Controladores difusos Proyecto Integrador de la carrera de Ingeniería Nuclear

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control jeremy theler

Laboratorio de Cavitación y Biotecnología Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo Comisión Nacional de Energía Atómica

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro 05/03/2007

Outline de la charla All traditional logic

Lógica difusa

habitually assumes that

Variables lingüísticas

precise symbols are being

Conjuntos difusos

employed. It is therefore

Operaciones difusas

not applicable to this terrestrial life, but only

Relaciones difusas Estructura de un controlador difuso

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Interfaz realdifuso

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Base de reglas lingüísticas

Aplicaciones

to an imaginated

Esquemas de control estándar

celestial existence.

Estructura de un controlador difuso

Bertrand Russell, 1923

Lógica difusa

Mecanismo de inferencia Interfaz difusoreal Diseño de controladores Cinética puntual Tanque mezclador Rueda loca Trabajos futuros

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Motivación A menudo nos encontramos con conceptos algo subjetivos

x

I

. . . un número

I

mucho mayor que la unidad

. . . una mujer hermosa

pero que son realmente importantes, por ejemplo I

. . . para poder resolver un problema de ingeniería

I

. . . para lograr la felicidad

La teoría de lógica difusa es una herramienta con la cual atacar matemáticamente problemas lingüísticos y subjetivos, originalmente introducida por Zadeh en 1965.

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Motivación A menudo nos encontramos con conceptos algo subjetivos

x

I

. . . un número

I

mucho mayor que la unidad

. . . una mujer hermosa

pero que son realmente importantes, por ejemplo I

. . . para poder resolver un problema de ingeniería

I

. . . para lograr la felicidad

La teoría de lógica difusa es una herramienta con la cual atacar matemáticamente problemas lingüísticos y subjetivos, originalmente introducida por Zadeh en 1965.

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Variables lingüísticas ½Atención! Probabilidad de tautología en puerta

Lógica difusa

Denición (Variable lingüística) Dada una variable real

x

denida en un universo de discurso

llamamos variable lingüística

x ˜

al concepto asociado a

x

U,

que

sólo puede tomar valores lingüísticos, a denir a continuación.

Denición (Valor lingüístico) Sea que

x ˜ x ˜

una variable lingüística. El conjunto de valores arbitrarios puede tomar es

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

V˜ = {˜ vi : i = 1, 2, . . . , N } y cada uno de los elementos de

V˜

se llama valor lingüístico.

Ejemplos de variables lingüísticas Ejemplo La variable lingüística discurso

P = [0

p˜ =presión

denida sobre el universo de

Pa, ∞) puede tomar los valores lingüísticos

p˜ = {baja, normal, alta}

h ∈ [0, hmax ]

la altura del nivel de agua líquida en el circuito

secundario del generador de vapor de un reactor nuclear. La variable lingüística altura denida sobre altura

= {inaceptablemente

h

puede valer

baja, peligrosamente baja,

baja, normal, alta, peligrosamente alta inaceptablemente alta}

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Ejemplo Sea

Lógica difusa

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Conjuntos difusos Denición (Función de membresía) La función

µv˜ (x) : U 7→ [0, 1]

Lógica difusa

que describe la certeza de que

pueda ser clasicada lingüísticamente por

v˜

se llama función de

membresía.

Vu˜ =



Vu˜

como

que representan la certeza de que el valor real

pueda ser clasicado lingüísticamente como

Control

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca


x, µx˜ (x) : x ∈ U

Futuro

esto es, un conjunto clásico cuyos elementos son pares

{x, µx˜ (x)}

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Denición (Conjunto difuso) Denimos el conjunto difuso

x ˜

x ˜.

x

Importante aclaración

Lo que a uno primero se le ocurre, o simple leyenda urbana... Lógica difusa Los conjuntos difusos no tienen nada que ver con una distribución de probabilidad. Una función de membresía

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

hay ninguna naturaleza probabilística detrás de este concepto, ni

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

estamos lidiando con fenómenos aleatorios.

Aplicaciones

Recordar

Futuro

caracteriza la certeza de que el contenido de la variable tradicional

u

pueda ser clasicada lingüísticamente como

v˜,

y no

Se trata de cuanticar matemáticamante ideas naturalmente imprecisas y subjetivas pero denitivamente no aleatorias.

