II

Die Logik der Sprache PL

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Der Aufbau der Sprache PL

Ein Beispiel (1) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also: Sokrates ist sterblich. Problem Intuitiv ist dieses Argument gültig. Aber mit aussagenlogischen Mitteln lässt sich seine Gültigkeit nicht nachweisen. 1

Die Sprache PL – Syntax

Denn wenn wir versuchen, das Argument (1) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also: Sokrates ist sterblich. in AL zu übersetzen, geht das nur so: (1′) p q Also: r p q r

! ! !

Alle Menschen sind sterblich Sokrates ist ein Mensch Sokrates ist sterblich

Und das Argument (1′) ist sicher nicht gültig. Die Sprache PL – Syntax

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Fazit Um die Gültigkeit von (1) nachzuweisen, benötigen wir eine reichere Sprache als AL – eine Sprache, deren Sätze eine größere innere Struktur aufweisen. Aus diesem Grund betrachten wir im folgenden die strukturreichere Sprache PL. Vorbemerkung Da wir wiederum nur an Argumenten interessiert sind, enthält auch PL nur Aussagesätze.

Die Sprache PL – Syntax

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Syntax 1. Aus welchen Grundzeichen oder Grundausdrücken sind die Sätze dieser Sprache aufgebaut? 2. Wie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache? Semantik 1. Was bedeuten die Grundzeichen der Sprache? 2. Wie ergeben sich aus der Bedeutung der Grundzeichen Wahrheitsbedingungen für die Sätze dieser Sprache?

Die Sprache PL – Syntax

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16.1

Die Syntax von PL

Vorüberlegungen Welche Arten von Ausdrücken gibt es im Deutschen? 1. Auch im Deutschen gibt es Satzoperatoren (‚und‘, ‚weil‘, obwohl‘, ‚nachdem‘ usw.). 2. Daneben gibt es aber auch Namen (‚Hans‘, ‚Edelgard Bulmahn‘, ‚Paris‘, ‚Spanien‘, ‚Elbe‘ usw.). 3. Es gibt Prädikate (‚ist eine Großstadt‘, ‚liegt an‘, ‚trainiert‘ usw.). 4. Und es gibt quantifizierende Ausdrücke (‚alle‘, ‚es gibt mindestens ein‘ usw.). Die Sprache PL – Syntax

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Namen bezeichnen Gegenstände. Prädikate drücken Eigenschaften oder Beziehungen aus; sie treffen auf Gegenstände oder n-Tupel von Gegenständen zu. Prädikate und Namen werden unter anderem dazu verwendet, Sätze zu bilden, in denen Gegenständen Eigenschaften zugesprochen werden oder in denen gesagt wird, dass Gegenstände in bestimmten Beziehungen zueinander stehen.

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Beispiele Pablo Picasso ist berühmt. Rom ist eine Hauptstadt. Herbert trainiert. Dresden liegt an der Elbe. Heribert läuft schneller als Frieder. Bielefeld liegt zwischen Hannover und Dortmund.

! Prädikate unterscheiden sich in ihrer Stellenzahl. Es gibt einstellige, zweistellige, dreistellige Prädikate usw. Die Sprache PL – Syntax

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Neben den Junktoren soll es in PL auch Zeichen geben, die den Namen und den Prädikaten im Deutschen entsprechen. Diese werden ‚Individuenkonstanten‘ und ‚Prädikatbuchstaben‘ heißen. Außerdem soll es in PL Ausdrücke geben, die den Ausdrücken ‚alle‘ und ‚mindestens ein‘ im Deutschen entsprechen.

