Curso de Entrenadores 9-13 Agosto 2010 Problema 1 ¿Cu´ antas maneras hay de ordenar n elementos en una lista? Problema 2 ¿Cu´ antos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos? Problema 3 Se tienen 37 bolas rojas y 21 bolas azules. ¿Cu´ antas parejas de bolas del mismo color se pueden formar? Problema 4 Encuentra el n´ umero de maneras de colocar 3 torres en un tablero de 5 × 5. Encuentra el n´ umero de maneras de colocar 3 torres en un tablero de 5 × 5 de tal manera que no haya dos de ellas que se ataquen. Problema 5 ¿Cu´ antos subconjuntos de k elementos tiene un conjunto con n elementos?

Problema 6 Demuestra que n+1 − n−1 = (n − 1)2 3 3 Problema 7 Encuentra todos los valores enteros de n tales que

3n+17 n+1

es entero.

Problema 8 ¿Si a|bc, se cumple que a|b o a|c ? Problema 9 Usa el algoritmo de Euclides para encontrar (31, 17). Problema 10 Usa el algoritmo de Euclides para encontrar (102, 54) Problema 11 Encuentra una combinaci´ on lineal entera de 31 y 17 que d´e (31, 17). Problema 12 Encuentra una combinaci´ on lineal entera de 102 y 54 que d´e (102, 54). Problema 13 Se tienen dos enteros cuyo producto es 1000 pero ninguno es m´ ultiplo de 10. Encuentra su suma. Problema 14 ¿Existe alg´ un entero cuyos d´ıgitos tengan como producto a 1980?¿A 1990?¿A 2000? Problema 15 Sea S(a) la suma de los d´ıgitos de a. Resuelve la ecuaci´ on aS(a) = 2008. 1

Problema 16 Demuestra que

1 1

+

1 2

+

1 3

+ ... +

1 n

nunca es entero si n ≥ 2.

Problema 17 Si x es el prodcuto de n primos impares, demuestra que se puede escribir como diferencia de 2 cuadrados de exactamente 2n−1 maneras. Problema 18 Encuentra la mayor potencia de 2 que divide a n!. Problema 19 Encuentra cu´ al es el mayor n tal que 2007! es m´ ultiplo de 2007n . Problema 20 Sea f (n) el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n!. Demuestra que n − f (n) es el n´ umero de unos en la expresi´ on de n en base 2. Problema 21 Demuestra que

(2k)! k!

es m´ ultiplo de 2k pero no de 2k+1 .

Problema 22 Demuestra que si p es primo y 0 < k < p entonces m´ ultiplo de p. Problema 23 ¿Cu´ antas soluciones enteras tiene la ecuaci´ on

1 p

+

1 q

=

p k




es

1 500 ?

Problema 24 Encuentra todos los primos de la forma n4 + 4 para alg´ un n entero. Problema 25 Demuestra que la fracci´ on

12n+1 30n+1

es irreducible.

Problema 26 Demuestra que hay sucesiones de n´ umeros consecutivos tan largas como se quiera en las que no aparece ning´ un primo. Problema 27 ¿Cu´ antos divisores tiene 20!? Problema 28 Encuentra el residuo de dividir 10 + 102 + 103 + . . . + 107 entre 7. Problema 29 Demuestra que la suma de dos cuadrados perfectos impares nunca es un cuadrado perfecto. Problema 30 Demuestra que si p y p2 + 2 son primos, entonces p3 + 2 es primo. Problema 31 Demuestra el criterio de divisibilidad por 9 y el criterio de divisibilidad por 3. Problema 32 Demuestra el criterio de divisibilidad por 11. Problema 33 Demuestra el criterio de divisibilidad por 7. 5

Problema 34 Demuestra que 641 divide a 22 + 1. Problema 35 Demuestra que a + b divide a an + bn para todo n impar. 2

Problema 36 Demuestra que a − b divide a an − bn para todo n. Problema 37 Encuentra el residuo de dividir 7100 entre 8. Problema 38 Demuestra que n3 − n es m´ ultiplo de 24 para todo n impar. Problema 39 ¿Cu´ al es el menor entero positivo que se le debe sumar a (n2 − 1)1000 (n2 + 1)1001 para que el resultado sea m´ ultiplo de n? Problema 40 Demuestra que 62n+1 + 1 es m´ ultiplo de 7 para todo n. Problema 41 Demuestra que 11n+2 + 122n+1 es m´ ultiplo de 133 para todo n. n Problema 42 Demuestra que ka ≡ kb mod n si y s´ olo si a ≡ b mod (n,k) .

