Corporate Technology
Clevere Entscheidung – Mathematik in Produktion und Logistik Johannes Nierwetberg
Copyright © Siemens AG 2008. Alle Rechte vorbehalten.
Mathematik bei Siemens – der Konzerngründer Werner von Siemens vor mehr als 150 Jahren in einem Brief an seinen Bruder Wilhelm:
„Ohne Mathematik tappt man doch immer im Dunkeln.“
Werner von Siemens (1816-1892) Seite 2
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Inhalt
Siemens Corporate Technology
Mathematiker bei Siemens
Mathematische Optimierung – eine Entscheidungswissenschaft
Clevere Entscheidungen in Produktion und Logistik
Fazit
Seite 3
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Corporate Technology Vernetzung des integrierten Technologiekonzerns Siemens Kunden Chief Technology Officer (CTO)
Sektoren / Divisions Energy
Industry
Healthcare Regionen
Innovationskraft absichern
Siemens IT Solutions and Services (SIS)
Chief Technology Office (CT O) Direkte CTO Unterstützung
Corporate Research and Technologies (CT T) Globale Technologiefelder mit multipler Wirkung
Corporate Intellectual Property and Functions (CT I) Schutzrechtsstrategie Umweltschutz
Corporate Technology (CT) Seite 4
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematiker bei Siemens Industry
~900 Mathematiker allein in Deutschland bei Siemens beschäftigt verteilt quer über alle Sektoren des Siemens Geschäftes Schwerpunkte: zentrale Forschungsabteilung Corporate Technology (CT) Siemens IT Solutions and Services (SIS) Siemens Financial Services (SFS) Aufgaben: Entwicklung und Anwendung von neuen Algorithmen für robustes Design von Produkten optimale Wertschöpfungsketten Wirtschaftsmathematik u.v.a.m.
Energy
Healthcare
Seite 5
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematiker bei Siemens – was bringen neue Rechenverfahren / Algorithmen 108
Relative Speedup
Full MG
106
CG Optimal SOR
104
Moore‘s Law
Gauss-Seidel
Die Entwicklung leistungsfähiger Rechenverfahren beschleunigt wissenschaftliches Rechnen im gleichen Maße wie der Fortschritt in der Hardware (Moore‘sches Gesetz) . Beschleunigung über 35 Jahre:
102
um Faktor 1014 = 107 * 107 Alg. HW
Banded GE
100 0
5
10
15
20 Year
25
30
35
Quelle: Reproduziert nach Original-Grafik aus: „A SCIENCE-BASED CASE FOR LARGE-SCALE SIMULATION”, Office of Science, US Department of Energy, July 2003 Problemstellung: Solution of the electrostatic potential equation on a uniform cubic grid of n × n × n cells. Methoden: GE: Gauss-Elimination, SOR: Successive OverRelaxation, CG: Conjugated Gradient, MG: Multi Grid
Seite 6
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematik in Produktion und Logistik – einige wesentliche Angriffspunkte
MANAGEMENT DER VERSORGUNGSKETTE
Optimierende Beschaffung Planung Planung
Planung
Produktportfolio Managem.
Herstellung
Lieferung
Definition Realisierung Robustes Design
Einsatz
Retouren
Auslauf
MANAGEMENT DES PRODUKT-LEBENSZYKLUS
Seite 7
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematische Optimierung – eine Entscheidungswissenschaft Allgemeine Optimierungsaufgabe minimiere
( Zielfunktion )
Y = f (X)
unter den Nebenbedingungen:
gi (X)
=
0 für i = 1, ….., n ( Restriktionen )
X ∈ Rn+, X ∈ Zn+ oder X ∈ Bn
( Entscheidungsvariablen )
ACHTUNG: immer ist entspricht es möglich, die Optimierungsaufgabe Eine zulässigeNicht Entscheidung einer Auswahl von X derart, ACHTUNG exakt, d.h. optimal, zu lösen. In solchen Fällen suchen dass alle Restriktionen erfüllt werden. Eine optimale wir Entscheidung eine gute und X* ist zulässige zulässigLösung und minimiert (heuristisch). Y.
Seite 8
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematik in Produktion und Logistik – robustes Design
MANAGEMENT DER VERSORGUNGSKETTE
Optimierende Beschaffung Planung Planung
Planung
Produktportfolio Managem.
Herstellung
Lieferung
Definition Realisierung Robustes Design
Einsatz
Retouren
Auslauf
MANAGEMENT DES PRODUKT-LEBENSZYKLUS
Seite 9
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Robustes Design – ein Beispiel aus der Praxis
Um den Wirkungsgrad einer Gasturbine in der Energieerzeugung zu maximieren, ist das Design der Turbinenschaufeln von großer Bedeutung. Wichtig ist dabei, dass die Turbine einen hohen Wirkungsgrad auch bei unterschiedlichen Betriebszuständen zuverlässig erreicht.
