Presentación

Tema 4: Osciladores Senoidales..

En el tema 4 se analizan distintos circuitos que producen en su salida una onda senoidal, y para cada uno de ellos se obtienen: a) La ecuación correspondiente a la frecuencia de oscilación. b) La ecuación que establece la condición que ha de cumplirse para que se produzcan y mantengan dichas oscilaciones. Todo este análisis está basado en el criterio de Barkhausen.

CUESTIONES DEL TEMA - IV 1. Introducción. …………………………………………………………..T1 2. Principios básicos para la oscilación……………………………..T2 3. Clasificación de los osciladores senoidales……………………..T10 4. El Oscilador en puente de Wien…………………………………….T12 5. El Oscilador de desplazamiento de fase………………………….T17 6. Generalidades de los osciladores LC……………………………..T23 7. El oscilador Colpitts…………………………………..……………..T26 8. El oscilador Hartley…………………………………………………..T31 9. Osciladores de cristal………………………………………………..T36

Gerardo Maestre

Universidad de Huelva

0

1. Introducción.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

¾ Un oscilador es un amplificador inestable que genera en su salida una forma de onda periódica, con amplitud y frecuencia fija, sin ninguna señal externa de entrada. ¾ Un amplificador con realimentación negativa es inestable si posee un margen de fase igual o menor que cero. Con esta condición la realimentación negativa se convierte en positiva y la salida del amplificador será oscilatoria. Existen dos tipos de osciladores: OSCILADORES SENOIDALES: Producen en su salida una forma de onda senoidal.

OSCILADORES DE RELAJACIÓN. Producen formas de ondas cuadradas, rectangulares, triangulares, pulsos, etc.

Gerardo Maestre

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1

2. Principios básicos para la oscilación.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Amplificador Básico Vi = 0

+ +

Ve ( ω0 )

Vf ( ω0 )

V0 ( ω0 )

A vf

β ( ω0 )

Red selectiva de la frecuencia de osclación ω0 Características del oscilador senoidal: ¾Realimentación positiva sin señal de entrada. ¾ω0 es la frecuencia de la salida del oscilador. ¾Un amplificador básico (inversor o no inversor ) con ganancia Avf y alta resistencia de estrada ¾Una red de realimentación que selecciona la frecuencia de oscilación ( Normalmente es una red “RC”, una red”LC” o un “cristal piezoeléctrico”). Gerardo Maestre

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2. Principios básicos para la oscilación.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. La salida del oscilador es:

Vo( jω0 ) = Avf × Ve( jω0 ) La salida de la red selectiva de frecuencia es:

Vf ( jω0 ) = β( jω0 ) × V0 ( jω0 ) Sustituyendo V0(jω0):

Vf ( jω0 ) = β( jω0 ) × Avf × Ve( jω0 ) ⇒

Vf ( jω0 ) = β( jω0 ) × Avf Ve( jω0 )

Como Vf(jω0) = Ve(jω0) la ecuación anterior queda de la forma:

β ( jω0 ) × Avf = 1 La función de transferencia de lazo es igual a la unidad.

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2. Principios básicos para la oscilación.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

La ecuación subrayada se conoce como el Criterio de Barkhausen el cual establece las dos condiciones que han de cumplirse para que se produzcan y se mantengan las oscilaciones senoidales a la frecuencia de oscilación ω0. Consideramos 1 como un vector 1 + j0, cuyo módulo es 1 y cuyo ángulo de fase es 0º o 360º. CONDICIÓN DE MÓDULO. El módulo de la función de transferencia de lazo, a la frecuencia de oscilación ω0, ha de ser igual a la unidad. (En la práctica ligeramente superior a la unidad).

β( jω0 ) × Avf = 1 CONDICIÓN DE ÁNGULO. El ángulo de fase de la función de transferencia de lazo ha de ser igual a 0º o 360º.

