CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS x2 − x , x∈ (0, 1), definir f (0) y f (1) de forma que f sea continua sen(π x) en todo el intervalo cerrado [0, 1]. 1 Solución: f (0) = f (1) = − π

1. Dada la función

f (x) =

si x = 0  5  2. Estudiar la continuidad de la función f (x) =  | x | si x ≠ 0 5 − x Solución: f es continua en todo \ salvo en x0 = 0, donde tiene una discontinuidad de salto, siendo el salto de f = 2.

3. Estudiar la continuidad de la función

 0  f (x) =  x − 2 1  1 + e x − 2

si x = 2 si x ≠ 2

en el punto x = 2.

Solución: f es continua en x = 2. 4. Hallar a y b de modo que la siguiente función sea continua en todo \ :  a ( x − 1) 2 si x ≤ 0  si 0 < x < π f (x) = sen(b + x)  π  si x ≥ π  x 3π Solución: a = −1, b = + kπ, k ∈ ] 2

 x 2 − x − 6 si x ≤ 2 es continua en 5. Comprobar que la función f (x) definida por f (x) =  3 2 x + 3x − 26 si x > 2 el intervalo [−3, 3] y encontrar los valores máximo y mínimo de la función f (x) en dicho intervalo. Solución: El valor máximo de f se alcanza en x = 3 y vale 37. El valor mínimo de f se alcanza en 1 25 x = y vale − . 2 4

 x + 2 f (x) = Ln  2  .  x  Solución: Dom ( f ) = (− 2, +∞) − {0}; f es continua en su dominio.

6. Estudiar el dominio y la continuidad de la función

x (Ln x) 2 7. Dada la función f (x) = ( x − 1) 2 a) Determinar su dominio. b) ¿Se podría asignar a f (x) algún valor en los puntos de discontinuidad para que fuera continua en (0, +∞)? Solución: Dom ( f ) = (0, +∞) – {1}, f (0) = 0 y f (1) = 1

 x 3 − x si x ≤ 0 Calcular a, b para que f sea continua. 8. Sea f (x) =  ax + b si x > 0 Solución: b = 0, a cualquier número real.

9. Estudiar la continuidad de la función f (x) =

x 1+ | x |

Solución: f es continua en todo \ . 10. Probar que la función f definida por

f (x) =

x 2 −1 x3 + 7 x − 8

no es continua en x = 1. Indicar qué

tipo de discontinuidad presenta en dicho punto. Solución: Evitable. 11. Estudiar la continuidad de la función f (x) = x − E(x), donde E(x) designa la parte entera de x, es decir, el mayor entero ≤ x. Representar también dicha función. Solución: f es continua en x0 ⇔ x0 no es entero.  ex si x ≤ 0  12. Estudiar la continuidad de la función f definida como f (x) =  e x + 1  x 2 + 1 si x > 0  Solución: f es continua en \ − {0} 13. Determinar los números reales a y b para que la función f definida como:  sen 2 x a · e x + b ·cos x si x < 0  f (x) =  6 si x = 0  sen x 3a · + b ·( x − 1) si x > 0 x  sea continua en toda la recta real. Solución: a = 3, b = 3.  3 − x si x < 3 14. Estudiar la continuidad de la función f (x) =  . Dibujar la gráfica de la función 2 13 − x si x ≥ 3 en un entorno del punto x = 3. Solución: f es discontinua en el punto x = 3, donde presenta un salto de longitud 4. En los demás puntos es continua. π  si x < 2 − sen x 4 15. Estudiar la continuidad de la función f (x) =  π 1 + 2 cos x si x ≥  4 π 3 2 − 1 . En los Solución: f es discontinua en el punto x = , donde presenta un salto de longitud 2 4 demás puntos es continua.

16. Estudiar la continuidad de la función

f (x) =

ex x2 + k

según los diferentes valores del

parámetro real k. Solución: Si k > 0, f es continua en todo \ . Si k ≤ 0, f tiene discontinuidades asintóticas en x = ± − k ; en los demás puntos es continua. 17. Hallar los valores a y b de forma que sea aplicable el teorema de Bolzano a la función  cos x si − π ≤ x ≤ 0  f (x) = a + x 2 si 0 < x < 1 b  si 1 ≤ x ≤ π x en el intervalo [−π, π]. Solución: a = 1, b = 2. si x = 0  1  18. Dada la función f (x) =  | sen x | , estudiar la continuidad en el punto x0 = 0. x si 0 ≠  x Solución: f tiene un salto en x0 = 0, y la longitud del salto es 2.  1  que no tiene sentido para x = −1. f (x) = 3 + (x + 1) sen    1+ x  Determinar el valor de f (−1) para que la función sea continua en x = −1. Solución: f (−1) = 3

19. Se considera la función

 x 2 + bx + c  20. La función f : \  → \ dada por f (x) =  Ln(1 + x)  x  ¿Cuánto valen b y c? 1 Solución: b = − , c = 1. 2

si x ≤ 0 si x > 0

es derivable en x = 0.

