Research Collection

Master Thesis

Berechnung des Verlaufs der Abwassertemperatur im Kanalisationsrohr Author(s): Dürrenmatt, David J. Publication Date: 2006 Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-005683376

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ETH Library

Diplomarbeit WS 2006/07

Berechnung des Verlaufs der Abwassertemperatur im Kanalisationsrohr David J. Dürrenmatt 13. Dezember 2006

Speicher

Daten Knoten

Physikalische Konstanten

Hydraulik

Wärmespeicher Erdreich

T- / XProfile

Iterator

(4. Ordnung)

. q WL . q RW . qkδ Prozesse

DGL N

Differentialgleichungen

DGL 1 DGL 2

Stränge ∆t

Extrapolation Randbed.

Hydraulik

PDE-Löser

Tδ aktualisieren

Stränge

Integration PDE-System

Instat. System

Parameter Numerik

ODE-Löser

Modul

Stränge

Bilanz Knoten

Modul

Nein

Ja

Runge-Kutta

. q ω‘

∆x

Instationär?

Daten Stränge

∆x

Stat. T- / X-Profile

T δ aktualisieren

Stationäre Hydraulik Stationäre T- / X-Profile

E

Integration ODE-System

Modul

Laden / Speichern

Geschwindigkeitsprofil

NewtonRaphson

Bilanz Knoten

Instat. System

Darstellung / Ausgabe der Daten

Berechnung vorbereiten

Kanalgeometrie

Modul

Kanalluft Berechnung Luftströmung Bilanz Knoten Ausgleich Luftströmung

Hauptprogramm

Status

Bilanz Knoten Kontrolle Zuschlagen Berechnungen Geometrie

Stränge

Stat. Hydraulik

Validation Konversion

Wahl Berechnung, Numerik, Ausgabe Hauptprogramm starten

Modul

Modul

Dateneingabe (System abbilden)

EingabeAssistent

Modul

Benutzeroberfläche

Betreuung durch Dr. Oskar Wanner und Prof. Dr. Willi Gujer

2-Schritt Lax-Wendroff (2. Ordnung in Ort und Zeit)

T- / XProfile

Zusammenfassung

Ungereinigtes Abwasser steckt voller Energie. Diese Energie kann durch Wärmetauscher und Wärmepumpen zurückgewonnen und zur Raumheizung und Wassererwärmung eingesetzt werden. Die optimale Standortwahl und die Auslegung der Wärmerückgewinnungsanlage hängt dabei von mehreren Faktoren ab. So ist die Nähe zum Verbraucher wichtig. Ein weiterer Faktor, der beachtet werden muss, ist, dass der Volumenstrom des Abwassers im Allgemeinen mit dem Fliessweg in der Kanalisation zunimmt, die Temperatur aber absinkt. Zudem muss beachtet werden, dass die minimale Temperatur und die maximale Temperaturabsenkung im Zulauf der Abwasserreinigungsanlage vorgeschrieben sind, damit eine relevante Beeinträchtigung der Reinigungsleistung durch die Abkühlung des Abwassers infolge Wärmeentnahme ausgeschlossen werden kann. Unter Einhaltung der genannten Rahmenbedingungen ist zur optimalen Planung der Wärmerückgewinnungsanlage die Kenntnis des Verlaufs der Abwassertemperatur von der Wärmerückgewinnungsanlage bis zur Abwasserreinigungsanlage unabdingbar. In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell präsentiert, das die zeitliche und räumliche Veränderung der Temperaturen von Abwasser und Kanalluft sowie der Wasserdampfbeladung in einem Kanalisationssystem beschreiben kann. Das Modell wurde so ausgelegt, dass Abschätzungen bereits mit gängigen Messgrössen, wie Temperatur und Durchfluss sowie der Kenntnis der Topographie des Kanalisationssystems, durchgeführt werden können und auf komplizierte Messkampagnen verzichtet werden kann. So kann die Luftströmung in der Kanalisation aus der Abwasserströmung berechnet werden, wobei der Luftaustausch in jedem zur Atmosphäre offenen Schacht und Bauwerk separat gesteuert werden kann. Im Weiteren wurde ein Konzept entwickelt, um Kanalisationssysteme abzubilden, die sich aus verschiedenen Leitungen, Schächten und anderen Bauwerken zusammensetzen. Ein praxistaugliches Programm mit benutzerfreundlicher Excel-Oberfläche, das den stationären Temperaturverlauf berechnen kann, wurde in Visual Basic for Applications (VBA) entworfen und in eine Excel-Arbeitsmappe integriert. Dazu wurden stabile numerische Algorithmen mit hoher Genauigkeit und kurzer Rechenzeit verwendet. Bei der Erfassung des abzubildenen Kanalisationssystems wird der Benutzer durch Programmmodule unterstützt. Nach der Eingabe der Daten führt das Programm die Berechnungen durch und stellt die Resultate grafisch übersichtlich dar. Das Benutzerhandbuch erläutert die Handhabung und vier Anwendungsbeispiele zeigen einige mögliche Anwendungszwecke auf, darunter auch die Erläuterung des Vorgehens, um die anfänglich aufgeworfene Fragestellung der Standortevaluation zu beantworten. Mit der vorliegenden Arbeit wurde ein Werkzeug geschaffen, mit dem ein Anwender ohne spezielle Simulationssoftware den Temperaturverlauf in der Kanalisation modellieren kann, nur basierend auf Microsoft Excel und einer minimalen Anzahl von Eingabedaten. i

Vorwort Die vorliegende Diplomarbeit entstand während des Wintersemesters 2006/07 am Institut für Umweltingenieurwissenschaften der ETH Zürich in Zusammenarbeit mit der Eawag. Hinter dem scheinbar simplen Titel «Berechnung des Verlaufs der Abwassertemperatur im Kanalisationsrohr» verbirgt sich eine herausfordernde Aufgabe, die während meinen vier Monaten an der Eawag zu lösen war. So sollte von Grund auf ein «praxistaugliches Programm» erstellt werden, wobei jeder einzelne Baustein von mir gesetzt werden sollte, beginnend bei der «zündenden» Idee für die Formulierung des konzeptionellen Modelles, über die Transformation desgleichen in ein System von partiellen Differentialgleichungen mit einer Vielzahl an Prozesstermen, und die Programmierung eines Prototypes in Matlab, der ebendiese Gleichungen mit einem robusten numerischen Algorithmus löst, zum Entwurf des Endproduktes in Microsoft Excel unter Verwendung von Visual Basic for Applications mit benutzerfreundlicher Oberfläche und grafischer Darstellung der berechneten Temperaturverläufe bis hin zum Verfassen eines Bedienungshandbuches. Das Lösen dieser Aufgabe war äusserst spannend und erfüllend – aber ohne die hervorragende Betreuung und das grossartige Umfeld, dass mir an der Eawag geboten wurde, wäre das Ziel nie erreicht, diese Arbeit nie erfolgreich fertiggestellt worden. Daher möchte ich an dieser Stelle allen, die in irgendeiner Weise zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben, meinen herzlichsten Dank aussprechen. Bedanken möchte ich mich an erster Stelle bei meinem Betreuer, Herrn Dr. Oskar Wanner. Er hat unzählige Stunden für die Prüfung meiner Herleitungen und Resultate aufgewendet, hat mir stets mit hilfreichen Kommentaren und Anregungen zur Seite gestanden und sorgte dafür, dass sich meine Marschrichtung unbeirrt auf das Ziel dieser Arbeit hinbewegte. Ebenfalls möchte ich Prof. Dr. Willi Gujer meinen Dank aussprechen. Von ihm erhielt ich während den Zwischenbesprechungen wichtige Denkanstösse, er ermöglichte mir selbständiges Arbeiten und liess mir die Freiheit, den eingeschlagenen Weg zu gehen. Zum Schluss, aber nicht minder herzlich, möchte ich Eva von Wyl dafür danken, dass sie viele Stunden damit verbracht hat, der vorliegenden Arbeit den sprachlichen Feinschliff zu verpassen. Dübendorf, 13. Dezember 2006 David J. Dürrenmatt

ii

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

1

1.1. Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ziel dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Bestehende Modellansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Konzeptionelles Modell

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Systemgrenzen . . . . . . . . . . Definition «Strang» . . . . . . . Definition «Knoten» . . . . . . . Definition «Rohr» . . . . . . . . Annahmen und Vereinfachungen

1 1 2 3

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3 3 4 4 7

3.1. Kanalisationsrohr . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Massenerhaltung . . . . . . . . . 3.1.2. Impulserhaltung . . . . . . . . . 3.1.3. Wärmeerhaltung . . . . . . . . . 3.1.4. Austauschprozesse . . . . . . . . 3.1.5. Parameter der Austauschprozesse 3.2. Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Stationäre Lösung . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Abwasserabfluss . . . . . . . . . 3.3.2. Luftdurchfluss . . . . . . . . . . . 3.3.3. Temperatur und Wasserdampf . . 3.3.4. Anfangs- und Randbedingungen 3.4. Instationäre Lösung . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Abwasserabfluss . . . . . . . . . 3.4.2. Luftdurchfluss . . . . . . . . . . . 3.4.3. Temperatur und Wasserdampf . . 3.4.4. Anfangs- und Randbedingungen

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9 9 10 10 11 13 14 15 15 16 17 18 18 18 18 18 19

3. Analytisches Modell

9

4. Numerik

20

4.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Programmstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3. Dokumentation des Quellcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Bedienungshandbuch

5.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Programmoberfläche und Bedienung . . . . . . . . . . . 5.2.1. Hauptmaske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Eingabemaske, in der die Stränge erfasst werden.