∠β( jω0 ) × Avf = (0º o 360º ) Gerardo Maestre

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4

Tema 4: Osciladores Senoidales..

2. Principios básicos para la oscilación.

Un ángulo de fase de 0º o 360º equivale a decir que la parte imaginaria de la función de transferencia de lazo vale cero a) Si el amplificador básico es un amplificador inversor de tensión, la red selectiva de frecuencia debe producir un ángulo de fase de 180º. b) Si el amplificador básico es un amplificador no inversor de tensión, la red selectiva de frecuencia debe producir un ángulo de fase de 0º o de 360º.

Ejercicio 1. En el oscilador senoidal de la figura siguiente determinar la ecuación de la frecuencia de oscilación y los valores de R y R1 necesarios para producir y mantener las oscilaciones. En este ejercicio seguiremos, de forma detallada, los pasos para analizar los circuitos osciladores senoidales.

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5

Tema 4: Osciladores Senoidales.. +

_

49k 1k 0

R1 1

+

L

C

Vf _

+ R

Vo

2

0

_

Z

► Obtener la función de transferencia del amplificador básico:

⎛ 49 ⎞ Avf = ⎜ 1 + ⎟ = 50 1 ⎠ ⎝ Gerardo Maestre

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6

Tema 4: Osciladores Senoidales.. ► Obtener la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia.

β (s ) =

Vf ( s ) Z(s) = Vo ( s ) R1 + Z(s)

Calculamos Z(s):

1 sLR × sLR 1 1 sLR Z(s) = ( R // sL ) // = // = sC R + sL = sC R + sL sC 1 + sLR R + sL + s 2 RLC sC R + sL Sustituyendo Z(s):

sLR 2 sRL R sL s RLC = + + β(s ) = 2 sLR R R + sR L + s R1RLC + sRL 1 1 R1 + 2 R + sL + s RLC sRL β(s ) = 2 s R1RLC + sL ( R1 + R ) + R1R ►Obtener la función de transferencia compleja de la ganancia de lazo: Gerardo Maestre

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

β ( s ) × A vf =

s50RL s 2 R1RLC + sL ( R1 + R ) + R1R

► Obtener la función de transferencia en alta frecuencia de la ganancia de lazo.

β ( jω) × Avf =

jω50RL R1R + jωL ( R1 + R ) − ω2 R1RLC

Multiplicamos numerador y denominador por “-j”. (Para conseguir que el numerador de la función contenga solo parte real)

β ( jω) × Avf =

ω50RL ω50RL = − jR1R + ωL ( R1 + R ) + jω2 R1RLC ωL(R1 + R) + jR1R ( ω2 LC − 1)

► Aplicamos la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria igual a cero para obtener la frecuencia de oscilación ω = ω0).

(ω

0

2

LC − 1) = 0

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

ω0 = ω2 0 =

1 LC

1 rad / sg LC

⇒

fo =

1 Hz 2π LC

►Aplicamos la condición de módulo del criterio de Barkhausen para hallar la condición de oscilación a la frecuencia ω = ω0:

β ( jω0 ) × Avf =

ω0 50RL 50R = =1 ω0 L(R1 + R) (R1 + R)

50R = R1 + R R1 =49R

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3. Clasificación de los osciladores senoidales.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. †

De acuerdo con la composición de la red selectiva de frecuencia distinguimos tres tipos de osciladores senoidales:

(a) Osciladores RC. ¾La red selectiva está formada por resistencias y condensadores. ¾Generan ondas de salida senoidales con frecuencia desde varios Hz. hasta varios K Hz. ¾Los osciladores RC típicos son: • El Oscilador en puente de Wien. • El oscilador de cambio de fase. (b) Osciladores LC. ¾La red selectiva está formada por bobinas y condensadores. ¾Generan ondas senoidales con frecuencia desde varios KHz. hasta varios cientos MHz. ¾Los osciladores LC típicos son: • El Oscilador Colpitts. • El oscilador Hartley. Gerardo Maestre

