Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendungen des bestimmten Integrals

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendungen des bestimmten Integrals Fläche zwischen zwei Graphen Mittelwert einer Funktion Volumen e...
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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Anwendungen des bestimmten Integrals

Fläche zwischen zwei Graphen Mittelwert einer Funktion Volumen eines Rotationskörpers Länge von Kurven, die Graphen von Funktionen sind (Bogenlänge bei Funktionsgraphen) Mantelfläche von Rotationskörpern

Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln Möglicher Einstieg: Meteorologen zeichnen eine Vielzahl von Wetterdaten minutiös auf, um Wetterlagen zu dokumentieren und Prognosen zu erstellen. z.B. Temperaturkurven Ges: Durchschnittstemperatur im Zeitintervall [a, b] Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln  Messen der Temperatur: z.B. jede Stunde, alle 10 Minuten, jede Minute, jede Sekunde …  Bilden des arithmetischen Mittels

Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln Abstrakt werden • in äquidistanten Abständen n Werte (Funktionswerte) gewählt und gemittelt  arithmetische Mittel muss nicht notwendig von einem Einzelwert angenommen werden Neumann/Rodner

1 n y   f ( xi ) n i 1

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln Was könnte ein vernünftiger Mittelwert einer stetigen Funktion f auf dem Intervall [a; b] sein? Wie kann das mithilfe der Integralrechnung geschehen? Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln • in äquidistanten Abständen n Werte (Funktionswerte) gewählt und gemittelt 1 n y   f ( xi ) n i 1  Für die Rechtecksumme gilt:

ba n   f ( xi )  ( b  a )  y , n i 1   xi

also Neumann/Rodner

Re chtecksumme y ba 6

Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln Für n   ergibt sich als Rechtecksumme der Flächeninhalt unter dem Graphen , also gilt : 1 b    f ( x )dx b  a a   Flächeninhalt

Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln Geometrisch gedeutet ist der Mittelwert  der Wert, der als konstante Funktion über dem Intervall [a, b] denselben Flächeninhalt unter dem Graphen hat. (z.B.  als Durchschnittsgeschwindigkeit; gleicher zurückgelegter Weg bei dieser konstanten Geschwindigkeit) Neumann/Rodner

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Mittelwert einer Funktion – Integrieren bedeutet auch Mitteln

 Für stetige Funktionen f ist der Mittelwert der Funktionswert eines Wertes x0 des Intervalls [a; b]. tieferes Verständnis des Funktions- und Mittelwertbegriffs  Bezug zur Stochastik: Erwartungswert einer Zufallsvariablen n  für den diskreten Fall: E( X )   pi xi i 1  für stetige Zufallsgrößen: Übergang zum Integral Neumann/Rodner

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Volumen rotationssymmetrischer Körper Mögliches Einstiegsbeispiel: Bestimmung des Volumens eines Weinfasses Näherungsweises Bestimmen durch Volumenbestimmung:  eines „mittleren“ Zylinders  zweier Kegelstümpfe  eines mittleren Zylinders und zweier Kegelstümpfe  mehrerer Zylinder und der Summe dieser Volumina Neumann/Rodner

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Volumen rotationssymmetrischer Körper

 wesentliche Daten müssen bei den verschiedenen Ansätzen festgelegt bzw. ermittelt werden  der letzte Ansatz erinnert an den anschaulichen Zugang zur Integralrechnung mit den Riemann‘schen Summen  durch Riemann‘sche Summen wurde bisher eine Fläche durch Rechteck-Streifen approximiert  bei zur x-Achse rotationssymmetrischen Körpern wird durch Zylinder approximiert Neumann/Rodner

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Volumen rotationssymmetrischer Körper  Annäherung der „Außenwand“ durch Funktionsgraphen einer Funktion f  n Unterteilungen des Intervalls [a; b]  Verwendung von n Zylindern der Dicke ba x  n

 Radius: f ( xi ) V  Vi    ( f ( xi ))²  x  Summe dieser i 1 i 1 Zylindervolumina n

n

Neumann/Rodner

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Volumen rotationssymmetrischer Körper Ist die Funktion f in [a; b] stetig, dann existiert das Integral als Grenzwert der Riemann‘schen Summen und es gilt für das Volumen:

V      f ( x ) dx b

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a

 Welche Fehler können die Schüler bei der Anwendung machen?  Statt dünnen Zylinderscheiben können auch Hohlzylinder aufsummiert werden. Welcher Ausgangspunkt liegt dieser Überlegung zugrunde? Neumann/Rodner

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