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23 24 24 25 iii

iv

Inhaltsverzeichnis

5.2.3. Strangerfassungs-Assistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Darstellung der Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5. Temperaturverlauf berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6. Parameter der Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.7. Darstellung von Luftfeuchtigkeit und Temperaturen . . . . . . . . . . 5.2.8. Export der berechneten Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Szenario 1: Berechnung der Abwassertemperatur . . . . . . . . . . . 5.3.2. Szenario 2: Einfluss der Parameterwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Szenario 3: Berücksichtigung von seitlichen Zuflüssen . . . . . . . . 5.3.4. Szenario 4: Effekt der Wärmeentnahme auf die Abwassertemperatur

26 27 28 28 29 29 30 30 31 32 33

6. Fazit und Ausblick

35

Abkürzungsverzeichnis

37

Literaturverzeichnis

40

A. Ergänzungen

A.1. Erläuterungen zu den Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte und implementierte Werte A.1.2. Kanalprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3. Abschätzung der vertikalen und lateralen Mischung . . . . . . . . . A.1.4. Erwärmung des Abwassers durch Reibung . . . . . . . . . . . . . . A.1.5. Wärmelängsleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Erwärmung des Abwassers durch biologische Prozesse . . . . . . . . . . . A.3. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Froude-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Lewis-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Nusselt-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.5. Péclet-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.6. Prandtl-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.7. Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Herleitung der Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Allgemeine intensive Grösse ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2. Massenbilanz im Kompartiment «Abwasser» . . . . . . . . . . . . . A.4.3. Wärmebilanz im Kompartiment «Abwasser» . . . . . . . . . . . . . A.5. Stationäre und instationäre Konduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1. Stationäre Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.2. Instationäre Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Kanalgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.1. Geometrische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.2. Iterative Berechnung von γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. Sensitivitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8. Luftfeuchtigkeit und Beladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9. Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10.Zwei-Schritt Lax-Wendroff Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11.Makrosicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 45 45 47 47 48 49 49 49 49 49 49 50 50 51 51 51 52 53 53 53 55 55 56 57 58 59 61 63

Inhaltsverzeichnis

v

A.12.Status der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 B. Stoff- und Materialwerte

B.1. B.2. B.3. B.4.

67

Reibungsbeiwerte kst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeleitfähigkeiten λR verschiedener Rohrmaterialien Wärmeleitfähigkeiten λB verschiedener Böden . . . . . . Bodentemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C. Programmdokumentation

C.1. C.2. C.3. C.4. C.5. C.6.

Fehler- und Informationsmeldungen Eingebaute Rohr- und Bodentypen . Excel Objekte . . . . . . . . . . . . . Formulare . . . . . . . . . . . . . . . Module . . . . . . . . . . . . . . . . Klassen . . . . . . . . . . . . . . . .

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Einleitung

1.1. Hintergrund Abwasser enthält eine grosse Menge an Wärmeenergie, die mittels Wärmetauscher und Wärmepumpe auf wirtschaftliche Weise zurückgewonnen und zur Raumheizung und Wassererwärmung eingesetzt werden kann. Die Wärmerückgewinnung als ökologische Energiequelle erlebt im Moment einen massiven Aufschwung. Die Auslegung und die Standortwahl einer Anlage zur Wärmerückgewinnung ist an mehrere Randbedingungen gebunden: Voraussetzung für die erfolgreiche Realisierung einer Anlage ist zum einen das Vorhandensein eines Abnehmers für die entnommene Wärmeenergie. Zum anderen hängt die Energiemenge, die entnommen werden kann, von der Grösse des Volumenstroms und der Temperatur des Abwassers ab. Der Volumenstrom steigt auf dem Fliessweg in der Kanalisation an, die Temperatur sinkt ab. Die mögliche Leistung der Anlage hängt also davon ab, wo der Wärmetauscher in die Kanalisation eingebaut wurde. Eine weitere Randbedingung formuliert z.B. im Kanton Zürich das Amt für Abfall, Wasser, Energie und Luft (AWEL). Es hält fest, dass durch die Wärmenutzung aus ungereinigtem Abwasser die Reinigungsleistung der Abwasserreinigungsanlage (ARA) nicht massgeblich verringert werden und kein Anlagenausbau notwendig gemacht werden dürfe (AWEL, 2003). Diese Bedingung fusst auf der Tatsache, dass die Reinigungsleistung mit abnehmender Temperatur schlechter wird und somit die Anforderungen des Gewässerschutzes bei zu tiefer Absenkung nicht mehr erfüllt würden. (Für eine Quantifizierung der Abesenkung siehe Wanner, 2005.) Laut AWEL soll die Temperatur des ungereinigten Abwassers, gemessen im Zulauf der ARA, 8°C nicht unter- und die maximale Temperaturabsenkung 0.5°C nicht überschreiten. Es ist für die Auslegung und die Standortwahl einer Wärmerückgewinnungsanlage also wichtig, die Temperatur und den Volumenstrom des Abwassers über den Längsverlauf des Kanalisationssystems zu kennen.

1.2. Ziel dieser Arbeit Diese Arbeit hat zum Ziel, ein mathematisches Modell zu entwickeln, das die Veränderung der Abwassertemperatur im Längsverlauf des Kanalisationssystems beschreiben kann. Das Modell soll so gestaltet werden, dass es der Benutzer mit möglichst wenigen Eingabegrössen anwenden kann, die zudem leicht gemessen oder abgeschätzt werden können. Dazu soll ein benutzerfreundliches Computerprogramm geschrieben werden, welches das 1

2

Kapitel 1. Einleitung

erstellte Modell numerisch löst. Für die Benutzeroberfläche soll Microsoft Excel verwendet werden, damit der Benutzer das Programm möglichst einfach anwenden und auf die aufwändige Installation umfangreicher Softwarepakete verzichten kann.

1.3. Bestehende Modellansätze Bereits 1984 erstellten Bischofsberger und Seyfried ein Modell, um den Längsverlauf der Temperatur in einem Kanalisationsrohr abzuschätzen. Sie erkannten, dass die Abwassertemperatur in der Kanalisation im Wesentlichen durch drei Prozesse beeinflusst wird: Den Wärmeübergang vom Abwasser an die Kanalluft, die Abwasserverdunstung und den Wärmedurchgang durch die Rohrwand. Sie nahmen für die Temperatur und die relative Luftfeuchtigkeit der Kanalluft konstante Werte an. Wanner et al. (2004) erkannten, dass die Lufttemperatur und die relative Luftfeuchtigkeit nicht als feste Modellparameter behandelt werden dürfen, da sie in der Kanalisation veränderlich sind und grossen Schwankungen unterliegen. Sie erweiterten deshalb das Abwassertemperaturmodell von Bischofsberger und Seyfried (1984) und behandelten die Lufttemperatur und die relative Luftfeuchtigkeit als Variablen. In der Literatur sind Arbeiten zur Modellierung der Temperatur in der Kanalisation spärlich zu finden. Ähnliche Fragen stellen sich aber auch auf dem Gebiet der Erdwärmenutzung durch Erdregister1 , das bisher viel intensiver erforscht wurde. Krarti und Kreider (1996), Kurpaska und Slipek (1996) und Hollmuller (2003) stellen u.a. mathematische Modelle vor, mit denen die Änderung der Lufttemperatur in den Rohren des Erdregisters berechnet werden kann. In allen drei genannten Publikationen werden Verdunstung und Kondensation nicht berücksichtigt. Zudem handelt es sich um eine Einphasenströmung unter gut fassbaren Bedingungen. Im krassen Gegensatz dazu liegen über die Luftströmung in der Kanalisation sehr wenig Daten vor und es wurden in den letzten Jahren nur wenige Publikationen veröffentlicht (Edwini-Bonsu und Steffler 2004, 2006a, 2006b). In dieser Arbeit soll nun ein Modell entwickelt werden, das wie Wanner et al. (2004) die Temperatur von Abwasser und Luft und die relative Luftfeuchtigkeit in der Kanalisation als örtlich und zeitlich veränderlich sieht, aber in vielen Belangen erweitert ist. So wird u.a. eine Kondensationsschicht an der Kanalwand eingeführt, die das Kondensieren von Wasserdampf an der Kanalwand erlaubt. Die Luftströmung geht nicht als konstanter Parameter in die Berechnung ein, sondern wird mit Hilfe von physikalischen Ansätzen berechnet. Das hier präsentierte, erweiterte Modell erlaubt nicht nur die Simulation des Temperaturverlaufs in einem Rohrabschnitt, sondern kann diesen auch für Kanalisationssystemen mit Schächten, seitlichen Zuflüssen, Gefällswechseln etc. berechnen.

1 Der

Einbau von Erdregistern dient der Regelung des Wärmehaushalts von Gebäuden. Dabei werden Rohre oder Rohrbündel in einigen Metern Tiefe in die Erde eingegraben und mit Luft durchströmt.

2

Konzeptionelles Modell

In diesem Kapitel wird das konzeptionelle Modell vorgestellt, mit dem das Temperaturprofil in Kanalisationssträngen modelliert werden kann. Dazu wird zuerst das Grundelement «Strang» definiert und das Vorgehen erläutert, wie Stränge kombiniert werden können, um ein System zu modellieren. Die «Rohre» und die «Knoten» werden anschliessend dargestellt. Weiter unten werden dann alle Annahmen und Vereinfachungen, die zur Konstruktion des Modelles gemacht wurden, tabellarisch aufgelistet.

2.1. Systemgrenzen Im konzeptionellen Modell werden zwei Systemgrenzen unterschieden. Zum einen ist dies eine konzeptionelle, zum anderen eine physikalische. Die konzeptionelle Systemgrenze legt jenen Teil des Kanalisationssystems fest, der abgebildet werden soll. Sie beinhaltet demnach alle Kanalisationsrohre, Schächte, Bauwerke, etc. – hier allgemein als Knoten bezeichnet –, die zwischen einem Startpunkt und einem Endpunkt liegen. Die physikalische Systemgrenze dagegen definiert ein Bilanzvolumen in einem Rohrabschnitt. Das wird benötigt, um die mathematischen Gleichungen herzuleiten, welche die Vorgänge des Stoffund Wärmetransfers beschreiben.

2.2. Definition «Strang» Das Grundelement «Strang» setzt sich aus den Atmosphäre Bestandteilen «Knoten» und «Rohr» zusammen und ist in Abbildung 2.1 schematisch aufgezeichnet. Der «Strang» wird als Grundelement bezeichRohr net, da er als Grundbaustein zur Abbildung komKnoten plexer Kanalisationssysteme dient und sich umSeitlicher Zufluss gekehrt die meisten Kanalisationssysteme auf ihn herunterbrechen lassen. Er wird von der Luft- und Abbildung 2.1.: Das «Strang». Abwasserströmung in der eingezeichneten Richtung durchflossen.

Strang

Grundelement

3

4

Kapitel 2. Konzeptionelles Modell

Stränge können seriell kombiniert werden. Dies wird in Abbildung 2.1 durch die halbtransparenten und nur teilweise sichtbaren Stränge links und rechts des vollständig eingezeichneten Stranges verdeutlicht. Es wird jeweils der Knoten eines neuen Stranges an das Rohr des obenliegenden angehängt. Definitionsgemäss ändern sich im Strang die Materialeigenschaften und auch die Kanaltopologie und die Umgebungsbedingungen im Längsverlauf nicht. Treten solche Änderungen auf, muss ein neuer Strang definiert werden. Zu- und Abflüsse von Abwasser und Luft können nur am Knoten auftreten.

