CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1. Sea la función f ( x) = − x3 − 6 x 2 a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus extremos relativo...
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CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.

Sea la función

f ( x) = − x3 − 6 x 2

a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus extremos relativos y su punto de inflexión. c. Represente gráficamente la función. 2.

Sea la función

f ( x) = − x3 + 3x

a. Determine sus puntos de corte con los ejes de coordenadas. b. Represéntela gráficamente. c. Obtenga las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de la función que tienen pendiente cero y diga cuáles son los puntos de tangencia. 3.

Sea la función

f ( x) = x3 + 3x 2

a. Obtenga la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = −1. b. Halle su punto de inflexión. c. Dibuje la gráfica de f , estudiando previamente la monotonía y los extremos relativos. 4.

Sea la función f ( x) = x 3 − 3x 2 − 1 a. Determine la monotonía y los extremos relativos de f . b. Calcule su punto de inflexión. c. Teniendo en cuenta los apartados anteriores, represéntela.

5.

Sea la función

f ( x) =

1 3 x − x 2 − 3x + 4 3

a. Represente gráficamente su función derivada determinando los puntos de corte con el eje de abscisas y su vértice. b. Halle los puntos de la gráfica de f donde la recta tangente es paralela a y = −3x + 3. c. Calcule los máximos y mínimos de f . 6.

Sea la función f ( x) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x. a. Estudie la monotonía y calcule los extremos relativos de f. b. Estudie la curvatura y calcule el punto de inflexión de f. c. Represente gráficamente la función.

8.

3 2 x . 2 Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de función g ( x ) = x3 − 3 x 2 + 7 .

9.

Sean las funciones

7.

Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función f ( x) = x 3 −

f ( x) = x 2 − 4 x + 6

y g ( x) = 2 x − x 2

a. Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b. Determine el valor de x para el que se hace mínima la función h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) . 10. Calcule los extremos relativos de la función g ( x) = x 3 − 3 x . 11. Halle los valores de a y b para que la función f ( x) = x 3 + ax 2 + b tenga un extremo relativo en el punto (− 2, 3) . 12. Halle los valores de a y b para que la función g ( x) = ax +

b tenga un extremo relativo en el punto (1, 2 ) . x

13. Dada la función f ( x) = ax 2 + bx , calcule a y b para que la función tenga un extremo relativo en el punto (1, 4).

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14. Dada la función

f ( x) = 2 x 3 + ax 2 − 12 x + b

a. Halle a y b para que la función se anule en x = 1 y tenga un punto de inflexión en x = −

1 . 2

b. Para a = −3 y b = 2 , calcule sus máximos y mínimos relativos. 15. Calcule a para que el valor mínimo de la función g ( x ) = x 2 + 2 x + a sea igual a 8. 16. Sea g ( x ) = 2 x 2 − 8 x + a . Halle a para que el valor mínimo de g sea 3. 17. Determine a y b para que la función y = ax 2 + bx + 5 tenga un máximo en (2, 9) 18. Dada la función f ( x ) = x 3 + bx + c , determine los valores de b y c sabiendo que dicha función alcanza un máximo relativo en el punto ( −1,3) . 19. Sea la función f ( x) = x 2 + 2ax + b . Calcule a y b para que su gráfica pase por el punto (0, –5) y que en este punto la recta tangente sea paralela a la recta y = 4 x . 20. Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( x ) = ax3 + 3 x 2 − 5 x + b pase por el punto (1, ─3) y tenga el punto de in:lexió n en x = −1 . 21. Se considera la función f ( x ) = ax 2 − bx + 4 . Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 10) 2

22. Dada la función f ( x ) = a ( x − 1) + bx . Calcule a y b para que la gráfica de esta función pase por el punto de coordenadas (1 ,2) y tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 . 23. Sea la función f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx . a. Halle el valor de los coeficientes a , b y c si se sabe que en el punto (0, 0) su gráfica posee un extremo relativo y que el punto (2, −16) es un punto de in:lexió n. b. Para a = 1 , b = 1 y c = 0 , calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = −2 .