Die mit 340 Megawatt Leistung größte Gasturbine der Welt steht im oberbayerischen Irsching. In Kombination mit einer nachgeschalteten Dampfturbine trägt sie dazu bei, dass ein Gas- und Dampfturbinen-Kraftwerk ab 2011 mit über 60 Prozent auch einen neuen Weltrekord beim Wirkungsgrad aufstellen wird.
Seite 10
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Robustes Design – ein Beispiel aus der Praxis
Die Bedingungen in der Brennkammer einer Gasturbine sind nicht immer gleich. Schwankende Gaszusammensetzungen, Temperaturen sowie Bauteiltoleranzen haben große Auswirkungen auf die beste Geometrie der Schaufel. Genau diese Schwankungen berücksichtigt ein mathematischer Optimierungsansatz. Er rechnet ihre Wirkungen mit ein und macht so eine optimale Auslegung möglich. Dieser Ansatz wird als RoDeO – Robust Design Optimization – bezeichnet. Robuste Optimierung führt hier zu einem zuverlässig hohen Wirkungsgrad der Turbine und damit auch zu geringeren Emissionen. Seite 11
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Robustes Design – worum geht es?
Y=f(X)
X
System f
Y Var 1
Var 2
X Y=f(X)
Seite 12
2008-10-21
System f: techn. System Parameter X: Lösungsvariablen Antwort Y: „Kosten“
© Siemens AG, Corporate Technology
Robustes Design – worum geht es?
Y=f(X)
X* X
System f
Y* Y
Yacc Y*
Var 1
Var 2
X X*
Y* = f ( X* )
Seite 13
2008-10-21
Entscheidung für eine Variante Wähle : X* derart, dass Y* = f (X* ) minimal wird Restriktion: Y darf Yacc zu keiner Zeit überschreiten © Siemens AG, Corporate Technology
Robustes Design – worum geht es?
Y=f(X)
X* ξ X*+
System f
Y‘ ψ Y* Y*+
Y*+ψ Yacc Y*
Var 1
Var 2 X*-ξ X*+ξ
X
X*
Y*+ ψ = f ( X*+ξ ) Abweichung minimale Antwort
Seite 14
2008-10-21
Fluktuation
Fluktuationen in den Eingangsgrößen führen ggf. zu einer Abweichung vom deterministischen Minimalwert.
© Siemens AG, Corporate Technology
Seite 15
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematik in Produktion und Logistik – optimierende Planung von Lieferungen
MANAGEMENT DER VERSORGUNGSKETTE
Optimierende Beschaffung Planung Planung
Planung
Produktportfolio Managem.
Herstellung
Lieferung
Definition Realisierung Robustes Design
Einsatz
Retouren
Auslauf
MANAGEMENT DES PRODUKT-LEBENSZYKLUS
Seite 16
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen
Intelligente Transportplanung ist nicht nur wirtschaftlich sondern auch unter Umweltgesichtspunkten wichtig.
Seite 17
2008-10-21
Häufig werden die Lieferungen für eine bestimmte Region von einem passenden Depot / Distributionszentrum abgewickelt. Um die Lieferungen möglichst effizient zu gestalten, müssen die notwendigen Touren optimal geplant werden. Optimal bedeutet zum Beispiel • die Summe der dazu notwendigen Fahrtkilometer soll minimal werden Konsequenzen daraus • weniger Kosten • weniger Umweltbelastungen
© Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen
BEDARF Entscheidung: Erstelle einen Tourenplan mit möglichst wenigen Fahrtkilometern.
KUNDEN
DEPOT
Seite 18
2008-10-21
BEDARF
Restriktion: Die Transporter haben eine beschränkte Ladekapazität. Bei der Tourenplanung muss diese Beschränkung natürlich berücksichtigt werden. © Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen Erster Schritt: Plane eine optimierte Rundreise über alle Kundenstandorte. Optimiert ÍÎ kleinste Summe der Fahrtkilometer im Straßennetz
Seite 19
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen Zweiter Schritt: Zerlege die Rundreise möglichst geschickt in solche Anteile, dass die Kapazitätsgrenzen der Lieferwagen eingehalten werden.
Seite 20
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen Dritter Schritt: Plane für jede einzelne Tour die kürzeste Strecke im Straßennetz (Routing).
Seite 21
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Lieferung von Gütern zum Endkunden – optimierende Planung von Lieferungen Eine Zoom-Darstellung zeigt, dass die gewählten Routen tatsächlich auf dem Straßennetz liegen.
Seite 22
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematik in Produktion und Logistik – optimierende Planung der Herstellung
MANAGEMENT DER VERSORGUNGSKETTE
Optimierende Beschaffung Planung Planung
Planung
Produktportfolio Managem.
