Die multiple lineare Regression mit Individualdaten

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 - 1 Die multiple lineare Regression mit Individualdaten Anhand der vorlieg...
Author: Anke Bayer
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1

Die multiple lineare Regression mit Individualdaten Anhand der vorliegenden Individualdaten des ALLBUS 94 soll das folgende Kausalmodell zur Erklärung von Ausländerfeindlichkeit getestet werden. Aus der von Adorno u.a. (1950) entwickelten Sozialisationstheorie zum “autoritären Charakter” lässt sich das folgende Hypothesenset ableiten. Je älter der Befragte ist, desto ethnozentristischer ist er. Je stärker sein Ethnozentrismus ausgeprägt ist, desto stärker fällt seine Ausländerfeindlichkeit aus. Da der ALLBUS keine Items zum Ethnozentrismus enthält, können wir nur die äußeren Glieder in Form der Hypothese 1 überprüfen. Die Hypothesen 2a und 2b beruhen auf Forschungsergebnissen zum Wertewandel im Rahmen des Inglehartschen Ansatzes, die zeigen, dass Postmaterialisten liberal und weltoffen sind, während es sich bei den Materialisten zumeist um Konservative mit ausgeprägtem Nationalstolz handelt. 1. 2a. 2b.

Je älter der Befragte ist, desto ausländerfeindlicher äußert er sich. (+) Postmaterialisten sind weniger ausländerfeindlich als die Angehörigen des Mischtyps.(-) Materialisten sind ausländerfeindlicher als die Angehörigen des Mischtyps. (+)

Abbildung1: Kausalmodell zur Erklärung von Ausländerfeindlichkeit

Die Analyse beschränkt sich zunächst auf die Alten Bundesländer im Jahre 1994 und die Fremdgruppe der Ausländer insgesamt, wie sie in der Fragebogenversion B (Split 2) vorgegeben

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2

wurde. Die folgende Darstellung umfasst alle benötigten SPSSfWin-Menüs bzw. Syntaxbefehle, die zugehörigen Ausgabeprotokolle, ihre inhaltliche Interpretation sowie eine graphische Darstellung der Ergebnisse des jeweiligen Regressionsmodells. SPSSfWin-Menüs: 1.Einlesen des SPSS-Datendatei „all94y2k.sav” auf dem Netzverzeichnis „g:\daten\meth4"

2. Auswahl der Substichprobe: Daten - Fälle auswählen - Falls...

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3

Lassen Sie die nichtausgewählten Fälle in der lokalen Arbeitsdatei löschen. Hierdurch erhöht sich die Arbeitsgeschwindigkeit von SPSSfWin beträchtlich. 3.

Durchführung einer Häufigkeitsauszählung: Statistik - Deskriptive Statistik - Häufigkeiten ...

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 SPSSfWin-Syntax:

-

Einlesen der SPSS-Datendatei und Fallauswahl

* Einlesen der ALLBUS 94-Daten vom Laufwerk N:. GET FILE=G:\DATEN\METH4\ALL94Y2K.SAV'. * Fallauswahl: ALTE BUNDESLÄNDER, OUTGROUP: Ausländer. SELECT IF (V4 = 1 AND V3 = 2). * Durchführen der Häufigkeitsauszählung. FREQUENCIES VARIABLES=v109 v110 v111 v112 v113 v114 v115 v116 v122 v123 v247 v78 .

1.

Darstellung der univariaten Verteilungen

SPSSfWin-Listing (Ausgabe von SPSSfWin 6.1.2): 1.1 V109

Items zur Ausländerfeindlichkeit AUSLAENDER: MEHR LEBENSSTILANPASSUNG

Value Label STIMME GAR NICHT ZU

STIMME VOLL ZU TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 5 6 7 0 9

104 109 150 206 206 116 208 74 19 ------1192

8,7 9,1 12,6 17,3 17,3 9,7 17,4 6,2 1,6 ------100,0

9,5 9,9 13,6 18,7 18,7 10,6 18,9 Missing Missing ------100,0

9,5 19,4 33,0 51,8 70,5 81,1 100,0

Valid Percent

Cum Percent

33,9 17,4 11,2 15,7 8,3 5,6 7,9 Missing Missing ------100,0

33,9 51,3 62,5 78,3 86,5 92,1 100,0

Total Valid cases V110

1099

Missing cases

93

AUSLAEND.:WIEDER HEIM BEI KNAPPER ARBEIT

Value Label

Value

STIMME GAR NICHT ZU

STIMME VOLL ZU TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE Valid cases

1099

1 2 3 4 5 6 7 0 9

Frequency

Percent

373 31,3 191 16,0 123 10,3 173 14,5 91 7,6 61 5,1 87 7,3 74 6,2 19 1,6 ------- ------Total 1192 100,0 Missing cases 93

4

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 V111

AUSLAENDER: POLIT.BETAETIGUNG UNTERSAGEN

Value Label STIMME GAR NICHT ZU

STIMME VOLL ZU TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 5 6 7 0 9

277 147 139 168 98 104 163 74 22 ------1192

23,2 12,3 11,7 14,1 8,2 8,7 13,7 6,2 1,8 ------100,0

25,3 13,4 12,7 15,3 8,9 9,5 14,9 Missing Missing ------100,0

25,3 38,7 51,4 66,7 75,6 85,1 100,0

Total Valid cases

V112

1096

Missing cases

STIMME GAR NICHT ZU

STIMME VOLL ZU TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 5 6 7 0 9

557 133 84 132 49 48 95 74 20 ------1192

46,7 11,2 7,0 11,1 4,1 4,0 8,0 6,2 1,7 ------100,0

50,7 12,1 7,7 12,0 4,5 4,4 8,7 Missing Missing ------100,0

50,7 62,8 70,5 82,5 87,0 91,3 100,0

Total Valid cases

V113

96

AUSLAENDER: SOLLTEN UNTER SICH HEIRATEN

Value Label

1.2

-

1098

Missing cases

94

Items zu Kontakten zu Ausländern AUSLAENDER: KONTAKT I.D.EIGENEN FAMILIE?

Value Label JA NEIN TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 0 9

222 871 74 25 ------1192

18,6 73,1 6,2 2,1 ------100,0

20,3 79,7 Missing Missing ------100,0

20,3 100,0

Total Valid cases

1093

Missing cases

99

5

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 V114

-

AUSLAENDER: KONTAKT BEI DER ARBEIT?

Value Label JA NEIN TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 0 9

476 591 74 51 ------1192

39,9 49,6 6,2 4,3 ------100,0

44,6 55,4 Missing Missing ------100,0

44,6 100,0

Total Valid cases

1067

Missing cases

125

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - V115

AUSLAENDER: KONTAKT IN D. NACHBARSCHAFT?

Value Label JA NEIN TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 0 9

411 681 74 26 ------1192

34,5 57,1 6,2 2,2 ------100,0

37,6 62,4 Missing Missing ------100,0

37,6 100,0

Total Valid cases V116

1092

Missing cases

AUSLAENDER: KONTAKT IM FREUNDESKREIS?

Value Label JA NEIN TNZ; SPLIT 1 KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 0 9

525 571 74 22 ------1192

44,0 47,9 6,2 1,8 ------100,0

47,9 52,1 Missing Missing ------100,0

47,9 100,0

Total Valid cases

1.3

100

1096

Missing cases

96

Items zur politischen Orientierung

1.3.1 Inglehart-Werttypologie V122

INGLEHART-INDEX

Value Label POSTMATERIALISTEN PM-MISCHTYP M-MISCHTYP MATERIALISTEN WEISS NICHT KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 8 9

260 326 385 191 12 18 ------1192

21,8 27,3 32,3 16,0 1,0 1,5 ------100,0

22,4 28,1 33,1 16,4 Missing Missing ------100,0

22,4 50,4 83,6 100,0

Total Valid cases

1162

Missing cases

30

6

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 1.3.2 V123

Subjektive Links-Rechts-Selbsteinstufung LINKS-RECHTS-SELBSTEINSTUFUNG, BEFR.

Value Label

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 99

18 28 135 170 358 245 109 72 23 13 21 ------1192

1,5 2,3 11,3 14,3 30,0 20,6 9,1 6,0 1,9 1,1 1,8 ------100,0

1,5 2,4 11,5 14,5 30,6 20,9 9,3 6,1 2,0 1,1 Missing ------100,0

1,5 3,9 15,5 30,0 60,5 81,5 90,8 96,9 98,9 100,0

LINKS

RECHTS KEINE ANGABE

Total Valid cases

1.4 V78

-

1171

Missing cases

21

Subjektive Schichteinstufung SUBJEKTIVE SCHICHTEINSTUFUNG, BEFR.

