TEMA 8: SEGUNDA PARTE Contrastes para variables Normales y proporciones 8.7. Contrastes para una población Normal Contrastes para la media Contrastes para la varianza 8.8. Contrastes para dos poblaciones Normales 8.8.1. Muestras independientes Contrastes para la diferencia de medias Contraste de igualdad de varianzas en variables Normales 8.8.2. Muestras pareadas: Contrastes para la diferencia de medias 8.9. Contrastes para proporciones 8.9.1. Contrastes para una proporción 8.9.2. Contrastes para la diferencia de proporciones 1

8.7. CONTRASTES PARA UNA POBLACIÓN NORMAL CONTRASTES PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Ejemplo 1:1 Sea X la variable “rentabilidad de cierto tipo de fondos de

inversión”. Se considera que la media de esta variable es 15. Un economista afirma que dicha rentabilidad media ha variado, por lo que lleva a cabo un estudio sobre una muestra de 9 fondos cuya media muestral resulta ser de 15,308 y cuya varianza muestral corregida (cuasivarianza) es 0,193. Con estos datos, y bajo el supuetso de Normalidad, ¿cómo contrastar la afirmación del economista al 5%?

Sea (X1,...,Xn) m.a.s. de XN(,) 1 Ejemplo tomado de la asignatura Estadística II de la Universidad Carlos III de Madrid (http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/economia/estadistica_ii/documentacion_transp_archivos/tema2_2P_esp.pdf)

2

Con varianza 2 conocida 

0   H0 :=0Estadístico de contraste: PivoteI.b. Z*= X   0 H N(0,1)

/ n

Hipótesis alternativa: 

H1 :>0

N(0,1) 

1-



Rechazo H0 cuando: X   0 z  p-valor=p(Z*zobs) / n

z

H1 :0

tn-1 

1-

Rechazo H0 cuando:

X  0 Sc / n

t  p-valor=p(t*tobs)

t 

H1 : 02 1-

 H1 :

Rechazar H0 cuando: n 2 S   n2-1,1- 2 0

2

< 02



 H1 :



1-

Rechazar H0 cuando: n 2 S   n2-1, 2 0

2

 02

Rechazar H0 cuando: n 2 n 2 2 S   n21,/2 ó S  n1,1/2 2 2 0

0

7

8.8. CONTRASTES PARA DOS POBLACIONES NORMALES 8.8.1. MUESTRAS INDEPENDIENTES CONTRASTES PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

Ejemplo 2: El departamento de control de calidad de una empresa sospecha que la calidad media de los productos fabricados en el turno de noche es inferior a la de los productos fabricados en el turno de día. Para contrastar esta sospecha, se eligen al azar 8 productos fabricados en cada turno y se obtienen los siguientes índices de calidad Turno de día Turno de noche

92 82

85 86

X1,...,Xn1 m.a.s. de una N(1,1)

89 96

89 89

93 87

90 86

91 83

95 92

independientes

X 1,...,Xn2 m.a.s. de una N(2,2) 8

Varianzas conocidas H0 :1-2≤0 H1 :1-2>0 Estadístico de contraste: Pivote II.a. Bajo H0  Z*=

( X1  X 2 )   0 12 n1

N(0,1) 

1-

0



 22

N(0,1)

n2

Rechazar H0 si Z* z.

z

¿ Y si queremos contrastar alternativas distintas: de otro lado o bilateral?

 H0 :1-2≥0 H1 :1-20

Estadístico de contraste: Pivote II.b. Bajo H0  t*=

( X 1  X 2 )  0 2  n S2 n1S X 2 X2 1

n1  n2  2

tn1+n2-2

1

1

n1  n 2

tn n 2 1 2

Rechazo H0 cuando: t*  t 

1-

0

t

 H0 :1-2≥0 H1 :1-2  22

 Rechazar H0 cuando

 H1: 12 <  22  Rechazar H0 cuando

S C2 1 S C2 2 S C2 1 S C2 2

> F1- < F 13

Ejemplo 3: (continuación) X = fluctuaciones diarias de precios en el mercado AN(A,A) Y = fluctuaciones diarias de precios en el mercado BN(B,B)  Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:  Definir el estadístico de contraste y calcular su valor para la muestra dada:  Definir la región crítica  Calcular el valor del estadístico de contraste para la muestra dada:  Tomar la decisión:

 Obtener el intervalo de confianza para 12 /  22 y comentar resultados 14

Ejemplo 2: (continuación) X = índice de calidad de productos fabricados de día N(x,x) Y = índice de calidad de productos fabricados de noche N(y,y) X,Y independientes

Contraste para comparar las medias: H0 :Y≥X H1 :YpY

H1 :pX