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Extensión de los conjuntos clásicos

Ejemplo de un conjunto difuso que extiende un conjuntos clásicos C = [0, 1]

El conjunto clásico

puede ser escrito como conjunto

Lógica difusa

difuso. En efecto, sea

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

µC

( 1 µC (x) = 0

si

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

1

0 ≤ x ≤ 1,

de otra manera.

Aplicaciones

0 1

2

x

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro entonces el conjunto difuso

F = {(x, µC (x)) : x ∈ R} coincide con el conjunto clásico

C.

Ejemplo de un conjunto difuso: luz azul Citado de Fontanini (1988)

Podríamos denir el conjunto difuso luz azul en el universo

Λ

de las longitudes de onda visibles, cuya función de pertenencia podría ser la siguiente función arbitraria

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

µ(λ)

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

1

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

0.5

0

400

Futuro

450

500

550

600

650

650

λ

[nm]

Ejemplo  Presión en Atucha I La presión nominal a la salida del generador de vapor de la Central Nuclear Atucha I es

p = 4,5 MPa.

Las funciones de

membresía de los valores lingüísticos baja, normal y alta podría ser

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

µ(p)

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

normal

1

Aplicaciones

4.3

Cinética puntual Tanque Rueda loca

alta

baja

0

Lógica difusa

4.4

4.5

4.6

4.7

Futuro

p

[MPa]

Último ejemplo  Edades Conjuntos difusossubjetivos y arbitrariospara clasicar a una persona según su edad

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

µ 1

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

0.8

0.6

Aplicaciones

jóven hasta ahí nomás vieja

0.4

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro 0.2

0

0

20

40

60

edad [años]

80

100

Último ejemplo  Edades Conjuntos difusossubjetivos y arbitrariospara clasicar a una persona según su edad

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

µ 1

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

0.8

0.6

Aplicaciones

jóven hasta ahí nomás vieja

0.4

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro 0.2

0

0

20

40

60

edad [años]

80

100

Operaciones sobre conjuntos difusos Operador unión

Denición (Unión) La unión

F ∪G

F yG µF ∪G (x) es

de los conjuntos

cuya función de membresía

es el conjunto difuso

µF ∪G (x) = m´ ax {µF (x), µG (x)} = µF (x) ∨ µG (x) µ

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

µF ∨ µG

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

µF µG

x

Operaciones sobre conjuntos difusos Operador intersección

Denición (Intersección) La intersección

F ∩G

es el conjunto difuso cuya función de

membresía es

µF ∩G (x) = m´ın {µF (x), µG (x)} = µF (x) ∧ µG (x) µ

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

µF µG

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

x µF ∧ µG

Relaciones difusas Denición Una relación difusa binaria de membresía

µR (x, y)

R

está caracterizada por una función

que da la certeza de que el par

representado por la relación

(x, y)

sea

R.

xy

descripta por un conjunto difuso membresía

µA (x, y)

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Ejemplo (Zadeh, 1965) La relación denotada por

Lógica difusa

x, y ∈ R puede ser A ∈ R2 cuya función de

con

podría tomar los siguientes (y subjetivos)

valores representativos

µA (10, 5) = 0 µA (100, 10) = 0,7 µA (100, 1) = 1

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Composición difusa

Extensión al campo difuso de las funciones reales Denición (Composición

)

sup-star

Dados dos conjuntos difusos difusa binaria difuso

B

R ∈ X ×Y,

A ∈ X, B ∈ Y

Lógica difusa y una relación

la función de membresía del conjunto

es

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

µB (y) = m´ axx {m´ın [µA (x), µR (x, y)]} = ∨x [µA (x) ∧ µR (x, y)]

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones fórmula que se conoce como composición sup-star o max-min.

Cinética puntual Tanque Rueda loca

En el campo de los conjuntos difusos escribimos

Futuro

B =A◦R

Intento de justicación

Composición difusa

Extensión al campo difuso de las funciones reales Denición (Composición

)

sup-star

Dados dos conjuntos difusos difusa binaria difuso

B

R ∈ X ×Y,

A ∈ X, B ∈ Y

Lógica difusa y una relación

la función de membresía del conjunto

es

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

µB (y) = m´ axx {m´ın [µA (x), µR (x, y)]} = ∨x [µA (x) ∧ µR (x, y)]

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones fórmula que se conoce como composición sup-star o max-min.

