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Uso do diâmetro hidráulico(recomendação principal para escoamento turbulento)

O procedimento de cálculo da força de atrito é sumarizado a seguir: !"Para o cálculo da força de atrito, a definição e cálculo dos termos de Ecc, Ac, f e Re permanecem os mesmos para tubos exceto que o diâmetro interno do tubo é substituído pelo diâmetro equivalente ou diâmetro hidráulico, dH, definido como: d H = 4rh = 4

área da seção transversal do conduíte/canal perímetro molhado do conduíte/canal

sendo, rh conhecido como o raio hidráulico. Ou seja, teremos:

π d H L ρ vm2 f 8 ρv d Re h = m H µ Fat =

!"Para o cálculo da queda de pressão no BQM a área da seção transversal deve ser tomada em relação à área de um tubo com diâmetro equivalente ao diâmetro hidráulico (veja procedimento de cálculo da queda de pressão à p.104). Exemplo 01:

tubo

πd2 dH = 4 4 = d πd Exemplo 02:

espaço anular entre dois tubos

π d 22 π d12 − 4 4 = d −d dH = 4 2 1 π d1 + π d 2

Exemplo 03:

duto retangular de lados a e b dH = 4

Exemplo 04:

ab 2ab = 2a + 2b a + b

canais retangulares abertos ou parcialmente enchidos dH =

4 (by ) (y altura de líquido pelo canal) b + 2y

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Portfolio de: Outros exemplos – consulte manual do Perry & Green(Perry's Chemical Engineer's Handbook)

Exercícios: exercício 01:

Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao duto da figura a seguir, em que L=1m.

exercício 02:

Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao escoamento pela seção hachurada no duto da figura a seguir. O diâmetro do casco vale 1m e cada um dos quatro tarugos tem 10cm de diâmetro.

Observações importantes: (1) É necessário saber deduzir as fórmulas dos diâmetros equivalentes(é importante para a prática da engenharia) , assim use os exemplos anteriores como exercícios! (2) A origem da definição do raio hidráulico e diâmetro equivalente remonta à caracterização da área de atrito e da área da seção transversal de escoamento (veja exposição de White à página 250), ou seja, a idéia do uso do diâmetro hidráulico é substituir o duto não circular por um duto circular com diâmetro Dh que tenha forneça um atrito equivalente ao duto não circular. (3) No diagrama de Moody (e correlações a ele equivalentes), no lugar do diâmetro . A usa-se o diâmetro equivalente e a rugosidade relativa é definida como ε Dh precisão do uso do diagrama de Moody é surpreendente. White aponta erros de apenas 15% na região de escoamento turbulento. Infelizmente para escoamento em regime laminar, erros bem mais significativos ocorrem! (4) Quando é possível obter o fator de atrito de considerações teóricas (é o caso dos escoamentos laminares), deve-se usar este ao invés da aproximação via o uso do diâmetro equivalente. É o caso de escoamento entre placas paralelas e no espaço anular de tubos. Para o último caso, o uso apenas do diâmetro equivalente nos projetos leva a erros de 10%. White mostra como minimizar este erro (p. 253-254). Daí se percebe a utilidade de se obter os perfis de velocidade... UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S

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Obtenção de correlações a partir de perfis de velocidade conhecidos(escoamento laminar)

O cálculo do fator de atrito para escoamento laminar em duto de seção anular – cilindro interno de raio externo r1 e cilindro externo de raio interno r2 é obtido da seguinte equação: 64ζ f = Re h sendo ζ um fator de correção para o diâmetro hidráulico definido na tabela a seguir (extraída de White, p. 254) : 2 r1 f Reh r22 − r12 ) ( 4 4 r2 r2 − r1 − ln r2 r1 ζ −1 = 2 (r2 − r1 ) (r22 − r12 ) 0 10-5 10-4 10-3 10-2 5×10-2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

64 70.09 71.78 74.68 80.11 86.27 89.37 92.35 94.71 95.59 95.92 96

1 0.913 0.892 0.857 0.799 0.742 0.716 0.693 0.676 0.670 0.667 0.667

Para o cálculo do fator de atrito em dutos de retangulares e triangulares a seguinte tabela extraída de White (capítulo 6) pode ser usada:

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CÁLCULO DA QUEDA DE PRESSÃO EM DUTOS NÃO CIRCULARES DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE A PARTIR DO BQM E DO USO DO DIÂMETRO HIDRÁULICO Para escoamento em regime permanente, desenvolvido, incompressível, isotérmico, sem alteração de composição, em dutos horizontais de área constante, temos do BQM que: ∆P =

Fat AST

(E1)

A fórmula para o fator de atrito é dada como: Fat =

1 1 Ecc Ac f = ρ vm2 Ac f 4 8

Sendo a área característica do atrito Ac obtida como sendo a área superficial do duto, a saber: Ac = PM L sendo, PM o perímetro molhado e L o comprimento do duto De forma que: 1 Fat = ρ vm2 PM Lf 8

(E2)

Por exemplo podemos obter as seguintes equações para a força de atrito: Para tubos: Para dutos de seção quadrada de lado l:

1 Fat = ρ vm2 π dLf 8 1 Fat = ρ vm2 l 2 Lf 8

Substituindo (E2) em (E1) temos que: 1 P L ∆P = ρ vm2 M f 8 AST

(E3)

Mas sabemos que: dH = 4

AST PM

(E4)

E assim, substituindo (E4) em (E3) temos que:

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Portfolio de: ∆P =

1 2 L ρ vm f 2 dH

(QP)

Exemplo de cálculo: Para tubos: 1 L ∆P = ρ vm2 f 2 d Para dutos de seção quadrada de lado l: d H = l 1 L ∆P = ρ vm2 f 2 l Note que a dedução da equação (QP) corresponde a se calcular a queda de pressão como a seqüência a seguir: 1 Fat = ρ vm2 π d H Lf 8 πd2 ASTH = H 4 Fat ∆P = ASTH Para tubos: 1 1 4 1 L ρ vm2 π lLf = ρ vm2 f Fat = ρ vm2 π dLf ⇒ ∆P = 2 8 8 πd 2 d Para dutos de seção quadrada de lado l: d H = l 1 1 4 1 L ρ vm2 π lLf = ρ vm2 f Fat = ρ vm2 π lLf ⇒ ∆P = 2 8 8 πl 2 l Observação 1:

Observação 2:

π d H2 a não consideração que AST = leva a erros acentuados. Por 4 exemplo para o duto de seção quadrada o erro na previsão da queda π de pressão será de um fator de , ou seja, a não reinterpretação da 4 área leva a uma previsão de queda de pressão praticamente 25% menor. erros de previsão de queda de pressão sempre existirão, uma vez que a fórmula do fator de atrito de Newton é empírica!

Exemplos recomendados para leitura: White: exemplo 6.14, 6.15

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Portfolio de: Exercícios recomendados da lista: White:

P6.18, P6.89, P6.96

Exercícios: Exercício 01:(adaptado do exemplo 6.15 de White) Por um duto horizontal quadrado de 229mm de lado e 30m de comprimento de rugosidade 0.091mm escoa um fluido à temperatura de 20oC. Pede-se calcular a queda de pressão para o escoamento de: a-) ar a uma vazão de 0.708m3/s. Considere que o escoamento seja incompressível. Admita a massa específica do ar e viscosidade cinemática como sendo 1.22 kg/m3 e 1.46×10-5 m2/s. resp.: 258 Pa b-) glicerina a uma velocidade média de 5 m/s.

Exercício 02: Ar à pressão atmosférica e a 20oC escoa com uma velocidade média de 36 m/s pelo casco de um trocador casco e tubo de diâmetro interno de 6cm. Cada um dos 7 tubos internos ao casco tem 2cm de diâmetro externo, conforme a figura ao lado. Admitindo todas as superfícies como sendo lisas, determine a queda de pressão por unidade de comprimento no lado do casco. Admita a pressão atmosférica local de 105Pa, a massa molar do ar de 28.8 g/mol e a constante universal dos gases de 8.314 (Pa m3)/(mol K).

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Exercício 03: Fabricantes de válvulas para tubos citam que a seguinte equação, chamada de equação de válvula é válida para descrever a vazão volumétrica que escoa por uma válvula parcialmente aberta: ∆P ρ sendo, cv chamado de coeficiente ou constante da válvula e ∆P a diferença entre a pressão na entrada e saída da válvula. Q = cV

Use o BQM e a fórmula de Newton para a força de atrito para obter a equação acima, mostrando o significado do termo cv e discuta se a constante da válvula é de fato um número constante ou uma variável.

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Portfolio de: Observação: As figuras a seguir mostram válvulas de controle (aquelas que permitem uma manipulação automática da abertura da válvula) típicas.

