CONTROLADORES COMUTATIVOS ESTABILIZANTES PARA PLANTAS ´ INSTAVEIS ˜o C. Basilio†,⋆ Marcos V. Moreira† , Joa Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE - Programa de Engenharia El´etrica ⋆ Escola Polit´ecnica - Departamento de Eletrot´ecnica Cidade Universit´ aria - Ilha do Fund˜ ao 21.945-970 - Rio de Janeiro - R. J. E-mails: [email protected], [email protected] †

Resumo— Recentemente, uma parametriza¸ca ˜o de todos os controladores comutativos estabilizantes foi obtida, bem como uma caracteriza¸ca ˜o de todos os graus de liberdade dispon´ıveis, o que permite a aplica¸ca ˜o do m´ etodo do lugar caracter´ıstico no projeto de controladores multivari´ aveis visando atender outros objetivos de controle como, por exemplo, robustez. Por´ em, a existˆ encia do controlador comutativo estabilizante n˜ ao ´ e garantida para plantas inst´ aveis. Neste artigo uma condi¸ca ˜o suficiente para a existˆ encia do controlador comutativo estabilizante ´ e apresentada. Esta condi¸ca ˜o ´ e satisfeita para uma vasta classe de plantas e pode ser facilmente verificada a partir da matriz de transferˆ encia da planta.

Abstract— Recently, a parametrization of all stabilizing commutative controllers and a characterization of all degrees of freedom available has been obtained, thus, allowing the application of the CLM to the design of multivariable controllers with the view to addressing other control objectives, e. g. robustness. However, it has not been guaranteed the existence of a stabilizing commutative controller for unstable plants. In this paper, a sufficient condition for the existence of stabiling commutative controllers is presented. This condition is satisfied for a large class of plants and can be easily checked from the plant transfer function matrix. Key Words—

1

Multivariable control, frequency domain, linear systems.

Introdu¸ c˜ ao

O M´etodo do Lugar Caracter´ıstico (MLC) (MacFarlane e Belletruti, 1970) ´e uma importante ferramenta de projeto de controladores multivari´ aveis para plantas com o mesmo n´ umero de entradas e de sa´ıdas. Esse m´etodo consiste em transformar o projeto de um sistema de controle multivari´ avel no projeto de v´ arios sistemas de controle monovari´ aveis sem que sejam necess´arios o desacoplamento ou a dominˆ ancia diagonal da planta. A base do MLC ´e o crit´erio de estabilidade de Nyquist generalizado (MacFarlane e Kouvaritakis, 1977), que fornece uma maneira de verificar a estabilidade do sistema multivari´ avel em malha fechada a partir dos lugares caracter´ısticos da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha aberta. De acordo com o crit´erio de Nyquist generalizado, um sistema em malha fechada ´e est´avel se e somente se o n´ umero total de envolvimentos em sentido anti-hor´ ario, do ponto cr´ıtico −1 + j0, pelos lugares caracter´ısticos do sistema em malha aberta, for igual ao n´ umero de p´ olos inst´ aveis da planta e do controlador. O MLC consiste em se projetar controladores que tenham as mesmas matrizes de autovetores e autovetores duais que a planta e, em seguida, as fun¸c˜oes de autovalores s˜ao escolhidas de forma que os sistemas realimentados sejam est´aveis e satisfa¸cam requisitos de desempenho tais como rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao, rastreamento do sinal de referˆencia e resposta transit´ oria. Um problema inicial ´e que a matriz de autovetores da

planta ´e, em geral, irracional, sendo, portanto, necess´ario utilizar uma aproxima¸c˜ao racional para a matriz de autovetores para a obten¸ca˜o do controlador comutativo (MacFarlane e Kouvaritakis, 1977; Cloud e Kouvaritakis, 1987; Kouvaritakis e Basilio, 1994; Basilio e Kouvaritakis, 1995). Mais recentemente (Basilio et al., 2002) uma outra abordagem para a obten¸c˜ao de um controlador racional que comute com a planta ´e apresentada, em que utilizando-se a parametriza¸c˜ao de YoulaKucera e a teoria de bases polinomiais m´ınimas, ´e obtida uma parametriza¸c˜ao para todos os controladores racionais estabilizantes que comutam exatamente com a planta, sendo tamb´em apresentada uma caracteriza¸c˜ao de todos os graus de liberdade dispon´ıveis nesta parametriza¸c˜ao. Contudo, a existˆencia do controlador comutativo estabilizante n˜ ao ´e garantida para o caso de plantas inst´ aveis. Neste artigo ser´a apresentada uma condi¸ca˜o suficiente para a existˆencia de controladores comutativos estabilizantes. Esta condi¸c˜ao ´e satisfeita para uma vasta classe de plantas e pode ser verificada a partir de uma an´ alise simples da matriz de transferˆencia da planta. Este artigo est´a estruturado da seguinte forma. Na se¸c˜ao 2 ´e feita uma breve revis˜ ao sobre bases polinomiais m´ınimas. Uma parametriza¸ca˜o do tipo Youla-Kucera ´e apresentada na se¸ca˜o 3 para todos os controladores comutativos estabilizantes. Na se¸c˜ao 4 ´e dada uma condi¸ca˜o suficiente para a existˆencia de controladores comu-

tativos para plantas inst´ aveis. Um exemplo que ilustra a parametriza¸c˜ao proposta ´e apresentado na se¸c˜ao 5. 2