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Deskriptive Zeichen von PL Individuenkonstanten Individuenkonstanten sind kleine Buchstaben ab dem Buchstaben ‘a’, wenn nötig auch mit Indizes. Also z.B. die Zeichen ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’ usw. sowie die Zeichen ‘a1’, ‘a2’, ..., ‘b1’, ‘b2’ usw. Prädikatbuchstaben Prädikatbuchstaben sind Zeichen der Form ‘Fn’, ‘Gn’, ‘Hn’ usw., wenn nötig auch mit Indizes. (Das hochgestellte ‘n’ steht für die Stellenzahl des Prädikatbuchstabens). Also z.B. die Zeichen ‘F1’, ‘F2’, ‘F3’, ‘G1’ ‘G2’, ‘H1’ usw. sowie die Zeichen ‘F11’, ‘F21’, ‘H13’, usw. Die Sprache PL – Syntax

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Logische Zeichen von PL Die Junktoren ‘¬’, ‘∧’, ‘∨’, ‘→’ und ‘↔’. Die Quantorzeichen ‘∀’ und ‘∃’. Individuenvariablen Individuenvariablen sind kleine Buchstaben ab dem Buchstaben ‘x’, wenn nötig auch mit Indizes. (Also z.B. die Zeichen ‘x’, ‘y’, ‘z’ usw. sowie die Zeichen ‘x1’, ‘x2’, ..., ‘y1’, ‘y2’ usw.)

 Quantoren  Quantoren sind aus je einem Quantorzeichen und  einer Individuenvariablen aufgebaut: ’∀x’, ’∃y’ usw.  Die Sprache PL – Syntax

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Hilfszeichen von PL Die beiden Klammern ‘(’ und ‘)’.

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Sätze der Sprache PL 1. Atomare Sätze Atomare Sätze bestehen aus einem Prädikatbuchstaben, der von einer seiner Stellenzahl entsprechenden Anzahl von Individuenkonstanten gefolgt wird. Beispiele F1a G1e F2a4a1 H2cc H3b1a4c3 Die Sprache PL – Syntax

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2. Komplexe Sätze Komplexe Sätze entstehen, indem man vor einen Satz das Zeichen ‘¬’ schreibt oder indem man zwischen zwei Sätze die Zeichen ‘∧’, ‘∨’, ‘→’ oder ‘↔’ schreibt. Dabei muss – außer bei der Anwendung des Negationszeichen – der neu erzeugte Satz in Klammern gesetzt werden.

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Beispiele ¬F1a ¬¬H1c (F1a ∧ H1c) ¬(F2bb ∨ G2bc) (¬G2ad → G1b) (¬F1a ∧ (G2ac ↔ H3dad)) Es gelten wieder die Klammerersparnisregeln 1. Äußerste Klammern dürfen weggelassen werden. 2. ‘∧’ und ‘∨’ binden stärker als ‘→’ und ‘↔‘. Die Sprache PL – Syntax

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3. Quantifizierte Sätze (1) Um den Aufbau dieser dritten Art von Sätzen präzise beschreiben zu können, müssen zunächst noch einige Vorbereitungen getroffen werden. Als erstes muss ein zentraler Hilfsbegriff eingeführt werden – der Begriff der Satzfunktion.

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Die Sprache PL – Syntax

Vorläufige Definition Satzfunktionen sind Sätze und die Ausdrücke, die aus Sätzen entstehen, wenn man in ihnen eine oder mehrere Individuenkonstanten durch Individuenvariablen ersetzt. Beispiele Der Satz ‘G2ab’ ist eine Satzfunktion. Aus ihm kann man unter anderem aber auch die folgenden Satzfunktionen gewinnen: G2xb

G2xy

G2ay

G2xx

Die Sprache PL – Syntax

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Aus Satzfunktionen kann man auf zwei Arten Sätze erzeugen: 1. Indem man die Individuenvariablen wieder durch Individuenkonstanten ersetzt. F1x F1a

G2ay G2ac

G2xy G2by G2ba

2. Indem man vor die Satzfunktionen geeignete Quantoren schreibt, um – wie man sagt – die Variablen zu binden. F1 x

G2ay

G2xy

∀xF1x

∃yG2ay

∃yG2xy

Die Sprache PL – Syntax

∀x∃yG2xy

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Weitere Hilfsbegriffe Definition 16.1 Der Bereich eines Quantors ist die kürzeste vollständige Satzfunktion, die unmittelbar auf den Quantor folgt. Beispiele (1) ∀x(F1x ∧ G1x) (2) ∀yF2ay (3) ∀xF1x ∧ G1x (4) ∀yF2xy (5) F2xy (6) ∃x∀yF2xy Die Sprache PL – Syntax

