 1)

= l´ım

Por otro lado se tiene que l´ım y

n Ψn (1/y)t

n!

y→0

n

·

¸

tn y→0 n! n n (n) (n) (n) t n t = l´ım [A0 + A1 y + · · · + A(n) y ] = A , 0 n y→0 n! n! = l´ım y

n

(n) 1 A0 n y

+

(n) 1 A1 n−1 y

+ ··· +

A(n) n

Por lo tanto l´ım

y→0

∞ X n=0

∞

yn

∞

Ψn (1/y)tn X Ψn (1/y)tn X (n) tn = l´ım y n = A0 . y→0 n! n! n! n=0 n=0

En consecuencia ∞ X n=0 (n)

(n) t A0

n

n!

t

=e =

∞ X tn n=0

n!

De donde A0 = 1. Luego Ψn es un polinomio m´onico.

.

´ GENERATRIZ 5. FUNCION

26

De la ecuaci´on (3.4) se sigue que µ ¶ k m−1 m−1 1 X k 1 X te(x+ m )t = F x + ,t m k=0 m m k=0 et − 1 m−1 X k t = e(x+ m )t t m(e − 1) k=0 m−1 X k text = e( m )t t m(e − 1) k=0 µ t ¶ text e −1 = m(et − 1) e mt − 1 ( mt )ext = . t (e m − 1)

(3.7)

Por otro lado de la ecuaci´on (3.5) se tiene que µ ¶ µ ¶ ∞ X k k tn F x + ,t = Ψn x + . m m n! n=0 Luego

(3.8)

µ µ ¶ m−1 m−1 ∞ 1 X k 1 XX Ψn x + F x + ,t = m k=0 m m k=0 n=0 µ m−1 ∞ X 1 X Ψn x + = m n=0 k=0

k m k m

¶

¶

tn n! tn . n!

De (3.4) y (3.5) se obtiene µ ¶ X ∞ ( mt )ext t 1 tn (3.9) F mx, = Ψ (mx) = . n t m mn n! (e m − 1) n=o Identificando los coeficientes de

tn n!

en (3.8) y (3.9) se concluye que Ψn satisface la ecuaci´on

funcional µ ¶ m−1 1 X k = m−n Ψn (mx). Ψn x + m k=0 m Como Ψn es m´onico se concluye por el Lema 2 que Ψn (x) = Bn (x).

¤

Bibliograf´ıa [1] Abramowitz, M., Stegun, I.“Handbook of Mathematical Functions” National Bureau of Standars, Applied Math. Ser. 55, 804 - 819, Washington, 1964. [2] Apostol, T.“An Elementary View of Euler’s Summation Formula”, The American Mathematical Monthly, volumen 106, n´ umero 5, p´aginas 409—418 (Mayo 1999). 3 [3] Bachman, G. y Narici, L. Functional analysis. Academic Press. 1966 [4] Bruzual R. y Dom´ınguez M. Series de Fourier. IV TForma, Universidad de Oriente, Julio, 2003. 8 [5] Churchill R y Brown J. “Variable compleja y sus aplicaciones”. Mc Graw Hill, 1992. [6] Haberman, R.,“Ecuaciones en derivadas parciales con series de fourier”. Editorial Pearson Educaci´on. Tercera edici´on, Madrid, 2003. 8 [7] Rademacher, H.,“Topics in analitic number theory”. Editorial Berl´ın, 1973. [8] Kolmogorov, A. y Fomin, S. Elementos de la teor´ıa de funciones y de an´ alisis funcional. MIR, 1975. [9] Lehmer, D.H. “A new approach to Bernoulli polynomials”, The American Mathematical Monthly, 905 - 911, 1988. 1, 2, 5 [10] Lopez, G. “Notas matem´ aticas”. Numero 211, M´erida, 2000. [11] Lopez, G. “Notas matem´ aticas”. Numero 212, M´erida, 2000. [12] Lopez, G. “Notas matem´ aticas”. Numero 213, M´erida, 2000. [13] Royden, H. L. Real analysis. Collier Macmillan, 1968. [14] Rudin, W. Real and complex analysis. Mc Graw-Hill, 1966. [15] Spivak, M.“C´alculo infinitesimal”, Vol. 1, 576 - 579, 1988. [16] Weisstein, E W. Bernoulli Polynomial. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliPolynomial.html. [17] Weisstein, E W.Umbral Calculus. http://mathworld.wolfram.com/UmbralCalculus.html. 9

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