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3. Clasificación de los osciladores senoidales.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

(c) Osciladores de cristal piezoeléctrico. ¾La red selectiva de frecuencia contiene un cristal piezoeléctrico. ¾Generan ondas senoidales con frecuencia desde varios KHz. hasta varios MHz. ¾Los osciladores de cristal piezoeléctrico se utilizan cuando se requieren ondas senoidales con frecuencias muy estables:

Oscilador LC Oscilador RC

Varios Hz

Gerardo Maestre

Oscilador de Cristal

Varios KHz

Varios MHz

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Varios cientos MHz

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4. El Oscilador en puente de Wien.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

La arquitectura de un oscilador senoidal en puente de Wien se muestra a continuación. +

Vo _

R2 R1

Z1

0

C

R

+

+ C

Vf

R

_ 0

0

Z2

Vo _

La función de transferencia del amplificador básico es:

⎛ R2 ⎞ Avf = ⎜1 + ⎟ R1 ⎠ ⎝ La función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:

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4. El Oscilador en puente de Wien.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Z2 (s) Vf (s) = Vo(s) Z2 (s) + Z1 (s)

β(s ) = Siendo:

1 sC = R Z2 (s) = 1 1 + sRC R+ sC R×

y

Sustituyendo Z1(s) y Z2(s):

Z1 (s) = R +

1 1 + sRC = sC sC

Multiplicando por sC(1+sRC)

R 1 + sRC β(s) = R 1 + sRC + 1 + sRC sC β(s) =

sRC sRC + (1 + sRC )

2

=

sRC sRC = 2 sRC + 1 + 2sRC + s 2 R 2 C2 s 2 R 2 C2 + 3sRC + 1

La función de transferencia compleja de lazo es: Gerardo Maestre

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4. El Oscilador en puente de Wien.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

⎛ R2 ⎞ sRC ⎜1 + ⎟ R1 ⎠ ⎝ Avf × β(s) = 2 2 2 s R C + 3sRC + 1 Sustituyendo s = jω, obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de la ganancia de lazo:

⎛ R2 ⎞ jωRC ⎜1 + ⎟ R1 ⎠ ⎝ β ( jω) × Avf = −ω2 R 2 C2 + j3ωRC + 1

Multiplicando por “-j”

⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞ ωRC ⎜1 + ω RC ⎟ ⎜1 + ⎟ R1 R1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ β ( jω) × Avf = 2 2 2 = jω R C + 3ωRC − j 3ωRC + j( ω2 R 2 C2 − 1) Aplicamos la condición de ángulo, igualando la parte imaginaria a cero y haciendo ω = ω0, para obtener la frecuencia de oscilación Gerardo Maestre

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4. El Oscilador en puente de Wien.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

(ω

0

2

R C − 1) = 0 2

2

ω2 0 =

ω0 =

1 rad / seg RC

f0 =

1 Hz 2πRC

1 R 2C2

Aplicando la condición de módulo para ω = ω0:

1 ⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞ ⎛ R2 ⎞ ω0 RC ⎜ 1 + RC ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ R1 RC R1 R1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ β ( jω0 ) × Avf = = = =1 1 3ω0 RC 3 3 RC RC Operando obtenemos la condición para que se produzcan y mantengan las oscilaciones:

⎛ R2 ⎞ ⎜1 + ⎟=3 R1 ⎠ ⎝ Gerardo Maestre

R 2 = 2R1

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4. El Oscilador en puente de Wien.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

En la práctica se toma R2 ligeramente superior a 2R1. (Sobre un 5%). Esto hace que la amplitud de la oscilaciones pueda aumentar hasta la saturación del AO. Para estabilizar la amplitud de las oscilaciones se suele agregar al oscilador elementos no lineales. (En el ejemplo siguiente, una rama en paralelo con R2 que contiene dos diodos zener en oposición)

+

_ R2=2R1+5%(2R1)

R1 0

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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

La arquitectura de un oscilador senoidal de desplazamiento de fase se muestra a continuación. R2

_

Vo

R1

+

0

C

C

C

+

+ R

R

R

Vf

Vo

_ 0

0

0

_

La red selectiva contiene tres células RC que deben producir cada una un ángulo de fase de 60º.

