Contenido 1. Integrales Dobles 2. Integrales Triples

Integraci´on Contenido 1. Integrales Dobles 1.1. Integrales iteradas . . . . . . 1.2. Regiones en R2 . . . . . . . 1.3. Volumen . . . . . . . . . ....
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Integraci´on

Contenido

1. Integrales Dobles 1.1. Integrales iteradas . . . . . . 1.2. Regiones en R2 . . . . . . . 1.3. Volumen . . . . . . . . . . . 1.4. Volumenes bajo una funci´on 1.5. Centro de Masa . . . . . . . 1.6. Coordenadas Polares . . . . 1.7. Ejercicios varios . . . . . . .

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2 2 3 3 4 4 5 5

2. Integrales Triples 2.1. Evaluar las siguientes integrales . . . . . . 2.2. Regiones y cambio del orden de integraci´on 2.3. Volumen con triple integral . . . . . . . . . 2.4. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . 2.5. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . .

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7 7 7 8 8 9

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1

Integrales Dobles 1.1. Integrales iteradas Z

2

Z

1

Z

2

1

4.

Z

2

5.

Z

6.

Z

1.

1

2.

x2 y dy dx.

Z

x+1

Z

2y

Z

y−1

Z

x

π/6

Z

(3x + 2y) dy dx.

x3

(4x − y) dx dy.

y2

0

0

(x2 + y 2 ) dx dy.

−y−1

ey/x dy dx.

x3

1

0

7.

x

1−x

−1

3.



Z

(x cos y − y cos x) dy dx.

0 x

Z eZ 1

π/2

(ln x) dy dx.

0

1

Z

1

8.

Z

π/4

Z

sec x

9.

Z Z

π/4

Z

sen x

0

y

π/6

10.

(

π/6

1 ) dx dy. 1 + y2 (y + sen x) dy dx.

tan x

0

ey cos x dy dx.

Sugerencia: Evalu´e estas integrales de manera directa.

1.2. REGIONES EN R2

3

1.2. Regiones en R2 Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z 9Z 2 2 1. ey dy dx. 0

2.

2x

Z

1

Z

2

4

Z eZ 1

5.

Z

Z

0

sen x3 dx dy. y

y cos x2 dx dy.

y2

0

4.

3



0

3.

Z

Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on.

ln x

y dy dx.

0

8

Z

2 √ 3

y



y dx dy. 16 + x7

1.3. Volumen Dibujar el s´olido en el primer cuadrante acotado por las ecuaciones siguientes, y calcule su volumen. 1. x2 + z 2 = 9, y = 2x, y = 0, z = 0. 2. z = 4 − x2 , x + y = 2, x = 0, y = 0, z = 0. 3. 2x + y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0. 4. y 2 = z, y = x, x = 4, z = 0. 5. z = x2 + y 2 , 2x + 3y = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

Sugerencia: Use una integral doble.

´ 1.4. VOLUMENES BAJO UNA FUNCION

4

1.4. Volumenes bajo una funci´on Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z 1 Z 1−x2 1. (x2 + y 2 ) dy dx. x−1

−2

3−x2

2.

Z

1Z

3.

Z

4Z 1

4.

Z

4Z

2

5.

Z Z

π

sen x

0

0

3−x √ y

6.

0

25 − x2 − y 2 dy dx.

(x + y) dx dy.

y/4 y 1/3

Z

y 1/2

0

0

p

Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on y la gr´afica.

p ( x2 + y 2 ) dx dy.

3 dy dx.

−1

Z

dy dx.

0

1.5. Centro de Masa Encontrar el centro de masa de la l´amina con la forma de la regi´on acotada por las gr´aficas dadas y que tiene la densidad indicada. √ 1. y = x, x = 9, y = 0, ρ(x, y) = x + y. 2

2. y = e−x y = 0, x = −1, x = 1, ρ(x, y) = |xy|. 3. y = sen x, y = 0, x = 0, x = π, ρ(x, y) = y. 4. x = y 2 , y − x = 2, y = −2, y = 3, ρ(x, y) = 1. 5. xy 2 = 1, y = 1, y = 2, ρ(x, y) = x2 + y 2 .

Sugerencia: Aplicar la f´ormula.

1.6. COORDENADAS POLARES

5

1.6. Coordenadas Polares Cambie el orden de integraci´on y eval´ue la integral resultante. Z a Z √a2 −x2 2 2 1. e−(x +y ) dy dx. −a

0 √

2.

Z

aZ 2Z

x

3.

Z Z

1



0

1

4.

0

a2 −x2

(x2 + y 2 )3/2 dy dx.

0

x2

0

Z

1 dy dx. + y2

1−x2

Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on y la gr´afica.