Base polinomial m´ınima para o espa¸ co nulo de uma matriz polinomial

Sejam Rp×q [s] e Rp×q (s), os an´eis de matrizes polinomiais e racionais, respectivamente. Suponha que seja dada uma matriz A(s) ∈ Rp×q [s] e seja f (s) um vetor polinomial tal que A(s)f (s) = 0. Ent˜ ao f (s) ´e um vetor pertencente ao espa¸co nulo de A(s). Isto leva a` defini¸c˜ao de base polinomial m´ınima (Forney, 1975) para o espa¸co nulo de A(s). Para tanto, suponha que A(s) (p < q por simplicidade) tenha a seguinte forma de Smith: ǫ1 (s) 0  0 ǫ2 (s)  ΣA (s) =  . ..  .. . 0 0 

... 0 ... 0 . .. . .. . . . ǫp (s)

 0 ... 0 0 ... 0  ..  , .. . . 0 ... 0

(1)

onde ǫk (s) = 0 para k = p − ν + 1, . . . , p. Neste caso a matriz A(s) ´e dita ter um posto normal r = p − ν, ou equivalentemente, que o espa¸co nulo de A(s) tem dimens˜ao ν¯ = q − p + ν para todo s. Defini¸ c˜ ao 1 Seja A(s) uma matriz com posto   normal r e seja F (s) = f 1 (s) f 2 (s) . . . f ν¯ (s) , onde gr[f i (s)] = φi , uma matriz polinomial tal que A(s)F (s) = O. Ent˜ ao, F (s) forma uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de A(s) se P¯ e somente se νi=1 φi ´e m´ınimo.  Para a obten¸c˜ao de uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de A(s), o primeiro passo ´e determinar o posto normal de A(s). Uma maneira simples para o c´alculo do posto normal pode ser desenvolvida a partir da equa¸c˜ao (1) notando que a matriz A(s) somente perde posto, al´em do normal, para um n´ umero finito de valores de s, que s˜ao os zeros dos polinˆ omios invariantes ǫi (s), i = 1, . . . , r. Al´em disso, como ǫi (s) divide ǫi+1 (s), ent˜ ao o n´ umero de valores sk ∈ C que tornam ρ [A(sk )] < r, onde ρ(.) denota o posto de uma matriz complexa, ´e determinado pelo grau de ǫr (s). Portanto, para saber qual ´e o posto normal de A(s) basta verificar o posto de A(sk ) para k valores distintos de s = sk , onde k ´e maior que o grau de ǫr (s) e obter r fazendo: r = max{ρ[A(sk )]}. (2) sk

Uma estimativa do n´ umero de freq¨ uˆencias que precisam ser utilizadas para a verifica¸c˜ao do posto normal de A(s) pode ser obtida a partir da defini¸c˜ao de polinˆ omios invariantes. Seja ∆i (s) o m´aximo divisor comum de todos os menores i × i de A(s). Ent˜ ao os polinˆ omios invariantes ǫi (s) s˜ao obtidos fazendo-se ǫi (s) = ∆i (s)/∆i−1 (s). Portanto, ´e f´ acil verificar que o somat´orio dos graus dos polinˆ oP mios invariantes ´e igual ao grau r de ∆r (s), isto ´e, i=1 gr(ǫi ) = gr(∆r ), onde gr(.) denota grau, e, portanto, gr(ǫr ) ≤ gr(∆r ). Um limitante superior para o grau de ∆r (s) pode ser obtido supondo r = p e lembrando que o m´aximo

r(s)  - K(s) +  − 6

- G(s)

