Circuitos Eléctricos I
VI
Circuitos de Primer Orden
Circuitos de Primer Orden
Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RL y RC o Demostrar la importancia de la constante de tiempo de un circuito de primer orden. o Medir la constante de tiempo de un circuito RC o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de primer orden o Discutir la respuesta de un circuito de primer orden a una función impulso, pulso y tren de pulsos. Introducción En este capítulo haremos un análisis transitorio de los circuitos de primer orden, el cual incluye un examen y descripción del comportamiento de un circuito como función del tiempo después que ocurre un cambio súbito en el circuito debido a la apertura o cierre de interruptores. Como existe un elemento almacenador de energía en el circuito, la respuesta del circuito a un cambio súbito experimentará un periodo de transición antes de estabilizarse en un valor de estado estable. Uno de los parámetros importantes en el análisis transitorio de estos circuitos es la constante de tiempo, porque nos indica que tan rápido responderá el circuito antes los cambios. 6.1
Ecuación básica de los circuitos de primer orden
Antes de entrar en materia vamos a recordar dos características importantes de los elementos almacenadotes de energía que vimos en el capítulo anterior, que son necesarios para poder resolver los problemas de los circuitos de primer orden. En los problemas de circuitos de primer orden los cambios se dan al cerrar o abrir uno o varios interruptores, entonces vamos a considerar tres tiempos, primero el tiempo justamente antes de darse el cambio y lo vamos a llamar t = 0-, el tiempo cuando se da el cambio, lo vamos a llamar t = 0, y el tiempo justamente después de haberse dado el cambio, que lo vamos a llamar t = 0+. A esto le llamamos Condiciones iniciales del circuito. Una de las características dice que el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente. Esto quiere decir que: vc(t = 0-) = vc(t = 0) = vc(t = 0+) Para el caso del inductor, es la corriente que no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que: 161
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il(t = 0-) = il(t = 0) = il(t = 0+) Otra de las características dice que el capacitor en estado estable, se comporta como un circuito abierto de CD, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0V o tomar un valor constante. Para el caso del inductor en estado estable, éste se comporta como un corto circuito de CD, lo que quiere decir que la corriente puede ser 0A o tomar un valor constante. Comenzaremos nuestro estudio con un ejemplo. Ejemplo 6.1.1 Para los dos circuitos mostrados en la Figura vs 6.1.1 encontraremos la ecuación diferencial que define los circuitos de primer orden.
Rs
1
2
C
+ vC(t) -
(a)
Rs iL(t) R vs
L
R
(b)
Figura 6.1.1
Solución: Par el circuito de la Figura 6.1.1.a vamos a suponer que el interruptor se encuentra en la posición 2 (Figura C 6.1.2.a) y para el caso de la Figura 6.1.1.b que el interruptor esta abierto como se muestra en la Figura 6.1.2.b. En el caso del circuito con capacitor encontraremos la ecuación en función del voltaje del capacitor y en caso del circuito con el inductor encontraremos la ecuación en función de la corriente del inductor.
+ vC(t) -
iL(t) R L
(a)
R (b)
Figura 6.1.2
Para el caso del capacitor aplicaremos LKC para encontrar el voltaje del capacitor Como son elementos pasivos la corriente debe ir hacia abajo para ambos, entonces: iC + iR = 0 y sustituimos en función del voltaje del capacitor
dvC (t ) vC (t ) + = 0 que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura dt R 6.1.1.a y se le llama de primer orden porque obedece a una ecuación diferencial de primer orden. C
Pudimos haber aplicado LKV a la malla del circuito y veremos que se obtiene el mismo resultado.
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Como el capacitor es un elemento pasivo la corriente circula del potencial más alto al potencial más bajo, entonces: vC = vR, pero como la corriente del capacitor pasa por la resistencia del potencial más bajo al potencial más alto, entonces el voltaje de la resistencia será negativo, así: vC = -iC(R), entonces ordenando, iC + (vC/R) = 0, por lo tanto:
C
dvC (t ) vC (t ) + = 0 , que es la misma ecuación que obtuvimos anteriormente. dt R
Para el caso del inductor, aplicaremos LKV malla que tenemos: vL + vR = 0., sustituyendo en función de la corriente del inductor, obtenemos:
di L (t ) + R i L (t ) = 0 , que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura dt 6.1.1.b L
También pudimos haber aplicado LKC y llegamos al mismo resultado, veamos: iL + iR = 0, pero la corriente en el resistor es el voltaje del inductor entre R, entonces: iL + vL/R = 0, así reordenando obtenemos:
L
di L (t ) + R i L (t ) = 0 , que es la misma ecuación obtenida anteriormente. dt
Si observamos ambas ecuaciones son similares y podemos escribir las ecuaciones de respuesta en forma general como sigue: dx (t ) + a x(t ) = 0 , donde a = 1/RC para el caso del circuito con capacitor y a = R/L para el dt caso del circuito con el inductor. vC(t)
Si para el caso de la Figura 6.1.1.a el interruptor estuviera pasando de la posición VO 1 a la posición 2 con una frecuencia determinada, el capacitor se estuviera cargando en un sentido y descargando en el otro, como puede ser visto en la Figura 6.1.3. Ya veremos como se da eso. Lo 0 mismo puede ser dicho para el caso del inductor.
