DESCRIBIR Y EXTENDER PATRONES

1.1.3

Los estudiantes han sido pedidos de usar sus observaciones para entender patrones y predecir el número de puntos que estarán en una figura muy grande de graficar. Después, los variables se usarán para describir los patrones.

Ejemplos Examine el patrón de los puntos a la derecha. Asumiendo que el patrón continúa: a. Dibuje la Figura 4. Figura 1

b. ¿Cuántos puntos habrá en la Figura 10?

Figura 3

Figura 2

Solución: Los puntos horizontales son uno más que el número de figura y los puntos verticales son números pares (o doble que el número de figura).

La Figura 1 tiene 3 puntos. La Figura 2 tiene 6 puntos y la Figura 3 tiene 9 puntos. El número de puntos es el número de figura multiplicado por 3.

Figura 4

La Figura 10 tiene 30 puntos.

Problemas Para cada patrón de puntos, dibuje la próxima figura y determine el número de puntos de la Figura 10. 1.

2.

Figura 1

Figura 2

Figura 1

Figura 3

3.

Figura 2

Figura 3

Figura 4

4.

Figura 1

Figura 2

Figura 3 Figura 1

5.

Figura 2

Figura 3

6.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

50 puntos

2.

31 puntos

22 puntos

110 puntos

Figura 5

Figura 4

4.

3.

Figura 4

5.

40 puntos

6.

140 puntos

Figura 5 Figura 4

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Figura 4

Core Connections en español, Curso 1

REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LOS DATOS

1.1.4

Los estudiantes representan distribuciones de datos numéricos de una variable utilizando diagramas de puntos, diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja e histogramas. Representan datos categóricos de una variable en gráficas de barras. Cada representación se comunica la información de una manera ligeramente diferente.

HISTOGRAMAS Y GRÁFICOS DE BARRAS Histogramas y gráficos de barras son formas visuales para representar datos. Ambos consisten en barras verticales (llamados intervalos) con alturas que representan el número de puntos de datos (llamada la frecuencia) en cada intervalo. Los histogramas son para la visualización de distribuciones de datos numéricos. En un histograma cada barra representa el número de elementos de datos dentro de un cierto rango de valores. Todas las barras se tocan entre sí. Los valores en el lado izquierdo del intervalo se incluyen en este mismo interval. Cada rango de valores debe tener el mismo ancho. Los gráficos de barras son para la visualización de datos categóricos. En un gráfico de barras cada barra representa el número de elementos de datos en una categoría determinada. Todas las barras tienen el mismo ancho y están separadas una de la otra. Para obtener información adicional y ejemplos, consulte los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.1.2 y 2.2.1 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 9A de Core Connections en español, Curso 1 que se incluye al final del libro.

Ejemplo 1

Frecuencia

Las calificaciones de un cuestionario de 25 puntos se enumeran a continuación organizado de menor a mayor. 7, 7, 12, 13, 15, 16, 16, 16, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 24 Usando intervalos de cinco puntos, haga un histograma para la clase. Vea el histograma a la derecha. Las puntuaciones en el extremo derecho del intervalo están incluidos en el siguiente intervalo. El intervalo entre 10 y 15 sólo incluye las dos puntuaciones de 12 y 13. El intervalo entre 15 y 20 sólo incluye las seis puntuaciones de 15, 16, 16, 16, 18 y 19.

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0

Calificaciones

Core Connections en español, Curso 1

Sra. Lim le preguntó a cada uno de sus estudiantes acerca de su tipo favorito de mascota. En base a sus respuestas, ella dibujó el gráfico de barras de la derecha. Utilice el gráfico de barras para contestar cada pregunta. a. ¿Cuál es la mascota favorita? b. ¿Cuántos estudiantes eligieron un ave como su mascota preferida? c. ¿Cuál fue la mascota menos preferida? d. Si cada estudiante votó una vez, ¿cuántos estudiantes hay en la clase? Respuestas:

a. perro

b. 6

c. pez

Frecuencia

Ejemplo 2

0

gato

perro

pez

Mascota favorita

ave

d. 28

1. El Sr. Díaz encuestó a sus empleados sobre el tiempo que se tarda en llegar al trabajo. Los resultados se muestran en el histograma a la derecha. a. ¿Cuántos empleados completaron la encuesta?

Frecuencia

Problemas

b. ¿Cuántos empleados llegan al trabajo en menos de 20 minutos?

0

Minutos al trabajo

c. ¿Cuántos empleados llegan al trabajo en menos de 40 minutos? d. ¿Cuántos empleados toman 60 minutos para llegar al trabajo?

Frecuencia

2. Las dos class de sexto grado de Vista Middle School votaron por su postre favorite. Los resultados se muestran en la barra gráfica de la derecha para las cinco opciones favoritas. a. ¿Cuál era el postre favorito y cuántos estudiantes tomaron esa elección?

0

c. ¿Cuántos estudiantes seleccionaron yogur como su favorito?

do la he ta fru n dí pu l st e pa r gu yo

b. ¿Cuántos estudiantes seleccionaron pastel, como su postre favorito?

Postre favorito

d. ¿Cuántos estudiantes más seleccionaron helado en lugar de pudín?

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Core Connections en español, Curso 1

3. El Sr. Fernández preguntó a 30 personas en el trabajo el número de animales domésticos que poseían. Los resultados se muestran a la derecha. Haga un histograma para mostrar estos datos. Utilice intervalos de una mascota. 4. Durante la semana el puño de la escuela Sra. Chan pidió a sus alumnos que nombraran el condado en el que nacieron. Había tantos países diferentes se los agrupó por continente:

0 mascotas 1 mascota 2 mascotas 3 mascotas 4 mascotas 5 mascotas 9 mascotas

5 personas 8 personas 10 personas 3 personas 2 personas 1 persona 1 persona

América del Norte: 14 estudiantes, América del Sur: 2 alumnos, Europa: 3 alumnos, Asia: 10 estudiantes, África: 1 estudiante, Australia: 0 estudiantes. Haga una gráfica de barras para mostrar esta información. 5. Tres monedas fueron arrojados 20 veces y se muestra el número de resultados que eran “cabezas”, cada vez más abajo: 1, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 1 Haga un histograma para mostrar los resultados. 6. El maestro de educación física en la escuela secundaria West preguntó a la clase sobre su actividad favorita de invierno. Aquí fueron los resultados: lectura: 8 estudiantes, patinaje sobre hielo: 4 estudiantes, el esquí: 6 alumnos, snowboard: 11 estudiantes, actividades de la computadora: 14 estudiantes. Haga una gráfica de barras para mostrar los resultados.

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1. a. 24

b. 6

c. 14

d. 0

a. helado 20

b. 10

c. 12

d. 15

4.

Frecuencia

Frecuencia

3.

2.

0 0

Número de mascotas

A

m

A ér

ic a

m

de

ér

ic a

lN

.

Eu r de

A op a

lS

sia

Á

fri

A ca

us

tra

lia

.

Continente de nacimiento

6.

Frecuencia

Frecuencia

5.

0

0

Número de cabezas

snow- ordenador leer patina esquiar board sobre hielo

Actividad favorita en el invierno

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Core Connections en español, Curso 1

TIPOS DE NÚMEROS

1.2.3 y 1.2.4

Cuando se multiplican dos o más números enteros, cada número es un factor del producto. Números enteros no negativos tienen exactamente dos factores, es decir, el uno y el otro número, estos se llaman números primos. Excepto para el numero uno y cero, los otros números no primos son compuestos. El uno solamente tiene un factor, así que no es primo ni compuesto. También es la identidad multiplicativa ya que uno multiplicado por cualquier número, no cambia el valor. El símbolo escrito es 1 ⋅ n = n. Cero es identidad aditiva ya que sumar cero a cualquier número no cambia el valor. El símbolo escrito es 0 + n = n. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 1.2.3 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Identifique cada entero como número primo, compuesto o ninguno.

Para cada número compuesto, multiplíquelo en números de primos y escribe el número como el producto de los números primos usando los exponentes posibles.

6

6 tiene factores de 1, 6, 2 y 3 así que 6 es compuesto.

17

17 tiene factores de 1 y 17 así que 17 es número primo.

1

1 solamente tiene 1 como factor así que 1 es ninguno.

24

24 = 4 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 23 ⋅ 3

45

45 = 9 ⋅ 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 32 ⋅ 5

Problemas Identifique cada número entero como numero primo, compuesto o ninguno. Para cada número compuesto, multiplíquelo en números primos y escriba el número como el producto. 1.

30

2.

15

3.

16

4.

20

5.

11

6.

38

7.

29

8.

100

9.

53

10.

0

11.

54

12.

96

Respuestas 1.

2⋅3⋅5

2.

3⋅5

3.

24

4.

22 ⋅ 5

5.

número primo

6.

2 ⋅ 19

7.

número primo

8.

22 ⋅ 52

9.

número primo

10.

12.

25 ⋅ 3

ninguno

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11.

2 ⋅ 33

Core Connections en español, Curso 1

REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LOS DATOS

2.1.2

Los estudiantes representan distribuciones de datos numéricos de una variable utilizando diagramas de puntos, diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja e histogramas. Representan datos categóricos de una variable en gráficas de barras. Cada representación se comunica la información de una manera ligeramente diferente.

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Un diagrama de tallo y hojas es una manera de mostrar los datos que muestra los valores individuales de un conjunto de datos y cómo se distribuyen los valores. La parte de “tallo” del diagrama representa todos los dígitos, excepto el último. La parte de “hoja” del diagrama representa el último dígito de cada número. Lea más acerca de diagramas de tallo y hojas, y cómo se comparan con diagramas de puntos e histogramas, en los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.1.2 y 2.2.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 29, 34, 42, 43, 34, 52 y 41. 2 9 3 144478 4 1234 5 2

Haga un diagrama de tallo y hoja de este conjunto de datos: 392, 382, 380, 392, 378, 375, 395, 377 y 377. 37 5 7 7 8 38 0 2 39 2 2 5

Problemas Haga un diagrama de tallo y hoja de cada conjunto de datos. 1.