2.3. Definition «Knoten» Die Knoten an sich werden als nulldimensionale Objekte definiert. Das heisst, sie besitzen keine Ausdehnung und als Konsequenz sind alle Variablen am Knoten nur zeit-, aber nicht ortsabhängig. Durch Knoten werden Unstetigkeiten in einem Kanalisationssystem modelliert. Zu solchen Unstetigkeiten gehören beispielsweise seitliche Zuflüsse, der Luftaustausch mit der Atmosphäre, der Übergang vom ungesättigten ins gesättigte Erdreich und Gefällsknicke.

2.4. Definition «Rohr» Das «Rohr» besitzt – im Gegensatz zum «Knoten» – ein Volumen. Während der Fliesszeit über die Länge des Rohres finden Wärme- und Stofftransport zwischen den verschiedenen Kompartimenten1 statt. Im Kanalrohr werden folgende fünf Kompartimente definiert: Abwasser, Kanalluft, Kondensationsschicht, Rohrwand und Erdreich. Diese Kompartimente und der Austausch, der zwischen ihnen stattfindet, sind in Abbildung 2.2 eingezeichnet. Neben den Austauschprozessen zwischen den Kompartimenten findet in den Kompartimenten Abwasser und Kanalluft auch ein Wärmetransport in Längsrichtung durch die in diesen Kompartimenten vorherrschende Strömung statt. «Abwasser» Wird das Augenmerk auf das Kompartiment «Abwasser» gelegt, so können vier dominierende Wärme- und Stoffaustauschvorgänge identifiziert werden: (1) Wärme kann aus dem Erdreich via Rohrwand ins Abwasser gelangen, falls die Temperatur des Erdreiches über derjenigen des Wassers liegt. Anderenfalls strömt die Wärme in die Gegenrichtung (q˙RW ). Am Wasserspiegel stehen die Kompartimente «Abwasser» und «Kanalluft» in direktem Kontakt. An dieser Kontaktfläche können zwei Austauschprozesse identifiziert werden, nämlich (2) die Konvektion fühlbarer Wärme (q˙W L ) und (3) der Übergang latenter Wärme infolge Verdunstung bzw. Kondensation (q˙vP ). (4) Infolge exothermer biologischer und chemischer Prozesse kann Wärme im Abwasser produziert werden (q˙ω  ). 1 Als

Kompartimente werden abgegrenzte Teilbereiche des Systems bezeichnet.

2.4. Definition «Rohr»

5

. q Rδ . qkδ

. qδL

δs

δB s

. q kL‘ . q WL

. q vP

D

. q ω‘

y

. q RW

dx

4

. qδL . qkδ

. q Rδ δs

. q kL‘ . q WL

. q vP

D/2 s δB

. q ω‘ . q RW

Abwasser Kanalluft Kondensationsschicht Rohrwand Erdreich Systemgrenze Wärmetransport Phasenübergang Quellen / Senken

Abbildung 2.2.: Schematische Darstellung eines Kanalisationsrohres. In der oberen Hälfte ist ein Seitenriss, in der unteren ein Aufriss dargestellt. Im Seitenriss sind ein Kontrollvolumen definiert (mit rot gestrichelter Umrandung) und die fünf Kompartimente «Abwasser», «Kanalluft», «Kondensationsschicht», «Rohrwand» und «Erdreich» eingezeichnet. Der Aufriss ist ein Schnitt durch dieses Kontrollvolumen. Die grünen und orangen Pfeile markieren die Wärme- und Stoffflüsse. Alle Flüsse ausser q˙kδ können auch gegen die Pfeilrichtung fliessen. Für die mathematische Formulierung gilt die Konvention, dass Flüsse in Pfeilrichtung ein positives und Flüsse gegen die Pfeilrichtung ein negatives Vorzeichen haben.

6

Kapitel 2. Konzeptionelles Modell

«Kanalluft» Dieses Kompartiment beherbergt Luft, aber auch Wasserdampf, mit dem die Luft beladen ist. Somit muss zwischen fühlbarer Wärme, die sich in der Lufttemperatur äussert und latenter Wärme, die bei einem Phasenübergang von flüssigem Wasser in den gasförmigen Zustand aufgenommen oder – falls Wasserdampf kondensiert – abgegeben wird, unterschieden werden. In der Kanalluft finden folgende fünf Wärmeaustauschprozesse statt: An der Interfacegrenze zwischen Kanalluft und Abwasser sind dies (1) der Ein- und Austrag fühlbarer Wärme (q˙W L ) und (2) die Verdunstung und die Kondensation (q˙vP ). Zwischen der Kondensationsschicht und der Kanalluft kann (3) fühlbare Wärme durch Konvektion (q˙δ L ) und (4) latente Wärme durch Kondensation (q˙kδ ) übertragen werden. Kondensation im Luftraum (5) findet statt, sobald die Temperatur unter die Sättigungstemperatur des Wasserdampfes fällt. Dann nämlich kann nicht mehr aller Dampf in der Luft gespeichert werden und der Überschuss kondensiert, wobei die Kondensationswärme direkt an die Luft übergeht (q˙kL  ). «Kondensationsschicht» Um die durch den Temperaturunterschied zwischen der Rohrwand und der Kanalluft hervorgerufene Kondensation zu modellieren, wird eine dünne Kondensationsschicht eingeführt. Sie wird als massenlos definiert und es wird festgelegt, dass zwar Wasserdampf an der Schichtgrenze kondensieren kann und sich dadurch die Temperatur der Schicht erhöht, aber kein Wasser an der Schichtgrenze verdunstet. (Es wird angenommen, dass die Schichtdicke konstant bleibt, weil das Wasser abfliesst oder abtropft). Die Temperatur dieser Schicht wird durch drei Austauschprozesse beeinflusst, wobei zwei bereits erwähnt wurden (q˙kδ , q˙δ L ). Beim dritten handelt es sich um den Wärmedurchgang zwischen der Kondensationsschicht und dem Erdreich über die Rohrwand (q˙Rδ ). «Rohrwand» und «Erdreich» Der Wärmehaushalt in diesen zwei Kompartimenten wird durch den konduktiven Wärmetransport zwischen dem unbeeinflussten Erdreich (es wird angenommen, dass das Erdreich ab einem Abstand δB von der Rohrwand nicht mehr durch die Kanalisation beeinflusst wird) und der Grenze zum Kompartiment «Abwasser» bzw. der «Kondensationsschicht». Der Wärmefluss durch die Rohrwand und das Erdreich der Dicke δB kann zusammengefasst werden und wird mit q˙RW bzw. q˙Rδ bezeichnet.

2.5. Annahmen und Vereinfachungen

7

2.5. Annahmen und Vereinfachungen In den folgenden Tabellen 2.1 und 2.2 werden die Annahmen (Charakteristiken des Modells), Definitionen (Festlegungen) und Vereinfachungen (Diskrepanzen zwischen Realität und Modell) aufgelistet, die dem Modell zugrunde liegen. Später im Text wird bei der Verwendung einer Annahme oder Vereinfachung auf die entsprechende Zeile in dieser Tabelle verwiesen. Tabelle 2.1.: Modellannahmen zur Berechnung des Temperaturprofils.

Physikalische Konstanten 1

Vereinfachung

Die physikalischen Konstanten der Wärmeleitung sind nicht Temperaturabhängig. a

2

Vereinfachung

Hydraulisch und thermisch verhält sich Abwasser wie Wasser. Es wird mit den Stoffkonstanten von letzterem gerechnet.

3

Vereinfachung

Wasser und Luft sind inkompressibel, ihre Dichte ist konstant. b

4

Vereinfachung

Die spezifische Enthalpie von Wasserdampf wird gleich der Verdunstungsenthalpie h f g gesetzt.

Strang: Materialien und Topologie 5

Definition

Knoten besitzen keine Ausdehnung, sie werden als nulldimensionale Objekte abgebildet.

6

Definition

Das «Rohr» definiert einen Leitungsabschnitt, der frei von Unstetigkeiten ist. Diese werden im Knoten berücksichtigt.

7

Definition

Das «Rohr» ist definiert als Leitungsabschnitt, in dem die Materialeigenschaften und die Topologie konstant sind in Ort und Zeit.

8

Vereinfachung

Alle Kanalrohre weisen einen Kreisquerschnitt auf. c

9

Vereinfachung

Das Erdreich ist homogen und isotrop.

10

Vereinfachung

Die Wechselwirkung zwischen Kanalrohr und Erdreich beschränkt sich auf eine Schicht um das Kanalrohr mit der Dicke δB . d

11

Vereinfachung

Die Temperatur TB,in f ausserhalb der Schicht mit der Dicke δB ist räumlich wie auch zeitlich konstant.

a Für

eine Abschätzung siehe Anhang A.1.1, Seite 43 Polifke und Kopitz (2005) ist diese Annahme für Mach-Zahlen Ma < 0.3 gültig. Die Mach-Zahl der ungehinderten Luftströmung in der Kanalisation liegt in der Grössenordnung von 10−3 . c In Anhang A.1.2 auf Seite 45 werden die hydraulischen Eigenschaften von Kreis-, Ei- und Maulquerschnitten gegenübergestellt. d Nach Krarti und Kreider (1996) kann die Schichtdicke aus der Wärmeleitfähigkeit des Bodens mit  δB = λB /ω abgeschätzt werden. Die Winkelgeschwindigkeit ω trägt bei einem Tagesgang den Wert ω = 2π /d = 7.27 · 10−5 rad/s. Gemäss Krarti und Kreider (1996) gilt für übliche Böden: δB = 0.10 m. b Gemäss

8

Kapitel 2. Konzeptionelles Modell

Tabelle 2.2.: Modellannahmen zur Berechnung des Temperaturprofils (Fortsetzung).

Strömung 12

Annahme

Die Einmischstrecken sind kurz, sodass Gradienten über den Querschnitt des Fluids vernachlässigt werden können und ein eindimensionales Modell verwendet werden kann. e

13

Annahme

Die Abwasserströmung wird durch die Kanalluft nicht beeinflusst, die Luftströmung aber wird durch die Abwasserströmung bestimmt.

14

Annahme

Bei der Berechnung der stationären Strömung wird gleichförmiger Abfluss angenommen. Instationärer Abfluss kann entweder durch eine diffusive Welle approximiert oder mit dem Gleichungssystem von de Saint-Venant modelliert werden.