Problema 43 Demuestra que la suma de los d´ıgitos de un cuadrado nunca es igual a 1967. Problema 44 Demuestra que 2007 no se puede escribir como la suma de 3 cuadrados perfectos. Problema 45 De 7 n´ umeros, se sabe que la suma de cualesquiera 6 de ellos es m´ ultiplo de 5. Demuestra que los 7 n´ umeros son m´ ultiplos de 5. Problema 46 ¿Es posible que 1 + 2 + . . . + n termine en 7 ? Problema 47 Se tiene un entero mayor a 10 tal que todos su d´ıgitos son 1, 3, 7 ´ o 9. Demuestra que tiene un divisor primo mayor o igual a 11. Problema 48 Se tienen n n´ umeros a1 , a2 , . . . , an tales que todos son 1 o −1. Se sabe que a1 a2 + a2 a3 + . . . + an−1 an + an a1 = 0. Demuestra que n es m´ ultiplo de 4. Problema 49 Si p es primo, demuestra que a2 ≡ b2 mod p si y s´ olo si a ≡ b modp o a ≡ −bmodp. Problema 50 ¿Es cierto que n2 − n + 41 siempre es primo? Problema 51 Demuestra que si 19 puntos se colocan en el plano, hay 3 de ellos que tienen baricentro con coordenadas enteras. Problema 52 Demuestra que en una fiesta siempre hay 2 personas que han saludado a la misma cantidad de personas. Problema 53 Demuestra si se tienen n+1 elementos del conjunto {1, 2, . . . , 2n} hay dos de ellos que son consecutivos. Problema 54 Demuestra que si se tienen n+1 elementos del conjunto {1, 2, . . . , 2n}, hay uno de ellos que divide a otro. 3

Problema 55 En una reuni´ on hay representantes de n paises (n ≥ 2) sentados en una mesa redonda. Se sabe que cada dos representantes del mismo pa´ıs, sus vecinos a la derecha son de paises distintos. Encuentra el mayor n´ umero de representantes que puede haber. Problema 56 Para cada n, demuestra que hay un n´ umero de Fibonacci que termina en al menos n ceros. Problema 57 Dado un 2007-´ agono regular encuentra el menor k tal que entre cualesquiera k v´ertices del pol´ıgono hay 4 tal que el cuadril´ atero convexo que forman comparte 3 lados con el pol´ıgono. Problema 58 Supongamos que en el Distrito Federal hay al menos 20000000 de coches. Demuestra que al menos 2 tienen la misma placa. Problema 59 Entre 21 personas consiguieron 200 nueces. Demuestra que hay dos personas que consiguieron la misma cantidad de nueces. Problema 60 ¿Cu´ al es la mayor cantidad de reyes que se pueden colocar en un tablero de ajedrez sin que dos de ellos se ataquen? Problema 61 ¿Cu´ al es la mayor cantidad de torres que se pueden colocar en un tablero de ajedrez sin que dos de ellas se ataquen? Problema 62 Demuestra que hay dos potencias de 2 cuya diferencia es m´ ultiplo de 1987. Problema 63 En un tablero de 3 × 3 se escribe en cada casilla 0, 1 ´ o −1. Considera las sumas de las filas, las columnas y las diagonales. Demuestra que hay 2 que son iguales. Problema 64 Se tienen 101 botones de 11 colores posibles. Demuestra que hay 11 botones del mismo color, o 11 botones de colores distintos. Problema 65 Demuestra que entre 5 enteros siempre hay 3 cuya suma es m´ ultiplo de 3. Problema 66 Demuestra que entre 7 enteros siempre hay 4 cuya suma es m´ ultiplo de 4. Problema 67 Demuestra que entre 52 enteros siempre hay 2 tales que la diferencia de sus cuadrados es m´ ultiplo de 100. Problema 68 Se tienen 1000 segmentos en el plano. ¿Es posible que, para cualquier segmento, cada uno de sus extremos est´e en alguno de los otros segmentos? Problema 69 Se tienen 8 entros entre 1 y 15. Si se consideran sus diferencias positivas (dos a dos), demuestra que hay una diferencia que se repite al menos 3 veces. 4