a + bx3 . Halla a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 3). x 25. Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función g cuya derivada tiene por gráfica la recta que 24. Dada

f ( x) =

pasa por los puntos (2, 0) y (3, 1). a. De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f ' , es la recta de ecuación y = −2 x + 4 . b. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. 26. De una función f se sabe que su función derivada es f ´( x) = 3 x 2 − 9 x + 6. a. Estudie la monotonía y la curvatura de f . b. Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 27. La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (─3, 0) y (3, 0). A partir de dicha grá :ica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f . 28. La gráfica de la función derivada de una función f ( x ) es una parábola de vértice (1, −4 ) que corta al eje de abscisas en los puntos ( −1, 0 ) y ( 3, 0 ) . A partir de la gráfica de f ' : a. Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f . ¿Para qué valores de x se alcanzan los máximos y mínimos relativos? b. Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada.

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29. Dada la función f ( x ) = x3 + x 2 − 5 x + 3 . Se pide: a. Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c. Máximos y mínimos locales. d. Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores 30. Para la función f : » → » definida de la forma f ( x) = 8 x 3 − 84 x 2 + 240 x determine: a. Su monotonía y sus extremos relativos b. Su curvatura y su punto de inflexión 31. La función

f ( x) = x 3 + ax 2 + bx tiene un extremo relativo en x = 2 y un punto de inflexión en x = 3 .

a. Calcule los coeficientes a y b y determine si el citado extremo es un máximo o un mínimo relativo. 32. Sea la función g ( x ) = x3 + ax 2 + b . Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto ( 2,5 ) . 33. De la función f ( x ) = 4 − 3 x 2 + x3 , determine: a. La monotonía y la curvatura de f . b. Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −1 . 34. Se considera la función f ( x) = x 3 − 9 x 2 + 24 x a. Determine los extremos relativos de f , estudie la monotonía y la curvatura. b. Represente gráficamente la función f . 35. Sea la función f ( x ) = ax3 + bx a. Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es – 3. b. Si en la función anterior a =

1 y b = −4 , determine sus intervalos de monotonía y sus extremos. 3

36. Determine dónde se alcanza el mínimo de la función

f ( x ) = 3x 2 − 6 x + a . Calcule el valor de a para

que el valor mínimo de la función sea 5. 37. Dada la función

g ( x) =

x +1 x+2

a. Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas. b. Represente gráficamente la función. Estudia la monotonía y curvatura. 38. Dada la función g ( x) =

3− x x −1

a. Determine su dominio y asíntotas. Estudie su continuidad y derivabilidad b. Determine sus máximos y mínimos. Estudie su crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. c. Represéntala gráficamente

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5 si x≤2   2 39. Dada la función f ( x ) =  x − 6 x + 10 si 2 < x < 5  4 x − 15 si x≥5  a. Estudie la continuidad y la derivabilidad de f . Represéntala gráficamente

 x 2 + ax + b si 40. Sea la función f definida mediante f ( x ) =  si  ln x

x 3 

a. Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie monotonía y extremos. b. Estudie su continuidad y derivabilidad.

42. Dada la función

  x2 si x ≤1   1 f ( x) =  si 1 < x ≤ 2 x   x −1 si x>2  2

a. Estudie la continuidad y derivabilidad de f en x = 1 y en x = 2 . b. Represéntala gráficamente

 x 2 − 4 x + 7 si  43. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función: f ( x) =  4 si   x−2

