CONTROL ADAPTATIVO NO LINEAL DEL RUMBO DE UN BUQUE MEDIANTE EL EMPLEO DE OBSERVADORES DE ESTADO Manuel Haro Casado*, Ramón Ferreiro**, F. Velasco*** Facultad de Ciencias Náuticas. Universidad de Cádiz. Polígono Rio San Pedro s/n. Edificio CASEM 11510 Puerto Real. Cádiz (España).Tfno:+34 956 016148.Fax:+ 34 956 016126.E-mail:[email protected] ** Escuela Superior de la Marina Civil. Universidad de La Coruña. Paseo de Ronda 51. 36011. La Coruña *** Escuela Técnica Superior de Náutica. Universidad de Cantabria. Gamazo, 1.39004. Santander *

Resumen En este artículo se considera el problema del control del rumbo de un buque LNG (Liquefied Natural Gas) dedicado al transporte de gas natural licuado. Los resultados experimentales obtenidos en la realización del las pruebas de mar del buque construido por Navantía muestran su adecuación al modelo dinámico no lineal propuesto por Norrbin. Basándose en este modelo se considera un control adaptativo no lineal con incertidumbres en los parámetros, probándose que los estimadores y el observador del estado diseñados son robustos en un sentido global. Palabras Clave: Sistemas no lineales, modelado, control adaptativo, backstepping, observadores de estado, estimación de parámetros.

1.INTRODUCCIÓN El objetivo de la ingeniería de control consiste en el diseño de una accesible ley de control que proporcione un comportamiento de la planta análogo o muy próximo al comportamiento deseado. El diseño está basado en el modelo matemático de la planta, en el conocimiento de las señales que deben ser seguidas y en su medida. En ocasiones existen incertidumbres sobre el modelo del proceso, así como una medida parcial del estado. En el proceso estudiado ambas consideraciones están plenamente justificadas. En un buque en navegación, existen diversas condiciones ambientales que proporcionan incertidumbres sobre sus dinámicas, como son la velocidad y dirección del viento, intensidad de las corrientes y otras menos imprevisibles pero igualmente importantes como son el lugar de la navegación, grado y características de la carga y tipo de barco. El control adaptativo puede conseguir una buena calidad del control en las dos tareas fundamentales involucradas en el control de la navegación, como son el control del rumbo y el

seguimiento de una trayectoria fijada de antemano. Por otro lado parece adecuado eliminar la derivación que supone la estimación de la velocidad angular de giro del buque a partir de la medida del rumbo. La solución consiste en la introducción de un observador del estado. Asimismo, la solución al problema de control consistente en una planta con incertidumbres en los parámetros, cuyo estado no se conoce en su totalidad, es la de diseñar un sistema adaptativo basado en la combinación de un controlador variante con el tiempo, un observador de estado y un mecanismo identificador de parámetros. El denominado, principio de separación permite descomponer el problema mencionado en dos subproblemas que pueden resolverse independientemente, como son el del diseño del observador de estado y el del diseño del controlador por realimentación. En los sistemas no lineales este principio, en general, es inaplicable, debido a que los diseños del observador y del controlador están acoplados. En nuestro problema como consecuencia de que el sistema está modelado en la forma realimentada denominada estricta es posible aplicar el principio a pesar de que el sistema sea marcadamente no lineal con las no linealidades de tipo polinómico. El diseño realizado en este trabajo está basado en el procedimiento recursivo del backstepping [6], continuando de esta manera la línea de trabajo del control de sistemas no lineales navales con incertidumbres parámetricas [4,5]. El resto de este artículo ha sido organizado como sigue, en el apartado 2 se hace referencia al modelo dinámico del buque que se ha empleado, mientras en la 3 se describe un procedimiento de identificación basado en procedimientos no convencionales , basados en cierta manera en pruebas de “trial and error”. En la sección 4 se establecen las ecuaciones de estado, mientras que en la 5 se analiza el procedimiento adaptativo del backstepping, a continuación en la 6 se estudia la estabilidad del sistema, realizándose la simulación en la sección 7. Finalmente en la 8, se realiza un análisis de los resultados señalándose algunas conclusiones importantes.

