Cap. 2 Fuerzas en los fluidos geofísicos.

CAPITULO 2. FUERZAS EN LOS FLUIDOS GEOFISICOS. La atmósfera es un fluido físico y por lo tanto su movimiento está gobernado por las leyes de la Física. De estas, la segunda ley de Newton afirma que la variación de momento en el tiempo es igual a la fuerza neta que actúa sobre un objeto, se escribe:

r dp = ∑ fuerzas sobre el cuerpo dt Existen muchas fuerzas diferentes que pueden afectar el movimiento de un fluido, pero se pueden dividir en dos clases básicas. Fuerzas de volumen: son aquellas que afectan a todo el volumen de la parcela de fluido, son de acción a distancia. Ejemplos: eléctricas, magnéticas, gravitacionales. Fuerzas de superficie: son aquellas que afectan la superficie de una parcela de fluido y surgen cuando la parcela está en contacto con otras con las cuales interactúa. Ejemplos: fuerzas de presión, tensión tangencial (viscosas), fricción.

En nuestro estudio de fluidos la única fuerza de volumen que consideraremos será la gravitacional, y de superficie las fuerzas de presión y de fricción. También podemos clasificar las fuerzas para aplicar la ley de Newton en dos grandes categorías. Una en la cual actúan sobre los objetos sin considerar la rotación de la Tierra, llamadas fuerzas fundamentales. Las más importantes fuerzas fundamentales son la fuerza del gradiente de presión, la fuerza gravitacional y la fuerza de fricción. El otro grupo de fuerzas surge de considerar la aceleración centrípeta de la Tierra en rotación, llamadas fuerzas aparentes. En este grupo se consideran la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.

2.1 Fuerzas fundamentales.

Comprender las fuerzas fundamentales es esencial para entender el comportamiento del fluido atmosférico. La mayoría de las personas tiene un sentido intuitivo de las fuerzas gravitacional o de fricción, ya que ambas se manifiestan en nuestra experiencia diaria. A su vez, el efecto de la menos familiar fuerza de presión no es fácilmente detectable. Juan Carlos Inzunza

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2.1.1 Fuerza del gradiente de presión.

Consideremos la presión ejercida por la atmósfera en los lados A y B de un elemento de fluido infinitesimal como el mostrado en la figura 2.1. La fuerza ejercida sobre los lados A y B es producida por el movimiento molecular que obliga a las moléculas a chocar con los lados. Cada vez que una molécula choca con el lado del elemento de fluido, una cierta cantidad de momento es transferida a ese lado. El momento total transferido cada segundo define la fuerza ejercida por la atmósfera sobre el lado del elemento. Dividiendo esta fuerza total por el área del lado del elemento de fluido se obtiene la presión que se ejerce sobre el lado. El volumen del elemento de fluido está dado por V = δxδyδz y su masa por M = ρδxδyδz donde ρ es la densidad del fluido. Se puede definir la presión en el centro del elemento de fluido por p(xo,yo,zo) = po. Suponiendo que la presión es continua, se puede usar un desarrollo en serie de Taylor para obtener la presión en los lados A y B:

A δz po

B z

δx

y

δy

x Figura 2.1 Fuerzas de presión que actúan en los lados de un elemento de fluido.

p A = po +

∂p ⎛ δx ⎞ ⎜ ⎟ + términos de mayor orden L ∂x ⎝ 2 ⎠

p B = po −

∂p ⎛ δx ⎞ ⎜ ⎟ + términos de mayor orden L ∂x ⎝ 2 ⎠

La fuerza de presión en dirección x que actúa sobre el lado A tiene magnitud pAδyδz y esta dirigida hacia el centro del elemento infinitesimal de fluido, entonces se puede escribir como

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∂p δx ⎞ ⎛ FAx = −⎜ po + ⎟δyδz ∂x 2 ⎠ ⎝ De manera similar, la fuerza de presión en dirección x que actúa sobre el lado B es ∂p δx ⎞ ⎛ FBx = ⎜ po − ⎟δyδz ∂x 2 ⎠ ⎝ Por lo tanto, la fuerza en dirección del eje x sobre el elemento de fluido es Fx = FAx + FBx = −

