C U R S O : MATEMÁTICA

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES 1.

NÚMEROS RACIONALES

a con a y b números enteros y b b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

Los números racionales son todos aquellos números de la forma

Q=⎨ 2.

a / a, b ∈ Z b

y b≠0⎬

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

Sean

a c , b d

∈ Q. Entonces,

a c = b d

a·d=b·c

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I) II) III)

2.

3 −4 0 8 0

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Todas ellas

Si

a −3 = , entonces se puede concluir que b 4

A) B) C) D) E)

a = -3 y b = 4 a = 3 y b = -4 a = -6 y b = 8 3b = -4a 4a = 3b

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si

a c , ∈ Q , entonces : b d

a c ad ± bc ± = b d bd

OBSERVACIONES

1.

El inverso aditivo (u opuesto) de

2.

El número mixto A

−a a a a o es - , el cual se puede escribir también como −b b b b

b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c b A ×c +b A = c c

EJEMPLOS

1.

Si T = -2 A) B) C) D) E)

2.

1 2

y

S = -4

3 , entonces S – T = 4

1 4 1 -2 4 1 -1 4 1 2 4 1 7 4

-7

a a es el inverso aditivo de (- ) , entonces el inverso aditivo del número que resulta al b b restar la unidad a la mitad de la unidad es Si

A) B) C) D) E)

3 2 1 2 0 3 2 1 2 -

2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si

a c , ∈ Q , entonces : b d

MULTIPLICACIÓN

:

a c ac · = b d bd

DIVISIÓN

:

a c a d ad : = ⋅ = , c≠0 b d b c bc

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de

a ⎡ a⎤ es ⎢ ⎥ b ⎣b ⎦

EJEMPLOS

1.

⎡1 1 ⎤ ⎡ 1 4 1 ⎤ ⎢2 − 3 ⎥ : ⎢ 4 ⋅ 3 − 2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A) B) C) D) E)

2.

-1 4 5 1 36 4 5 1

⎡1 3 5 ⎤ El inverso multiplicativo de ⎢ − : ⎥ es ⎣2 4 6 ⎦ 10 A) 3 5 B) 2 3 C) 10 3 D) 10 2 E) 5

3

−1

=

b , con a ≠ 0 a

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

Sean

a c , ∈ Q b d

+

y b,d∈Z

. Entonces :

a c ≥ b d

ad ≥ bc

OBSERVACIONES

1.

Para comparar procedimientos: a) b) c)

2.

números

racionales,

también

se

pueden

utilizar

igualar numeradores. igualar denominadores. convertir a número decimal.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

EJEMPLOS

1.

El orden creciente de los números: a = A) B) C) D) E)

2.

3.

12 , 9

c=

12 es 7

w=

12 , 3

x=

5 , 3

z=

7 es 3

w, x, z x, z, w w, z, x x, w, z z, w, x

El orden creciente de los números A) B) C) D) E)

b=

a, b, c b, c, a c, b, a a, c, b c, a, b

El orden decreciente de los números A) B) C) D) E)

12 , 5

a=

7 , 8

a, b, c b, a, c c, a, b a, c, b b, c, a

4

b=

11 , 12

c=

9 es 10

los

siguientes

NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a)

Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b)

Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. parte entera Ejemplo:

0,444.... = 0, 4 período

c)

Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. parte entera anteperíodo

Ejemplo:

24,42323 ... = 24,4 23 período

EJEMPLOS

1.

¿Cuál de las siguientes fracciones, al dividirlas dan como resultado un desarrollo decimal infinito semiperiódico? A) B) C) D) E)

2.

3 10 1 3 2 5 1 30 0 4

1 4 1 + + = 10 5 5 A) B) C) D) E)

1,1 0,6 0,3 0,2 0,11

5

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

1.

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo:

0,19 3,81 + 22,2 26,20

2.

Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo:

3,21 ⋅ 2,3 963 642 7,383

3.

División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo:

2,24 : 1,2 se amplifica por 100 224 : 120 y se dividen como números enteros

EJEMPLOS

1.

(0,75 - 0,3) ⋅ 5 = A) 0,45 B) 2,25 C) 0,225 D) 3,45 E) 225

2.

0,06 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1 = A) B) C) D) E)

3.

0,0030 0,0003 0,00003 0,0000003 0,00012

Si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2 , entonces resulta A) B) C) D) E)

4,8 5,2 14,4 -4,8 -5,2 6

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN

1.

2.

3.

Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. 324 100 Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Por ejemplo:

3,24 =

Por ejemplo:

2,15 =

215 − 2 99

Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo:

5,3 4 =

534 − 53 90

EJEMPLOS

1.

2.

0, 6 - 0, 45 = A)

0, 15

B)

0,1 5

C) D) E)

0,1 6 0,2 1 0, 21

(1,555… - 0,222…)2 =

A) B) C) D) E)

3.

1, 27 1, 3 1, 7 2, 6 2, 8

Al ordenar en forma creciente los números w = 0,035 , se obtiene A) B) C) D) E)

x, x, w, w, w,

w, y, z, z, x,

y, z, x, y, y,

z w y x z

7

x = 0,035 ,

y = 0,0 35 ,

z = 0, 035

y

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

a-n =

1 an

,a∈ ¤ -{0}y n ∈ ¢

POTENCIAS DE BASE 10

1 = 0,1 10 1 = = 0,01 100 1 = = 0,001 1000

100 = 1

10-1 =

101 = 10

10-2

102 = 100

10-3 . . .

103 = 1000 . . . Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas: 1. 2. 3.

Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10n, en que 1 ≤ k < 10 y n ∈ Z. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p es el menor entero y n ∈ Z. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) abc,de = a ⋅ 102 + b ⋅ 101 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10-1 + e ⋅ 10-2

EJEMPLOS

1.

Transformar cada uno de los números del cuadro según lo que se indica NÚMERO

NOTACIÓN CIENTÍFICA

15.100 0,049 2.

0, 0024 = 0, 000012

A) B) C) D) E) 3.

0,2 0,02 0,002 2 ⋅ 10-10 2 ⋅ 102

0, 002 ⋅ 0, 36 3 ⋅ 10−2

A) B) C) D) E)

24 12 24 72 2,4

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

10-3 10-3 10-7 10-3 10-3 8

FORMA ABREVIADA

NOTACIÓN AMPLIADA O DESARROLLADA

EJERCICIOS

1.

Si a= A) B) C) D) E)

2.

30 9 2 20 9 10 9 15 2

Si a = 2

A) B) C) D) E)

3.

-5 5 1 , entonces + = -1 3 a a- 2

1 2 1 b , b= y c= , entonces a + = 2 3 6 a- c

5 18 1 2 2 11 2 14 4 1 5 5 1 14 3

4 7 , b = 5 9 verdadera(s)? Si a =

I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

y c =

6 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) 7

a