CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 1 1. En este ejercicio se trata de dibujar el siguiente subconjunto de R3 llamado hiperboloide de una hoja (a, b, c > 0): ½ ¾ 2 y2 z2 3 x V = (x, y, z) ∈ R : 2 + 2 − 2 = 1 a b c a) Estudiar los cortes de V con planos horizontales z = α. ¿C´omo var´ıan los cortes en funci´on de α? Deducir que la figura es sim´etrica respecto al plano z = 0. b) Estudiar ahora los cortes con los planos verticales: x = 0, y = 0, y en general y = λx, observando que el resultado son hip´erbolas. c) Esbozar un dibujo. 2. Realizar un estudio como el del ejercicio anterior para los siguientes conjuntos: (a, b, c, p > 0) y2 b2

(1) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

x2 a2

(2) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

2

x a2

+

y b2

= 1} (Cilindro El´ıptico)

(3) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

x2 a2

+

y2 b2

−

(4) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

x2 a2

−

y2 b2

= 1} (Cilindro Hiperb´olico)

(5) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

z2 c2

=1+

(6) V = {(x, y, z) ∈ R3 : 3

(7) V = {(x, y, z) ∈ R :

+

x2 a2 x2 a2 2

−

x2 a2

−

+

2

2

y b2 y2 b2

+

z2 c2

z2 c2

x2 a2

= 1} (Elipsoide)

= 0} (Cono)

+

y2 b2 }

(Hiperboloide de dos hojas)

= 0} (Planos que se cortan) − 2cz = 0} (Paraboloide el´ıptico)

(8) V = {(x, y, z) ∈ R3 : y − 2px = 0} (cilindro parab´olico) (9) V = {(x, y, z) ∈ R3 : montar)

y2 b2

− 2cz = 0} (Paraboloide hiperb´olico o silla de

(10) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − a2 = 0} (par de planos paralelos) 3. Dibujar el conjunto: M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x2 + y 2 − z 2 ≥ 1} 4. Dibujar el conjunto M = {(x, y) ∈ R2 : (y 2 − 1)(x2 − y) ≤ 0} 5. Dibujar el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 + x2 + y 2 ≤ z 2 ≤ 4} 6. Dibujar el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 : (y 2 + z 4 )(x2 − y 2 − 1) = 0}

C´ alculo Diferencial. Grupo D Hoja 2 1. Consideremos E un espacio vectorial con un producto escalar h·, ·i. Probar que hx, 0i = 0 para todo x ∈ E. 2. Si h·, ·i es un producto escalar definido enp un espacio vectorial E, y ||·|| es la norma asociada a este producto escalar (es decir || · || = hx, xi, para todo x ∈ E), demostrar que (i) (Ley del paralelogramo) 2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x − y||2 , (ii) ||x + y|| ||x − y|| ≤ ||x||2 + ||y||2 ; ¿Cuando se obtiene la igualdad? (iii) (Indentidad de Polarizaci´on) 4hx, yi = ||x + y||2 − ||x − y||2 , para todo x, y ∈ E. Interpretar geom´etricamente estos resultados en el caso de R2 en t´erminos del paralelogramo formado por los vectores x e y. 3. Probar que si E es un espacio vectorial y || · || una norma en E, entonces para todo x, y ∈ E se verifica que ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 4. Comprobar que la expresi´on |(x, y)| := (x2 + y 2 + xy)1/2 define una norma en R2 . (Indicaci´on: | · | est´a inducida por un producto escalar en R2 .) 5. Consideremos dos conjuntos A, B ⊂ Rn , siendo A abierto. Probar que el conjunto A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} es abierto en Rn . 6. Utilizando argumentos u ´nicamente geom´etricos, justificar que R2 \ {(0, 0)} y S = {(x, y) ∈ 2 R : xy > 1} son conjuntos abiertos en R2 . 7. Demostrar que todo conjunto finito de Rn es un conjunto cerrado en Rn . 8. Utilizando argumentos u ´nicamente geom´etricos, justificar que el subconjunto de R3 , A = 3 2 2 {(x, y, z) ∈ R : x + y + 1 < z 2 } es abierto en R3 . 9. Prueba que toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado en Rn . ¿Es esto cierto en todo espacio m´etrico? 10. Prueba que la adherencia de cualquier bola abierta B(x, r) en Rn (x ∈ Rn y r > 0) es la bola cerrada B(x, r). ¿Es esto cierto en todo espacio m´etrico? 11. ¿Es el conjunto de los n´ umeros racionales Q abierto o cerrado en R? 12. En un espacio m´etrico (M, d), denotamos por inte(C) al interior de un subconjunto C de M . Demostrar que para cualesquiera subconjuntos A, B ⊂ M : (i) inte(A ∩ B) = inte(A) ∩ inte(B). (ii) inte(A ∪ B) ⊃ inte(A) ∪ inte(B). Probar con un ejemplo que la inclusi´on puede ser estricta. (iii) A ∪ B = A ∪ B. (iv) A ∩ B ⊂ A ∩ B. Probar con un ejemplo que la inclusi´on puede ser estricta. (iv) inte(A) es abierto, A y A0 son cerrados, (v) inte(A) es el mayor abierto contenido en A, (vi) A es el menor cerrado que contiene a A, (vii) inte(inte(A)) = inte(A) y A = A. 13. Decimos que un punto x ∈ A, donde A es un subconjunto de un espacio m´etrico (M, d) es un punto aislado de A si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ A = {x}. Da un ejemplo de un subconjunto A en R2 con infinitos puntos de acumulaci´on, tal que todos los puntos de A son aislados.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA 3 1 Determinense (usando argumentos geom´etricos) el interior, la adherencia, la acumulaci´ on, la frontera y los puntos aislados de los siguientes conjuntos: a) {(x, y) : x2 − y 2 = 1} ⊂ R2 b) {(x, y) : xy ≥ 1} ⊂ R2 c) {(x, y, z) : z 2 = x2 + y 2 } ⊂ R3 d) {(x, y) : x2 ≤ y 3 } ⊂ R2 1 2 e) {( m n , m ) : m, n ∈ Z, m, n 6= 0} ⊂ R