y(s) -

Figura 1. Sistema com realimenta¸ca ˜o unit´ aria negativa

divisor comum de todos os menores p × p de A(s) n˜ ao excede o menor somat´orio dos graus de p colunas de A(s). Desta forma, o seguinte algoritmo pode ser utilizado para a determina¸c˜ao do posto normal de uma matriz polinomial. Algoritmo 1 Seja A(s) uma matriz polinomial. Passo 1: Selecione as p colunas de A(s) com os menores graus por coluna e fa¸ca l igual ao somat´orio dos graus dessas p colunas de A(s) selecionadas. Passo 2: Escolha cada valor de s, sk , para k = 1, . . . , l + 1, de forma que todos os sk sejam distintos. Para cada sk , fa¸ca decomposi¸c˜ao por valores singulares de A(sk ) e obtenha o posto ρ[A(sk )] a partir dos valores singulares n˜ ao nulos de A(sk ). Passo 3: O posto normal r ´e obtido fazendo-se r = maxsk {ρ[A(sk )]}.  Observa¸ c˜ ao 1 O algoritmo 1 acima pode ser terminado antes que todos os valores de sk tenham sido verificados se, para algum sk , ρ [A(sk )] = min(p, q).  Uma vez calculado o posto normal de A(s), r, ent˜ ao a matriz A(s) tem um espa¸co nulo de dimens˜ao ν¯ = q − r, ou seja, ´e sempre poss´ıvel encontrar um conjunto de ν¯ vetores polinomiais linearmente independentes f (s) de graus m´ınimos, sobre o corpo das fun¸c˜oes racionais, tal que A(s)f (s) = 0. Bases polinomiais m´ınimas podem ser obtidas de maneira robusta utilizando-se o algoritmo proposto em Basilio e Moreira (2004). 3 Uma parametriza¸ c˜ ao para todos os controladores comutativos estabilizantes Considere o sistema realimentado da figura 1 onde G(s) ∈ Rm×m (s) ´e a matriz de transferˆencia da planta e K(s) ∈ Rm×m (s) ´e a matriz de transferˆencia do controlador a ser projetado. Considere tamb´em que ˜ −1 (s)N ˜ (s) G(s) = N (s)M −1 (s) = M (3) ´e uma fatora¸c˜ao duplamente coprima de G(s) em m×m RH∞ (o anel de todas as matrizes racionais pr´ oprias e est´aveis). Desta forma, existem mam×m ˜ trizes X(s), Y (s), X(s) e Y˜ (s) ∈ RH∞ que satisfazem a identidade de Bezout generalizada 

˜ X(s) −Y˜ (s) ˜ (s) M ˜ (s) N



   I O M (s) Y (s) = . −N (s) X(s) O I

(4)

A classe de todos os controladores, K(s), que estabilizam internamente o sistema em malha fechada ´e dada pela parametriza¸c˜ao de Youla-Kucera: ˜ (s) K(s) = U (s)V −1 (s) = V˜ −1 (s)U = [Y (s) + M (s)Q(s)] [X(s) − N (s)Q(s)]−1 ˜ ˜ (s)]−1[Y˜ (s) + Q(s)M ˜ (s)], (5) = [X(s) − Q(s)N

m×m onde Q(s) ∈ RH∞ . Em Basilio et al. (2002), utilizando-se as equa¸c˜oes (4) e (5), uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de controladores comutativos estabilizantes ´e obtida, i.e., para que K(s) estabilize internamente e comute com G(s), ou seja, G(s)K(s) = K(s)G(s), deve-se m×m encontrar Q(s) ∈ RH∞ que satisfa¸ca a seguinte equa¸c˜ao:

˜ ˜ N (s)Q(s)M(s) − M (s)Q(s)N(s) = C(s),

(6)

onde ˜ (s) − M (s)X(s). ˜ C(s) = X(s)M (7)   q 1 (s) q 2 (s) . . . q m (s) e Escrevendo Q(s) =   C(s) = c1 (s) c2 (s) . . . cm (s) , onde q i (s) e ci (s) denotam, respectivamente, as colunas de Q(s) e C(s), tem-se que a equa¸c˜ao (6) torna-se: P (s)q(s) = c(s), onde

˜ t (s) ⊗ N (s) − N ˜ t (s) ⊗ M (s), P (s) = M  t t q(s) = q 1 (s) q t2 (s) . . . q tm (s) , t  c(s) = ct1 (s) ct2 (s) . . . ctm (s) ,

(8)

(9)

onde ⊗ denota o produto de Kronecker. Portanto, a partir de (8) e (9) uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de um controlador comutativo estabilizante pode ser reescrita da seguinte forma: existe K(s) que estabiliza e comuta com a planta G(s) se e somente se existe um vetor est´avel 2 q(s) ∈ Rm (s) tal que (8) ´e satisfeita. ˜ (s), Observa¸ c˜ ao 2 Embora N (s), M (s), N ˜ ˜ M (s), X(s), X(s) sejam matrizes racionais, ´e sempre poss´ıvel form´a-las de modo que elas tenham todas o mesmo polinˆ omio no denominador. Logo, 2 2 ´e sempre poss´ıvel considerar P (s) ∈ Rm ×m [s] e 2 c(s) ∈ Rm [s].  4

Existˆ encia de controladores comutativos estabilizantes

Um controlador comutativo estabilizante K(s) sempre existe quando a matriz de transferˆencia da planta G(s) ´e est´avel (Basilio, 1995). Neste ˜ −1 (s) caso, Qe (s) = −M −1 (s)Y (s) = −Y˜ (s)M satisfaz a condi¸c˜ao de comutatividade (6) e perm×m tence a RH∞ . Por´em, se G(s) n˜ ao ´e est´avel, m×m Qe (s) 6∈ RH∞ , uma vez que no polinˆ omio do denominador aparecer˜ao os p´ olos inst´ aveis da planta. Assim, para abordar o caso geral de plantas inst´ aveis, ´e necess´ario caracterizar o espa¸co gerado por todas as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (8). Para tanto, escreva 1 q(s) = n (s), (10) dq (s) q 2 onde nq (s) ∈ Rm [s] e dq (s) ´e um polinˆ omio. Substituindo-se q(s) na equa¸c˜ao (8), resulta: 1 n (s) = c(s), (11) dq (s) q que pode ser escrito na seguinte forma matricial: P (s)



     nq (s) nq (s) P (s) − c(s) = 0 ⇔ T (s) = 0. (12) dq (s) dq (s)