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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Para hallar la función de transferencia compleja de la red selectiva aplicaremos la ley de las corrientes de Kirchhoff al circuito siguiente: C

VF

I6

I1 = I 2 + I3

R

C

VY

I4 I5

0

R

I2

0

VX R sRCV0 − sRCVX = sRCVX − sRCVY + VX sCV0 − sCVX = sCVX − sCVY +

sRCV0 = (1 + s2RC)VX − sRCVY

C

VX

I3

R

Vo

I1

0

⎛ 1 + s2RC ⎞ ⇒ V0 = ⎜ ⎟ VX − VY sRC ⎝ ⎠

I 2 = I 4 + I5

VY R sRCVX − sRCVY = sRCVY − sRCVF + VY sCVX − sCVY = sCVY − sCVF +

⎛ 1 + s2RC ⎞ ⇒ VX = ⎜ ⎟ VY − VF ⎝ sRC ⎠

sRCVX = (1 + s2RC)VY − sRCVF Gerardo Maestre

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18

5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. Sustituyendo:

V0 =

(1 + s2RC ) s 2 R 2C2

2

VY

1 + s2RC ) ( V − sRC

F

− VY

1 + s2RC ) ⎛ 1 + s4RC + s 2 4R 2 C2 ⎞ ( V0 = ⎜ − 1⎟ VY − VF 2 2 2 sR C sRC ⎝ ⎠ ⎛ 1 + s4RC + s 2 4R 2 C 2 − s 2 R 2 C2 ⎞ (1 + s2RC ) V V0 = ⎜ V − F ⎟ Y s 2 R 2C2 sRC ⎝ ⎠ ⎛ 1 + s4RC + s 2 3R 2 C2 ⎞ (1 + s2RC ) V V0 = ⎜ V − ⎟ Y F 2 2 2 s R C s R C ⎝ ⎠

I 4 = I6 sCVY − sCVF =

VF R

sCRVY − sCRVF = VF

⎛ 1 + sRC ⎞ ⇒ VY = ⎜ ⎟ VF ⎝ sRC ⎠

sCRVY = (I + sCR)VF Gerardo Maestre

Sustituyendo: Universidad de Huelva

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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

1 + s4RC + s 3R C ) (1 + sRC ) ( (1 + s2RC ) V = V − sRC ( s R C ) sRC 2

V0

2

2

2

2

F

2

V0

1 + s4RC + s 3R C ( =

V0

1 + s4RC + s 3R C ( =

2

2

2

2

2

F

+ sRC + s 2 4R 2 C2 + s3 3R 3C3 ) s 3 R 3 C3

2

VF −

(1 + s2RC ) V sRC

F

+ sRC + s 2 4R 2 C2 + s3 3R 3C3 − s 2 R 2 C2 − s3 2R 3C3 ) 3

3

sRC

3

VF

s3 R 3C3 + s 2 6R 2 C2 + s5RC + 1 V0 = VF s 3 R 3C3

VF ( s )

s 3 R 3C3 β(s) = = 3 3 3 2 2 2 V0 ( s ) s R C + s 6R C + s5RC + 1

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

La función de transferencia del amplificador básico es:

Avf = −

R2 R1

La función de transferencia compleja de lazo es:

⎛ R2 ⎞ −s R C ⎜ R1 ⎟⎠ ⎝ β ( s ) Avf = 3 3 3 2 2 2 s R C + s 6R C + s5RC + 1 3

3

3

Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia de lazo en alta frecuencia :