f) {(x, y, z) : x = y = z} ⊂ R3 g) {(x, y, z) : x + y + z = 0, x2 + y 2 ≤ 1} ⊂ R3 h) {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, z 2 < 1} ⊂ R3 2 Calc´ ulese A, siendo A = ∪∞ n=1 An , en los siguientes casos: a) An = {(x, y, n) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤

1 n}

b) An = {(x, y) ∈ R2 : ny = x, x2 + y 2 ≥

1 n2 }

3 Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 + y 2 < |y|}. H´allense (con argumentos geom´etricos) su interior, su adherencia y su frontera. 4 Est´ udiese la compacidad de los siguientes conjuntos: a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ x} S∞ b) n=1 {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = n−1 } Pn c) {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : i=1 |xi | ≤ 1} d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + |y| ≥ 1} S e) n∈N {(x, y, n1 ) : x2 + y 2 ≤ n12 } ⊂ R3 2 f) {(x, y) : x22x −y 2 ≤ 1, |x| > |y|} ⊂ R S∞ S g) n=1 {(x, n1 ) : 1 − n1 ≤ x ≤ 2 + n1 } ([1, 2] × {0}) ⊂ R2

C´ alculo Diferencial. Grupo D. Hoja 4 1. Demostrar que una sucesi´on en Rn no puede converger a dos puntos distintos. ¿Es esto cierto en todo espacio m´etrico? ∞ 2. Consideremos las sucesiones en R2 , {an }∞ n=1 y {bn }n=1 , siendo     2 n π n+1 π −n2 n + n + 1 an = sin( n), cos( n) , bn = e , . n+1 2 n 2 3n2 + 1

3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19.

