Robert Galata Sandro Scheid

Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden – Beispiele – Anwendungen

Galata • Scheid Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL

Quantitative Methoden

hrsg. von Prof. Dr. rer. pol. Robert Galata Prof. Dr. rer. nat. Markus Wessler

Röpcke/Wessler, Wirtschaftsmathematik Galata/Scheid, D  eskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL

Robert Galata Sandro Scheid

Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL Methoden – Beispiele – Anwendungen Mit 38 Bildern, 275 durchgerechneten Beispielen, 87 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im Internet und einem umfangreichen Tabellenanhang

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

Autoren: Prof. Dr. rer. pol. Robert Galata Hochschule für angewandte Wissenschaften München Fakultät für Betriebswirtschaft [email protected] Dr. rer. nat. Sandro Scheid Hochschule für angewandte Wissenschaften München Fakultät für Betriebswirtschaft [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-446-43255-0 E-Book-ISBN 978-3-446-43376-2

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung – mit Ausnahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

© 2012 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Christine Fritzsch Herstellung: Katrin Wulst Einbandrealisierung: Stephan Rönigk Satz: Robert Galata, Sandro Scheid, München Druck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in Germany

Vorwort

In diesem Buch, das aus einer Vorlesung für Studierende der Betriebswirtschaftslehre entstanden ist, werden die wichtigsten Methoden der deskriptiven und induktiven Statistik vorgestellt. Statistische Verfahren werden stets dann benötigt und eingesetzt, wenn im Rahmen empirischer Fragestellungen Daten erhoben, dargestellt und analysiert werden sollen. In allen empirischen Wissenschaften – wir nennen beispielhaft die Wirtschaftswissenschaften – hat die Statistik daher eine große praktische Bedeutung. Zum Studium dieser Wissenschaften gehört deshalb auch eine intensive Beschäftigung mit Statistik. Dieses Buch wendet sich vor allem an Studierende der Betriebswirtschaftslehre. Es ist ein idealer Begleiter zu den Statistikvorlesungen des Bachelor-Studiums an Hochschulen und Universitäten und für das Nacharbeiten statistischer Themen im Masterstudium. Für Praktiker bietet es die Gelegenheit, sich im Selbststudium mit statistischen Fragestellungen zu befassen. Das Buch setzt keine besonderen mathematischen Kenntnisse voraus. Der Leser benötigt die üblichen Grundkenntnisse der Elementarmathematik, wie sie an Fachoberschulen und Gymnasien unterrichtet wird. Die darüber hinausgehenden Anforderungen beschränken sich im Wesentlichen auf das Rechnen mit dem Summenzeichen. Das Buch bietet insgesamt eine Einführung sowohl in die deskriptive Statistik (Teil I, Kapitel 1 bis 4) als auch in die induktive Statistik (Teil III, Kapitel 9 bis 12). Eingeschlossen ist dabei eine ausführliche Beschreibung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie (Teil II, Kapitel 5 bis 8), die die Basis für die induktive Statistik bildet. Die deskriptive Statistik ist besonders ausführlich dargestellt und anhand vieler einfacher Beispiele erläutert. Im Teil Wahrscheinlichkeitstheorie wird versucht, die für die induktive Statistik wichtigen Inhalte so zu vermitteln, dass dem Leser ein intuitiver Zugang eröffnet wird. Auf komplizierte Beweise statistischer Sätze wird bewusst verzichtet, es sei denn, die Herleitungen sind mit einfachen Mitteln zu bewerkstelligen und fördern das Verständnis der statistischen Theorie. Im Rahmen der induktiven Statistik werden Schätzungen und statistische Tests behandelt. Die Schätztheorie umfasst Punkt- und Intervallschätzungen. Hier folgt die Darstellung dem üblichen Aufbau. Die Kapitel über das Testen befassen sich mit der Grundidee eines statistischen Tests und speziellen Parametertests. Im letzten Kapitel wird auch auf nichtparametrische Testverfahren sowie die einfaktorielle Varianzanalyse eingegangen. Allgemein lässt sich über sämtliche Abschnitte sagen, dass der Aufbau in dem Sinne traditionell ist, als er dem Standardprogramm folgt, wie es an Hochschulen und Universitäten für betriebswirtschaftliche Bachelorstudiengänge üblich ist. Andererseits wird versucht, Theorie und Praxis einander näherzubringen. Bei der Aufbereitung der Themenbereiche wird daher nicht nur auf Verständlichkeit der Darstellung geachtet, sondern auch darauf, dass die statistischen Methoden durch relevante Beispiele aus der Praxis unterlegt werden. Jedes Kapitel enthält zahlreiche Graphiken und Beispiele, die ausführlich erläutert werden und somit abstrakte Zusammenhänge veranschaulichen. Am Ende eines jeden Kapitels findet man eine Vielzahl von Übungsaufgaben, um das Gelernte zu überprüfen und zu festigen. Dabei handelt es sich zum Teil um Aufgaben zur Vertiefung des