Para válvulas de controle, a recomendação da ISA (Instrumentation Society of America) para a apresentação da equação da válvula para fluidos incompressíveis é: Q = cV f

∆P ρ

O cálculo do fator f depende da abertura da válvula e do tipo de válvula e as válvulas de controle podem ser agrupadas no que tange ao cálculo deste fator em dois grupos principais (Luyben, 1989): válvulas lineares:

f ( Av ) = Av

sendo, Av a abertura da válvula. válvulas de igual percentagem:

f ( Av ) = α Av −1 sendo, α um fator dependente da válvula considerada e em geral compreendido na seguinte faixa de valores: 20 ≤ α ≤ 50 .

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Portfolio de: Ainda, para o cálculo do fator f costuma-se adotar para a abertura da válvula a fração aberta, i.e. 0 ≤ Av ≤ 1 ao invés de 0 ≤ Av ≤ 100 (%) . Referência citada: LUYBEN, W,L., Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, MacGraw Hill, 2a edição, 1989 Exercício 04: (prova da turma 3E do 2o semestre de 2002) A figura a seguir apresenta dois tubos concêntricos, sendo que nitrogênio a 25oC e 1 atm (1atm=1.01325×105Pa) escoa pelo espaço anular em regime estacionário, laminar e desenvolvido.

Pode-se demonstrar que o perfil de velocidades nestas condições é representado pela seguinte equação:   2 2  P −P r −r r  v = e s  r22 − r 2 − 2 1 ln 2  r 4µ L  r ln 2   r1 Pede-se: 1. A equação do perfil de velocidades obedece à condição de não escorregamento? Justifique.

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Portfolio de: 2. Determine a expressão do diâmetro hidráulico para o escoamento. Lembre-se que o diâmetro hidráulico é definido como: d H = 4rh = 4

área da seção transversal do conduíte/canal perímetro molhado do conduíte/canal

3. Qual o valor da densidade do nitrogênio? (Dados: massa molar = 28 g/mol; constante universal dos gases = 8.314 Pa m3mol-1K-1)

4. Qual o valor da viscosidade do nitrogênio a 25oC? É dada a seguinte tabela, extraída de Geankoplis (1993) Viscosidade de alguns gases em (cP – 1cP=10-3 no SI) Temperatura (oC) -17.8 0 10.0 37.8 65.6 93.3 121.1 148.9 176.7 204.4 232.2 260.0

H2 0.00800 0.00840 0.00862 0.00915 0.00960 0.0101 0.0106 0.0111 0.0115 0.0119 0.0124 0.0128

O2 0.0181 0.0192 0.0197 0.0213 0.0228 0.0241 0.0256 0.0267 0.0282 0.0293 0.0307 0.0315

N2 0.0158 0.0166 0.0171 0.0183 0.0196 0.0208 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0273

CO 0.0156 0.0165 0.0169 0.0183 0.0195 0.0208 0.0220 0.0231 0.0242 0.0251 0.0264 0.0276

CO2 0.0128 0.0137 0.0141 0.0154 0.0167 0.0179 0.0191 0.0203 0.0215 0.0225 0.0226 0.0247

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Portfolio de: 5. A partir da tabela apresentada no item 4, percebe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Este comportamento também é esperado para líquidos? Justifique.

6. Verifique se o escoamento é de fato laminar, sabendo-se que o diâmetro interno do tubo maior é 2.664cm e o diâmetro externo do tubo menor é de 1.373cm. A velocidade média do escoamento é 2 m/s.

7. Pode-se mostrar que a velocidade média do escoamento pode ser calculada a partir da seguinte fórmula:   2 2  P −P r −r vb = e s  r22 + r12 − 2 1  r 8µ L  ln 2   r1  Qual o valor da queda de pressão ao longo de 1 m de tubulação?

8. Qual das seguintes fórmulas você escolheria para calcular o fator de atrito de Darcy para o escoamento? Os tubos são de aço comercial. Justifique. (a)

(b)

(c)

f =

64 Re

1.1  ε    1 6.9  d   = −1.8log  +  Re  3.7   f    

f = 0.184 Re −0.2

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Portfolio de: 9. Efetue um balanço de quantidade de movimento macroscópico e aplicando a fórmula de Newton para a força de atrito, verifique se o mesmo valor da queda de pressão é obtido em relação ao valor do item 7.

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