(a) Encontrar dos subsucesiones de {an }∞ ımites. n=1 convergentes a distintos l´ (b) Estudiar si son acotadas y si son convergentes. P cos(iπ) (sen i)i Consideremos en R2 la serie ∞ , i2 ). ¿Es esta serie convergente? ¿Es i=1 vi , siendo vi = ( i absolutamente convergente? Consideremos en Rn una sucesi´on {xk } convergente a un punto x. Pru´ebese que el conjunto {xk : k ∈ N} ∪ {x} es compacto. ¿Es la uni´on de dos compactos en Rn un conjunto compacto? ¿Es todo conjunto finito en Rn un conjunto compacto? (i) Se consideran los subconjuntos de R2 definidos como    (−1)n+1 (−1)n n : n ∈ N ∪ {(0, 0)}, M1 = ,e n2    (−1)n+1 n cos(nπ) M2 = : n ∈ N ∪ {(0, 1), (0, −1)}. , n2 n+1 Estudiar si son acotados y si son cerrados. ¿Son compactos? (ii) Hacer lo mismo en R3 para el subconjunto    n+1 n 1 n M3 = (−1) , n , (−1) : n ∈ N ∪ {(1, 0, 1), (−1, 0, 1), (−1, 0, −1)}. n 2 Probar que la frontera de un conjunto acotado en Rn es siempre compacta. Sea A ⊂ Rn un subconjunto no vac´ıo. Se define d(x, A) := ´ınf{||x − a|| : a ∈ A}. Demostrar que A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Demuestra que todo conjunto infinito y acotado de Rn posee al menos un punto de acumulaci´on. (Esta es otra formulaci´on del Teorema de Bolzano-Weirstrass). En R, consideramos el conjunto A = ([0, 1] ∩ Q) ∪ {2}. Dar tres abiertos relativos y tres cerrados relativos de A. En R2 , consideramos los conjuntos A = [0, 3) × [0, 3) y B = ([0, 3) ∩ Q) × [0, 3). Dar tres abiertos relativos y tres cerrados relativos de A y B. Determinar las componentes conexas de los siguientes subconjuntos de Rn : (a) [0, 1] ∪ [2, 3] (en R). (b) Z (en R). (c) Q ∩ [0, 1] (en R). (d) Rn \ {x ∈ Rn : ||x|| = 1} (en Rn ). Probar que en la definici´on de conjunto conexo por caminos siempre podemos considerar que los caminos est´an definidos en un intervalo prefijado [r, s] con r < s. Supongamos que existen caminos continuos en Rn , p1 que une x ∈ Rn con y ∈ Rn y p2 que une y con z ∈ Rn . Probar que existe un camino continuo en Rn que une x con z. (i) Sea p : [0, 1] −→ Rn un camino continuo en Rn tal que p(0) = x ∈ Rn y p(1) = y ∈ Rn . Dar una expresi´on de un camino continuo q : [0, 1] −→ Rn , tal que q(0) = y y q(1) = x. (i) Consideremos el subconjunto de R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : x o´ y son naturales }. Hacer un dibujo aproximado de este conjunto y definir un camino continuo en A que vaya del punto (1, 1) al (4, 2). ¿Es A conexo por caminos? (ii) Consideremos la circunferencia C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Para cualesquiera dos puntos v, w ∈ C, encontrar la expresi´on expl´ıcita de un camino continuo en C que une v con w. Hacer lo 2 2 mismo para la elipse E = {(x, y) ∈ R2 : xa2 + yb2 = 1} (a, b > 0). Consideremos {Ai }i∈I una familia arbitraria de subconjuntos de Rn conexos por caminos. Probar que si ∩i∈I Ai 6= ∅, entonces ∪i∈I Ai es conexo por caminos. Demostrar que un subconjunto A de Rn es conexo si y s´olo si los u ´nicos subconjuntos de A que son a la vez abiertos y cerrados relativos en A son A y ∅. Sea A ⊂ Rn un subconjunto no vac´ıo, abierto y conexo. Probar que entonces A es conexo por caminos Indicaci´on: Seleccionamos un punto a ∈ A y consideramos el subconjunto B = {x ∈ A : existe un camino continuo en A que conecta a y x}. Probar que B y A \ B son abiertos.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA 5 1. En los siguientes casos, est´ udiese si M y M \ {(0, 0)} son conexos: a) M = {(x, y) : x2 + (y + 1)2 ≤ 1} ∪ {(0, y) : 0 ≤ y < 1} b) M = {(x, y) : x ∈ Q , 0 < y ≤ 1} ∪ {(x, y) : x 6∈ Q , −1 ≤ y < 0} ∪ R × {1} ∪ R × {−1} ∪ {(0, 0)} c) M = {(x, y) ∈ R2 : y = αx, x ∈ R, α ∈ R \ Q} 2. Est´ udiese si son conexos o conexos por caminos los conjuntos: a) R2 \ M , siendo M numerable. b) {(x, y) : 1 < 4x2 + 9y 2 < 9; x 6=

1 n, n

∈ N, n > 1} ∪ {(x, y) : 1 = 4x2 + 9y 2 } ⊂ R2 .

3. Sea A un subconjunto conexo de Rn que contiene m´as de un punto, pru´ebese que todos sus puntos son de acumulaci´on. 4. Est´ udiese la existencia de l´ımite en el origen para las funciones: exy x+1 2 +y 2 ) c) f (x, y) = sin(x x2 +y 2 2 y e) f (x, y) = x2x+y 2 x4 y g) f (x, y) = x4 +y4 3 i) f (x, y) = x2x+y2 xy k) f (x, y) = e x−1 x|y| m) f (x, y) = (x2 +y 2 )1/2 sin(x−y) o) f (x, y) = (x2 +y2 )1/2 2 2 q) f (x, y) = xsin+y xy

a) f (x, y) =

b) f (x, y) =

y x

sin(x2 + y 2 )

d) f (x, y) = (x + y) sin x1 sin y1 x2 y 2 x2 y 2 +(x−y)2 = x1 sin xy 2 1/2

f) f (x, y) = h) f (x, y)

j) f (x, y) = x |y|

log(x2 + y 2 )

y2 2 2 x sin(x + y ) 2 2 f (x, y) = (yy4 −x) +x2 xy 2 z f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 2 2 2 2

l) f (x, y) = n) p)

r) f (x, y) = x y log(x + y )

5. Est´ udiese la existencia del lim´ıte en (1, −1) de las siguientes funciones : µ F (x, y) = µ G(x, y) =

exy−y+x−1 (x − 1)2 (y + 1) , x (x − 1)2 + (y + 1)2

¶

x2 − 2x + 1 sen((x − 1)2 + (y + 1)2 ) , (x − 1)2 + (y + 1)2 (x − 1)2 + (y + 1)2

¶

7. Determinar, si existen, los limites iterados y el l´ımite doble en (0,0) de la funci´on: f (x, y) =

(xy)2 . (xy)2 + (x − y)2 ½

8. Comprobar si existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y), donde f (x, y) =

sin y y(x2 +1)

0

si y 6= 0 si y = 0

½

xy 2 |xy 2 |+|x2 −y 4 |

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Calc´ ulense, si existen, los l´ımites reiterados en (0, 0). ¿Es f continua en (0, 0)? 2

9. Sea f : R −→ R, definida por f (x, y) =

3

3 10. Sea f (x, y) = yy−x udiese la 2 +x6 sin(y − x ) cos(xy) si (x, y) 6= (0, 0); f (0, 0) = 1. Est´ continuidad en el origen. p q

x y 11. Sea f (x, y) = x2 +y 2 −xy con p, q ≥ 0. Discutir la existencia de lim(x,y)→(0,0) f (x, y) en funci´ on de los valores de p y q.

