Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Ejemplo 1: Prueba de raíz unitaria de Dickey y Fuller

Este ejemplo utiliza información del archivo erate1.wf1. Sea LO el logaritmo de la tasa de cambio oficial peso-dólar en Colombia para el período 1970:1 a 1991:11 con una frecuencia mensual.

Tasa de cambio

Diferencia de la tasa de cambio

7.0

0.06

6.5

0.05

6.0

0.04

5.5 0.03

5.0 0.02

4.5

0.01

4.0

0.00

3.5

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

DLO

LO

Función de autocorrelación del logaritmo de la tasa de cambio en niveles y primeras diferencias 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 2

4

6

8

10

12 LO

14

16

18

20

22

24

DLO

1

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Para efectuar la prueba ADF seleccionamos p Max = 12 aunque los rezagos 2 a 12 no son estadísticamente significativos por lo que el modelo escogido únicamente incluye un rezago de la variable dependiente.

Prueba Aumentada de Dickey y Fuller (Modelo con intercepto y tendencia) Dependent Variable: DLO Sample(adjusted): 1970:03 1991:11, 261 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.002042 0.001833 1.113679 T 1.81E-05 1.07E-05 1.696677 LO(-1) -0.000579 0.000733 -0.789413 DLO(-1) 0.863409 0.031589 27.33271 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(12) F Test ADF Test -0.789413 H0 :γ = 0

Prob. 0.2665 0.0910 0.4306 0.0000

0.922785 p.val 5% Critical Value*

0.524668 -3.4283

5% Critical Value*

6.34

5% Critical Value*

4.75

*MacKinnon (1991).

Φ3

H 0 : α1 = γ = 0

4.717332

* Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones.

Φ2

H 0 : α 0 = α 1 = γ = 0 5.939307

* Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

2

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Prueba Aumentada de Dickey y Fuller (Modelo con intercepto) Dependent Variable: DLO Sample(adjusted): 1970:03 1991:11, 261 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C -0.000758 0.000801 -0.946517 LO(-1) 0.000600 0.000235 2.551187 DLO(-1) 0.873904 0.031090 28.10901 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(12) F Test: ADF Test

H0 :γ = 0

2.551187

H0 :α0 = γ = 0

7.415605

0.907279

Prob. 0.3448 0.0113 0.0000 p.val

5% Critical Value*

0.540260 -2.8727

*MacKinnon (1991).

Φ1

5% Critical Value*

4.63

* Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

CONCLUSION: LO es I(1) con deriva

3

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Ejemplo 2: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración es conocido

En este ejemplo se utiliza el archivo us_rates.wf1, que contiene información trimestral para el período 1960:1 a 1995:4 de las tasas de interés a corto (3 meses) y largo plazo (mas de 10 años) en los Estados Unidos. La teoría de la estructura de las tasas de interés indica que la diferencia o spread entre la tasa de largo plazo y la tasa de corto plazo debe ser estacionario, pues de otra forma se presentarían oportunidades de ganancias extraordinarias. Es decir, en el largo el diferencial entre las dos tasa debe ser relativamente constante, o por lo menos debe fluctuar alrededor de un determinado nivel. Tasas de interés 16 14 12 10 8 6 4 2 60

65

70

75

80 R3

85

90

95

RL

Diferencial de tasas de interés 6

4

2

0

-2

-4 60

65

70

75

80

85

90

95

SPREAD

4

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Función de autocorrelación de las series de tasas de interés 1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4 0.4 0.2 0.2

0.0

0.0

-0.2 -0.4

-0.2 1

2

3

4

5

6 R3

7

8

9

10 11 12

1

2

3

4

5

DR3

6 RL

7

8

9

10 11 12

DRL

Función de autocorrelación del diferencial de tasas de interés 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

SPREAD

5

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Pruebas de Raíz Unitaria sobre las series R3 y RL Dependent Variable: DR3 Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.394016 0.169399 2.325966 T 0.000311 0.001392 0.223454 R3(-1) -0.069102 0.024825 -2.783581 DR3(-1) 0.390297 0.078898 4.946842 DR3(-2) -0.409847 0.082876 -4.945304 DR3(-3) 0.418391 0.084856 4.930622 DR3(-4) -0.168250 0.082241 -2.045817 DR3(-5) 0.282749 0.079082 3.575404