⎛R ⎞ jω3 R 3C3 ⎜ 2 ⎟ ⎝ R1 ⎠ β ( jω) Avf = − jω3 R 3C3 − 6ω2 R 2 C 2 + jω5RC + 1 Multiplicando por –j:

⎛ R2 ⎞ 3 3 3 ⎛ R2 ⎞ ωRC ⎜ ωRC ⎜ ⎟ ⎟ R R1 ⎠ 1 ⎠ ⎝ ⎝ β ( jω) A vf = = −ω3 R 3C3 + j6ω2 R 2 C2 + 5ωRC − j ωRC ( 5 − ω2 R 2 C2 ) + j( 6ω2 R 2 C2 − 1) 3

Gerardo Maestre

3

3

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5. El Oscilador de desplazamiento de fase.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Aplicamos la condición de ángulo, igualando la parte imaginaria a cero y haciendoω = ω0, para determinar la frecuencia de oscilación.

6ω0 2 R 2 C2 − 1 = 0 ⇒ ω0 2 =

1 6R 2 C2

1 ⎧ ω = ⎪⎪ 0 RC 6 rad/seg ⎨ 1 ⎪f = rad/seg ⎪⎩ 0 2πRC 6

Aplicamos la condición de módulo con ω = ω0 para hallar la condición de oscilación.

⎛ R2 ⎞ 1 2 2 2 ⎛ R2 ⎞ 2 2 ⎛ R2 ⎞ ω0 R C ⎜ ω0 R C ⎜ R C ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 2 R R 6R C ⎝ 1⎠ = ⎝ 1⎠= ⎝ R1 ⎠ = 1 1 5 − ω0 2 R 2 C2 2 2 ω0 RC ( 5 − ω0 2 R 2 C2 ) 5− R C 2 2 6R C 3

3

3

β ( jω) A vf

Gerardo Maestre

1 R2 1 R2 R2 6 R1 6 R1 R1 = = = =1 1 29 29 5− 6 6

⇒

R2 = 29 R1

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R 2 = 29R1

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6. Generalidades de los osciladores LC.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Los osciladores senoidales LC tienen una red selectiva de frecuencia en forma de π

(pi).

Amplificado Básico o V0

Z Z1

Z2

Red selectiva de frecuencia Para el análisis de los osciladores LC utilizaremos como Amplificador Básico un transistor MOSFET, puesto que este presenta una impedancia de entrada infinito A continuación se muestra el circuito equivalente de un MOSFETcon una resistencia RD conectada en el drenador.

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6. Generalidades de los osciladores LC.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

D

G

Vo

o

+ Vi _

gmVi

r0

RD

S 0

Siendo:

g m = 2KI D r0 =

VA ID

= Transconductancia.

= Resistencia de salida del transistor.

ID = Corriente de polarización del drenador. VA = Tensión Early.

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24

6. Generalidades de los osciladores LC.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Por razones de simplicidad utilizaremos el siguiente circuito para un oscilador LC: Vo

o

+ Vi

R0

gmVi

_

IG = 0 0

+

+

Z

Vi

Z1

V0

Z2

_

_ 0

0

Donde:

R 0 = R D // r0 Gerardo Maestre

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7.El oscilador Colpitts.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Arquitectura del oscilador Colpitts. (Z1 y Z2 son capacidades y Z es una autoinducción). Vo

o

R0

+ Vi

gmVi

_

I0 0

L

+

+ C2

VF

_

C1

I2 0

I1

V0

_

0

Para determinar la función de transferencia compleja del Amplificador Básico aplicamos la ley de las corrientes de Kirchhoff al nudo subrayado con línea gruesa.