Portanto as solu¸c˜oes (est´aveis e inst´ aveis) da equa¸c˜ao (8) ser˜ao definidas pelo espa¸co nulo a` direita de T (s) e ser˜ao obtidas a partir de combina¸c˜oes lineares dos elementos de uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s). Assim, ´e imperativo obter a nulidade de T (s). Para tanto, o seguinte resultado ´e necess´ario. Lema 1 Seja A ∈ Cm×m uma matriz diagonaliz´ avel e considere que cada autovalor distinto de A, λi , i = P 1, . . . , l, tem multiplicidade µi . l Ent˜ ao, existem i=1 µ2i matrizes linearmente independentes que comutam com A. Prova. Seja A = W ΛA W −1 a decomposi¸ca˜o espectral de A e seja B uma matriz que comuta com A. Se AB = BA, ent˜ ao W ΛA W −1 B = −1 −1 BW ΛA W e ΛA (W BW ) = (W −1 BW )ΛA . ¯ Denotando B = (W −1 BW ), ent˜ ao conclui-se que ¯ comuta com B comuta com A se e somente se B ΛA . Como A ´e diagonaliz´ avel, ent˜ ao ΛA pode ser escrita como: ΛA = diag{ΛAi , i = 1, . . . , l}, onde cada bloco ΛAi ´e ΛAi = λi Iµi , com Iµi denotando a matriz identidade de ordem µi . Portanto, ¯ ´e diagonal por blocos, ou ´e f´ acil verificar que B ¯ = diag{Bi , i = 1, . . . , l}, onde cada bloco seja, B Bi ∈ Cµi ×µi , e que para que haja a comutativi¯ ´e necess´ario que cada bloco dade entre ΛA e B Bi comute com o seu correspondente bloco ΛAi . Como ΛAi ´e m´ ultipla da identidade, ent˜ ao existem µ2i matrizes Bi , linearmente independentes, que comutam com ΛAi . Portanto, como existem l blocos ΛAi distintos ´e f´ acil verificar que existem Pl 2 i=1 µi matrizes linearmente independentes que comutam com A.  Uma conseq¨ uˆencia do lema 1 ´e a possibilidade de se obter a nulidade de P (s) a partir das fun¸co˜es de autovalores de G(s). Lema 2 Seja G(s) a matriz de transferˆencia da planta. Ent˜ ao, P (s) tem posto normal m2 − ν¯, Pl 2 onde ν¯ = e a multiplicidade da i=1 µi e µi ´ fun¸c˜ao de autovalor gi (s), para i = 1, . . . , l, de G(s). Prova. Se P (s) tem posto normal igual a r, menor do que m2 , ent˜ ao existem ν¯ = m2 − r ve2 tores polinomiais α(s) ∈ Rm [s] linearmente independentes tais que αt (s)P (s) = 0t .

(13)

Seja αt (s) = [αt1 (s) αt2 (s) . . . αtm (s)], onde αi (s) ∈ Rm [s] e defina  αt1 (s) t  α2 (s)    A(s) =  .  .  ..  αtm (s) 

(14)

Portanto, ´e f´ acil verificar que satisfazer a equa¸ca˜o (13) ´e equivalente a satisfazer: ˜ (s)A(s)N (s) − N ˜ (s)A(s)M (s) = O. M

(15)

Multiplicando esta equa¸c˜ao a` esquerda por ˜ −1 (s) e a` direita por M −1 (s) resulta: M ˜ −1 (s)N ˜ (s)A(s) = O. A(s)N (s)M −1 (s) − M

(16)

˜ −1 (s)N ˜ (s) e esComo G(s) = N (s)M −1 (s) = M crevendo G(s) = NG (s)/d(s), onde d(s) ´e o mmc dos denominadores de G(s) e NG (s) ∈ Rm×m [s], pode-se reescrever (16) como: A(s)

1 1 NG (s) = NG (s)A(s). d(s) d(s)

(17)