15

Annahme

Rückströmungen können vernachlässigt werden.

Wärmehaushalt 16

Annahme

Durch innere und äussere Reibung entstehende Wärme wird vernachlässigt. f

17

Annahme

Der diffusive Wärmetransport in longitudinaler Richtung ist gegenüber dem advektiven so klein, dass nur letzterer im Modell berücksichtigt werden muss. g

18

Vereinfachung

Die Wärmeleitung im Erdreich und im Kanalrohr findet nur in radialer Richtung statt.

19

Vereinfachung

In der Kondensationsschicht kann nur Wasserdampf kondensieren, nicht aber Wasser verdunsten.

20

Vereinfachung

Die Kondensationsschicht ist massenlos.

21

Annahme

Der Stofftransport kann analog zum Wärmetransport behandelt werden. Der Stoffübergangskoeffizient ist gleich dem Wärmeübergangskoeffizient dividiert durch h f g (mit Annahme 4). h

e In

Anhang A.1.3 auf Seite 45 werden die Einmischlängen abgeschätzt. Abschätzung zur Erwärmung durch Reibung kann in Anhang A.1.4 auf Seite 47 nachgelesen werden. g In Anhang A.1.5 auf Seite 47 wird auf diese Annahme eingegangen. h Laut Eckert (1959) ist diese Beziehung gültig für Lewis-Zahlen Le ≈ 1 und mit Le = 0.835 sei die Lewis-Zahl von Wasserdampf genug nahe bei Eins. f Eine

Analytisches Modell

3

In diesem Kapitel werden die Gleichungen, Austauschprozesse und Parameter erläutert, mit denen das im vorgängigen Kapitel beschriebene konzeptionelle Modell analytisch ausgedrückt werden kann.

3.1. Kanalisationsrohr Für ein Kontrollvolumen der infinitesimalen Länge dx im Rohr können Masse, Impuls und Energie bilanziert werden. Die Erhaltungsgleichungen sind im Folgenden aufgeführt, die mathematische Herleitung kann in Anhang A.4 auf Seite 51 nachgelesen werden. Zur besseren Verständlichkeit der definierten Kompartimente, der Bezeichnungen der Flüsse und der Flussrichtungen kann Abbildung 2.2 (vgl. Seite 5) herangezogen werden.

3.1.1. Massenerhaltung Die Massenerhaltungsgleichung für das Abwasser im Leitungsabschnitt unter Verwendung der Annahmen 2, 3 und 15 aus Tabelle 2.1 ergibt

ρW

∂ AW ∂ QW = −ρW − jvP P ∂t ∂x

(3.1)

wobei t für die Zeit, x für die Distanz in Fliessrichtung, QW für den Abwasserabfluss, ρW für die Dichte des Abwassers und AW für die Querschnittsfläche des Abwassers stehen. Für den Massenfluss der Verdunstung bzw. Kondensation am Interface zwischen den Kompartimenten «Kanalluft» und «Abwasser» steht jvP . P bezeichnet die Wasserspiegelbreite. Analog zum Abwasser kann auch für die Luft und für den Wasserdampf im Kompartiment «Kanalluft» eine Massenbilanz aufgestellt werden: Kanalluft (mit Annahme 2, 3 und 15):

∂ AL ∂ QL =− ∂t ∂x

(3.2)

Wasserdampf (mit Annahme 2, 3, 15 und 19):

ρL

∂ (AL X) ∂ (QL X) = − ρL + jvP P − ζ jkδ UL − ξ jkL  AL ∂t ∂x

(3.3) 9

10

Kapitel 3. Analytisches Modell

Dabei wird die Querschnittsfläche der Luft mit AL , der benetzte Umfang der Luft mit UL , der Luftdurchfluss mit QL und die Dichte der Luft mit ρL bezeichnet. In Gleichung 3.3 steht X für die Beladung der Luft mit Wasserdampf, jkδ für den Massenfluss infolge Kondensation an der Kondensationsschicht und jkL  steht für die Kondensation im Luftraum infolge Unterkühlung der Luft. Die Kontrollparameter ζ und ξ dienen der Steuerung der Kondensation und können die Werte Eins und Null annehmen: • Da an der Kondensationsschicht nur Wasserdampf kondensieren, nicht aber Wasser verdunsten kann (Annahme 19), gilt ζ = 1 falls pL > psat (Tδ ) und ζ = 0 in den restlichen Fällen. Dabei bezeichnet pL den Partialdruck des Wasserdampfes und psat (Tδ ) den Sättigungspartialdruck an der Oberfläche der Kondensationsschicht mit der Temperatur Tδ . • Falls die Wasserdampfbeladung der Kanalluft X die Sättigungsbeladung Xsat übersteigt, kondensiert Wasserdampf über den gesamten Luftquerschnitt aus. ξ = 1 gilt also, falls X > Xsat und ξ = 0 falls X ≤ Xsat .

3.1.2. Impulserhaltung Nach Neumann (2002) kann die Impulsbilanz für Abwasser in einem beliebigen Querschnitt AW wie folgt formuliert werden:   ∂ QW ∂ QW 2 ∂y =− + g AW (S0 − S f ) (3.4) − g AW ∂t ∂ x AW ∂x Dabei steht g für die Erdbeschleunigung und hat den Wert von 9.81 m/s2 . Die am tiefsten Punkt des Querschnitts gemessene Wassertiefe wird mit y, das Sohlgefälle mit S0 und das Reibungsgefälle mit S f bezeichnet. Gleichung 3.4 in Kombination mit Gleichung 3.1 wird als Gleichungssystem von de SaintVenant bezeichnet.

3.1.3. Wärmeerhaltung Die Wärmebilanz für Abwasser über das Kontrollvolumen wird unter Verwendung der Annahmen 1, 2, 3, 12, 16 und 17 zu:   1 ∂ (AW TW ) ∂ (QW TW ) =− + q˙RW UW − q˙W L P − q˙vP P + q˙ω  AW ∂t ∂x c p,W ρW

(3.5)

Die Abwassertemperatur wird mit TW , die spezifische Wärmekapazität des Wassers mit c p,W bezeichet. Der Wärmezufluss aus dem Erdreich durch die Rohrwand ist q˙RW und wirkt über den benetzten Umfang des Wassers UW . Die Wärme, die an die Kanalluft verloren geht und die Verdunstung über die Wasserspiegelbreite P sind q˙W L bzw. q˙vP und die durch chemische oder biologische Reaktionen im Abwasser produzierte Wärme wird als q˙ω  bezeichnet. Die über die als massenlos definierte Kondensationsschicht erstellte Bilanz ergibt mit den Annahmen 19 und 20 0 = q˙Rδ − q˙δ L + ζ q˙kδ

(3.6)

3.1. Kanalisationsrohr

11

Aus Gleichung 3.6 kann die Temperatur Tδ in der Kondensationsschicht mit den in Abschnitt 3.1.4 gegebenen Ansätzen für q˙Rδ , q˙δ L und q˙kδ berechnet werden, wobei diese für die Konduktion zwischen der Kondensationsschicht und dem Erdreich, der Kondensationsschicht und der Kanalluft bzw. für den Wärmestransport infolge Kondensation an der Kondensationsschicht stehen. Die Wärmebilanz über die Kanalluft (mit Annahme 1, 3, 12, 16, und 17) und über den Wasserdampf in der Kanalluft (mit Annahme 1, 3, 12, 16, 17, 19) ist:  1  ∂ (AL TL ) ∂ (QL TL ) =− + q˙δ L UL + q˙W L P + ξ q˙kL  AL ∂t ∂x c p,L ρL

(3.7)

respektive:  1  ∂ (AL TL X) ∂ (QL TL X) =− + q˙vP P − ζ q˙kδ UL − ξ q˙kL  AL ∂t ∂x c p,V ρL

(3.8)

Dabei bezeichnet TL die Lufttemperatur, q˙kL  die Kondensation von Wasserdampf infolge Übersättigung im Luftquerschnitt, c p,L die spezifische Wärmekapazität der Luft und c p,V diejenige des Wasserdampfes. Für die Lösung der Gleichungen 3.1 bis 3.8 müssen Randbedingungen angegeben werden. Soll zudem die zeitliche Veränderung modelliert werden, muss der Anfangszustand des Systems bekannt sein.

3.1.4. Austauschprozesse Die mathematischen Ansätze für die Stoff- und Wärmeaustauschprozesse in den Gleichungen zur Massen- und Wärmeerhaltung (3.1-3.3 und 3.5-3.8) sind in Tabelle 3.1 aufgelistet. Es gilt zu beachten, dass die Ansätze für die Austauschprozesse q˙RW und q˙Rδ nur gelten, wenn sich das System im Gleichgewicht befindet, denn sie nehmen einen konstanten Wärmefluss über die Rohrwand und die Bodenschicht der Dicke δB (vgl. Abb. 2.2) an und gehen davon aus, dass sich der Wärmeinhalt in diesen Medien in der Zeit nicht ändert (Stationarität). Befindet sich das System nicht im Gleichgewicht, so muss die eindimensionale Fourier’sche Differentialgleichung in Zylinderkoordinaten und mit lageabhängigen Stoffwerten   1 ∂ ∂ TF ∂ (λr TF ) = r (3.9) cr ρr ∂t r ∂r ∂r im Bereich von D/2 ≤ r ≤ D/2 + δB um die Rohrachse gelöst werden (Annahme 18). TF = TF (r,t) steht dabei für die Temperatur im Festkörper im Abstand r von der Rohrachse und zur Zeit t. Die Parameter cr , ρr und λr stehen für die Wärmekapazität, Dichte und Wärmeleitfähigkeit des Festkörpers an der Stelle r. Die Prozesse q˙RW und q˙Rδ , die den Wärmefluss durch den gesamten vom System beeinflussten Festkörper (Rohrwand und Erdreich der Dicke δB ) ausdrücken, werden bei einer instationären Simulation durch das 1. Fourier’sche Gesetz an der Stelle r = D/2 ersetzt, nämlich:   ∂ (λr TF )  (3.10) q˙ = −  ∂r r=D/2

12

Kapitel 3. Analytisches Modell

Tabelle 3.1.: Die mathematische Beschreibung der einzelnen, in den Erhaltungsgleichungen verwendeten Wärme- und Stofftransportprozesse mit den ihnen zu Grunde liegenden Annahmen und den Gleichungen, in die sie eingehen.