Value Label UNTERSCHICHT ARBEITERSCHICHT MITTELSCHICHT OBERE MITTELSCHICHT OBERSCHICHT KEINER DER SCHICHTEN EINSTUFUNG ABGELEHNT WEISS NICHT KEINE ANGABE

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

1 2 3 4 5 6 7 8 9

21 345 643 121 6 13 19 18 6 ------1192

1,8 28,9 53,9 10,2 ,5 1,1 1,6 1,5 ,5 ------100,0

1,8 30,0 56,0 10,5 ,5 1,1 Missing Missing Missing ------100,0

1,8 31,9 87,8 98,3 98,9 100,0

Total Valid cases

1149

Missing cases

43

7

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 1. 5

Altersverteilung

SPSSfWin-Menü: Statistik - Tabellen - Einfache Tabellen...

Auswahl des Untermenüs: Statistiken ...

-

8

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 SPSSfWin-Syntax:

-

9

Erstellen der Übersichtstabelle

* Übersichtstabelle für Altersverteilung.. TABLES /BOXCHARS = SYSTEM /FORMAT LIGHT VBOX FRAME SPACE BLANK MARGINS(1,80) LENGTH(1,59) CWIDTH(24,11,24) INDENT(2) MISSING('.') WRAPCHARS(',/-') LLAYER /OBSERVATION v247 /TABLES v247 BY (STATISTICS) /STATISTICS mean((F5.2) 'Mittelwert') median((F5.2)'Median') mode((F5.2) 'Modalwert') stddev( (F5.2) 'Std.abweichung') minimum((F5.2) 'Minimum') maximum( (F5.2) 'Maximum') validn ((F5.0)) . SPSSfWin-Listing: +------------------------+-----------+-----------+-----------+-----------+ | |Mittelwert | Median | Modalwert |Std.abweich| | | | | |ung | +------------------------+-----------+-----------+-----------+-----------+ |ALTER: BEFRAGTE | | | | | | | 45,54 | 44,00 | 27,00 | 16,98 | +------------------------+-----------+-----------+-----------+-----------+ +------------------------+-----------+-----------+-----------+ | | Minimum | Maximum | Valid N | +------------------------+-----------+-----------+-----------+ |ALTER: BEFRAGTE | | | | | | 18,00 | 93,00 | 1191 | +------------------------+-----------+-----------+-----------+

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 2.

Bildung von Indizes

2.1

Summenindex XENOPHOB

-

SPSSfWin-Menü: Transformieren - Berechnen

Über den “Typ und Label”-Schaltknopf können Sie direkt ein Variablenetikett vergeben.

10

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-

11

Der Summenindex “Ausländerfeindlichkeit” wird nur für diejenigen Befragten berechnet, die auf allen vier Items gültige Angaben gemacht haben. Bereits eine fehlende Angabe führt dazu, dass der Summenindex für diesen Fall auf den systeminternen fehlende Wert (‘,’) gesetzt wird.

Über das Untermenü „Grafiken ...” können Sie ein Balkendiagramm oder Histogramm mit der Normalverteilungskurve anfordern.

SPSSfWin-Syntax: COMPUTE xenophob = SUM(v109,v110,v111,v112) . VARIABLE LABELS xenophob ‘Index Ausländerfeindlichkeit’. FREQUENCIES /VARIABLES=xenophob /HISTOGRAM NORMAL.

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-

SPSSfWin-Listing: XENOPHOB

Summenindex Ausländerfeindlichkeit

Value Label

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

überhaupt nicht

4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 20,00 21,00 22,00 23,00 24,00 25,00 26,00 27,00 28,00 ,

47 37 49 59 70 57 80 48 64 70 72 45 79 62 41 55 35 21 22 24 14 12 9 6 21 93 ------1192

3,9 3,1 4,1 4,9 5,9 4,8 6,7 4,0 5,4 5,9 6,0 3,8 6,6 5,2 3,4 4,6 2,9 1,8 1,8 2,0 1,2 1,0 ,8 ,5 1,8 7,8 ------100,0

4,3 3,4 4,5 5,4 6,4 5,2 7,3 4,4 5,8 6,4 6,6 4,1 7,2 5,6 3,7 5,0 3,2 1,9 2,0 2,2 1,3 1,1 ,8 ,5 1,9 Missing ------100,0

4,3 7,6 12,1 17,5 23,8 29,0 36,3 40,7 46,5 52,9 59,4 63,5 70,7 76,3 80,1 85,1 88,3 90,2 92,2 94,4 95,6 96,7 97,5 98,1 100,0

voll und ganz

Total Valid cases

1099

Missing cases

93

12

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Überprüfungder Normalverteilungsannahme 300

200

100

Std.abw. =5,82 Mittel =13,4 N=1099,00

0 5,0

7,5

10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5

XENOPHOB

Abbildung 2: Überprüfung der Normalverteilungsannahme von XENOPHOB

2.2

Zählindex KONTAKT zu Ausländern

SPSSfWin-Menü:

Transformieren - Zählen ...

-

13

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14

Über das Untermenü “Werte definieren ...” müssen Sie die zu zählenden Ausprägungswerte festlegen und in die Zählliste durch “Hinzufügen” übernehmen. In unserem Fall soll für alle vier Variablen die Häufigkeit des Werts 1 berechnet werden:

SPSSfWin-Syntax: COUNT-Befehl und Variablendokumentation COUNT kontakte = v113 v114 v115 v116 (1) . VARIABLE LABELS kontakte 'Summe Kontaktbereiche zu Ausländern' . VALUE LABELS kontakte 0 'kein Kontakt' 1 '1 Bereich' 2 '2 Bereiche' 3 '3 Bereiche' 4 'alle 4 B.'.

SPSSfWin-Listing:

KONTAKTE

Summe Kontaktbereiche zu Ausländern

Value Label

Value

Frequency

Percent

Valid Percent

Cum Percent

kein Kontakt 1 Bereich 2 Bereiche 3 Bereiche alle 4 B.

,00 1,00 2,00 3,00 4,00

363 328 262 174 65 ------1192

30,5 27,5 22,0 14,6 5,5 ------100,0

30,5 27,5 22,0 14,6 5,5 ------100,0

30,5 58,0 79,9 94,5 100,0

Total Valid cases

1192

Missing cases

0

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-

15

Bivariates Regressionsmodell mit einer intervall-/ratioskalierten unabhängigen Variablen

SPSSfWin-Menü:

Statistik - Regression - Linear...

Die univariaten Statistiken und bivariaten Korrelationen können Sie über das Untermenü "Statistiken ..." anfordern.

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Die modellimmanent geschätzten Werte für XENOPHOB können Sie über das Untermenü “Speichern...” extern in der Arbeitsdatei speichern lassen:

SPSSfWin-Syntax: * Schätzung eines bivariaten Regressionsmodells mit einer metrischen unabhängigen Variablen. REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER v247 /SAVE PRED . SPSSfWin-Listing: * * * *

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Listwise Deletion of Missing Data

XENOPHOB V247

Mean

Std Dev

13,412 46,228

5,820 17,026

N of Cases =

1099

Correlation, 1-tailed Sig:

Label ALTER: BEFRAGTE

* * * *

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 XENOPHOB

V247

1,000 ,

,329 ,000

,329 ,000

1,000 ,

XENOPHOB V247

* * * *

M U L T I P L E

Equation Number 1

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

Block Number

1.

Method:

Enter

* * * *

XENOPHOB

Descriptive Statistics are printed on Page

19

V247

Variable(s) Entered on Step Number 1.. V247 ALTER: BEFRAGTE Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,32947 ,10855 ,10774 5,49788

Analysis of Variance DF Regression 1 Residual 1097 F =

Sum of Squares 4037,64602 33158,63060

133,57903

Signif F =

Mean Square 4037,64602 30,22665

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable V247 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

,112628 8,205602

,009745 ,480046

,329469

11,558 17,093

,0000 ,0000

End Block Number

1

All requested variables entered.

Residuals Statistics:

*PRED *RESID *ZPRED *ZRESID

Min

Max

Mean

Std Dev

N

10,2329 -13,3284 -1,6579 -2,4243

18,6800 16,9787 2,7470 3,0882

13,4122 ,0000 ,0000 ,0000

1,9176 5,4954 1,0000 ,9995

1099 1099 1099 1099

Total Cases = From Equation Name ---PRE_1

1192 1:

1 new variables have been created.

