Determinantes y la Regla de Cramer
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Matriz Inversa Nota: una matriz cuadrada que no tiene inversa
se llama matriz singular. Ejemplo: Hallar la inversa de A. [A|I ]
2 4 A 1 2 Si al aplicar el método de Gauss se obtiene ceros en los elementos de la última fila de la matriz de coeficientes. Por lo tanto, la matriz A no tiene inversa
2 4 1 0 1 2 0 1 1 2 12 0 1 2 0 1
1 2 12 1 0 0 2
0 1
1 2
R1
R1 R 2
2
Determinante de una matriz Está definido solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz cuadrada es un número real. Definición: Si A= [aij] es una matriz de dimensión 1x1, entonces |A| = a11.
a11 a12 Si A es una matriz cuadrada de dimensión 2x2, a21 a22
entonces el determinante de A, denotado por |A| o det(A), es |A| = a11 a22 – a21 a12. 1
a11 A a 21
2
a12 a 22
El determinante de la matriz A :
el producto de los elementos a11 a22 menos 3
el producto de los elementos a21 a12.
Determinantes Ejemplo 1: Dado la matriz A, halle su determinante.
2 4 A 1 2 El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A) es
|A| = 2(-2) – 1(-4)
= -4 + 4
=0 4
Determinantes Ejemplo 2. Dado la matriz A, halle el determinante de la matriz A.
2 4 A 6 5
5
Determinantes Ejemplo 3. Determine el valor de a tal que el det(C) = 2.
5 3 C 4 a
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Determinante de una matriz de orden 3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: • Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:
a11 a12 a13 a11 a12 A a21 a22 a23 a21 a22
+
-
a31 a32 a33 a31 a32 A a11a 22 a33 a12 a 23a31 a13a 21a32 a12 a 21a33 a11a 23a32 a13a 22 a31
Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:
5 A 7 4
4 2 3
1 3 1
1 1 0 B 2 2 1 1 1 1
2. Para que valor de a el determinante es cero:
1 a
2
3
2a
1
0
2
4 a
Determinantes y la inversa
1 det( A ) det( A) 1
Si el determinante de A es cero, entonces el determinante de 𝑨−𝟏 no está definida. Si el determinante de una matriz no está definida, entonces la matriz no existe. Es decir si el determinante de una matriz es cero, NO tiene inversa. Si el determinante de una matriz es diferente de cero, entonces la matriz tiene inversa.
Método de Cofactores para Hallar Determinantes
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Método de Cofactores Definición: Sea A= [aij] una matriz n x n y sea Mij la matriz (n-1) x (n-1) obtenida al remover la i-ésima fila y la j-ésima columna de A. Det(Mij) es llamado el menor del elemento aij Ejemplo 1. Dado la matriz cuadrada A, halle el menor M32
3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
La matriz M32 se obtiene removiendo la tercera fila y la segunda columna de la matriz A
3 1 M 32 4 6
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Método de Cofactores Ejemplo 2. Dado la matriz A, determinar
el menor del elemento a32
3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
Método de Cofactores Ejemplo 3. Dado la matriz A, halle el menor del
elemento a13. 3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
Método de Cofactores Ejemplo 4. Halle el menor del elemento a23
3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
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Método de Cofactores El cofactor del elemento aij es definido por
Aij = (-1)i+j det(Mij)
determina el signo del resultado
Ej 5. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a23.
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Método de Cofactores Ej 6. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a33. 3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
Método de Cofactores Teorema
El determinante de una matriz cuadrada puede ser hallado multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.
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Método de Cofactores Ejemplo 8. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
2 1 4 A 3 5 1 1 0 0
Método de Cofactores Ejemplo 8b. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
2 1 4 A 3 5 1 1 0 0
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Método de Cofactores Ejemplo 9. Dado la matriz A, halle el determinante de A por el método de cofactores.
3 5 1 A 4 2 6 0 7 8
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Método de Cofactores Ejemplo 10. Dado la matriz A, halle el determinante de A por el método de cofactores.
2 3 3 A 1 0 2 2 0 2
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Regla de Cramer
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Regla de Cramer Es una regla que permite hallar el valor de una variable particular sin necesidad de hallar los valores de las demás variables del sistema de ecuaciones lineales. Dado un sistema de n ecuaciones lineales en n variables; sean x1,x2,x3,…, xn las variables del sistema. Sea
a11 a12 a a22 21 A an1 an 2
a13 a1n a23 a2 n an 3 ann
la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones. 23
Regla de Cramer Sea Ak la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna de la matriz A por el vector de constantes.
a11 a12 a1k 1 a a a 21 22 2 k 1 Ak an1 an 2 ank1
k-ésima columna b1 a1k 1 a1n b2 a2 k 1 a2 n bn ank1 ann
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Ejemplo Dado el siguiente sistema de ecuaciones matricial, identifica A2. 2 4 𝑥 8 = 3 5 𝑦 11 Entonces, A2 la matriz obtenida al reemplazar la 2da columna de la matriz A por el vector de constantes. 2 8 𝐴2 = 3 11 25
Ejemplo Dado el siguiente sistema de ecuaciones matricial, A1. 2 −1 5 𝑥1 9 3 6 7 𝑥2 = −6 8 −3 1 4 𝑥3
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Regla de Cramer 𝑥1 𝑥2 𝐴𝑘 Si 𝐴 ≠ 0 y X = entonces 𝑋𝑘 = , 𝐴 𝑥3 ⋮ 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 Si 𝐴 = 0 y 𝐴𝑘 = 0 para todo k, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, entonces el sistema es dependiente (que tiene una infinidad de soluciones.) Si 𝐴 = 0 y 𝐴𝑘 ≠ 0 para algún k, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, entonces el sistema es inconsistente (que no tiene soluciones.) 27
Regla de Cramer Ejemplo 1. Halle el valor de x mediante la regla de Cramer. 2x 4 y 6z 4 4 6 4 2 x 4 y 3z 8 B 8 A 1 4 3 yz 0 0 0 1 1
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Regla de Cramer Ejemplo 2. Halle el valor de y del sistema del ejemplo anterior mediante la regla de Cramer
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Regla de Cramer Ejemplo 3. Halle el valor de z para la matriz mediante la regla de Cramer.
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Regla de Cramer Ejemplo 4 . Resolver el sistema, aplicando la regla de Cramer.
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Práctica Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y – 3z = 6 2x - 3y + 5z = 10
x-y+z=0 Determine el valor de la variable z usando la regla de Cramer.
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