gmVi + I0 + I1 + I2 = 0 Gerardo Maestre

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7.El oscilador Colpitts.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

g m Vi (s) +

Vo(s) Vo(s) Vo(s) + + =0 1 1 Ro sL + sC1 sC 2

−g m Vi (s) =

Vo(s) sC Vo(s) + sC1Vo(s) + 2 2 =0 Ro 1 + s LC2

⎛ 1 sC2 ⎞ −g m Vi (s) = ⎜ + sC1 + ⎟ Vo(s) 2 1 + s LC 2 ⎠ ⎝ Ro ⎛ 1 + s 2 LC + sR C + s3 R LC C + sR C ⎞ 2 0 1 0 1 2 0 2 ⎟ Vo(s) −g m Vi (s) = ⎜ 2 ⎜ ⎟ R 0 (1 + s LC2 ) ⎝ ⎠

−g m R 0 (1 + s 2 LC2 ) V0 (s) Avf (s) = = Vi (s) 1 + s 2 LC2 + sR 0 C1 + s3 R 0 LC1C2 + sR 0 C 2

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7.El oscilador Colpitts.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Avf (s) =

−g m R 0 (1 + s 2 LC2 )

s3LR 0 C1C2 + s 2 LC2 + sR 0 ( C1 + C2 ) + 1

Por otro lado, la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:

β(s) =

VF ( s ) V0 (s)

1 sC2

=

sL +

1 sC 2

=

1 1 + s 2 LC2

La función de transferencia compleja de la ganancia de lazo es:

−g m R 0 (1 + s 2 LC 2 ) 1 β(s)Avf (s) = × 3 2 (1 + s LC2 ) s LR 0C1C2 + s2 LC2 + sR 0 ( C1 + C2 ) + 1 Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de la ganancia de lazo:

β( jω)Avf ( jω) =

Gerardo Maestre

−g m R 0 − jω3LR 0 C1C2 − ω2 LC2 + jωR 0 ( C1 + C2 ) + 1 Universidad de Huelva

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7.El oscilador Colpitts.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. Agrupando términos:

β( jω)Avf ( jω) =

−g m R 0 (1 − ω2 LC2 ) + jωR 0 ⎡⎣( C1 + C2 ) − ω2 LC1C2 ⎤⎦

Aplicando la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria cero):

( C1 + C2 ) − ω0 2 LC1C2 = 0 ω0 2 =

C1 + C2 1 1 = = LC1C2 L C1C2 LCeq C1 + C2

Siendo

Ceq =

C1C2 C1 + C2

Obtenemos la ecuación de la frecuencia de oscilación.

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7.El oscilador Colpitts.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

1 ω0 = rad / seg LCeq

1 f0 = Hz 2π LCeq Aplicando la condición de módulo para ω = ω0.

−g m R 0 −g m R 0 −g m Ro −g m Ro β( jω0 )Avf ( jω0 ) = = = = =1 2 + + C C C C C (1 − ω0 LC2 ) 1 − 1 2 × LC2 1 − 1 2 − 2 LC1C2 C1 C1 Obtenemos la condición para que el oscilador Colpitts oscile y mantenga las oscilaciones.

gmR o =

C2 C1

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8. El oscilador Hartley.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Arquitectura del oscilador Hartley. (Z1 y Z2 son autoinducciones y Z es una capacidad). Vo

o

+

gmVi

Vi

_

R0

I0 0

C

+ VF

+ L2

_

L1

I2

V0

_

I1 0

0

Para determinar la función de transferencia compleja del Amplificador Básico aplicamos la ley de las corrientes de Kirchhoff:

gmVi(s) + I0 + I1 + I2 = 0 Gerardo Maestre

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8. El oscilador Hartley.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

g m Vi (s) +

V0 (s) V0 (s) V0 (s) + + =0 1 R0 sL1 sL 2 + sC

Operando:

⎛ 1 ⎞ V0 (s) V0 (s) sCV0 (s) 1 sC ⎟ V0 (s) −g m Vi (s) = + + =⎜ + + 2 2 ⎜ R0 sL1 (1 + s L2C ) ⎝ R 0 sL1 (1 + s L2C ) ⎟⎠

s3 L1L 2 C + sL1 + s 2 R 0 L 2 C + R 0 + s 2 R 0 L1C −g m Vi (s) = V0 (s) 2 sR 0 L1 (1 + s L 2 C )