∂p δxδyδz ∂x

Entonces la fuerza neta por unidad de masa que actúa en dirección del eje x sobre el elemento de fluido es Fx 1 ∂p =− M ρ ∂x

Expresiones similares se pueden derivar exactamente de la misma forma para las componentes de la fuerza de presión por unidad de masa en las direcciones y y z. Por lo tanto, la fuerza total del gradiente de presión por unidad de masa, se puede escribir en la forma r 1 F = − ∇p

ρ

2.1.2 Fuerza gravitacional.

La ley de gravitacional universal de Newton afirma que dos elementos de masa M y m en el universo se atraen mutuamente con una fuerza proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre sus centros. Se escribe en la forma r GMm Fg' = − 2 rˆ r

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donde r es un vector unitario radial desde el centro de la masa que ejerce la fuerza (opuesto a F) y G = 6.67x10-11 Nm2/kg2 es la constante de gravitacional universal. Esta fuerza por unidad de masa se escribe como r GM Fg = − 2 rˆ r 2.1.3 Fuerza de fricción.

Todos tenemos alguna idea conceptual de la fricción y sus efectos sobre el comportamiento de los sólidos. Por ejemplo, sabemos que si empujamos un cuerpo sobre la superficie de una mesa, siente el efecto de la fricción entre si mismo y la mesa, opuesta al movimiento y comienza a detenerse. En este ejemplo simple, la fuerza de fricción se cuantifica en términos de un coeficiente de fricción, que es una medida de la resistencia al movimiento que resulta de empujar al cuerpo sobre la mesa. Esta visión se debe modificar cuando se considera la fuerza de fricción que actúa sobre una parcela de fluido. Un fluido es una colección discreta de átomos o moléculas, sujetos a fricción interna que hacen que el fluido sienta una resistencia al flujo. Consideremos la situación mostrada en la figura 2.2 donde una placa que se mueve con velocidad uo, es colocada sobre una columna de fluido de profundidad l. El tope de la capa de fluido se moverá con la velocidad de la placa, mientras que el fluido en el fondo de la columna no tiene movimiento. Así existe una tensión tangencial en el fluido y una fuerza debe ser ejercida sobre la placa para mantenerla en movimiento con la velocidad uo a lo largo de la superficie del fluido. La fuerza requerida es proporcional a uo, ya que una fuerza mayor puede producir una mayor velocidad. Por otra parte, como las moléculas de fluido que están en el fondo de la columna pueden influir en el movimiento de la placa a través del transporte de momento en la columna de fluido, la fuerza requerida también debe ser inversamente proporcional a la profundidad del fluido. La fuerza debe ser también proporcional al área de la placa, puesto que una placa mayor hace contacto con más fluido que una mas pequeña. Por lo tanto, la fuerza real requerida para mantener a la placa en movimiento se puede escribir como F = µAuo/l, donde µ se llama coeficiente empírico de viscosidad dinámica, se mide en kg/m s. Si representamos la cortante vertical dentro del fluido como uo/l = δu/δz, entonces a fuerza de fricción por unidad de área, se puede escribir en la forma:

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F = µA

∂u ∂z

donde F representa la fuerza en dirección x requerida para sobreponerse al efecto viscoso de la cortante vertical de la componente zonal del viento y z la coordenada vertical. Cuando δz → 0, la tensión tangencial o fuerza viscosa por unidad de área, se puede escribir en la forma

τ zx = µ

∂u ∂z

donde el subíndice “zx” indica que esta es la componente de la tensión tangencial (en dirección x) que surge de la cortante vertical (z) de la componente de la velocidad en dirección x. Desde el punto de vista molecular, una molécula que se mueve un pequeño z hacia el fondo de la columna de fluido, transporta momento que adquiere del movimiento de la placa alrededor del fluido. Así, existe transporte neto hacia debajo de momento en dirección x y este transporte de momento por unidad de tiempo por unidad de área es la tensión tangencial τzx. uo

z=l u(l)=uo u(z) z=0

u(0)=0

Figura 2.2 Ilustración de un flujo tangencial viscoso estacionario en 1-D debajo de una placa en movimiento.