Cinética puntual Tanque Rueda loca

En el campo de los conjuntos difusos escribimos

Futuro

B =A◦R

Intento de justicación

Esquemas de control estándar Denición (SISO) Una planta con una entrada y una salida se llama sistema SISO.

Denición (MIMO) Una planta con más de una entrada y más de una salida llama sistema MIMO.

r(t)

u(t)

y(t)

controlador

planta

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication Cinética puntual Tanque Rueda loca

m(t) −

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Aplicaciones

Lazo abierto

r(t)

Lógica difusa

u(t) controlador

Futuro

y(t) planta

0

y (t) conversor Lazo cerrado

Esquemas de control estándar Controladores digitales rk

ek −

controlador digital

uk

u∗ (t)

DAC

ZOH

yk

planta continua

y(t)

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

ADC

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

señal original

Futuro

reconstrucción

(ωT )/2

con ZOH aproximación

ωT 2

Estructura interna de un controlador difuso Lógica difusa

mecanismo de inferencia

reglas lingüísticas

defuzzication

operador

y(t)

m(t)

fuzzication

controlador

r(t)

u(t)

y(t) planta

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones 1. interfaz realdifusa 2. base de reglas lingüísticas 3. mecanismo de inferencia 4. interfaz difusareal

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Interfaz fuzzication realdifuso Lógica difusa

mecanismo de inferencia

reglas lingüísticas

defuzzication

operador

y(t)

m(t)

fuzzication

controlador

r(t)

u(t)

y(t) planta

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones 1. interfaz realdifusa 2. base de reglas lingüísticas 3. mecanismo de inferencia 4. interfaz difusareal

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Interfaz realdifusa El operador singleton

Denición (Singleton) El operador singleton

s(ˆ x)

devuelve un conjunto difuso tipo

singleton con una función de membresía

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

( 1 s(ˆ x) = µ(x) = 0

si

x=x ˆ,

de otra manera

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

µ

Futuro

1

0

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

x ˆ

x

Base de reglas lingüísticas Lógica difusa

mecanismo de inferencia

reglas lingüísticas

defuzzication

operador

y(t)

m(t)

fuzzication

controlador

r(t)

u(t)

y(t) planta

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones 1. interfaz realdifusa 2. base de reglas lingüísticas 3. mecanismo de inferencia 4. interfaz difusareal

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Reglas lingüísticas

como forma de cuanticar conocimiento IF - THEN

I

Reglas causalísticas de la forma

I

Tácitamente utilizamos ciertos conocimientos o intuiciones

Lógica difusa

que se pueden escribir como reglas lingüísticas • •

IF tengo hambre THEN como un chorizo IF la mina es muy linda THEN me olvido

Control

e intento

con otra •

IF estoy

llegando a la esquina

THEN piso

un poco

el freno •

IF la

potencia es baja

THEN saco

un poco las barras

de control •

•

IF la temperatura del refrigerante es alta THEN hago un scram IF el nivel del presurizador es alto y aumenta la presión en la contención THEN la válvula de alivio está abierta (TMI)

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Semántica de las reglas lingüísticas Forma general

IF m ˜ IS A AND · · · AND m ˜ IS B THEN u ˜ IS C | 1{z } | n{z } | i {z } consecuencia cláusula n |cláusula 1 {z } premisa

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control Equivalencias lógicas

IF x ˜ IS A1 OR x ˜ IS A2 THEN y˜ IS B ≡ IF x ˜ IS A1 THEN y˜ IS B IF x ˜ IS A2 THEN y˜ IS B

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B AND z˜ IS C ≡ IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B IF x ˜ IS A THEN z˜ IS C

Semántica de las reglas lingüísticas Forma general

IF m ˜ IS A AND · · · AND m ˜ IS B THEN u ˜ IS C | 1{z } | n{z } | i {z } consecuencia cláusula n |cláusula 1 {z } premisa

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control Equivalencias lógicas

IF x ˜ IS A1 OR x ˜ IS A2 THEN y˜ IS B ≡ IF x ˜ IS A1 THEN y˜ IS B IF x ˜ IS A2 THEN y˜ IS B

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B AND z˜ IS C ≡ IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B IF x ˜ IS A THEN z˜ IS C