−g msR 0 L1 (1 + s 2 L 2 C ) V0 (s) Avf (s) = = 3 Vi (s) s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0

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32

8. El oscilador Hartley.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Por otro lado, la función de transferencia compleja de la red selectiva de frecuencia es:

VF ( s )

s 2 CL 2 β(s) = = = V0 ( s ) sL + 1 (1 + s 2 CL 2 ) 2 sC sL 2

La función de transferencia compleja de la ganancia de lazo es:

−g m sR 0 L1(1 + s 2 CL 2 )

s 2 CL 2 β ( s ) Avf (s) = 3 × s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0 (1 + s 2 CL 2 )

−g ms3 R 0 CL1L 2 β ( s ) Avf (s) = 3 s CL1L 2 + s 2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + sL1 + R 0 Sustituyendo s = jω obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia de la ganancia de lazo:

jg m ω3 R 0 CL1L 2 β ( jω) Avf ( jω) = − jω3CL1L 2 − ω2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + jωL1 + R 0 Gerardo Maestre

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

8. El oscilador Hartley.

Multiplicando por -j:

g m ω3 R 0 CL1L 2 β ( jω) Avf ( jω) = −ω3CL1L 2 + jω2 R 0 C ( L1 + L 2 ) + ωL1 − jR 0 Agrupando términos:

g m ω3R 0 CL1L 2 β ( jω) Avf ( jω) = ωL1 (1 − ω2 CL 2 ) + jR 0 ⎡⎣ω2 C ( L1 + L 2 ) − 1⎤⎦ Aplicando la condición de ángulo del criterio de Barkhausen (parte imaginaria cero):

( ω C[L 2

0

ω0 2 =

1

+ L 2 ]) − 1 = 0

1 C ( L1 + L 2 )

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1 ⎧ ω = rad/seg ⎪ 0 C ( L1 + L 2 ) ⎪ ⎨ 1 ⎪ f = Hz ⎪ 0 2π C ( L1 + L 2 ) ⎩ Universidad de Huelva

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8. El oscilador Hartley.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. Aplicando la condición de módulo para ω = ω0.

g m ω03 R 0 CL1L 2 g m ω0 2 R 0 CL 2 β ( jω0 ) Avf ( jω0 ) = = =1 ω0 L1 (1 − ω0 2 CL 2 ) 1 − ω0 2 CL 2 ) Aplicando la condición de módulo para ω = ω0:

1 g m R 0 L2 R 0 CL 2 C ( L1 + L 2 ) g m R 0 L2 g R L L1 + L 2 = = = m 0 2 =1 1 L2 L1 + L 2 − L 2 L1 1− CL 2 ) 1 − C ( L1 + L 2 ) L1 + L 2

gm

Obtenemos la condición para que el oscilador Hartley oscile y mantenga las oscilaciones.

gmR 0 =

L1 L2

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9. Osciladores de cristal.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

La estabilidad de la frecuencia de oscilación de un oscilador es un parámetro muy importante en muchos diseños. Para un oscilador Colpitts la frecuencia de oscilación depende del valor de la L de la C1 y de la C2 de la red selectiva de frecuencia. Estos componentes varían con el envejecimiento, temperatura, tolerancia, etc.

De la ecuación del oscilador Colpitts:

1 ω = LCeq 2 o

⇒

1 ωo L = ωo Ceq

A la frecuencia de oscilación ωo las reactancias inductiva y capacitiva son iguales. Se observa en la figura siguiente.

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

9. Osciladores de cristal.

Reac tan cia

1 ωCeq

ωL

ωL'

ω

ωo ω'o

Cuando el valor de la inductancia varía desde L hasta L’ el valor de la frecuencia de oscilación variá desde ω0 hasta ω0’. Para obtener una elevadísima estabilidad en la frecuencia de oscilación se utiliza como red selectiva de frecuencia un cristal (como el cuarzo) que presentan el efecto piezoeléctrico.