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Vorwort

jeweiligen Stoffes als auch um typische Klausuraufgaben. Die Beschäftigung mit den Aufgaben ist für das (Selbst-)Studium und die Prüfungsvorbereitung besonders wichtig. Lösungen zu den Aufgaben finden sich auf der Website des Buchs (www.hanser-fachbuch.de/). Es bleibt uns noch übrig Dank zu sagen. Unser Dank gilt zunächst den Studierenden der Fakultät für Betriebswirtschaft der Hochschule München, die durch zahlreiche Fragen und Anmerkungen zur Gestaltung des Lehrtextes beigetragen haben. Weiter danken wir Frau Dipl. Stat. Rita Augustin, Lehrbeauftragte für Statistik, für ihre Korrekturvorschläge und hilfreiche Anregungen und Frau Dipl.-Psych. Isabel Galata und dem Mediziner Herrn Christian Galata, für die Durchsicht von Teilen des Textes und ihre kritischen Anmerkungen sowie ihre konstruktiven Verbesserungsvorschläge. Dem Studierenden Michael Haslinger danken wir für das Korrekturlesen von Teil III des Manuskripts, ebenso den Eltern des zweitgenannten Autors, Ekkehard und Ingried Scheid, für die aufmerksame Durchsicht von Teilen des Textes. Herzlich bedanken möchten sich die Autoren bei ihren Frauen, für die Geduld, die sie während der Zeit, in der der Text entstanden ist, aufgebracht haben. Unser besonderer Dank gilt Frau Cristine Fritzsch, Lektorin beim Hanser Verlag, und Frau Katrin Wulst für die verständnisvolle Zusammenarbeit und ihren tatkräftigen Einsatz bei der Verwirklichung des Buchprojektes.

München im Sommer 2012

Robert Galata Sandro Scheid

Inhalt

I

Deskriptive Statistik

13

1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1 Aufgaben der deskriptiven Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2 Grundgesamtheit und Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3 Merkmale und Skalenniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4 Listen und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5 Übungen zum Kapitel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1 Häufigkeitsverteilungen bei diskreten Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.1 Absolute und relative Häufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2 Häufigkeitsverteilungen bei stetigen Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2.1 Prinzip der Klassenbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2 Stamm-Blatt-Diagramme und Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3 Empirische Verteilungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4 Statistische Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.1 Lagemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.2 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.3 Formmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4.4 Box-Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.5 Konzentrationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.5.1 Lorenzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.5.2 Gini-Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.6 Übungen zum Kapitel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.1 Kontingenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

3.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.3 Bedingte Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.4 Kontingenzkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8

Inhalt

3.4.1 Pearsons χ2 -Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

3.4.2 Kontingenzmaß nach Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.4.3 Kontingenzkoeffizient nach Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.5 Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5.1 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.5.2 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5.3 Korrelationskoeffizient nach Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.5.4 Praxisbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.6 Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.1 Schätzung der Regressionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.6.2 Prognose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.6.3 Güte der Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.7 Übungen zum Kapitel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 4.1 Praxisbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 Messzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.3 Preisindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3.1 Preisindex nach Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3.2 Preisindex nach Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4 Mengenindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4.1 Mengenindex nach Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.4.2 Mengenindex nach Paasche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.5 Wertindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6 Subindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.7 Umbasierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.8 Verknüpfung von Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.9 Preisbereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.10 Kaufkraftparität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.11 Übungen zum Kapitel 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

II

Wahrscheinlichkeitstheorie

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5 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 5.1 Zufallsvorgänge und deren Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.2 Die Verknüpfung von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3 Die Axiome von Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4 Die Laplace-Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Inhalt

9

5.5 Statistische und subjektive Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.6 Zufallsauswahl und Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.7 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . 188 5.9 Totale Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.10 Der Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.11 Übungen zum Kapitel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6 Diskrete Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 6.1 Bedeutung und Definition einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2 Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2.2 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.3 Unabhängigkeit von diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.3.1 Gemeinsame Verteilung von unabhängigen Zufallsvariablen. . . . . . . . . . . . . . . 216 6.3.2 Rechnen mit Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.4 Parameter von diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.4.1 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.4.2 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.5 Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.5.1 Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.5.2 Die Poisson-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.5.3 Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6 Übungen zum Kapitel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7 Stetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 7.1 Definition und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.2 Unabhängigkeit von stetigen Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.3 Parameter von stetigen Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.3.1 Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.3.2 Varianz stetiger Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.3.3 Quantile stetiger Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.4 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.5 Die Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 7.6 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.6.1 Ungleichung von Tschebyscheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.6.2 Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.6.3 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.7 Prüfverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.8 Übungen zum Kapitel 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10