Problema 70 En la sucesi´ on 1234096 . . . cada d´ıgito empezando con el quinto es congruente con la suma de los 4 anteriores.¿En alg´ un momento se llega a tener los d´ıgitos 8123? Problema 71 Demuestra que si a, b, c son enteros impares entonces al menos uno de ab − 1, bc − 1, ca − 1 es m´ ultiplo de 4. Problema 72 Demuestra que hay un m´ ultiplo de 2001 tal que todos su d´ıgitos son 1. Problema 73 Se tienen 10 enteros de dos d´ıgitos cada uno. Demuestra que hay dos subconjuntos A y B de ellos que son ajenos y tienen la misma suma. Problema 74 Se tienen 11 n´ umeros racionales (con expresi´ on decimal infinita). Demuestra que hay 2 de ellos que coinciden en una cantidad infinita de posiciones. Problema 75 Desde un planeta esf´erico se pueden ver en total 25 estrellas. Demuestra que hay un punto desde el cu´ al no se pueden ver m´ as de 11 estrellas. Problema 76 Los puntos del plano se colorean de 2010 colores posibles. Demuestra que hay un rect´ angulo con los v´ertices del mismo color. Problema 77 Se tienen 101 enteros positivos que suman 200. Demuestra que hay algunos de ellos cuya suma es 100. Problema 78 Se tienen en el plano un pol´ıgono convexo que contiene al menos m2 +1 puntos con coordenadas enteras. Demuestra que contiene al menos m+1 puntos colineales con coordenadas enteras. Problema 79 En una fiesta hay n ni˜ nos y n ni˜ nas. A cada ni˜ na le gustan a ni˜ nos y a cada ni˜ no le gustan b ni˜ nas. ¿Cu´ ales son los valores de a y b para los que forzosamente hay una pareja que se gusta mutuamente? Problema 80 Se colocan 6 puntos en el plano y se unen con l´ıneas verdes y azules. Demuestra que se forman al menos 2 tri´ angulos monocrom´ aticos. Problema 81 En un oct´ agono regular, se colorean los lados y las diagonas de dos colores. Demuestra que se forman al menos 7 tri´ angulos monocrom´ aticos. Problema 82 17 personas se comunican por correo con todos los dem´ as. En sus cartas discuten s´ olo uno de 3 temas posibles. Cada pareja discute s´ olo uno de los temas. Demuestra que hay 3 personas que entre ellos discutieron s´ olo un tema. Problema 83 Demuestra que r(3, 4) ≤ 10. (Nota, este problema tambi´en se puede poner en contexto de una fiesta para evitar la notaci´ on t´ecnica). Problema 84 Demuestra que r(3, 4) ≤ 9. 5

Problema 85 A una reuni´ on fueron 15 diputados. Cada uno di´ o un discurso. Durante su discurso, cada diputado critic´ o a exactamente k otros diputados. ¿Cu´ al es el menor valor posible de k de tal manera que podemos asegurar que hubo dos diputados que se criticaron mutuamente? Problema 86 El ajedrez tridimensional se juega en un cubo de 8 × 8 × 8. Encuentra el mayor n´ umero de torres que se pueden colocar en el cubo de tal manera que no haya dos que se ataquen. Problema 87 ¿Cu´ al es la mayor cantidad de n´ umeros del conjunto {1, 2, . . . , 2k+ 1} que se pueden elegir de tal manera que no hay un elemento de los elegidos igual a la suma de otros dos? Problema 88 En un tablero de n × n se colorean 2n casillas. Demuestra que hay un paralelogramo con los v´ertices en centros de casillas coloreadas. Problema 89 Dados 25 n´ umeros se sabe que cualesquiera 4 de ellos tienen suma positiva. ¿La suma de todos es positiva? Problema 90 Dados 25 n´ umeros se sabe que para cualesquiera 3 de ellos hay un cuarto tal que la suma de los 4 es positiva. ¿La suma de todos es positiva? Problema 91 Dados 1989 n´ umeros se sabe que la suma de cualesquiera 10 es positiva. ¿La suma de todos debe ser positiva?