Sobre el origen de las reglas Lógica difusa Las reglas lingüísticas pueden provenir básicamente de. . . I

la experiencia y conocimiento del diseñador sobre la

Control

recabación de la información necesaria de otras maneras

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

tales como la indagación lisa y llana

Aplicaciones

dinámica y la ingeniería de control de la planta I

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

la observación de un operador humano en acción o de la

I

un modelo matemático difuso

Cinética puntual Tanque Rueda loca

I

métodos de aprendizaje basados en redes neuronales

Futuro

Sobre el origen de las reglas Lógica difusa Las reglas lingüísticas pueden provenir básicamente de. . . I

la experiencia y conocimiento del diseñador sobre la

Control

recabación de la información necesaria de otras maneras

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

tales como la indagación lisa y llana

Aplicaciones

dinámica y la ingeniería de control de la planta I

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

la observación de un operador humano en acción o de la

I

un modelo matemático difuso

Cinética puntual Tanque Rueda loca

I

métodos de aprendizaje basados en redes neuronales

Futuro

Sobre el origen de las reglas Lógica difusa Las reglas lingüísticas pueden provenir básicamente de. . . I

la experiencia y conocimiento del diseñador sobre la

Control

recabación de la información necesaria de otras maneras

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

tales como la indagación lisa y llana

Aplicaciones

dinámica y la ingeniería de control de la planta I

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

la observación de un operador humano en acción o de la

I

un modelo matemático difuso

Cinética puntual Tanque Rueda loca

I

métodos de aprendizaje basados en redes neuronales

Futuro

Sobre el origen de las reglas Lógica difusa Las reglas lingüísticas pueden provenir básicamente de. . . I

la experiencia y conocimiento del diseñador sobre la

Control

recabación de la información necesaria de otras maneras

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

tales como la indagación lisa y llana

Aplicaciones

dinámica y la ingeniería de control de la planta I

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

la observación de un operador humano en acción o de la

I

un modelo matemático difuso

Cinética puntual Tanque Rueda loca

I

métodos de aprendizaje basados en redes neuronales

Futuro

Mecanismo de inferencia difusa Lógica difusa

mecanismo de inferencia

reglas lingüísticas

defuzzication

operador

y(t)

m(t)

fuzzication

controlador

r(t)

u(t)

y(t) planta

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones 1. interfaz realdifusa 2. base de reglas lingüísticas 3. mecanismo de inferencia 4. interfaz difusareal

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Razonamiento difuso Una regla lingüística implica una relación difusa

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B

⇐⇒

B =A◦R

Caso I antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

x ˜ IS A IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Caso II antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión) ¾Cómo calculamos

B0?

x ˜ IS A0 IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B 0 ⇒

B 0 = A0 ◦ R

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Razonamiento difuso Una regla lingüística implica una relación difusa

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B

⇐⇒

B =A◦R

Caso I antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

x ˜ IS A IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Caso II antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión) ¾Cómo calculamos

B0?

x ˜ IS A0 IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B 0 ⇒

B 0 = A0 ◦ R

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Razonamiento difuso Una regla lingüística implica una relación difusa

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B

⇐⇒

B =A◦R

Caso I antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

x ˜ IS A IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Caso II antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión) ¾Cómo calculamos

B0?

x ˜ IS A0 IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B 0 ⇒

B 0 = A0 ◦ R

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Razonamiento difuso Una regla lingüística implica una relación difusa

IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B

⇐⇒

B =A◦R

Caso I antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

x ˜ IS A IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Caso II antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión) ¾Cómo calculamos

B0?

x ˜ IS A0 IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B 0 ⇒

B 0 = A0 ◦ R

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Evaluación de reglas Una regla con una cláusula

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

m´ın µ

µ

B A

Control

B0

A0

w

x antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

y

x ˜ IS A0 IF x ˜ IS A THEN y˜ IS B y˜ IS B 0

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Evaluación de reglas Una regla con dos cláusulas

Lógica difusa

m´ın µ

µ

µ A0

B

w1 w2

A

x

C0

C

B0

y

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

w z

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

antecedente 1 (hecho) antecedente 2 (regla) consecuencia (conclusión)