163
Tiempo de descarga
Tiempo de carga
Figura 6.1.3
t
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Solución de la ecuación diferencial de primer orden
Para el caso más general vamos considerar que la ecuación diferencial de respuesta de los circuitos de primer orden es de la forma: dx (t ) + a x(t ) = f (t ) , donde f(t) puede ser cualquier función. dt
El teorema fundamental de ecuaciones diferenciales nos dice que, la respuesta a esta ecuación consistirá de de dos soluciones: x(t) = xp(t) + xc(t) Donde xp(t) se le llama solución particular integral o respuesta forzada y xc(t) se le llama solución complementaria o respuesta natural. En este momento nos vamos a limitar a la situación en que f(t) es igual a una constante, f(t) = A, entonces la solución general a la ecuación diferencial de primer orden consiste de dos partes que se obtienen resolviendo las dos ecuaciones siguientes: dx p (t ) dt
+ a x p (t ) = A (1)
y
dxc (t ) + a xc (t ) = 0 (2) dt
Comenzaremos resolviendo la primera ecuación: es razonable suponer que la solución a xp(t) también sea una constante, así vamos a suponer que xp(t) = K1, entonces vamos sustituir dicho valor en la ecuación diferencial (1)
dK1 + a K 1 = A , como la derivada de una constante es cero, entonces obtenemos que: dt K1 = A/a y así obtenemos la respuesta forzada: xp(t) = K1 = A/a Solo nos resta encontrar la respuesta natural, para ello vamos a rescribir la ecuación diferencial de la siguiente manera:
dxc (t ) = −a dt , aplicando la integral a ambos lados de la ecuación: xc (t )
∫
dxc (t ) = −a ∫ dt , resolviendo a ambos lados xc (t )
ln xc(t) = -at + C donde C es una constante, y por tanto podemos escribirla de la siguiente forma: ln xc(t) = -at + ln K2 entonces 164
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ln xc(t) - ln K2 = -at, por propiedades de logaritmo, podemos hacer: ln (xc(t)/ K2) = -at y aplicando el antilogaritmo a esta expresión y despejando para xc(t), obtenemos: xc(t) = K2℮-at obteniendo de esta forma la respuesta natural, por tanto la solución completa a la forma general de la ecuación diferencial será: x(t) = K1 + K2℮-at, esta solución será cuando f(t) = A = constante. La constante K2 puede encontrarse si se conoce en un instante de tiempo el valor de la variable independiente x(t). Debemos de estar consciente de que si f(t) = 0 sólo habrá respuesta natural, no habrá respuesta forzada y la solución será: x(t) = K2℮-at Al inverso de la constante a, se le llama Constante de Tiempo y se designa por τ, donde τ = 1/a y tiene unidades tiempo (segundos). Para el circuito RC, τ = RC, para el circuito RL, τ = L/R. Así la solución puede expresarse como: x(t) = K1 + K2℮-t/τ.
xc(t)= K2℮ -t/τ
Donde K1 es la solución de estado estable τ: es la constante de tiempo y
0.368K2
-t/τ
K2℮ es una exponencial decreciente, si τ > 0 entonces dicha exponencial valdrá:
0
K2 para t = 0 y 0 para t = ∞
τ1
τ2
τ3
t
τ4
Figura 6.2.1
Podemos mostrar el comportamiento de la expresión K2℮-t/τ para valores de t = nτ Para
t = 1τ, la expresión toma el valor de 0.368K2 t = 2τ, la expresión toma el valor de 0.135K2 t = 3τ, la expresión toma el valor de 0.050K2 t = 4τ, la expresión toma el valor de 0.018K2 t = 5τ, la expresión toma el valor de 0.0067K2
En la Figura 6.2.1 se muestra ésta expresión en función del tiempo
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Para una constante tiempo pequeña entonces xc(t)= ℮ -t/τ la respuesta será rápida, es decir el circuito se reestablece rápidamente a un valor de 1 estado estable. Si la constante de tiempo es grande entonces la respuesta será lenta y se requerirá más tiempo para que el circuito se restablezca o alcance el estado estable. Esto se puede observar en la Figura 6.2.2
τ = 4s
τ = 0.5s
0.2
0 t La respuesta transitoria es una respuesta τ1 τ2 τ3 τ4 temporal que desaparece con el tiempo. Figura 6.2.2 Podemos decir que para cualquier caso, la respuesta del circuito esencialmente alcanza el estado estable en 5τ. La respuesta de estado estable es la que existe largo tiempo después de cualquier operación de conmutación
6.3
Respuesta Natural de Circuitos de Primer Orden
El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor-capacitor (RC) o resistor-inductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes dependerá únicamente de la energía inicial almacenada en el elemento de almacenamiento de energía. Puesto que la respuesta solo depende de la naturaleza del circuito RC o RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural. Como en la sección anterior ya encontramos la respuesta natural al circuito de primer orden, explicaremos el análisis de estos circuitos con varios ejemplos. Ejemplo 6.3.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.1 suponga que el interruptor ha esta en la VS posición 1 por largo tiempo, en t = 0 el 12V interruptor se mueve a la posición 2. Deseamos calcular la corriente i(t) para t > 0.
t=0
1 2
R1 i(t)
6K C
100µF
R2 3K
Figura 6.3.1 Solución:
1
R1
v(t)
i(t) Para comenzar nuestro análisis, siempre se 6K 2 R2 debe calcular el valor del voltaje del VS C 100µF 3K 12V capacitor, si el circuito es RC o el valor de la corriente del inductor si el circuito es RL y luego con ese valor, poder calcular el valor de la variable que nos están pidiendo. Como Figura 6.3.2 necesitamos determinar la corriente i(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.3.2.