12. a) Sea f : Rn −→ Rm continua. Pru´ebese que Gf = {(x, f (x)) : x ∈ Rn } es cerrado en Rn+m . b) Sea f : R −→ [0, 1]. Pru´ebese que si Gf es cerrado en R2 , entonces f es continua. 13. Pru´ebese que la funci´on definida en R2 por: ½ y5 +x3 +x2 +x si − y 5 + x3 + x2 − x 6= 0 f (x, y) = −y5 +x3 +x2 −x −1 si − y 5 + x3 + x2 − x = 0 no es continua en (0, 0). 14. Est´ udiese la continuidad de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = (x + y)2 cos

b) f (x, y) = c) f (x, y) =

1 si x + y 6= 0 f (x, y) = 0 si x + y = 0 x+y

1 si x + y 6= 0 f (x, y) = 0 x+y

si x + y = 0

|x| + |y|

si (x, y) 6= (0, 0) f (0, 0) = 0 1 (x2 + y 2 ) 2 p 1 − cos x2 + y 2 d) f (x, y) = si (x, y) 6= (0, 0) f (0, 0) = 0 x2 + y 2 e) f (x, y) = xy

x2 − y 2 si (x, y) 6= (0, 0) f (0, 0) = 0 x2 + y 2

1 − 1 f ) f (x, y) = p e x2 +y2 si x 6= y f (x, y) = 0 si x = y |x − y|

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 6 1. Dar la definici´on de lim||(x,y)||→∞ f (x, y) para una funci´on f de dos variables, de forma an´ aloga al caso de funciones de una variable, as´ı como una caracterizaci´on de estos l´ı mites a trav´es de sucesiones. Estudiar la existencia de los l´ımites siguientes: a) c)

cos(x + y) ||(x,y)||→∞ ex + ey lim

2

lim

||(x,y)||→∞

(x + y)ex

+y 2

e)

lim

b)

(y − x2 ) log(1 + x2 + y 2 ) ||(x,y)||→∞ 1 + sin2 x

d)

3 − x2 cos(y − x3 ) x2 + y 4 ||(x,y)||→∞

||(x,y)||→∞

lim

lim

(x2 + y 2 )e−(x

2

+y 2 )

2. Est´ udiese la continuidad uniforme de las siguientes funciones: µ 2

a) f : R −→ R

f(t) =

t 1 , 2 1 + t 1 + t4

¶ b) f : R2 −→ R

f(x, y) = xy2

3. Est´ udiese la continuidad uniforme de f en M en los siguientes casos: ³ 2 ´ sin(x2 +y 2 ) x y a) f (x, y) = x2 +y2 , x2 +y2 en M = {(x, y) : y < x2 < 4x − y 2 } ³ 2 ´ 2 2 2 2 b) f (x, y) = x22x − 1, x y log(x + y ) M = {(x, y) : x < x2 + y 2 < 2x} +y 2 c) f (x, y) =

y x

sin(x2 + y 2 )

M = {(x, y) : 0 < y < x < 1}

4. Se considera el conjunto: A = {(x, y) ∈ R2 : y 2 − 1 < x
0, y > 0}. ¿Es f uniformemente continua en R2 ?

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D. HOJA DE PROBLEMAS 7 1. Calc´ ulense las derivadas direccionales de las funciones siguientes en los puntos y direcciones indicados: −1 √2 a) f (x, y) = ex cos(πy) en el punto (0, −1); direcci´on ( √ , 5) 5 1 −1 √1 x b) f (x, y, z) = e + yz, en el punto (1,1,1); direcci´on ( √3 , √ , 3) 3 2. Calc´ ulese la matriz Jacobiana en los puntos que se indican de las funciones siguientes: f (t) = (tan t, sin t, et ) en t = 0; f (u, v) = (u2 v 3 , u3 v, u4 v 2 ) en (u, v) = (1, 2); f (x, y) = (ex + sin y, x2 cos y) en (x, y) = (π, π/2); 2 2 3 f (x, y, z) = ex +y +z en (x, y, z) = (0, 0, 0); f (x, y, z) = (x4 y cos z, xez ) en (x, y, z) = (π/2, 0, 0); f (x, y) = (sin x + log(1 + y 2 ), cos(xy)) en (x, y) = (π, 0). 3. ¿Son tangentes las gr´aficas de las funciones f (x, y) = x2 + y 2 y g(x, y) = x2 − y 2 + xy 3 en el punto (0, 0)? 4. Sea γ : R −→ Rn una curva diferenciable con γ 0 (t) 6= 0, ∀t ∈ R. Sea p ∈ Rn un punto que no pertenezca a γ(R). Supongamos que existe q = γ(t0 ) el punto de la curva m´as cercano a p. Demu´estrese que el vector p − q es ortogonal a la curva en q. 5. Sean f, g : R −→ Rn dos curvas diferenciables con f 0 (t) 6= 0, g 0 (t) 6= 0, ∀t ∈ R. Supongamos que existen p = f (s0 ) y q = g(t0 ) tales que ||p − q|| ≤ ||f (s) − g(t)||,

∀t, s ∈ R.