29, 28, 34, 30, 33, 26, 18 y 34.

2.

25, 34, 27, 25, 19, 31, 42 y 30.

3.

80, 89, 79, 84, 95, 79, 89, 67, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.

4.

116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.

Respuestas 1.

2. 1 2 3

8 689 0344

3. 1 2 3 4

9 557 0145 2

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4. 6 7 8 9 10 11 12

7 699 0124999 25

9 10 11

1 011345789 13368

3 Core Connections en español, Curso 1

MULTIPLICACIÓN CON RECTÁNGULOS GENÉRICOS

2.3.1 – 2.3.4

Si un rectángulo grande es dividido en rectángulos más pequeños, el área del rectángulo grande debe iguala a la suma de los rectángulos pequeños. La idea de divididir el producto en partes es la base para la multiplicación usando rectángulos genéricos. Decimos “genéricos” porque las dimensiones no están a escala. Lo usamos para ayudar a visualizar la multiplicación y como una manera de multiplicar números usando un diagrama. Multiplicar usando modelos rectangulares refuerza la multiplicación algoritmo y continuara siendo usada y extendida en Álgebra 1 y Álgebra 2. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.3.2 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

20

3

20

3

Multiplique 23 ⋅ 35 usando un rectángulo genérico. 30

Como estamos multiplicando dos diferentes números de dos dígitos necesitamos un rectángulo genérico como el que está a la derecha. Los números que se van a multiplicar son separados (descompuesto) basado en el valor del lugar. En este caso por ejemplo, 23 tiene dos decenas (20) y tres unos (3).

5

El área del producto (el rectángulo grande) iguala a la suma de las áreas de los rectángulos más pequeños. El área de los rectángulos pequeños se encuentra multiplicando las dimensiones. 30

600

90

Encuentre el área de cada rectángulo pequeño después súmelos juntos. 5

23 ⋅ 35 = (20 + 3)(30 + 5) = 600 + 100 + 90 + 15 = 805

100

15

Ejemplo 2 Multiplique 243 ⋅ 25 usando un rectángulo genérico. Como estamos multiplicando un número de tres dígitos con un numero de dos dígitos necesitamos seis secciones en nuestro rectángulo. Complete las áreas y súmelos juntos para conseguir:

20 5

200

40

3

4000

800

60

1000

200

15

243 ⋅ 25 = 4000 + 800 + 60 + 1000 + 200 + 15 = 6075 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Use un rectángulo genérico para encontrar cada producto. 1.

47 ⋅ 52

2.

38 ⋅ 84

3.

126 ⋅ 35

4.

72 ⋅ 39

5.

67 ⋅ 89

6.

347 ⋅ 85

¿Qué problema de multiplicación representa cada rectángulo genérico y cuál es el producto? 7. 30

6

8.

9.

70

7

1500 200 250

210

1800

30

15 1600

56

Respuestas 1.

2444

2.

3192

3.

4410

4.

2808

5.

5963

6.

29,495

7.

56 ⋅ 35 = 1960

8.

75 ⋅ 43 = 3225

9.

267 ⋅ 38 = 10,146

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Core Connections en español, Curso 1

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

2.33 y 2.3.4

La Propiedad distributiva muestra cómo expresar sumas y productos de dos maneras: a(b + c) = ab + ac. Esto también puede ser escrito (b + c)a = ab + ac. Forma factorizada a(b + c)

Forma distributiva a(b) + a(c)

Forma simplificada ab + ac

Para simplificar: Multiplique cada término dentro de los paréntesis por el término afuera. Si es posible, combine los términos. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 2.3.4 y 7.3.2 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 8A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

2(47) = 2(40 + 7) = (2 ⋅ 40) + (2 ⋅ 7) = 80 + 14 = 94

3(x + 4) = (3⋅ x) + (3⋅ 4) = 3x + 12

4(x + 3y + 1) = (4 ⋅ x) + (4 ⋅ 3y) + 4(1) = 4x + 12y + 4

Problemas Simplifique cada expresión a continuación aplicando la Propiedad distributiva. 1.

6(9 + 4)

2.

4(9 + 8)

3.

7(8 + 6)

4.

5(7 + 4)

5.

3(27) = 3(20 + 7)

6.

6(46) = 6(40 + 6)

7.

8(43)

8.

6(78)

9.

3(x + 6)

10.

5(x + 7)

11.

8(x – 4)

12.

6(x – 10)

13.

(8 + x)4

14.

(2 + x)5

15.

–7(x + 1)

16.

–4(y + 3)

17.

–3(y – 5)

18.

–5(b – 4)

19.

–(x + 6)

20.

–(x + 7)

21.

–(x – 4)

22.

–(–x – 3)

23.

x(x + 3)

24.

4x(x + 2)

25.

–x(5x – 7)

26.

–x(2x – 6)

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

(6 ⋅ 9) + (6 ⋅ 4) = 54 + 24 = 78

2.

(4 ⋅ 9) + (4 ⋅ 8) = 36 + 32 = 68

3.

56 + 42 = 98

4.

35 + 20 = 55

5.

60 + 21 = 81

7.

320 + 24 = 344

8.

420 + 48 = 468

9.

3x + 18

10.

5x + 35

6.

240 + 36 = 276

11.

8x – 32

12.

6x – 60

13.

4x + 32

14.

5x + 10

15.

–7x – 7

16.

–4y – 12

17.

–3y + 15

18.

–5b + 20

19.

–x – 6

20.

–x – 7

21.

–x + 4

22.

x+3

24.

2

26.

–2x2 + 6x

23.

2

x + 3x

4x + 8x

25.

2

–5x + 7x

Cuando la Propiedad distributiva se usa al revés, se llama factorización. Factorización cambia la suma de los términos (sin paréntesis) al producto (con paréntesis). ab + ac = a(b + c) Para factorizar: Escriba el factor común de todos los términos afuera de los paréntesis. Ponga los factores que queden de cada término original dentro de los paréntesis. Para más ejemplos y practica vea los materiales del Punto de comprobación 8A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

4x + 8 = 4 ⋅ x + 4 ⋅ 2 = 4(x + 2)

6x 2 − 9x = 3x ⋅ 2x − 3x ⋅ 3 = 3x(2x − 3)

6x + 12y + 3 = 3⋅ 2x + 3⋅ 4y + 3⋅1 = 3(2x + 4y + 1)

Problemas Factorice cada expresión a continuación usando la Propiedad distributiva al revés. 1.

6x + 12

2.

5y – 10

3.

8x + 20z

4.

x2 + xy

5.

8m + 24

6.

16y + 40

7.

8m – 2

8.

25y – 10

9.

2x2 – 10x

10.

21x2 – 63

11.

21x2 – 63x

12.

15y + 35

4x + 4y + 4z

14.

6x + 12y + 6

15.

14x2 – 49x + 28 16.

13.

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x2 – x + xy

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

6(x + 2)

2.

5(y – 2)

3.

4(2x + 5z)

4.

x(x + y)

5.

8(m + 3)

6.

8(2y + 5)

7.

4(2m – 1)

8.

5(5y – 2)

9.

2x(x – 5)

10.

21(x2 – 3)

11.

21x(x – 3)

12.

5(3y + 7)

4(x + y + z)

14.

6(x + 2y + 1)

15.

7(2x2 – 7x + 4) 16.

13.

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x(x – 1 + y)

Core Connections en español, Curso 1

FRACCIONES EQUIVALENTES

3.1.1

Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 23 = 69 . Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número 1 como 22 , 55 , etc. En este curso, llamamos estas fracciones el “Uno Gigante.” Multiplicar por 1 no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 3.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Halle tres fracciones equivalentes a 1⋅2 2 2

=

2 4

1 2

.

⋅ 33 =

1 2

1⋅4 2 4

3 6

=

4 8

Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para encontrar una fracción equivalente a usando fracciones en que los denominadores son 96:

7 12

7 ? 12 ⋅     = 96

¿Cuál Uno Gigante” va a usar? 96 12

Como

= 8 , el Uno Gigante es

8 8

7 ⋅8 12 8

:

=

56 96

Problemas Use el Uno Gigante para encontrar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Respuestas 1.

5 5

, 20

2.

4 4

, 20

3.

19 19

, 171

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4.

4 4

, 12

5.

6 6

, 30

6.

3 , 3

18

Core Connections en español, Curso 1

EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 3.1.2 – 3.1.5 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción

palabras o imágenes porcentaje

decimal

Representaciones de una porción Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 3.1.4 y 3.1.5 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 5 en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplos De decimal a porcentaje:

De porcentaje a decimal:

Multiplique el decimal por 100. (0.81)(100) = 81%

Divida el porcentaje por 100. 43% ÷ 100 = 0.43

De fracción a porcentaje:

De porcentaje a fracción:

Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 100 como el denominador. El numerador es el porcentaje.

Use el 100 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario.

4 5

=

x 100

así que

4 5

=

80 100

= 80%

22 = 22% = 100 56 = 56% = 100

11 50 14 25

De decimal a fracción:

De fracción a decimal:

Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario.

Divida el numerador por el denominador.

2 = a. 0.2 = 10

1 5

17 b. 0.17 = 100

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3 8 3 11

= 3 ÷ 8 = 0.375

5 8

= 5 ÷ 8 = 0.625

= 3 ÷ 11 = 0.2727… = 0.27

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado. 1.

Cambie

3.

1 4

2.

Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos.

Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos.

4.

Cambie 75% a un decimal.

5.

Cambie 0.38 a un porcentaje.

6.

Cambie

1 5

a un porcentaje.

7.

Cambie 0.3 a una fracción.

8.

Cambie

1 8

a un decimal.

9.

Cambie

1 3

a un decimal.

a un decimal.

10.

Cambie 0.08 a un porcentaje. 3 5

11.