Gerardo Maestre

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9. Osciladores de cristal.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

► Una deformación física entre sus caras produce en estas una tensión eléctrica. ► Una tensión eléctrica aplicada entre sus caras produce una deformación en el cristal Se muestra el símbolo y el circuito eléctrico equivalente de un cristal piezoeléctrico (R se desprecia).

L C' R

⇒

⎛ 1 ⎞ 1 j L ω + ⎜ jωC ⎠⎟ jωC' ⎝ X ( jω ) = 1 1 j ωL + + jωC jωC'

C

En la figura siguiente se muestra una representación de la reactancia del cristal en función de la frecuencia. Gerardo Maestre

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9. Osciladores de cristal.

Tema 4: Osciladores Senoidales.. jX ( ω)

Inductiva

ωs

Capacitiva

Frecuencia de resonancia en serie

1 ωs = LC

ω

ωp

ωp =

1 CC' L C + C'

Frecuencia de resonancia en paralelo

Presenta dos frecuencias de resonancia, ωS y ωP, muy próximas entre si. Entre ambas frecuencias el cristal se comporta como una inductancia. Gerardo Maestre

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9. Osciladores de cristal.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Oscilador Pierce. Oscilador Colpitts en el cual se ha sustituido la inductancia por el cristal. Vo Vi

Ro

gmVi

0

XTAL

C2

0

C1 0

En resonancia la reactancia inductiva del cristal X(ω) ha de ser igual a la reactancia equivalente de los condensadores C1 y C2:

X ( ω) = Gerardo Maestre

1 ωo Ceq Universidad de Huelva

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9. Osciladores de cristal.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

X ( ω)

1 ωCeq

ω

' s

ω

La frecuencia de oscilación del Oscilador Pierce es virtualmente independiente de las capacitancias de la red selectiva de frecuencia.

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41

Ejercicio

Tema 4: Osciladores Senoidales..

En el oscilador de la figura el MOSFET tiene el drenador polarizado a 1 mA a través de una bobina de choque de radiofrecuencia ( RFC ). Los parámetros del transistor son K=4 mA/V2. y VA=70 V. Obtener la condición para la oscilación. +12V

RFC

57.6M

Vo

C1 C2

12.1M

8k

Cp 0

0 0 Cp

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0 L

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Tema 4: Osciladores Senoidales..

Ejercicio

Los condensadores de paso CP son cortocircuitos (para pequeña señal) a la frecuencia ω0 de oscilación. La bobina de choque RFC es un circuito abierto (para pequeña señal) a la frecuencia ω0 de oscilación. Para pequeña señal la resistencia que existe entre puerta y masa del transistor es: 57.6 ∗ 12.1 = 10 M 57.6 + 12.1

Esta resistencia es muy elevada y la despreciamos.

Con lo dicho, el circuito de pequeña señal quedará como se muestra en la figura siguiente.

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Ejercicio

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Vo

En este caso R0 = r0

C1

C2 0

0

0

L

Vo + Vi _

Ro

gmVi

I=0

0

L +

+ C2

Vf _

Vo _

0

Gerardo Maestre

C1 0

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Ejercicio.

Tema 4: Osciladores Senoidales..

Como se observa se trata de un oscilador Colpitts en el cual la condición de oscilación es

C2 g m ro = C1

Calculamos la transconductancia.

g m = 2 K ∗ I D = 2 ∗ 4 ∗ 10 −310 −3 = 2.83 ∗ 10 −3

A V

Calculamos la resistencia de salida.

ro =

VA 70 = −3 = 70 ∗ 10 3 Ω I D 10

Calculamos:

g m ro = 2.83 ∗ 10 −3 ∗ 70 ∗ 10 3 = 198 Por tanto la condición para la oscilación es:

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198 =

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C2 C1

⇒

C2 = 198C1

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