Prozessa

Beschreibung

Ann.b / Gl. c

q˙W L = αW L (TW − TL )

Konvektiver Wärmeübergang vom Kompartiment «Abwasser» an das Kompartiment «Kanalluft».

1 / 3.5 , 3.7⊕

q˙RW = kRW (TB,in f − TW )

Wärmefluss aus dem Erdreich mit Temperatur TB,in f über die Rohrwand ins Abwasser.d

1, 2, 8-11, 18 / 3.5⊕

q˙δ L = αδ L (Tδ − TL )

Konvektiver Wärmeübergang von der Kondensationsschicht an die Kanalluft.

1 / 3.7⊕ , 3.6

q˙Rδ = kRδ (TB,in f − Tδ )

Konduktiver Wärmefluss aus dem Erdreich in die Kondensationsschicht.d

1 / 3.6⊕

q˙ω  = eCSB rCSB

Aus biochemischen Aktivitäten produzierte Wärme im Kompartiment «Abwasser».e

– / 3.5⊕

q˙vP = αvP (psat (TW ) − pL )

Wärmetransport infolge Verdunstung bzw. Kondensation am Wasserspiegel.

– / 3.5 , 3.8⊕

jvP = h−1 f g q˙vP

Stofftransport der Verdunstung / Kondensation zwischen den Kompartimenten «Abwasser» und «Kanalluft».

1, 4, 21 / 3.1 , 3.3⊕

q˙kδ = αkδ (pL − psat (Tδ ))

Wärmetransport infolge Kondensation an der Kondensationsschicht.

– / 3.8 , 3.6⊕

jkδ = h−1 f g q˙kδ

Wasserdampfverlust infolge Kondensation an der Kondensationsschicht.

1, 4, 21 / 3.3

q˙kL  = h f g ρL (X − Xsat )

Kondensation infolge Wasserdampfübersättigung im Kompartiment «Kanalluft» (Minderung der latenten Wärme).

1, 4, 21 / 3.7⊕ 3.8

jkL  = ρL (X − Xsat )

Kondensation infolge Wasserdampfübersättigung im Kompartiment «Kanalluft» (Minderung des Wasserdampfgehaltes).

1 / 3.3

Reaktionsenthalpie eCSB = 14MJ kg−1 CSB (Wert aus: Wanner et al., 2005) Verdunstungsenthalpie h f g = 2453.3kJ kg−1 (Wert aus: Baehr und Stephan, 2006) Bedeutung der Parameter αW L , kRW , αδ L , kRδ , αvP und αkδ wird in Abschnitt 3.1.5 erläutert. Die Annahmen sind in Tabelle 2.1 und 2.2 aufgelistet (Seite 7 und 8). c (Gleichungen) ⊕ stehen für Zuflüsse,  für Abflüsse. d Dieser Ansatz gilt nur im stationären Fall. e Eine Abschätzung für den Wert der Abbaurate r CSB befindet sich in Anhang A.2 auf Seite 48. a Die

b (Annahmen)

3.1. Kanalisationsrohr

13

In Anhang A.5 (Seite 53) wird erläutert, wie diese Gleichungen analytisch und numerisch gelöst werden können. Abbildung A.5 zeigt den Fehler im Wärmestrom grafisch auf, der entstünde, falls auch bei Instationarität mit den stationären Prozessen gerechnet würde.

3.1.5. Parameter der Austauschprozesse Dieser Abschnitt widmet sich der Bestimmung der Wärmeübergangskoeffizienten α und der Wärmedurchgangskoeffizienten k. Um sie zu berechnen, wurden jeweils mehrere Ansätze aus der Literatur untersucht. An dieser Stelle werden nun diejenigen beschrieben, die im Modell Eingang gefunden haben. Der Koeffizient αWL mit der Einheit mW2 K für den konvektiven Wärmeübergang zwischen dem Kompartiment «Abwasser» und dem Kompartiment «Kanalluft» ist abhängig von der relativen Strömungsgeschwindigkeit des Abwassers und der Kanalluft uW L (in m/s) und kann nach Flinspach (1973) berechnet werden durch: √ αW L = 5.85 uW L

mit uW L = |uL − uW |

(3.11)

In der Gleichung zur Wärmeleitung aus dem Erdreich über die Rohrwand ins Abwasser geht der Koeffizient kRW ein. Er berücksichtigt den Wärmedurchgang durch das Erdreich und das Rohr, sowie den Wärmeübergang zwischen dem Abwasser und dem Rohr. Abgeleitet nach Baehr und Stephan (2006) kann der Wärmedurchgangskoeffizient k im Falle eines Rohres mit dem Innendurchmesser D, das von n − 1 Schichten umhüllt und von einem Fluid durchströmt wird, aus  1 1 n 1 Di+1 1 =D + ∑ ln (3.12) k α D 2 i=1 λi Di bestimmt werden, wobei α für den Wärmeübergangskoeffizienten zwischen dem Fluid und der Rohrwand und λi für die Wärmeleitfähigkeit in der i-ten Schicht steht. Die i-te Schicht wird von den Durchmessern Di und Di+1 begrenzt. Die Gleichung verändert sich im System «Rohrwand-Erdreich» zu     D 1 D 2s 2δB 1 + (3.13) = + ln 1 + ln 1 + kRW αRW 2λR D 2λB D + 2s wobei λR für die Wärmeleitfähigkeit des Rohres, λB für diejenige des Bodens, s für die Dicke der Rohrwand, D für den Innendurchmesser des Rohres und δB für die Dicke der beeinflussten Bodenschicht steht. Der Wärmeübergangswiderstand αRW bei konvektivem Wärmeübergang berechnet sich aus der Nusselt-Zahl (Polifke und Kopitz, 2005):

αRW =

Nu λW

(3.14)

RW,hy

In turbulenter Strömung lässt sich die Nusselt-Zahl aus dem empirischen Ansatz 4/5

1/3

Nu = 0.023 ReW PrW

bestimmen, der für Re  10000 und 0.7 ≤ Pr ≤ 160 gilt (Polifke und Kopitz, 2005).

(3.15)

14

Kapitel 3. Analytisches Modell

Der Koeffizient αδ L in der Gleichung des konvektiven Wärmeüberganges von der Kondensationsschicht an die Kanalluft berechnet sich wie αRW ; mit dem Unterschied, dass in Gleichung 3.14 λW durch λL und RW,hy durch RL,hy ersetzt werden und in Gleichung 3.15 die dimensionslose Nusselt-Zahle der Luftströmung verwendet werden muss. Schliesslich erhält man: 4/5

1/3

αδ L = 0.023 ReL PrL

λL RL,hy

(3.16)

Der Wärmedurchgangskoeffizient kRδ geht in die Gleichung des konduktiven Wärmeflusses zwischen dem Erdreich und der Kondensationsschicht ein. Hierzu kann Gleichung 3.12 verwendet werden, nur ist diesmal α1 = 0, da zwischen der Schicht und dem Rohr kein konvektiver Wärmeübergang stattfindet. Man erhält:     D D 2s 2δB 1 + (3.17) = ln 1 + ln 1 + kRδ 2λR D 2λB D + 2s Die Erwärmung durch biologische Prozesse kann durch die Angabe einer CSB-Abbaurate rCSB mitberücksichtigt werden. Sie muss in den Einheiten mgCSB m−3 s−1 angegeben werden. Abschätzungen dieser Rate können dem Anhang A.2 auf (Seite 48) entnommen werden. W für den Transfer latenter Wärme infolge KonDer Koeffizient αvP mit der Einheit m2 mbar densation oder Verdunstung an der Wasseroberfläche kann mit der Trabert’schen Formel (Flinspach, 1973) berechnet werden. Mit der Relativgeschwindigkeit uW L , eingesetzt in der Einheit m/s, ergibt das:

√ αvP = 8.75 uW L

mit uW L = |uL − uW |

(3.18)

Für die Kondensation von Wasserdampf an der Kondensationsschicht wird analog √ αkδ = 8.75 uL wobei αkδ die Einheit

(3.19) W m2 mbar

besitzt und uL in m/s angegeben werden muss.

3.2. Knoten Am Anfang jedes Stranges befindet sich ein Knoten, der die Modellierung von Zu- und Abflüssen, von Unstetigkeiten (z.B. in der Geometrie des Kanalisationsrohrs) sowie die Modellierung des Luftaustauschs mit der Atmosphäre erlaubt. Für die Flüsse über die Knoten wird folgende Nomenklatur verwendet: Qi+1 steht für den Durchfluss des Abwassers bzw. der Kanalluft in Strang i + 1. Der seitliche Zu- und Wegfluss des Abwassers bzw. die Inhalation und Exhalation von Kanalluft am Knoten des Stranges i + 1 werden mit einem Stern gekennzeichnet (Q∗i+1 ). Äussere Zuflüsse in den Knoten besitzen ein positives, Wegflüsse ein negatives Vorzeichen.

3.3. Stationäre Lösung

15

Über den Knoten kann eine Bilanzgleichung für die Erhaltung der Masse der Luft bzw. des Abwassers erstellt werden. Es gilt allgemein unter Annahme 5, dass ∗ QW,i+1 = QW,i + QW,i+1

(3.20)

QL,i+1 = QL,i + Q∗L,i+1

(3.21)

Daneben muss auch die Wärme erhalten bleiben. Für das Abwasser bedeutet dies, dass ∗ ∗ QW,i+1 TW,i+1 = QW,i TW,i + QW,i+1 TW,i+1

(3.22)

wobei T für die Temperatur im jeweiligen Strang steht. Bei der Wärmebilanz des Luftdurchflusses muss unterschieden werden, ob Luft inhaliert wird oder nicht. Denn nur bei einer Inhalation ändert sich die Lufttemperatur im System durch die Mischung mit der eingesogenen Luft: ∗ QL,i+1 TL,i+1 = QL,i TL,i + Q∗L,i+1 TL,i+1

TL,i+1 = TL,i

falls QL,i+1 > QL,i

(3.23)

falls QL,i+1 ≤ QL,i

(3.24)

Analog lässt sich für die Massenbeladung X im Kompartiment «Kanalluft» eine Bilanz aufstellen, wobei auch hier wieder zwei Fälle unterschieden werden müssen: ∗ QL,i+1 XL,i+1 = QL,i XL,i + Q∗L,i+1 XL,i+1

XL,i+1 = XL,i

falls QL,i+1 > QL,i

(3.25)

falls QL,i+1 ≤ QL,i

(3.26)

Da die Knoten 0-dimensional sind – also keine Ausdehnung und kein Speichervermögen besitzen –, gelten die Gleichungen 3.20 bis 3.26 sowohl bei einer stationären als auch bei einer instationären Simulation.