Cambie 87% a un decimal.

12.

Cambie

13.

Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos.

14.

Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos.

15.

Cambie

1 9

a un decimal.

16.

Cambie 125% a una fracción en sus términos más bajos.

17.

Cambie

8 5

a un decimal.

18.

Cambie 3.25 a un porcentaje.

19.

1 a un decimal. Cambie 16 Cambie el decimal a un porcentaje.

20.

Cambie

21.

Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal.

22.

Cambie 0.375 a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción.

23.

Cambie 87 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje.

24.

Cambie 0.12 a una fracción.

25.

Cambie 0.175 a una fracción.

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1 7

a un porcentaje.

a un decimal.

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 3.

3 4

4.

0.75

20%

7.

3 10

8.

0.125

10.

8%

11.

0.87

12.

60%

2 5

14.

13 20

15.

0. 11

16.

5 4

17.

1.6

18.

325%

19.

0.0625; 6.25%

20.

0.142859

21.

43 100

; 0.43

22.

37 12 %;

23.

0.875; 87.5%

24.

12 99

=

25.

1.

0.25

2.

5.

38%

6.

9.

0.33

13.

4 33

1 2

3 8

o 1 14

175 999

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Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON FRACCIONES

AM de 3.1.2

SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones.

MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso 1:

Copie el problema.

Paso 2:

Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa.

Paso 3:

1  +  1 3 2

+ 1 3

Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro.

Paso 4:

Renombre las fracciones en sextas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en sextos en cada figura.

Paso 5:

Dibuja un rectangulo vacío con sextos, luego cambie todos los sextos sombreados al mismo número de sextos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior.

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1 2

+

+ 2 6

+

3 6

5 6

Core Connections en español, Curso 1

Ejemplo 1

1  +  2 2 5

se puede modelar como: 1 2

5+4 10 10

+ 5 10

2 5

así que 9 10

4 10

De este modo,

1  +  2  =  9 2 5 10

.

Ejemplo 2 1  +  4 2 5

seria:

+

+ 1 2

5 10

4 5

8 10

Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones. 1.

3  +  1 4 5

2.

1  +  2 3 7

3.

2  +  3 3 4

Respuestas 1.

19 20

2.

13 21

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3.

17 12

5 = 1 12

Core Connections en español, Curso 1

RAZONES

3.1.6

Una razón es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 millas , 65 millas: 1 hora o 65 millas a 1 hora 1 hora Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes razones pueden establecerse: 5 = 1 a. Razón de azul con el número total de canicas ⇒ 20 . 4 b.

Razón de rojo a claro ⇒

c.

Razón de rojo a azul ⇒

d.

Razón de azul a rojo ⇒

8 . 7 8 . 5 5 . 8

Problemas 1.

2.

La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando 3 tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano y 2 tazas de gaseosa de jengibre. Determine las siguientes razones: a.

Razón de jugo de arándano al jugo de manzana.

b.

Razón de gaseosa de jengibre al jugo de manzana.

c.

Razón de gaseosa de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla).

Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 20 niñas, 16 niños y 2 maestros en un viaje de campo a la capital del estado. Determine las siguientes razones: a.

Razón entre niñas y niños.

b.

Razón entre niños y niñas.

c.

Razón de los maestros a estudiantes.

d.

Razón de los maestros a los pasajeros.

3.

Es importante para Molly (del problema uno) mantener las mismas razones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 30 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar?

4.

Si Molly (del problema uno) necesita 25 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las razones deben seguir iguales.

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 5 3

b.

2 3

c.

2 10

=

1 5

1.

a.

3.

9 tazas jugo de manzana, 15 tazas jugo de arándano, 6 tazas gaseosa de jengibre

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20 16

=

5 4

b.

16 20

=

4 5

c.

2 36

2.

a.

d.

4.

7 12 tazas jugo de manzana, 12 12 tazas jugo de arándano, 5 tazas gaseosa de jengibre

2 38

Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON ENTEROS

3.2.1 y 3.2.2

SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y el número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos (–). Para sumar los dos empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos (–) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadros de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.3 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

–4 + 6

–2 + (–4)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–4 + 6 = 2

–2 + (–4) = –6

Ejemplo 3

Ejemplo 4

5 + (–6)

–3 + 7

Empiece con los azulejos representando el primer número. + + + + + Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número. + + + + + – – – –– – Circule los pares de azulejos de suma cero. –1 es la respuesta.

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ –

+ –

+ –

+ + + +

–3 + 7 = 4

–

5 + (–6) = –1 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

Core Connections en español, Curso 1

SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. •

Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo.

•

Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto.

Ejemplo Para –4 + 2, –4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 – 2 = 2. La respuesta es –2, ya que “4,” es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original.

Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas. 1.

4 + (–2)

2.

6 + (–1)

3.

7 + (–7)

4.

–10 + 6

5.

–8 + 2

6.

–12 + 7

7.

–5 + (–8)

8.

–10 + (–2)

9.

–11 + (–16)

10.

–8 + 10

11.

–7 + 15

12.

–26 + 12

13.

–3 + 4 + 6

14.

56 + 17

15.

7 + (–10) + (–3)

16.

–95 + 26

17.

35 + (–6) + 8

18.

–113 + 274

19.

105 + (–65) + 20

20.

–6 + 2 + (–4) + 3 + 5

21.

5 + (–3) + (–2) + (–8)

22.

–6 + (–3) + (–2) + 9

23.

–6 + (–3) + 9

24.

20 + (–70)

25.

12 + (–7) + (–8) + 4 + (–3)

26.

–26 + (–13)

27.

–16 + (–8) + 9

28.

12 + (–13) + 18 + (–16)

29.

50 + (–70) + 30

30.

19 + (–13) + (–5) + 20

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

2

2.

5

3.

0

4.

–4

5.

–6

6.

–5

7.

–13

8.

–12

9.

–27

10.

2

11.

8

12.

–14

13.

7

14.

73

15.

–6

16.

–69

17.

37

18.

161

19.

60

20.

0

21.

–8

22.

–2

23.

0

24.

–50

25.

–2

26.

–39

27.

–15

28.

1

29.

10

30.

21

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Core Connections en español, Curso 1

VALOR ABSOLUTO

3.2.3

El valor absoluto de un número es la distancia del número al cero. Ya que el valor absoluto representa la distancia, sin tener en cuenta la dirección, el valor absoluto siempre será no negativo.

–5

0

5

El símbolo del valor absoluto es . En la recta númerica arriba, ambos 5 y –5 están a 5 unidades del cero. La distancia esta mostrada como −5 = 5 y se lee, “el valor absoluto de cinco negativo es igual a cinco.” Similarmente 5 = 5 significa, “el valor absoluto de cinco es igual a cinco.”

x = 5 significa que x podría ser cualquier 5 o –5 porque los dos puntos están a cinco unidades del cero. El problema x = −5 no tiene solución porque el valor absoluto del numero debe ser positivo. No confunda este hecho cuando un signo negativo aparezca afuera del signo del valor absoluto. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplos a.

−6 = 6

d.

x = −3 ⇒ no hay solución e. − x = −3 ⇒ x = –3 o 3

b.

7 =7

c.

x = 9 ⇒ x = –9 o 9

f.

3 − 8 = −5 = 5

La parte (d) no tiene solución, ya que cualquier valor absoluto es positivo. En la parte (e), el problema pide el “el opuesto de x ,” que es negativo.

Problemas Determine si el valor absoluto o el valor de x. 1.

−11

2.

12

3.

x =4

4.

x = 16

6.

x = 13

7.

−9

8.

x = −13

9.

− x = −13

10.

− 7

11.

x =7

12.

−7

13.

−6 − 3

15.

−6 + 3

5−8

14.

5.

x = 24

Haga una tabla usando los valores de x de –4 al 4 para dibujar una gráfica para cada ecuación. 16.

y= x

17. y = x − 2

18. y = x + 2

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19. y = x + 2

20. y = − x

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1. 6. 11.

11 13, –13 7, –7

16.

2. 7.

12 9

12.

7

3. 4, –4 8. no hay solución 13.

17. y

14.

18.

16, –16 13, –13

5. 24, –24 10. –7

9

15.

19.

x

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x

3

20. y

y

y

y

x

3

4. 9.

x

x

Core Connections en español, Curso 1

GRAFICAR EN CUATRO CUADRANTES

3.2.4

La grafica que se empezó en los últimos grados ahora será extendida para incluir valores negativos y los estudiantes graficarán ecuaciones algebraicas con dos variables. Para más información, vea el problema 3-122 del texto Core Connections en español, Curso 1.

GRAFICANDO PUNTOS Los puntos en una gráfica coordinado son identificados por dos números en un par ordenado escrito como (x, y). El primer número es la coordenada x y el segundo es la coordenada y. Así juntos, las dos coordenadas nombran un punto exacto en la gráfica. Los ejemplos a continuación enseñan como poner un punto en un gráfico de coordenadas xy.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Grafique el punto A(2, –3).

Grafique el punto C(–4, 0) en una red de coordenadas.

Vaya 2 unidades a la derecha del origen (0, 0), después vaya 3 unidades abajo. Marque el punto.

Vaya 4 unidades a la izquierda del origen, pero no vaya arriba o abajo. Marque el punto. y

y

C x

x

A(2, –3)

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas 1.

Nombre el par ordenado para cada punto mostrado en el gráfico a continuación.

2.

K(0, –4) L(–5, 0) M(–2, –3) N(–2, 3) O(2, –3) P(–4, –6) Q(4, –5) R(–5, –4) T(–1, –6)

y

U Z U

S U

W U

Use los pares ordenados para localizar cada punto en la red de coordenadas. Coloque un punto y nómbrelo con su letra.

x

V T

y

x

Respuestas 1.