El ejemplo anterior considera el movimiento estacionario de una placa en el tope de una columna de fluido. En la naturaleza las fuerzas viscosas resultan de flujos tangenciales no estacionarios. Para hacer el análisis, consideremos un elemento de volumen como el de la figura 2.3 que representa el caso de flujo tangencial no estacionario en 2D de un fluido de densidad constante. El análisis es análogo al que se hizo para la fuerza de presión. Se puede desarrollar la tensión tangencial en serie de Taylor para calcular su valor en las caras del

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tope y en del fondo del elemento de fluido. La tensión que actúa en el borde superior sobre el fluido de abajo se puede aproximar por

τzx + ∆τzx τzx

δz δy z

τzx - ∆τzx δx

y x

Figura 2.3 Ilustración de la componente x de la tensión tangencial vertical sobre un elemento de fluido infinitesimal.

τ zx +

∂τ zx ⎛ δz ⎞ ⎜ ⎟ ∂z ⎝ 2 ⎠

mientras que la tensión que actúa en el borde inferior sobre el fluido de abajo se puede aproximar por

τ zx −

∂τ zx ⎛ δz ⎞ ⎜ ⎟ ∂z ⎝ 2 ⎠

De acuerdo a la tercera ley de Newton esta tensión debe ser igual y opuesta a la tensión que actúa a través del borde del fondo sobre el fluido justo arriba. Como interesa la tensión neta que actúa sobre el elemento de volumen, debemos hacer la suma de las fuerzas que actúan sobre el fluido dentro del elemento de volumen. Se encuentra que la fuerza viscosa neta sobre el elemento de volumen que actúa en la dirección x está dada por ∂τ δz ⎞ ∂τ δz ⎞ ∂τ ⎛ ⎛ ⎜τ zx + zx ⎟δxδy − ⎜τ zx − zx ⎟δxδy = zx δxδyδz ∂z 2 ⎠ ∂z ∂z 2 ⎠ ⎝ ⎝

Dividiendo esta expresión por la masa del volumen elemental, ρδxδyδz, encontramos que la fuerza viscosa por unidad de masa que surge de la cortante vertical de la dirección x, (u), del movimiento es

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1 ∂τ zx 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ = ⎜µ ⎟ ρ ∂z ρ ∂z ⎝ ∂z ⎠ Si µ es constante, la anterior se puede simplificar por

1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u = µ υ ⎜ ⎟ ρ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂z 2 o Fr = υ

∂ 2u ∂z 2

donde υ = µ/ρ se llama coeficiente empírico de viscosidad cinemática, su valor para el aire es 1.46x10-5 m2/s. Deducciones análogas se pueden realizar para determinar la tensión viscosa que actúa en las otras direcciones. Las componentes de las fuerzas de fricción por unidad de masa que se obtiene en las direcciones x, y y z son: ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ Frx = υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞ Fry = υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞ Frz = υ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

Debajo de los 100 km de atmósfera la viscosidad cinemática υ es tan pequeña que se puede despreciar, excepto dentro de unos pocos mm sobre la superficie de la Tierra, donde la cortante vertical es muy grande, del orden de 103 s-1.

2.2 Fuerzas aparentes.

Cualquier movimiento relativo a un sistema de coordenadas fijo en el espacio es conocido como movimiento inercial y el sistema de referencia en el cual se mide ese movimiento se llama sistema de referencia inercial. La Tierra tiene, entre otros, un movimiento de traslación en torno al Sol y de rotación en torno a su eje, por lo tanto no es un sistema de referencia inercial. Para cada uno de Juan Carlos Inzunza

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esos movimientos se puede determinar una aceleración centrípeta. Al aplicar las leyes de Newton a las partículas en movimiento sobre la superficie terrestre, se deben tener en cuenta estas aceleraciones. Se puede describir el movimiento de una parcela de fluido respecto a un sistema de referencia fijo a la Tierra que esta girando, y hacer una transformación de coordenadas para considerar esta rotación. En ese proceso surgen las fuerzas aparentes. 2.2.1 Fuerza centrípeta.