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Para poder calcular i(t) necesitamos encontrar el voltaje del capacitor v(t) para t > 0 y luego aplicando la ley de Ohm podemos calcular i(t) como: i(t) = v(t) / R2 Entonces procederemos a encontrar el voltaje del capacitor v(t) aplicando LKC al nodo de arriba, así: v(t ) dv (t ) v(t ) +C + = 0 , usando los valores de los componentes y reacomodando, R1 dt R2 tenemos: dv (t ) + 5v(t ) = 0 , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la dt respuesta es natural y su solución es: v(t) = K2℮-t/τ
Si observamos la ecuación diferencial el a = 5, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/a = 1/5 = 0.2 s. 6K Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos 12V el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.3
+ vC(0-) -
3K
Figura 6.3.3
En t = 0- el capacitor está totalmente cargado y no conduce corriente por estar en estado estable, ya que éste actúa como un circuito abierto de CD. Si observamos el circuito el voltaje vc(0-) es el mismo que el voltaje entre las terminales del resistor de 3KΩ y como tenemos una sola malla, podemos hacer uso del divisor de voltaje, así v c (0 − ) =
3K (12) = 4V 3K + 6 K
Por lo tanto vc(0+) = 4V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = K2℮-0 = 4, así K2 = 4 entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v(t) = 4℮-t/0.2 por lo tanto podemos encontrar el valor de la corriente pedida, así: i (t ) =
v(t ) 4 -t/0.2 = e mA R2 3
167
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Si dibujamos dicha corriente, el resultado sería como el mostrado en la Figura 6.3.4
i(t) mA 4/3
Ejemplo 6.3.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.5, el interruptor ha estado en estado estable antes de abrirse en t = 0, encuentre la corriente i(t) para t > 0, si R1 = 3Ω y R2 = 2Ω. t=0
1H
0
Figura 6.3.4
t
R1
L3 18V
R2 i
L1 5H
L2 20H
Figura 6.3.5 Solución:
5H
Como nos piden la corriente i(t) para t > 0, entonces debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, pero como existen varios inductores, debemos reducirlo a un 18V equivalente, como es mostrado en la Figura 6.3.6 Leq = L3 + (L1||L2) = 1 + (5||20) = 1 + 4 = 5H
3Ω
2Ω i
Figura 6.3.6
Ahora podemos aplicar la LKV para encontrar la ecuación diferencial que define el circuito, así: L
di (t ) + ( R1 + R2 )i (t ) = 0 , sustituyendo valores y reacomodando, obtenemos: dt
di (t ) + i (t ) = 0 , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la dt respuesta es natural y su solución es:i(t) = K2℮-t/τ
Si observamos la ecuación diferencial el a = 1, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/1 = 1/1 = 1s. i(0-) Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de 18V i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.7 168
2Ω
3Ω
Figura 6.3.7
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En t = 0- el inductor está totalmente cargado por estar en estado estable, ya que éste actúa como un corto circuito de CD. Si observamos el circuito la corriente i(0-) se puede calcular aplicando la ley de Ohm, así, i(0-) = 18/3 = 6A Por lo tanto i(0+) = 6A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 i(0) = K2℮-0 = 6, así K2 = 6 entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i(t) = 6℮-t A
6.4
Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Primer Orden
En una sección de la solución a la ecuación diferencial, describimos la respuesta forzada a una función constante y asumimos que la respuesta también sería constante, ahora consideraremos circuitos en los cuales, la ecuación diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta completa de los circuitos de primer orden. Estudiaremos algunos ejemplos. 2H
2Ω
Ejemplo 6.4.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.1, el interruptor se abre para t = 0. Encontremos el voltaje de salida vo(t) 12V para t > 0
t=0
+
2Ω
2Ω
vo(t) -
4V
Solución: Figura 6.4.1
Como necesitamos determinar el voltaje de salida vo(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.4.2 Para encontrar el voltaje de salida vo(t), debemos obligatoriamente encontrar la corriente del inductor i(t) para t > 0 y luego aplicar la ley de Ohm para encontrar el voltaje de salida:
2H
2Ω
+ 12V
2Ω
2Ω
vo(t) -
4V
Figura 6.4.2
vo(t) = i(t) (2Ω) 169
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Procedemos entonces a encontrar la corriente del inductor i(t), para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, así di (t ) + R3 i (t ) , dt reacomodando, se obtiene: VS 1 = R1i (t ) + L
sustituyendo
los
valores
de
los
componentes
y
di (t ) + 2 i (t ) = 6 dt
Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: i(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 2, así τ = 1/a = ½ = 0.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos i(t) por K1 en la ecuación diferencial, así:
dK1 + 2 K1 = 6 , entonces obtenemos que K1 = 3, o bien tomamos la definición que: dt K1 =
A 6 = =3 a 2
i(0-)
2Ω
Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad 12V del corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.4.3
+ 2Ω
2Ω
vo(0-) -
4V
Figura 6.4.3 En t = 0- el circuito esta en estado estable y la bobina actúa como un corto circuito de CD. El inductor se encuentra cargado a una corriente constante y para encontrar su valor podemos hacer uso de cualquier método, antes estudiado. Haremos uso del teorema de Thévenin para encontrar el valor de i(0-), y nos auxiliaremos de los circuitos mostrados en la Figura 6.4.4.