(6) ∃x∀yF2xy 18

Definition 16.2 Ist A eine Satzfunktion, in der die Variable α vorkommt, dann heißt ein Vorkommnis von α in A genau dann gebunden, wenn dieses Vorkommnis in einem Quantor oder im Bereich eines Quantors mit derselben Variable liegt. Definition 16.3 Ist A eine Satzfunktion, in der die Variable α vorkommt, dann heißt ein Vorkommnis von α in A genau dann frei, wenn dieses Vorkommnis nicht gebunden ist.

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Beispiele (Freie Vorkommnisse sind durch grüne, gebundene Vorkommnisse durch rote Buchstaben gekennzeichnet.) (1) ∀x(F1x ∧ G1x) (2) ∀yF2ay (3) ∀xF1x ∧ G1x (4) ∀yF2xy (5) F2xy (6) ∃x∀yF2xy Die Sprache PL – Syntax

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Auf der Grundlage der bisher getroffenen Festlegungen, die sich nur auf einzelne Vorkommnisse von Variablen beziehen, kann man weiter allgemein definieren: Definition 16.4 Eine Variable α kommt in einer Satzfunktion A genau dann frei vor, wenn wenigstens ein Vorkommnis von α in A frei ist. Definition 16.5 Eine Variable α kommt in einer Satzfunktion A genau dann gebunden vor, wenn wenigstens ein Vorkommnis von α in A gebunden ist. Die Sprache PL – Syntax

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! Eine Variable kann in einer Satzfunktion sowohl frei als auch gebunden vorkommen. (Das ist etwa im Beispiel (3) der Fall.)

Die Sprache PL – Syntax

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3. Quantifizierte Sätze (2) Ist B eine Satzfunktion und α die einzige Individuenvariable von PL, die in B frei vorkommt, dann sind ∀αB und ∃αB Sätze von PL.

Die Sprache PL – Syntax

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Definition 16.6 A ist genau dann eine Satzfunktion der Sprache PL, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) Φn ist ein n-stelliger Prädikatbuchstabe von PL, τ1, ..., τn sind n Individuenkonstanten oder Individuenvariablen von PL und A = Φnτ1...τn; (ii) B und C sind Satzfunktionen von PL, und A = ¬B, A = (B ∧ C), A = (B ∨ C), A = (B → C) oder A = (B ↔ C); (iii) B ist eine Satzfunktion und α eine Individuenvariable von PL, die in B frei vorkommt, und A = ∀αB oder A = ∃αB.

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Definition 16.7 A ist genau dann ein Satz von PL, wenn A eine Satzfunktion von PL ist, in der keine Variable frei vorkommt.

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Die Sprache PL – Syntax

Beispiele (1)

G1c

(2)

F3aac

(3)

G1y

(4)

F2xx

(5)

F1a → G2ba

(6)

¬¬(H1a ∨ ¬F2xy)

(7)

∃yG1y

(8)

∀x(F1y ↔ F3ayb)

Die Sprache PL – Syntax

!

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Weitere Beispiele (9)

¬(∃zF3zb)

(10)

∀x(F1x → ∃yF3ayb)

(11)

¬(F1a → ∃yH1y)

(12)

∀x(F1x → ∃yG2yx)

(13)

∃y(F1x ∨ ¬F2axy)

(14)

∀x(F1x → ∃xG1x)

(15)

∀x(F1y → ∃xG1x)

!

!

!