n n Problema 92 Demuestra que n+1 k+1 = k + k+1 Problema 93 Algunas personas se sientan en una mesa redonda. Se sabe que hay 7 mujeres que tienen a su derecha a una mujer y 12 mujeres que tienen a su derecha a un hombre. Sabemos que 3 de cada 4 hombres tienen a su derecha a una mujer. ¿Cu´ antas personas hay sentadas en la mesa? Problema 94 Encuentra el valor de n X k=0

  n k(k − 1) k

Problema 95 Un examen con k preguntas se presenta a n estudiantes. Un estudiante reprueba si contesta correctamente menos de la mitad de las preguntas. Decimos que una pregunta es f´ acil si m´ as de la mitad de los estudiantes la contest´ o correctamente. Decide si es posible que: • Todos los alumnos reprueben aunque todas las preguntas haya sido f´ aciles. • Ning´ un alumno repruebe aunque ninguna pregunta haya sido f´ acil. Problema 96 Unos ni˜ nos de quinto de primaria saludan a unos ni˜ nos de sexto. Se sabe que cada ni˜ no de quinto salud´ o a 5 ni˜ nos de sexto, y que cada ni˜ no de sexto saludo a 6 ni˜ nos de quinto. ¿Hay m´ as ni˜ nos de quinto de primaria o de sexto de primaria? 6

Problema 97 Cada cara de un cubo se divide en 4 cuadrados iguales. Los nuevos cuadraditos se pintan de 3 colores posibles, de tal manera que si dos cuadraditos comparten un lado, se pintaron de color distinto. Demuestra que cada color se us´ o exactamente 8 veces. Problema 98 Un amigo fue a una fiesta y nos dijo “Fueron 17 personas y cada una salud´ o a exactamente 5 otras personas”. ¿Le crees? Problema 99 Cuando a una persona le falta cambio, puede pedirle a alguien que le cambie una moneda de 10 pesos por dos monedas de 5 pesos. ¿Es posible que s´ olo con estas transacciones al final del d´ıa los 1990 alumnos de la olimpiada hayan dado exactamente 10 monedas cada uno? Problema 100 En un tablero de 2000 × 2000 se acomodan n´ umeros en cada casilla. Se sabe que en cualquier cuadrado de 2 × 2 la suma de los n´ umeros en las esquinas superior izquierda e inferior derecha es igual a la suma de los n´ umeros en las esquinas superior derecha e inferior izquierda. Demuestra que en el tablero total pasa lo mismo. Problema 101 En el plano hay una curva cerrada que no se intersecta formada por segmentos rectos. Decimos que dos de estos segmentos forman una pareja “buena” si al extender uno de ellos intersecta al otro. Demuestra que el n´ umero de parejas buenas es par.
2
2
2
2
Problema 102 Demuestra que n0 + n1 + . . . + n2 + . . . + nn = 2n n . Problema 103 En un tablero de n × n se escribe un n´ umero en cada casilla. Se sabe que la suma total de los n´ umeros es negativa. Demuestra que se puede hacer un reacomodo de las filas de tal manera que la suma de los n´ umeros que quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha es negativa. Problema 104 En un tablero de 8 × 8 se colocan 8 torres de tal manera que no hay dos que se ataquen. Demuestra que hay una cantidad par de torres en casillas negras. Problema 105 En un c´ırculo se escriben n´ umeros rojos y n´ umeros azules. Cada n´ umero rojo es la suma de los dos n´ umeros que est´ an a sus lados, y cada n´ umero azul es la mitad suma de los dos n´ umeros que est´ an a sus lados. Demuestra que la suma de los n´ umeros rojos es 0. Problema 106 En el pizarr´ on se escriben los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. En una operaci´ on se permite sumarle simult´ aneamente 1 a dos n´ umeros. Despu´es de varias operaciones, ¿es posible que todos los n´ umeros queden iguales? Problema 107 A y B tienen una barra de chocolate de 6 × 8. Por turnos rompen la barra en alguna de sus l´ıneas, hasta que quedan puros cuadritos de 1 × 1. Pierde quien ya no pueda hacer una jugada. Si A empieza, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? 7