170
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2Ω
-
RTH
i(0 ) 2Ω
VTH
+ vo(0-)
+ Va + - VTH
2Ω 12V
(a)
RTH
-
4V
-
2Ω
(b)
(c)
Figura 6.4.4 Entonces para calcular i(0-), nos auxiliamos del circuito de la Figura 6.4.4.(a), así VTH i (0 − ) = , pero antes tenemos que encontrar el voltaje de Thévenin y la Resistencia RTH + 2 de Thévenin. VTH = Va -4V, para encontrar Va haremos uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una sola malla, como puede ser visto de la Figura 6.4.4.(b), así Va =
2 (12 + 4) = 8V , entonces VTH = 4V 2+2
Para calcular RTH nos auxiliamos del circuito mostrado en la Figura 6.4.4.(c), así: RTH = 2||2 = 1Ω, por lo tanto i(0-) será:
i (0 − ) =
4 4 = A 1+ 2 3
Por lo tanto il(0+) = (4/3)A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 i(0) = 3 + K2℮-0 = (4/3), así K2 = -(5/3) entonces la v(t) (V) corriente del inductor para t > 0 es: 6
-2t
i(t) = 3 – (5/3)℮ A, por lo tanto el voltaje de salida será: vo(t) = 6 – (10/3)℮-2t V El voltaje de salida se encuentra dibujado en la Figura 6.4.5
8/3 0
Ejemplo 6.4.2
2Ω
Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.6, el interruptor ha permanecido 80V durante bastante tiempo en la posición a y para t = 0 se cambia a la
Figura 6.4.5 a
6Ω
+ v -
b
t(s)
1K
t=0 1mF
120V
Figura 6.4.6 171
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posición b. Encontremos el voltaje v(t) para t > 0. 2Ω
Solución: Como necesitamos determinar el voltaje v(t) para t > 0, necesitamos 80V redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.4.7
a + v -
6Ω
1K
b
120V
1mF
Figura 6.4.7
Ahora, procedemos entonces a encontrar el voltaje del capacitor v(t), para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, que define éste circuito, así v(t) + ic(t)(1K) = 120, expresando ic(t) en función de v(t), obtenemos: dv(t ) (1K ) + v(t ) = 120 , reacomodando la expresión y sustituyendo el valor de C, se dt obtiene: C
dv(t ) + v (t ) = 120 dt
Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: v(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 1, así τ = 1/1 = 1s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos v(t) por K1 en la ecuación diferencial, así:
dK1 + K1 = 120 , entonces obtenemos que K1 = 120 o bien tomamos la definición que: dt K1 =
A 120 = = 120 a 1
2Ω
80V
1K + v(0-) -
120V Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el Figura 6.4.8 valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.4.8 6Ω
172
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En t = 0- el circuito esta en estado estable y el capacitor actúa como un circuito abierto de CD. El capacitor se encuentra cargado a un valor constante, que llamamos v(0-), para calcularlo podemos hacer uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una simple malla, así, v (0 − ) =
6 (−80) = −60V 6+2
Por lo tanto v(0+) = -60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = 120 + K2℮-t = -60, entonces K2 = -180, así el voltaje del inductor para t > 0 es: v (V)
v(t) = 120 – 180℮-t V El voltaje v(t) se encuentra dibujado en la Figura 6.4.9
120 60 0 -60
t1 τ
2τ
4τ
3τ
5τ
t(s)
Figura 6.4.9 6.5 Procedimiento simple para determinar la respuesta completa de circuitos de primer orden a una fuente constante Hemos visto de los ejemplos anteriores que la respuesta completa de un circuito RC o RL a una fuente constante, es simplemente x(t) = xp(t) + xc(t), donde xc(t) es la respuesta natural K2℮-t/τ y xp(t) es la respuesta a la función forzada constante. Entonces será conveniente proceder directamente a determinar por separado xp(t) y xc(t), sumándolas después para obtener x(t). Después se usa x(0+) para determinar K2 y se tiene la respuesta completa x(t). Para ilustrar el procedimiento vamos a considerar un ejemplo. 4Ω
Ejemplo 6.5.1
t=0
Para el circuito mostrado en la Figura 6.5.1. 80V Determine la corriente i para t > 0, sabiendo que i(0-) = 3A
4Ω
10mH i
Figura 6.5.1 4Ω
Solución: Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el
4Ω
10mH
Figura 6.5.2 173
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circuito para t > 0, la fuente de voltaje de 80V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura 6.5.2. Entonces la respuesta natural será ic(t) = K2℮-t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RL, τ = L/R, en este caso R será el equivalente paralelo de 4Ω||4Ω = 2Ω, entonces τ = 10m/2 = 5ms, así la respuesta natural es: ic(t) = K2℮-200t En este punto, vale la pena observarse, que podemos determinar τ en un circuito de primer orden por medio del principio de Thévenin para evaluar la resistencia vista en las terminales de un capacitor o un inductor dado. 4Ω
Para encontrar la respuesta forzada, como ésta es una constante, no importa el tiempo en que se 80V 4Ω ip(t) determine ip(t) una vez alcanzada la condición de estado estable. Por comodidad se usa t = ∞ cuando el estado transitorio ha desaparecido y el Figura 6.5.3 circuito sólo responde a la fuente constante. En t = ∞, o estado estable el inductor se comporta como un corto circuito y la corriente a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el inductor por un corto circuito, como se muestra en la Figura 6.5.3 Entonces la respuesta forzada se puede calcular como ip(t) = 80/4 = 20A Por lo tanto la respuesta completa será: i(t) = 20 + K2℮-200t A, para poder calcular K2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, i(0-) = 3A = i(0) = i(0+), así: i(0+) = 20 + K2℮-0 = 3, entonces K2 = -17, por lo tanto la respuesta completa final será: i(t) = 20 - 17℮-200t A t=0