Prob. 0.0214 0.8235 0.0061 0.0000 0.0000 0.0000 0.0426 0.0005

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test: 1.302885 p.val ADF Test H0 :γ = 0 -2.783581 5% Critical Value* *MacKinnon (1991). 4.080839 5% Critical Value* Φ3 H 0 : α1 = γ = 0 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. 2.721680 5% Critical Value* Φ2 H 0 : α 0 = α1 = γ = 0 * Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones. Dependent Variable: DR3 Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.409664 0.153747 2.664530 R3(-1) -0.067435 0.023600 -2.857362 DR3(-1) 0.388757 0.078342 4.962285 DR3(-2) -0.411065 0.082429 -4.986926 DR3(-3) 0.416526 0.084171 4.948578 DR3(-4) -0.169428 0.081806 -2.071102 DR3(-5) 0.280856 0.078372 3.583625 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

1.288493

0.271859 -3.4396 6.34 4.75

Prob. 0.0086 0.0049 0.0000 0.0000 0.0000 0.0401 0.0005 p.val

-2.857362 5% Critical Value* ADF Test H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). 4.083949 5% Critical Value* Φ1 H0 :α0 = γ = 0 *Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

0.277345 -2.8802 4.63

CONCLUSION: R3 es I(1) sin deriva

6

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Dependent Variable: DRL Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.167370 0.110763 1.511065 T -0.000697 0.000986 -0.707084 RL(-1) -0.014021 0.018231 -0.769044 DRL(-1) 0.243679 0.081825 2.978034 DRL(-2) -0.042026 0.084214 -0.499037 DRL(-3) 0.114329 0.084116 1.359187 DRL(-4) -0.011158 0.084425 -0.132160 DRL(-5) -0.171814 0.082645 -2.078954 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

0.307083

Prob. 0.1329 0.4806 0.4431 0.0034 0.6185 0.1762 0.8950 0.0394 p.val

-0.707084 5% Critical Value* ADF Test H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). 1.370962 5% Critical Value* Φ3 H 0 : α1 = γ = 0 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. 5% Critical Value* Φ2 H 0 : α 0 = α 1 = γ = 0 0.932376 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones. Dependent Variable: DRL Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.165717 0.110550 1.499020 RL(-1) -0.021787 0.014526 -1.499869 DRL(-1) 0.252549 0.080721 3.128680 DRL(-2) -0.034624 0.083419 -0.415064 DRL(-3) 0.123146 0.083045 1.482884 DRL(-4) -0.003485 0.083582 -0.041690 DRL(-5) -0.162115 0.081359 -1.992574 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

0.295350

0.872864 -3.4396 6.34 4.75

Prob. 0.1360 0.1358 0.0021 0.6787 0.1402 0.9668 0.0482 p.val

-1.499869 5% Critical Value* ADF Test H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). 1.152500 5% Critical Value* Φ1 H0 :α0 = γ = 0 *Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

0.880605 -2.8802 4.63

CONCLUSION: RL es I(1) sin deriva

7

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Dependent Variable: DSPREAD Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.163243 0.066131 2.468470 SPREAD(-1) -0.134698 0.038280 -3.518781 DSPREAD(-1) 0.302477 0.080141 3.774311 DSPREAD(-2) -0.270036 0.081796 -3.301334 DSPREAD(-3) 0.263063 0.083988 3.132148 DSPREAD(-4) -0.094134 0.079880 -1.178433 DSPREAD(-5) 0.265657 0.079037 3.361173 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

ADF Test Statistic

0.811699

Prob. 0.0147 0.0006 0.0002 0.0012 0.0021 0.2405 0.0010 p.val

-3.518781

1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

0.519647

-3.4738 -2.8802 -2.5766

CONCLUSION: La hipótesis nula de la presencia de una raíz unitaria se rechaza, lo que indica que el diferencial entre las dos tasas de interés es estacionario. Es decir las dos series están cointegradas con vector (1,−1)' .

8

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Ejemplo 3: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración NO es conocido

En este ejemplo se utiliza el archivo coffee.wf1, que contiene información trimestral para el período 1963:1 a 1998:2 de las series de precios del café Colombiano (COL) y de la variedad de Otros Suaves (OM) en el mercado de Nueva York. Las dos series están en logaritmos. Como estas dos variedades de café pueden ser consideradas como sustitutas, estamos interesados en investigar si los precios de estas dos variedades mantienen una relación de equilibrio de largo plazo, de forma tal que los desequilibrios de corto plazo desaparecen en el tiempo.

