Capítulo 5 Los números reales y sus representaciones

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Capítulo 5: Los números reales y sus representaciones 5.1 Números reales, orden y valor absoluto 5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones de los números reales 5.3 Números racionales y representación decimal 5.4 Números irracionales y representación decimal 5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes  2012 Pearson Education, Inc.

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Sección 5.1 Los números reales, orden y valor absoluto

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Números reales, orden y valor absoluto • • • •

Conjuntos de números reales Orden en los números reales Inversos aditivos y valor absoluto Aplicaciones

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Conjuntos de números reales Números naturales {1, 2, 3, 4, …} es el conjunto de números naturales. Números enteros {0, 1, 2, 3, 4, …} es el conjunto de números enteros no negativos.

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Recta numérica

Los números positivos y negativos se conocen como números con signo.

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Conjuntos de números reales El conjunto de números marcados en la recta numérica en la diapositiva anterior, incluidos los positivos, los negativos y el cero, son parte del conjunto de los números enteros. Enteros {…,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…} es el conjunto de los números enteros.

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Conjuntos de números reales Los números como 1 and y  1 2 no son enteros; 2

3

son números racionales. Números racionales {x | x es un cociente de dos enteros, con denominador diferente de 0} es el conjunto de números racionales.

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Conjuntos de números reales La gráfica de un número es un punto sobre la recta numérica. Abajo están graficados algunos números. 1  2 –2

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–1

2 2 3 0

1

2

3

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Conjuntos de números reales No todos los números son racionales. Por ejemplo, 2 no puede escribirse como cociente de dos enteros. Se le llama número irracional. Números irracionales {x | x es un número sobre la recta numérica que no es racional} es el conjunto de números irracionales.

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Números reales

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Ejemplo: Identificación de elementos 1   Liste los números del conjunto 3,  , 0, 1, 1.8, 7  2   que son

a) números naturales b) números racionales c) números reales Solución a) números naturales: el único número natural es el 1. b) números racionales: {–3, –1/2, 0, 1, 1.8} c) números reales: todos son números reales.  2012 Pearson Education, Inc.

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Orden en los números reales

Dos números reales pueden compararse u ordenarse mediante las ideas de igualdad y desigualdad.

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Orden en los números reales La ley de tricotomía afirma que para dos números a y b, uno y solo uno de los siguientes enunciados es verdadero. a=b

a es igual a b

ab

a es mayor que b

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Orden en los números reales El símbolo  significa “es menor que o igual a”. El enunciado es verdadero si la parte = o la parte < es verdadera.

5 ≤ 7 es verdad, como lo es 5 ≤ 5 El símbolo  significa “es mayor que o igual a”. El enunciado es verdadero si la parte = o la parte > es verdadera.

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Inversos aditivos Para cualquier número real x diferente de cero, hay exactamente un número sobre la recta numérica que está a la misma distancia del 0 que x, pero en el lado opuesto del 0. Por ejemplo, 3 y –3 están a la misma distancia del 0, pero en lados opuestos. Estos números son inversos aditivos, negativos u opuestos, uno del otro.

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Regla del doble negativo

Para cualquier número real x,

( x)  x.

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Valor absoluto El valor absoluto de un número real se define como la distancia entre el 0 y el número en cuestión en la recta numérica. El símbolo para el valor absoluto de x es |x|, y se lee “el valor absoluto de x”.

El valor absoluto de un número nunca es negativo.

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Valor absoluto

Para cualquier número real x,

 x siif x  0 x   x siif x  0.

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Ejemplo: Uso del valor absoluto Simplifique obteniendo el valor absoluto.

a) |4|

b) |–2|

c) –|–3|

d) |1 – 8|

Solución a) b) c) d)

4 2 –3 7

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Aplicaciones

Cuando buscamos encontrar el mayor cambio, sin importar si se trata de un aumento (positivo) o una disminución (negativo), se usa el valor absoluto del número.

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Ejemplo: Valor absoluto A partir de la lectura de las temperaturas de los días indicados abajo, ¿cuál día registró el mayor cambio?

Día 1

AM Temp. 23o F

PM Temp. 42o F

PM – AM 19o F

Día 2

32o F

55o F

23o F

Día 3

40o F

13o F

–27o F

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Ejemplo: Valor absoluto Día 1

23o F

42o F

19o F

Día 2

32o F

55o F

23o F

Día 3

40o F

13o F

–27o F

Solución El día 3 tuvo el mayor cambio de | –27| = 27 grados.

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