CAPITULO I VECTORES Y FUERZAS I.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Escalares: Para su interpretación precisan del valor numérico y de la unidad de medida. Ej.: 2 m3, 220 V, 50 km, 25 ºC. Vectoriales: Si decimos que un automóvil va a 120 km/hora, aparecen preguntas como ¿Porqué carretera lo ha hecho? que es lo mismo que preguntar por su dirección. Sabiendo su dirección, nos preguntaremos si va o viene, es decir el sentido que lleva. Ej: Fuerza, velocidad,... I.2. Vector. Se llama vector al segmento rectilíneo que tiene marcado el sentido y que representa gráficamente una magnitud vectorial. Z Todas las magnitudes vectoriales quedan definidas por: • Intensidad, valor, magnitud ó módulo. OA . • Dirección: El camino. Línea donde se encuentra. A • Sentido: Va ó viene.←→ • Punto de aplicación. O Y dirección O punto de aplicación módulo X I.3. Clases de vectores. FIJO: Es aquél cuyo punto de aplicación no admite traslados o cambios (velocidad). DESLIZANTE: Su punto de aplicación se puede trasladar a un punto cualquiera de su dirección. LIBRE: Se puede trasladar paralelamente a su dirección. →

→

v = 20 m/s

F = 50 kg .

fijo

Deslizante

Libre

I.4. Nomenclatura. Un vector se puede nombrar con una letra minúscula y de sombrero una flecha, ó con dos mayúsculas que definen sus extremos (punto de aplicación y punta de la flecha). Vectores equipolentes: Mismo sentido y magnitud siendo sus direcciones paralelas. Vectores opuestos: Misma magnitud y dirección y sentido contrario. I.5. Proyección ortogonal de un vector. Componentes. Z Se opera de la siguiente forma: 1º) Se hace coincidir, si es posible, el origen O de los ejes, P con el origen del vector. 2º) Por el extremo A del vector, se trazan planos paralelos a A los formados por cada dos ejes, que cortan a éstos en M, N y P. Y → → → O 3º) Los vectores OM , ON y OP son las proyecciones del N → M vector OA sobre los ejes X, Y y Z. 4º) Denominamos α, β y γ los ángulos formados por el vector X →

OA con X, Y y Z respectivamente, sabiendo que los ∆

∆

∆

triángulos OAM , OAN y OAP son rectángulos se tiene:

Carlos Albaiceta

3

VECTORES

MECÁNICA →

→

→

→

→

→

→

→

→

Componentes Z

x = OM = OA .cos α y = ON = OA .cosβ

P

z = OP = OA .cos γ ∆

∆

γ

5º) Aplicando Pitágoras en los triángulos OAR y ORP →

→

→

→

→

→

→ 2

→

→

→ 2

→ 2

→ 2

M

6º) Si elevamos al cuadrado y sumamos las expresiones del punto 4º queda: x2 + y2 +z2 = OA2(cos2α+cos2β+cos2γ) x2 + y2 +z2 = OA2 Cosenos directores: cos2α+cos2β+cos2γ = 1 α, β y γ: ángulos del vector con los semiejes positivos X, Y y Z. 7º) La dirección de la resultante de las tres proyecciones, x y z viene dada por. cosα = cosβ = cosγ = a a a Esto nos permite conocer la resultante y dirección de una fuerza conocidas sus proyecciones ortogonales y viceversa I.6. Operaciones con vectores.

R

X Suma

(11, 9) →

b (3,7 ) 7

→

2

a (8,2)

Resta

3

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

-n

→

→

az →

a →

ay →

ax

→

Z

nombran i , j , k según estén sobre OX, OY ú OZ. →

→

→

Ej.: V = 3 i + 5 j + 8 k I.7. Producto escalar. De dos vectores es una cantidad numérica, obtenida de multiplicar los módulos por el coseno del ángulo que forman. → → → → P P = V 1 . V 2 = V 1 . V2 cosα ⇒ cosα = → → V1 . V2 →

→

n

→

m - n = m + (- n ). Producto de un vector por un número: Es otro vector de módulo el producto del módulo dado por el nº, de dirección la misma del vector dado y sentido el mismo si el nº es positivo y el contrario si es negativo. Vector unitario Es un vector de módulo unidad y de sentido positivo, se

→ →

8

m

a (8, 2) + b (3, 7) = R (8+3, 2+7) = R (11, 9) Sustracción: Para restar vectores se le suma el opuesto del sustraendo.