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

3.5 65

70

75

80 LCOL

1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.0

0.0

-0.2

-0.2

-0.4

85

90

95

LOM

-0.4 1

2

3

4

5

6

COL

7

8

9

DCOL

10 11 12

1

2

3

4

5

6 OM

7

8

9

10 11 12

DOM

9

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Residuos de la ecuación de cointegración

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0

0.0

-0.1

-0.1

-0.2

-0.2

-0.3 65

70

75

80

85

90

95

65

70

75

LCOL Residuals

0.8

80

85

90

95

LOM Residuals

0.8

0.6

0.6

0.4 0.4 0.2 0.2

0.0

0.0

-0.2 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

LCOL residuals

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

LOM residuals

10

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Dependent Variable: DLCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.230706 0.102414 2.252686 T 0.000385 0.000349 1.102107 LCOL(-1) -0.055900 0.026199 -2.133644 DLCOL(-1) 0.387277 0.083922 4.614719 DLCOL(-2) -0.288190 0.087868 -3.279811 DLCOL(-3) 0.322602 0.086542 3.727702 DLCOL(-4) -0.171226 0.086683 -1.975316 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

1.680104

Prob. 0.0259 0.2724 0.0347 0.0000 0.0013 0.0003 0.0503 p.val

ADF Test -2.133644 5% Critical Value* H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). Φ3 2.392271 5% Critical Value* H 0 : α1 = γ = 0 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 1.781207 5% Critical Value* H 0 : α1 = γ = 0 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones. Dependent Variable: DLCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.172838 0.087999 1.964091 LCOL(-1) -0.036215 0.019182 -1.887930 DLCOL(-1) 0.379779 0.083712 4.536740 DLCOL(-2) -0.302425 0.086982 -3.476859 DLCOL(-3) 0.315664 0.086380 3.654339 DLCOL(-4) -0.183685 0.086010 -2.135620 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

1.884466

0.158394 -3.4419 6.34 4.75

Prob. 0.0516 0.0612 0.0000 0.0007 0.0004 0.0345 p.val

ADF Test -1.887930 5% Critical Value* H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). Φ1 2.061238 5% Critical Value* H0 :α0 = γ = 0 *Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

0.116862 -2.8818 4.63

11

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Dependent Variable: DLOM Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.255180 0.107232 2.379713 T 0.000469 0.000381 1.231976 LOM(-1) -0.063997 0.028235 -2.266542 DLOM(-1) 0.392579 0.084162 4.664577 DLOM(-2) -0.228349 0.089680 -2.546263 DLOM(-3) 0.247044 0.088459 2.792744 DLOM(-4) -0.159291 0.086565 -1.840127 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

2.110043

Prob. 0.0187 0.2201 0.0250 0.0000 0.0120 0.0060 0.0679 p.val

ADF Test -2.266542 5% Critical Value* H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). Φ3 2.682571 5% Critical Value* H 0 : α1 = γ = 0 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 5% Critical Value* H 0 : α 0 = α 1 = γ = 0 1.962719 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

0.083129 -3.4419 6.34 4.75

Dependent Variable: DLOM Sample: 1963:1 1998:2 Included observations: 142 Variable C LOM(-1) DLOM(-1) DLOM(-2) DLOM(-3) DLOM(-4)

Coefficient Std. Error 0.186005 -0.039821 0.383339 -0.244866 0.238044 -0.174907

t-Statistic

Prob.

0.091529 2.032196 0.020340 -1.957750 0.083986 4.564304 0.088841 -2.756227 0.088325 2.695099 0.085795 -2.038665

0.0441 0.0523 0.0000 0.0066 0.0079 0.0434

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

2.415452

p.val

ADF Test -1.957750 5% Critical Value* H0 :γ = 0 *MacKinnon (1991). Φ1 2.176907 5% Critical Value* H0 :α0 = γ = 0 *Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

0.051960 -2.8818 4.63

12

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

PRUEBA DE COINTEGRACION

1 Etapa: ECUACION DE COINTEGRACION

(Normalizando en LCOL) Dependent Variable: LCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones Variable Coefficient Std. Error C 0.185711 0.038824 LOM 0.978268 0.008565 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.989383 0.989307 0.058355 0.476737 202.9706 0.652722

t-Statistic 4.783458 114.2219

Prob. 0.0000 0.0000

Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

4.584798 0.564329 -2.83057 -2.78894 13046.63 0.000000

2 Etapa: PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRESCOL Sample(adjusted): 1963:2 1998:2, 141 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 4.24E-05 0.003645 0.011618 RESCOL(-1) -0.326328 0.062694 -5.205051 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

0.710435

Prob. 0.9907 0.0000 p.val

0.586156

13

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

1 Etapa: ECUACION DE COINTEGRACION

(Normalizando en LOM) Dependent Variable: LOM Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C -0.140079 0.040900 -3.424950 LCOL 1.011362 0.008854 114.2219 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.989383 0.989307 0.059333 0.492864 200.6084 0.657980

Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0.0008 0.0000 4.496812 0.573795 -2.79730 -2.75567 13046.63 0.000000

2 Etapa: PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRESLOM Sample(adjusted): 1963:2 1998:2, 141 observaciones Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 4.69E-05 0.003718 0.012617 RESLOM(-1) -0.329085 0.062887 -5.232931 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test:

0.834670

Prob. 0.9900 0.0000 p.val

0.505398

14

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

Ejemplo 4: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración NO es conocido

En este ejemplo se estima una función de demanda por dinero para Estados Unidos utilizando información trimestral del archivo us_mdemand.wf1. Las series utilizadas son M2 (M2), PIB (Y), IPC (P) y tasa de interés a tres meses (R), y cubren el período 1959:1 hasta 1987:4. Todas las series, excepto la tasa de interés, se consideran en logaritmos.

Análisis preliminar de las series indica: ♦ M 2, Y , P ~ I (1) con deriva. ♦ R ~ I (1) sin deriva 8.0

7.2 7.0

7.5

6.8 7.0 6.6 6.5 6.4 6.0

6.2 6.0

5.5 60

65

70

75

80

85

60

65

70

LM2

75

80

85

80

85

LY87

0.4

0.16 0.14

0.0 0.12 -0.4

0.10 0.08

-0.8

0.06 -1.2 0.04 0.02

-1.6 60

65

70

75

80

85

LP87

60

65

70

75 R3

Las series no han sido ajustadas estacionalmente.

15

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

ECUACION DE COINTEGRACION

Dependent Variable: LM2 Sample: 1959:1 1987:4 Included observations: 116 Variable

Coefficient Std. Error

t-Statistic

Prob.

C LY87 LP87 R3 Q1 Q2 Q3

0.238539 1.098189 0.974280 -1.178484 0.075808 0.027186 0.038600

0.116701 2.044026 0.016575 66.25694 0.009001 108.2367 0.086442 -13.63317 0.005111 14.83315 0.004984 5.454567 0.005002 7.716253

0.0434 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.999319 0.999281 0.018874 0.038827 299.5320 0.853537

Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

6.751865 0.703896 -5.04366 -4.87749 26641.39 0.000000

PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRES Sample(adjusted): 1960:4 1987:4 Included observations: 109 after adjusting endpoints Variable

Coefficient Std. Error

C RES(-1) DRES(-1) DRES(-2) DRES(-3) DRES(-4) DRES(-5) DRES(-6)

0.000592 -0.355761 -0.117389 -0.078701 -0.098111 0.295749 0.026334 0.194570

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.413125 0.372451 0.013333 0.017955 320.0967 1.910775

t-Statistic

Prob.

0.461380 -3.611948 -0.996592 -0.678543 -0.844439 2.710069 0.255016 2.060149

0.6455 0.0005 0.3213 0.4990 0.4004 0.0079 0.7992 0.0420

Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

0.000180 0.016831 -5.72655 -5.52902 10.15686 0.000000

0.001282 0.098496 0.117791 0.115985 0.116184 0.109130 0.103265 0.094445

16

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

ECUACION DE COINTEGRACION

(Bajo los supuestos de homogeneidad en precios e ingreso)

Dependent Variable: LV2 = LM2 - LP87 - LY87 Sample: 1959:1 1987:4 Included observations: 116 Variable

t-Statistic

Prob.

0.006085 148.0422 0.071127 -12.76203 0.005869 11.57775 0.005870 4.102015 0.005869 5.868277 Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.876252 0.042376 -4.72193 -4.60324 75.61509 0.000000

Dependent Variable: DRES Sample(adjusted): 1960:2 1987:4 Included observations: 111 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic

Prob.

C R3 Q1 Q2 Q3 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

C RES(-1) DRES(-1) DRES(-2) DRES(-3) DRES(-4) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient Std. Error 0.900849 -0.907728 0.067953 0.024081 0.034442 0.731534 0.721860 0.022349 0.055442 278.8719 0.501077

0.000838 -0.230434 -0.128996 -0.011200 -0.186260 0.289957 0.361186 0.330767 0.012602 0.016676 331.0820 1.984401

0.001207 0.694401 0.066808 -3.449193 0.101012 -1.277036 0.096926 -0.115553 0.092641 -2.010558 0.089477 3.240590 Mean dependent var S.D. dependent var AIC SBC F-statistic Prob(F-statistic)

0.4890 0.0008 0.2044 0.9082 0.0469 0.0016 0.000502 0.015405 -5.85733 -5.71087 11.87344 0.000000

17