S(2, 2) T(–1, –6) U(0, 6) V(1, –4) W(–6, 0) Z(–5, 3)

2.

y

N L x

M

R

K P

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O Q

T

Core Connections en español, Curso 1

EXPRESIONES VARIABLES

4.1.1 – 4.1.3

Un variable es un símbolo que se usa para representar uno o más números. Es común usar letras del alfabeto como variables. El valor del variable que se usa varias veces en una expresión debe ser al mismo.

Ejemplo 1 Si la distancia del salto de Cecil es desconocida, es representada por el variable s, escribe la expresión para: a. Tres saltos iguales ⇒ s + s + s o 3s b. Cinco saltos iguales ⇒ s + s + s + s + s o 5s c. Dos saltos iguales y 3 pies caminando ⇒ s + s + 3 o 2s + 3

Ejemplo 2 Si el costo desconocido de un plátano es p, y el costó desconocido de una manzana es m, escriba una expresión: a. Tres plátanos y dos manzanas ⇒ p + p + p + m + m o 3p + 2m b. Un plátano y tres manzanas ⇒ p + m + m + m o p + 3m c. Un plátano, una manzana, un artículo de $2 y otro artículo de $3 ⇒ p+m+2+3 o p+m+5

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Si la distancia desconocida del brinco de Cecil está representada por B, escribe una expresión para: 1. Tres brincos

2. Seis brincos

3. Cuatro brincos y 5 pies caminando

4. Caminando 3 pies, dos brincos y caminando otros 2 pies

Si la distancia desconocida del brinco de Cecil está representada por B y la distancia desconocida del salto de Cecil está representada por S, escriba una expresión para: 5. Dos brincos y dos saltos

6. Un brinco, tres saltos y dos brincos

7. Un brinco, tres saltos y 7 pies caminando

8. Caminando 6 pies, tres brincos y dos saltos

Si el costo desconocido de un taco es T y el costo desconocido de un galón de leche es L, escribe una expresión para el costo de: 9. Tres tacos y dos galones de leche 11. Un taco, un galón de leche, dos tacos y un galón de leche

10. Un taco y cuatro galones de leche 12. Dos tacos, un galón de leche y un artículo de $2

Respuestas 1. B + B + B = 3B

2. B + B + B + B + B + B = 6B

3. B + B + B + B + 5 = 4B + 5

4. 3 + B + B + 2 = 2B + 5

5. B + B + S + S = 2B + 2S

6. B + S + S + S + B + B = 3B + 3S

7. B + S + S + S + 7 = B + 3S + 7

8. 6 + B + B + B + S + S = 3B + 2S + 6

9. 3T + 2L 11. T + L + 2T + L = 3T + 2L

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10. T + 4L 12. 2T + L + 2

Core Connections en español, Curso 1

USAR VARIABLES PARA GENERALIZAR

4.1.1 – 4.1.3

Anteriormente, los estudiantes extendieron patrones y predicaron figuras posteriores. Ahora los estudiantes usan su conocimiento con variables para generalizar los patrones que observan. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.2.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Examine el patrón de puntos abajo. Dibuje la próxima figura, indique el número de puntos en la Figura 15 y escribe una expresión con variables para el número de puntos de la Figura “n.”

Figura 1

Figura 2

Figura 3

La próxima figura es: Figura 4

Cada figura es un cuadro con una la misma longitud como el número de figura, así que la Figura 15 tiene 15 ⋅ 15 = 225 puntos y la Figura n tendría n ⋅ n = n2 puntos.

Ejemplo 2 Examine el patrón de puntos abajo. Dibuje la próxima figura, indique el número de puntos en la Figura 15 y escribe una expresión con variables para el número de puntos de la Figura “n.”

Figura 1

Figura 2

Figura 3

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La próxima figura es: Figura 4

Cada figura está en forma de L con el número de puntos siendo uno más que lo doble del número de puntos. Así que la Figura 15 tiene 15 + 15 + 1 = 31 puntos. La Figura n tendría 2n + 1 puntos. Otra manera de ver el patrón es usar el número de figura más “el número de figura y 1.” Este patrón después da 15 + 16 = 31 para la Figura 15 y n + (n + 1) para la Figura n. Claro que n + (n + 1) = 2n + 1.

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Examine cada patrón de puntos abajo. Dibuje la próxima figura, diga el número de puntos en la Figura 15 y dé una expresión con un variable para el número de puntos en la Figura “n.” 1.

2.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

3.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

4. Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

5.

Respuestas Nota: En cada respuesta, n representa el número de figura. 1.

2. 60 puntos

45 puntos

4 ⋅ n = 4n puntos

3 ⋅ n = 3n puntos

Figura 4

Figura 4

3.

4.

Figura 4

19 puntos

240 puntos

n + 4 puntos

n ⋅ (n + 1) puntos

La base de cada figura es 4 puntos, más el número de puntos que es igual al número de figura.

Figura 4

5. 120 puntos Figura 4

n⋅(n+1) 2

puntos

Las figuras en este patrón son la mitad de las figuras en el problema 4.

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Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON FRACCIONES

AM de 4.1.3

SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS MIXTOS Para restar números mixtos, cambia los números mixtos a fracciones mayores que uno, encuentre un denominador común, luego reste. Otras estrategias son posibles. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.1.3 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 4 en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo Halle la diferencia: 3 15 − 1 23 48            3 15  =  16 ⋅ 3  =     15 5 3 25          −1 23  =   53 ⋅ 55  = − 15 23 = 1 8                                  =  15 15

Problemas Halle la diferencia. 1.

2 12  − 1 43

2.

4 13  − 3 56

3.

1 16  −  43

4.

5 25  − 3 23

5.

7 − 1 23

6.

5 83  − 2 23

Respuestas ⇒  43

1.

5  −  7  ⇒  10  −  7 2 4 4 4

3.

7 3 14 9 5 6  −  4  ⇒  12  −  12  ⇒  12

5.

7 5 21 5 16 1  −  3  ⇒  3  −  3  ⇒  3  o

5 13

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2.

13  −  23  ⇒  26  −  23  ⇒  3  o 1 3 6 6 6 6 2

4.

27  −  11  ⇒  81  −  55  ⇒  26  o 5 3 15 15 15

6.

11 1 15

43  −  8  ⇒  129  −  64  ⇒  65  o 8 3 24 24 24

2 17 24

Core Connections en español, Curso 1

Para sumar números mixtos es posible cambiar los números mixtos a fracciones mayores de uno, encuentre el dominador común, luego suma. La mayoría del tiempo es más eficiente sumar los números enteros y sumar las fracciones despues de encontrar un denominador común, y luego simplificar la respuesta. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.1.3 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 4 en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo Halle la suma: 8 43  + 4           8         +4

2 5

3 = 8 + 3  ⋅   5    =   8 15 4 4 5 20 2  = 4 + 2  ⋅  4    = +4 8      5 5 4 20

23 = 13 3                                           12 20 20

Problemas Halle cada suma. 1.

5 43  + 3 16

2.

5 23  + 8 83

3.

4 49  + 5 23

4.

1 25  + 3 56

5.

4 12  + 5 83

6.

5 47  + 3 23

2.

25 = 14 13 24

3.

9 10 = 10 19 9

5.

9

6.

5 8 26 = 9 21 21

Respuestas 1.

11 8 12

4.

4

37 30

=5

7 30

7 8

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1 24

Core Connections en español, Curso 1

SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN DE EXPRESIONES

4.1.3

La sustitución es remplazar un símbolo con un símbolo equivalente (un número, un variable o una expresión). Una aplicación de la propiedad de sustitución es remplazar un nombre del variable con un número en una expresión o ecuación. Un variable es una letrea que se usa para representar uno o más números (u otra expresión algebraica). Los números son valores del variable. Una expresión de variables tiene números y variables con operaciones aritméticas realizadas en él. En general, si a = b, entonces a puede remplazar b y b puede remplazar a. Después de que las sustituciones numéricas se hayan hecho, siguiendo la Orden de operaciones y haciendo los cálculos la expresión será correctamente evaluada. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 8A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplos Evalué cada expresión de variables para x = 3. a.

5x ⇒ 5(3) ⇒ 15

c.

18 x

e.

3x – 5 ⇒ 3(3) – 5 ⇒ 9 – 5 ⇒ 4

⇒

18 3

⇒ 6

b. d. f.

x + 10 ⇒ (3) + 10 ⇒ 13 x 3

⇒

3 3

⇒ 1

5x + 3x ⇒ 5(3) + 3(3) ⇒ 15 + 9 ⇒ 24

Problemas Evalué cada expresión de variables abajo para x = –4 e y = 3. Asegúrese de que siga la Orden de las operaciones cuando simplifique cada expresión. 1. x = 4

2. x – 1

3. x + y + 3

4. y – 3 + x

5. x2 – 5

6. –x2 + 5

7. x2 + 4x – 3

8. –3x2 + 2x

9. x + 3 + 2y

10. y2 + 3x – 2

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11. x2 + y2 + 32

12. 22 + y2 – 2x2

Core Connections en español, Curso 1

Evalué cada expresión usando el valor para cada variable en cada problema. Estos problemas necesitan que se evalué cada expresión dos veces, una vez con cada uno de los variables. 13. 3x2 – 2x + 5 por x = –3 y x = 4

14. 2x2 – 3x + 6 por x = –2 y x = 5

15. –3x2 + 7 por x = –3 y x = 2

16. –2x2 + 5 por x = –4 y x = 5

Evalué la expresión de variables para x = –4 e y = 3. 17. x(x + 3x)

(

20. 3 y 2 + 2

( x+72 ) )

( ) y+2 x

18. 2(x + 2x)

19. 2(x + y) + 4

21. 2y(x + x2 – 2y)

22. (3x + y)(2x + 4y)

Respuestas 1. 0

2. –5

3. 2

4. –4

5. 11

6. –11

7. –3

8. –56

9. 5

10. –5

11. 34

12. –19

13. 38; 45

14. 20; 41

15. –20; –5

16. –27; –45

17. 64

18. –24

19. –7

20. 36

21. 36

22. –32

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Core Connections en español, Curso 1

ESCALAS DE FIGURAS Y FACTOR DE ESCALA

4.2.1 – 4.2.3

Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcionalmente) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La razón de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una razón de NUEVA . escala, es decir, ORIGINAL

Ejemplo 1 utilizando una ampliación de 200% Razones de longitud de los lados: F C

26 mm

13 mm

10 mm

5 mm B

12 mm

A E

triángulo original

24 mm nuevo triángulo

D

DE AB

=

24 12

=

2 1

FD CA

=

26 13

=

2 1

FE CB

= 10 5 =

2 1

El factor de escala para la longitud es de 2 a 1.