Contents -------Predicted Value

-

17

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-

18

Modellgleichung für die bivariate Regression zweier metrische Variablen: Yˆ a  b1 V247 8,21  0,11 V247

Kurzinterpretation: Betrachtet man die Anpassungsgüte des bivariaten Regressionsmodells mit dem Lebensalter als Prädiktor, so zeigt sich, dass es rund 10 % der Varianz der Ausländerfeindlichkeit “erklärt”. Der zugehörige signifikante F-Wert von 133,58 bei 1 respektive 1097 Freiheitsgraden bedeutet, dass der Stichprobenbefund ebenfalls für 60 Millionen Westdeutsche gilt. Das positive Vorzeichen des zum Alter gehörenden Regressionskoeffizienten entspricht der in der Hypothese 1 postulierten Wirkungsrichtung. Da der zugehörige T-Wert ebenfalls signifikant ist, kann die Hypothese 1 als bestätigt gelten. Hierbei ist aber zu beachten, dass wir keine alternativen Erklärungsvariablen im Regressionsmodell kontrolliert haben. Im Sinne Hymanns können wir erst dann von Kausalität sprechen, wenn der zum Alter gehörende partielle Regressionskoeffizient bei der gleichzeitigen Kontrolle alternativer Erklärungsfaktoren seiner Größe und seinem Vorzeichen nach erhalten bleibt. Was bedeuten die Regressionskonstante und der Regressionskoeffizient ? Die Regressionskonstante a gibt an, welches Ausmaß an Fremdenfeindlichkeit wir erwarten, wenn das Alter Null ist. D.h., für noch nicht geborene Säuglinge erwarten wir eine durchschnittlichen XENOPHOB-Score von 8,21. Der Regressionskoeffizient b1 gibt an, um wie viel die Ausländerfeindlichkeit steigt, wenn der Befragte ein Jahr älter wird. In unserem Beispiel steigt die Ausländerfeindlichkeit pro Lebensjahr um 0,11 Punktwerte an. D.h., wir erwarten eine durchschnittliche Steigerung von XENOPHOB in 10 Jahren um 1,1 bzw. in 100 Jahren um 11,0 Punkte. Dieser Zusammenhang lässt gut mit Hilfe eines Streudiagramm der geschätzten Werte von XENOPHOB auf das Lebensalter darstellen.

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SPSSfWin-Menü: Grafik - Scatterplot - einfach

Über das Grafikkarussell können Sie das Streudiagramm für die eigentliche Präsentation bearbeiten.

SPSSfWin-Syntax für die graphische Darstellung der Regressionsgeraden: GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR)=v247 WITH pre_1 /MISSING=LISTWISE .

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20

Bivariate Regression von XENOPHOB auf ALTER (V247) 20

Geschätzte Werte für Y

18

16

14

12

10 0

20

40

60

80

ALTER: BEFRAGTE ALLBUS 94: ABL R² = 10,86 %

Abbildung 3: Bivariate Regression von XENOPHOB auf ALTER (V247).

100

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-

21

Multiple lineare Regression mit einer nominalen unabhängigen Variablen in Form der Dummy-Kodierung

Nominalskalierte Variablen mit k-Ausprägungen können im Regressionsmodell nur dann als Prädiktoren verwendet werden, wenn man an ihrer Stelle k-1 Dummy-Variablen einsetzt. Die Steigungskoeffizienten dieser Stellvertreter- oder Indikatorvariablen messen jeweils die Abweichung ihrer jeweiligen Ausprägung von der gemeinsamen Referenz-/Bezugskategorie, die ausgespart wurde. Den Einfluss letzterer misst die Regressionskonstante (Ordinatenabschnitt). Formal gesehen, gibt sie denjenigen Y-Mittelwert an, der für diejenige Konstellation der unabhängigen Variablen geschätzt wird, bei der alle exogenen Merkmale den Wert Null aufweisen. In unserem Falle fassen wir zunächst die Mischtypen der Variable V122 zusammen. Anschließend bilden wir jeweils eine Dummy-Variable für die Postmaterialisten (POSTMAT) und die Materialisten (MATERIAL). Da wir keine weiteren Variablen im Modell berücksichtigen, schätzen wir unmittelbar ihre Gruppenmittelwerte hinsichtlich der geäußerten Ausländerfeindlichkeit. Dies geschieht wegen der gewählten Dummykodierung (“corned effects”) jeweils als Abweichung vom Mischtyp. SPSSfWin-Menü:

Bildung der Dummy-Variablen

Transformieren - Umkodieren - in andere Variablen...

Im Untermenü “Alte und neue Werte...” können Sie einzelne Werte, Wertebereiche und “fehlende Angaben” rekodieren, indem Sie ihnen neuen Ausprägungen ihrer Zielvariablen zuweisen. Den Postmaterialistendummy bilden Sie, indem die Ausprägung “1" der Variablen V122 übernehmen und alle anderen Ausprägungen auf den Wert “0" setzen.

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22

Den Materialistendummy weisen Sie die Ausprägung 1 zu, wenn V122 den Wert “4" aufweist. Für die Ausprägungen “1" bis “3" setzen Sie den Dummy auf den Wert “0".

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23

Für die Schätzung des zugehörigen Regressionsmodells müssen Sie die beiden Dummyvariablen POSTMAT und MATERIAL als unabhängige Variablen auswählen. Über das Untermenü “Statistiken...” erhalten Sie die univariaten Statistiken und bivariaten Korrelationen. Über das Untermenü “Speichern ...” fordern Sie SPSSfWin auf, die geschätzten Werte von Y als externe Variable zu speichern.

Über das Grafikmenü “Scatterplots - einfach” können Sie die geschätzten Werte von Y auf die das Lebensalter der Befragten plotten lassen. Hierzu müssen Sie in das Feld “Y-Achse” die Variable “PRE_2" eintragen.

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SPSSfWin-Syntax: * Zerlegung von V122 in zwei Dummy-Variablen für Post- und Materialisten. RECODE v122 (1=1) (2 thru 4=0) INTO postmat / v122 (4=1) (1 thru 3=0) INTO material. VARIABLE LABELS postmat 'Postmat vs. Mischtyp'/ material 'Materialist vs. Mischtyp'. * Multiple lineare Regression von XENOPHOB auf Dummy-Variablen der INGLEHART-Typologie (V122). REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER postmat material /SAVE PRED . * Graphische Darstellung als Streudiagramm. GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR)=v247 WITH pre_2 /MISSING=LISTWISE .

-

24

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

SPSSfWin-Listing: * * * *

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

* * * *

Listwise Deletion of Missing Data

XENOPHOB POSTMAT MATERIAL

Mean

Std Dev

13,383 ,229 ,157

5,807 ,420 ,364

N of Cases =

Label Postmat vs. Mischtyp Materialist vs. Mischtyp

1072

Correlation, 1-tailed Sig: XENOPHOB

POSTMAT

MATERIAL

XENOPHOB

1,000 ,

-,302 ,000

,190 ,000

POSTMAT

-,302 ,000

1,000 ,

-,235 ,000

MATERIAL

,190 ,000

-,235 ,000

1,000 ,

* * * *

M U L T I P L E

Equation Number 1

Block Number

1.

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

Method:

Enter

* * * *

XENOPHOB

POSTMAT

MATERIAL

Variable(s) Entered on Step Number 1.. MATERIAL Materialist vs. Mischtyp 2.. POSTMAT Postmat vs. Mischtyp Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,32615 ,10638 ,10470 5,49504

Analysis of Variance DF Regression 2 Residual 1069 F =

Sum of Squares 3842,43877 32278,98567

63,62602

Signif F =

Mean Square 1921,21938 30,19550

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable POSTMAT MATERIAL (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

-3,771014 2,010279 13,930197

,411178 ,474927 ,214056

-,272781 ,125897

-9,171 4,233 65,077

,0000 ,0000 ,0000

End Block Number

1

All requested variables entered.

25

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 Equation Number 1

Dependent Variable..

-

26

XENOPHOB

Residuals Statistics:

*PRED *RESID *ZPRED *ZRESID

Min

Max

Mean

Std Dev

N

10,1592 -11,9405 -1,7022 -2,1730

15,9405 15,8408 1,3500 2,8827

13,3834 ,0000 ,0000 ,0000

1,8941 5,4899 1,0000 ,9991

1072 1072 1072 1072

Total Cases = From Equation Name ----

1192 1:

1 new variables have been created.