2. MODELO DEL BUQUE La eliminación de la velocidad de deriva del buque en los modelos de Davidson y Schiff [3], condujo a la obtención del modelo de Nomoto [8]. Posteriormente Norrbin [9] and Bech [1], sustituyeron el término lineal de la angular aceleración del buque en los modelos de Nomoto de primer y segundo orden por un término no lineal formado por un polinomio de tercer orden cuyos coeficientes debían ser determinados a través de la realización de la maniobra de la espiral inversa de Bech. En este artículo se ha utilizado el modelo de Norrbin, debido a que representa de una forma adecuada los resultados experimentales obtenidos durante la realización de las pruebas de mar del buque. En base a las variables cinemáticas definidas en la Figura 1, las ecuaciones de movimiento del buque son,

x& = VL ⋅ sin ψ + VT ⋅ cos ψ

(1.a)

y& = VL ⋅ cos ψ − VT ⋅ sin ψ

(1.b)

Figura 1: Significado de las variables utilizadas. En muchas ocasiones y con el propósito de simplificación se considera que: i) ii)

El casco del buque es simétrico. La simetría implica que α 2 = 0 . Se conoce la estabilidad dinámica del buque, lo que conlleva a que se conoce el coeficiente α1 . Para un rumbo estable α1 > 0 , mientras que en el caso

en donde la aceleración en sentido longitudinal del & y la velocidad transversal VT, son buque V L respectivamente,

& = −d ⋅ V − e ⋅ V 2 + S V L L ψ

(2.a)

VT = −f ⋅ Vψ − g ⋅ Vψ3

(2.b)

mientras que la velocidad y aceleración de rotación del buque en el plano horizontal (movimiento de guiñada), vienen dadas por,

V ψ = ψ& = r

(

)

&& + α 3 ⋅ ψ& 2 + α 2 ⋅ ψ& + α1 ⋅ ψ& + α 0 = k ⋅ δ τ⋅ψ

de inestabilidad α1 < 0 . El término independiente α 0 se toma frecuentemente como nulo confiando en la acción integral del controlador de rumbo para su posterior eliminación. Los resultados de las pruebas de mar correspondientes a un buque construido por los Astilleros de Navantia en su factoría de Puerto Real (Cádiz) cuyo código de construcción fue el H87 en el año 2003 (Figura 2) y cuyas principales características se indican en la Tabla 1.

(3.a) (3.b)

donde δ representa el ángulo de timón. La ecuación (3.b) representa una extensión del modelo de Nomoto que ha sido ampliado para incluir los efectos no lineales mediante la inclusión de una función no lineal H N (r ) = α 3 ⋅ r 3 + α 2 ⋅ r 2 + α1 ⋅ r + α 0 . Alternativamente el modelo dinámico del buque puede expresarse en la forma ,

(

)

&& + a 3 ⋅ ψ& 2 + a 2 ⋅ ψ& + a1 ⋅ ψ& + a 0 = K ⋅ δ ψ

(4)

siendo a i = α i / τ (i=0,..,3); K = k / τ . Esta forma normalizada consigue la eliminación de uno de los parámetros del sistema.

Figura 2: Buque LNG construido por Navantia. Tabla 1 Eslora promedio Eslora entre perpendiculares Peso muerto Desplazamiento Manga

284.4 m 271.0 m 77204 t 106890 t 42.5 m

Calado en condiciones de lastre (promedio) Hélices Tipo de timón Motor principal Potencia de salida Velocidad máxima avante en condiciones de máxima carga

12.3 m 1 Semi Spade (1 unidad) Kawasaki UA400 28000 kW 20.2 nudos

3. IDENTIFICACIÓN PREVIA Con el propósito de establecer la idoneidad del procedimiento del backstepping en la tarea de identificar los parámetros desconocidos ai (i=0,1,2,3) en (4) y (d,e,S,f,g) en las ecuaciones (2.a) y (2.b), es preciso conocer los verdaderos valores de los mismos. Con este propósito se desea reducir la diferencia entre los valores experimentales obtenidos por la realización de una maniobra de cambio de rumbo con un ángulo de timón constante, indicados en la Tabla 2 y las soluciones de la ecuaciones diferenciales no lineales (3.b) ó (4), mediante una selección adecuada de los parámetros desconocidos.