Problema 108 Una rana salta en una l´ınea. Primero, salta 1 cm hacia la derecha, luego salta 3 cm en una direcci´ on, luego 5 cm en alguna direcci´ on, etc. Puede llegar a su punto de origen despu´es del salto 57? Problema 109 En un pizarr´ on est´ an escritos 2004 signos “+” y 2005 signos “−” en agl´ un orden. A va al pizzar´ on y empieza a hacer lo siguiente: Elige dos signos, y si s´ on iguales los cambia por un +, y si son distintos los cambia por un −. Al final que s´ olo un signo, ¿Cu´ al es? Problema 110 En una mesa hay 2009 fichas que son rojas de un lado y negras de otro. A y B juegan por turnos. En cada turno, se permite quitar de la mesa o voltear cualquier cantidad de fichas del mismo color. Gana quien quite la u ´ltima ficha. Si A empieza, ¿qui´en tien estrategia ganadora? Problema 111 En una mesa hay 2010 cerillos. A y B juegan por turnos a quitar cerillos de la mesa. En un turno se permite quitar 1, 2, 4, 8, 16, . . . cerillos. Gana quien quite el u ´ltimo cerillo. Si A empieza, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? Problema 112 A y B y 2009 otras personas est´ an agarradas de la mano en c´ırculo. A y B juegan a sacar personas del c´ırculo. En cada turno, pueden sacar a la persona que tienen a la izquierda o a la persona que tienen a la derecha. Gana de A y B qui´en saque al otro. Si A juega primero, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? Problema 113 En un tablero de ajedrez hay un rey en la esquina inferior izquierda. A y B juegan alternadamente a mover el rey. En cada movida, se debe mover a la derecha, hacia arriba o en diagonal arriba-derecha. Pierde qui´en haga que el rey llegue a la esquina opuesta. Si A juega primero, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? Problema 114 Resuelve el problema anterior pero con una torre en vez de un rey. Problema 115 A y B juegan alternadamente a poner reyes en un tablero de ajedrez de 9 × 9. A pone reyes negros y B pone reyes blancos. En cada jugada, no se permite poner un rey en casillas atacadas por reyes del otro color. Pierde qui´en ya no pueda poner reyes. Si A juega primero, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? Problema 116 A y B van a jugar el mismo juego que en el problema anterior pero poniendo caballos en un tablero de 8 × 8. Si A juega primero, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? Problema 117 2009 est´ a escrito en el pizarr´ on. A y B van a jugar por turnos. En cada paso, se permite restarle al n´ umero en el pizarr´ on uno de sus divisores, y escribir el nuevo n´ umero. Pierde qui´en escriba 0 en el pizarr´ on. Si A juega primero, ¿qui´en tiene estrategia ganadora? 8

Problema 118 En un tablero de 4 × 4 hay focos prendidos o apagados (falta dibujo). En una movida se permite cambiar el estado de cada foco en una fila o de cada foco en una columna. ¿Es posible llegar a que todos los focos est´en prendidos? Problema 119 En el pizarr´ on est´ an escritos los n´ umeros 1, 2, . . . , 37. En una movida se permite agarrar dos n´ umeros, borrarlos y escribir su diferencia (no negativa). Despu´es de hacer esto 36 veces prueba que el n´ umero que queda no puede ser 0. Problema 120 En una isla viven 13 camaleones rojos, 15 camaleones verdes y 17 camaleones azules. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos se cambian al tercer color. ¿Es posible que en alg´ un momento todos tengan el mismo color? Problema 121 En un pizarr´ on est´ an escritos los n´ umeros 1, 2, . . . , 19, 20. Se pueden borrar dos n´ umeros a y b y reemplazarlos por a + b − 1. ¿Cuando queda s´ olo un n´ umero, cu´ al es? Problema 122 En cada esquina de un cubo hay un +1 o un −1. En cada cara se escribe el producto de los n´ umeros en sus esquinas. ¿La suma de los 14 n´ umeros puede ser 0? Problema 123 Un c´ırculo se divide en 6 secciones. En el sentido de las manecillas del reloj se escriben los siguientes n´ umeros: 1, 0, 1, 0, 0, 0. En una movida se permite elegir dos secciones adyacentes y sumarle 1 a ambas. ¿Es posible llegar a que todos los n´ umeros sean iguales? Problema 124 En un tablero de 8 × 8 hay una moneda en cada casilla del subtablero de 3 × 3 en la esquina inferior izquierda. En una movida se permite que una moneda salte sobre otra (no necesariamente adyacente) para caer en la casilla sim´etricamente opuesta respecto a la casilla de la moneda saltada. Con estos movimientos, ¿es posible que las monedas queden en el subtablero de 3 × 3 en la esquina superior derecha? Problema 125 En cada casilla de un tablero de 10 × 10 hay una casa. En 9 casas empieza un incendio. El fuego puede llegar a una casa que tenga dos casas vecinas incendiadas (las casas que ya estaban incendiadas no se apagan). Demuestra que el fuego no puede llegar a todas las casas. Problema 126 Un tablero se cubre con algunas fichas de 1 × 4 y algunas fichas de 2 × 2. Las piezas se caen del tablero y se nos perdi´ o una de 2 × 2. Sin embargo, nos sobraba una ficha de 1 × 4. Demuestra que ahora no es posible cubrir el tablero. Problema 127 En un tablero de 4 × 4 todas las casillas est´ an pintadas de blanco excepto una esquina, que est´ a pintada de negro. Se permite cambiar el color de todas las casillas en una fila o de todas las casillas en una fila. ¿Es posible llegar a que todas las casillas sean blancas? 9