Contents --------

PRE_2

Predicted Value

Modellgleichungen für die Regression auf Dummyvariablen: ^ Y a  b1 POSTMAT  b2 MATERIAL Allgemein: Berechnung der geschätzten Gruppenmittelwerte: ^ Mischtyp: Y Mischtyp a 13,93 ^ Postmaterialisten: Y Postmat a  b1 POSTMAT 13,93 3,77 10,16 Materialisten:

^ Y Material a  b2 MATERIAL 13,93  2,01 15,94

Kurzinterpretation: Betrachtet man die Anpassungsgüte des obigen Regressionsmodells, so zeigt sich, dass die Berücksichtigung der drei Typen politischer Orientierung 10,64 % der Varianz der Xenophobie erklärt. Da der zugehörige F-Wert statistisch signifikant ist, können wir davon ausgehen, dass die gefundenen Gruppenunterschiede nicht nur für unsere Stichprobe gelten, sondern dies auch für 60 Millionen Westdeutsche zutrifft. Das geschätzte durchschnittliche Ausmaß von XENOPHOB beträgt für die dem Mischtyp angehörenden Personen 13,93 Punkte. In Übereinstimmung mit unserer Hypothese 2a weichen die Postmaterialisten signifikant vom Mischtyp um - 3,77 Punkte ab und weisen einen geschätzten Gruppendurchschnitt von 10,16 Scores auf. Hypothese 2b folgend weichen die Materialisten um + 2,01 Punkte vom Mischtyp ab. Ihr geschätzter Gruppenmittelwert liegt bei 15,94 Skalenwerten. Damit gelten die Hypothesen 2a und 2b als vorläufig bestätigt. Von einem kausalen Einfluss der politischen Orientierung auf XENOPHOB

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

27

können wir aber erst dann sprechen, wenn unter Kontrolle des Alters diese Niveauunterschiede der Gruppen erhalten bleiben.

Regression von XENOPHOB auf WERTTYPEN Geschätzte Mittelwerte der Gruppen

17 16 15 14 13 12 11 10 9 0

20

40

60

80

ALTER: BEFRAGTE ALLBUS 94: ABL R² = 10,64 %

Abbildung 4: Verteilung der geschätzten Gruppenmittelwerte der Postmaterialisten, Mischtypen und Materialisten.

100

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 5.

-

28

Multiple lineare Regression mit einer nominalen und einer metrischen unabhängigen Variablen (Kovarianzmodell)

Wir unterstellen einen linear-additiver Effekt von ALTER und politischer Orientierung. Das heißt, beide Variablen wirken unabhängig voneinander und addieren sich lediglich in ihrer Wirkung. Erst durch die gegenseitige statistische Kontrolle beider exogener Merkmale können wir unsere Forschungshypothesen im strengen Sinne testen.

SPSSfWin-Menü:

Schätzung des Kovarianzmodells der Fremdenfeindlichkeit

Über die Untermenüs “Statistiken ...” und “Speichern ...” fordern Sie erneut die bivariaten Korrelationen und das externe Speichern der geschätzten Werte für Y an.

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-

SPSSfWin-Syntax: (Schätzung des Regressionsmodell und Grafikausgabe) * Multiple lineare Regression auf Dummy-Variablen + metrischer UV. REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER postmat material v247 /SAVE PRED . GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR)=v247 WITH pre_3 /MISSING=LISTWISE .

SPSSfWin-Listing: * * * *

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Listwise Deletion of Missing Data

XENOPHOB POSTMAT MATERIAL V247

Mean

Std Dev

13,383 ,229 ,157 46,115

5,807 ,420 ,364 16,980

N of Cases =

Label Postmat vs. Mischtyp Materialist vs. Mischtyp ALTER: BEFRAGTE

1072

Correlation, 1-tailed Sig: XENOPHOB

POSTMAT

MATERIAL

V247

XENOPHOB

1,000 ,

-,302 ,000

,190 ,000

,328 ,000

POSTMAT

-,302 ,000

1,000 ,

-,235 ,000

-,156 ,000

MATERIAL

,190 ,000

-,235 ,000

1,000 ,

,215 ,000

V247

,328 ,000

-,156 ,000

,215 ,000

1,000 ,

* * * *

29

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 * * * *

M U L T I P L E

Equation Number 1

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

1.

Method:

Enter

on Step Number ALTER: BEFRAGTE Postmat vs. Mischtyp Materialist vs. Mischtyp

Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,42129 ,17749 ,17518 5,27433

F =

27

POSTMAT

Variable(s) Entered 1.. V247 2.. POSTMAT 3.. MATERIAL

Analysis of Variance DF Regression 3 Residual 1068

MATERIAL V247

Sum of Squares 6411,15591 29710,26853

76,82097

Signif F =

* * * *

XENOPHOB

Descriptive Statistics are printed on Page Block Number

-

Mean Square 2137,05197 27,81860

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable POSTMAT MATERIAL V247 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

-3,349035 1,179592 ,093974 9,630356

,397098 ,463975 ,009780 ,492383

-,242257 ,073874 ,274767

-8,434 2,542 9,609 19,559

,0000 ,0112 ,0000 ,0000

End Block Number

1

* * * * Equation Number 1

All requested variables entered. M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

* * * *

XENOPHOB

Residuals Statistics:

*PRED *RESID *ZPRED *ZRESID

Min

Max

Mean

Std Dev

N

7,9729 -14,4218 -2,2114 -2,7343

19,0797 16,0203 2,3282 3,0374

13,3834 ,0000 ,0000 ,0000

2,4467 5,2669 1,0000 ,9986

1072 1072 1072 1072

Total Cases =

1192

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * From Equation Name ---PRE_3

1:

1 new variables have been created.

Contents -------Predicted Value

30

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

31

Modellgleichungen für die Regression auf Dummy Variablen und eine metrische Kovariate (Kovarianzmodell): Allgemein:

Yˆ a  b1 POSTMAT  b2 MATERIAL  b3 V247

Mischtyp:

YˆMischtyp a  b3 V247 9,63  0,09 V247

Postmaterialisten: YˆPostmat a  b1 POSTMAT  b3 V247

9,63 3,35  0,09 V247 6,28  0,09 V247 Materialisten:

YˆMaterial a  b2 MATERIAL  b3 V247

9,63  1,18  0,09 V247 10,81  0,09 V247

Kurzinterpretation: Die gleichzeitige Berücksichtung des Alter und der politischen Orientierung führt dazu, dass wir 17,75% der Varianz der Ausländerfeindlichkeit in unserem Regressionsmodell erklären können. Der signifikante F-Wert von 76,82 bei 3 respektive 1068 Freiheitsgraden belegt, dass die Stichprobenbefunde ebenfalls für die Grundgesamt gelten. Unter der Annahme einer linear additiven Wirkung beider Erklärungsfaktoren und ihrer wechselseitigen statistischen Kontrolle kommen wir zu folgenden inhaltlichen Befunden: 1.

Die partiellen Regressionskoeffizienten für POSTMAT und MATERIAL bleiben im Vergleich zum vorherigen Modell ihrem Vorzeichen nach erhalten. Sie weisen aber etwas geringere Werte mit -3,35 bzw. +1,18 auf. Da beide Regressionskoeffizienten statistisch signifikant sind und ihr Vorzeichen nicht geändert haben, können wir davon ausgehen, dass die Hypothesen 2a und 2b weiterhin Geltung beanspruchen können.

2.

Im Vergleich zur bivariaten Regression fällt der Steigungskoeffizient für das Alter (V247) mit + 0,09 etwas geringer aus. Er verliert ebenfalls nicht seine statistische Signifikanz. Daher lässt sich die Hypothese 1 ebenfalls nicht verwerfen.

3.

Ein Vergleich der relativen Einflussstärken beider Prädiktorenarten erübrigt sich, da sich der standardisierte Regressionskoeffizient für Dummyvariablen nicht sinnvoll interpretieren lässt. Letztere können sich lediglich um einen ganzen Wert aber nicht um eine Standardabweichung ihrer selbst ändern.

Da wir von einem linear-additiven Modell ausgehen und die Gruppenzugehörigkeit über Dummyvariablen kodiert haben, wird für die einzelnen Orientierungstypen ihr jeweiliger Regressionskoeffizient zur Regressionskonstanten je nach Vorzeichen entweder aufaddiert oder subtrahiert. Dies führt zu einer Parallelverschiebung der Regressionsgeraden für den Alterseffekt der einzelnen Orientierungstypen. In der folgenden Abbildung entspricht die untere

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

32

Gerade dem Alterseffekt der Postmaterialisten, die mittlere demjenigen des Mischtyps und die obere Gerade dem der Materialisten. Hierbei setzen wir voraus, dass der Effekt der politischen Orientierung für alle Altersgruppen gleich ausfällt.

Regression von XENOPHOB auf WERTTYPEN und ALTER (V247) 20 18

Geschätzte Werte für Y

16 14 12 10 8 6 0

20

40

60

80

100

ALTER: BEFRAGTE ALLBUS 94: ABL R² = 17,75 %

Abbildung 5: Regression von XENOPHOB auf Werttypen und ALTER (V247) ohne Interaktionseffekt.