En la Figura 5, se muestra la variación temporal de la velocidad angular para un ángulo de timón de 250 y una velocidad total de 20.2 nudos (10.4 m/s). Tabla 3 Parámetro Valor Unidades a0 6.10-6 rad/s2 -2 a1 4.10 1/s a2 4.10-4 1/rad a3 1.2.10-2 s/rad2 -3 K 1.12.10 1/s τ 25 s d 9.93.10-3 1/s e -4.86.10-3 m/rad2 S 0.87 m/s2 f -98.1 m/rad g -4.23.10-5 m.s/rad3 El objetivo de este artículo es el diseño de un algoritmo de identificación que no dependa, ni siquiera parcialmente, de un procedimiento heurístico como el indicado con anterioridad utilizando únicamente la medida del ángulo de rumbo ψ . 1.8 1.6 1.4

Tabla 2: Valores experimentales en condiciones de lastre y 250 de ángulo de timón. El significado de cada una de las variables está indicado en la Fig.1. VL VT t (s) (nudos) (nudos) 20.2 18.3 17.6 16.8 15.9 15.1 14.2 13.4 12.6 11.9

0 8.6 9.9 11.2 12.5 13.4 14.4 15.1 15.8 16.3

(rad )

r.10-4 (rad/s)

0 0.1745 0.3491 0.5236 0.6981 0.8727 1.0472 1.2217 1.3963 1.5708

0 1.5708 1.8326 1.8904 1.9199 1.9490 1.9199 1.8904 1.8326 1.8617

Psi(rad)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

El procedimiento empleado está basado en las siguientes acciones y algoritmos:

0

20

40

60

80 t (s)

100

120

140

160

Figura 3:Variación temporal del rumbo del buque. (ο : Puntos experimentales, línea continua: Ajuste obtenido). 0.012

0.01

0.008 r(rad/s)

0 34 51 67 82 97 112 128 142 159

ψ

1.2

0.006

0.004

0.002

• Un algoritmo de integración de Euler con un paso de 0.5 segundos • El procedimiento de optimización de Powell [2] con un criterio de optimización de la integral del tiempo por el valor absoluto del error (ITAE) • Un procedimiento de “trial and error” Los resultados se indican en la Tabla 3, mientras que en las Figura 3 ,se muestra la excelente concordancia del ajuste obtenido con los resultados experimentales,

0

0

20

40

60

80 t (s)

100

120

140

160

Figura 4: Variación temporal de velocidad angular del buque. 4. ECUACIONES DE ESTADO A partir de (3.a) y (3.b), definiendo el vector de estado x(t) como

x(t) = [x1

x 2 ]T = [ψ& ψ]

(5)

siendo la función no lineal de las características dinámicas,

H (ψ& ) = α 3 ⋅ ψ& 2 + α 2 ⋅ ψ& + α1

En donde los superíndices (^ ,~) indican los valores estimados y los errores, respectivamente. Así, p.e, para x1, ~ x1 = x1 − xˆ1 .

(6) 5.