Como G(s) tem l fun¸c˜oes de autovalores gi (s) distintas com multiplicidade µi , ent˜ ao para um n´ umero infinito de freq¨ uˆencias ωk , k = 1, 2, . . ., NG (jωk ), tem l autovalores distintos e cada um com multiplicidade µi . Logo, se jωk n˜ ao ´e um zero de d(s), ent˜ ao (17) ´e satisfeita se e somente se A(jωk ) comuta com NG (jωk ). Como, de acordo P com o lema 1, existem li=1 µ2i matrizes linearmente independentes que comutam com NG (jωk ), ent˜ ao para um n´ umero infinito P de valores ωk , a l 2 nulidade de P (jωk ) ´e igual a Desta i=1 µi . forma, pela defini¸c˜ao de posto normal dada em (2), se verifica que a nulidade normal de P (s) ´e Pl 2  i=1 µi . Supondo que a matriz polinomial P (s) tem nulidade ν¯, ent˜ ao T (s) tem nulidade ν¯ + 1. Desta forma, denotando H(s), a matriz polinomial de dimens˜ao (m2 + 1) × (¯ ν + 1) cujas colunas formam uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s), ent˜ ao T (s)H(s) = O. Logo, todos os vetores q(s) que satisfazem (12) podem ser obtidos da seguinte forma:   nq (s) = H(s)ψ(s), dq (s)

(18)

onde ψ(s) ´e um vetor polinomial. Particionando H(s) como   H(s) =

Ht (s) , htb (s)

(19)

hbi (s)ψi (s),

(20)

ent˜ ao dq (s) ´e dado por: dq (s) =

ν ¯+1 X i=1

que ´e uma equa¸c˜ao Diophantina generalizada. Logo, a equa¸c˜ao (8) tem solu¸c˜ao est´ avel se e somente se existem polinˆ omios ψi (s), i = 1, 2, . . . , ν¯ + 1, tais que dq (s) ´e Hurwitz. Desta forma, o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para uma dada planta G(s) se torna o problema de encontrar dq (s) Hurwitz. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de um controlador comutativo estabilizante ´e apresentada a seguir. Lema 3 Seja G(s) a matriz de transferˆencia da planta. Ent˜ ao, existe um controlador comutativo estabilizante para G(s) se e somente se htb (s0 ) 6= 0t , para todo s0 igual a um p´ olo inst´ avel da planta. Prova. Note que n˜ ao existem ψi (s), i = 1, 2, . . . , ν¯ + 1, que fazem com que dq (s) seja Hurwitz se e somente se o maior divisor comum de hbi (s), χ(s), tiver um zero inst´ avel, ou seja,

χ(s0 ) = 0 e s0 possui parte real positiva. Este fato implica que se n˜ ao existir um controlador comutativo estabilizante, ent˜ ao htb (s0 ) = 0t . Note tamb´em que Qe (s) = −M −1 (s)Y (s) satisfaz a equa¸c˜ao (6) e, conseq¨ uentemente, q e (s), constru´ıdo de acordo com (9) a partir de Qe (s) , satisfaz 1 n (s), ´e ime(8). Logo, escrevendo q e (s) = dqe (s) qe diato perceber que os zeros de dqe (s) s˜ao os p´ olos de G(s). Portanto, se algum valor de s = s0 tem parte real positiva e ´e tal que htb (s0 ) = 0t , ent˜ ao s0 deve ser um p´ olo inst´ avel da planta.  A partir dos lemas 2 e 3 uma condi¸ca˜o suficiente para a existˆencia de controladores comutativos estabilizantes pode ser obtida. Teorema 1 Se P (s0 ) tem posto m2 − ν¯, onde ν¯ ´e a nulidade normal de P (s), para todo p´ olo inst´ avel da planta, s0 , ent˜ ao existe um controlador comutativo estabilizante. Prova. Suponha que n˜ ao exista um controlador comutativo estabilizante para a planta, i. e., de acordo com o lema 3, htb (s0 ) = 0t para algum s0 igual a um p´ olo inst´ avel da planta e seja H(s) a matriz polinomial obtida via base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s). Portanto, T (s0 )



 Ht (s0 ) = O ⇒ P (s0 )Ht (s0 ) = O. t 0

(21)

Como H(s) ´e obtido via base polinomial m´ınima, ent˜ ao H(s) ´e irredut´ıvel (Kailath, 1980), ou seja, tem posto cheio por coluna para todo s, o que leva a Ht (s0 ) ter posto ν¯ + 1. Como, de acordo com o lema 2, P (s) tem nulidade normal igual a ν¯, logo, para que (21) tenha solu¸c˜ao ´e necess´ ario que P (s0 ) tenha nulidade maior ou igual a ν¯ + 1, o que significa que P (s0 ) deve perder posto al´em do normal. Portanto, se P (s0 ) tem posto m2 − ν¯, ent˜ ao n˜ ao ´e poss´ıvel que Ht (s0 ) tenha posto ν¯ + 1,  o que leva a htb (s0 ) 6= 0t . O teorema 1 fornece uma condi¸c˜ao suficiente para a existˆencia do controlador comutativo estabilizante e que ´e satisfeita para uma vasta classe de plantas, conforme ser´a apresentado a seguir. Teorema 2 Se NG (s0 ) tem posto m e se os autovalores distintos de NG (s0 ) tˆem a mesma multiplicidade que as respectivas fun¸c˜oes de autovalores de NG (s), para todo s0 igual a um p´ olo inst´ avel da planta, ent˜ ao existe um controlador comutativo estabilizante. Prova. Se NG (s0 ) tem posto m, ent˜ ao o fator (s − s0 ) n˜ ao pertence aos polinˆ omios invariantes de NG (s). Logo, ´e f´ acil verificar que M (s0 ) = ˜ (s0 ) = O, e, portanto, de acordo com (6), (7) e M (9), P (s0 ) = O e c(s0 ) = 0. Colocando o fator (s− s0 ) em evidˆencia, a equa¸c˜ao (8) pode ser reescrita como: (s − s0 )P¯ (s)q(s) = (s − s0 )¯c(s).