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 6.

-

33

Multiple lineare Regressionsmodelle mit Interaktionseffekten

Obwohl das lineare Regressionsmodell davon ausgeht, dass die Prädiktoren ihre Wirkung jeweils unabhängig voneinander additiv entfalten, können ihre wechselseitige Verstärkung bzw. Abschwächung im Sinne von Interaktionseffekten ebenfalls geschätzt werden. Hierzu ist es notwendig, zunächst eine Hilfsvariable durch die Multiplikation der Ursprungsvariablen zu bilden und diese anschließend als zusätzlichen Prädiktor im Regressionsmodell zu verwenden. Hierbei unterscheiden wir zwei Arten von Interaktionseffekten.

6.1

Interaktionseffekte von Dummy- und metrischen Variablen

Wir vertreten die theoretisch begründete Hypothese, dass die beiden unabhängigen Variablen ALTER und POLITISCHE ORIENTIERUNG nicht unabhängig voneinander ihre Wirkung entfalten. Das heißt, wir erwarten eine Interaktion zwischen Alter und politischer Orientierung in dem Sinne, dass mit zunehmenden Alter ein “Reifungseffekt” eintritt. Sowohl Materialisten als auch Postmaterialisten sollen sich mit zunehmenden Alter weniger “ausländerfeindlich”bzw. “ausländerfreundlich” äußern. Im technischen Sinne berücksichtigen wir die wechselseitige Interaktion von ALTER und WERTORIENTIERUNG im linear-additiven Regressionsmodell durch eine aus beiden Variablen durch Multiplikation gewonnene Hilfsvariable. In unserem Falle benötigen wir zwei Hilfsvariablen, eine jeweils für die Interaktion von ALTER und POSTMAT bzw. ALTER und MATERIAL. Sie werden dann in das linear-additive Regressionsmodell aufgenommen und ihre “konditionalen Effekte” als 4. und 5. Regressionskoeffizient geschätzt. Letztere bilden die konditionalen Effekte des Alters für die einzelnen Werttypen ab. In unserem Fall messen sie direkt die Abweichung des Alterseffekts der Postmaterialisten bzw. Materialisten vom Alterseffekt des Mischtyps.

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 SPSSfWin-Menü:

-

34

Transformieren - Berechnen...

Im Menü der linearen Regression müssen Sie in der Liste der unhängigen Variablen die Hilfsvariablen MATV247 und POSTV247 hinzufügen. Über die Untermenüs “Statistiken...” und “Speichern...” fordern sie erneut die bivariaten Korrelationen und das externe Speichern der geschätzten Werte von Y an. Mit Hilfe des Grafikuntermenüs “Scatterplot - einfach” können Sie erneut das Ergebnis der Schätzung in graphischer Form darstellen. Denken Sie daran, dass Sie die geschätzten Werte in der Variablen “PRE_3" gespeichert haben.

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

SPSSfWin-Syntax: * Bildung der Hilfsvariablen für die Interaktionseffekte. COMPUTE MATV247=V247*MATERIAL. COMPUTE POSTV247=V247*POSTMAT. * Schätzung des Regressionsmodells mit Interaktionseffekt. REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA CHA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER postmat material v247 matv247 postv247 /SAVE PRED . * Graphische Darstellung der Schätzung. GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR)=v247 WITH pre_3 /MISSING=LISTWISE .

SPSSfWin-Listing: * * * *

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Listwise Deletion of Missing Data

XENOPHOB POSTMAT MATERIAL V247 MATV247 POSTV247

Mean

Std Dev

13,383 ,229 ,157 46,115 8,556 9,431

5,807 ,420 ,364 16,980 21,064 18,657

N of Cases =

1072

Label Postmat vs. Mischtyp Materialist vs. Mischtyp ALTER: BEFRAGTE

* * * *

35

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

36

Correlation, 1-tailed Sig: XENOPHOB

POSTMAT

MATERIAL

V247

MATV247

POSTV247

XENOPHOB

1,000 ,

-,302 ,000

,190 ,000

,328 ,000

,200 ,000

-,239 ,000

POSTMAT

-,302 ,000

1,000 ,

-,235 ,000

-,156 ,000

-,221 ,000

,929 ,000

MATERIAL

,190 ,000

-,235 ,000

1,000 ,

,215 ,000

,943 ,000

-,218 ,000

V247

,328 ,000

-,156 ,000

,215 ,000

1,000 ,

,341 ,000

,006 ,427

MATV247

,200 ,000

-,221 ,000

,943 ,000

,341 ,000

1,000 ,

-,206 ,000

POSTV247

-,239 ,000

,929 ,000

-,218 ,000

,006 ,427

-,206 ,000

1,000 ,

* * * * Equation Number 1

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

XENOPHOB

Descriptive Statistics are printed on Page Block Number 1. Method: POSTMAT MATERIAL V247

Enter MATV247

Variable(s) Entered 1.. POSTV247 2.. V247 3.. MATERIAL 4.. POSTMAT 5.. MATV247

on Step Number

Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,42497 ,18060 ,17675 5,26930

33

POSTV247

ALTER: BEFRAGTE Materialist vs. Mischtyp Postmat vs. Mischtyp

Analysis of Variance DF Regression 5 Residual 1066 F =

* * * *

46,98935

Sum of Squares 6523,41214 29598,01230 Signif F =

Mean Square 1304,68243 27,76549

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable POSTMAT MATERIAL V247 MATV247 POSTV247 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

-2,943245 3,926033 ,104965 -,052085 -,008638 9,127458

1,180817 1,442847 ,012185 ,025943 ,026334 ,594134

-,212903 ,245874 ,306903 -,188917 -,027749

-2,493 2,721 8,614 -2,008 -,328 15,363

,0128 ,0066 ,0000 ,0449 ,7430 ,0000

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 End Block Number

1

* * * * Equation Number 1

-

37

All requested variables entered. M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

* * * *

XENOPHOB

Residuals Statistics:

*PRED *RESID *ZPRED *ZRESID

Min

Max

Mean

Std Dev

N

7,9181 -13,3368 -2,2145 -2,5310

18,8892 16,2484 2,2309 3,0836

13,3834 ,0000 ,0000 ,0000

2,4680 5,2570 1,0000 ,9977

1072 1072 1072 1072

Total Cases =

1192

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

From Equation Name ---PRE_4

1:

1 new variables have been created.

Contents -------Predicted Value

Kurzinterpretation: Die Einbeziehung der Interaktion zwischen politischer Orientierung und dem Lebensalter im Sinne des von uns unterstellten “Reifungseffekts” führt im Vergleich zum vorherigen Modell zu einer geringfügigen Verbesserung der Modellanpassung. Der Anteil erklärter Varianz nimmt um 0,31% zu. Der Anteil der durch die Regression gebundenen Abweichungsquadrate von 18,06% erweist sich mit einem F-Wert von 46,99 bei 5 respektive 1066 Freiheitsgraden als statistisch signifikant. Damit können wir davon ausgehen, dass unser Stichprobenbefund ebenfalls für die Grundgesamtheit gilt. Durch die Einführung des Interaktionseffekts ändert sich die bisherige Interpretation der Regressionskoeffizienten. Bei ihnen handelt es sich nunmehr um bedingte, konditionale Koeffizienten. Da wir die Gruppenzugehörigkeit über zwei Dummyvariablen kodiert haben, vereinfacht sich deren Interpretation erheblich. Normalerweise messen die Haupteffekte für POSTMAT, MATERIAL und ALTER (V247) jeweils den Einfluss der entsprechenden unabhängigen Variablen unter der Bedingung, dass alle anderen exogenen Merkmale Null sind. Bezogen auf die Dummyvariablen der politischen Orientierung ist dies definitionsgemäß der Fall, da sie selbst nur die Werte Null oder Eins annehmen können. Bezogen auf das ALTER (V247) bedeutet dies, dass POSTMAT und MATERIAL jeweils die Abweichung vom Mischtyp bezüglich der Ausländerfeindlichkeit angeben, wenn das Alter den Wert Null aufweist. Betrachten wir den Haupteffekt für das Lebensalter unter der Bedingung, dass beide Dummy-Variablen Null sind, so misst er direkt den bedingten Alterseffekt des “Mischtyps”, der gemeinsamen Referenzkategorie beider Dummy-Variablen. Für den Mischtyp gilt daher, dass pro Lebensjahr die geschätzte Ausländerfeindlichkeit um 0,10 Punkte steigt, wobei dieser Effekt statistisch