Futuro x ˜ IS A0 AND y˜ IS B 0 IF x ˜ IS A AND y˜ IS B THEN z˜ IS C z˜ IS C 0

Evaluación de reglas Dos reglas con dos cláusulas

m´ın µ

µ

µ A0

Lógica difusa

C1

B0

B1

A1

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

C10

Control x µ

y

z µ

µ A0

C2

B0 A2

C20

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

B2

Cinética puntual Tanque Rueda loca

x

y

z

∧ µ C 0 = C10 ∪ C20

z

Futuro

Evaluación de reglas

Simplicación del esfuerzo computacional usando el operador singleton m´ın µ

µ

µ

A0

B0 B1

C10

Lógica difusa

C1

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

A1

Control x µ

µ

µ

A0 A2

z

y B0

C2

C20

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

B2

Cinética puntual Tanque Rueda loca

x

y

z

∧ µ

C 0 = C10 ∪ C20 z

Futuro

Interfaz defuzzication difusoreal Lógica difusa

mecanismo de inferencia

reglas lingüísticas

defuzzication

operador

y(t)

m(t)

fuzzication

controlador

r(t)

u(t)

y(t) planta

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones 1. interfaz realdifusa 2. base de reglas lingüísticas 3. mecanismo de inferencia 4. interfaz difusareal

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Interfaz difusoreal Operadores defuzzication

Centro de gravedad (COG)

n Z ∞ X

g(˜ z) =

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

z · µi (z) dz

i=1 −∞ n Z ∞ X i=1

Lógica difusa

µ

µi (z) dz

COG

CAV

−∞

p(˜ z) =

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

zi · h i

i=1 n X i=1

z

hi

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Promedio de centros (CAV)

n X

Control

Cinética puntual

Elección de las variables lingüísticas Lógica difusa

I

Planta SISO

I

Variables lingüísticas

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

error rho I

Control

↔ n − nsp

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

↔ ρctrl

Controlador discreto

Aplicaciones

ρext (t) nspk

ek −

−1

controlador difuso

DAC+ZOH

nk

ADC

ρ∗ctrl (t)

cinética puntual

n(t)

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Cinética puntual

Elección de los valores lingüísticos y de las reglas I

Valores lingüísticos

µ

Lógica difusa

error

= {negativo, cero, positivo}

rho

= {negativa, cero, positiva}

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

µ 1

1

0.5

0.5

0

-2

-1

0

1

Entrada normalizada I

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

2

ξ

0

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

-2

-1

0

Salida normalizada

Reglas lingüísticas • • •

1

IF error IS negativo THEN rho IS positiva IF error IS cero THEN rho IS cero IF error IS positivo THEN rho IS negativa

2

ψ

Futuro

Cinética puntual Resultados I

Λ β

I

kerr = 0,25 kρ = 150 × 10−5

= 0,013 seg

⇒

f = 200

Hz

Lógica difusa

|ρ| ˙ ≤ 20 × 10−5

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

potencia [UA]

175

Control

125 100

potencia setpoint

75 0 reactividad [pcm]

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

150

150 100 50 0 −50 −100 −150

50

100

150

200

Aplicaciones 250

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

ρctrl ρext 0

50

100 150 tiempo [seg]

200

250

Cinética puntual

Sensibilidad a la ganancia

reactividad [pcm]

error en la potencia [UA]

Lógica difusa 20

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

2.5 0.25 0.025

10 0

Control

−10 −20 −30

0

50

100

150

150

200

250

Aplicaciones

2.5 0.25 0.025

100

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication Cinética puntual Tanque Rueda loca

50

Futuro

0 0

50

100

150 tiempo

200

250

Cinética puntual

Inuencia de las funciones de membresía y del operador defuzzication 0.002

CAV COG con 3 valores COG con 5 valores

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

reactividad

0.001

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

0.000

-0.001

Aplicaciones -0.002

-4

-2

0

2

4

error [UA]

µ

µ

1

1

0.5

0.5

0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Entrada normalizada ξ

0 −1.5 −1 −0.5

0

0.5

1

1.5

Salida normalizada ψ

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Tanque mezclador Descripción del problema uc

uf

Qc

Qf

Tf

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

h

Tc

Lógica difusa

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Q

A u

T

Tanque mezclador

Elección de variables y valores lingüísticos I

Para poder usar mejor el conocimiento lingüístico, conviene referenciar las variables al punto de setpoint

u f0

=

uc0

=

Qsp (Tc − Tsp ) Qf (Tc − Tf ) Qsp (Tsp − Tf ) Qc (Tc − Tf )

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

temperatura caudal ufría ucaliente

↔ T − Tsp = {fría, ok, caliente} ↔ Q − Qsp = {bajo, ok, alto} ↔ uf − uf0 = {cerrada, normal, abierta} ↔ uc − uc0 = {cerrada, normal, abierta}