44. Dada la función

x≤3 x>3

 −t 3 + 5t 2 si 0 ≤ t < 3  2 f ( x) = −t + 12t − 9 si 3 ≤ t ≤ 5  2t + 16 si 5 < t ≤ 10 

a. Estudie la continuidad y derivabilidad de f en t = 3 y t = 5 . 45. Determine a y b para que la función f sea derivable

 ax 2 + 1 si f ( x) =  2  x + bx + 3 si

x 2  a. Calcule el valor de a para que f sea continua en x = −2 . b. Estudie la continuidad y la derivabilidad de f cuando a = 2 . c. Dibuje la gráfica de la función que se obtiene cuando a = 2 . 49. Dada la función

− x 2 + 2 x si f ( x) =  2  x + ax si

x≤0 x>0

a. Para a = −2 represente gráficamente la función f e indique sus extremos relativos. b. Determine el valor de a para que f sea derivable. 50. Dada la función

ax 2 + bx 2 − 3 si f ( x) =  si  2bx − 4

x ≤1 x >1

a. Determine los valores de a y b para que sea derivable la función. b. Represente gráficamente la función f si a = 1 y b = 2 . 51. Dada la función

 x 2 − 1 si f ( x) =   x − 1 si

x ≤1 x >1

a. Estudie su continuidad y derivabilidad. b. Determine la monotonía de f . c. Represente gráficamente

52. Dada la función

 −4 x − 3 si x ≤ −1  2 f ( x) =  2 x − 1 si −1 < x < 1  k +2  si x ≥1  x

a. Calcule el valor que debe tomar el parámetro k para que la función sea continua en » y estudie su derivabilidad para el valor de k obtenido. b. Dibuje la gráfica de la función para k = −1 .

 9 − x2 si 53. Sea la función f ( x) =  2 −2 x + 16 x − 30 si

x≤3 . x>3

a. Estudie su continuidad y derivabilidad. b. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos. c. Represéntela gráficamente.

54.

Sea la función

 x2 2 x − f ( x) =  2  2x − 8 

si

x≤4

si

x>4

a. Estudie la continuidad y derivabilidad de esta función. b. Represéntala gráficamente e indique, a la vista de su gráfica, su monotonía y sus extremos.

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ex si 2  x + x + 1 si

55. Sea la función definida de la forma f ( x ) = 

x≤0 x>0

a. ¿Es f continua en x = 0 ? ¿Es continua en su dominio? b. ¿Es f derivable en x = 0 ? ¿Es derivable en su dominio? c. Estudie la monotonía de f .

56. Dada la función

 − 4 x − 3  f ( x ) = 2 x 2 − 1 k + 2   x

si

x ≤ −1

si

−1< x 4

a. Estudie su continuidad y derivabilidad. b. Represente gráficamente la función y determine los máximos y mínimos relativos, si los hubiere, así como el crecimiento y decrecimiento. 58. Sea la función

si  3x − 3 f ( x) =  2  x − 6 x + 11 si

x≤2 x>2

a. Represéntela gráficamente. b. Estudie su continuidad y derivabilidad. Calcule sus extremos. c. ¿Existe algún punto donde la pendiente de la recta tangente a su gráfica sea cero? En caso afirmativo, determine cuál es.

59. Se considera la siguiente función:

 x−2 si x < −1  x  f ( x) = − x 2 + a si −1 < x < 1  x+2  si 1≤ x  x

a. Halle los valores de a para los que f es continua y derivable. b. Para a =4, halle las asíntotas y extremos relativos.

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60. Dada la función

 2 ( x + 1)   1 f ( x) =   x  x  4

x≤0

si

si 0 < x < 2 x≥2

si

a. Represéntela gráficamente. b. Estudie su continuidad y derivabilidad. c. Calcule sus extremos y asíntotas horizontales y verticales.

61. Dada la función

1  si  f ( x) =  x − 3  x 2 − 9 x + 21 si

x≤4 x>4

a. Estudie su continuidad y derivabilidad. b. Represente gráficamente la función y determine los máximos y mínimos relativos, si los hubiere, así como el crecimiento y decrecimiento.



x2 si 2 − x + 4 x − 2 si

62. Sea la función f ( x) = 

x 0 x0

a. Halle a y b para que sea continua y derivable

69. Se considera la función definida por

  −1 si x < −4  f ( x) =  x + 2 si −4 ≤ x ≤ 2  8  si 2≤ x  x

a. Representar gráficamente la función. b. Estudiar la continuidad y derivabilidad de f ( x ) .