2 ax + bx → \ dada por f (x) =  21. Se sabe que la función f : [0, 5]  c + x − 1 derivable en el intervalo [0, 5] y verifica f (0) = f (5). Calcular a, b y c. 3 1 Solución: a = − , b = , c = −2. 2 2

si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x ≤ 5

22. Consideremos la función f (x) =| x2− 4 | a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. Solución: a) No es derivable en x = ±2. 23. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f (x) = | 1 – | x | | Solución: f es continua para todo x ∈ R y f es derivable para todo x ∈ \ − {0, 1, −1}.

es

24. Idem para la función f (x) = x2 + 2x − | x | Solución: f es continua para todo x ∈ \ y f es derivable para todo x ∈ \ − {0}. 2 si x ≤ 1  x − 2 x + 3 25. Dada la función f (x) =  2 5 x − 10 x + 7 si x > 1 • Demostrar que f es derivable en x0 = 1 y calcular f ‘ (1). • Encontrar la función derivada f ‘ (x). • Probar que f ‘ (x) no es derivable en x0 = 1, es decir, no existe f ‘’ (1). si x ≤ 1  2x − 2 Solución: f (1) = 0, f ‘ (x) =  . si x > 1 10 x − 10

26. Estudiar la derivabilidad de la función f : \  → \ definida por  x si x ≠ −1 y x ≠ 1  f (x) = 1− | x |  si x = −1 o x = 1  0 Solución: f es derivable en \ – {–1, 1}

 x 2 − 4 x + 3 si − 1 < x < 0  27. Sabemos que la función f : (− 1, +∞)  → \ definida por f (x) =  x 2 + a si x ≥ 0   x +1 es continua en (− 1, +∞). Hallar el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0? Solución: a = 3. No. ax + 5 x 2  28. Calcular a y b sabiendo que la función f : \ → \ definida por f (x) =  a  + bx  x derivable. Solución: a = −20, b = −5

si x ≤ 2 si x > 2

es

 x3 2 x ≤ −2 si  −x+ 3 3  29. Sea f : \  → \ la función definida en la forma f (x) =  0 si −2 < x ≤ 1  x3  − x + 2 si x >1  3 3 Estudiar la derivabilidad de f. Solución: f es derivable en \ – {–2}

30. a) Determinar el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f : \ → \  e− x si x ≤ 0 admite recta tangente en el punto (0, 1). definida por f (x) =  ax + b si x > 0 b) ¿Existen constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g : \ → \ definida por  e− x si x ≤ 0 g (x) =  2 cx + d si x > 0 admite recta tangente en el punto (0, 1)? (Justificar la respuesta). Solución: a = −1, b = 1. No existen.

a x − 6 → \ definida por f (x) =  31. Consideremos la f : (−∞, 10)  | x − 5| a) Determinar el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > 0). b) Estudiar la derivabilidad de f. Solución: a = 3, f es derivable en (−∞, 10) − {2, 5}

si x < 2 si 2 ≤ x < 10

32. Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: x2 − 3 x3 + x

− x 4 + 10 x 2 + 3

Solución   →

y′ =

Solución   →

y′ =

Solución   →

y′ =

Solución   →

y′ =

Solución   →

y ′ = Ln3 ⋅ 3

 x2 + 1  6) y = Ln  2   x −1 

Solución   →

y′ =

log(2 x 3 + 1) x2 + 1

Solución   →

y′ =

5   8) y = log π  3 ( 3 x 2 − 7 x )   

Solución   →

5 6x − 7 y ′ = log π e ⋅ 2 3 3x − 7 x

9) y = 3 log 5π ( 3x 2 − 7 x )

Solución   →

y′ =

Solución   →

 9 x 4 + 9 x 2 − 10  3 ( 3 x 2 + 5) y ′ =  6 x Ln ( x 3 − 2 x ) +  ⋅ ( x − 2x ) 3 x − 2x  

Solución   →

y′ =

Solución   →

 2  x −1  2 4x + 3   x −1  y ′ =  Ln   ⋅ +  x 2 − 1   x + 1   4x + 3  x +1 

Solución   →

y ′ = x ( 2Lnx + 1) ⋅ ( x x )

Solución   →

y ′ = 8 x (Sumar primero las fracciones y derivar después)