8Ω
Ejemplo 6.5.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.5.4, 20V determine el voltaje v(t) para t > 0, considere que v(0-) = 10V
¼F
+ v
2Ω
-
Figura 6.5.4 8Ω
Solución: Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el circuito
¼F
2Ω
Figura 6.5.5 174
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para t > 0, la fuente de voltaje de 20V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura 6.5.5. Entonces la respuesta natural será vc(t) = K2℮-t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RC, τ = RC, en este caso R será el equivalente paralelo de 8Ω||2Ω = 1.6Ω, entonces τ = 1.6(1/4) = 0.4s, así la respuesta natural es: vc(t) = K2℮-2.5t
8Ω
Para encontrar la respuesta forzada, + determinamos vp(t) una vez alcanzada la (t) v p 2Ω condición de estado estable. Por comodidad se 20V usa t = ∞ cuando el estado transitorio ha desaparecido y el circuito sólo responde a la Figura 6.5.6 fuente constante. En t = ∞, o estado estable el capacitor se comporta como un circuito abierto y el voltaje a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el capacitor por un circuito abierto, como se muestra en la Figura 6.5.6 Entonces la respuesta forzada se puede calcular usando un divisor de voltaje, así: v p (t ) =
2 (−20) = −4V 8+2
Por lo tanto la respuesta completa será: v(t) = -4 + K2℮-2.5t V, para poder calcular K2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, v(0-) = 10V = i(0) = i(0+), así: v(0+) = -4 + K2℮-0 = 10, entonces K2 = 14, por lo tanto la respuesta completa final será: v(t) = -4 + 14℮-2.5t V
6.6 Respuesta de los circuitos de primer orden a las funciones: pulso, impulso y tren de pulsos Fuente escalón unitario: En las secciones anteriores examinamos circuitos donde las fuentes se conectaban y desconectaban del circuito cuando t = t0, provocando que las corrientes y voltajes del circuito cambiaran bruscamente. La aplicación de una batería por medio de dos interruptores como se muestra en la Figura 6.6.1. (a), se puede considerar equivalente a una fuente que vale cero hasta t0 y uno en
175
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
adelante. Esta función redefine como función escalón unitario y se representa por u(t – t0), t = to donde: u(t –t0) =
0
t < t0
1
t > t0
+ 1V
Esta función se muestra en la Figura 6.6.1.(b), generalmente se considera que t0 = 0. La función escalón unitario es adimensional puesto que es una función matemática. Si se desea representar el voltaje, se usa la ecuación:
(a)
u(t - to)
1
0
v(t) = Vo u(t – t0) y la fuente la representamos como en la Figura 6.6.2 Vo u(t –to)
v -
t = to
to
t
(b)
Figura 6.6.1
+ v(t) -
Figura 6.6.2 Vale la pena observar que u(-t) implica simplemente que se tiene un valor de uno para t < 0 de forma que: 1
t0
u(-t)
u(-t) =
1
Su gráfica en función el tiempo se muestra en la Figura 6.6.3. (a) En el caso de que el cambio ocurra en t0 se tiene: u(t0 - t) =
1
t < t0
0
t > t0
0 u(to - t)
t
(a)
1
Su gráfica en función del tiempo se muestra en la Figura 6.6.3. (b) 0
Otra fuente importante es la Fuente Impulso, que se describe como:
176
(b)
to
t
Figura 6.6.3
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Circuitos Eléctricos I
0 v(t) = Vo 0
Circuitos de Primer Orden
t < t0 t0 < t < t1 t > t1
La gráfica de la Figura 6.6.4 (a) muestra de la función con respecto al tiempo y la Figura 6.6.4.(b) muestra dos ondas de voltaje escalón que producen el impulso de voltaje. v(t)
v(t)
Vo u(t - to)
Vo Vo 0 0
to
t1
t1
to
-Vo
t
-Vo u(t - t1)
(b)
(a)
t
Figura 6.6.4
+
El símbolo de circuito de la fuente impulso se muestra en la Vo u(t – t0) Figura 6.6.5
v(t)
Vo u(t – t1)
-
Ejemplo 6.6.1 La fuente impulso se aplica al circuito RL de la Figura 6.6.6, sabiendo que i(0-) = 0. Se desea determinar la corriente i(t) al ser excitado por dicha fuente.
Figura 6.6.5 R
Vo u(t) L
Solución:
i
Vo u(t – t1)
Puesto que el circuito es lineal, puede emplearse el principio de superposición de forma que i(t) = i1(t) + i2(t), donde i1(t) es la respuesta debido a la fuente Vo u(t) e i2(t) es la respuesta la fuente Vo u(t – t1).
Figura 6.6.6
Primero encontremos la respuesta completa de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = tn. De los análisis anteriores sabemos que tendremos respuesta natural y respuesta forzada, es decir io(t) = K1 + K2℮-a(t-to) Donde K1 = Vo/R y K2 =-Vo/R
177
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
Por lo tanto la respuesta de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = tn es: i (t ) =
(
)
Vo 1 − e − a (t −tn ) A , para t > tn, donde a = 1/τ = R/L, entonces la respuesta i1(t) será: R
i1 (t ) =
Vo 1 − e − at ) A , para t ≥ 0 y la corriente i2(t) será: ( R
i2 (t ) = −
(
)
Vo 1 − e − a (t −t1 ) A , para t > t1, sumando ambas respuestas obtenemos: R
Vo 1 − e − at ) ( R
0 < t ≤ t1
i(t) =
(
)
Vo − at at1 e e −1 R
t > t1 i(t) A
La magnitud de la respuesta en t = t1 es:
(
Vo/R i(t1)
)
Vo 1 − e − t1 /τ A , la forma de onda de esta respuesta R puede verse en la Figura 6.6.7 i (t1 ) =
Si t1 > τ, la respuesta alcanzará Vo/R antes de comenzar su declinación. La respuesta en t = 2t1 es: i (2t1 ) =
6.7
(
0
t1
2t1
Figura 6.6.7
)
Vo − at1 e − e −2 at1 A R
Respuesta de un circuito RC o RL a una fuente no constante
La ecuación que describe un circuito RC o RL se representa por una ecuación diferencial general: dx (t ) + ax (t ) = f (t ) , donde en las secciones anteriores, habíamos asumido que f(t) era una dt constante.