→

R

→

→

Suma: a (8, 2) y b (3, 7) →

N

α

x 2 + y 2 + z 2 , ó también: a = a x2 + a y2 + a z2

→

Y

O

OA 2 = OM 2 + M R + RA 2 OA 2 = x + y + z OA =

β

→

OA 2 = OR 2 + RA 2 ∧ OR 2 = OM 2 + MR 2 ⇒ →

A

→

→

→

→

→→

→ →

k →

a Y →

i

j

X

→→

→→

→→

a . b = (ax i +ay j +az k ) . (bx i +by j +bz k ) = axbx i i +axby i j + axbz i k + aybx j i + ... →→

→→

→→

→→

→→

→→

→→

Como: i i = j j = k k = 1 Ya que i i = iicos0º =1 e i j = j k = i k = 0 → →

a . b = axbx + ayby + azbz Carlos Albaiceta

4

VECTORES

MECÁNICA

Ejemplo I.1.- Con el cálculo del producto escalar podemos hallar el ángulo que forman los vectores. Ej: Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores: →

→

→

→

→

→

→

→

V 1 = 2 i + 3 j - k ,, V 2 = 5 i + 2 j + 4 k ,, →

→

→

│V 1 │ = 2 2 + 32 + 12 = 14 ,, │ V 2 │ = 45 →

→

P = V 1 . V 2 = (2.5) + (3.2) -1.4 = -10 + 6 - 4 = 12 P 12 cos α = → → = ⇒ α = 61º26´21´´ 14 . 45 V .V 1

Superficie del paralelogramo formado.

→

a× b

→

2

b →

α I.8. Producto vectorial. Se define como producto vectorial de dos vectores otro vector con las siguientes características: ⎯ Módulo: ⏐a x b⏐ = a.b.senα

a

Producto Vectorial

→

→

⎯ Dirección: Perpendicular al plano formado por los vectores a y b . →

→

→

→

→

→

⎯ Sentido: El de un sacacorchos que va de a a b . El a xb lleva sentido contrario a b xa →

→

i → → → → → → → → a xb = (ax i +ay j +az k ) x (bx i +by j +bz k ) = a x bx

j ay by

→

→

→

k ay az = by bz

az → a x ibz bx

→

→

→

→

→

→

→

ixj =k →

→

→

→ →

→

kxi = j

→

→

→

k

→

i xk = - j →

j xk = i

ax bx

ay → k = by

→

→

→

j

j x i = -k

→

j+

Z

i x i = j x j = k xk = 1.1sen 0º = 0 →

bz

→

→

= (aybz-azby) i - (axbz-azbx) j + (axby-aybx) k →

az

→

Y

→

→

i

X

kx j = -i

Ejemplo I.2.-Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores: →

→

→

→

→

→

→

a = 8 i − 3 j + 5k →

b = 3 i − 9 j− k Solución: → →

a . b = a.b cos α ⇒ cosα =

→→

a .b →

→ →

→

→

→

→

→

a.b →

a = a = 64 + 9 + 25 = 98 = 9 ,8995 →

b = b = 9 + 81 + 1 = 91 = 9 ,5394 cosα =

46 = 0 , 487 ⇒ 98 . 91

Carlos Albaiceta

→

→

a . b = (8 i − 3 j + 5 k ).( 3 i − 9 j − k ) =24 + 27 –5 = 46

α = 60,85º = 60º50´57,9´´

5

VECTORES

MECÁNICA

Ejemplo I.3.- Calcular el producto vectorial de los vectores. →

→

→

→

→

→

→

MO

→

a = 8 i − 3 j + 5k y b = 3 i − 9 j + − k

→

→

→

→

→

→

→

O dr

→

a x b = (ax i +ay j +az k ) x (bx i +by j +bz k ) = a y az → a x az → a x a y → k = j+ i− = bx b y by bz bx bz →

→

F α

r

→

= [-3.(-1) -5.(-9)] i - [8.(-1) -5.3] j + [8.(-9) - (-3).3] k = →

→

→

= 48 i + 23 j - 63k

M

Area del paralelogramo: 48 2 + 232 + 632 = 82,47 Ejemplo I.4.- Hallar el producto escalar y el producto vectorial y el ángulo que forman los vectores: →

→

→

→

→

→

→

F

F

d

→

a = 5 i + 3 j - k y b = 3 i -2 j + 4k →

Sus módulos son:

⏐a ⏐ = 52 + 32 + ( −1 )2 = 35 →

r1

⏐b ⏐ = 32 + ( − 2 )2 + 4 2 = 29 → →

F1

a .b = 5.3+3.(-2)+(-1).4 = 15-6-4 = 5 El producto escalar es 5. 5 cosα = ,, α = 80,97º ó 80º58´14´´ 35 . 29 →

→

→

→

→

F2

d r1

→

a xb = [3.4-(-1).(-2)] i - [5.4-(-1).3] j +[5.(-2)-3.3] k = →

r2

-r2 r

→

10 i - 23 j - 19k →

→

→

→

→

→

→

→

Ejemplo I.5.- Dados los vectores v = 3 i + j + 2k y u = 2 i + 3 j + k Calcular el producto escalar el vectorial y el ángulo que forman. →

→

→

→

→

→

→

→

Ejemplo I.6.- Idem con los vectores s = 4 i - 2 j - 3k y u = i + j - 5k →

→

→

→

→

Ejemplo I.7.- Dados los vectores 3 i + 5 j y 4 i + x j + 3k . Hallar x para que sean perpendiculares. I.9. Momento central de un vector respecto de un punto. Momento de un vector F con respecto de un punto O, se define como el producto de la mínima distancia entre el punto y el vector por el vector. M=rxF →

→

r x F = r.F.sen α = r.senα.F = d.F

I.10. Teorema de Varignon. El momento con respecto a un punto de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con relación al mismo punto. I.11. Momento de un par de fuerzas. Dos fuerzas forman un par cuando sus direcciones son paralelas, sus módulos iguales y sentidos contrarios. El efecto que producen es un giro, de sentido el de un sacacorchos, pues su resultante es cero. El momento que provocan es el producto de la fuerza por la distancia que las separa. M=dxF →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

M = r1 x F1 + r2 x F2 = r1 x F1 + r2 x ( − F2 ) = ( r1 − r2 ) x F1 = r x F →

→

r x F = r.F.sen α = r.senα.F = d.F ,, d: brazo del par.

Carlos Albaiceta

6

FUERZAS

MECÁNICA

I.12. Introducción a sistema de fuerzas: Hay cuerpos en movimiento y cuerpos en reposo. El estado de movimiento o de equilibrio de los cuerpos es producido por unas causas internas o externas a los mismos, denominadas fuerzas. La ciencia que estudia las fuerzas que originan los estados de equilibrio o reposo y movimiento de los cuerpos se llama Mecánica. I.13. División de la Mecánica: ESTÁTICA: Las condiciones que deben cumplir las fuerzas aplicadas a los cuerpos para que éstos se mantengan en equilibrio. CINEMÁTICA: Estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas que los producen. DINÁMICA: Estudia el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que los producen. Grafostática: Estudia las condiciones necesarias para establecer el equilibrio en un sistema de fuerzas, empleando exclusivamente trazados geométricos. Se requiere gran meticulosidad y empleo de escalas apropiadas. El cálculo gráfico se emplea mucho por ser rápido y fiable. I.14. Representación de fuerzas y conceptos principales: Dirección ó línea de acción: Recta donde se encuentra. →

A

F

Magnitud, módulo ó intensidad: Su valor.⏐ F ⏐

B

→

⎥F⎜

Sentido: Va o viene en su dirección.← ó → Punto de aplicación: De donde parte. I.15. Determinación de una fuerza en el plano, por el método analítico: Proyección de un vector: O´B´ = OB cos α

B O

→

→

y = OB senα

x O´

→

x = OB cos α

y

α

→

OB =

B´

x 2 + y2

Sistemas de fuerzas: • Colineales: Todas las fuerzas en la misma dirección. • Concurrentes: Las direcciones concurren en un mismo punto (se cortan en O). • Coplanarias: Las situadas en un mismo plano. • No coplanarias: Se cruzan en le espacio. • Equipolentes: Formado por fuerzas paralelas de la misma intensidad. I.16. Resultante de un sistema de fuerzas: Se llama resultante de un sistema de fuerzas a otra fuerza que representa la acción conjunta del total de fuerzas que integran el sistema. Dos ó más sistemas con la misma resultante y momento se llaman equivalentes. I.17. Equilibrio de un sistema de fuerzas: Cuando la resultante del sistema es nula. La suma de todas las fuerzas da cero. I.18. Principios fundamentales de Estática: 1º) La resultante de dos fuerzas que actúan sobre un punto formando un determinado ángulo, es igual a la diagonal del paralelogramo construido con las fuerzas. →