Ejemplo 2

10

Figuras A y B a la derecha son semejantes. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuentre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la Figura B. 3 = El factor de escala es 12 faltan de la Figura B son:

1 4 1 4

12

. Las longitudes de los lados que (10) = 2.5, 14 (18) = 4.5, y 14 (20) = 5.

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A

3 18

B

20

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras semejantes en los problemas 1 a 4. 1.

2. Original

Nueva

Original

Nueva 5

D

C H

A

8

1 14

G

6

3 E

B

4

1

4

F

2

8

3.

4. Original 3

2

Nueva

7

6

4

Original

Nueva 3

14 4

9

6 12

12

5.

6.

Un triángulo tiene lados 5, 12 y 13. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 300%. a.

¿Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo?

b.

¿Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original?

Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y un ancho de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 25%. a.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo?

b.

¿Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original?

Respuestas 1. 3. 5.

4 8 2 1

=

1 2

a. 15, 36, 39

2. 4. b.

3 1

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6.

2 8 1 3

=

1 4

a. 15 cm y 10 cm

b.

1 4

Core Connections en español, Curso 1

MULTIPLICAR FRACCIONES CON UN MODELO DE ÁREA

5.1.1, 5.1.4, 5.2.2

La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones.

Ejemplo 1 1⋅5 2 8

(es decir, 12  de  58 )

Paso 1:

Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y márquelas como 58 .

Paso 2:

Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 1  de  5 y márquelo. 2 8

Paso 3:

Escriba una oración en números.

1⋅5 2 8

5 = 16

La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.1.4 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más información y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 7A en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 2 a.

2 ⋅ 2   ⇒   2 ⋅ 2   ⇒   4 3 7 3 ⋅  7 21

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b.

3 ⋅ 6   ⇒   3 ⋅ 6   ⇒   18   ⇒   9 4 7 4  ⋅  7 28 14

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta. 1.

1⋅1 3 6

2.

1⋅3 4 5

3.

2⋅5 3 9

Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible. 4.

1⋅2 3 5

5.

2⋅2 3 7

6.

9.

5⋅2 6 3

10.

4⋅3 5 4

11.

14.

2⋅3 9 5

15.

3 5 10 ⋅ 7

16.

19.

5 3 12 ⋅ 5

20.

7 5 9 ⋅ 14

·

3 1 4⋅5

7.

2⋅2 5 3

8.

2⋅1 3 4

2 1 15 ⋅ 2

12.

3 1 7⋅2

13.

3 4 8⋅5

5 6 11 ⋅ 7

17.

5⋅ 3 6 10

18.

10 ⋅ 3 11 5

Respuestas 1.

1 18

4.

2 15

10.

12 20

16.

30 77

=

3 5

2.

3 20

6.

3 20

7.

4 15

13.

12 40

19.

15 60

5.

4 21

11.

2 30

1 = 15

12.

3 14

17.

15 60

=

18.

30 55

1 4

6 = 11

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3.

10 27

8.

2 12

=

3 = 10

14.

6 45

2 = 15

=

20.

35 126

1 4

1 6

9.

10 18

=

15.

15 70

= 143

5 9

5 = 18

Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON DECIMALES

5.2.1

MULTIPLICAR DECIMALES Y PORCENTAJES Entender cuántos lugares decimales se debe mover a un punto decimal al multiplicar está conectado a la multiplicación de fracciones y el valor del lugar. Las computaciones que se calculan “al porcentaje de un número” son simplificados por medio de cambiar el porcentaje a un decimal.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Multiplique (0.2) ⋅ (0.3). 2 ⋅ 3 ⇒ 6 . En fracciones esto es 10 10 100 Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.

Multiplique (1.7) ⋅ (0.03). 3 51 En fracciones esto significa 17 10 ⋅ 100 ⇒ 1000 . Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.

(décimo)(décimo) = centésimo Por esto, muévalo dos lugares.

0.2 × 0.3 0. 06

(décimo)(centésimo) = milésimo Por esto muévalos tres lugares.

1.7 × 0.03 0.051

Ejemplo 3 Calcule 17% de 32.5 sin usar una calculadora. Ya que 17% =

17 100

= 0.17,

17% de 32.5 ⇒ (0.17) ⋅ (32.5) ⇒ 5.525

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32.5 × 0.17 2275 3250 5.525

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Identifique el número de lugares que va a mover el punto decimal hacia la izquierda del producto. No debes calcular el producto. 1.

(0.3) ⋅ (0.5)

2.

(1.5) ⋅ (0.12)

3.

(1.23) ⋅ (2.6)

4.

(0.126) ⋅ (3.4)

5.

17 ⋅ (32.016)

6.

(4.32) ⋅ (3.1416)

(3.2) ⋅ (0.3)

9.

(1.75) ⋅ (0.09)

Calcule sin usar una calculadora. 7.

(0.8) ⋅ (0.03)

8.

10.

(4.5) ⋅ (3.2)

11.

(1.8) ⋅ (0.032)

12.

(7.89) ⋅ (6.3)

13.

8% de 540

14.

70% de 478

15.

37% de 4.7

16.

17% de 96

17.

15% de 4.75

18.

130% de 42

Respuestas 1.

2

2.

3

3.

3

4.

4

5.

3

6.

6

7.

0.024

8.

0.96

9.

0.1575

10.

14.4

11.

0.0576

12.

49.707

13.

43.2

14.

334.6

15.

1.739

16.

16.32

17.

0.7125

18.

54.6

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE POLÍGONOS

5.3.1 – 5.3.4

El área es el número de unidades cuadradas no superpuestas necesarios para cubrir la región interior de una figura bidimensional o el área de superficie de una figura tridimensional. Por ejemplo, el área es la región que está cubierta por azulejos de piso (bidimensional) o pintura en una caja o un balón (tridimensional). Para más información acerca de las formas específicas, consulte los siguientes recuadros.

ÁREA DE UN RECTÁNGULO Para hallar el área de un rectángulo, siga los siguientes pasos. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura para encontrar el área en unidades cuadradas: A = bh.

Un cuadrado es un rectángulo en el que la base y la altura son de igual longitud. Halle el área de un cuadrado multiplicando la base por la misma base: A = b2.

Ejemplo base = 8 unidades 4

32 unidades cuadradas 8

altura = 4 units A = 8 ⋅ 4 = 32 unidades cuadradadas

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas Halle las áreas de los rectángulos (figuras 1-8) y los cuadrados (figuras 9-12) a continuación. 1.

2.

3.

2 mi

5 cm

4 mi

4.

6 cm

3 plg

7. 3 unidades

6. 5.5 millas

5.

8m

7 plg

2 millas

2m

8. 6.8 cm

7.25 millas

8.7 unidades 3.5 cm

2.2 millas

9.

10.

11.

12. 8.61 pies 1.5 pies

8 cm

2.2 cm

Respuestas 1.

8 millas2

2.

30 cm2

3.

21 pulgadas2

4.

16 m2

5.

11 millas2

6.

26.1 pies2

7.

23.8 cm2

8.

15.95 millas2

9.

64 cm2

10.

4.84 cm2

11.

2.25 pies2

12.

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73.96 pies2

Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO Un paralelogramo se cambia fácilmente a un rectángulo mediante la separación de un triángulo a partir de un extremo del paralelogramo y moviéndolo hasta el otro extremo como se muestra en las tres figuras siguientes. Para más información vea el recuadro de Apuntes de Matemáticas de la Lección 5.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 1. base

base

base

altura

altura

altura

base

base

base

paralelogramo Paso 1

mover el triángulo Paso 2

rectángulo Paso 3

Para hallar el área de un paralelogramo, multiplique la base por la altura como lo hizo con el rectángulo: A = bh.

Ejemplo base = 9 cm 6 cm

altura = 6 cm A = 9 ⋅ 6 = 54 cm cuadrados

9 cm

Problemas Halle el área de cada paralelogramo a continuación. 1.

2.

3. 8 cm

6 pies

4m

10 cm

8 pies

4.

5. 3 cm

11 m

6. 7.5 plg

11.2 pies

13 cm 12 plg

7.

15 pies

8. 9.8 cm

8.4 cm

11.3 cm

15.7 cm

Respuestas 1.

48 pies2

2.

80 cm2

3.

44 m2

4.

39 cm2

5.

90 plg2

6.

168 pies2

7.

110.74 cm2

8.

131.88 cm2

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

altura

altura

altura

altura

El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo. Este hecho puede demostrarse fácilmente mediante la reducción de un paralelogramo en el medio a lo largo de una diagonal (ver más abajo). Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.3.4 del texto Core Connections en español, Curso 1. base

base paralelogramo

base dibuje una diagonal

Paso 1

Paso 2

base Empareje triángulos cortanto o doblando Paso 3

Mientras empareje los triángulos cortanto el paralelogramo o plegando a lo largo de la diagonal, el resultado es de dos triángulos congruentes (del mismo tamaño y forma). Por lo tanto, el área de un triángulo tiene la mitad del area del paralelogramo que puede ser creado de dos copias del triángulo. Para hallar el área de un triángulo, siga los pasos a continuación. 1.

Identifique la base.

2.

Identifique la altura.

3.

Multiplique la base por la altura.

4.