Problema 128 En un tablero de 3 × 3 todas las casillas est´ an pintadas de blanco excepto una esquina, que est´ a pintada de negro. Se permite cambiar el color de todas las casillas en una fila o de todas las casillas en una fila. ¿Es posible llegar a que todas las casillas sean blancas? Problema 129 En todos los v´ertices de un cubo hay un n´ umero. 7 n´ umeros son cero y 1 es uno. Se puede sumarle 1 a dos n´ umeros que est´ an en los extremos de una arista del cubo. ¿Es posible llegar a que todos los n´ umeros sean m´ ultiplos de 3? Problema 130 Alrededor de un c´ırculo hay 44 ´ arboles. En cada ´ arbol hay un canario. De repente, dos canarios cambian de ´ arbol, uno va al siguiente en el sentido de las manecillas del reloj y el otro va al siguiente en el sentido contrario. Demuestra que con este tipo de movimientos, no es posible que todos los canarios terminen en el mismo ´ arbol. Problema 131 En el pizarr´ on se escribe el n´ umero 444444 . Se calcula la suma de sus d´ıgitos, se escribe el nuevo n´ umero en el pizarr´ on y se borra el n´ umero original. Esta operaci´ on se repite hasta que queda un n´ umero de s´ olo un d´ıgito. ¿Qu´e n´ umero queda? Problema 132 Se tiene la lista (1, 2, . . . , 2010). Se pueden intercambiar dos n´ umeros entre los cu´ ales haya exactamente un s´ olo n´ umero. ¿Es posible llegar a la lista (2010, 2009, . . . , 2, 1)? Problema 133 Se tiene en un pizarr´ on la lista 1, 2, . . . , 20. Se permite agarrar dos n´ umeros a y b y reemplazarlos por ab + a + b. Despu´es de hacer la operaci´ on 19 veces, ¿Qu´e n´ umero queda? Problema 134 Demuestra que 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n(n+1) . 2

Problema 135 Demuestra que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .

Problema 136 Demuestra que si n ≥ k, entonces kk + k+1 + k

n n+1 k = k+1 .

k+2 k




+ ... +

Problema 137 Demuestra que si q 6= 1, entonces (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 4 ) · · · (1 + n

q2 ) =

n+1

1−q 2 1−q

.

Problema 138 Demuestra que si q 6= 1, entonces 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n = 1−q n+1 1−q

Problema 139 Demuestra que si q 6= 1, entonces 1 + 2q + 3q 2 + . . . + nq n−1 = 1−(n+1)q n +nq n+1 . (1−q)2 Problema que
si m, n son enteros con 0 ≤ m ≤ n, entonces


140
Demuestra m n n n n m n−1 − + − . . . + (−1) = (−1) . 0 1 2 m m 10

En lo que sigue, Fn va a ser el n-´esimo n´ umero de Fibonacci, definidos por F1 = F2 = 1 y Fn+2 = Fn+1 + Fn para cada n ≥ 1. Problema 141 Demuestra que F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 − 1 Problema 142 Demuestra que F1 + F3 + . . . + F2n−1 = F2 n 2 2 Problema 143 Demuestra que F2n = Fn+1 − Fn−1 . 2 Problema 144 Demuestra que F2n+1 = Fn+1 + Fn2 .

Problema 145 Demuestra que F12 + F22 + . . . + Fn2 = Fn Fn+1 . Problema 146 Demuestra que cualesquiera dos n´ umeros de Fibonacci consecutivos son primos relativos. Problema 147 Demuestra que para todo n,  √ n  √ n 1+ 5 − 1−2 5 2 √ Fn = 5

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