Consideremos ahora el caso donde f(t) no es una constante, pudiera ser cualquier función matemática. La respuesta natural seguirá siendo la misma xc(t) = K2℮-at, sin embargo la respuesta forzada quedará determinada por la forma de f(t).
178
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t
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
Consideremos el caso que f(t) es una función exponencial f(t) = ℮bt, suponemos que (a + b) ≠ 0. Entonces la solución tendrá la misma forma exponencial, supondremos que: xp(t) = A℮bt, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo xp(t) en la ecuación diferencial se obtiene: d ( Aebt ) + a ( Aebt ) = ebt , efectuando la deriva se obtiene: dt bAebt + aAebt = ebt , factorizando y despejando obtenemos el valor de A:
A=
ebt 1 , por lo tanto la solución forzada será x p (t ) = a+b a+b 5Ω
Ejemplo 6.7.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.7.1, determine el valor de la corriente i para t > 0. 10V Considere que vf = 10℮-2t u(t) V
4Ω
t=0 1H
vf
i
Figura 6.7.1 Solución: Como nos piden encontrar i(t) para t > 0, necesitamos redibujar el circuito para ese 10V tiempo, y lo mostramos en la Figura 6.7.2 Primero obtenemos la ecuación diferencial característica del circuito, para ello aplicamos LKV a única malla existen en el circuito, así: v f = ( 4)i (t ) + L
4Ω
5Ω
1H
vf
i
Figura 6.7.2
di (t ) , sustituyendo valores y reacomodando la ecuación se obtiene: dt
di (t ) + 4i (t ) = 10e −2t , entonces tendremos respuesta natural y forzada. dt
Para calcular la respuesta forzada, suponemos que la solución tendrá la misma forma, es decir: xp(t) = A℮-2t, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo xp(t) en la ecuación diferencial se obtiene: d ( Ae −2t ) + 4( Ae −2t ) = 10e −2t , efectuando la deriva se obtiene: dt 179
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
−2 Ae −2t + 4 Ae −2 t = 10e −2t , factorizando y despejando obtenemos el valor de A:
A = 5, por lo tanto xp(t) = 5℮-2t La respuesta del circuito será:
i(t) = 5℮-2t + K2℮-at
La respuesta natural se calcula de la misma forma como lo hemos hecho hasta ahora. Para ello utilizamos la ecuación
di (t ) + 4i (t ) = 0 , dt
donde τ = 1/a = ¼ = 0.25s.
4Ω
5Ω
Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor 10V de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.7.3
i(0-)
Figura 6.7.3
Nótese que la fuente vf ha desaparecido, ya que es una función exponencial está multiplicada por la función unitario, donde para t < 0, ella es cero, por lo tanto así vf también será cero. Y la corriente i(0-) será: i(0-) = 10/5 = 2A = i(0+) Ahora evaluamos la respuesta x(t), en t = 0, así: i(0) = 5℮-0 + K2℮-0 = 2, entonces el valor de K2 = -3, y la respuesta completa del circuito es: i(t) =5℮-2t - 3℮-4t A, para t > 0
6.8
Problemas Resueltos 4KΩ
Ejemplo 6.8.1 Determine el voltaje v a través del capacitor para 80V t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.8.1. Suponga que el interruptor ha estado por largo tiempo en la posición antes del cambio a t = 0.
12KΩ
0.2H
t=0 + v -
0.1F
30Ω
Figura 6.8.1
Solución Como nos están pidiendo encontrar el voltaje v a través del capacitor ( v = vC) para el tiempo t > 0, entonces tenemos que redibujar nuestro circuito para t > 0, como se puede mostrar en la figura 6.8.2.a.
180
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
4KΩ 80V
12KΩ
0.2H
4KΩ + v -
(a)
30Ω
0.1F
80V
+ v(0-) -
12KΩ iL(0-)
(b)
Figura 6.8.2
Ahora podemos aplicar la LKC al nodo de arriba, así iC + iR = 0, como el resistor se encuentra en paralelo al capacitor, comparten el mismo voltaje, sustituyendo la ecuación anterior, en términos del voltaje del capacitor, tenemos:
C
dvC vC + = 0 , que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación tenemos: dt R
dvC vC + = 0 , que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a dt 3 cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: vC(t) = K2℮-t/τ Si observamos la ecuación diferencial a = 1/3, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 3s. Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura 6.8.2.b El voltaje v(0-) se puede obtener aplicando un divisor de voltaje, así: v (0 − ) =
12 K (80) = 60V 16 K
Por lo tanto v(0+) = 60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = K2℮-0 = 60, así K2 = 60, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v(t) = 60℮-t/3 V
4Ω
2Ω t=0 6Ω
Ejemplo 6.8.2
i(t) 8Ω
36V 2H
Determine la corriente i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.8.3 y grafique Figura 6.8.3 181
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.