F1

R

→

→

→

F2

Carlos Albaiceta

7

→

R = F1 + F2

FUERZAS

MECÁNICA

2º) Cualquier fuerza es desplazada en su línea de acción sin que se produzca variación en su efecto. Actúan como vectores deslizantes. 3º) Dos fuerzas situadas en la misma línea de acción, de igual intensidad y de sentido opuesto se equilibran mutuamente. La resultante es cero. 4º) Si a un sistema de fuerzas o cuerpo cualquiera se le quita o aplica otro sistema de fuerzas en equilibrio, no se modifica la acción ó el estado de los mismos. 5º) Cualquier sistema de fuerzas que actúa sobre un sólido puede ser reemplazado por su resultante, surtiendo los mismos efectos. 6º) La acción de una fuerza o sistemas de fuerzas es contrarrestada o equilibrada por otra fuerza de igual intensidad, pero de sentido opuesto, llamada REACCIÓN (principio de acción reacción) I.19. Composición de fuerzas: Componer fuerzas es la operación de reducir un sistema de fuerzas a otro mas simple, pero equivalente a una sola fuerza, llamada resultante. Si la resultante es nula el sistema está en equilibrio. La composición o resultante de un sistema de fuerzas se puede hallar de forma gráfica o analítica. a) Fuerzas colineales: I) Las fuerzas tienen el mismo sentido, el valor de la resultante es igual a la suma de las intensidades. → → → → → → → F2 F3 R = F1 + F2 + F3 F1

II) Las fuerzas tienen diferente sentido, el valor de R es igual a la diferencia y el sentido de la → → → → → mayor. F1 F2 R = F1 − F2 b)Fuerzas concurrentes. Dos fuerzas concurren en un punto, la resultante es la diagonal del paralelogramo. I.20. Ley de los cosenos:

C ∧

a

b2 = a2 + c2 − 2 a c cos B

b

∧

c2 = a2 + b2 − 2 a b cos C ∧

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos A

B

A

c

Ley de los senos:

a ∧

sen A

=

b ∧

sen B

=

→

R = 5.000

c ∧

sen C

F1 F2 5000 = = 0 0 sen45 sen30 sen1050

→

F1 →

45º

→

30º R = 5.000 45º

F2

30º

→

→

F2

F1

180º - (45º+30º)

Polígono funicular: Composición de fuerzas gráficamente se describe en el anexo I de los apuntes.

Carlos Albaiceta

8

FUERZAS

MECÁNICA

I.1 Un automóvil es arrastrado por dos cuerdas. La tensión en AB es de 400 kp. La resultante de las fuerzas aplicadas está dirigida a lo largo del eje del automóvil. Determinar gráficamente y analíticamente: a) La tensión F2. (F2=584,8 kp) b) El módulo resultante de las dos fuerzas. (R=895,9 kp)

400 kp 30º

A

20º F2

Fig. I.1 I.2 Dada una fuerza de 12 kp que forma 30º con la horizontal y otra de 16 kp que forma − 45º con la horizontal. Determinar la resultante. (R=22,35; α=31,2º)

F α

I.5 Sobre la anterior carretilla, determinar el módulo y la dirección de la fuerza P de manera que la resultante sea una vertical de 2500 N. (P=2.596; 36,5º) I.6 Si la resultante de las fuerzas que se ejercen sobre la carretilla debe ser vertical. Determinar: a) El valor de α para que P sea mínimo. (90º). b) El valor de P. (1.545 kp). I.7. Determinar la resultante de F1 y F2, gráfica y analíticamente. (58,18 kp; 50,1º). I.8. Dos fuerzas de 100 y 80 kp., tiran de un fardo. Hállese gráficamente la magnitud, dirección y sentido de una tercera fuerza mínima para que el fardo siga la dirección X. (47 kp; -Y). I.9. Calcular gráfica y analíticamente la resultante de las fuerzas de la figura. (8´03; 28,77º).

60º a

a

I.3 La fuerza F de 240 N se debe descomponer en sus componentes a lo largo de a-a y b-b. determinar gráfica y analíticamente el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de b-b vale 190 N. (α=43,28º) I.4 Dos fuerzas actúan sobre una carretilla que se mueve a lo largo de una viga horizontal. Sabiendo que α = 25º. Determinar por trigonometría la fuerza P de manera que la fuerza resultante sea vertical. ¿Cuál es la resultante? (P=3.657 N; R=3.728 N)

b

Fig.I.3

b

15º 1600 N

α

Fig. I.4

F1 = 30º F2 = 20 kp 30º Fig. I.7 100 kp 60º 30º 80 kp

Fig. I.8

Sol: F1 = 6 kp 30º

28,79º R 1,27º

45º I.10.