Die Sprache PL – Syntax

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Verabredung Ist A eine Satzfunktion, α eine Individuenvariable und τ eine Individuenkonstante, dann soll mit ‚[A]"‘ die Satzfunktion bezeichnet werden, die entsteht, wenn man in A alle freien Vorkommnisse von α durch τ ersetzt

Die Sprache PL – Syntax

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Beispiele (1)

[F1x]#

= F1 a

(2)

[F2xy]$

= F2by

(3)

[F1x]%&

= F1x

(4)

[∃xF2xy]' = ∃xF2xb

(5)

[[F2xy]#]%&= [F2ay]% = F2aa

(6)

[G3abx ∨ ∃xF1x]# = G3aba ∨ ∃xF1x

(7)

[∀yG3ayy → ∃yF1y]% = ∀yG3ayy → ∃yF1y

(8)

[∀yF2xy ↔ ∀xF2xx]# = ∀yF2ay ↔ ∀xF2xx

Die Sprache PL – Syntax

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16.2

Die Semantik von PL

Die Bedeutung der deskriptiven Zeichen der Sprache PL Die Bedeutung der deskriptiven Ausdrücke der Sprache PL wird durch eine Interpretation I festgelegt. Interpretationen spielen in PL die Rolle, die Bewertungen in AL spielen.

Die Sprache PL – Semantik

1

Interpretationen Jede Interpretation I besteht aus der Angabe eines nichtleeren Bereichs D und einer Funktion V, die jedem deskriptiven Zeichen von PL eine Bedeutung zuweist. Jede Interpretation I ist also ein geordnetes Paar aus einem Bereich D und einer Funktion V. Erinnerung Die Individuenkonstanten von PL sollen den Namen der deutschen Umgangssprache entsprechen, und die Prädikatbuchstaben von PL den Prädikaten der deutschen Umgangssprache. Die Sprache PL – Semantik

2

Individuenkonstanten In der deutschen Umgangssprache bezeichnen Namen einzelne Gegenstände (in einem weiten Sinne). So bezeichnet ‘Gerhard Schröder’ die Person Gerhard Schröder und ‘Rom’ die Stadt Rom. Auch Individuenkonstanten sollen Gegenstände bezeichnen; deshalb wird bei jeder Interpretation I = jeder Individuenkonstanten τ von PL durch die Funktion V ein Gegenstand V(τ) des Bereichs D zugeordnet – der Gegenstand, den τ bzgl. I bezeichnet.

Die Sprache PL – Semantik

3

Prädikatbuchstaben 1 Umgangssprachliche Prädikate zeichnen sich dadurch aus, dass sie auf Gegenstände (bzw. auf Paare oder n-Tupel von Gegenständen) zutreffen. So trifft das Prädikat ‚... ist ein Freizeitradsportler‘ auf Rudolf Scharping zu. Und ‚... ist älter als ...‘ trifft z.B. auf das geordnete Paar aus Gerhard Schröder und Bill Clinton zu. Die Bedeutung jedes umgangssprachlichen Prädikats kann also durch die Menge der Gegenstände (bzw. die Menge der n-Tupel von Gegenständen) angegeben werden, auf die das Prädikat zutrifft.

Die Sprache PL – Semantik

4

Prädikatbuchstaben 2 Entsprechend weist auch die Funktion V jedem Prädikatbuchstaben Φn von PL eine Menge von Gegenständen der Grundmenge D zu bzw. eine Menge von n-Tupeln von Gegenständen von D. Jede Interpretation I = legt so für jeden Prädikatbuchstaben Φn die Menge V(Φn) der Dinge (bzw.der n-Tupel von Dingen) fest, auf die Φn bzgl. I zutrifft.

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Definition 16.9 Eine Interpretation I der Sprache PL ist ein geordnetes Paar aus einer nichtleeren Menge D (dem Bereich von I) und einer Abbildung V, die 1. jeder Individuenkonstante τ von PL ein Element von D und 2. jedem n-stelligen Prädikatbuchstaben Φn von PL eine Menge von n-Tupeln von Elementen von D zuordnet.

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6

Beispiel einer Interpretation I1 = D1

= die Menge der natürlichen Zahlen

V1(ai) = i für alle Individuenkonstanten ai von PL V1(F1) = {x; x ist eine gerade natürliche Zahl} V1(G1) = {x; x ist eine ungerade natürliche Zahl} V1(H1) = {x; x ist eine Primzahl} V1(F2) = {; x ist kleiner als y} V1(G2) = {; x ist größer als y} V1(F3) = {; x + y = z} Die Interpretation der übrigen Individuenkonstanten und Prädikatbuchstaben sei beliebig. Die Sprache PL – Semantik

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Die Wahrheitsbedingungen der Sätze von PL 1. Atomare Sätze • Atomare Sätze bestehen aus einem Prädikatbuchstaben, der von einer seiner Stellenzahl entsprechenden Anzahl von Individuenkonstanten gefolgt wird. • Individuenkonstanten bezeichnen Gegenstände von D, Prädikatbuchstaben treffen auf Gegenstände bzw. auf n-Tupel von Gegenständen zu.