3.3. Stationäre Lösung 3.3.1. Abwasserabfluss Ist eine stationäre Lösung von Interesse, wobei einerseits vorausgesetzt wird, dass sich die Geometrie und Beschaffenheit des Rohres im Längsverlauf des betrachteten Abschnittes nicht ändert (Annahmen 6 und 7), und andererseits angenommen, dass ein gleichförmiger Abfluss herrscht (Annahme 14) und keine Rückströmungen auftreten (Annahme 15), fallen im Gleichungssystem von de Saint-Venant (gebildet aus Gleichung 3.1 und 3.4) alle zeit- und ortsabhängigen Gradienten weg. Unter diesen Annahmen kann der als «Normalabfluss» bezeichnete Durchfluss mit der Beschreibung der Reibung nach Manning-Strickler (Hager, 1994) geschrieben werden als: 2/3

1/2

QW = vW · AW = kst RW,hy S0

AW

(3.27)

Hierbei steht kst für den Reibungsbeiwert nach Strickler, RW,hy für den hydraulischen Radius im Kompartiment «Abwasser» und S0 für das Gefälle des Leitungsrohres.

16

Kapitel 3. Analytisches Modell

3.3.2. Luftdurchfluss Edwini-Bonsu und Steffler (2004) stellen für den stationären Fall ein semi-empirisches Modell vor, das den Durchfluss der Luft im Kreisprofil als Funktion der Wasserspiegelbreite P, des von der Luft benetzten Rohrumfanges UL , des Querschnitts AL und der Wassergeschwindigkeit am Interface zwischen Wasser und Luft uW,c beschreibt (Annahme 13): QL  = 0.8560

P uW,c AL UL + P

(3.28)

Gemäss Fischer (1979) gilt im Kreisprofil bei Normalabfluss:   ∗  2y uW 3 ∗ + 2.30 log mit uW = g RW,hy S0 uW,c = uW + κ 2 D

(3.29)

wobei κ die von Karman-Konstante ist, die für turbulente Strömung den Wert κ ≈ 0.4 hat. Der Wasserstand gemessen am tiefsten Punkt des Rohres wird mit y bezeichnet. Im stationären Fall können die Flüsse QL,i+1  und QL,i  durch die Gleichung 3.28 bestimmt werden. Da die Kontinuitätsgleichung 3.21 eingehalten werden muss, würde sich bei unterschiedlichen QL,i+1  und QL,i  eine Inhalation oder Exhalation von Q∗L,i+1 am Knoten einstellen. Dies ist aber nur möglich, wenn ein Luftschacht vorhanden ist, der den ungehemmten Austausch mit der Atmosphäre erlaubt. Kann kein Luftaustausch stattfinden, muss der Luftstrom in Rohr i und i + 1 abgebremst oder beschleunigt werden, damit Q∗L,i+1 = 0 wird. Für den allgemeinen Fall lässt sich ansetzen:   Q∗L,i+1 = bi+1 QL,i+1  − QL,i 

(3.30)

Befindet sich zwischen den Rohren von Strang i und i + 1 ein grosser Luftschacht, so gilt bi+1 = 1. Ein vollständiger Austausch kann stattfinden und QL,i+1  und QL,i  können in Gleichung 3.21 eingesetzt werden. Wenn kein oder nur ein gehemmter Luftaustausch möglich ist (0 ≤ bi+1 < 1), müssen QL,i+1  und QL,i  so korrigiert werden, dass die Kontinuitätsgleichung am Knoten erfüllt ist. Im Folgenden wird der Algorithmus beschrieben, der für die Durchführung der Korrektur nötig ist. Der zu korrigierende Durchfluss an einem Knoten hat den Wert ΔQ∗L,i+1 = QL,i+1  − QL,i  − Q∗L,i+1 und wird als lokaler Fehlbetrag an Knoten i + 1 bezeichnet. Der gesamte Fehlbetrag F mit Referenz auf den ersten Leitungsabschnitt L1 mit dem Luftdurchfluss QL,1 ist: F=

N−1

∑ (N − k) ΔQ∗L,k+1

(3.31)

k=1

Jeder der N Stränge erhält seinen Anteil F/N des gesamten Fehlbetrages. Auf den Referenzstrang mit QL,1 folgende Stränge besitzen aber bereits einen Anteil des gesamten Fehlbetrages – nämlich ihren lokalen Fehlbetrag und denjenigen der vorgängigen Stränge – und ihre Durchflüsse müssen somit um diese Überkorrektur reduziert werden. Der korrigierte Fluss QL,i  im Strang i ist demnach: F N F i−1 QL,i  = QL,i  + − ∑ ΔQ∗l+1 N l=1

QL,1  = QL,1  +

für i = 1

(3.32)

für 1 < i ≤ N

(3.33)

3.3. Stationäre Lösung

17

Durch die Gleichungen 3.32 und 3.33 werden alle Flüsse so korrigiert, dass sie die Massenbilanzen erfüllen und dass in keinem Knoten mehr als Q∗L,i+1 ein- bzw. ausgeatmet wird. Als letzten Korrekturschritt müssen die QL,i  um einen festen Wert Λ verschoben werden: Λ=

∑Ni=1 QL,i  Li ∑Ni=1 QL,i  Li − ∑Ni=1 Li ∑Ni=1 Li

(3.34)

Dabei drückt Λ die Differenz zwischen den korrigierten und den unkorrigierten längengemittelten Durchflüssen aus. Durch diese Verschiebung wird längeren Abschnitten ein grösserer Einfluss bei der Korrektur zugestanden. Erläutert an einem Beispiel bedeutet dies, dass Luft in einem zwei Kilometer langen Strang (am Knoten gilt bi+1 = 0), in dem die Luft mit 1 m/s strömt, nicht stark durch einen hundert Meter kurzen Strang mit einer Luftgeschwindigkeit von 0.5 m/s abgebremst wird, sondern umgekehrt. Die Luft wird durch den kurzen Abschnitt «durchgedrückt» und in diesem nähert sich die Geschwindigkeit dann derjenigen des zwei Kilometer langen Leitungsabschnitts an. Die beschriebene Korrektur liefert einen Konsistenten Durchfluss der Luft in Strang i QL,i = QL,i  + Λ

(3.35)

der für die Modellrechnungen verwendet werden kann.

3.3.3. Temperatur und Wasserdampf Die Kenntnis der Luft- und der Abwasserströmung sowie der damit verbundenen geometrischen Grössen sind Voraussetzungen für die Berechnung der Längsprofile von Temperatur und Wasserdampf. Die gesuchten Grössen sind die Temperatur des Abwassers TW , die Lufttemperatur in der Kanalisation TL und die Beladung der Luft mit Wasser X. Für die Berechnung ist zudem die Kenntnis der Temperatur Tδ in der Kondensationsschicht nötig. Folglich sind vier linear unabhängige Gleichungen notwendig, um sie nach den vier Unbekannten aufzulösen. Es sind dies die Massenbilanz für den Dampf (Gleichung 3.3) und die Wärmebilanzen des Wassers (Gleichung 3.5), der Kondensationsschicht (Gleichung 3.6) und der Kanalluft (Gleichung 3.7). Anstelle von Gleichung 3.3 kann auch Gleichung 3.8 verwendet werden. Eine stationäre Lösung ist zeitunabhängig, weshalb die partiellen Ableitungen nach der Zeit Null gesetzt werden können ( ∂∂t = 0). Da im Weiteren ein gleichförmiger Abfluss angenommen wird – die Durchflüsse in einem Rohr sind also ortsunabhängig – resultiert schliesslich zusammen mit Gleichung 3.6, die verwendet werden kann, um Tδ direkt aus TB,in f und TL zu berechnen, folgendes zu lösendes Differentialgleichungssystem:   1 dTW = q˙RW UW − q˙W L P − q˙vP P + q˙ω  AW dx c p,W ρW QW   1 dTL = q˙δ L UL + q˙W L P + ξ q˙kL  AL dx c p,L ρL QL  1  dX = jvP P − ζ jkδ UL − ξ jkL  AL dx ρL Q L Die Raten der Austauschprozesse sind in Tabelle 3.1 aufgelistet.

(3.36) (3.37) (3.38)

18

Kapitel 3. Analytisches Modell

3.3.4. Anfangs- und Randbedingungen Zur Lösung der Gleichungen 3.36 bis 3.38 wird – da es sich um ordinäre Differentialgleichung erster Ordnung handelt – je eine Randbedingung benötigt. Gemäss dem hier gewählten Modellkonzept bedeutet dies, dass für den Knoten des ersten Strangs des Kanalisationssystems die Grössen QW , TW , TL und X vorgegeben werden müssen. Im Computerprogramm wird das so gehandhabt, dass die Randbedingungen von TW und QW als Eingabegrössen bekannt sein müssen, während TL = TW gesetzt und X aus der relativen Luftfeuchtigkeit von ϕ = 0.9 berechnet wird (siehe dazu Abschnitt 5.2.3), da der Einfluss der Randbedingung auf letztere Grössen schon nach kurzer Fliessstrecke verschwindet.

3.4. Instationäre Lösung 3.4.1. Abwasserabfluss An dieser Stelle sollen zwei mögliche Vorgehen zur instationären Beschreibung des Abwasserabflusses erwähnt werden. Er kann entweder durch Lösung des vollständigen Gleichungssystems von de Saint-Venant, das sich aus den Gleichungen 3.1 und 3.4 zusammensetzt, beschrieben werden oder aus einer Vereinfachung, die als diffusive Wellenapproximation bezeichnet wird. Bei dieser Approximation werden in Gleichung 3.4 die Beschleunigungsterme vernachlässigt, womit sich diese vereinfacht zu:

∂y = S f − S0 ∂x

(3.39)

Nach Kinzelbach (2005) ist die diffusive Welle eine Näherung, die für praktische Zwecke oft genügt.

3.4.2. Luftdurchfluss Die Luftströmung wird durch die Kontinuitätsgleichung 3.2 beschrieben, die für eine instationäre Rechnung des Luftstroms ausreicht, denn die Querschnittsfläche des Kompartiments «Kanalluft» AL (t, x) ist gegeben durch AL = A − AW

(3.40)

da gemäss Annahme 13 zwar die Abwasserströmung jene der Luft beeinflusst, nicht aber umgekehrt. A steht für die gesamte Querschnittsfläche des Rohres.