Solución Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero iL(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i(t) en función de iL(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.4.a y como podemos observar i(t) será: i(t) = -iL(t),
6Ω
i(t) 8Ω
36V
4Ω
2Ω
4Ω
2Ω
36V
i(0-)
6Ω
8Ω
iL(0-)
2H
(b)
(a) Figura 6.8.4 Ahora podemos aplicar la LKV a la malla, así
v6Ω + v4Ω + v8Ω + vL = 0, como los resistores se encuentra en serie al inductor, comparten la misma corriente, sustituyendo la ecuación anterior, en términos de la corriente del inductor, tenemos:
di L + 6i L + 4i L + 8i L = 0 , que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación dt tenemos: L
di L + 9i L = 0 , que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a dt cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: iL(t) = K2℮-t/τ Si observamos la ecuación diferencial a = 9, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/9 s. Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura 6.8.4.b La corriente iL(0-) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, iL(0-) = v6Ω/6Ω y para obtener el voltaje v6Ω podemos aplicar un divisor de voltaje, así:
182
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Circuitos Eléctricos I v6Ω =
Circuitos de Primer Orden
(12 || 6) (36) = 24V , entonces iL(0-) = 24/6 = 4A (12 || 6) + 2 i(t) A 2
+
Por lo tanto iL(0 ) = 4A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 0
iL(0) = K2℮-0 = 4, así K2 = 4, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = 4℮-9t A, por lo tanto i(t) será:
t
-4
-9t
i(t) = -4℮ A y su gráfica se puede observar en la figura 6.8.5
Figura 6.8.5 t=0
Ejemplo 6.8.3 Determine i(t) para t > 0 para el circuito mostrado en la figura 6.8.6. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-.
20KΩ 4KΩ
18KΩ
24V
1 µF 45
36KΩ
Figura 6.8.6
Solución: Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero vC(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i(t) en función de vC(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.7 y como podemos observar i(t) será:
i
10mA
20KΩ 4KΩ
i
10mA 24V
1 µF 45
18KΩ
36KΩ
Figura 6.8.7
i(t) = vC(t),/18K Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior derecho, es decir al nodo superior del capacitor, así: i20KΩ = i18KΩ + i36KΩ + iC , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:
24 − vC dv v v = C + C + C C , sustituyendo valores y reacomodando la ecuación 20 K 18K 36 K dt tenemos:
183
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
dvC + 6000vC = 54000 , Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de dt cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: vC(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 6000, así τ = 1/a = 1/6000 = 166.667µs Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos vC(t) por K1 en la ecuación diferencial, así
dK1 + 6000 K1 = 54000 , entonces obtenemos que K1 = 9, otra forma directa encontrar K1 dt es dividir la constante de la ecuación diferencial (A) entre a, es decir K1 = A/a, para nuestro caso: K1 = 54000/6000 = 9 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales 4KΩ del circuito, es decir necesitamos el valor de vC(0+) = vC(0) = vC(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.8
20KΩ 10mA 24V
i(0-) + vC(0-) 18KΩ -
36KΩ
Figura 6.8.8
El voltaje vC(0-) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, al multiplicar el valor de la fuente corriente el equivalente de Resistencia (36KΩ||4KΩ = 3.6KΩ), entonces el voltaje del capacitor será: vC(0-) = 10m*3.6K = 36V Por lo tanto vC(0+) = 36V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 vC(0) = 9 + K2℮-0 = 36, así K2 = 27, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: vC(t) = 9 + 27℮-6000t V, por lo tanto i(t) será:
i (t ) =
184
vC (t ) 1 3 −6000t mA = + e 18 K 2 2
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
Ejemplo 6.8.4
t=0
Determine la corriente en el inductor i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la 8A figura 6.8.4. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-.
1Ω
10Ω
10mH
4A
i
Figura 6.8.9 Solución Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, (que coincide con iL(t)) debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado en la figura 6.8.10.a
8A
1Ω
10mH
10Ω
4A
8A
1Ω
i(0-)
i
(a)
Figura 6.8.10
(b)
Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, así: iL + i10Ω + 4 = 0 , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:
iL +
vL = −4 , sustituyendo vL y reacomodando la ecuación tenemos: 10
di L + 1000i L = −4000 , Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero, dt así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: iL(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 1000, así τ = 1/a = 1/1000 = 1ms Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = -4000/1000 = -4
185
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.10.b Del circuito podemos observar que iL(0-) = 8A Por lo tanto iL(0+) = 8A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 iL(0) = -4 + K2℮-0 = 8, así K2 = 12, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = i(t) = -4 + 12℮-1000t A. 3KΩ
4I1
Ejemplo 6.8.5 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito vs mostrado en la figura 6.8.11. cuando vf = 2u(-t) + 12u(t) V.
+ vC
2mF
1KΩ I1
-
Figura 6.8.11 Solución:
4i
3KΩ
Para encontrar el voltaje vC(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado 12V en la figura 6.8.12.a Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, y de la LKV a la malla derecha del circuito, así:
2mF
1KΩ i
(a) 3KΩ 2V
i3KΩ = i1KΩ + iC , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:
+ vC -
4i
1KΩ i
+ vC(0-) -
(b) Figura 6.8.12
12 − v1KΩ v1KΩ = + iC , para encontrar v1KΩ, haremos uso de la LKV a la malla donde se 3K 1K encuentra el capacitor, así: v1KΩ + 4Ki = vC, entonces el voltaje v1KΩ = vC – 4Ki, pero la corriente i coincide con la corriente i3KΩ, entonces el voltaje v1KΩ, será:
v1KΩ = vC − 4
12 − v1KΩ , despejando se obtiene: 3K
186
v1KΩ =
3KvC − 48 , (3K − 4)
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
ahora insertando esta ecuación en la ecuación obtenida de la aplicación de la LKC, obtenemos: 3KvC − 48 3KvC − 48 dv (t ) (3K − 4) (3K − 4) = + C C , realizando las operaciones, y reacomodando se 1K dt 3K obtiene: 12 −
dvC + 0.6676vC = 2.011 , Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de dt cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: vC(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 0.6676, así τ = 1/a = 1/0.6676 = 1.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = 2.011/0.6676 = 3.012 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de vC(0+) = vC(0) = vC(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.12.b Para obtener el voltaje del capacitor vC(0-), aplicamos la LKV a la malla abierta de la derecha del circuito, así: vC(0-) = 4i + v1KΩ, de donde i = 2/4K = ½ mA y v1KΩ = (1K/4K)*2 = 0.5V, entonces: vC(0-) = 0.502V Por lo tanto vC(0+) = 0.502V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 vC(0) = 3.012 + K2℮-0 = 0.502, así K2 = -2.51, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: vC(t) = 3.012 – 2.51℮-0.6676t V.
