Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de la figura

Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— Calcular el equivalente Thevenin y Nort...
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Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de la figura





3v



a

a

+

Rth

+

Vth

RL

RL





2v

+ b

b Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b



d

Calcularemos así la tensión



c

a

+

+

en circuito abierto Vth

3v 2Ω

2v



Vth b

Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos

2Ω +



d

I1 2v



c

a

+

I2

3v





Vth b

⎧2 = I 1 2 + ( I 1 − I 2 ) 2 ⎫ Mallas ⎨ ⎬ I1 , I 2 ⎩0 = I 2 4 + I 2 5 + ( I 2 − I1 )2 ⎭ Vc = I 2 5 = 3 + Vth ⇒ Vth = Vc − 3

De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la resistencia de 6Ω la tensión buscada es Vab =-3+Vc: El resultado obtenido es Vth=-2.5V Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión:

a 4Ω

2Ω 2Ω

6Ω 5Ω

Rth = {[(2 // 2 ) + 4] // 5}+ 6 Rth = (5 // 5) + 6 = 8.5Ω

Rth

Para calcular el equivalente Norton cortocircuitamos los puntos a y b ________________________________________ Componente electrónicos 2007 1/11

Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ———————————————

Calculamos la intensidad por ese cortocircuito Escribimos las ecuaciones de mallas

2Ω I1

+ 2v



d



c

3v +

I2 2Ω

a IN

IN



⎧2 = I 1 2 + ( I 1 − I 2 ) 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 = I 2 4 + ( I 2 − I N )5 + ( I 2 − I 1 )2 ⎬ ⎪− 3 = I 6 + ( I − I )5 ⎪ N N 2 ⎭ ⎩

b

Resolviendo el sistema calculamos IN.=-5/17A Naturalmente se cumple Vth/IN=Rth

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Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— Dado el circuito de la figura 1 calcule: a)

La relación io / ii.

b)

La relación vi / ii.

c)

La relación vo / vi.

d)

La relación vo / vs.

e)

La resistencia equivalente vista desde RL, anulando vs.

Datos: Rs = 600 Ω; RB = 500 KΩ; Rie = 1.5 KΩ; Roe = 100 KΩ; RL = 2.5 KΩ. B

ii

ib

io +

+ vs

vi

120ib RB

Roe

Rie

RL

vo

Figura 1

Comentario

El circuito de la figura es el circuito equivalente de pequeña señal de un amplificador basado en un transistor bipolar. Las relaciones que se pide calcular en el enunciado son los parámetros de dicho amplificador: a)

Ganancia en corriente: Ai = io / ii

b)

Impedancia de entrada: Zi = vi / ii

c)

Ganancia en tensión: Av = vo / vi

d)

Ganancia en tensión Avs = vo / vs

e)

Impedancia de salida Zo

En este ejemplo vamos a ver que una vez obtenido el circuito equivalente de pequeña señal, para analizar dicho circuito, es decir, para obtener los parámetros del amplificador, basta con utilizar las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm.

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Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— Solución

En la figura 2 se reproduce el circuito de la figura 1, marcando las mallas que vamos a emplear en su análisis. Se han elegido éstas ya que en este caso se pueden utilizar como variables (intensidades de malla) las corrientes que se dan en el enunciado, que incluyen la corriente del generador y su variable de control. El sentido es el fijado en el enunciado, que se corresponde con el standard en el caso de los amplificadores.

ii

vS

~

B

ib

i0

RS ii

ib

vi RB

Rie 120ib

i0 120ib

v0 Roe

RL

E Figura2

El nudo E engloba distintos "puntos" de la representación del circuito, ya que todos estos "puntos" están directamente unidos por cables, de modo que desde el punto de vista eléctrico son el mismo punto (Tienen el mismo potencial). En este caso este nodo se haya conectado a tierra, así que el potencial de ese punto se considera 0 y se toma de referencia para

Nudo A

Nudo A Figura 3

el potencial en el resto de los nodos. El circuito sería exactamente el mismo si en la representación gráfica el nodo E se hubiera representado como un solo punto. (Véase el ejemplo de la figura 3).

