Capítulo 5 Los números reales y sus representaciones

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Capítulo 5: Los números reales y sus representaciones 5.1 Números reales, orden y valor absoluto 5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones de los números reales 5.3 Números racionales y representación decimal 5.4 Números irracionales y representación decimal 5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes  2012 Pearson Education, Inc.

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Sección 5.4 Números irracionales y representación decimal

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Números irracionales y representación decimal • Definición y conceptos básicos • Irracionalidad de 2 y demostración por contradicción • Operaciones con raíces cuadradas • Los números irracionales  ,  , and y e.

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Definición: números irracionales Números irracionales

{x | x es un número representado por un decimal que no es periódico ni repetitivo}

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Irracionalidad de 2 2 es un número irracional. La prueba de esto es una demostración por contradicción. Necesitamos considerar lo siguiente: 1. Para una expresión racional que está en sus términos simplificados, el máximo común divisor del numerador y el denominador es 1. 2. Si un número entero es par, 2 es uno de sus factores. 3. Si un cuadrado perfecto es par, entonces su raíz cuadrada es par.

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Irracionalidad de 2 (demostración) En la ecuación 2q2 = p2, se puede ver que 2 es un factor de p2, así que p2 es par y, por lo tanto, p también. Como p es par, se puede escribir en la forma 2k, donde k es un número entero.

2q  (2k ) 2

2

Sustituya p con 2k.

2q 2  4k 2

q  2k 2

2

Como 2 es un factor de q2, entonces q2 y q deben ser pares.  2012 Pearson Education, Inc.

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Irracionalidad de

2 (comprobación)

Esto lleva a una contradicción: p y q no pueden ser ambos pares porque entonces tendrían un factor común igual a 2. Y se supuso que su máximo común divisor era 1. Por lo tanto, como el supuesto original de que 2 es racional llevó a una contradicción, de ahí se sigue que 2 es irracional.

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Operaciones con raíces cuadradas

En las siguientes diapositivas se estudiarán la multiplicación, división, suma y resta con raíces cuadradas.

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Regla de productos para raíces cuadradas

Para números reales no negativos a y b,

a  b  a  b.

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Forma simplificada de un radical de raíz cuadrada 1. El número dentro del radical (radicando) no tiene factores (con excepción de 1) que sean cuadrados perfectos. 2. El radicando no tiene fracciones.

3. Ningún denominador contiene un radical.

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Ejemplo: Simplificación de un radical de raíz cuadrada (regla del producto) Simplifique 32.

Solución 32  16  2  16  2 4 2

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Regla del cociente para raíces cuadradas

Para los números reales no negativos a y los números reales positivos b, a a  . b b

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Ejemplo: Simplificación de radicales de raíces cuadradas (regla del cociente) 7 Simplifique . 9

Solución 7 7  9 9

7  3  2012 Pearson Education, Inc.

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Racionalización del denominador 5 Dado 3 , para obtener una expresión

equivalente sin radical en el denominador se usa el procedimiento conocido como racionalización del denominador, que se muestra a continuación.

5 5 3 5 3 Forma simplificada    3 3 3 3

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Suma y resta de radicales de raíces cuadradas Sume o reste como se indica.

a) 8 7  2 7

b) 50  18

Solución a) (8  2) 7  10 7

b)

25  2  9  2  5 2 3 2  2 2

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Los números irracionales π, ϕ y e Pi ( ) Pi representa la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

  3.14159265358979

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Los números irracionales π, ϕ y e Fi ( ) Fi es la razón áurea y su valor exacto es

1 5 . 2

  1.61803398874989

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Los números irracionales π, ϕ y e e e es un número fundamental en nuestro Universo. Es la base de las funciones exponencial y logarítmica.

e  2.71828182845904

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