Herstellung
Lieferung
Definition Realisierung Robustes Design
Einsatz
Retouren
Auslauf
MANAGEMENT DES PRODUKT-LEBENSZYKLUS
Seite 23
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Terminologie Bestücklinie
6
6
Bestückautomaten
6
6
12
12
12
12
Menge von Jobs Aufstellung der Bauteile
Förderbereich
LP-Typ
Anzahl
LP1 LP5 LP3 LP7 .. .
150 20 900 70 .. .
Job
Bestückköpfe Zyklus: Aufnehmen und Setzen von 20/12/6/2/1 Bauteilen
Bestückposition (Bauteil, Ort) Leiterplatte
Seite 24
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Bestückautomaten
Seite 25
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Bestückung von Leiterplatten
Seite 26
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Optimierungsaufgaben im Überblick: Ziel ist maximaler Durchsatz Fertigungsdauer
Gruppierung und Sequenzbildung
Menge von Jobs B A D F CE
AD
B E C
F
Rüstzeiten
Austaktung der Bestücklinie 6 6
12
6
12
12
6
12
Pipettenauswahl
Bestückreihenfolge Seite 27
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl Vorgegeben je Bestückkopf: • Anzahl der Pipetten • Menge an Arbeit (Liste von Bauteiltypen und jeweilige Anzahlen) • zulässige Zuordnungen von Bauteilen zu Pipetten Entscheidung: Wähle die • Pipetten und die • Zuordnung von Bauteilen zu Pipetten derart, dass die Anzahl für das Setzen benötigter Zyklen minimal wird.
Bauteiltypen
Pipettentypen
10
1
5
2
1
9
3
2
1
4
3
10
5
35
Revolverkopf mit 12 Segmenten
Kann man alle Komponenten in 3 Zyklen setzen? Wenn ja, wie? Seite 28
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl in Matrixdarstellung Pipettentyp
Bauteiltyp Anzahl
10
6
20
4
30
2
2
10
0
5
Restriktion ≤12 SpaltenSegmente summe
Seite 29
1
2008-10-21
=10
=5
3
4
5
Zyklen z
10
20/6 = 3,33 Îz=4 10/4 = 2,5 Îz=3
5
4
1
=9
=1
5/2 = 2,5 Îz=3
=10
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl in Matrixdarstellung Pipettentyp p
Bauteiltyp c Anzahl y(p)
1
2
3
4
5
Zyklen z
(Σ x(c,1))/y(1)
10
y(1)
X(1,1)
X(2,1)
X(3,1)
X(4,1)
X(5,1)
20
y(2)
X(1,2)
X(2,2)
X(3,2)
X(4,2)
X(5,2)
30
y(3)
X(1,3)
X(2,3)
X(3,3)
X(4,3)
X(5,3)
Restriktion Spaltensumme
≤s
=n(1)
=n(2)
=n(3)
=n(4)
=n(5)
Seite 30
2008-10-21
(Σ x(c,2))/y(2)
(Σ x(c,2))/y(3)
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl als Ganzzahliges Programm
Minimiere z
Zyklenanzahl
∑
x(c,p) = n(c)
für alle Bauteiltypen c (Spaltenbedingung)
∑
x(c,p) ≤ z •y(p)
für alle Pipettentypen p (Zeilenbedingung)
p
c
∑ y(p) ≤ s
höchstens s Pipetten
p
x,y,z ≥ 0, ganzzahlig
Seite 31
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl als Ganzzahliges Programm
Minimiere z
er g Zyklenanzahl g i t r n
era Lösu d de r die 5 n e n x(c,p) = n(c)aus eifür Bauteiltypen c o fü alle v e T p b k an ind n, wo h(Spaltenbedingung) r s c g en e s r n t s i u h fa n d z u l ö e Ze . r e e t in e nwx(c,p) sv s e i m g A s ≤ z •y(p) für alle Pipettentypen p e n n l n e m u b t e i l e s o l ö re ea c gspr rob L h r c (Zeilenbedingung) r s P e n rs le l e In d imieru elnen unte hn u c t z z s p n O ei den hr s e e y(p) ≤ s höchstens s Pipetten n s n i e i n i se ku e p l l i en g i M t nö e x,y,z ≥ 0, ganzzahlig b wir Î
∑
∑
∑
Seite 32
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl Î Speed-it-up Pipettentyp p
Bauteiltyp c Anzahl y(p)
1
2
3
4
5
Zyklen z
(Σ x(c,1))/y(1)
10
y(1)
X(1,1)
X(2,1)
0
0
X(5,1)
20
y(2)
0
X(2,2)
X(3,2)
0
0
30
y(3)
0
0
X(3,3)
X(4,3)
0
Restriktion Spaltensumme
≤s
=n(1)
=n(2)
=n(3)
=n(4)
=n(5)
(Σ x(c,2))/y(2)
(Σ x(c,2))/y(3)
Spaltenvertauschung 5 Î 1 Î 2 Î 3 Î 4 Î 5 Seite 33