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Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ———————————————

A continuación planteamos las ecuaciones de Kirchoff en las mallas: malla ii:

– vs + ii Rs + (ii – ib) RB = 0

(1)

malla ib:

Rie + (ib – ii )RB = 0

(2)

malla i0:

i0 RL + (i0 + [120ib] ) Roe = 0

(3)

Al plantear las ecuaciones de malla ya se ha aplicado la ley de Ohm en las resistencias y se ha tenido en cuenta el signo de la fuente de tensión vs. En el caso de la fuente dependiente de corriente, no aparece explícitamente en la ecuación de su malla ya que el valor de la intensidad no es una variable independiente. Las ecuaciones 1-3 forman el sistema de ecuaciones que nos permitirá resolver el circuito. Las variables que aparecen en el sistema son: ib, io, ii.además de vs. Vamos a obtener relaciones entre pares de variables, que es exactamente lo que nos pide el enunciado. Veamos cómo operar para obtener los parámetros que pide el enunciado: a)

Cálculo de Ai = io / ii

A partir de la ecuación (3) separando los términos en i0 e ib: i0 RL + i0 Roe =-120ib Roe

i0 120R oe =− ib R L + R oe

obtenemos:

(4)

de (2) separando las intensidades ii RB =ib (Rie+RB)



ib RB = i i R ie + R B

(5)

La ganancia en intensidad queda entonces AI =

b)

i0 ib 120 Roe RB × =− ib ii ( RL + Roe )( Rie + Rb )

(6)

Cálculo de Zi = vi / ii

De acuerdo con el circuito de la figura 2, teniendo en cuenta la ley de Ohm: v i = i b R ie

(7)

Anteriormente ya hemos encontrado una relación entre ib e ii . Sustituyendo: (7) y (5) R ie R B v v i Zi = i = i × b = = 1495.5Ω ii ib ii R ie + R B ________________________________________ Componente electrónicos 2007 5/11

(8)

Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— c)

Cálculo de Av = vo / vi

Aplicando la ley de Ohm en la resistencia RL: vo = RL io

(9)

Además hemos calculado ya Ai = io / ii y Zi = vi / ii. Teniendo esto en cuenta: v o = R Li o = R L A ii i =

R LAi vi Zi

(10)

Por tanto: Av = d)

vo R = A i L = −195,12 vi Zi

(11)

Cálculo de Avs = vo / vs

La variable vs aparece en la ecuación de la malla ii (1): – vs + Rs ii + RB i1 = 0

(12)

Teniendo en cuenta que vi = RB i1 y que ii = vi / Zi: − vs +

Rs vi + vi = 0 Zi

;

vi Zi = vs R s + Zi

(13)

Teniendo en cuenta que Av = vo / vi, que ya está calculado y la ecuación (13): A vs =

vo vo vi ZA = × = i v = −139,25 vs v i vs R s + Zi

(14)

e) Cálculo de la impedancia de salida Zo (resistencia equivalente vista desde RL anulando vs)

La resistencia buscada corresponde exactamente con la resistencia del equivalente Thevenin. Puesto que aparece una fuente dependiente, ésta no se puede anular, por lo que podemos optar por dos métodos para calcular esa resistencia: •

Anular la fuente independiente y situar entre los terminales de salida una fuente TEST. La resistencia buscada se calculará como vTEST/iTEST Como vs es una fuente de tensión, anularla significa cambiarla por un cortocircuito. Por otra parte, para calcular la resistencia equivalente vista desde RL, "abrimos" el circuito entre los dos terminales de RL y "medimos" la resistencia entre esos dos puntos. Para resolverlo de forma analítica, suponemos una fuente de tensión vTEST que hará que circule una corriente

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iTEST, como se muestra en la figura 4. La resistencia equivalente (en este caso Zo), teniendo en cuenta la ley de Ohm, será: ii

ib

iTEST

RS ib

vi

ii

iTEST

Rie

RB

Zo = +

120ib

vTEST

v TEST (15) i TEST

Roe

120ib

Tanto ii como ib son 0 ya que: ii Rs +(ii-ib) RB = 0

(ib-ii) RB + ib Rie = 0

B

B

La única corriente que circula es iTEST a través de Roe donde se cumple i TEST R oe = v TEST ⇒ Z o =

v TEST = R oe = 100 KΩ i TEST ii



La otra posibilidad para calcular la impedancia de salida es calcular la tension Thevenin vth y la intensidad Norton iN, de tal manera que la resistencia buscada es vth/iN.