187
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden 6Ω
Ejemplo 6.8.6 Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la 2V figura 6.8.13. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-.
+ v
1/2H
5u(t)
Figura 6.8.13
Solución:
Para encontrar el voltaje v(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, y encontrar primero iL(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar v(t) en función de iL(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.14.a y como podemos observar v(t) será: 6Ω v(t) = iL(t)*6
2V
+ v
1/2H
Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos la LKV a la malla del circuito, así:
5V
(a) 6Ω
2 + 5 = v6Ω + vL , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:
L
2V
+ v(0-) i(0-)
di L + 6i L = 7 , reacomodando la ecuación tenemos: dt
(b)
Figura 6.8.14 di L + 12i L = 14 , Como podemos observar, la ecuación dt diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: iL(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 12, así τ = 1/a = 1/12 = 83.33ms Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = 14/12 = 7/6 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.14.b
188
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
La corriente iL(0-) la podemos encontrar empleando la ley de Ohm, así: iL(0-) = 2/6 = 1/3 A Por lo tanto iL(0+) = 1/3 A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 iL(0) = (7/6) + K2℮-0 = 1/3, así K2 = -(5/6), entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = 7/6 – (5/6)℮-12t A. Por lo tanto v(t) será:
6.9
v(t) = 6 IL(t) = 7 – 5℮-12t V
Problemas propuestos
6.9.1 Determine la corriente iL(t) por el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.1, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. t=0 4Ω
2mH
8V
iL
4Ω
Figura 6.9.1 6.9.2 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.2, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cambiar de posición el interruptor. 3Ω
5V
t=0
3mF
+ vC -
100Ω
Figura 6.9.2 6.9.3 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.3, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12V
12KΩ
6KΩ 6KΩ
12KΩ t=0
+ vC -
200µF
Figura 6.9.3
189
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
6.9.4 Determine la corriente iL(t) en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.4, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. iL 12V
t=0
2H 6Ω
3Ω
6Ω
12Ω
Figura 6.9.4 6.9.5 Determine la corriente iL(t) en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.5, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. 50Ω
10Ω
24V
25mH
t=0
30Ω
iL
Figura 6.9.5 6.9.6 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.6, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. 50Ω 20µF
t=0
+ vC 200Ω -
0.1A
Figura 6.9.6 6.9.7 Determine el voltaje vo(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.7, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.
t=0
100µF 6KΩ
12V
6KΩ
6KΩ
+ vo(t) -
Figura 6.9.7
190
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
6.9.8 Determine la corriente io(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.8, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12Ω 6Ω
6Ω
24V
io(t) 3H
t=0
Figura 6.9.8 6.9.9 Determine la corriente iL(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.9. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. t=0
5Ω
3I1
50V
I1
0.25H
1Ω iL
Figura 6.9.9 6.9.10 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.10. Suponga que vC(0) = 6V. 50µF V1 500
+ vC + 3KΩ V1 -
A
1KΩ
Figura 6.9.10 6.9.11 Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.11. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 3Ω t=0
1/50 H iL 7Ω
+ v -
15Ω
40V
6iL
Figura 6.9.11
191
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
6.9.12 Determine la corriente i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.12. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 3V1
4Ω
2.6A
t=0
+ V1 -
2Ω
1/13 F
11Ω i
Figura 6.9.12 6.9.13 Determine la corriente io(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.13, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. 12V
2Ω
2H 24V
2Ω 4Ω
t=0
io
Figura 6.9.13 6.9.14 Determine el voltaje vo(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.14, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor. t=0
2KΩ
24V
2KΩ
4KΩ
12V
50µF
4KΩ
+ vo -
Figura 6.9.14 6.9.15 Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.15. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 15KΩ 10V
t=0
20KΩ
5KΩ 10µF
+ v -
t=0
12V
Figura 6.9.15 192
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Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
6.9.16 Determine el voltaje vo(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.16. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. t=0 3Ω
6Ω +
4Ω 6A
vo
6Ω 2H
-
Figura 6.9.16 6.9.17 Determine la corriente iL(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.17. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 3KΩ
10mH
5V
3u(t) mA
5KΩ
Figura 6.9.17 6.9.18 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.18. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.
4V1
1u(t) A
+ V1
12u(-t) V
2Ω
+ vC -
1Ω
-
1/44 F
Figura 6.9.18 6.9.19 Determine la corriente iL(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.19. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. I1 100u(t) V
10Ω
20Ω 0.1H
20I1
iL
Figura 6.9.19
193
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Circuitos de Primer Orden
6.9.20 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.20, si vs = -12u(-t) + 24u(t) V. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 10KΩ vs
+ vC -
20KΩ
300nF
Figura 6.9.20 6.9.21 Determine la corriente iL(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.21. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 5Ω I1 20u(t) A
0.2H
50Ω
iL 10I1
40V
Figura 6.9.21 6.9.22 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.22. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-. 40A 2Ω + V1 20u(t) V
+ vC 2mF
20Ω
0.1V1
Figura 6.9.22
194
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