FACULTAD DE CIENCIAS

CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 2011

BOLILLA 4 Movimiento Circular y Leyes de Newton 1. Movimiento Circular. En ausencia de fuerzas, el movimiento en línea recta y a velocidad constante continúa indefinidamente. El movimiento circular, sin embargo, necesita fuerzas para existir. Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posición angular, θ En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo θ, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, θ=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, ω

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado Dq= θ ' - θ en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'. Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

ω=

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Δθ Δt

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Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Δθ dθ = Δt →0 Δt dt

ω = lim Relación velocidad lineal y angular:

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

θ=

s s' = r r'

Derivando s=rθ respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular ds dθ =r ; dt dt

v = rω

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Si T es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa (Período), el valor de la velocidad es igual a la longitud de la circunferencia 2πR dividida por T: 2πR T Sea f la frecuencia la cual se define como cantidad de vueltas en un tiempo fijo, donde f = 1/T Entonces podemos escribir también: v=

v = 2π .R. f

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Aceleración angular, α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Δω=ω' -ω en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'. Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

α=

Δω Δt

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Δω dω = Δt →0 Δt dt

α = lim Aceleración tangencial

Derivando la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular. dv dω =r ; a t = rα dt dt Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando.

θ -θ0=ω(t-t0) Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

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α =0 ω = cte θ = θ 0 + ω.t

Aceleración normal

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme. •

En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.

•

En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad Δv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Δv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación Δs Δv = r v Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t' Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Δt=t'-t Δv v Δs = Δt r Δt Cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, la cuerda Δs se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

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Δs v ds v 2 Δv v = lim = = Δt →0 Δt r Δt →0 Δt r dt r

a n = lim

La aceleración normal an tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes: an =

v2 = ω 2r r

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe. Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial. Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe. La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

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2. Leyes de Newton. Su validez en la mecánica clásica.

La mecánica se basa en tres leyes naturales, enunciadas por primera vez de un modo preciso por Sir Isaac Newton (1643-1727) y publicadas en 1686 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Los fundamentos matemáticos de la ciencia de la Naturaleza). No debe deducirse, sin embargo, que la mecánica como ciencia comenzó con Newton. Muchos le habían precedido en estos estudios, siendo el más destacado Galileo Galilei (1564-1642), quien, en sus trabajos sobre el movimiento acelerado, había establecido los fundamentos para la formulación por Newton de sus tres leyes. 2.1 Primera ley de Newton. “Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúan fuerzas sobre él”.

Un efecto de las fuerzas es alterar las dimensiones o la forma del cuerpo sobre el que actúan; otro consiste en modificar su estado de movimiento. El movimiento de un cuerpo puede considerarse compuesto de su movimiento como conjunto, o movimiento de traslación, y de cualquier movimiento de rotación que el cuerpo pueda tener. En el caso más general, una fuerza única actuando sobre un cuerpo produce a la vez cambios en sus movimientos de traslación y de rotación. Sin embargo, cuando varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo, sus efectos pueden compensarse entre sí, dando como resultado que no haya cambio en su movimiento de traslación ni en el de rotación. Cuando sucede esto, se dice que el cuerpo está en equilibrio, lo que significa: 1) que, el cuerpo en conjunto o permanece en reposo o se mueve en línea recta a velocidad constante; 2) que el cuerpo no gira o que lo hace con velocidad constante. Para una solución analítica, es ordinariamente más sencillo manejar las componentes rectangulares de las fuerzas. Hemos demostrado que las componentes rectangulares de la resultante R de cualquier conjunto de fuerzas coplanarias son: R x = ∑ Fx

;

R y = ∑ Fy

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula. Ambas componentes rectangulares son entonces nulas, y, por tanto, para un cuerpo en equilibrio se verifica:

∑F

x

= 0;

∑F

y

=0

Estas ecuaciones constituyen la primera condición de equilibrio. La segunda condición de equilibrio es que dos fuerzas en equilibrio han de tener la misma línea de acción, o que tres fuerzas en equilibrio han de ser concurrentes. La primera condición de equilibrio asegura que el cuerpo está en equilibrio de traslación; la segunda, que está en equilibrio de rotación. La expresión de que un cuerpo está en equilibrio completo cuando quedan satisfechas ambas condiciones es la esencia de la primera ley del movimiento de Newton.

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Para estudiar el movimiento se define primero un sistema de referencia. Un mismo movimiento parece distinto si se observa desde distintos sistemas de referencia. Un sistema se define como inercial si está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Sólo en un Sistema Inercial y para una partícula- punto material- “libre” se cumple la primera ley. Punto material, es la idealización de un cuerpo al que suponemos con masa pero sin ocupar volumen lo que supone asignarle una densidad infinita. Partícula “libre” quiere decir que la masa está aislada de tal manera que no existan interacciones sobre ella de otra materia y por lo tanto no actúan fuerzas sobre ella. 2.2 Segunda ley de Newton. Masa.