(22)

Desta forma, encontrar a solu¸c˜ao q(s) para a equa¸c˜ao (22) ´e equivalente a encontrar a solu¸ca˜o para P¯ (s)q(s) = ¯c(s).

(23)

Suponha, sem perda de generalidade, que s0 ´e um p´ olo de G(s) de multiplicidade 1. Ent˜ ao, resolver a equa¸c˜ao (23) ´e o mesmo que obter um controlador comutativo estabilizante para a planta ¯ = (s−s0)G(s) = (s − s0) NG (s) = 1 NG (s) (24) G(s) ¯ d(s) d(s)

¯ 0 ) 6= 0. Logo, uma fatora¸c˜ao duplatal que d(s ¯ mente coprima para G(s) pode ser escrita como: ˜ ¯ ¯ −1 (s) = M ¯ −1 (s)N ˜ (s), G(s) = N (s)M

(25)

˜¯ (s) = 1 M ˜ (s). ¯ (s) = 1 M (s) e M onde M s−s0 s−s0 Procedendo de maneira igual a prova do lema 2 ´e f´ acil verificar que obter o posto de P¯ (s0 ) equivale a encontrar todas as matrizes linearmente independentes A(s0 ) que satisfazem: ˜ ¯ (s0 )A(s0 )N (s0 ) − N ˜ (s0 )A(s0 )M ¯ (s0 ) = O. M

(26)

s0 = 1. Portanto, ´e necess´ario calcular os autovalores de   −54, 32 −45 , −50, 44 −42

NG (1) =

que s˜ao iguais a −96, 199 e −0, 121. Desta forma, as condi¸c˜oes do teorema 2 s˜ao satisfeitas, isto ´e, NG (1) tem todos os autovalores distintos, e a existˆencia do controlador comutativo estabilizante est´a garantida. Considere agora o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para G(s). ˜ (s), O primeiro passo ´e calcular N (s), M (s), N ˜ ˜ ˜ M (s), X(s), Y (s), X(s) e Y (s) ∈ RH∞ que satisfa¸cam a identidade de Bezout generalizada. Uma vez obtida a parametriza¸c˜ao, o pr´ oximo passo ´e formar a matriz polinomial P (s) e o vetor polinomial c(s). A partir das equa¸c˜oes (9a) e (9c), P (s) = [pij (s)] e c(s) s˜ao calculados, obtendo-se: 4

3

5

˜¯ (s ) possuem in¯ 0 ) 6= 0 ent˜ ¯ (s0 ) e M Como d(s ao M 0 versa. Logo, pr´e-multiplicando-se a equa¸ca˜o (26) ˜¯ −1 (s ) e p´ ¯ −1 (s0 ) por M os-multiplicando por M 0 obt´em-se: ˜ ¯ −1(s0 ) − M ¯ −1(s0 )N ˜ (s0 )A(s0 ) = O, (27) A(s0 )N (s0 )M

e, de acordo com as equa¸c˜oes (25) e (24), a equa¸c˜ao (27) pode ser reescrita como: 1 1 A(s0 ) ¯ NG (s0 ) − ¯ NG (s0 )A(s0 ) = O. (28) d(s0 ) d(s0 )

2

p11 (s) = −78, 3s − 2, 7s + 78, 3s + 2, 7s + 0, 02 4

p21 (s) =−48, 5s −4666, 2s −329, 3s3+4658, 5s2+377, 8s+7, 6 p31 (s) = 47s5 + 4537, 9s4 − 54, 1s3 − 4545, 8s2 + 7, 1s + 7, 9 4

3

2

p41 (s) = 78, 3s + 2, 7s − 78, 3s − 2, 7s − 0, 02 5

4

p12 (s) =−47s −4595, 5s +60, 3s3 +4603, 3s2 −13, 3s−7, 8 p22 (s) =12, 3s5 +1196, 1s4 +34, 8s3 −1196, 1s2 −47, 1s+0, 02 p32 (s) = 8, 7s4 − 0, 03s3 − 8, 8s2 + 0, 03s + 0, 02 p42 (s) = 47s5 +4595, 5s4 −60, 3s3 − 4603, 3s2 + 13, 3s + 7, 8 p13 (s) = 48, 5s5+4606, 4s4+329, 55s3−4598, 6s2−378, 1s−7, 8 p23 (s) = 9, 0s4 + 0, 02s3 − 9, 0s2 − 0, 02s + 0, 02 5