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

38

signifikant ist (Siehe den zugehörigen T-Wert). Hingegen messen die unstandardisierten Regressionskoeffizienten der Interaktionsterme MATV247 und POSTV247 die Abweichung des konditionalen Alterseffekts der Materialisten bzw. Postmaterialisten vom denjenigen des Mischtyps. Betrachtet man die zugehörigen Steigungskoeffizienten genauer, so zeigt sich, dass beide jeweils ein negatives Vorzeichen aufweisen. D.h., mit zunehmenden Alter tritt sowohl bei den Materialisten als auch bei den Postmaterialisten im Vergleich zum Mischtyp ein “Dämpfungs-“ oder “Reifungseffekt” ein, der für die Materialisten sehr viel stärker ausfällt als für die Postmaterialisten. Bei ersteren zeigt der Regressionskoeffizient von b= - 0,05, dass die Wirkung des Altern bei den Materialisten nur halb so stark entfaltet als beim Mischtyp. (+ 0,05 vs. +0,10). Diese Abweichung erweist sich auf dem 5% Niveau als statistisch signifikant. Hingegen erweist sich die Abweichung des konditionalen Alterseffekts der Postmaterialisten vom denjenigen des Mischtyp mit einem Wert von - 0,01 als nicht statistisch signifikant. Dies bedeutet, dass wir in der Grundgesamtheit nur für die Gruppe der Materialisten einen Reifungseffekt zu erwarten haben. Nur für diese Gruppe kann unsere Reifungshypothese Geltung beanspruchen. Diese konditionalen Alterseffekte lassen sich anschaulich als Liniendiagramm darstellen. Hierzu müssen die entsprechenden Regressionskoeffizienten in die Modellgleichung eingesetzt werden. Hierbei ist zu beachten, dass es sich um konditionale Effekte handelt. Daher müssen wir für die Postmaterialisten, Materialisten und den Mischtyp eine eigene Vorhersagegleichung aufstellen. Modellgleichungen für die Berechnung der konditionalen Alterseffekte: Allgemein:

Mischtyp:

Yˆ a  b1 POSTMAT  b2 MATERIAL  b3 V247  b4 (POSTMAT V247)  b5 (MATERIAL V247) YˆMischtyp a  b3 V247 9,13  0,10 V247

Postmaterialisten: YˆPostmat a  b1 POSTMAT  b3 V247  b4 (POSTMAT V247)

9,13 2,94 1  0,10 V247 0,01 (POSTMAT V247)

6,19  0,10 V247 0,01 ( 1 V247)

6,19  ( 0,10 0,01 ) V247 6,19  0,09 V247 Materialisten:

YˆMaterial a  b2 MATERIAL  b3 V247  b5 (MATERIAL V247)

9,13  3,93 1  0,10 V247 0,05 (MATERIAL V247)

13,06  0,10 V247 0,05 (1 V247)

13,06  ( 0,10 0,05 ) V247 13,06  0,05 V247

Da es sich bei der Interaktion zweier unabhängiger Merkmale um einen symmetrischen Effekt handelt, können wir den festgestellten “Dämpfungseffekt” auch im Hinblick auf die Altersabhängigkeit der Gruppenunterschiede “Postmaterialisten vs. Mischtyp” und “Materialisten vs. Mischtyp” interpretieren. Hierzu benötigen wir die partiellen Ableitungen unserer Regressions-

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003

-

39

gleichung nach den Dummyvariablen POSTMAT und MATERIAL. Der zum Interaktionseffekt gehörenden Regressionskoeffizient gibt uns jeweils an, um wie viel der jeweilige Gruppenunterschied pro Lebensjahr ab- bzw. zunimmt. Beim Vergleich der Postmaterialisten mit dem Mischtyp stellen wir fest, dass pro Lebensjahr der Gruppenunterschied um 0,01 Einheiten zunimmt. Der zugehörige T-Wert von -0,328 ist aber nicht statistisch signifikant. Hingegen verringert sich der Gruppenunterschied zwischen den Materialisten und dem Mischtyp pro Lebensjahr um 0,05 Einheiten der geäußerten Fremdenfeindlichkeit, wobei sich dieser “Reifungseffekt” als statistisch signifikant erweist.

Berechnung der Altersabhängigkeit der Gruppenunterschiede mit Hilfe der partiellen Ableitungen nach POSTMAT und MATERIAL: Regressionsgleichung: XENOPHOB a  b1 POSTMAT  b2 MATERIAL  b3 V247  b4 (POSTMAT V247)  b5 (MATERIAL V247) Partielle Ableitung nach POSTMAT: XENOPHOB

b1  b4 V247 2,94  ( 0,01 V247 ) POSTMAT

2,94 0,01 V247 Partielle Ableitung nach MATERIAL: XENOPHOB

b2  b5 V247 3,93  ( 0,05 V247 ) MATERIAL

3,93 0,05 V247 Berechnung der konditionalen Alterseffekte mit Hilfe partieller Ableitungen: Alterseffekt der Postmaterialisten: XENOPHOB

b3  b4 POSTMAT 0,10 0,01 0,09 V247 |POSTMAT Alterseffekt der Materialisten: XENOPHOB

b3  b5 MATERIAL 0,10 0,05 0,05 V247 |MATERIAL Alterseffekt des Mischtyps: XENOPHOB

b3 0,10 V247 |MISCHTYP

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40

Die folgende Abbildung stellt die konditionalen Alterseffekte der Postmaterialisten, des Mischtyps sowie der Materialisten als zweidimensionales Streudiagramm dar.

Regression von XENOPHOB auf WERTTYPEN, ALTER und ihre Interaktionseffekte 20

Geschätzten Werte für Y

18 16 14 12 10 8 6 0

20

40

60

80

100

ALTER: BEFRAGTE ALLBUS 94: ABL R² = 18,06 %

Abbildung 6: Regression von XENOPHOB auf Werttypen und Alter (V247) mit ihren Interaktionseffekten

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41

Das Problem der Multikollinearität zwischen den Haupteffekten ALTER (V247), POSTMAT, MATERIAL und ihren zugehörigen Hilfsvariablen MATV247 und POSTV247: Beide Hilfsvariablen MATV247 und POSTV247 korrelieren mit mehr als .90 mit ihren jeweiligen Werttypen MATERIAL und POSTMAT. Entsprechend der vorgestellten “Daumenregeln” für das Vorliegen von Multikollinearität müßten die Interaktionsterme bei der Schätzung der Regressionsmodells ausgeschlossen werden. Hingegen empfiehlt der Ökonometriker Maddala (1992, S. 280) vier Strategien für die Betrachtung des Multikollinearitätsproblems: “1

Correlation between the explanatory variables L and Y, which is high. This suggests that the multicollinearity may be serious. However, we explained earlier the fallacy in looking at just the correlation coefficients between the explanatory variables.

2.

Standard errors or t-ratios for the estimated coefficients: In this example the t-ratios are significant, suggesting that multicollinearity might not be serious.

3.

Stability of the estimated coefficients when some observations are deleted. Again one might conclude that multicollinearity is not serious, if one uses 5% level of significance for this test.

4.

Examining the predictions from the model: If multicollinearity is a serious problem, the predictions from the model would be worse than those form a model that includes only a subset of the set of explanatory variables.”

Quelle:

Maddala, G.S. (1992²): Introduction to Econometrics. New York: Macmillan

Wenden wir die von Maddala vorgeschlagene Vorgehensweise auf unser Regressionsmodell mit Interaktionseffekten an, so haben wir zwar zwischen den Hilfsvariablen und ihren Werttypen eine hohes Maß an Multikollinearität vorliegen, dies scheint aber die Modellschätzung nicht zu beeinträchtigen. Betrachten wir die zum Interaktionseffekt gehörenden Standardfehler der Regressionskoeffizienten für POSTV247 und MATV247 und ihre T-Werte genauer, so zeigt sich, erstens dass die Standardfehler im Vergleich zu ihren Schätzer relativ gering ausfallen und zweitens, dass der Schätzer für den Interaktionseffekt zwischen ALTER und MATERIAL auf dem 5%-Niveau statistisch signifikant ist. Vergleicht man zusätzlich die Modellanpassung der Regressionsmodelle ohne und mit den Interaktionseffekten, so weist letzteres mit 18,06 % “erklärter Varianz” eine deutlich bessere Vorhersagegüte als das Haupteffektmodell mit 17,75% auf. Da zumindest 3 von 4 Kriterien Maddalas erfüllt sind, dürfte die vorhandene Multikollinearität die Schätzung unseres Regressionsmodells mit Interaktionseffekten kaum beeinflussen. Ob dies auch für andere Modelle zutrifft, kann nur im Einzelfall durch die von Maddala vorgeschlagenen Arbeitsschritte überprüft werden.