30

ADAPTATIVO

DEL

Como consecuencia de que el orden relativo del sistema no lineal es dos el procedimiento del backstepping se deberá desarrollar en dos pasos. En primer lugar es preciso definir la primera variable de error,

25

Ángulo timón (grados)

PROCEDIMIENTO BACKSTEPPING

20

15

z1 (t ) = x 2 (t ) − x 2d (t )

10

(10)

5

0

0

5

10

15 t (s)

20

25

En donde x2d (t) representa en comportamiento deseado de la salida x 2 = ψ . Su variación temporal viene dada por

30

Figura 5: Variación temporal del ángulo de timón aplicado. Es posible escribir la dinámica del sistema en la forma,

x& 1 = τ −1 ⋅ [k ⋅ δ − H(ψ& ) ⋅ ψ& − α 0 ]

(7.a)

x& 2 = x1

(7.b)

y = x2

(7.c)

siendo y la salida. Se supone que el término H (ψ& ) ⋅ ψ& + α 0 se puede descomponer en suma de dos términos, el primero contiene los parámetros conocidos de la planta, mientras que el segundo depende de un vector de parámetros desconocidos, que deberán ser determinados mediante el empleo del estimador. En definitiva,

H (ψ& ) ⋅ ψ& = ϕ 0 + ϕ (ψ& ) ⋅ θ

(8)

siendo θ el vector de parámetros desconocidos (αi, i=0..3; θ ∈ ℜ 4 x1 ), mientras que la ganancia k y la constante de tiempo τ, se suponen conocidos. El propósito del sistema de control es la de controlar el ángulo de rumbo, empleándose un observador de estado para determinar la aceleración angular. En este sentido se define el observador

(

)

x&ˆ 1 = ε xˆ1 , δ, θˆ + K ′ ⋅ ~ x1

(

)

[

]

(11)

La idea principal del backstepping es la de elegir a una de las variables de estado como entrada de control. Como consecuencia del empleo del observador del estado x1, es posible elegirlo como la suma de la siguiente variable de error que se debe definir en el procedimiento del backstepping y una función estabilizadora. De esta forma,

xˆ1 = z 2 + β1

(12)

Así mediante (11) y (12),

z& 1 = ~ x1 + z 2 + β1 − x& 2d

(13)

Eligiéndose como función estabilizadora,

β1 = −C1 ⋅ z1 − D1 ⋅ z1 + x& 2d

(14)

Siendo C1 y D1 dos elementos de las matrices, ambas diagonales positivas, denominadas, matriz de realimentación y de amortiguamiento, respectivamente. Este último ha sido necesario añadirlo como consecuencia de que en (13) el término ~ x1 puede ser considerado como un término de perturbación para la dinámica de z1, de forma que su influencia sobre la misma debe ser compensada. Considerando (13) y (14),

(9.a)

z& 1 = −(C1 + D1 ) ⋅ z1 + z 2 + ~ x1

(9.b)

En el siguiente paso del backstepping es necesario considerar la dinámica de la segunda variable de error (z2). De las ecuaciones (12), (14) y (15), z& 2 = xˆ& 1 + (C1 + D1 ) ⋅ z& 1 − &x& 2d = xˆ& − (C + D )2 ⋅ z + (C + D ) ⋅ (z + ~ x ) − &x&

siendo,

ˆ (xˆ ) − αˆ ε xˆ1 , δ, θˆ = τ −1 ⋅ k ⋅ δ − H 1 0

z& 1 = ~ x1 + xˆ1 − x& 2d

1

1

1

1

1

1

2

(15)

1

2d

(16)

Como consecuencia de que la variación del estado x1(t) es observada mediante (9.a), es posible escribir (16) como

[

]

ˆ (xˆ ) ⋅ xˆ − αˆ + K ′ ⋅ ~ x1 − z& 2 = τ −1 ⋅ k ⋅ δ − H 1 1 0 (C + D )2 ⋅ z + (C + D ) ⋅ (z + ~x ) − &x& 1

1

1

1

1

2

1

(17)

2d

[

(18.a) Si se hubiese partido de la expresión equivalente (4) el resultado sería,

[

]

6.ESTABILIDAD DEL SISTEMA

− τ ⋅ − (C1 + D1 )2 ⋅ z1 + (C1 + D1 ) ⋅ z 2 − &x& 2d + k ˆ (xˆ ) ⋅ xˆ − αˆ C 2 ⋅ z 2 + D 2 ⋅ z 2 + z1 ] + H 1 1 0