Inhalt

8 Zweidimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 8.1 Diskrete zweidimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.2 Stetige zweidimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 8.3 Eigenschaften zweidimensionaler Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3.1 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3.2 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3.3 Korrelationskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 8.4 Zweidimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.5 Übungen zum Kapitel 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

III

Induktive Statistik

291

9 Punktschätzung von Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292 9.1 Der Begriff der Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 9.2 Kriterien zur Güte einer Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 9.2.1 Eigenschaften von Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 9.2.2 Vergleich von Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.2.3 Asymptotische Gütekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 9.3 Spezielle Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.3.1 Schätzen von Anteilswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.3.2 Schätzen von Mittelwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.3.3 Schätzen der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9.4 Übungen zum Kapitel 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

10 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 10.1 Bedeutung des Konfidenzintervalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 10.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.2.1 Konfidenzintervall für µ bei bekanntem σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 10.2.2 Konfidenzintervall für µ bei unbekanntem σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 10.2.3 Approximatives Konfidenzintervall für µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3 Konfidenzintervall für die Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4 Konfidenzintervalle für eine Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 10.5 Einseitige Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 10.6 Übungen zum Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Inhalt

11

11 Das Prinzip eines statistischen Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326 11.1 Der Binomial-Test und Gaußtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.1.1 Binomial-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.1.2 Gaußtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 11.2 Fehlentscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 11.3 Statistische Tests und Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 11.4 Gütefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.5 Übungen zum Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

12 Spezielle Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344 12.1 t -Tests (Lagetests) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.1.1 Einfacher t -Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.1.2 Doppelter t -Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 12.1.3 t -Test für verbundene Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 12.2 Einfaktorielle Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.3 Testen von Anteilswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 12.3.1 Test eines Anteilswerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 12.3.2 Test auf Gleichheit zweier Anteilswerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 12.4 Vorzeichentest für eine Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 12.5 Vorzeichentest für verbundene Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 12.6 Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 12.7 Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.8 Übungen zum Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

A Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373 A.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 A.1.1 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 A.1.2 Wahrscheinlichkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 A.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 A.3 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 A.4 χ2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 A.5 t -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 A.6 F -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

I

Deskriptive Statistik

1

Grundlagen

Die deskriptive Statistik stellt Methoden bereit, um Untersuchungsgegenstände, die aus einer Vielzahl von einzelnen Objekten bestehen, zu beschreiben. Hinter dieser abstrakten Beschreibung stehen vielfältige unterschiedliche Anwendungen. Beispielsweise soll das Wahlverhalten der deutschen Bürger beschrieben werden oder die Nebenwirkungen bei der Einnahme eines Medikamentes oder das Interesse der Konsumenten an einem neuen Produkt. Die drei genannten Beispiele haben gemeinsam, dass das konkrete Interesse auf eine Gesamtheit bezogen ist. Dies sind die wahlberechtigten Personen in Deutschland, die Patienten, die das Medikament einnehmen oder der Kundenkreis des neuen Produkts. Diese Gesamtheiten sollen durch die statistische Analyse quantitativ beschrieben werden. Dazu werden an den Einheiten – in den genannten Beispielen sind dies Personen – Untersuchungsmerkmale betrachtet. Der Schritt einer deskriptiven Auswertung sollte das Untersuchungsziel und auch die Gesamtheit genauer beschreiben. Wichtige Begriffe, die dabei nützlich sind, werden in diesem Kapitel behandelt.

1.1

Aufgaben der deskriptiven Statistik

Die deskriptive Statistik beschäftigt sich mit der Aufbereitung und Komprimierung von Daten, die in den verschiedensten Bereichen anfallen oder erhoben werden. Mithilfe der deskriptiven Statistik können Sachgebiete quantitativ beschrieben werden. Dabei werden viele Daten im Hinblick auf die Eigenschaften, die von Interesse sind, zusammengefasst. Zum Aufgabengebiet der deskriptiven Statistik zählen im Einzelnen: ■

das Zusammenfassen und Ordnen der Daten in Tabellen,

■

das Erstellen von Diagrammen und

■

das Berechnen charakteristischer Kenngrößen oder Maßzahlen.

Beispiel 1.1 ■

■

■

Der Absatz der verschiedenen Modelle eines Kfz-Herstellers soll graphisch dargestellt werden. Die Einkommensstruktur der Bundesbürger soll komprimiert dargestellt werden. Von Interesse ist hier der Anteil der Bevölkerung, die zu einer Einkommensklasse gehören, an der Gesamtbevölkerung, wobei das Einkommen in verschiedene Größenklassen aufgeteilt ist. Ein Kraftfahrzeugversicherer möchte die eingegangenen Schadensfälle verschiedenen Merkmalen zuordnen. So ordnet er sie dem Kraftfahrzeugtyp und dem Alter der ■ Versicherungsnehmer zu.