3.4.3. Temperatur und Wasserdampf Die Grundsätze zur Berechnung der Temperatur- und Wasserdampfprofile sind dieselben, wie sie bereits bei der stationären Lösung in Abschnitt 3.3.3 zur Anwendung kamen. Da bei einer zeitabhängigen Simulation die partiellen Ableitungen nach der Zeit nicht Null

3.4. Instationäre Lösung

19

gesetzt werden dürfen, setzt sich das zu lösende Gleichungssystem zusammen aus den drei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen 3.1, 3.5 und 3.7 sowie Gleichung 3.6, mit der Tδ direkt aus TB,in f und TL berechnet werden kann. Die Raten der Austauschprozesse sind in Tabelle 3.1 angegeben.

3.4.4. Anfangs- und Randbedingungen Für eine instationäre Rechnung sind Anfangsbedingungen notwendig. Um diese Anfangsbedingungen zu generieren, muss zuerst eine stationäre Rechnung durchgeführt werden. Benötigt werden zudem untere und obere Randbedingungen der Grössen QW , QL , TW , TL und X. Da Annahme 15 festlegt, dass keine Rückmischung stattfindet und somit die Strömung in eine wohl definierte Richtung fliesst, entspricht die obere Randbedingung in jedem Strang dem letzten Wert des Vorläufers. Die untere Randbedingung kann aus den letzten Werten des Stranges extrapoliert werden. Sind im System mehrere Stränge vorhanden, werden innere Randbedingungen benötigt. Diese sind gegeben durch die Bilanzgleichungen 3.20 bis 3.26. Für die Beschreibung des Lufttransportes kann eine Beziehung angesetzt werden, welche die Veränderung des Luftaustausches über den Knoten i + 1 beschreibt: dQ∗L,i+1 dt

= −bi+1

dQL,i dt

mit

0 ≤ bi+1 ≤ 1

(3.41)

Die Bezeichnung QL,i stehen dabei für den Luftdurchfluss am Ende des Rohrabschnitts i. Dieser Ansatz kann in die nach der Zeit abgeleitete Bilanzgleichung 3.21 eingesetzt werden. Man erhält mit dQL,i dQL,i+1 = (1 − bi+1 ) dt dt

(3.42)

eine Beziehung, welche die Veränderung der Luftströmung am Anfang von Strang i + 1 aus der Veränderung am Ende von Strang i und einem Koeffizienten bi+1 bestimmt.

4

Numerik

Die Numerik beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme. Während das erstellte konzeptionelle Modell die wesentlichen physikalischen Prozesse charakterisiert und das analytische Modell diese Prozesse durch mathematische Gleichungen beschreibt, gilt es nun, Algorithmen zur Lösung dieser Gleichungen zu finden.

4.1. Einleitung Ausgehend von den Gleichungen im vorherigen Kapitel und der Motivation, einem Benutzer die Berechnung des Verlaufs der Abwassertemperatur in einem Kanalisationssystem zu ermöglichen, wurde ein Computerprogramm entworfen, das den Anwender bei der Dateneingabe unterstützt, Berechnungen durchführt und die Resultate grafisch darstellt. In diesem Kapitel wird der Programmaufbau schematisch aufgezeigt und die verwendeten Algorithmen werden erläutert.

4.2. Programmstruktur Abbildung 4.1 präsentiert den Programmaufbau und den Programmfluss. Der Einstieg beA das Programmende bei . E findet sich bei Punkt , Beim Programmstart werden die Eingaben aus der letzten Sitzung – falls vorhanden – durch das Modul «Laden / Speichern», das für das korrekte Auslesen und Ablegen zuständig ist, aus der Excel-Arbeitsmappe geladen. Sind noch keine Daten vorhanden, ist es zuerst notwendig, das System, also die Stränge mit den Rohren und Knoten, abzubilden. Dazu wird ein «Eingabeassistent» (im Schema als blau gerahmtes Modul eingezeichnet) zur Verfügung gestellt, der den Benutzer mit einer übersichtlichen Eingabemaske mit vordefinierten Standardeingaben unterstüzt. Bei Bedarf kann der Benutzer die Parameter der Numerik bearbeiten. Alle Eingaben werden dabei vom Modul «Validation und Konversion» auf Typenkonformität getestet. An dieser Stelle werden auch die angegebenen relativen Luftfeuchtigkeiten in Beladungen umgerechnet (vgl. dazu Anhang A.8, Seite 58). 20

Benutzeroberfläche

Modul

Wahl Berechnung, Numerik, Ausgabe

Dateneingabe (System abbilden)

Daten Stränge

E

Eingabedaten

Laden / Speichern

Darstellung / Ausgabe der Daten

Status

Modul

Physikalische Konstanten

Stat. Hydraulik Parameter Numerik

Instat. System

Ja

Kanalluft

Stationäre Lösung

Hydraulik

T- / XProfile

Wärmespeicher Erdreich

Tδ aktualisieren

Integration PDE-System

Bilanz Knoten

T δ aktualisieren

Integration ODE-System

Bilanz Knoten

Berechnung Luftströmung Bilanz Knoten Ausgleich Luftströmung

Δx

Geschwindigkeitsprofil

Kanalgeometrie

NewtonRaphson

T- / XProfile

(2. Ordnung in Ort und Zeit)

2-Schritt Lax-Wendroff

. q ω‘

. q WL . q RW . qkδ

(4. Ordnung)

Runge-Kutta

Instationäre Lösung

Hydraulik

Extrapolation Randbed.

Abbildung 4.1.: Vereinfachte schematische Darstellung der Programmstruktur.

Daten Knoten

Nein

Instationär?

Stationäre T- / X-Profile

Stationäre Hydraulik

Berechnung vorbereiten

Validation Konversion

Stat. T- / X-Profile

Instat. System

Stränge Stränge

Abwasser

Modul

Modul

Hauptprogramm

Bilanz Knoten Kontrolle Zuschlagen Berechnungen Geometrie

Δx Stränge

Modul Modul Modul

EingabeAssistent

Stränge Δt

Iterator ODE-Löser Differentialgleichungen PDE-Löser

DGL N DGL 1 DGL 2

Hauptprogramm starten

Speicher

Prozesse

A

4.2. Programmstruktur 21

22

Kapitel 4. Numerik

Sind die Daten eingegeben, kann das Hauptprogramm gestartet werden. Zuerst wird die Berechnung vorbereitet, d.h. die Eingabedaten werden geladen und interne Zähler zurückgesetzt. Nach diesem Schritt wird die «stationäre Hydraulik» berechnet. Dazu wird das entsprechende Unterprogramm aufgerufen. Als nächstes werden die «stationären Tund X-Profile» (Temperatur und Beladung) unter Verwendung der hydraulischen Daten berechnet und abgespeichert. Anschliessend können die Lösungen grafisch aufgezeichnet und die numerischen Werte exportiert werden. «Stationäre Hydraulik» Zuerst wird der Abwasserabfluss behandelt. Begonnen wird beim ersten Strang, die restlichen folgen Schritt für Schritt. Dabei wird eine Bilanz über den Knoten erstellt und geprüft, ob das Kanalrohr den Abfluss abführen kann. Sollte das Rohr zuschlagen, wird eine Fehlermeldung ausgegeben (eine Auflistung aller Fehlermeldungen befindet sich in Anhang C.1 auf Seite 75). Ist der Abfluss bekannt, kann das «Kanalgeometrie»-Modul die Geometrie berechnen, wobei dies bei gewissen Grössen nur iterativ möglich ist. Dazu wird das «Newton-Raphson»-Iterationsverfahren verwendet (vgl. dazu Anhang A.6, Seite 55). Danach wird die Luftströmung in jedem Rohr einzeln unter Verwendung des «Geschwindigkeitsprofil»-Moduls berechnet. Die nächsten Schritte erstellen Knotenbilanzen und gleichen die Luftströmung aus, sodass diese Bilanzen eingehalten werden. «Stationäre T- und X-Profile» Die Berechnung der Profile beginnt wiederum beim ersten Strang. Dabei werden in jedem Strang zuerst seitliche Zuflüsse von Aussenluft und Abwasser mitbilanziert. Anschliessend wird über das Kanalrohr integriert, wobei die Schrittweite Δx beträgt und nach jedem Schritt die Temperatur der Kondensationsschicht Tδ neu ermittelt wird. Zur Integration wird das klassische Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung verwendet. (Es wird in Anhang A.9, Seite 59, vorgestellt). «Instationäres System» Die in Abbildung 4.1 gezeigte Programmstruktur beinhaltet auch die Schritte und Algorithmen, die zur Berechnung des instationären Temperaturverlaufs nötig wären. Als Anfangsbedingung dienen die Profile der stationären Lösung. Die Bilanzierung und die Integration muss nun, im Gegensatz zu der stationären Berechnung, zu aufeinanderfolgenden Zeiten mit Abstand Δt durchgeführt werden. Dazu wird aus Gründen der guten Konsistenz und der hohen Stabilität das Zwei-Schritt Lax-WendroffVerfahren verwendet (Anhang A.10, Seite 61).

4.3. Dokumentation des Quellcodes Die präsentierte Numerik wurde zuerst als Prototyp in Matlab programmiert. Dieser diente dazu, das Modell und die Algorithmen iterativ zu verfeinern. Anschliessend wurde der Programmcode in Visual Basic for Application (VBA) implementiert und einer Excel-Arbeitsmappe aufgesetzt. Das erstellte Programm wird im nächsten Abschnitt vorgestellt und die Dokumentation des Quellcodes kann in Anhang C auf Seite 73ff. nachgelesen werden.

5

Bedienungshandbuch

Die Bedienung und Funktionalität des in Microsoft Excel implementierten stationären Modells aus Abschnitt 3.3 soll in diesem Kapitel erläutert werden. Mehrere Szenarien geben einen Einblick in die Vielzahl an Aussagen, die mit Hilfe des Programmes getroffen werden können. Sie illustrieren zudem beispielhaft die Anwendung der Software.