Pru´ebese que p − q es un vector ortogonal a las curvas f y g en p y q respectivamente. 6. Calc´ ulese la derivada direccional de la funci´on f (x, y, z) = x2 − y 2 + xy 2 z − zx √

√

en el punto (1,3,2) seg´ un la direcci´on del vector ( 22 , − 22 , 0). ¿En qu´e direcci´on es m´ axima la derivada direccional? ¿Cu´al es el valor de la derivada direccional m´axima? ½ x2 y4 si (x, y) 6= (0, 0) 2 7. Sea f : R −→ R, definida por: f (x, y) = x4 +y6 Est´ udiese la 0 si (x, y) = (0, 0) existencia de derivadas direccionales y la diferenciabilidad de f en R2 .

8. Est´ udiese la diferenciabilidad en (0, 0) de las siguiente funciones: exy x+1

definida en el abierto U = {(x, y) ∈ R2 : x 6= −1}. ( ( 2 sin(x2 +y 2 ) x y (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = 6 (0, 0) 2 2 x2 +y 2 , (iii) f (x, y) = x +y (ii) f (x, y) = , 0, (x, y) = (0, 0) 1, (x, y) = (0, 0) ( 4 ( 3 x y x (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = 6 (0, 0) 2 2 4 4 (iv) f (x, y) = x +y , , (v) f (x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) ( ( x2 y 2 (x, y) 6= (0, 0) (x + y) sin x1 cos y1 x 6= 0, y 6= 0 x2 y 2 +(x−y)2 (vi) f (x, y) = , , (vii) f (x, y) = 0, x = 0 ´o y = 0 0, (x, y) = (0, 0) ( ( 1 sin(xy), x = 6 0 x2 |y|1/2 log(x2 + y 2 ) (x, y) 6= (0, 0) , (ix) f (x, y) = , (viii) f (x, y) = x 0, x=0 0, (x, y) = (0, 0) (i) f (x, y) =

( (x) f (x, y) =

exy −1 , x

0, (

(xiii) f (x, y, z) =

x 6= 0 , x=0

xy 2 z , x2 +y 2 +z 2

0,

(

√x|y|

x2 +y 2

(xii) f (x, y) = 0, (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , (x, y, z) = (0, 0, 0)

(x, y) 6= (0, 0)

, (x, y) = (0, 0) ( x2 y 2 log(x2 + y 2 ) (x, y) 6= (0, 0) (xiv) f (x, y) = , 0, (x, y) = (0, 0)

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 8 1. Calc´ ulese la diferencial en el punto (0, 0, 0) de la funci´on: Z

xy 2

f (x, y, z) =

2

(t2 + 1)e−t dt

z

2. Sean n un n´ umero natural y f : R2 −→ R la funci´on definida por: ( (x + y)n cos 2 1 2 1 si (x, y) 6= (0, 0) (x +y ) 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Encontrar los n´ umeros naturales n para los que: a) f sea continua; b) f sea diferenciable; c) f tenga derivadas parciales continuas. 2

2

3 3. Sea f (x, y, z) = x2x+y−z e valor habr´ıa que dar 2 +z 2 sin(x−y), si (x, y, z) ∈ R \{0}. ¿ Qu´ 3 a f (0, 0, 0), para que f fuese continua en todo R ? ¿ Es en este caso f diferenciable?

4. Sean g(t) = (t, 2t) y ½ f (x, y) =

xy 2 x2 +y 2

0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

a) Pru´ebese que f admite derivadas parciales en (0, 0) y calc´ ulense. b) Pru´ebese que f ◦ g es diferenciable. c) Compru´ebese que (f ◦ g)0 (0) 6=< ∇f (0, 0), g 0 (0) >. 5. Sean ½ f (x, y) =

xy sin xy 0

si y 6= 0 si y = 0

y

1 g(x, y) = ex+y + π

Z

x

t2 1

0

(1 + t4 ) 2

dt

a) Pru´ebese que F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)) es diferenciable en (0, 0) y (0, r). b) Ded´ uzcase que G = F ◦ F es diferenciable en (0, 0) y calc´ ulese DG(0, 0). 6. En los siguientes casos, est´ udiese si f es diferenciable y si es de clase C 1 : ½ a) f (x, y) =

x sin2 y x2 +2y 2

0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

½ log(1+x2 y2 ) b) f (x, y) =

x2 +y 2

0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

1 7. Sea f (x, y, z) = (exz + x − 1, z + aey ), y g(u, v) = v + usen u2 +v 2 , g(0, 0) = 0. a) Est´ udiese la diferenciabilidad de f y g. b) ¿Para qu´e valores de a puede asegurarse, utilizando la regla de la cadena, que g ◦ f es diferenciable en (0, 0, 0)? Calc´ ulese, en ese caso, D(g ◦ f )(0, 0, 0).