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Atomare Sätze 2 Betrachten wir einen Satz der Form Φ1τ. Ein solcher Satz ist bzgl. einer Interpretation I = genau dann wahr, wenn der Gegenstand V(τ), den V τ zuordnet, zur Menge V(Φ1) gehört, die V Φ1 zuordnet. Beispiel ‘F1a1’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn V1(a1) Element der Menge V1(F1) ist, d.h. wenn 1 Element der Menge der geraden natürlichen Zahlen ist, wenn also 1 eine gerade natürliche Zahl ist. Die Sprache PL – Semantik

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Weitere Beispiele ‘G1a3’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn V1(a3) Element der Menge V1(G1) ist, d.h. wenn 3 Element der Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist, wenn also 3 eine ungerade natürliche Zahl ist. ‘H1a4’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn V1(a4) Element der Menge V1(H1) ist, d.h. wenn 4 Element der Menge der Primzahlen ist, wenn also 4 eine Primzahl ist. Die Sprache PL – Semantik

9

Atomare Sätze 3 Generell Ein Satz der Form Φnτ1...τn ist bzgl. einer Interpretation I = genau dann wahr, wenn das nTupel der Gegenstände, die V den Individuenkonstanten τ1,… , τn zuweist, zur Menge der n-Tupel V(Φn) gehört, auf die Φn (bzgl. I) zutrifft. Beispiel ‘F2a1a3’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn das geordnete Paar Element der Menge V1(F2) ist, d.h. wenn Element der Menge {; x ist kleiner als y} ist, wenn also 1 kleiner als 3 ist. Die Sprache PL – Semantik

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Weitere Beispiele ‘G2a3a12’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn das geordnete Paar Element der Menge V1(G2) ist, d.h. wenn Element der Menge {; x ist größer als y} ist, wenn also 3 größer als 12 ist. ‘F3a4a7a11’ ist bgzl. I1 genau dann wahr, wenn das Tripel Element der Menge V1(F3) ist, d.h. wenn Element der Menge {; x + y = z} ist, wenn also 4 + 7 =11. Die Sprache PL – Semantik

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2. Komplexe Sätze Komplexe Sätze sind Sätze der Form ¬B, (B ∧ C), (B ∨ C), (B → C) und (B ↔ C). Ein Satz der Form ¬B soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B falsch (nicht wahr) ist bzgl. I. Ein Satz der Form (B ∧ C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B und C beide wahr sind bzgl. I. Ein Satz der Form (B ∨ C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn von den Sätzen B und C mindestens einer wahr ist bzgl. I.

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Komplexe Sätze 2 Ein Satz der Form (B → C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B falsch ist bzgl. I und/oder C wahr ist bzgl. I. Ein Satz der Form (B ↔ C) soll genau dann wahr sein bzgl. einer Interpretation I, wenn B und C beide wahr sind oder beide falsch sind bzgl. I.

Die Sprache PL – Semantik

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3. Quantifizierter Sätze Wann ist der Satz (1)

∀x G2 xa3

bezüglich der Interpretation I1 = wahr? Wir erinnern uns: D1

= die Menge der natürlichen Zahlen.

V1(a3) = 3 V1(G2) = {; x ist größer als y} Der Satz (1) soll also offenbar besagen, dass alle natürlichen Zahlen größer sind als 3. Wie kann man diese Wahrheitsbedingung präzise fassen? Die Sprache PL – Semantik

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Ausgangsüberlegung ‚∀xG2 xa3‘ ist genau dann wahr bzgl. I1, wenn der Satz ‚G2 aa3‘ wahr ist – unabhängig davon, welche Zahl die Individuenkonstante ‘a’ bezeichnet.