Futuro

Tanque mezclador

Estrategia de control Icontrol independiente Lógica difusa

I

Con la canilla fría controlamos el caudal de salida y con la canilla caliente la temperatura • • •

• • •

IF caudal IS alto THEN ufría IS cerrada IF caudal IS ok THEN ufría IS normal IF caudal IS bajo THEN ufría IS abierta IF temperatura IS fría THEN ucaliente IS abierta IF temperatura IS ok THEN ucaliente IS normal IF temperatura IS caliente THEN ucaliente IS cerrada

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Tanque mezclador

frí a

Estrategia de control IIcontrol combinado ok

ufría IS abierta ucaliente IS abierta ufría IS abierta ucaliente IS normal ufría IS cerrada ucaliente IS abierta

frí

a

ch ico

e nt lie

ca

temperatura

ufría IS normal ucaliente IS abierta

ok

temperatura

ok ca e nt

lie

ufría IS normal ucaliente IS normal

an

gr

ufría IS abierta ucaliente IS cerrada

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

a

de

Futuro ufría IS cerrada ucaliente IS normal

frí

caudal

Lógica difusa

ok e nt

lie

ca

temperatura

ufría IS cerrada ucaliente IS cerrada ufría IS normal ucaliente IS cerrada

Tanque mezclador caudal [kg seg−1 ]

Resultados

3.5

control independiente control combinado setpoint

3.0

2.0 0

40

80

120

80 60 40 20

0

40

80

120

uf

1

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

0.5

Futuro

0 0

40

0

40

80

120

80

120

1

uc

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

◦

temperatura [ C]

Lógica difusa

2.5

0.5

0

tiempo [seg]

La rueda loca de Lorenz Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

I

Las reglas del juego

1. el objetivo de control es lograr que la rueda gire en un sentido dado, digamos horario 2. el único parámetro de control es caudal de agua y la única variable observable es la posición de la rueda 3. en todo momento el caudal debe estar en el rango de caos

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

La rueda loca de Lorenz Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

I

Las reglas del juego

1. el objetivo de control es lograr que la rueda gire en un sentido dado, digamos horario 2. el único parámetro de control es caudal de agua y la única variable observable es la posición de la rueda 3. en todo momento el caudal debe estar en el rango de caos

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

La rueda loca de Lorenz velocidad [UA]

Comportamiento natural sin control Lógica difusa

0

50

200

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

velocidad [UA]

Q=

100 150 tiempo [seg] 10 × 10−6 m3 ·s−1

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Aplicaciones 0

50

100 tiempo [seg]

150

200

Q = 50 × 10−6 m3 ·s−1

Futuro

velocidad [UA] 0

50

100 tiempo [seg]

150

Q = 180 × 10−6 m3 ·s−1

Cinética puntual Tanque Rueda loca

200

La rueda loca de Lorenz Variables y valores lingüísticos neg_grande neg_chica cero pos_muychica

µ

1

pos_chica pos pos_grande

1

-1

-0.5 0 0.5 velocidad normalizada

1

0

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

0.5

0.5

0

negativa cero positiva

µ

-1

-0.5 0 0.5 1 aceleración normalizada

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

µ

1 hilito chico maso grande gigante

0.5

0

0

0.5 1 caudal normalizado

1.5

Futuro

La rueda loca de Lorenz Reglas de la galera I

Reglas lingüísticas, después de algunos días, intentos, insultos y suerte de por medio

IF velocidad IS neg_grande AND IF velocidad IS neg_grande AND IF velocidad IS neg_grande AND IF velocidad IS neg_chica AND IF velocidad IS neg_chica AND IF velocidad IS neg_chica AND IF velocidad IS cero AND IF velocidad IS cero AND IF velocidad IS cero AND

aceleracion aceleracion aceleracion

aceleracion aceleracion aceleracion

IS negativa THEN caudal IS hilito IS cero THEN caudal IS chico IS positiva THEN caudal IS chico

aceleracion IS negativa THEN caudal IS chico aceleracion IS cero THEN caudal IS maso aceleracion is positiva THEN caudal IS maso

IF velocidad IS pos_muychica AND IF velocidad IS pos_muychica AND IF velocidad IS pos_muychica AND IF velocidad IS pos_chica AND IF velocidad IS pos_chica AND IF velocidad IS pos_chica AND IF velocidad IS pos AND IF velocidad IS pos AND IF velocidad IS pos AND