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DERIVADAS 70. Calcule las funciones derivadas de las siguientes: a. f ( x) =

(

)(

c. h( x) = x 2 − 1 . x 3 + 2 x

e− x x3 − 1

d. i ( x) =

b. g ( x) = 4 x ln(3 x + 1)

)

x+2 x−2

71. Calcule las funciones derivadas de las siguientes: a. f ( x) =

ln x x2

c. i ( x) =

b. g ( x) = (1 − x 3 ) cos x

e 2 x +1

( x − 1)

2

d. h( x) = 4 x3 − 5 x +

1 ex

 x   y simplifique el resultado.  x +1 

72. Halle la función derivada de la función f ( x) = ln 

73. Calcule las derivadas de las siguientes funciones (sin simplificar el resultado): a. f ( x) = ( x 3 − 6 x) ⋅ ( x 2 + 1)3 b. g ( x) = ( x 2 − 1) ⋅ ln x

c. h( x) = 25 x d. i ( x) =

3x − 1 − (5 x − x 2 ) 2 x

74. Halle f ' ( 2 ) , g ' ( 4 ) y h ' ( 0 ) para las funciones definidas de la siguiente forma a. f ( x) = x 2 +

b. g ( x) = ( x 2 + 9)3

16 x2

c. h( x) = ln( x 2 + 1)

75. Calcule las derivadas de las siguientes funciones (sin simplificar el resultado):

1 − 3x + (5 x − 2)3 x 2 b. g ( x) = ( x + 2).ln( x 2 + 2)

a. f ( x) =

76. Dada la función g ( x) =

c. h( x) = 35 x + e − x d. i ( x) = ( x + 1) ⋅ e 2 x +1

1 − x . Calcule g´´(2) x

77. Halla la derivada de las siguientes funciones

x2 − 2 x2 − 9 3x b. y = 2 2x − 4 2 x2 c. y = x−4

a. y =

e. y =

3x3 x2 − 1

3x 2 f. y = 2 x + 3x 2 x2 − 1 2 x2 2 x2 − 1 h. y = x

g. y =

3x2 d. y = 2 2x + 4 78. Calcule la derivada de las siguientes funciones a. g ( x) =

3

( 2 x − 5)

2

+ ln(1 − x)

b. h( x) =

ex x3 + 1

79. Para g ( x) = e1− x + ln( x + 2) calcule g´(1) 80. Calcule g´(3) , siendo g ( x) = 2 x ⋅ e3 x −1

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81. Halla la derivada de las siguientes funciones

(

a. y = 3 x3 − 5 x 2 + 6 x − 2

(

)(

b. y = 3 x 2 − 1 ⋅ 4 x3 + 2

)(

c. y = 4 x 2 + 3 x 2 − 2 x ⋅ 4 x3 + 2

)

)

d. y = 3 x 2 + 4e3 x − 5 ln x + 6 cos x + 10 senx

82. Halla la derivada de las siguientes funciones

(

a. y = (3 x 2 − 1)3

f. y = sen x 2 − 3

b. y = 2 x 3 + 3 c. y = x 2 ⋅ e3 x

(

d. y = ln x 2 − 3

)

g. y =

2x2 − 1 2e 3 x

h. y =

2x2 − 1 x

)

e. y = x ⋅ 2 x + 3

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RECTA TANGENTE x en el punto de abscisa 2. ln x 84. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = 1 + ln ( 2 x − 1) en el punto de x = 1 .

83. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g ( x) =

85. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g ( x ) =

2 + ln x en el punto de abscisa x = 1 . x

1 en el punto de abscisa x = 2. x −1 87. ¿En qué punto de la gráfica de la función f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 1 , la recta tangente es paralela a y = 3 x − 5 ? 3− x 88. Se considera la función f ( x ) = 2−x 86. Calcule la ecuación de la recta tangente a y =

a. Halle la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x = 1 b. Estudie su dominio, monotonía, continuidad y derivabilidad c. Calcule sus asíntotas 89. Halla las asíntotas de la función f ( x ) =

3− x . Determine la posición de la gráfica de f respecto a su x−2

asíntotas y represéntala. 90. Dada la función f ( x ) =

2x + 3 . 3x − 1

a. Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, y represéntela gráficamente. b. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x ) en el punto de abscisa x = 0 . 91. Dada la función g ( x ) =

3x − 2 . x +1

a. Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, y represéntela gráficamente. b. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = g ( x ) en el punto de abscisa x = 1 . 92. Sea la función f ( x ) =

4x −1 . 2x − 2

a. Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y represéntela gráficamente. b. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x ) en el punto de abscisa x = 0 . 93. Dada la función g ( x ) =

4x − 4 . x+4

a. Calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 0 . 94. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 3 − 4 x + 2 en su punto de inflexión. 95. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) = 96. Calcule la ecuación de la recta tangente a f ( x ) =

97. Sea la función f definida por

3 en el punto de abscisa x = −1 x

x en el punto de abscisa x = 3 . x−2

 x si  f ( x) =  2 x − 1  x 2 + x si

x≤0

.

x>0

a. Estudia la continuidad y derivabilidad de f . b. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 .

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98. Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = ax 2 − b en el punto (1,5 ) sea la recta y = 3 x + 2 . 99. Sea la función definida para todo número real x por f ( x ) = ax3 + bx . Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es −3 . Si en esta

1 y b = −4 , determine sus intervalos de monotonía y sus extremos. 3  2x si x ≤ 1 100. Sea la función f : » → » , definida por f ( x ) =  2  x + mx + 5 si x > 1 función a =

a. Calcule m para que la función sea continua en x = 1 . b. Para ese valor de m , ¿es derivable la función en x = 1 ? c. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0 .

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PROBLEMAS 101. Las ganancias de una empresa, en millones de euros, se ajustan a la función f ( x ) =

50 x − 100 , donde x 2x + 5

representa los años de vida de la empresa, cuando x ≥ 0 . a. Represente gráficamente la función y = f ( x ) , para x ∈ ( −∞, + ∞ ) , indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento. b. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? c. A medida que transcurre el tiempo, ¿están limitados sus beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite? 102. El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de euros produce una ganancia de f ( x ) millones de euros, siendo:

 x2 8x 8  + − f ( x) =  50 25 5 5   2x

si 0 ≤ x ≤ 5 .

si

x>5

a. Represente la función f ( x ) . b. Halle la inversión que produce máxima ganancia. c. Halle el valor de la inversión que produce ganancia nula. d. Razone lo que ocurre con la rentabilidad si la inversión se incrementa indefinidamente. 103. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la expresión:

h(t ) = −5t 2 + 40t a. ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? b. Represente gráficamente la función h ( t ) . c. ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d. ¿En qué instante llega al suelo? 104. El consumo de luz (en euros) de una vivienda, en función del tiempo transcurrido, nos viene dado por la expresión:

1 f ( t ) = − t 2 + 2t + 10 5

0 ≤ t ≤ 12

a. ¿En qué periodo de tiempo aumenta el consumo? ¿En cuál disminuye? b. ¿En qué instante se produce el consumo máximo? ¿Y el mínimo? c. Represente gráficamente la función.

105. Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es x euros, su beneficio diario, en euros, será: B ( x) = −10 x 2 + 100 x − 210 . a. Represente la función precio-beneficio. b. Indique a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál será ese beneficio máximo? c. Determine a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor.