Divida el producto de la base por la altura por 2: A =

Ejemplo 1

A=

16⋅8 2

=

128 2

o

1 2

bh

Ejemplo 2

8 cm

base = 16 cm altura = 8 cm

bh 2

16 cm

= 64 cm2

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base = 7 cm

4 cm

altura = 4 cm A=

7⋅4 2

=

28 2

7 cm

= 14 cm2

Core Connections en español, Curso 1

Problemas 1.

2. 6 cm

3. 12 pies 13 cm 14 pies

8 cm

6 cm

4.

5.

6.

8 plg

1.5 m

5 pies

17 plg

7 pies

7.

5m

8. 2.5 pies

9 cm 7 pies

21 cm

Respuestas 1.

24 cm2

2.

84 pies2

3.

39 cm2

4.

68 pulgadas2

5.

17.5 pies2

6.

3.75 m2

7.

94.5 cm2

8.

8.75 pies2

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Core Connections en español, Curso 1

ÁREA DE UN TRAPECIO Un trapecio es otra forma que se puede transformar en un paralelogramo. Cambie un trapecio en un paralelogramo siguiendo los tres pasos siguientes.

base (b)

base (b)

altura

altura base (b)

tapa (t)

altura

base (b) altura

tapa (t)

altura

tapa (t)

tapa (t)

base (b)

tapa (t)

Trapecio

duplique el trapecio y gire

ponga los dos trapecios juntos para formar un paralelogramo

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Para encontrar el área de un trapecio, multiplique la base del paralelogramo grande en el Paso 3 (base y tapa) por la altura y luego tome la mitad del total del área. Recuerde sumar las longitudes de la base y la tapa del trapecio antes de multiplicar por la altura. Tenga en cuenta que algunos textos llaman la longitud superior la base superior y la base la base inferior. A=

1 2

(b + t)h

o A=

b+t 2

⋅h

Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo

8 plg

tapa = 8 pulgadas 4 plg

base = 12 pulgadas altura = 4 pulgadas

12 plg

A=

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8+12 ⋅ 4 2

=

20 2

⋅ 4 = 10 ⋅ 4 = 40 pulgadas2

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Halle las áreas de los trapecios a continuación. 1.

2.

3 cm

3.

10 plg

2 pies

1 cm 4 pies

8 plg

5 cm

5 pies 15 plg

4.

5. 11 cm

6.

7 plg

8 cm

5 plg

11 m

8m

15 cm 10 plg

8m

7.

8.

7 cm

4 cm

8.4 cm

3 cm 10.5 cm

6.5 cm

Respuestas 1.

4 cm2

2.

100 pulgadas2

3.

14 pies2

4.

104 cm2

5.

42.5 pulgadas2

6.

76 m2

7.

35 cm2

8.

22.35 cm2

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Core Connections en español, Curso 1

DIVISIÓN POR FRACCIONES

6.1.1 – 6.1.4

División por fracciones introduce tres métodos que ayudan a los estudiantes como se dividen por fracciones. En general, piense en la división 8 ÷ 2 como, “¿en 8, cuantos grupos de 2 hay?” Similarmente, 12  ÷  14 significa, “¿en 12 , cuantos cuartos hay?” Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.2.2 y 7.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 8B en Core Connections en español, Curso 1. Los primeros dos ejemplos demuestran como dividir por fracciones usando un diagrama.

Ejemplo 1 Use el modelo rectangular para dividir: Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

1  ÷  1 2 4

.

Usando el rectángulo, primero tenemos que dividirlo en dos partes iguales. Cada parte representa la 12 . Sombree la 12 .

1 2

Después divida el rectángulo “original” en cuatro partes iguales. Cada sección representa 14 . En la sección sombreada, 1 , hay 2 cuartos. 2

1 4

Escriba la ecuación.

1  ÷  1 2 4

1 2

=2

Ejemplo 2 ¿En

3 4

, cuantas

1 2

Es decir, ¿qué es

1 2

hay? 3 4

÷ 12 ?

3 Empiece . . Start with con 4

1 2

1 4

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3 4

En 43 hay una 12 sombreada y la mitad de la otra (es mitad de una mitad). Entonces: 43 ÷ 12 = 1 12 (uno y mitad de la mitad)

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Use el modelo rectangular para dividir.

1 13  ÷  16

1.

2.

3  ÷  3 2 4

3.

1 ÷  14

4.

1 14  ÷  12

5.

2 23  ÷  19

Respuestas 1.

8

2.

2

tercios

mitades

3. 4 uno

sextos

cuartos

cuartos

8 sextos 4.

2 12

2 tres cuartos 5.

24

cuartos

tercios

mitades

novenos

2 12 mitades

4 cuartos

24 novenos

En los próximos dos ejemplos use denominadores comunes para dividir por una fracción. Exprese las dos fracciones con un denominador común, después divida el primer numerador por el segundo.

Ejemplo 3 4 5

10 12 6 1 ÷ 23  ⇒  12 15 ÷ 15  ⇒  10  ⇒  5 o 1 5

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Ejemplo 4 1 13 ÷ 16  ⇒  43 ÷ 16 ⇒  86 ÷ 16  ⇒  81  o 8

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Otra manera de dividir fracciones es usar el Uno Gigante del trabajo previo con fracciones para crear el “Uno Súper Gigante.” Para usar el Uno Súper Gigante, escriba una división en forma de fracción, con una fracción como numerador y denominador. Use el recíproco del denominador para el numerador y denominador en el Uno Súper Gigante, multiplique las fracciones y simplifique el resultado cuando sea posible.

Ejemplo 5 1 2 1 4

⋅

4 1 4 1

=

4 2

1

Ejemplo 6 =

4 2

3 4 1 6

=2

Ejemplo 7 1 13 = 1 12

4 3 3 2

⋅

2 3 2 3

⋅

6 1 6 1

=

18 4

1

=

9 2

=4

1 2

Ejemplo 8 =

8 9

1

=

2  ÷  3  ⇒  10   ÷   9   ⇒  10 3 5 15 15 9

8 9

Comparado con: 2 3 3 5

⋅

5 3 5 3

=

10 9

1

1 = 10 9 =19

Problemas Complete cada división. Use cualquier método. 4.

1 47 ÷

1 3

9.

1 13 ÷ 25

10.

14.

10 13 ÷ 16

15.

2.

1 73 ÷ 12

3.

4 7

÷ 57

7.

2 13 ÷ 58

8.

7÷

3 13 ÷ 56

12.

1 12 ÷ 12

13.

3 7

6.

3 10

11.

÷ 13

÷ 18

1.

5 8

÷ 1 14

1 3

5.

6 7

÷ 58

2 23 ÷ 43 3 5

÷6

Respuestas 1.

3 73

2.

2 67

3.

1 57

4.

4

5 7

5.

1 13 35

6.

21 50

7.

11 3 15

8.

21

9.

3 13

10.

3 59

14.

62

15.

1 10

11.

4

12.

3

13.

1 2

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Core Connections en español, Curso 1

ORDEN DE LAS OPERACIONES

6.2.1

Cuando a los estudiantes se les da una expresión como 3 + 4 ⋅ 2 por primera vez, algunos estudiantes piensan que la respuesta es 14 y algunos piensan que la respuesta es 11. Por esta razón los matemáticos decidieron en un método para simplificar una expresión que usa más de una operación para que todos estuvieran de acuerdo en una respuesta. Hay un grupo de reglas que se deben seguir que establece una manera consistente para que todos puedan evaluar expresiones. Estas reglas se llaman Orden de las operaciones y se deben seguir para llegar a una respuesta correcta. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.2.1 del texto Core Connections en español, Curso 1. El primer paso es organizar la expresión numérica en partes llamadas términos, que son números singulares o productos de números. Una expresión numérica está formada de una suma o diferencia de términos. Ejemplos de términos numéricos: 4, 3(6), 6(9 – 4), 2 ⋅ 32, 3(5 + 23) y Para el problema arriba, 3 + 4 ⋅ 2, los términos están circulados a la derecha.

16− 4 6

. 3 + 4⋅2

Cada término es simplificado por separado, dando 3 + 8. Y después en términos se suman: 3 + 8 = 11. De este modo, 3 + 4 ⋅ 2 = 11.

Ejemplo 1 Para evaluar una expresión: • Circule cada término en la expresión.

2 ⋅ 32 + 3(6 – 3) + 10 2 ⋅ 32 + 3(6 – 3) + 10

• Simplifique cada termino hasta que sea un solo número siguiendo los pasos a continuación: Simplifique la expresión entre paréntesis.

2 ⋅ 32 + 3(3) + 10

Evalué cada parte exponencial (ej., 32).

2 ⋅ 9 + 3(3) + 10

Multiplique y divida de izquierda a derecha.

18 + 9 + 10

• Finalmente, combine los términos sumando o restando de la izquierda a la derecha.

27 + 10 37

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Core Connections en español, Curso 1

5 – 8 ÷ 22 + 6(5 + 4) – 52

Ejemplo 2 a. Circule los términos.

a. 5 – 8 ÷ 22 + 6(5 + 4) – 52

b. Simplifique lo entre paréntesis.

b.

5 – 8 ÷ 22 + 6(9) – 52

c. Simplifique los exponentes.

c.

5 – 8 ÷ 4 + 6(9) – 25

d. Multiplique y divida de izquierda a derecha.

d.

5 – 2 + 54 – 25 32

Por último, suma y reste de izquierda a derecha.

Ejemplo 3

20 +

a.

Circule los términos.

a.

b.

Multiplique y divida de izquierda a derecha, incluyendo exponentes.

b.

20 +

– 42 + 12 ÷ 4

5+ 7 3

– 42 + 12 ÷ 4

5+7 3

20 + 4 – 16 + 3

Suma y reste de izquierda a derecha.

11

Problemas Circule los términos, luego simplifique cada expresión. 1.

5⋅3+4

2.

10 ÷ 5 + 3

3.

4.

6(7 + 3) + 8 ÷ 2

5.