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42

Interaktionseffekte zweier metrischer unabhängiger Variablen

Wir vertreten die theoretisch begründete Hypothese, dass die beiden unabhängigen Variablen ALTER und Links-Rechts-Selbsteinschätzung (V123) nicht unabhängig voneinander auf die geäußerte Ausländerfeindlichkeit wirken. Das heißt, wir erwarten eine Interaktion zwischen Alter und politischer Orientierung in dem Sinne, dass mit zunehmenden Alter die Extremgruppen der politischen Orientierung sich im Hinblick auf ihre Xenophobie annähern. In der Evaluationsforschung bezeichnet man dies als “Regressionseffekt”. Bezogen auf unsere abhängige Variable lässt sich dies folgendermaßen als Forschungshypothese formulieren: 3.

Wenn Alter und politische Orientierung gemeinsam auftreten und sich wechselseitig beeinflussen, dann können wir bei der extremen Rechten eine relative Abnahme und bei der extremen Linken eine relative Zunahme ihrer Ausländerfeindlichkeit verzeichnen. (Wechselseitige Wirkung der Interaktion)

+ ALTER(V247)

e

INTERAKTION von ALTER und LRSELBST(V123V247)

LINKS-RECHTS - SELBSTEINSTUFUNG(V123)

XENOPHOB

+

Abbildung 7: Regression von XENOPHOB auf ALTER, LINKS-RECHTS-SELBSTEINSTUFUNG und die INTERAKTION beider metrischer unabhängiger Variablen

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43

Die trivariate Verteilung von XENOPHOB, ALTER (V247) und LR-SELBST.(V123) lässt sich mit Hilfe eines dreidimensionalen Scatterplots leicht veranschaulichen. Das Ziel unseres Regressionsverfahrens besteht darin, in diesen dreidimensionalen Datenraum eine Ebene so zu legen, dass sie von allen Datenpunkten die geringste quadrierte Abweichung aufweist. SPSSfWin-Menü:

Grafik - Scatterplot - 3D

Das mit Hilfe dieser Menüeinstellungen erzeugte dreidimensionale Streudiagramm müssen Sie im Grafikeditor nachbearbeiten, um die Qualität der folgenden Abbildung zu erreichen. SPSSfWin-Syntax für die Erstellung des dreidimensionalen Streudiagramms: GRAPH /SCATTERPLOT(XYZ)=v247 WITH xenophob WITH v123 /MISSING=LISTWISE .

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44

30

X E N O P H O B

25 20 15 10 5 100

80

60

ALT E R

40

20

2

4

6

8

10 12

L-R -S elbst.

Abbildung 8: Dreidimensionales Streudiagramm für XENOPHOB, ALTER und Links-RechtsSelbsteinstufung Wir die Schätzung des Interaktionseffektes benötigen Sie als Hilfsvariable das Produkt der beiden unabhängigen Variablen, das Sie mit Hilfe der folgenden Menüeinstellung berechnen können.

SPSSfWin-Menü:

Transformieren - Berechnen

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45

Um das û R² und den partiellen F-Test zu berechnen, müssen Sie auf der /STATISTICS-Option des Regressionsbefehls die Angabe CHA hinzufügen. Diese Angabe ist aber nicht im Menüsystem enthalten. Es empfiehlt sich aber, über das Menü “lineare Regression” die benötigten Variablen auszuwählen und die Standardoptionen anzufordern. Mit Hilfe des “Befehl”-Knopfs lassen sich die entsprechenden Kommandos in das Syntaxfenster übernehmen. Dort ändern Sie diesen Befehl entsprechend ab und führen ihn aus.

SPSSfWin-Syntax: Durchführung des hierarchischen Modelltests * Bildung der Hilfsvariablen für den Interaktionseffekt v123 und v247. compute v123v247=v123*v247. * Multiples lineares Regressionsmodell mit Interaktionseffekt. * Hierarchischer Modelltest. REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA CHA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT xenophob /METHOD=ENTER v247 /METHOD=ENTER v123 /METHOD=ENTER v123v247.

SPSS-Listing: * * * *

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

* * * *

Listwise Deletion of Missing Data

XENOPHOB V247 V123 V123V247

Mean

Std Dev

Label

13,345 46,128 5,227 244,788

5,755 16,998 1,658 130,106

ALTER: BEFRAGTE LINKS-RECHTS-SELBSTEINSTUFUNG, BEFR.

N of Cases =

1081

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-

Correlation, 1-tailed Sig: XENOPHOB

V247

V123

V123V247

1,000 ,

,325 ,000

,209 ,000

,336 ,000

V247

,325 ,000

1,000 ,

,131 ,000

,771 ,000

V123

,209 ,000

,131 ,000

1,000 ,

,695 ,000

V123V247

,336 ,000

,771 ,000

,695 ,000

1,000 ,

XENOPHOB

* * * *

M U L T I P L E

Equation Number 1

R E G R E S S I O N

Dependent Variable..

XENOPHOB

Descriptive Statistics are printed on Page Block Number

1.

Method:

Enter

* * * *

12

V247

Variable(s) Entered on Step Number 1.. V247 ALTER: BEFRAGTE Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,32539 ,10588 ,10505 5,44438

Analysis of Variance DF Regression 1 Residual 1079 F =

R Square Change ,10588 F Change 127,77535 Signif F Change ,0000 Sum of Squares 3787,41743 31982,87859

127,77535

Signif F =

Mean Square 3787,41743 29,64122

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable V247 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

,110172 8,263085

,009746 ,479107

,325395

11,304 17,247

,0000 ,0000

------------- Variables not in the Equation ------------Variable

Beta In

Partial

Min Toler

T

Sig T

V123 V123V247

,168763 ,210342

,176932 ,141542

,982778 ,404866

5,902 4,694

,0000 ,0000

End Block Number

1

All requested variables entered.

46

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-

47

Schätzung des linear-additiven Modells für ALTER und LR-SELBST: * * * *

M U L T I P L E

Equation Number 1 Block Number

2.

R E G R E S S I O N

Dependent Variable.. Method:

Enter

* * * *

XENOPHOB

V123

Variable(s) Entered on Step Number 2.. V123 LINKS-RECHTS-SELBSTEINSTUFUNG, BEFR. Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,36589 ,13387 ,13227 5,36096

Analysis of Variance DF Regression 2 Residual 1078 F =

R Square Change F Change Signif F Change

Sum of Squares 4788,64039 30981,65563

83,30985

Signif F =

,02799 34,83734 ,0000

Mean Square 2394,32019 28,73994

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable V247 V123 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

,102673 ,585731 5,547574

,009681 ,099237 ,658964

,303247 ,168763

10,606 5,902 8,419

,0000 ,0000 ,0000

------------- Variables not in the Equation ------------Variable V123V247

Beta In

Partial

Min Toler

T

Sig T

-,323595 -,074885

,046384

-2,464

,0139

End Block Number

2

All requested variables entered.

Schätzung des linearen Regressionsmodells mit dem Interaktionseffekt von ALTER und LR-SELBST (“bedingte Effekte”) * * * * Equation Number 1 Block Number

3.

M U L T I P L E

R E G R E S S I O N

Dependent Variable.. Method:

Enter

* * * *

XENOPHOB

V123V247

Variable(s) Entered on Step Number 3.. V123V247 Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error

,37246 ,13873 ,13633 5,34839

R Square Change F Change Signif F Change

,00486 6,07365 ,0139

Dr. Wolfgang Langer - Integrierte Veranstaltung Methoden IV WS 2002/2003 Analysis of Variance DF Regression 3 Residual 1077 F =

Sum of Squares 4962,37893 30807,91709

57,82585

Signif F =

-

48

Mean Square 1654,12631 28,60531

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable V247 V123 V123V247 (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

,178511 1,264043 -,014314 2,007886

,032253 ,292501 ,005808 1,579592

,527236 ,364200 -,323595

5,535 4,322 -2,464 1,271

,0000 ,0000 ,0139 ,2040

End Block Number

3

All requested variables entered.