Cada punto en la superficie terrestre está ubicado a una cierta distancia del eje de rotación de la Tierra. Dependiendo del valor de la distancia, un punto gira alrededor de este eje, con una rapidez constante, pero muy alta. Por ejemplo en Concepción su valor es 372 m/s. Este punto también está sometido a una aceleración centrípeta hacia el eje de rotación, que produce una fuerza centrípeta de valor, por unidad de masa dv = −ω 2 r dt

Para poder aplicar la ley de Newton, otra fuerza debe balancear exactamente a esta fuerza centrípeta, esta es una fuerza aparente llamada fuerza centrífuga, dirigida directamente hacia afuera a lo largo del eje de rotación, de valor, por unidad de masa Fc = ω 2 r 2.2.2 Fuerza de Coriolis.

La fuerza de Coriolis tiene dos componentes, meridional y vertical, como se observa en la figura 2.4, cuyos valores son: dv = −2Ωusenφ dt

y

dw = 2Ωu cos φ dt

donde u, v y w son las componentes zonal, meridional y vertical del viento, respectivamente, Ω = 7.292x10-5 s-1 es la velocidad angular de la Tierra y φ es la latitud. También se puede demostrar que la componente zonal de la fuerza de Coriolis es

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du = 2Ωvsenφ − 2Ωw cos φ dt

Ω 2Ω u cosφ

R

2Ω u 2Ω u senφ

φ

Ecuador

Figura 2.4 Componentes de la fuerza de Coriolis.

Definiendo el parámetro de Coriolis f = 2 Ω senφ, las componentes en 3D de la fuerza de Coriolis son: du = fv − 2Ωw cos φ dt dv = − fu dt dw = 2Ωu cos φ dt

El parámetro de Coriolis al depender de la latitud es cero en el ecuador y máximo en los polos. Puesto que la fuerza de Coriolis es una fuerza aparente que surge de la aceleración de la Tierra en rotación, considerando un valor para Ω, tiene mas consecuencias de lo que se puede pensar, relacionadas con la duración del día. El día solar es el intervalo entre dos mediodías sucesivos, o dos pasos sucesivos del Sol sobre el mismo meridiano y tiene 24 horas de duración. La Tierra completa una vuelta en torno al Sol en sentido antihorario cuando es vista desde arriba del plano de la eclíptica. En un año la Tierra gira (de oeste a este) durante 365.25 días solar. Pero cuando es vista desde la perspectiva de las aleJuan Carlos Inzunza

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jadas estrellas fijas, la Tierra realmente gira 366.25 veces sobre su eje en un tiempo de un año. Por lo tanto cada rotación respecto a las estrellas fijas se completa en

(365.25 día solar ) × (24 ⋅ 3600 s día solar ) = 86164.096 s rotación 366.25 rotaciones

que es la longitud del día sideral. El día sideral se define como el período de rotación medio con referencia a las estrellas fijas, y tiene una duración de 23 horas 56 minutos y 4.096 segundos de tiempo solar medio. Para aplicar las leyes de Newton correctamente, se debe corregir la aceleración basándose en el sistema de coordenadas de la Tierra, como se observa desde las estrellas fijas. Entonces se debe determinar Ω usando la longitud del día sideral Ω=

2π = 7.292 × 10 −5 s −1 86164.096s

El día civil tiene 24 horas, y se emplea para todos los fines civiles y para muchos fines astronómicos. En la actualidad el día civil comienza con la medianoche del horario local. En la antigüedad el día comenzaba con la salida del Sol entre los babilonios y con la puesta del Sol entre los atenienses y los judíos. A efectos religiosos (sobre todo entre los judíos) se sigue considerando que el día comienza con la puesta de Sol. El día Juliano se basa en un calendario que empieza a las doce del mediodía del primero de enero de 4713 a. J.C. Lo introdujo Scaliger en 1582 (Joseph Scaliger , francés, 5 de agosto de 1540 - 21 de enero de 1609) . La denominación de “Juliano” es en honor del padre de Scaliger y no tiene ninguna relación con el Calendario Juliano. Los días julianos los emplean los observadores de estrellas variables y sirven para datar fenómenos de larga duración. Finalmente, es importante notar que la fuerza de Coriolis siempre es perpendicular al vector velocidad, y no puede realizar trabajo sobre la partícula en movimiento. Entonces solo puede cambiar la dirección del movimiento de un cuerpo, pero no puede iniciar el movimiento cuando el objeto está en reposo. Estas son las fuerzas que se consideran para formular la ecuación de movimiento para la Tierra en rotación, con la cual se puede analizar la dinámica de la atmósfera de latitudes medias.

