C U R S O : MATEMÁTICA
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES 1.
NÚMEROS RACIONALES
a con a y b números enteros y b b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
Q=⎨ 2.
a / a, b ∈ Z b
y b≠0⎬
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
Sean
a c , b d
∈ Q. Entonces,
a c = b d
a·d=b·c
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?
I) II) III)
2.
3 −4 0 8 0
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Todas ellas
Si
a −3 = , entonces se puede concluir que b 4
A) B) C) D) E)
a = -3 y b = 4 a = 3 y b = -4 a = -6 y b = 8 3b = -4a 4a = 3b
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c , ∈ Q , entonces : b d
a c ad ± bc ± = b d bd
OBSERVACIONES
1.
El inverso aditivo (u opuesto) de
2.
El número mixto A
−a a a a o es - , el cual se puede escribir también como −b b b b
b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c b A ×c +b A = c c
EJEMPLOS
1.
Si T = -2 A) B) C) D) E)
2.
1 2
y
S = -4
3 , entonces S – T = 4
1 4 1 -2 4 1 -1 4 1 2 4 1 7 4
-7
a a es el inverso aditivo de (- ) , entonces el inverso aditivo del número que resulta al b b restar la unidad a la mitad de la unidad es Si
A) B) C) D) E)
3 2 1 2 0 3 2 1 2 -
2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a c , ∈ Q , entonces : b d
MULTIPLICACIÓN
:
a c ac · = b d bd
DIVISIÓN
:
a c a d ad : = ⋅ = , c≠0 b d b c bc
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a ⎡ a⎤ es ⎢ ⎥ b ⎣b ⎦
EJEMPLOS
1.
⎡1 1 ⎤ ⎡ 1 4 1 ⎤ ⎢2 − 3 ⎥ : ⎢ 4 ⋅ 3 − 2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A) B) C) D) E)
2.
-1 4 5 1 36 4 5 1
⎡1 3 5 ⎤ El inverso multiplicativo de ⎢ − : ⎥ es ⎣2 4 6 ⎦ 10 A) 3 5 B) 2 3 C) 10 3 D) 10 2 E) 5
3
−1
=
b , con a ≠ 0 a
RELACIÓN DE ORDEN EN Q
Sean
a c , ∈ Q b d
+
y b,d∈Z
. Entonces :
a c ≥ b d
ad ≥ bc
OBSERVACIONES
1.
Para comparar procedimientos: a) b) c)
2.
números
racionales,
también
se
pueden
utilizar
igualar numeradores. igualar denominadores. convertir a número decimal.
Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
EJEMPLOS
1.
El orden creciente de los números: a = A) B) C) D) E)
2.
3.
12 , 9
c=
12 es 7
w=
12 , 3
x=
5 , 3
z=
7 es 3
w, x, z x, z, w w, z, x x, w, z z, w, x
El orden creciente de los números A) B) C) D) E)
b=
a, b, c b, c, a c, b, a a, c, b c, a, b
El orden decreciente de los números A) B) C) D) E)
12 , 5
a=
7 , 8
a, b, c b, a, c c, a, b a, c, b b, c, a
4
b=
11 , 12
c=
9 es 10
los
siguientes
NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a)
Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b)
Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. parte entera Ejemplo:
0,444.... = 0, 4 período
c)
Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. parte entera anteperíodo
Ejemplo:
24,42323 ... = 24,4 23 período
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de las siguientes fracciones, al dividirlas dan como resultado un desarrollo decimal infinito semiperiódico? A) B) C) D) E)
2.
3 10 1 3 2 5 1 30 0 4
1 4 1 + + = 10 5 5 A) B) C) D) E)
1,1 0,6 0,3 0,2 0,11
5
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1.
Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo:
0,19 3,81 + 22,2 26,20
2.
Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo:
3,21 ⋅ 2,3 963 642 7,383
3.
División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo:
2,24 : 1,2 se amplifica por 100 224 : 120 y se dividen como números enteros
EJEMPLOS
1.
(0,75 - 0,3) ⋅ 5 = A) 0,45 B) 2,25 C) 0,225 D) 3,45 E) 225
2.
0,06 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1 = A) B) C) D) E)
3.
0,0030 0,0003 0,00003 0,0000003 0,00012
Si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2 , entonces resulta A) B) C) D) E)
4,8 5,2 14,4 -4,8 -5,2 6
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1.
2.
3.
Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. 324 100 Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Por ejemplo:
3,24 =
Por ejemplo:
2,15 =
215 − 2 99
Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo:
5,3 4 =
534 − 53 90
EJEMPLOS
1.
2.
0, 6 - 0, 45 = A)
0, 15
B)
0,1 5
C) D) E)
0,1 6 0,2 1 0, 21
(1,555… - 0,222…)2 =
A) B) C) D) E)
3.
1, 27 1, 3 1, 7 2, 6 2, 8
Al ordenar en forma creciente los números w = 0,035 , se obtiene A) B) C) D) E)
x, x, w, w, w,
w, y, z, z, x,
y, z, x, y, y,
z w y x z
7
x = 0,035 ,
y = 0,0 35 ,
z = 0, 035
y
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
a-n =
1 an
,a∈ ¤ -{0}y n ∈ ¢
POTENCIAS DE BASE 10
1 = 0,1 10 1 = = 0,01 100 1 = = 0,001 1000
100 = 1
10-1 =
101 = 10
10-2
102 = 100
10-3 . . .
103 = 1000 . . . Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas: 1. 2. 3.
Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10n, en que 1 ≤ k < 10 y n ∈ Z. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p es el menor entero y n ∈ Z. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) abc,de = a ⋅ 102 + b ⋅ 101 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10-1 + e ⋅ 10-2
EJEMPLOS
1.
Transformar cada uno de los números del cuadro según lo que se indica NÚMERO
NOTACIÓN CIENTÍFICA
15.100 0,049 2.
0, 0024 = 0, 000012
A) B) C) D) E) 3.
0,2 0,02 0,002 2 ⋅ 10-10 2 ⋅ 102
0, 002 ⋅ 0, 36 3 ⋅ 10−2
A) B) C) D) E)
24 12 24 72 2,4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
10-3 10-3 10-7 10-3 10-3 8
FORMA ABREVIADA
NOTACIÓN AMPLIADA O DESARROLLADA
EJERCICIOS
1.
Si a= A) B) C) D) E)
2.
30 9 2 20 9 10 9 15 2
Si a = 2
A) B) C) D) E)
3.
-5 5 1 , entonces + = -1 3 a a- 2
1 2 1 b , b= y c= , entonces a + = 2 3 6 a- c
5 18 1 2 2 11 2 14 4 1 5 5 1 14 3
4 7 , b = 5 9 verdadera(s)? Si a =
I) II) III) A) B) C) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
y c =
6 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) 7
a