− − (C1 + D1 ) ⋅ z1 + (C1 + D1 ) ⋅ z 2 − &x& 2d + K ˆ (xˆ ) ⋅ x − αˆ C 2 ⋅ z 2 + D 2 ⋅ z 2 + z1 ] + H 1 1 0

δ=

[

~ Θ = [ϕ0 (xˆ1 ) + ϕ (xˆ1 ) ⋅ θ] − ϕ0 (xˆ1 ) + ϕ (xˆ1 ) ⋅ θˆ = ϕ (xˆ1 ) ⋅ θ (23)

Si se elige el control (δ) como,

δ=

La función Θ está relacionada con el vector de parámetros desconocidos θ . Aplicando la expresión (8) y una similar para los valores estimados del estado x1, se obtiene:

2

Es necesario comprobar que la ley de control así como las leyes de actualización de parámetros diseñadas con anterioridad consiguen el objetivo de la estabilidad del sistema en lazo cerrado y como consecuencia los objetivos de regulación y seguimiento de las trayectorias. Con este objetivo se introduce la siguiente función de Liapunov,

(

(

)

~ ~& & z, ~ V x1 , θ = z T ⋅ z& + τ ⋅ ~ x& 1 ⋅ ~ x1 + θ T ⋅ Γ −1 ⋅ θ

(19.a)

Ω = (C1 + D1 ) + K ′

(19.b)

En forma matricial (15) y (19.a),

z& = −(C + D + E) ⋅ z + W ⋅ ~ x1

(20)

Siendo C=diag [C1 C2]; D=diag [D1 D2]; z=[z1 z2]T; W=[1 Ω]T. Para que las ecuaciones de estado (15) y (19.a) sean implementables, es preciso determinar la variación temporal del error cometido por el observador. A partir de la substracción de (7.a) y (9.a), después de multiplicar ambos miembros por τ, se obtiene,

(

)

τ⋅~ x& 1 = k ⋅ τ − H(x1 ) ⋅ x1 − α 0 − τ ⋅ ε xˆ1 , δ, θˆ − τ ⋅ K′ ⋅ ~ x1 (21) Substituyendo en la anterior la ecuación (9.b), después de sumar y restar la misma cantidad H (x1 ) ⋅ xˆ1 , no es difícil obtener

τ⋅~ x& 1 = H(x1 ) ⋅ x1 + H(xˆ1 ) ⋅ xˆ1 − τ ⋅ K ′ ⋅ ~ x1 − Θ (22.a)

[

ˆ (xˆ ) ⋅ xˆ + αˆ Θ = [H (x1 ) ⋅ x1 + α 0 ] − H 1 1 0

]

(22.b)

(24)

(25)

Sustituyendo z& dada por (20) y τ ⋅ ~ x& 1 obtenida de (22.a), después de sumar y restar ~ x ⋅ H(x ) ⋅ ~ x y 1

z& 2 = −z1 − (C 2 + D 2 ) ⋅ z 2 + Ω ⋅ ~ x1

]

siendo Γ una matriz diagonal y adimensional de ganancias. La derivada de V es,

(18.b) Mediante la elección (18.a) la dinámica de la segunda variable de error z2 viene dada por,

[

)

~ ~ ~ 1 x12 + θ T ⋅ Γ −1 ⋅ θ V z, ~ x1 , θ = ⋅ z T ⋅ z + τ ⋅ ~ 2

1

1

considerar que z ⋅ E ⋅ z = 0 , resulta, T

(

)

~ & z, ~ V x1 , θ = −z T ⋅ (C + D ) ⋅ z + z T ⋅ W ⋅ ~ x1 − ~ x12 ⋅ (26) [H(xˆ1 ) + τ ⋅ K ′] − ~x1 ⋅ θ T ⋅ ϕT + ~θ T ⋅ Γ −1 ⋅ ~θ& Para que la estabilidad sea robusta frente a los errores en el vector de parámetros y en la medida del estado x1 cometidos durante la estimación, se hace que los dos últimos sumandos del segundo miembro de (26) se hagan nulos mediante la siguiente ley de estimación,