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Ejemplo: Supongamos que una parcela de aire en Concepción se mueve hacia el este con una rapidez de 10 m/s, ¿cuanto se desvía la parcela y hacia donde por la acción de la fuerza de Coriolis, después de moverse a lo largo de 50 km?

Solución. Como ac = -2Ω × v se puede escribir en términos de sus componentes cartesianas de la forma: aC = (2Ωvsenφ − 2Ωw cos φ )iˆ − 2Ωusenφˆj + 2Ωu cos φkˆ = aCx iˆ + aCy ˆj + aCz kˆ ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ = 2Ωvsenφ - 2Ωwcosφ ⎝ dt ⎠ C ⎛ dv ⎞ ⎜ ⎟ = -2Ωusenφ ⎝ dt ⎠ C ⎛ dw ⎞ ⎜ ⎟ = 2Ωu cos φ ⎝ dt ⎠ C

Para encontrar la desviación integramos dv/dt)C:

∫

v

o

∫

t

dv = − 2Ωuo senφdt ⇒ v = −2Ωuo senφt o

∫

∫

∫

y1 t t dy → dy = vdt ⇒ ∆y = −2Ωuo senφ tdt y0 o o dt ∴ ∆y = −Ωuo senφt 2

v=

En Concepción: φ = -36.8º S, uo=10m/s, ∆x=50km, Ω = 7.292 x 10-5 rad/s,

∆x ∆x 50 ⋅ 103 m uo = ⇒ ∆t = = = 5 ⋅ 103 s ∆t uo 10m / s ∆y = −7,292 ⋅ 10 −5 s −1 × 10m / s × sen(− 36,8) × (5000 s ) = +11km. 2

Se desvía 11 km hacia el norte.

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EJERCICIOS.

2.1 Calcular el radio de la órbita de un satélite geostacionario y su rapidez tangencial. Resp: 35900 km, 3075 m/s. 2.2 Un satélite geostacionario ubicado en 90º W debe ser movido a 105º W en un desplazamiento de emergencia, que debe ser realizado en tres horas. Calcular el cambio en el radio de la órbita del satélite durante el desplazamiento. Resp: 1059 km. 2.3 En una estación en superficie en 40º S el viento tiene una rapidez de 15 m/s y está dirigido a través de las isobaras desde las altas a las bajas presiones en un ángulo de 25º. Calcular la magnitud de la fuerza del gradiente horizontal de presión y de la fuerza de fricción por unidad de masa. Resp: F = 6.6x10-4 m/s2, FP = 1.5 x10-3 m/s2 2.4 En un día típico en latitudes medias, la densidad del aire a nivel del mar es aproximadamente 1.25 kg/m3. Calcular la diferencia de presión a nivel del mar en una distancia de 100 km para que la fuerza de presión horizontal sea igual a la fuerza de presión vertical. ¿Es esto posible sobre Tierra? Resp: 12262.5 hPa, físicamente imposible en Tierra. 2.5 Una pelota de fútbol en 30º S se mueve hacia el norte una distancia de 75 m en 2 s. Calcular la dirección y desviación que sufre la pelota por efecto de la rotación de la Tierra. Resp: 0.547 cm, hacia el este. 2.6 Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba con una rapidez wo desde algún punto de la superficie terrestre. Determinar el desplazamiento del proyectil por efecto de la rotación terrestre, en función de la latitud, wo, 4Ωwo3 cos φ . y la rotación de la Tierra. Resp: 3g 2 2.7 Un objeto en reposo en el ecuador experimenta tres aceleraciones: una hacia el centro de la Tierra producida por su rotación, otra hacia el centro del Sol debido al movimiento de traslación en una órbita aproximadamente circunferencial y otra hacia el centro de la Vía Láctea. Calcular la magnitud de esas tres aceleraciones. Considere que el periodo de rotación del Sol en torno al centro de la galaxia es 2.5x108 años en una distancia de 2.4x1017 km. Resp: 3.37x10-2 m/s2, 5.95x10-3 m/s2, 1.5x10-8 m/s2.

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