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 9 1. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = Est´ udiese si f es diferenciable en el origen.

y 2 +sin x2 y 2 +x2

si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 1.

2. Calc´ ulese la matriz jacobiana de las siguientes transformaciones: a) f (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) b) f (ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cos ϕ, ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ) c) f (x, y) = (ex + ey , ex − ey ) d) f (x, y, z) = (x + y 2 , y + z 2 , z + x2 ) 3. Calc´ ulese

∂h ∂x ,

siendo h(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)), y f (u, v) =

u2 + v 2 , u2 − v 2

u(x, y) = e−x−y ,

v(x, y) = exy ,

(a) utilizando la regla de la cadena; (b) directamente. 4. Sea f : Rn −→ R de clase C 1 y sean a, b ∈ Rn tales que f (a) = f (b). ¿Existe x ∈ [a, b] tal que Df (x) = 0? 5. Sea F : R2 −→ R2 , definida por F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)), en donde f (x, y) = y 2 sin(x/y)

si y 6= 0;

f (x, 0) = 0,

y g es diferenciable en (0,0), verific´andose: g(0, 0) = 0, Du g(0, 0) = 1, Dv g(0, 0) = 0, siendo u y v los vectores ( √12 , √12 ) y (− √12 , √12 ), respectivamente. a) Calc´ ulese ∇g(0, 0). b) Est´ udiese la diferenciabilidad de F en (0,0). c) Demu´estrese que la funci´on G = (F ◦ F ) + F de R2 en R2 es diferenciable en (0, 0) y calc´ ulese DG(0, 0). ∂2f ∂2f d) Demu´estrese que ∂x∂y (0, 0) 6= ∂y∂x (0, 0). 6. ¿Se cumple el Teorema de Schwarz sobre las parciales cruzadas para la siguiente funci´ on? x2 − y 2 f (x, y) = xy 2 si (x, y) 6= (0, 0) f (0, 0) = (0, 0) x + y2 7. Calc´ ulese el Polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 para las siguientes funciones en los puntos que se indica: 2 a) f (x, y) = e(x−1) cos y en (1, 0), b) f (x, y) = x sin y + y sin x en (0, 0). c) f (x, y) = xy 2 en (0, 0), d) f (x, y) = log(x + y) en (1, 1). 2 1 e) f (x, y) = x2 +y2 +1 en (0, 0), f) f (x, y) = xy 3 en (1, −1) 8. Consideremos la funci´on f (x, y) = y x definida en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : y > 0} (en el que f es de clase C ∞ ). Encu´entrese un polinomio P (x, y) en dos variables, de grado menor o igual que 3, tal que f (x, y) − P (x, y) = 0. (x,y)→(0,1) (x2 + (y − 1)2 )3/2 lim

9. (i) Si f, g, h : R2 → R son funciones diferenciables y definimos V : R2 → R, V (x, y) = f (x2 g(x, y), e3y + h(x, y)), ¿Es V diferenciable en R2 ? Si es as´ı, calcula las parciales de V (en t´erminos de las parciales de f, g, h). (ii) Supongamos que f, g, h son de clase C 2 (R2 ), ¿Es V de clase C 2 (R2 )? Si es as´ı, calcula las parciales de orden dos de V (en t´erminos de las parciales de f, g, h).

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 10 1. Est´ udiense los puntos cr´ıticos, m´aximos y m´ınimos relativos de las siguientes funciones: a) f (x, y) = x − x2 − y 2 , b) f (x, y) = x2 − y 2 + xy, c) f (x, y) = x2 + y 2 + 3xy, d) f (x, y) = y 2 − x3 , e) f (x, y) = x3 + y 3 − 3axy, f) f (x, y) = sen(x2 + y 2 ), 2 2 g) f (x, y) = xyex+2y , h) f (x, y) = e1+x −y , i) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 , j) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 2x + yz. 2. Decidir si existen m´aximo y/o m´ınimo absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo. a) f (x, y) = x − x2 − y 2 , en K = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ ≤ 1}. b) f (x, y) = sen(xy), en K = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)||∞ ≤ 1}. 3. Decidir si existen m´aximo y/o m´ınimo absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican y calcularlos en caso afirmativo. a) f (x, y) = 4x2 + y 2 − 4x − 3y en K = {y ≥ 0, 4x2 + y 2 ≤ 4}. 2 2 b) f (x, y) = (x + y)e−(x +y ) en R2 . 4. Sea f (x, y) = (y − 3x2 )(y − x2 ) a) Pru´ebese que (0,0) es un punto cr´ıtico de f . b) Pru´ebese que f tiene un m´ınimo relativo en (0,0) sobre cada recta que pasa por (0,0). c) Pru´ebese que (0,0) no es un m´ınimo relativo de f . 5. Encu´entrense los puntos (x, y) ∈ R2 y las direcciones para las que la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 + y alcanza el m´aximo valor, suponiendo que (x, y) verifica x2 + y 2 ≤ 1. 6. Sea D un abierto acotado de Rn , y sea f : D −→ R una funci´on continua, diferenciable en D. Si f se anula en la frontera de D, demu´estrese que existe al menos un punto a ∈ D tal que Df (a) = 0. 7. H´allese la ecuaci´on del plano que pasa por (1, 1, 2) y determina con los ejes de coordenadas un tetraedro de volumen m´ınimo (no nulo). (El volumen de un tetraedro es Bh/3 siendo B el ´area de la base y h la altura). 2