& θˆ = −Γ ⋅ ϕT ⋅ ~ x1

(27)

Con (27) ahora,

& (z, ~ V x1 ) = −z T ⋅ (C + D ) ⋅ z + z T ⋅ W ⋅ ~ x1 − ~ x12 ⋅ (28) [H(xˆ1 ) + τ ⋅ K ′] Se desea que la función V sea semidefinida negativa. Examinado el último termino de (28), se precisa que se cumplan las condiciones a) y b): a) H (xˆ1 ) + τ ⋅ K ′ ≥ 0 . Esta condición implica que,

α 3 ⋅ xˆ12 + α 2 ⋅ xˆ1 + (α1 + τ ⋅ K ′) ≥ 0

(29)

i)

La aplicación del algoritmo de identificación basado en la implementación de las ecuaciones (20) y en las leyes de actualización (27) con un adecuado programa de simulación. Los valores iniciales de los parámetros que ˆ i (i = 0 L 3) debían ser estimados α fueron el 50% de los obtenidos mediante la realización de la maniobra señalada con anterioridad e incluida en las pruebas de mar del buque (Tabla 3), según el esquema representado en la Figura 6.

ii)

La aplicación de algún criterio de optimización que permita reducir los estados zi en el al estado nulo. El procedimiento empleado está basado en el algoritmo de optimización de Powell [2] y el método de integración de paso 1 s. Las ganancias obtenidas se indican en la Tabla 4.

o equivalentemente que el parámetro ajustable K´ cumpla la siguiente condición,

α 22 − 4 ⋅ α1 ⋅ α 3 4 ⋅ α3 ⋅ τ T T b) − z ⋅ (C + D ) ⋅ z − z ⋅ W ⋅ ~ x1 ≤ 0 K′ ≤

[

(30)

]

Esta condición se cumple después de considerar que

[

− z T ⋅ (C + D ) ⋅ z + z T ⋅ W ⋅ ~ x1 = − (C1 + D1 ) ⋅ z12 − z1 ⋅~ x1 − (C 2 + D 2 ) ⋅ z 22 − z 2 ⋅ (C1 + D1 + K ′) ⋅ ~ x1

[

]

Sumando y restando las cantidades ~ x12 / 4 ⋅ (C1 + D1 ) y (C + D + K ′) ⋅ ~ x 2 / 4 ⋅ (C + D ) , se obtiene que 1

1

1

1

[

1

]

− z T ⋅ (C + D ) ⋅ z − z T ⋅ W ⋅ ~ x1 = −(A + B) −  1 C + D1 + K ′  ~ 2 + 1   ⋅ x1  4 ⋅ (C1 + D1 ) 4 ⋅ (C 2 + D 2 )  Siendo A y B dos binomios siempre positivos. Como consecuencia de a) y b), se cumple que

(

)

~ & z, ~ V x1 , θ ≤ 0

Tabla 4: Valores de las ganancias utilizadas en el proceso de estimación y observación.

(30) Ganancias C1 C2 D1 D2 γ0 γ1 γ2 γ3

& es semidefinida negativa mediante la Como V aplicación del teorema de LaSalle-Yoshizawa [7]; Yoshizawa, [10], en coordenadas (z1,z2) el punto de equilibrio (0,0) es asintóticamente estable en una forma global y que por lo tanto, las estimaciones de los parámetros α i (t ), i = 0L3, están acotadas. Además, z1 tiende hacia cero asintóticamente, de forma que x 2 (t ) → x 2d (t ) cuando t → ∞ . Asimismo la estabilidad asintótica de z2, junto con la de z1, la acotación de la derivada segunda de la trayectoria deseada yd y considerando los dos primeros términos de (15), los errores del observador tienden a un valor nulo a medida que el tiempo aumenta.