¡Roe queda anulada por el

vS

~

Del circuito Thevenin obtenemos

RS ib

vi

ii

Rie

RB

120ib

vth Roe

120ib

E ii

~

cortocircuito!

ib

ib

RS ii

ib

vi RB

Rie 120ib

120ib

iN Roe

v th = −120i b R oe i N = −120i b

Del circuito Norton

Puesto que ib no depende de la salida (las ecuaciones para ib son las mismas (1) (2)) Zo se calcula directamente como

Z0 =

v th − 120i b R oe = = R oe iN − 120i b

Como hemos visto, simplemente utilizando las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm y operando de forma adecuada, podemos calcular los parámetros característicos de un amplificador, una vez que tengamos el circuito equivalente de pequeña señal. ________________________________________ Componente electrónicos 2007 7/11

Ejemplos de cálculo de circuitos equivalentes. Aplicación de los teoremas de Thevenin y Norton ——————————————— Calcular las intensidades de corriente que circulan por cada rama y las diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd y las tensiones Va, Vb y Vc en el siguiente circuito:

Comentario

En la resolución de este problema se puede calcular la resistencia equivalente entre bd o bien mantener el circuito tal y como está.

Solución

A) Se calcula la resistencia equivalente del conjunto formado por las resistencias en paralelo de

1kΩ y de 50Ω. 1 1 1 La resistencia equivalente tiene un valor de 47.62Ω. (Notar que cuando se = + 3 Requ 1× 10 50

hace el paralelo de dos resistencias el resultado es menor que la menor resistencia, y se aproxima a ella si la otra es muy grande. El caso límite es que una de ellas sea 0, un cortocircuito, en cuyo caso el paralelo es 0, y la otra resistencia no tiene ningún efecto puesto que por ella no circula corriente). El circuito resultante es por lo tanto:

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Se aplica la ley de las mallas de Kirchoff a la malla derecha (I1). Es además la única ecuación necesaria porque la intensidad de la otra malla es conocida de valor 2mA. La ecuación que se obtiene es:

4 = 10 I1 + 47, 62 ( I1 − 2 ×10−3 )

Resolviendo I1 = 71,1 mA.

La corriente que circula por la resistencia de valor 47,62Ω, es obviamente 71,1 -2 = 69.2mA

Ahora se puede calcular las diferencias de tensión Vab, Vbc y Vcd. Se toma como origen de potenciales el punto que está conectado a tierra en este caso se trata de “d” por lo tanto Vd = 0. Vad = Va – Vd = 4 V. Como Vd =0 ⇒ Va = 4V.

Vab = Va – Vb = 71,1.10-3 x 10 = 0,71 V ⇒ 4 – Vb = 0,71 ⇒ Vb = 3,29 V Vbc = Vb – Vc = 2.10-3 x 20 = 40.10-3 V ⇒ 3,29 – Vc = 40.10-3 ⇒ Vc = 3,25 V

Vcd = 3,25 V Puesto que se piden explícitamente las intensidades de todas las ramas se debe deshacer el paralelo para encontrar la intensidad por cada una de las resistencias.

Conocemos la tensión Vbd=Vb, Si llamamos Ia a la intensidad en la resistencia de 1kΩ y Ib en la de 50Ω, escribimos las siguientes ecuaciones: Vbd = 3.29v = I a 1.103 = I b 50 I a + I b = 69,1mA

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Obteniéndose los valores que aparecen en la figura.

B) Si no se calcula la resistencia equivalente entre bd, se calculan las intensidades que circulan

por cada rama en el siguiente circuito:

Las ecuaciones que resultan para este circuito son: Malla de la izquierda 4 = 10 I1 + 1. 103 I2 Primer nodo

I1 = I2 + I3 ________________________________________ Componente electrónicos 2007 10/11

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Segundo nodo

I3 = I4 + 2.10-3

Malla central

0 = 50 I4 – 1. 103 I2

Despejando de la última ecuación se obtiene: I4 = 20I2 Sustituyendo en la tercera resulta: I3 = 20 I2 + 2. 10-3 Con lo que I1 = I2 + I3 ; I1 = 21I2 + 2.10-3 Sustituyendo en la primera ecuación se obtiene: 4 = 210I2 + 2. 10-2 + 1. 103 I2 ⇒

I2 =3.29 . 10 -3 A = 3.29 mA

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta: I1 = 21I2 + 2.10-3 = 71.1 mA I3 = 20 I2 + 2. 10-3 = 67.8 mA I4 = 20I2 = 65.8 mA Una vez obtenidos los valores de las corrientes, el cálculo de los potenciales es idéntico al realizado anteriormente.

________________________________________ Componente electrónicos 2007 11/11

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