15 ÷ 3 + 7(8 + 1) – 6

6.

+7⋅2÷2

8.

10.

25 – 52 + 9 – 32

11.

13.

42 + 9(2) ÷ 6 + (6 – 1)2

14.

16.

14 ÷ 2 + 6 ⋅ 8 ÷ 2 – (9 – 3)2

17.

27 3

18.

26 ⋅ 2 ÷ 4 – (6 + 4)2 + 3(5 – 2)3

19.

2 2 2 ( 42+3 5 ) + 3 – (5 ⋅ 2)

7.

20 6+4

5+30 7

+ 62 – 18 ÷ 9

5(17 – 7) + 4 · 3 – 8 18 32

+

5⋅3 5

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2(9 – 4) ⋅ 7 9 3

+ 5 ⋅ 32 – 2(14 – 5)

9.

23 + 8 – 16 ÷ 8 ⋅ 2

12.

(5 – 2)2 + (9 + 1)2

15.

3(7 – 2)2 + 8 ÷ 4 – 6 ⋅ 5

+ 18 – 9 ÷ 3 – (3 + 4)2

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

19

2.

5

3.

70

4.

64

5.

62

6.

30

7.

9

8.

39

9.

12

10.

0

11.

54

12.

109

13.

44

14.

5

15.

47

16.

–5

17.

–25

18.

–6

19.

–10

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Core Connections en español, Curso 1

AZULEJOS ALGEBRAICOS Y PERÍMETRO

6.2.3 x

Las expresiones algebraicas pueden ser representadas por los perímetros de los azulejos algebraicos (rectángulos y cuadrados) y combinaciones de azulejos algebraicos. Las dimensiones de cada azulejo se muestran a lo largo de sus lados y el azulejo es nombrado por su área que se muestra en el azulejo en las figuras a la derecha. Cuando se usan los azulejos, el perímetro es la distancia alrededor del exterior de la figura. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 6.2.4 del texto Core Connections es español, Curso 1.

Ejemplo 1

x2

x

x

x

1 1

Ejemplo 2

x x

1

x

x2

x2

1 x x

x x

2 xx2

x x2

1 1 1 1 x x x 1

1 1

x–2

1

x x

1

x

1

P = 6x + 4 unidades

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x

x

1 1 1

P = 6x + 8 unidades

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Determine el perímetro de cada figura. 1.

2. x2

3. x2

x x

x x

x

x 4.

5.

6. x2

x2

x2

x

x 7.

8. x2

x

x

Respuestas 1. 5.

4x + 4 un. 4x + 4 un.

2. 6.

4x + 4 un. 4x + 2 un.

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3. 7.

2x + 8 un. 4x + 4 un.

4. 8.

4x + 6 un. 2x + 4 un.

Core Connections en español, Curso 1

COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES

6.2.4

Las expresiones algebraicas también pueden ser simplificadas por combinando (sumando o restando) términos que tienen los mismos variables elevados a las mismas potencias, hacia un término. La habilidad de combinar términos semejantes es necesario para la resolución de ecuaciones. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 6.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Combine términos semejantes para simplificar la expresión 3x + 5x + 7x. Todos estos términos tienen una x como un variable, así que se combinan en un solo término, 15x.

Ejemplo 2 Simplifique la expresión 3x + 12 + 7x + 5. Los términos con una x pueden ser combinados. Los términos sin variables (los constantes) también pueden ser combinados. 3x + 12 + 7x + 5 3x + 7x + 12 + 5 10x + 17

Note que en la forma simplificada el término con el variable aparece antes del término constante.

Ejemplo 3 Simplifique la expresión 5x + 4x2 + 10 + 2x2 + 2x – 6 + x – 1. 5x + 4x2 + 10 + 2x2 + 2x – 6 + x – 1 2

2

4x + 2x + 5x + 2x + x + 10 – 6 – 1 6x2 + 8x + 3

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Note que los términos con los mismos variables pero con diferentes exponentes no están combinados y están en una lista en orden de disminución de poder del variable, en forma simplificada, con el término constante al último.

Core Connections en español, Curso 1

Ejemplo 4 Los azulejos algebraicos, como se muestra en la sección Azulejos algebraicos y perímetro, son usados como modelos de cómo combinar términos semejantes. El cuadrado grande representa x2, el rectángulo representa x y el cuadrado pequeño representa uno. Solamente podemos combinar azulejos que son semejantes: cuadrados grandes con cuadrados grandes, rectángulos con rectángulos y cuadrados pequeños con cuadrados pequeños. Si queremos combinar 2x2 + 3x + 4 y 3x2 + 5x + 7, visualice los azulejos para ayudarle a combinar los términos semejantes: 2x2 (2 cuadrados grandes) + 3x (3 rectángulos) + 4 (4 cuadrados pequeños) + 3x2 (3 cuadrados grandes) + 5x (5 rectángulos) + 7 (7 cuadrados pequeños) La combinación de los dos conjuntos de azulejos, escrito algebraicamente, es: 5x2 + 8x + 11.

Ejemplo 5 A veces es útil tomar una expresión que está escrita horizontalmente, circule los términos con sus signos y rescriba términos semejantes en las columnas verticales antes de combinarlos: (2x2 – 5x + 6) + (3x2 + 4x – 9) 2x2 – 5x + 6 + 3x2 + 4x – 9 2x 2 − 5x + 6 + 3x 2 + 4x − 9 5x 2 − x

−3

Este procedimiento puede ser más fácil para identificar los términos además del signo de cada término.

Problemas Combine los siguientes conjuntos de términos. 1.

(2x2 + 6x + 10) + (4x2 + 2x + 3)

2.

(3x2 + x + 4) + (x2 + 4x + 7)

3.

(8x2 + 3) + (4x2 + 5x + 4)

4.

(4x2 + 6x + 5) – (3x2 + 2x + 4)

5.

(4x2 – 7x + 3) + (2x2 – 2x – 5)

6.

(3x2 – 7x) – (x2 + 3x – 9)

7.

(5x + 6) + (–5x2 + 6x – 2)

8.

2x2 + 3x + x2 + 4x – 3x2 + 2

9.

3c2 + 4c + 7x – 12 + (–4c2) + 9 – 6x

10.

2a2 + 3a3 – 4a2 + 6a + 12 – 4a + 2

Respuestas 1.

6x2 + 8x + 13

2.

4x2 + 5x + 11

3.

12x2 + 5x + 7

4.

x2 + 4x + 1

5.

6x2 – 9x –2

6.

2x2 – 10x + 9

7.

–5x2 + 11x + 4

8.

7x + 2

9.

–c2 + 4c + x – 3

10.

3a3 – 2a2 + 2a + 14

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Core Connections en español, Curso 1

TASAS Y TASAS UNITARIAS

7.1.1 – 7.1.3

Tasa de cambio es la razón que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 16 onzas de harina cuestan $0.80, entonces el costo unitaria, es decir el costo por una onza, es $0.80 16 = $0.05. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.1.3 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 15 personas. Al mismo tasa, ¿cuánto arroz se necesitará para 40 personas? La tasa es:

6 tazas 15 personas

así que, resuelve

6 15

=

x 40

.

El multiplicador necesario para el Uno Gigante es Usar este Tenga en

40 15

 o 2 23 .

22 6 multiplicador produce 15 ⋅ 23 = 16 entonces se necesitan 16 tazas de arroz. 40 2 3 6 = x cuenta que la ecuación 15 también se puede resolver utilizando proporciones. 40

Ejemplo 2 Organice estas tasas de menor a mayor: 30 millas en 25 minutos

60 millas en una hora

70 millas en 1 23 hora

Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 30 mi 25 min

=

x 60

⇒

30 2.4 25 ⋅ 2.4

=

72 mi 60 min

60 mi 1 hr

=

60 mi 60 min

70 mi 1 2 hora 3

70 mi = = 100 min

x 60

70 ⋅ 0.6 = ⇒ 100 0.6

42 mi 60 min

Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 1 23 hora < 60 millas en una hora < 30 millas en 25 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos expresar cada velocidad como una tasa unitaria: 42 mph, 60 mph y 72 mph.

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Core Connections en español, Curso 1

Ejemplo 3 Un tren en Francia viajó 932 millas en 5 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? mi x Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de 1 hora, así: 932 5 hora = 1 hora . Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de 0.2 0.2 o división simple produce x = 186.4 millas por hora.

Problemas Resuelve cada problema a continuación. Explique su método. 1.

Balvina sabe que 6 tazas de arroz produce suficiente arroz español para 15 personas. Ella necesita saber cuántas tazas de arroz necesita para alimentar a 135 personas.

2.

Elaine puede plantar 6 flores en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará a plantar 30 flores a la misma tasa?

3.

Un avión viaja 3400 millas en 8 horas. ¿Cuánto distancia podría viajar en 6 horas a esta tasa?

4.

Shane anduvo en bicicleta por 2 horas y viajó 12 millas. A esta tasa, ¿cuánto tiempo le llevará a viajar 22 millas?

5.

El coche de Selina utilizó 15.6 galones de gasolina para ir 234 millas. A esta tasa, ¿cuántos galones se necesitaría a ir 480 millas?

6.

Organice estos lectores del más rápido al más lento: Abel leyó 50 páginas en 45 minutos, Brian leyó 90 páginas en 75 minutos y Charlie leyó 175 páginas en 2 horas.

7.

Organice estos compradores de almuerzo de el que gasta más a el que gasta menos asumiendo que compran el almuerzo 5 días a la semana: Alice gasta $3 por día, Betty gasta $25 cada dos semanas y Cindy gasta $75 por mes.

8.

Un tren en Japón puede viajar a 813.5 millas en 5 horas. Encuentre la tasa unitaria en millas por hora.

9.

Un patinador de hielo cubrió 1500 metros en 106 segundos. Encuentre su tasa unitaria en metros por segundo.

10.