(u.p) 1.59 0.93 6.22.10-2 0.100 7.20.10-2 134.34 66333 1269.8

7. SIMULACIÓN DEL SISTEMA El objetivo del sistema adaptativo de control es el seguimiento de una trayectoria senoidal cuya amplitud es de 0.01 rad y cuya frecuencia es de 0.03 rad/s=477.10-5 Hz mientras se realiza la estimación de los parámetros desconocidos ai, (i=0,..,3), y se & . Se suponen realiza la observación de r = ψ conocidos la ganancia k y la constante de tiempo τ , según el modelo (3.b) ó equivalentemente K según el modelo (4). Los objetivos han sido resueltos mediante,

Figura 6: Esquema del diagrama de control empleado. Los

valores

numéricos

de

los

coeficientes

α i (i = 0..3) del polinomio HN(r), son diferentes a los

obtenidos a partir de la maniobra incluida en las pruebas de mar del buque, lo que confirma que estos coeficientes dependen de las maniobras que debe seguir el buque para conseguir los dos objetivos de control ( maniobra de cambio de rumbo de 900 ó seguimiento de la trayectoria senoidal). Con objeto de reducir el esfuerzo computacional es posible calcular de una forma alternativa el coeficiente α0 (supuesto conocidos los α i i=1,2,3). El procedimiento parte de la determinación del valor estacionario en la variación temporal del ángulo de guiñada r mostrado en la Figura 4. Bajo esta condición y a partir de la ecuación (3.b) se obtiene,

(

α 0 = K ⋅ δ − α 3 ⋅ r 3 + α 2 ⋅ r 2 + α1 ⋅ r

)

(31)

donde r = 1.09.10-2 rad/s, δ = 250= 0.1745 rad y los valores de αi (i=1,2,3), son los obtenidos con anterioridad e indicados en la Tabla 3. Las Figuras 7 y 8 muestran la rápida convergencia de las variables de error z1 y z2, para los valores de las ganancias Ci,Di, (i=1,2), γ j ( j = 0 L 3) , mostrados con anterioridad en la Tabla 4.

según se aprecia en la Figuras 7 y 8, los valores temporales de las variables de error son no nulas hasta aproximadamente 26.7 s de haber comenzado el control como consecuencia de los errores en las estimaciones iniciales del estado x2 y de los valores de los parámetros, cuyas estimaciones iniciales fueron el 50% de sus valores estimados a partir de las pruebas del mar del buque. Bajo estas condiciones a partir de ese instante la salida real coincide con la salida deseada. (Figura 9). En la Figura 10, aparece la variación del ángulo de timón. Como se aprecia en la misma, en los instantes iniciales el timón se encuentra en saturación (350) durante 25 s, la saturación negativa (-350), se mantiene durante 19.7 s, mientras que la siguiente positiva es de 23.5 s. En condiciones ideales y una vez pasado el transitorio inicial, ambos períodos deberían ser iguales. Sin embargo bajo situaciones reales con una cierta asimetría en el casco concluyen en una pequeña diferencia. La dinámica del timón se ha supuesto similar a la correspondiente a un sistema de primer orden con una constante de tiempo de 0.9 s. El período de su variación es de 209.9 s coincide con la señal de referencia con un retardo de 12 s. 0.1

0.09 0.08

0.08

0.07 0.06 X2 yd (Psi)

0.06

Z1 (rad)

0.05 0.04

0.04

0.02

0.03 0.02

0

0.01 0

-0.02 0

-0.01 0

50

100

150 t (s)

200

250

100

150 t (s)

200

250

300

Figura 9:Comparación entre los segumientos de la trayectoria. Linea continua: salida real, linea discontinua, salida deseada.