IS negativa THEN caudal is hilito IS cero THEN caudal is hilito IS positiva THEN caudal IS chico

aceleracion aceleracion aceleracion

aceleracion aceleracion aceleracion

aceleracion aceleracion aceleracion

IF velocidad IS pos_grande AND IF velocidad IS pos_grande AND IF velocidad IS pos_grande AND

IS negativa THEN caudal IS maso IS cero THEN caudal IS maso IS positiva THEN caudal IS grande

IS negativa THEN caudal IS grande IS cero THEN caudal IS grande IS positiva THEN caudal IS gigante

IS negativa THEN caudal IS maso IS cero THEN caudal IS grande IS positiva THEN caudal IS gigante

aceleracion aceleracion aceleracion

IS negativa THEN caudal IS grande IS cero THEN caudal is grande IS positiva THEN caudal is gigante

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

La rueda loca de Lorenz Mapa del controlador

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

3

caudal [m /seg]

4 4 × 10−4

Control

2

3 × 10−4 2 × 10−4

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

0

Aplicaciones

1 × 10−4

Cinética puntual Tanque Rueda loca

1 ac

el

Futuro

0,5

er

ac i

ón

0 −0,5

[r a

d/

se

g2 ]

−1−4

−2

2

0

g]

/se d [rad

a velo cid

4

La rueda loca de Lorenz velocidad

Dos resultados

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

caudal

Control

0

50

100

150

200

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones velocidad

Cinética puntual Tanque Rueda loca

caudal

Futuro

0

50

100

150

200

Lo que viene ahora...

es atacar problemas termohidráulicos más interesantes I

I

A corto plazo, i.e., antes del 29 de junio. . . •

el problema de Welander con controladores lingüísticos

•

natural circulation loop con controladores de Takagi-Sugeno

A largo plazo (?) . . . •

boiling channels acoplados con realimentación neutrónica

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Lo que viene ahora...

es atacar problemas termohidráulicos más interesantes I

I

A corto plazo, i.e., antes del 29 de junio. . . •

el problema de Welander con controladores lingüísticos

•

natural circulation loop con controladores de Takagi-Sugeno

A largo plazo (?) . . . •

boiling channels acoplados con realimentación neutrónica

sumidero

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

fuente

Lo que viene ahora...

es atacar problemas termohidráulicos más interesantes I

I

A corto plazo, i.e., antes del 29 de junio. . . •

el problema de Welander con controladores lingüísticos

•

natural circulation loop con controladores de Takagi-Sugeno

A largo plazo (?) . . . •

boiling channels acoplados con realimentación neutrónica

sumidero

sumidero

Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

loop

fuente

fuente

Futuro

Lo que viene ahora...

es atacar problemas termohidráulicos más interesantes I

I

A corto plazo, i.e., antes del 29 de junio. . .

Lógica difusa

•

el problema de Welander con controladores lingüísticos

•

natural circulation loop con controladores de Takagi-Sugeno

Control

A largo plazo (?) . . . •

boiling channels acoplados con realimentación neutrónica

sumidero

sumidero

fuente

fuente

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones núcleo

loop

Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

½Gracias por su atención!

Afortunadamente el aburrimiento llegó a su n Lógica difusa Variables Conjuntos Operaciones Relaciones

Control

¾Preguntas?

Estándar Difuso Fuzzication Reglas Inferencia Defuzzication

Aplicaciones

Cinética puntual Tanque Rueda loca

Futuro

Tratemos de justicar la sorprendente fórmula ... sup-star

Apéndice y

y f (x)

f (x) f (a + ∆a) b = f (a)

b = f (a)

f (a − ∆a)

x

a

Relación entre

x

e

y∈R

a − ∆a a a + ∆a

x

Relación entre dos intervalos

Pasemos ahora al campo difuso... µR (x, y)

Apéndice

µA

1

1

0.5

0

y x

x

0

c(x, y)

c ∧ µR

1

1

0

0

y y x

x

Conjunto difuso obtenido y un resultado de yapa... µB

Apéndice

1

0.5

0

y

µB (y) = m´ax∀x {m´ın [µA (x), µR (x, y)]}

Teorema (Resultado útil) Si

B =A◦R

entonces

µR (x, y) = µA (x) ∧ µB (y) = m´ın [µA (x), µB (y)] Volver al hilo de la charla