Ídem si F1 = 12 kp. y F2 = 16 kp.

Carlos Albaiceta

(22,3; 31,2º).

9

P

Fig. I.9

F2 = 4 kp

VECTORES Y FUERZAS

MECÁNICA

I.11. Calcular: a) El momento con respecto a O, producido por la fuerza de 100 N. (1.250 mN). b) La fuerza horizontal en A para obtener el mismo momento. (57,7 N). c) La fuerza mínima que aplicada en A produce el mismo momento. (50 N). d) ¿A qué distancia de A se debe aplicar una fuerza vertical de 250 N para obtener el mismo momento? (15m). (Obsérvese que ninguna fuerza es igual y todas producen el mismo momento, variando dirección y punto de aplicación). →

25 m

O

60º

Fig. I.11 800N 70º

A

→

I.12. Dado el vector a = 3 i − 4 j , aplicado en el punto A(2,3); hallar su momento respecto del punto B(0,1)(14k).

100 N

140

→

A

O

I.13. Calcular el momento en el punto O, que provoca la fuerza de 800N. (188,6 mN). I.14. Calcular el momento en O, que provoca la fuerza de 50 N. (171 mN).

50 N 30º

I.15 Determinar el módulo y dirección de la fuerza F mínima para obtener un momento de 104 Nm en el pedal de freno de la figura. (F= 400 N; α = 22,62º). I.16. Calcular la distancia que separa las fuerzas y el momento resultante del par de fuerzas de la figura. (d= 359,8; M = 179,9 mN). I.17. Ídem variando el ángulo a 45º. (353,5; 176,8 mN). I.18.

10 m

50º O Fig. I.14

→

F

Ídem variando el ángulo a 500 75º. N(270,8; 135,4 mN).

α

30º

240

300 mm 500 N

30º

200 mm Fig. I.15 Fig. I.16

Carlos Albaiceta

200

Fig. I.13

10

100

VECTORES Y FUERZAS

MECÁNICA

I.19. La barra AB se sustenta por el cable CA. Sabiendo que la tensión del cable son 300 kp. Calcular el momento en B producido. (3.240 mkp). Descomponer la tensión en sus componentes vertical y horizontal. (180; 240) →

→

→

C

18m

→

I.20. Una fuerza F = 26 i + 43 j − 59 k newtons actúa desde el origen. ¿Cuál es el valor de esta fuerza y qué ángulos forma con los ejes X, Y y Z. (77,5 N; α = 70,4º; β =56,3º; γ = 139,6º). I.21.

Hallar el producto escalar y el ángulo formado por: →

→

→

→

→

→

B

12m

a = 4 ,8 i − 2 , 3 j + 5,5 k →

A

→

b = 2 ,8 i − 6 , 09 j + 1,1 k

(P = 33,49; α = 49,88º) I.22.

22,5 m

Figura I.19

Hallar el producto vectorial de: →

→

→

→

P = 2 ,8 i + 4 ,7 j − 8,1 k →

→

→

→

Y

Q = 28,3 i + 44,6 j + 53,3 k

→

→

20 kp

0,5m

→

(611,7 i - 378,5 j - 8,1k ). I.23.

I.24.

Determinar el momento de la fuerza de 20 kp. respecto del punto O. (8,66 mkp).

60º

O

X

Dados los vectores:

1 a = (2i + 3j + 6k) 7 1 b = (3i - 6j + 2k) 7 1 c = (6i + 2j - 3k) 7 Demuéstrese: 1) Que sus respectivos módulos valen la unidad. 2) Que son perpendiculares entre sí. 3) Que c es el producto vectorial de a por b.

Figura I.23 A

144 mm B C

56 mm

42

Figura I.26 I.25. Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i - 6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar. (Nota: cosα = ( 1 − sen 2 α ) ). (3 7 ). I.26. Se sabe que la biela AB ejerce, sobre la manivela BC, una fuerza de 2,5 kN dirigida hacia abajo y hacia la izquierda a lo largo de la línea central AB. Determínese el momento de esa fuerza con respecto a C. (140 mN).

Carlos Albaiceta

11