4

5

4

3

2

p33 (s) =−12, 3s −1178, 4s −36, 2s +1178, 4s +48, 5s+0, 02 3

p43 (s) =−48, 5s −4606, 4s −329, 6s +4598, 6s2+378, 1s+7, 8 p14 (s) = −60, 5s4 − 2, 7s3 + 60, 6s2 + 2, 7s − 0, 01

Assim sendo, todas as poss´ıveis matrizes A(s0 ) que satisfazem (26) devem comutar com NG (s0 ). Como os autovalores de NG (s0 ) tˆem as mesmas multiplicidades das fun¸c˜oes de autovalores de NG (s), ent˜ ao o posto de P¯ (s0 ) ´e igual a m2 − ν¯, onde ν¯ ´e a nulidade normal de P (s) e, de acordo com o teorema 1, isto garante a existˆencia do controlador comutativo estabilizante.  Note que a condi¸c˜ao imposta pelo teorema 2 requer que a planta n˜ ao tenha p´ olos e zeros inst´ aveis coincidentes. Al´em disso, o teorema 2 leva a uma maneira simples de verificar a existˆencia do controlador comutativo estabilizante: para todos os p´ olos inst´ aveis da planta, s0 , devem ser calculados os autovalores de NG (s0 ). Se, por exemplo, os autovalores de NG (s0 ) s˜ao distintos e diferentes de zero, ent˜ ao existe um controlador comutativo estabilizante e pode-se utilizar a parametriza¸c˜ao apresentada em (18) para a obten¸c˜ao de todos os vetores racionais e est´aveis q(s) que satisfazem (8). 5

Exemplo

Considere a seguinte matriz de transferˆencia da planta apresentada em Basilio et al. (2002): G(s) =

1 d(s)



 −54, 32s −47s + 2 , −48, 5s − 1, 94 −42s

´ f´ onde d(s) = (s − 1)(s + 2). E acil verificar neste exemplo que G(s) tem somente um p´ olo inst´ avel

5

4

5

4

3

2

p24 (s) =48, 5s +4684, 1s +330, 0s −4676, 5s −378, 5s−7, 6 3

2

p34 (s) =−47s −4520, 0s +54, 9s +4527, 9s −7, 9s−7, 9 p44 (s) = 60, 5s4 + 2, 7s3 − 60, 6s2 − 2, 7s + 0, 01

 337, 2s4 + 19256s3 + 426, 9s2 − 19256s − 764, 2  −43, 5s4 − 2482, 4s3 − 55, 0s2 + 2482, 4s + 98, 5   c(s) = −43, 5s4 − 2485, 8s3 − 58, 1s2 + 2485, 8s + 101, 6 . −337, 2s4 − 19256s3 − 426, 9s2 + 19256s + 764, 2 

Uma vez obtidos P (s) e c(s) deve-se formar a matriz polinomial T (s) = [P (s) − c(s)], e via base polinomial m´ınima calcular H(s), tal que T (s)H(s) = O. De acordo com o lema 2 temse que a nulidade de P (s) ´e 2, logo, a nulidade de T (s) ´e 3, o que significa que o algoritmo para obten¸c˜ao de H(s) deve parar quando forem obtidos 3 vetores polinomiais. Procedendo desta forma obt´em-se: 0, 244s + 0, 367 0, 373s − 0, 283 −0, 279s − 0, 420 −0, 406s + 0, 271  H(s)=−0, 270s − 0, 396 −0, 394s + 0, 204  0, 315s + 0, 478 0, 476s − 0, 344 0, 003s + 0, 008 0, 022s − 0, 005 

 −0, 047s + 0, 460 −0, 104s + 0, 140   −0, 101s + 0, 779 . −0, 021s + 0, 341  −0, 148s − 0, 009

O pr´ oximo passo ´e a obten¸c˜ao do vetor est´ avel q(s), utilizando, para tanto, a matriz polinomial H(s) e os graus de liberdade dados pelo vetor ψ(s) conforme descrito pela equa¸c˜ao (18). A u ´ nica restri¸c˜ao na escolha do vetor polinomial ψ(s) ´e que dq (s) = (0.003s + 0.008)ψ1 (s) + (0.022s − 0.005)ψ2 (s) + (−0.148s − 0.009)ψ3 (s) seja Hurwitz. Desta forma, suponha que ψ1 (s), ψ2 (s) e ψ3 (s) devem ser escolhidos de forma a satisfazer dq (s) = s+3. Uma solu¸c˜ao para essa equa¸ca˜o Diophantina ´e ψ1 (s) = 562, 4805, ψ2 (s) = 366, 0083

−10

4

x 10

3

1

e (ω)

1

Im[lq(jω)]

2

0.5

1

0 −3 10

−2

10

−1

10

0

10

1

10 ω (rad/s)