Modellgleichung für das linear additive Modell ohne Interaktionseffekt: yˆ a  b1 V247 b2 V123 5,55  0,10 V247  0,59 V123 Linksextreme (V123 1): yˆLinksextrem 5,44  0,10 V247  0,59 1 Rechtsextreme (V123 10): yˆRechtsextrem 5,44  0,10 V247  0,59 10

5,44  0,10 V247  5,90

Kurzinterpretation: Betrachtet man die Modellanpassung dieses linear-additiven Modells, so zeigt sich, dass ALTER und Links-Rechts-Selbsteinschätzung 13,39% der Variation von XENOPHOB “erklären”. Wie dem F-Wert zu entnehmen ist, fällt dieser Informationsgewinn statistisch bedeutsam aus. D.h., der Stichprobenbefund gilt ebenfalls für die Grundgesamtheit der Westdeutschen. Unter Kontrolle der politischen Selbsteinschätzung steigt pro Lebensjahr die Fremdenfeindlichkeit schätzungsweise um 0,10 Skalenpunkte. Umgekehrt erhöht sich die geschätzte Fremdenfeindlichkeit pro Skaleneinheit der Links-Rechts-Selbsteinstufung um 0,59 Punkte. Beide Regressionskoeffizienten sind mindestens auf dem 5 % Niveau statistisch signifikant, so dass ihre Effekte für die Grundgesamtheit gelten. Vergleicht man ihre relative Einflussstärke anhand der standardisierten Regressionskoeffizienten, so zeigt sich, dass das Alter mit +0,30 einen nahezu doppelt so starken Einfluss ausübt wie die politische Orientierung mit +0,17. Die Ergebnisse unserer Schätzung lassen sich mit Hilfe eines dreidimensionalen Streudiagramm leicht veranschaulichen. Auf der Y-Achse tragen wir nun anstelle der beobachteten Werte für XENOPHOB die im Regressionsmodell geschätzten Werte von Y ab. Vergleicht man nun den Verlauf der 10 für die einzelnen Gruppen der politischen Orientierung geschätzten Geraden, so zeigt sich, dass sie parallel verlaufen und damit eine Ebene aufspannen. Dies bedeutet, dass im linear-additiven Modell das Alter über alle Gruppen der politischen Orientierung hinweg gleichermassen wirkt.

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X E N O P H O B

-

49

22 20 18 16 14 12 10

Y *

8 1 00

80

60

AL T E R

40

20

2

4

6

8

1 0 12

L.R .-S e lb st.

Abbildung 9: Regression von XENOPHOB auf ALTER (V247) und Links-Rechts-Selbsteinstufung (V123) ohne Interaktionseffekt. ALLBLUS 94: ABL. R² = 13,39 %

Einbeziehung des Interaktionseffekts zwischen ALTER und Links-RechtsSelbsteinstufung Bei der Einbeziehung der Interaktion zwischen Alter und Politische Orientierung in das linearadditive Regressionsmodell müssen wir beachten, dass es sich nunmehr bei allen Regressionskoeffizienten um konditionale Schätzer handelt. Das heißt, sie messen den Einfluss ihrer Variablen unter der Bedingung, dass alle übrigen Merkmale den Wert Null aufweisen. Im Gegensatz zum Regressionsmodell mit der Interaktion zwischen einer Dummy- und einer metrischen Variablen erschwert dies die Interpretation beträchtlich, da weder das Alter noch die Links-Rechts-Selbsteinstufung über einen “echten Nullpunkt” verfügen. Im Vergleich zum reinen Haupteffektmodell führt die Einbeziehung des Interaktionseffektes zu einer Verbesserung der Modellanpassung um rd. 0,5 %. Wie dem partiellen F-Test zu entnehmen ist, erweist sich der zusätzlich erzielte Informationsgewinn als statistisch signifikant. Obwohl die Haupteffekte von V247 und V123 mit der Interaktionsvariablen V123V247 mit mindestens 0,70 korrelieren, tritt die Multikollinearität nach den Kriterien von Maddala kaum in Erscheinung. Der Interaktionseffekt erweist sich auf dem 1 % Niveau als statistisch signifikant. Sein negatives Vorzeichen bedeutet, dass mit zunehmender Rechtsorientierung das Lebensalter oder die Kohortenzugehörigkeit ihren Einfluss immer mehr einbüßt. Hingegen übt das Lebensalter seinen stärksten Einfluss in der Gruppe der Linksextremen aus. Formal lässt dies sich zeigen, wenn man jeweils die ersten partiellen Ableitungen für ALTER (V247) und Links-Rechts-Selbsteinschätzung (V123) berechnet. Beide Variablen wirken nicht mehr un-

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abhängig voneinander, sondern ihre Effektstärken hängen jeweils von der Ausprägung der anderen Variablen ab. Sein geringer Betrag von -0,014 ist darauf zurückzuführen, dass unsere durch Multiplikation gewonnene Hilfsvariable über einen dreistelligen Wertebereiche verfügt, der im Vergleich zum ursprünglichen ALTER um das Zehnfache gestreckt wird.

Modellgleichung für das linear additive Modell mit Interaktionseffekt ( Bedingte / konditionale Schätzer ! ) yˆ a  b1 V247 b2 V123 b3 (V123 V247 )

2,01  0,18 V247  1,26 V123 0,014 (V123 V247) 1.Partielle Ableitung für V247:

Y

b1  b3 V123 0,18 0,014 V123 V247

1.Partielle Ableitung für V123:

Y

b2  b3 V247 1,26 0,014 V247 V123

Linksextreme (V123 1): yˆLinksextrem 2,01  0,18 V247  1,26 1 0,014 (1 V247)

2,01  0,18 V247  1,26 0,014 (V247) Rechtsextreme (V123 10): yˆRechtsextrem 2,01  0,18 V247  1,26 10 0,014 (10 V247)

2,01  0,18 V247  12,6 0,14 (V247)

Um die Interpretation zu vereinfachen, empfiehlt es sich, die Vorsagegleichungen der politischen Extremgruppen aufzustellen. Setzt man die entsprechenden Werte in den Interaktionsterm ein, so fällt der durch das negative Vorzeichen indizierte Dämpfungseffekt bei den Rechtsextremen zehnmal so stark aus wie im linksextremen Lager. Vergleicht man seine Steigung mit der des bedingten Alterseffekts (-0,14 vs. 0,18), so hebt er diesen fast vollständig auf. In der folgenden Abbildung ist dies leicht an der abnehmenden Steigung der zugehörigen Regressionsgeraden zu erkennen. Mit zunehmender Rechtstendenz fällt die vom Alter induzierte Steigung immer flacher aus. Bezüglich unser Hypothese 3 bedeutet dies, dass wir einen “Regressionseffekt der Extremgruppen” nachgewiesen haben. Während mit zunehmender Rechtsorientierung der Einfluss des Alters (des Geburtsjahrgangs) immer geringer ausfällt, übt es gerade in der Gruppe der Linksextremen seinen stärksten Einfluss aus. Damit zeigt sich zumindest bezüglich der relativen Veränderungen, dass wir mit zunehmenden Alter eine Annäherung der Extremgruppen identifiziert haben. Diese wechselseitige Dämpfung der Effekte des Alters und der politischen Orientierung auf die geäußerte Fremdenfeindlichkeit lässt sich mit Hilfe des Steigungskoeffizienten b3 exakt bestimmen, wie den ersten partiellen Ableitungen zu entnehmen ist.

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51

Bezogen auf das Alter (V247) bedeutet der Steigungskoeffizient b3, dass dieser den Altershaupteffekt b1 von +0,18 mit jeder Einheit, die sich der Befragte auf der zehnstufigen Likertskala der politischen Orientierung nach Rechts bewegt, um jeweils 0,014 Skalenpunkte reduziert. Vice versa führt die Interaktion beider Merkmale dazu, dass der Einfluss der politischen Orientierung (V123) auf die geäußerte Fremdenfeindlichkeit pro Jahr, das der Befragte älter wird, ebenfalls um 0,014 Skalenpunkte abnimmt. Dies entspricht in 10 Jahren einer Minderung der Effektstärke um 0,14 Punkte. Für die Achtzigjährigen beträgt die Dämpfung 1,12 Punkte, wodurch der Einfluss der politischen Orientierung nahezu neutralisiert wird. Mit Hilfe der obigen Prognosegleichungen lässt sich die Interaktion zwischen Alter und politischer Orientierung der Befragten im zwei- oder dreidimensionalen Streudiagrammen graphisch veranschaulichen. 20

18

16

14

XENOPHOB Y*

12

10

8

6 0

20

40

60

80

100

ALTER: BEFRAGTE Abbildung 10:

Regression von XENOPHOB auf ALTER(V247) und LR-Selbst.(V123) mit dem Interaktionseffekt beider unabhängiger Variablen. ALLBUS 94: ABL. (R² = 13.83 %)

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X E N O P H O B

-

52

20 18 16 14 12 10

Y *

8 100 80 60 40 20 ALTE R

Abbildung 11:

2

4

8

10 12

6 L.R .S E LB S T.

Regression von XENOPHOB auf ALTER (V247) und LR-Selbst. (V123) mit dem Interaktionseffekt beider unabhängiger Variablen ALLBUS 94: ABL. (R² = 13,83 %)