8. Sean f (x, y) = eax+y + bsen(x2 + y 2 ) a) Determ´ınense los valores de los par´ametros a y b para que f tenga un extremo relativo en (0, 0), y que el polinomio de Taylor de grado 2 de f en el origen toma el valor 6 en el punto (1, 2). b) Con los resultados obtenidos en (a), ¿qu´e clase de extremo es el punto (0, 0) para f? 9. Sea f (x, y) = a[2xy + y 2 + yx2 + cos(x + y)] + x2 (a2 − y). Disc´ utase la existencia de extremos relativos en el origen, seg´ un los valores de a. 10. Hallar los extremos absolutos, si existen, de la funci´on f (x, y) = (ax2 + by 2 )e−(x siendo a, b > 0.

2

+y 2 )

,

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 11 ³ 2 2 ´ x −y xy 1. Est´ udiese si la funci´on f (x, y) = x2 +y2 , x2 +y2 tiene inversa en alg´ un abierto que contiene al punto (0, 1). 2. Pru´ebese que la funci´on f (x, y, z) = (z cos(xy), z sin(xy), x + z) admite una inversa local g de clase infinito en alg´ un abierto que contiene al punto (x, y, z) = (1, 0, 1); calculese Dg(f (1, 0, 1)). 3. Pru´ebese que la funci´on f (x, y) = (ex cos y, ex sin y) admite una inversa local de clase infinito en un entorno de cada punto. Comprobar que, sin embargo, f no admite una inversa global. 4. Sea ϕ(r, θ) = (rcosθ, rsenθ). Pru´ebese que ϕ admite una inversa local de clase C ∞ en un entorno de cada punto (r, θ) con r > 0. Calc´ ulese una inversa de ϕ en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 , x > 0, y > 0}. 5. Sea g : R3 −→ R3 definida por g(x, y, z) = (e2y + e2z , e2x − e2z , x − y) a) Pru´ebese que g admite inversa de clase C ∞ en un entorno de cada punto. b) ¿Admite g inversa global? 6. Sea f : R5 → R2 definida por f (x, y, z, u, v) = (u + v + x2 − y 2 + z 2 , u2 + v 2 + u − 2xyz) Pru´ebese que el sistema de ecuaciones f = 0 define, en un entorno de (0, 0, 0, − 21 , 12 ), una funci´on impl´ıcita de clase infinito (u, v) = (h1 (x, y, z), h2 (x, y, z)) = h(x, y, z) y calculese Dh(0, 0, 0). 7. Sea h : R2 → R la funci´on definida por h(x, y) = x3 + y 3 + x2 + xy + ay siendo a 6= 0 un par´ametro real. a) Consideremos la ecuaci´on h(x, y) = 0. ¿Se puede obtener y como funci´on impl´ıcita de clase C ∞ de x, en un entorno de (0, 0)? b) Sea y = f (x) la funci´on impl´ıcita determinada por h(x, y) = 0, definida en un cierto abierto U con 0 ∈ U . Calc´ ulese el valor de a para que el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el origen valga 1 en el punto x = 1. ¿Para qu´e valores de a tiene f un extremo en x = 0? c) Sea F : U × R → R2 la funci´on F (x, y) = (ex+y + x2 − 1, f (x) + y cos x). Demu´estrese que F admite funci´on inversa diferenciable en un entorno de (0, 0) y que G = F ◦ F + F −1 es diferenciable en (0, 0) y calculese DG(0, 0). 8. Calc´ ulese el desarrollo de Taylor hasta el orden 2 de la funci´on z = f (x, y) de clase infinito, definida impl´ıcitamente por 2x2 + 2y 2 + z 4 − 8xz − z + 8 = 0 en un entorno de (2, 0, 1). 9. Definimos f : B(0, 1) −→ Rn como f (x) = √ C ∞ -difeomorfismo de B(0, 1) en Rn .