2

10

3

10

4

10

5

10

−10

x 10

0

−1

2

e (ω)

1

−2

−3 −7

0.5

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Re[l (jω)] q

Figura 2. Lugares caracter´ısticos do sistema em malha aberta Qp (s) = G(s)K(s).

e ψ3 (s) = 50. A partir destes valores obt´em-se a m×m seguinte matriz Q ∈ RH∞ : Q(s) =

1 s+3





−257, 6s − 155, 6 287, 0s + 134, 7 . (29) 296, 1s + 160, 6 −332, 8s − 193, 7

Substituindo-se Q(s), dado em (29), na parametriza¸c˜ao de Youla-Kucera (equa¸c˜ao 5) um controlador comutativo estabilizante, K(s), pode ser obtido: onde

K(s) =

Nk (s)Mk−1 (s)

  4, 5s2 + 12, 7s − 1, 5 63, 1s2 − 18, 5s − 0, 7 Nk (s)= e 2 2 4, 0s + 10s − 0, 5 −72, 8s + 18, 9s + 2, 5   −3, 7s2 + 73, 4s − 0, 9 −0, 1s2 + 1, 1s + 3, 2 Mk (s)= . 2 2 −3, 3s + 65, 4s + 1, 9 0, 1s − 0, 3s + 1, 3

´ f´ E acil verificar que este controlador tem dois p´ olos inst´ aveis, 19, 9409 e 6, 8869; logo, como a planta tamb´em tem dois p´ olos inst´ aveis, para que o sistema em malha fechada seja internamente est´avel ´e necess´ario que os lugares caracter´ısticos da fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta, Qp (s) = G(s)K(s), tenha quatro envolvimentos em sentido anti-hor´ ario do ponto cr´ıtico −1 + j0. Os lugares caracter´ısticos de Qp (s) s˜ao apresentados na figura 2, onde claramente se verifica que o ponto cr´ıtico −1+j0 ´e de fato envolvido quatro vezes em sentido anti-hor´ ario e, portanto, o sistema em malha fechada ´e est´avel. Considere agora a mesma medida de comutatividade utilizada em Basilio et al. (2002): ei (ω) =

|lqi (jω) − lgi (jω)lki (jω)| 100%, i = 1, 2, |lqi (jω)|

que representa o erro percentual entre os lugares caracter´ısticos de Qp (s) (lqi (jω)) e os produtos dos lugares caracter´ısticos de G(s) (lgi (jω)) e K(s) (lki (jω)) a cada freq¨ uˆencia ω. A partir da figura 3, se verifica que o erro percentual para ambos os lugares caracter´ısticos ´e extremamente pequeno (menor do que 10−10 %), o que mostra que G(jω) e K(jω) realmente comutam. 6

Conclus˜ ao

Neste artigo uma condi¸c˜ao suficiente para a existˆencia do controlador comutativo estabilizante

0 −3 10

−2

10

−1

10

0

10

1

10 ω (rad/s)

2

10

3

10

4

10

5

10

Figura 3. Erro percentual entre os lugares caracter´ısticos de Qp (s) = G(s)K(s) e o produto dos lugares caracter´ısticos de G(s) e K(s) a cada freq¨ uˆ encia ω.

´e apresentada. Essa condi¸c˜ao se aplica a uma grande variedade de plantas, e pode ser facilmente verificada a partir dos autovalores da matriz de transferˆencia da planta. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq. Referˆ encias Basilio, J. C. (1995). Multivariable generalised Nyquist design, PhD thesis, University of Oxford. Basilio, J. C. e Kouvaritakis, B. (1995). The use of rational eigenvector approximations in commutative controllers, International Journal of Control 61: 333–356. Basilio, J. C., Kouvaritakis, B. e Bandeira, P. T. (2002). Stabilizing commutative controllers: parametrization and characterization of degrees of freedom, XIV Congresso Brasileiro de Autom´ atica - Natal RN pp. 2859–2864. Basilio, J. C. e Moreira, M. V. (2004). A robust solution of the generalized polynomial Bezout identity, Linear Algebra and its Applications 385: 287–303. Cloud, D. J. e Kouvaritakis, B. (1987). Commutative controllers revisited: Parallel computation, a new lease of life, International Journal of Control 45: 1335–1370. Forney, D. G. (1975). Minimal bases of rational vector spaces, with applications to multivariable linear systems, SIAM Journal of Control 13: 493–520. Kailath, T. (1980). Linear Systems, Prentice-Hall. Kouvaritakis, B. e Basilio, J. C. (1994). Bi-causal eigenvector sequences and the design of causal commutative controllers, International Journal of Control 59: 1173–1189. MacFarlane, A. G. J. e Belletruti, J. J. (1970). The characteristic locus design method, Automatica 25: 575–588. MacFarlane, A. G. J. e Kouvaritakis, B. (1977). A design technique for linear multivariable feedback systems, International Journal of Control 25: 836–874.