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6. LEY DE OHM. REGLAS DE KIRCHHOFF

Objetivo Comprobar experimentalmente la ley de Ohm y las reglas de Kirchhoff. Determinar el valor de resistencias.

Material Tablero de conexiones, fuente de tensi´on continua, resistencias de valores comprendidos entre 22 Ω y 100 Ω, resistencias de valor desconocido, 3 amper´ımetros, volt´ımetro, circuito de dos mallas premontado.

Fundamento te´ orico Cuando en el interior de un material existen cargas libres, tal como los electrones en los materiales conductores, los movimientos de ´estas –debidos a la agitaci´on t´ermica– son obstaculizados por las interacciones con los iones positivos que forman la red cristalina del material, por lo que no existe transporte neto de carga el´ectrica. Para mantener una corriente el´ectrica en el interior de un conductor es necesario que las cargas libres superen la resistencia al movimiento debida a las interacciones con la red cristalina. Ser´a, pues, necesario establecer un campo el´ectrico en el conductor que, ejerciendo ~ sobre las cargas no ligadas, produzca un flujo neto de carga el´ectrica en el interior del una fuerza q E conductor (Figura 6.1). Dicho de otra manera, debe existir una diferencia de potencial ∆V entre los extremos a y b de la porci´on de conductor representada en la figura. Esta diferencia de potencial viene dada por V = Va − Vb = E ` (6.1)

Va

E

Vb I

a

l

b

Figura 6.1. Paso de corriente por un conductor Experimentalmente se observa que para la mayor parte de los materiales se cumple la ley de Ohm, que dice que la intensidad de corriente en un conductor es proporcional a la diferencia de potencial existente entre los extremos de ´este: 1 I= V, (6.2) R siendo R la resistencia el´ectrica, que depende de la conductividad γ del material y de su geometr´ıa (longitud ` y secci´on S) a trav´es de la expresi´on R = `/(γ S).

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En un circuito de corriente continua t´ıpico, un punto donde concurren m´as de dos hilos se conoce con el nombre de nudo, y todo subcircuito cerrado que puede recorrerse sin pasar dos veces por el mismo nudo es una malla. En un circuito as´ı se cumplen las siguientes reglas, conocidas como reglas de Kirchhoff: 1. Regla de los nudos: la suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo es igual a cero: ΣI = 0 (6.3) 2. Regla de las mallas: la suma algebraica de las variaciones de potencial en cualquier malla del circuito es igual a cero: Σε + ΣIR = 0 , (6.4) siendo ε la fuerza electromotriz (fem) suministrada por cada una de las baterias existentes a lo largo de la malla en cuesti´on. Para la aplicaci´on de estas dos leyes, conviene seguir una serie de criterios que damos a continuaci´ on: (a) Elegir arbitrariamente un sentido general de circulaci´on de la intensidad (horario o antihorario). (b) En cada rama del circuito (tramo entre dos nudos), asignar un valor a la intensidad, d´andole un sentido arbitrario. Si, al recorrer una malla, dicho sentido coincide con el sentido general de circulaci´on definido en el punto anterior, se tomar´a la intensidad de la rama como positiva. En caso contrario, se tomar´a como negativa. (c) Si en la malla elegida hay baterias, debemos considerar que las fem asociadas son positivas si la intensidad atraviesa la pila (seg´ un el sentido general de circulaci´on definido inicialmente) del polo positivo al negativo, y negativas en caso contrario. Supongamos que conocemos, de nuestro circuito, los valores de ε y R de todos los elementos que lo forman, y que desconocemos las intensidades que pasan por cada una de las ramas. Sea N el n´ umero de ramas de circuito. Tendremos, por tanto, N inc´ ognitas, y necesitaremos otras tantas ecuaciones. Para establecerlas, aplicaremos la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos de la red. Supongamos que el circuito tiene n nudos. Del conjunto de n ecuaciones obtenidas, s´olo n − 1 son independientes. Para determinar las N − (n − 1) ecuaciones restantes, seleccionaremos de la red precisamente este n´ umero de mallas, a las que aplicaremos la segunda ley, atendiendo al criterio de signos indicado anteriormente. Una vez conseguidas N ecuaciones con N inc´ ognitas, procedemos a resolver el sistema, de modo que si las intensidades resultantes salen positivas, el sentido dado inicialmente a las mismas ser´a el correcto, mientras que en caso contrario se deber´a cambiar el sentido elegido de las mismas en el correspondiente tramo.

M´ etodo experimental 1. Comprobaci´on de la ley de Ohm Monte el circuito de la Figura 6.2, utilizando la fuente de alimentaci´ on, el volt´ımetro, un amper´ımetro de 100 mA de fondo de escala y la resistencia R1 , de valor desconocido. Conecte la fuente de alimentaci´on y establezca, mediante los controles, una diferencia de potencial de 1,5 V entre los bornes

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de la resistencia. A continuaci´on cierre el interruptor y anote la intensidad de corriente que marca el amper´ımetro. Repita esta operaci´on para diversos valores de la diferencia de potencial proporcionadas por la fuente (1,5, 3,0, 4,5, 7,5 y 9,0 V ), y anote las medidas efectuadas en una tabla V-I.

ε -

ε

+

-

R1

+

A

A

V Figura 6.2. Ley de Ohm

R2

R

Figura 6.3. Medida de la resistencia

2. Determinaci´on del valor de una resistencia mediante la ley de Ohm Sobre el tablero de conexiones, monte el circuito de la Figura 6.3 utilizando la fuente de alimentaci´on, un amper´ımetro de 100 mA de fondo de escala, una resistencia R=22 Ω, y la resistencia desconocida R2 . Fijando el voltaje proporcionado por la fuente en 4.5 V, cierre el interruptor y anote la lectura de la intensidad de corriente que atraviesa el circuito, dada por el amper´ımetro. A continuaci´on abra el interruptor, y efect´ ue la misma operaci´on con R={33, 47, 68, 82, 100} Ω, anotando en una tabla R-I las medidas efectuadas (previamente tendr´a que identificar las resistencias enumeradas mediante el c´odigo est´andar de colores). 3. Comprobaci´on de las reglas de Kirchhoff Conecte los tres amper´ımetros al circuito premontado que encontrar´ a entre el material de la pr´actica. Cerrando los dos interruptores simult´aneamente, anote las intensidades que pasan por cada una de las tres ramas del circuito (si el indicador de alguno de los amper´ımetros tiende a marcar en sentido contrario al positivo de la escala, significa que la polaridad del aparato se ha de invertir).

Resultados

1. Comprobaci´on de la ley de Ohm Represente gr´aficamente los valores de la intensidad, I, frente a los de la diferencia de potencial, V. Calculando la recta de regresi´on para estos valores determine el valor de la resistencia R1 . 2. Determinaci´on de una resistencia mediante la ley de Ohm Construya una gr´afica de 1/I frente a los valores de la resistencia R. Mediante una regresi´on lineal, determine los valores de la la resistencia desconocida R2 y de la diferencia de potencial V existente entre los extremos de las resistencias R2 + R.

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3. Comprobaci´on de las reglas de Kirchhoff Compruebe la validez de la regla de los nudos para el circuito examinado. Utilizando la regla de las mallas y las intensidades medidas, determine los par´ametros desconocidos (resistencias y diferencias de potencial) del circuito.