UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 243005 – SISTEMAS DINÁMICOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
1. ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Los elementos de un diagrama de bloques son el bloque, el punto de suma, el punto de bifurcación y las flechas que indican la dirección del flujo de señales. Punto de suma Bloque
a
Punto de bifurcación (Takeoff) ab
b
Figura 1 Elementos de un diagrama de bloques Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema radican en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema. El procedimiento para trazar un diagrama de bloques de un sistema es el siguiente:
Se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. Se aplica la transformada de Laplace a cada ecuación, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero. Se representa individualmente cada ecuación en forma de bloques. Se integran todos los bloques en un solo diagrama de bloques.
Ejemplo 1 Hacer una representación en diagrama de bloques del sistema eléctrico de la siguiente figura:
Figura 1 Circuito RC Página 1 de 9
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Donde ei (t ) (voltaje de entrada) es la señal de entrada, eo (t ) (voltaje de salida) es la señal de salida e i (t ) es la corriente. Solución: El procedimiento es el siguiente:
Se escriben las ecuaciones dinámicas del sistema:
ei (t ) eo (t ) R 1 eo (t ) i (t )dt C i (t )
(a) (b)
Se aplica la transformada de Laplace a cada ecuación:
Ei ( s) Eo ( s) (a) R 1 (b) Eo ( s) I ( s) Cs I ( s)
Se representa cada ecuación en forma de bloques:
(a)
(b)
Se integran todos los bloques en un solo diagrama
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2. REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación, se puede simplificar mediante la aplicación de las reglas del álgebra de bloques, lo que permite un reordenamiento paso a paso que culmina la reducción del sistema a un solo bloque. Algunas de las reglas más importantes del álgebra de bloque se muestran en la tabla 1. Tabla 1 Reglas del álgebra de bloques
Ejemplo 2 Reducir el diagrama de bloques que se presenta a continuación y obtener la función de transferencia.
Figura 2 Diagrama de bloques para el ejemplo 2 Página 3 de 9
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Solución: En primer lugar, lleva el bloque F después del punto de suma, obteniendo:
Ahora, se combinan los bloques en serie F y G , y los bloques del lazo 1 F y J , de manera que se obtiene lo siguiente:
Después, se intercambian los puntos de suma 2 y 3:
Luego, se simplifica el subsistema realimentado que involucra los bloques I y FG , obteniendo un bloque A equivalente a:
A
FG 1 FGI
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Nuevamente se simplifican los bloques en serie, en este caso A y H :
Posteriormente, se simplifica el subsistema realimentado que involucra los bloques HA y J F , obteniendo un bloque B equivalente a:
B
FGH 1 FGI GHJ
Finalmente, se reduce el sistema realimentado obteniendo la función de transferencia:
C (s) FGH R( s) 1 FGI GHJ FGH Otra manera, de realizar la reducción del diagrama de la figura 2 se presenta a continuación: Primero se traslada el bloque H antes del bloque de bifurcación y se redistribuye la ubicación de los puntos de suma de la entrada:
Ahora, se simplifica el subsistema realimentado conformado por los bloques G, H y J , de esta forma se obtiene el bloque D ; al mismo tiempo que se reducen los lazos que llegan al punto de suma de la parte inferior, obteniendo el bloque E :
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Después, se reducen los bloques en serie F y D :
Finalmente, se simplifica el sistema realimentado obteniendo la función de transferencia del sistema. Se recomienda al estudiante realizar esta última verificación.
3. REGLA DE MASON El ejemplo 2 pone en manifiesto que para la obtención de la función de transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques es necesario desarrollar habilidad en la manipulación de los mismos. Sin embargo, existe un procedimiento general para la obtención de la función de transferencia conocido como la regla de Mason. La regla de Mason emplea las definiciones que se presentan a continuación y que se ilustran en el ejemplo 3.
Trayectoria directa: Conjunto de bloques que van de la entrada a la salida, sin repetirse. Ganancia de la trayectoria directa: Producto de las ganancias de los bloques que forman la trayectoria directa. Lazo cerrado: Conjunto de bloques que parten de un punto de suma o bifurcación y llegan al mismo punto, sin repetir ningún bloque. Ganancia de lazo cerrado: Producto de las ganancias de los bloques que forman un lazo. Lazos adyacentes: Lazos que comparten al menos un punto de suma o bifurcación. Lazos no adyacentes: Lazos que no comparten ningún punto de suma o bifurcación.
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Ejemplo 3 Reducir el diagrama de bloques que se presenta a continuación usando la regla de Mason y obtener la función de transferencia.
Figura 4 Diagrama de bloques para el ejemplo 3 Solución: La única trayectoria directa entre la entrada R y la salida C , está conformada por los bloques F , G y H . Por lo tanto, la ganancia de la trayectoria directa es:
M 1 FGH Además existen tres lazos cerrados, cuyas ganancias son:
L1 FGH L2 GHJ L3 FGI Los signos de las ganancias dependen de la realimentación existente. Estos tres lazos son adyacentes, ya que comparten puntos de suma y de bifurcación. En este ejemplo no existen lazos no adyacentes. El cálculo de la función de transferencia M , aplicando la fórmula de Mason, está dado por: C ( s) N M k k M (1) R(s) k 1 En donde, N : Número total de trayectorias directas M k : Ganancia de la k-ésima trayectoria directa : 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos) + (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de dos lazos que no se tocan) – (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de tres lazos que no se tocan) + … k : La para aquella parte del diagrama que no toca la k-ésima trayectoria directa Página 7 de 9
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Aplicando esta fórmula se obtiene que existe solamente una trayectoria directa:
M 1 FGH Además existen tres lazos cerrados, los cuales son adyacentes entre si:
L1 FGH L2 GHJ L3 FGI Por lo que,
1 FGI FGH GHJ Y 1 1 , ya que todos los lazos tocan la trayectoria directa Reemplazando todos estos valores en la fórmula de Mason se obtiene que la función de transferencia del sistema está dada por:
C (s) FGH R( s) 1 FGI GHJ FGH Lo cual equivale a la solución obtenida en el ejemplo 2, cuando se usó el álgebra de bloques.
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas:
Dorf, R & Bishop, R. (2011). Mathematical models of systems. En: Modern control systems. (12a. ed.). (pp. 49-160). Estados Unidos: Prentice Hall. Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Block diagrams and signal flow graphs. En: Automatic control systems (9a.ed.). (pp. 104-146). Estados Unidos: John Wiley & Sons. Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas de control. En: Ingeniería de control moderna (5a. ed.). (pp. 13-62). Madrid, España: Pearson Education. Nise, N. (2011). Reduction of multiple subsystems. En: Control Systems Engineering (6a ed.). (pp. 235-300). Estados Unidos: John Wiley & Sons.
A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias:
Álgebra de bloques. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=nBCUPWFXb2g
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Bloques en el dominio s. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=H4GPPG_ef7Y Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html Design and analyze control systems. Recuperado en http://www.mathworks.com/help/control/index.html Dibujar el diagrama de bloques dada la función de transferencia 1. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=nSDLwJK2pUk Dibujar el diagrama de bloques dadas las ecuaciones de las señales. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=465cyxq9Ku4 Problemas resueltos de sistemas automáticos. Recuperado en http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 1. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=GsFcrkdzMXk Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 2. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=MJk_Ntjuk2A Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 3. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=NEunRyIboEo Simplificar el diagrama de bloques función de transferencia 4. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=AnyR4FHyJ-I Simulación de Circuito RL en Simulink. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=cBWMCQwaQJ8 Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html
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