Figura 7: Variación del estado z1. 0.16 0.14

40

0.12

30

0.1

20 Ángulo timón (grados)

Z2 (rad/s)

50

300

0.08 0.06 0.04 0.02

10 0 -10 -20

0

-30

-0.02 0

50

100

150 t (s)

200

250

300

Figura 8: Variación del estado z2.

-40 0

50

100

150 t (s)

200

250

300

8. CONCLUSIONES

Figura 10:Variación del control en la consecución del objetivo de seguimiento.

Partiendo de unas condiciones iniciales & x1 (0 ) = ψ (0) = 0.05 rad / s y x 2 (0 ) = ψ (0) = 0 rad y

En las Figuras 11-14 se indican las variaciones temporales de los parámetros que definen la dinámica

-3

7

x 10

6

-3

6

x 10

5

4

a0 estimado

no lineal del buque. El procedimiento del backstepping aplicado a un sistema no lineal es capaz de conseguir el seguimiento de una trayectoria de referencia utilizando un observador de orden reducido y un estimador según un esquema indirecto de adaptación por modelo de referencia.

3

2

1

5

0

a3 estimado

4 -1 3

1 0

0

10

20

30

40

50 t (s)

60

70

80

90

2 1.5 a2estimado

200

250

300

Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto MEC DPI2006-11835.

Referencias

2.5

1 0.5 0 -0.5

0

5

10

15

20

25 t (s)

30

35

40

45

50

Figura 12: Variación temporal de la estimación en el coeficiente a2. Su valor estimado final es 1.15.10-2. 0.5 0.45 0.4 0.35 a1 estimado

150 t (s)

100

3

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

100

AGRADECIMIENTOS

Figura 11: Variación temporal de la estimación en el coeficiente a3. Su valor estimado final es -5.69.10-2.

-1

50

Figura 14: Variación temporal del valor estimado de a0. Su valor final fue 3.20.10-4.

2

-1

0

0

5

10

15

20

25 t (s)

30

35

40

45

50

Figura 13: Variación temporal del valor estimado de a1. Su valor final fue 0.420. Merece la pena señalar que los valores de los parámetros indicados en la Tabla 3, no coinciden con los obtenidos en el problema de seguimiento analizado (Figs.11-14), como consecuencia de que dependen de la maniobra que debe realizar el buque para lograr el objetivo de control.

[1] Bech, M. J., y Wagner Smith, L., (1969) "Analogue Simulation of Ship Manouvres based on fullscale sea trials or free sailing model tests”, Technical Report Hy-14., Hydro- and Aerodynamics Laboratory, Lynby, Denmark. [2] Darnell, P.A.., y Margolis, P.E., (1990) "C: A Software Engineering Approach," SpringerVerlag. [3] Davidson, K.S.M., y Schiff, L.I., (1946) "Turning and Course Keeping Qualities," Transactions of SNAME, Vol.54. [4] Haro, M.,Ferreiro, F., (2005) “Identification of the nonlinear slip model parameters based on the turning test trial and the backstepping procedure”, Ocean Engineering, 1350-1369. [5] Haro, M., Ferreiro, R., Velasco, F., (2004) “A new recursive procedure of nonlinear model ship based on the turning test and the Norrbin equation”. Journal of Maritime Research. 2004. [6] Krestić M., Kanellakopoulos I., Kokotović. P.,(1995) .Nonlinear and adaptive control design, Wiley, New York (USA). [7] LaSalle,J.P.,(1968) "Stability theory for ordinary differential equations”, J.Diff.Eqs.Vol. 4, pp.5765. [8] Nomoto, K.G, Tagachi, K., y Honda, T.,(1957) "On the steering quality of ships”, International Shipbuilding Progress , Vol. 4. [9] Norrbin N.H.,(1970) "Theory and Observations on the Use of a Mathematical Model for Ship Maneuvering in Deep and Confined Waters”, Proceedings of the 8th Symposium on Naval Hydrodynamics, Pasadena, CA. [10]Yoshizawa,T.,(1966) "Stability theory by Liapunvo’s Second Method”,The Mathematical Society of Japan.