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106. El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función: B ( x ) = −0 '01x 2 + 3'6 x − 180 . a. Represente gráficamente esta función. b. Determine el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. c. Determine cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas.

107. Dada la función

 −t 3 + 5t 2 si 0 ≤ t < 3  2 f ( x) = −t + 12t − 9 si 3 ≤ t ≤ 5  2t + 16 si 5 < t ≤ 10 

a. Estudie la continuidad y derivabilidad de f en t = 3 y t = 5 . b. Razone si f posee algún punto de inflexión y calcúlelo, en caso afirmativo. 108. Sea f ( x) = 2 −

4 con x ≥ 0 , la función que representa el balance económico quincenal, en miles de x +1

euros, de una empresa agrícola. a. Represente la función f . b. ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c. ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? ¿Y las pérdidas? 109. El número medio de clientes que visitan un hipermercado entre las 11 y las 20 horas está dado por f ( x) = x3 − 42 x 2 − 576 x + 2296 , en función de la hora x , siendo 10 < x < 20 . a. Halle los extremos relativos de esta función. b. Represente esta función y determine las horas en las que crece el número medio de clientes. c. Halle los valores máximos y mínimos del número medio de clientes que visitan el hipermercado entre las 11 y las 20 horas. 110. Los beneficios esperados de una inmobiliaria en los próximos 5 años vienen dados por la función B ( t ) = t 3 − 9t 2 + 24t donde t indica el tiempo en años, con 0 ≤ t ≤ 5 . a. Represente la evolución del beneficio esperado en función del tiempo. b. En ese periodo, ¿cuándo será máximo el beneficio esperado? 111. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t , en horas, por la expresión:

T (t ) = 40t − 10t 2 con 0 ≤ t ≤ 4 . a. Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza b. ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? 112. El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f (t ) = −t 2 + 12t − 31 con 4 ≤ t ≤ 7 . a. Represente la gráfica de la función f . b. ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste? 113. El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t , en años, viene dado por la función f ( t ) = −4t 2 + 60t − 15 , 1 ≤ t ≤ 8 . a. ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2 ? ¿Y para t = 2 ? b. ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c. ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros?

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114. El beneficio esperado por una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años, viene dado por la función B definida por

−t 2 + 7t B(t ) =   10

si 0 ≤ t < 5 donde t indica los años transcurridos. si 5 ≤ t ≤ 8

a. Represente gráficamente la función B e indique como es la evolución del beneficio esperado en esos 8 años. b. Calcule cuando el beneficio esperado es de 11’25 millones de euros 115. El beneficio obtenido por una empresa , en miles de euros, viene dado por la función

−5 x 2 + 40 x − 60  f ( x) =  5x − 15  2 

si

0≤x≤6

si 6 < x ≤ 10

Donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros. a. Represente la función b. Calcule el gasto en publicidad a partir del cual no tiene pérdidas c. ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d. Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese máximo beneficio? 116. El beneficio de una empresa , en miles de euros, viene dado por la función f ( x) = −3 x 2 + 120 x + 675 , con x ≥ 0 donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros. a. Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. b. Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio? c. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa. d. Represente gráficamente la función B . 117. El rendimiento, f ( t ) , en un examen que dura una hora en función del tiempo t viene dado por

f (t ) = t − t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 Deducir razonadamente: a. Cuándo el rendimiento es nulo. b. Cuándo el rendimiento es máximo. c. Cuándo el rendimiento es creciente y cuándo es decreciente 118. La función

f ( t ) = 2 '1t 2 + 0 '8t − 1 , para 0 ≤ t ≤ 9 , donde el tiempo, t , viene expresado en años,

proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 ( t = 0 ) y 2000 ( t = 9 ) . a. Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b. Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de los últimos años. c. ¿Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años? 119. Los beneficios anuales B ( x ) , en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

B( x) =

25 x x + 16 2

a. Estudia y explica el comportamiento de la función.

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