Die Sprache PL – Semantik

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Definition 16.10 Sind I = und I′ = zwei Interpretationen und ist τ eine Individuenkonstante von PL, dann ist I′ eine τ-Variante von I (symbol.: I′ ( I) genau dann, wenn sich I′ von I höchstens bzgl. der Interpretation von τ unterscheidet, d.h. wenn gilt: (a) D = D′, (b) V′ ordnet allen Individuenkonstanten – außer möglicherweise τ – dieselben Gegenstände zu wie V und (c)

V′ ordnet allen Prädikatbuchstaben dieselben Werte zu wie V.

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Die Ausgangsüberlegung lässt sich jetzt so formulieren ‚∀xG2 xa3‘ ist genau dann wahr bzgl. I1, wenn der Satz ‚G2 aa3‘ wahr ist bzgl. aller a-Varianten I′ von I1. Außerdem gilt G2 aa3 = [G2 xa3]# Mit anderen Worten ‚∀xG2 xa3‘ ist genau dann wahr bzgl. I1, wenn der Satz [G2 xa3]# wahr ist bzgl. aller a-Varianten I′ von I1.

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Generell Ein Satz der Form ∀αA ist genau dann wahr bzgl. einer Interpretation I, wenn der Satz [A]" wahr ist bzgl. aller τ-Varianten I′ von I, wobei τ eine Individuenkonstante ist, die in A nicht vorkommt. Für Existenzaussagen gilt entsprechend Ein Satz der Form ∃αA ist genau dann wahr bzgl. einer Interpretation I, wenn der Satz [A]" wahr ist bzgl. zumindest einer τ-Variante I′ von I, wobei τ eine Individuenkonstante ist, die in A nicht vorkommt.

Die Sprache PL – Semantik

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Definition 16.11 Ist I = eine Interpretation der Sprache PL, dann ist ein Satz A von PL genau dann wahr bzgl. I, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist atomar, d.h. A = Φnτ1...τn, und das nTupel ist Element der Menge von n-Tupeln, die V dem Prädikatbuchstaben Φn zuordnet, d.h. Element von V(Φn); (ii) A = ¬B, und B ist falsch bzgl. I; (iii) A = (B ∧ C), und die Sätze B und C sind beide wahr bzgl. I; (iv) A = (B ∨ C), und von den Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. I; Die Sprache PL – Semantik

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Definition 16.11 (2) (v)

A = (B → C), und B ist nicht wahr bzgl. I oder C ist wahr bzgl. I oder beides;

(vi)

A = (B ↔ C), und die Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch bzgl. I;

(vii) A = ∀αB (B ist eine Satzfunktion von PL, in der nur die Variable α frei vorkommt), und [B]"&ist wahr bzgl. aller τ-Varianten I′ von I, wobei τ eine Individuenkonstante von PL ist, die in B nicht vorkommt;

Die Sprache PL – Semantik

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Definition 16.11 (3) (viii) A = ∃αB (B ist eine Satzfunktion von PL, in der nur die Variable α frei vorkommt), und [B]" ist wahr bzgl. mindestens einer τ-Variante I′ von I, wobei τ eine Individuenkonstante von PL ist, die in B nicht vorkommt.

Die Sprache PL – Semantik

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Die folgenden Sätze sind wahr bzgl. I1 (1)

G1a1

(2)

¬F1a3

(3)

F1a3 → ¬G1a1

(4)

F2a1a3

(5)

F3a1a1a2

(6)

F3a1a2a3

(7)

¬∀xG2xa3

(8)

∃x(H1x ∧ G2xa2)

(9)

¬∃x(H1x ∧ F2xa2)

(10)

∀x∃zF2xz

Die Sprache PL – Semantik

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Die folgenden Sätze sind nicht wahr bzgl. I1 (11)

H1a4

(12)

F3a2a2a4 → G1a2

(13)

∃xF2xx

(14)

∀x∃yF2yx

(15)

∀x∀y∀z(F3xyz → G2xy).

Die Sprache PL – Semantik

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