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl Î Speed-it-up Pipettentyp p
Bauteiltyp c Anzahl y(p)
5
1
2
3
4
Zyklen z
(Σ x(i,1))/y(1)
10
y(1)
X(5,1)
X(1,1)
X(2,1)
0
0
20
y(2)
0
0
X(2,2)
X(3,2)
0
30
y(3)
0
0
0
X(3,3)
X(4,3)
Restriktion Spaltensumme
≤s
=n(5)
=n(1)
=n(2)
=n(3)
=n(4)
(Σ x(i,2))/y(2)
(Σ x(i,2))/y(3)
die für jeden Pipettentyp möglichen Bauteile bilden eine Sequenz ohne „Löcher“. Seite 34
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl Î Speed-it-up n e d e i Bauteiln d für je a e Pipetten5 1 kann 2mass di o3hne 4 typ c typ p d le – nen, quenz Anzahl y(p) l ä be F a d e r r g e s o o ne S uf bei d a i % e gs , wo e n l 97 abelleX(1,1) i u 10 y(1) ca.X(5,1) X(2,1) 0sen 0 r e t e i u T h a m kt l ö in der i c t i B l – p O exa ög ns n in lichen e m e r t t is type g se hren e ic h ö n n l u M tei m a ng . yp en.0 t sich 0 Verf X(2,2) nX(3,2) u y(2) t u a 20 0 n B g e d . n s d t r l n t n s e i o l u e l e ä b Pip her“ Fall l chne inhalt ie Um e Lös s c „Lö iesem sehr nke e , wo d istisch d m 0chra älle0n heur 0 e n 30In y(3) X(3,3) X(4,3) ei Zeits n F e t n i e ei m die n r i e t i r n s el e n w w e Restriktion nd d e In rw =n(1) =n(2) =n(3) =n(4) Spalten≤ sst, ve =n(5) i
Zyklen z
(Σ x(i,1))/y(1)
(Σ x(i,2))/y(2)
(Σ x(i,2))/y(3)
summe
die für jeden Pipettentyp möglichen Bauteile bilden eine Sequenz ohne „Löcher“. Seite 35
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Pipettenauswahl - Beispielergebnis
Pipettentyp p
Bauteiltyp c Anzahl y(p)
5
1
2
3
4
Zyklen z
10 y(1)=8
10
10
4
0
0
3
20 y(2)=3
0
0
1
8
0
30 y(3)=1
0
0
0
1
1
=10
=10
=5
=9
=1
Restriktion Spaltensumme Seite 36
≤ 12
2008-10-21
3
2
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Berechnung der Bestückreihenfolge Vorgegeben: für jeden Bestückkopf • eine Anzahl von Bestückpositionen, die der Kopf bearbeiten soll Entscheidung: für jeden Bestückkopf • Pipettenauswahl und –anordnung • die Bestückreihenfolge, sodass die Dauer der Bestückung minimiert wird
Kopf
Bestückpositionen
Restriktionen: • berücksichtige, dass sich der Bestückkopf nur in einer Richtung drehen kann. Seite 37
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Berechnung der Bestückreihenfolge Ein alter Bekannter – gelobt sei die mathematische Abstraktion
Bestückpositionen
So ein Bestückkopf ist ja eigentlich auch nur ein Lieferwagen, der unterschiedliche Produkte der Reihe nach an unterschiedliche Kunden liefert
Seite 38
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Elektronikfertigung – Berechnung der Bestückreihenfolge
Bestückpositionen 1. Zyklus
2. Zyklus
Seite 39
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Fazit
Der Einsatz der Mathematik hilft uns in Produktion und Logistik, Entscheidungen zu treffen, die wirklich clever sind, weil sie beispielsweise hohe Effizienz von Anlagen sicherstellen, Umweltbelastungen minimieren Zeit und Geld sparen.
Seite 40
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
Mathematik – eine Schlüsseldisziplin für Industrienationen „Der große Astronom und Mathematiker Johannes Kepler sagte einmal: „Die Mathematik befriedigt den Geist durch ihre außerordentliche Gewissheit.“ In einer globalisierten Welt, die zunehmend komplexer und dynamischer wird, ist es gut zu wissen, womit man rechnen kann!“
Peter Löscher: „Ohne Mathematik tappt man doch immer im Dunkeln“, in: Greuel; Remmert; Rupprecht (Hrsg.) : „Mathematik – Motor der Wirtschaft“; Springer, 2008
Peter Löscher Seite 41
2008-10-21
© Siemens AG, Corporate Technology