x . 1−x21 −...−x2n

Pru´ebese que es f es un

10. Demu´estrese que las ecuaciones: x2 − y 2 + uv = 0, xy + u2 − v 2 = 0, definen funciones impl´ıcitas de clase C ∞ , u(x, y), v(x, y), en un entorno del punto (x, y, u, v) = (0, 1, 1, 1). Consid´erese ahora la funci´on: ϕ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), definida en un entorno de (0, 1). a) Calc´ ulese Dϕ(0, 1). ¿Admite ϕ inversa local alrededor de (0, 1)? b) Calc´ ulese la derivada direccional de ϕ−1 en (1, 1), seg´ un la direcci´on ( √12 , − √12 ). c) Si γ(t) = (t, t2 ), ¿cu´anto vale (ϕ−1 ◦ γ)0 (1)? 11. Consideremos la funci´on f : R −→ R definida por f (x) = x + 2x2 sin x1 para x 6= 0 y f (0) = 0. Probar que f 0 (0) 6= 0 y que f no es localmente invertible en ning´ un abierto que contenga al punto 0. ¿Por qu´e no contradice esto el teorema de la funci´on inversa? 12. Utilizando el teorema del punto fijo para aplicaciones contractivas, demostrar que el sistema de ecuaciones x = 14 sin(x + y) + 13 , y = − 14 sin(x − y) + 15 tiene soluci´on u ´nica para |x| ≤ 1, |y| ≤ 1.

CALCULO DIFERENCIAL. GRUPO D HOJA DE PROBLEMAS 12 1 Demu´estrese que las ecuaciones x2 − y 2 + xyz 2 − 11 = 0, x3 + y 3 + z 3 − xyz − 30 = 0; definen una variedad de clase C ∞ y dimensi´on 1 en R3 , en un entorno del punto (3, 2, 1). Hallense las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la variedad en dicho punto. 2 Demu´estrese que las ecuaciones: 2x + y + 2z + u − v − 1 = 6, xy + z − u + 2v − 1 = −2, yz + xz + u2 + v = 2; definen una variedad en R5 de clase C ∞ en un entorno de (1,1,1,1,-1). Determ´ınese su dimensi´on y calc´ ulese el espacio tangente y normal en (1,1,1,1,-1). 3 Calc´ ulense las tangentes a las curvas siguientes en los puntos indicados: ϕ(t) = (t − sin t, 1 − cos t) en t = π/2, t = π/4 y t = 1; ϕ(t) = (1 + t3 , 1 + 2t3 ) en t = 0 y t = 1. 4 Calc´ ulense las tangentes a las curvas siguientes en los siguientes puntos: xyz = 1, y = z en (1, 1, 1); xy + z 2 = 1, x + y = 0 en (0, 0, 1). 5 Sea M = {(x, y, z) ∈ R3 : (x + y)2 − z 2 = 16} (cilindro hiperb´olico). a) Demu´estrese que M es una variedad. b) Sea f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Calc´ ulense, si existen, los extremos absolutos de f en M . 6 Ind´ıquese en qu´e puntos las ecuaciones dadas definen variedades diferenciables de dimensi´ on 2 en R3 y calc´ ulense el plano tangente y la recta normal en los puntos que 2 2 2 se indican: z = x + y en (1, 0, 1); z 3 = x2 + y 2 en (0, −1, 1); z = x2 + y 2 en 2 2 2 (1, −2, 5); x16 + y9 − z8 = 0 en (4, 3, 4). 7 H´allense en la superficie x2 + y 2 − z 2 − 2x = 0 los puntos en que los planos tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados. 8 Calc´ ulese el plano tangente a la superficie: x = r cos t, y = r sin t, z = t en el punto correspondiente a r = 1, t = 2π. 9 H´allense los planos tangentes a la superficie x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21, paralelos al plano x + 4y + 6z = 0. 10 Est´ udiense los extremos absolutos de las siguientes funciones con las condiciones que se indican: a)f (x, y, z) = x − y + z; x2 + y 2 + z 2 = 2 b)f (x, y) = x; x2 + 2y 2 = 3 c)f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 ; x2 −xy+y 2 −z 2 = 1 d)f (x, y) = 3x+2y; 2x2 +3y 2 = 3 e)f (x, y, z) = x + y + z; x2 − y 2 = 1; 2x + z = 1 f )f (x, y) = x − y; x2 − y 2 = 2 11 Calc´ ulese la distancia de los siguientes conjuntos al origen de coordenadas: A = {(x, y, z); x2 +y 2 = 1; x+y+z = 1}; B = {(x, y, z); x2 +y 2 −z 2 = 1; x+y+z = 1} 12 Calc´ ulense los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = (x − y)n , con la condici´on x2 + y 2 = 1 (n ≥ 1).

13 Sea f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + x + y + z. a) Pru´ebese que el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 4; ; z ≤ 1} es compacto. b) Calc´ ulense los puntos de m´aximo y m´ınimo absoluto de f sobre M . 14 Est´ udiense los extremos absolutos de la funci´on f (x, y, z) = xyz 3 sobre la porci´on de esfera x2 + y 2 + z 2 = 5r2 en la que x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. 15 Se considera la funci´on f (x, y, z) = x + y + z. Calc´ ulense los extremos absolutos de f sobre el compacto K = {(x, y, z) : x2 + y 2 − 2z 2 ≤ 6, 0 ≤ z ≤ 2} 16 Demu´estrese que el volumen m´aximo de un paralelep´ıpedo rectangular (con lados 2 2 2 √ paralelos a los planos coordenados) inscrito en el elipsoide xa2 + yb2 + zc2 = 1, es 8abc 3 3 (a, b, c > 0).