Solución   →

y′ =

1) y =

2) y =

3x − 2 x +2 2

 5x2 − 1  3) y = 4    7x 

9

5) y = 3

7) y =

4

2

+4

2 x3 + 5 x

10) y = ( x 3 − 2 x )

11) y =

 x −1  12) y =    x +1 13) y = ( x x )

14) y =

15) y =

( 3 x + 5)

( 3x − 2 )

2

 x  3  x 2 + 3 

4 x +3

x

x2 + 1 + x x2 + 1 − x 1 2π

e

− x2 2

(x

3

+ x)

2

2x + 6

2

+ 2) x2 + 2 5

x

4) y = e x

(x

+

x2 + 1 − x x2 + 1 + x

9 4  5x2 − 1  5x2 + 1   4  7 x  7 x2 x

4 − x2

(x

2

+ 4) 4

2

ex

2

+4

6 x2 + 5

2 x3 + 5 x

4 4 ( 2 x3 + 5 x )

3

−4 x x4 − 1 log e ⋅ ( 6 x 4 + 6 x 2 ) − log(2 x 3 + 1) ⋅ ( 4 x 4 + 2 x )

( 2x

3

+ 1)( x 2 + 1)

2

53 6x − 7 log 2π ( 3 x 2 − 7 x ) ⋅ log π e ⋅ 2 3 3x − 7 x

  3  3 − x2 3x  Ln ( 3 x − 2 ) + 2 2 2  ( x 2 + 3) x + 3) ( 3x − 2 )  (  

−x 2π

e

− x2 2

( 3x − 2 )

4 x +3

x

 x  3  x 2 + 3 

33. Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones:  x2  2 3 3 4 cos x x +  ( )  3x + 2  2   x   Solución 1) y = sen  3 y′ = →  2  3x + 2   x2    3(3x + 2) 2 3    3x + 2   x2  2) y = 3 sen    3x + 2 

Solución →

 x2  (3x + 4 x) cos   3x + 2   y′ =  x2  2 3 ( 3 x + 2 ) 3 sen 2    3x + 2 

3) y = cos3 ln ( 3x 2 + 5 x ) 

Solución →

y′ =

4) y = ln  cos3 ( 3x 2 + 5 x ) 

Solución →

y′ = −3 ( 6 x + 5 ) tg ( 3x 2 + 5 x )

Solución →

y′ =

→ Solución

y′ = Ln5 ⋅ 5

  1 + cos x  2  7) y = log  3      1 − cos x    

Solución →

y′ =

8) y = cotg 2 ( 3 x3 − 6 x )

Solución →

y′ = −2 cotg ( 3 x3 − 6 x )

Solución →

y′ =

2

 1 + sen x  5) y = 3    1 − sen x  6) y = 5

tg

(

x2 + 4 x

9) y = arc sen

2

)

(

x2 − 4x + 1

 3x 2 + 1  10) y =    4x 

)

( )

cos 3 x 4

Solución →

11) y = arc sen ( x 2 − 4 x + 1)

Solución →

 2x  12) y = arctg    3− x 

Solución →

13) y =

14) y = e

( )

tg e x

2

 1 arctg  π x     

4 cos x 1 + sen x 2 3 (1 − senx ) 3 1 − sen x tg

(

x2 + 4 x

Solución →

x+2 x 2 + 4 x ⋅ cos 2

(

x2 + 4x

)

−4senx −4 log e = log e 2 3senx 3 (1 − cos x ) 9 x2 − 6 sen 2 (3x 3 − 6 x)

x−2 − x + 8 x 3 − 17 x 2 + 4 x 4

y′ =

3 2x 3− x

(9 − x ) 2

Solución →

)

2    3x 2 + 1  4 3x − 1 + y′ =  −12 x 3sen ( 3x 4 ) Ln  cos 3 x ( ) ⋅ y  3 + 4 x 3 x x     x−2 y′ = 2 1 − ( x 2 − 4 x + 1) arc sen ( x 2 − 4 x + 1)

+1

cos ( 2 x + 1)

−18 x − 15 cos 2  Ln ( 3x 2 + 5 x )  ⋅ sen  Ln ( 3 x 2 + 5 x )  3x 2 + 5x

y′ =

2 xe x

y′ = −e

2

+1

( ) sen(2 x + 1) cos ( e )

cos(2 x + 1) + tg e x

2

+1

( ) cos(2 x + 1)

cos 2 e x  1 arctg  π x     

⋅

2

+1

1 x

Lnπ ⋅ π 2   x 2 1 + π x   

2

cos(2 x + 1)

x 2 +1