√2 2 e x +y dy dx.

0

5. Calcular el volumen del s´olido que esta fuera del cilindro x2 + y 2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25. 6. Calcular el volumen del s´olido que se encuentra dentro del elipsoide 4x2 + 4y 2 + z 2 = 16, y fuera del cilindro x2 + y 2 = 1. 7. Calcular del volumen del s´olido acotado por el cono z = r, y por el cilindro r = 2 cos θ. 8. Calcular el volumen del s´olido acotado por el paraboloide z = 4r2 , el cilindro r = 3 sen θ y el plano z = 0.

1.7. Ejercicios varios 1. Evaluar la siguiente integral cambiando a coordenadas polares: y 2 + 1) dy dx.

Z

1

−1

Z



1−x2

√ − 1−x2

ln(x2 +

2. Halle el volumen del s´olido que se encuentra debajo del paraboloide z = x2 + y 2 y arriba de la regi´on delimitada por la recta y = 2x y la par´abola y = x2 . 3. Hallar el volumen del cuerpo en limitado por las superficies indicadas: a) z = x2 + y 2 , z = 1. b) x + y + z = 6, x2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0. c) 2x2 + 3y 2 + z 2 = 6, z = (2x2 + 3y 2 )1/2 , z ≥ 0.

4 4. Demuestre que el volumen de la esfera de radio r es πr3 . 3 1 5. Demuestre que el volumen del cono de altura h y radio r es πr2 h. 3

1.7. EJERCICIOS VARIOS

6. Demuestra usando la integral de arco que la longitud de la circunferencia de radio r es 2πr.

6

2

Integrales Triples 2.1. Evaluar las siguientes integrales Z

1

Z

2

2

3.

Z

3

4.

Z

1.

1

Z

x2

Z

x2

Z

3y

0

−1

2

2x

1+x

0

2.

Z

x+z

Z

x−z

Z

x+y

Z

yz

x dy dz dx.

z

Sugerencia: Dibuje la regi´on de integraci´on.

z dy dx dz.

x+z

1

0

Z

2x2 y dz dy dx.

0

(2x + y + z) dx dz dy.

1

2.2. Regiones y cambio del orden de integraci´on DibujeZ las regiones Q acotadas por las gr´aficas de las ecuaciones dadas y Z siguientes Z exprese f (x, y, z)dV , como una integral iterada de 6 maneras diferentes. Q

1. x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. 2. z = 9 − 4x2 − y 2 , z = 0. 3. 36x2 + 9y 2 + 4z 2 = 36. 4. x2 + y 2 = 9, z = 0, z = 2.

2.3. VOLUMEN CON TRIPLE INTEGRAL

8

2.3. Volumen con triple integral Dibujar la regi´on acotada por las siguientes gr´aficas y calcular su volumen con triple integral. 1. z + x2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0. 2. x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4. 3. y = 2 − z 2 , y = z 2 , x + z = 4, x = 0. 4. z = 4y 2 , z = 2, x = 2, x = 0. 5. y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 2,x = 0. 6. z = x2 + y 2 , y + z = 2. 7. z = 9 − x2 , z = 0, y = −1, y = 2.

Sugerencia: Usar un programa para gr´aficas las regiones.

8. z = ex+y , y = 3x, x = 2, y = 0, z = 0. 9. z = x2 , z = x3 , y = z 2 , y = 0. 10. y = x2 + z 2 , z = x2 , z = 4, y = 0.

2.4. Coordenadas cil´ındricas 1. Encontrar el volumen y el centro de gravedad del s´olido acotado por las gr´aficas de z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = 4, z = 0. 2. Encontrar el volumen y el centro de gravedad del s´olido acotado por las gr´aficas de x2 + y 2 − z 2 = 0, x2 + y 2 = 4. 3. Un s´olido homog´eneo est´a acotado por las gr´aficas de z = r, z = r2 . Encontrar: a) el centro de masa. b) el momento de inercia respecto al eje z. 4. Encuentre la masa del s´olido en forma de cono acotado por las gr´aficas de z = r y z = 4, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia de P al eje z.

Sugerencia: Usar nadas cil´ındricas.

coorde-

´ 2.5. COORDENADAS ESFERICAS

9

2.5. Coordenadas esf´ericas 1. Calcular el volumen del s´olido que est´a encima del cono z 2 = x2 + y 2 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4z. 2. Calcular el volumen del s´olido que esta dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y fuera del cono z 2 = x2 + y 2 . 3. Calcule la masa del s´olido que esta dentro de la esfera r = 2, suponiendo que la densidad en un punto P es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de P al centro de las esferas.

Sugerencia: Usar nadas esf´ericas.

coorde-

Integraci´on