El paso lógico inmediato es preguntar cómo se comporta un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él no es nula. La respuesta a esta cuestión está contenida en la segunda ley de Newton, la cual afirma que cuando la fuerza resultante no es nula, el cuerpo se mueve con movimiento acelerado, y que la aceleración, para una fuerza dada, depende de una propiedad del cuerpo llamada su masa. Se denomina dinámica la parte de la mecánica que estudia conjuntamente el movimiento y las fuerzas que lo originan. En su sentido amplio, la dinámica abarca casi toda la mecánica. La estática trata de los casos especiales en los cuales la aceleración es nula, y la cinemática se ocupa únicamente del movimiento. Sabemos por experiencia que un objeto en reposo jamás comenzará a moverse por sí mismo, sino que será necesario que otro cuerpo ejerza sobre él una tracción o un empuje. Es también familiar el hecho de que para retardar el movimiento de un cuerpo o para detenerlo es necesaria una fuerza, y que cuando la trayectoria de un cuerpo es rectilínea, es preciso ejercer una fuerza lateral para desviarlo de ella. Todos los procesos anteriores (aceleración, retardo o cambio de dirección) implican un cambio en el valor o en la dirección de la velocidad del cuerpo. En otras palabras, en todos los casos, el cuerpo es acelerado, y ha de actuar una fuerza exterior para producir esta aceleración. Los resultados de los experimentos demuestran lo siguiente: a) En todo caso, la dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza. Esto es cierto, bien se encuentre el cuerpo inicialmente en reposo, o bien moviéndose en cualquier dirección y con cualquier velocidad. b) Para un cuerpo dado, la razón del valor de la fuerza al de la aceleración es siempre el mismo, o sea, es constante: F = cte. (para un cuerpo dado). a La razón es, en general, diferente para los distintos cuerpos. Esta razón constante de la fuerza a la aceleración puede considerarse como una propiedad del cuerpo denominada su masa m, de donde F M = a o bien F = m.a La masa de un cuerpo es una magnitud escalar, numéricamente igual a la fuerza necesaria para Bolilla 4 Leyes del Movimiento

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comunicarle la unidad de aceleración. Puesto que la experiencia demuestra que (para un cuerpo dado) la razón de la fuerza a la aceleración es siempre la misma, basta realizar dos medidas: una de la fuerza, y la otra de la aceleración correspondiente, para determinar la masa; p. ej., si se encuentra que la aceleración de un cierto cuerpo es de 5 m/seg2 cuando la fuerza es de 20 Kg, la masa del cuerpo será: F 20 Kg 4 Kg m= = = a 5. m 2 m 2 s s Cuando es necesaria una gran fuerza para aumentar o disminuir la velocidad de un cuerpo, o bien para desviarlo lateralmente si está moviéndose, la masa del cuerpo es grande. En el lenguaje ordinario, diríamos que el cuerpo tiene una gran inercia. Si solo es necesaria una pequeña fuerza por unidad de aceleración, la masa es pequeña y la inercia pequeña. Puede considerarse, por tanto, que la masa de un cuerpo representa de modo cuantitativo la propiedad de la materia que se describe cualitativamente con la palabra inercia, La ecuación

r r F = m.a

es una ecuación vectorial; esto es, el vector F tiene el mismo valor y dirección que un vector que es m veces mayor que el vector a. Si dos vectores son iguales, sus componentes rectangulares son también iguales y la ecuación vectorial anterior (para fuerzas y aceleraciones en el plano xy) es equivalente a las dos ecuaciones escalares Fx = m.a x ; Fy = m.a y

Por ejemplo, supongamos que en lugar de aplicar directamente la fuerza F, como en la figura 51(a), aplicamos sus componentes Fx. y Fy,. Encontramos que la aceleración a tiene el mismo valor y dirección que en la parte (a), y que las componentes ax y ay son las dadas por las Ecs. Esto quiere decir que cada componente de la fuerza puede considerarse que produce su propia componente de aceleración. Se deduce de esto que si un número cualquiera de fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo, una vez descompuestas aquellas en sus componentes rectangulares según los ejes x e pueden calcularse las sumas algébricas Σ Fx y Σ Fy y entonces las componentes de la aceleración están dadas por ∑ Fx = m.a x ; ∑ Fy = m.a y Este par de ecuaciones equivale a la ecuación vectorial única r

r

∑ F = m.a

en la que ΣF es la suma vectorial o resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo. La segunda ley de Newton establece entonces que “la aceleración es proporcional a la fuerza resultante y tiene la misma dirección que esta fuerza”. La 2ª Ley sólo se cumple:

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a) En Sistemas Inerciales. En Sistemas no Inerciales la fórmula válida es: F +Fi = m·a ; b) Para masas no muy pequeñas (que no tengan implicaciones cuánticas) c) Para velocidades pequeñas v