Una empresa de telefonía celular ofrece un precio de $19.95 por 200 minutos. Encuentre la tasa unitaria en el costo por minuto.

11.

Un auto recorrió 200 millas en 8 galones de gasolina. Encuentre la tasa unitaria de millas por galón y la tasa unitaria de galones por milla.

12.

Leo tiene una cadena de sujetapapeles de 32 pies de largo. Él va a agregar sujetapapeles continuamente durante las siguientes ocho horas. Al final de las ocho horas, la cadena es de 80 pies de largo. Encuentre la tasa unitaria de crecimiento en pies por hora.

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

54 tazas

2.

75 minutos

3.

2550 millas

4.

3 23 horas

5.

32 galones

6.

C, B, A

7.

C, A, B

8.

162.7 mi/hora

9.

≈ 14.15 m/s

10.

≈ $0.10/min

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11.

1 25 mpg; 25 galones/milla

12.

6 pies/hora

Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON DECIMALES

7.2.3

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON DECIMALES SUMANDO Y RESTANDO DECIMALES: Escriba el problema en forma de columna con los puntos de una columna vertical. Escriba ceros para que todos los puntos decimales del número tengan los mismos dígitos. Sume o reste como con números enteros. Escriba el decimal en la respuesta alineada con los de arriba. MULTIPLICANDO DECIMALES: Multiplique como con números enteros. El producto tiene el número de lugares decimales igual al total de número de lugares decimales de los factores (los números que multiplicó). A veces se debe agregar ceros para poner el punto decimal. DIVIDENDO DECIMALES: Cuando se divide un decimal por un número entero, ponga el punto decimal en la respuesta directamente arriba del punto decimal en el número siendo dividido. Divida como con números enteros. A veces es necesario agregar ceros al número siendo dividido para completar la división. Cuando se dividen decimales o números enteros por un decimal, el divisor se debe multiplicar por un poder de diez para hacerlo en número entero. El dividendo se debe multiplicar por el mismo poder de diez. Después divida siguiendo las mismas reglas para las divisiones por números enteros. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales de los Puntos de comprobación 2, 7A y 8B en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Suma 47.37, 28.9, 14.56 y 7.8.

Reste 198.76 de 473.2. Multiplique 27.32 por 14.53. 27.32 (2 puntos decimales) ×14.53 (2 puntos decimales) 473.20 − 198.76 8196 ––––––––––––––– 13660 274.44 10928 2732 ––––––––––––––– 396.9596 (4 puntos decimales)

47.37 28.90 14.56 + 7.80

––––––––––––

98.63

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Multiplique 0.37 por 0.0004. 0.37 (2 puntos decimales) × 0.0004 (4 puntos decimales)

Divida 32.4 por 8. 4.05 8) 32.40 32

Divida 27.42 por 1.2. Primero multiplique cada número por 101 o 10.

––––––––––––––

0.000148 (6 puntos decimales)

–––––––––––––

0 40 40 –––––––

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22.85

1.2 27.42 ⇒ 12 274.2 ⇒ 12 274.20 24 34 24 10 2 96 60 60 0

Core Connections en español, Curso 1

Problemas 1. 4.7 + 7.9

2. 3.93 + 2.82

3. 38.72 + 6.7

4. 58.3 + 72.84

5. 4.73 + 692

6. 428 + 7.392

7. 42.1083 + 14.73

8. 9.87 + 87.47936

9. 9.999 + 0.001

10. 0.0001 + 99.9999

11. 0.0137 + 1.78

12. 2.037 + 0.09387

13. 15.3 + 72.894

14. 47.9 + 68.073

15. 289.307 + 15.938

16. 476.384 + 27.847

17. 15.38 + 27.4 + 9.076

18. 48.32 + 284.3 + 4.638

19. 278.63 + 47.0432 + 21.6

20. 347.68 + 28.00476 + 84.3

21. 8.73 – 4.6

22. 9.38 – 7.5

23. 8.312 – 6.98

24. 7.045 – 3.76

25. 6.304 – 3.68

26. 8.021 – 4.37

27. 14 – 7.431

28. 23 – 15.37

29. 10 – 4.652

30. 18 – 9.043

31. 0.832 – 0.47

32. 0.647 – 0.39

33. 1.34 – 0.0538

34. 2.07 – 0.523

35. 4.2 – 1.764

36. 3.8 – 2.406

37. 38.42 – 32.605

38. 47.13 – 42.703

39. 15.368 + 14.4 – 18.5376

40. 87.43 – 15.687 – 28.0363

41. 7.34 ⋅ 6.4

42. 3.71 ⋅ 4.03

43. 0.08 ⋅ 4.7

44. 0.04 ⋅ 3.75

45. 41.6 ⋅ 0.302

46. 9.4 ⋅ 0.0053

47. 3.07 ⋅ 5.4

48. 4.023 ⋅ 3.02

49. 0.004 ⋅ 0.005

50. 0.007 · 0.0004

51. 0.235 ⋅ 0.43

52. 4.32 ⋅ 0.0072

53. 0.0006 · 0.00013

54. 0.0005 ⋅ 0.00026

55. 8.38 ⋅ 0.0001

56. 47.63 · 0.000001

57. 0.078 ⋅ 3.1

58. 0.043 ⋅ 4.2

59. 350 ⋅ 0.004

60. 421 ⋅ 0.00005

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Core Connections en español, Curso 1

Divida. Si es necesario, redondee las respuestas a la centésima. 61. 14.3 ÷ 8

62. 18.32 ÷ 5

63. 147.3 ÷ 6

64. 46.36 ÷ 12

65. 100.32 ÷ 24

66. 132.7 ÷ 28

67. 47.3 ÷ 0.002

68. 53.6 ÷ 0.004

69. 500 ÷ 0.004

70. 420 ÷ 0.05

71. 1.32 ÷ 0.032

72. 3.486 ÷ 0.012

73. 46.3 ÷ 0.011

74. 53.7 ÷ 0.023

75. 25.46 ÷ 5.05

76. 26.35 ÷ 2.2

77. 6.042 ÷ 0.006

78. 7.035 ÷ 0.005

79. 207.3 ÷ 4.4

80. 306.4 ÷ 3.2

Respuestas 1. 12.6

2. 6.75

3. 45.42

4. 131.14

5. 696.73

6. 435.392

7. 56.8383

8. 97.34936

9. 10.000

10. 100.0000

11. 1.7937

12. 2.13087

13. 88.194

14. 115.973

15. 305.245

16. 504.231

17. 51.856

18. 337.258

19. 347.2732

20. 459.98476

21. 4.13

22. 1.88

23. 1.332

24. 3.285

25. 2.624

26. 3.651

27. 6.569

28. 7.63

29. 5.348

30. 8.957

31. 0.362

32. 0.257

33. 1.2862

34. 1.547

35. 2.436

36. 1.394

37. 5.815

38. 4.427

39. 11.2304

40. 43.7067

41. 46.976

42. 14.9513

43. 0.376

44. 0.15

45. 12.5632

46. 0.04982

47. 16.578

48. 12.14946

49. 0.000020

50. 0.0000028

51. 0.10105

52. 0.031104

53. 0.000000078 54. 0.000000130

55. 0.000838

56. 0.0004763

57. 0.2418

58. 0.1806

59. 1.4

60. 0.02105

61. 1.7875 o 1.79

62. 3.664 o 3.66

63. 24.55

64. 3. 863 o 3.86

65. 4.18

66. 4.74

67. 23,650

68. 13,400

69. 125,000

70. 8400

71. 41.25

72. 290.5

73. 4209.09

74. 2334.78

75. 5.04

76. 11.98

77. 1007

78. 1407

79. 47.11

80. 95.75

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Core Connections en español, Curso 1

GRAFICAR Y RESOLVER DESIGUALDADES

7.3.4

GRAFICAR DESIGUALDADES Las soluciones a una ecuación pueden ser representadas como un punto (o puntos) en una recta numérica. Si el Tablero de comparación de expresiones tiene una variedad de soluciones, la solución es expresada como una desigualdad representada por una semirrecta o un segmento con puntos extremos de relleno o abiertos. Puntos extremos de relleno indican que el punto extremo está incluido en la solución (≤ o ≥), mientras que un punto extremo abierto indica que no es parte de la solución (< o >). Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.3.4 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 x>6

Ejemplo 2 0

x ≤ –1

6

Ejemplo 3 –1 ≤ y < 6

–1 0

Ejemplo 4 –1 0

y ≥ –2

6

–2

0

Problemas Grafique cada desigualdad en una recta numérica. 1.

m –9

8.

x≠1

9.

x≤3

Respuestas 1.

2.

3.

2

3

–1

4.

5. –1

7.

3

6. –6

8. –9

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–1

–2

2

9. 1

3 Core Connections en español, Curso 1

RESOLVER DESIGUALDADES

Para resolver una desigualdad, examine las dos expresiones en un Tablero de comparación de expresiones. Use el resultado como un punto frontera en la recta numérica. Después pruebe un valor de cada lado del punto frontera de la recta numérica de la desigualdad. Si el número de la prueba es verdadero, entonces el punto frontera es parte de la solución. Además, si la desigualdad es ≥ o ≤, entonces el punto frontera es parte de la solución y es indicado por un punto de relleno. Si la desigualda es > o 0+2

9 > 10 + 2

9>2

9 > 12

VERDADERO

FALSO

La solución es m ≤ 7.

–3 x = –4

x=0

–2(–4) – 3 < –4 + 6

–2(0) – 3 < 0 + 6

8–3 –1

2.

y–3≤5

3.

–3x ≤ –6

4.

2m + 1 ≥ –7

5.

–7 < –2y + 3

6.

8 ≥ –2m + 2

7.

2x – 1 < –x + 8

8.

2(m + 1) ≥ m – 3

9.

3m + 1 ≤ m + 7

Respuestas 1.

x > –4

2.

y≤8

3.

x≥2

4.

m ≥ –4

6.

m ≥ –3

7.

x