5.1. Einleitung In diesem Kapitel wird ein Excel-Programm beschrieben, mit dem die Veränderung der Abwassertemperatur in der Kanalisation berechnet werden kann. Das Programm basiert auf dem Modell in Kapitel 3 und rechnet stationäre Längsprofile für den Abfluss und die Temperatur des Abwassers in einer Serie von Kanalisationsrohren. Microsoft Excel wurde als Basis für das Programm verwendet, damit es möglichst leicht angewendet und auf die aufwändige Installation umfangreicher Softwarepakete verzichtet werden kann. Excel ist auf einem Grossteil der Anwendungscomputer vorinstalliert und bietet eine interne Schnittstelle zu Visual Basic for Applications (VBA), einer objektorientierten Programmiersprache, die auf den kompletten Funktionsumfang vom Excel zugreifen kann. Damit konnten Makros, Module, Formulare und Klassen als Erweiterung einer Arbeitsmappe erstellt werden. Da das Programm nahtlos mit der Arbeitsmappe verbunden ist, werden die eingegebenen Daten direkt in dieser abgespeichert. Falls verschiedene Berechnungen durchgeführt und gespeichert werden sollen, ist es notwendig, für jede dieser Berechnungen ein Duplikat der Arbeitsmappe anzufertigen. Mit dem Kopieren der Arbeitsmappe wird das darin enthaltene Programm automatisch mit kopiert. Auf die Sicherheitseinstellungen, die in Excel getroffen werden müssen, wird in Anhang A.11 (Seite 63) eingegangen. Die genaue Dokumentation der Funktionen, Klassen und Methoden sowie die Liste der Informations- und Fehlermeldungen ist in Anhang C auf Seite 73ff. nachzulesen. In den folgenden Abschnitten wird detailliert auf die Bedienung und die einzelnen Bestandteile des Programmes eingegangen. Anschliessend erläutern vier Anwendungsbeispiele die Anwendung und das Potential des Programmes.

23

24

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

5.2. Programmoberfläche und Bedienung

5.2.1. Hauptmaske

➊

➍

➎

➋

➏

➌

➐

➑

Abbildung 5.1.: Die «Hauptmaske» dient als Startseite und Schaltzentrale.

Wird das Programm gestartet, öffnet sich die «Hauptmaske», die alle Aktionen zur Berechnung und zur Ausgabe sowie die Einstellungen gruppiert bündelt (siehe Abbildung 5.1). Ein Mausklick auf Aktion ➊ öffnet die Maske zur Dateneingabe (vgl. mit Abschnitt 5.2.2). Nach erfolgter Eingabe kann mit ➋ die Hydraulik berechnet werden und im Anschluss können, falls die Berechnung erfolgreich verlief, durch Klick auf ➌ die Temperaturprofile berechnet werden. Dieser Schritt entspricht der Lösung der gekoppelten Differentialgleichungen 3.36 bis 3.38. Der Status der einzelnen Aktionen wird, wie bei ➍, durch ein grünes Häckchen oder ein rotes Kreuz markiert: ✓ steht für eine durchgeführte, ✕ für eine noch anstehende Aktion. Wurden die Daten erfasst und die Hydraulik berechnet (➊ und ➋), kann diese durch Betätigen der Schaltfläche bei ➎ grafisch aufgezeichnet werden. Sind die Temperaturprofile ebenfalls berechnet, können diese unter ➏ aufgezeichnet oder unter ➐ als Rohdaten für die spätere Verwendung exportiert werden. Ein Mausklick auf die Aktion «Parameter Numerik bearbeiten» (➑) öffnet ein Fenster, in dem ebendiese bearbeitet werden können.

5.2. Programmoberfläche und Bedienung

25

5.2.2. Eingabemaske, in der die Stränge erfasst werden.

Abbildung 5.2 zeigt ein Bildschirmfoto der Maske zur Dateneingabe. Grundsätzlich existieren zwei Varianten, die Stränge eines Systems zu erfassen: die direkte Eingabe in die Tabelle (➊) oder die Verwendung des Assistenten durch Klick auf die Schaltfläche mit der Füllfeder (➍). Letztere wird im nächsten Unterkapitel ausführlich beschrieben. Zu Beginn ist bei einem neuen Dokument die Tabelle bei ➊ leer und nur der Tabellenkopf ➋ ist sichtbar. Wenn der Benutzer mit der Maus auf einen Variablennamen in der Tabellenüberschrift fährt, erscheint eine Sprechblase, in der zusätzliche Informationen zur aktuellen Spalte angezeigt werden. Um mit der Datenerfassung zu beginnen, muss mittels Klick auf die Schaltfläche «+ Strang» (➌) ein neuer Strang angefügt werden. In dieser neuen, orange eingefärbten Zeile bei ➊ können Werte direkt eingegeben, oder wie bereits erwähnt mit Klick auf ➍ mit dem Assistenten bearbeitet werden. Eine grosse Hilfe beim Erfassen umfangreicher Systeme stellt die Möglichkeit dar, Eingaben aus bereits erfassten Strängen per «Copy-Paste» (Kopieren-Einfügen) zu vervielfältigen. Dabei genügt es, die zu kopierenden Zellen zu selektieren und dann im Menü ‹Bearbeiten› den Eintrag ‹Kopieren› anzuwählen und anschliessend die erste Zelle des Bereichs anzuklicken, in den die Daten eingefügt werden sollen. Mittels ‹Bearbeiten› und ‹Einfügen› wird der Vorgang abgeschlossen. Soll ein Strang entfernt werden, kann dies durch Betätigen der Schaltfläche ➐ durchgeführt werden. Auch ist es möglich, die Reihenfolge der Stränge mit den Pfeilen ➎ (nach unten verschieben) und ➏ (nach oben verschieben) zu ändern. Ist die Datenerfassung erfolgt, kann der Benutzer mit einem Mausklick auf ➑ zur Hauptmaske zurückkehren, wobei zuerst eine Datenvalidierung durchgeführt wird. Dabei prüft das Programm, ob die Stränge vollständig ausgefüllt wurden und ob die Datentypen der Eingabe den Anforderungen entsprechen. Werden Abweichungen festgestellt, so markiert des Programm die entsprechenden Zellen mit roter Hintergrundfarbe und fordert den Benutzer dazu auf, die Eingaben zu prüfen.

➑ ➋ ➊

➍ ➎ ➏ ➐

➌

Abbildung 5.2.: Das Systems durch Eingabe der erforderlichen Daten abbilden.

26

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

5.2.3. Strangerfassungs-Assistent ➏

.

➊ .

➌

➋

. . .

➍

➎

Abbildung 5.3.: Assistent zur erleichterten Erfassung von Strängen.

Dieser Assistent hilft, Stränge einfacher zu erfassen. Die Eingabemaske gliedert sich in drei Bereiche, nämlich die Eingabe der Parameter für den Knoten, für das Rohr und für den Boden. Die einzelnen Parameter sind mit Namen und Abkürzungen angegeben. Die Abbildung illustriert, wo sie im System Gültigkeit haben. Unter ➊ werden beispielsweise die Angaben zum Knoten erfasst: Der Wert kann eingegeben und die Einheit des Wertes danach in der Liste ausgewählt werden. Das Programm rechnet anschliessend die Einheiten der Grössen automatisch um. Beim ersten Strang setzt der Assistent automatisch die relative Luftfeuchtigkeit auf 90% und die Temperatur der Luft auf diejenige des Abwassers (nicht gezeigt). Der Koeffizient b, der in Abschnitt 3.3.2 auf Seite 16 eingeführt wurde, ist hier ohne Funktion. Diese Eingabefelder sind deshalb bei Strang 1 deaktiviert. Bei Bedarf können die eingegebenen Parameterwerte in der Tabelle zur Dateneingabe noch manuell angepasst werden (vgl. mit 5.2.2). Für verschiedene Rohr- und Bodentypen sind im System Vorgaben gespeichert. Für Böden kann im Listenfeld ➋ der passende Typ aus einer Auswahl angeklickt werden. Der Wert für die Wärmeleitfähigkeit des Bodens λB wird dadurch automatisch gesetzt. Die gleiche Funktionalität bietet ➌ für verschiedene Rohrtypen: Durch die Auswahl des Typs wird der Reibungskoeffizient kst und die Wärmeleitfähigkeit des Rohrs λR festgelegt. Auch diese Werte können in der Tabelle zur Dateneingabe nachträglich angepasst werden. In Anhang C.2 (Seite 76) sind die Bezeichnungen und die zugehörigen Werte der Parameter aufgelistet. Wurde in der Eingabemaske eine manuelle Anpassung von λB , kst oder λR gemacht, so zeigt dies das entsprechende Listenfeld mit dem Eintrag «(Benutzerdefiniert)» an. Weitere Parameterwerte von kst , λR und λB für unterschiedliche Rohre und Böden können den Anhängen B.1, B.2 bzw. B.3 entnommen werden. In Anhang B.4 sind zudem in verschiedenen Tiefen gemessene Jahresgänge von Bodentemperaturen TB,in f von Stadtgebiet und freiem Gelände aufgeführt.

5.2. Programmoberfläche und Bedienung

27

Die Angaben werden durch Betätigen von ➍ gespeichert. Mit Hilfe der «Blättern»-Schaltfläche (➎) kann der Anwender direkt zwischen den einzelnen Strängen hin- und herschalten. Bei Erreichen des letzten Stranges kann ein neuer direkt angehängt werden. Der Assistent wird durch Mausklick auf ➏ geschlossen.

5.2.4. Darstellung der Hydraulik

➎ ➌

➍

➊

➋

Abbildung 5.4.: Die berechneten hydraulischen Grössen werden grafisch dargestellt und die charakteristischen Daten tabellarisch aufgelistet.

Wurden die Daten erfasst und die Hydraulik berechnet (siehe Punkt ➊ und ➋ in der Hauptmaske, Abbildung 5.1), können die Ergebnisse angezeigt werden. Abbildung 5.4 zeigt exemplarisch die Darstellung des weiter oben definierten Systems. Im Diagramm auf der oberen Fensterhälfte (➊) ist der Längsverlauf von Kanalsohle und -scheitel und des Wasserspiegels aufgezeichnet, wobei die Höhe der Kanalsohle an der linken Systemgrenze als Referenz auf Null gesetzt wird. Im hier berechneten Beispiel ist sichtbar, dass bei den Knoten nach 300 bzw. 500 Metern die Kanalgeometrie (Durchmesser und Gefälle) ändert. Der Reibungskoeffizient des letzten Rohres ist geringfügig kleiner, was neben dem unterschiedlichen Gefälle auch einen Beitrag zum höheren Wasserspiegel im letzten Rohr leistet. In der Tabelle ➋ sind die berechneten Abwasserab- und Luftdurchflüsse, sowie die Querschnittsflächen der jeweiligen Kompartimente angegeben. Des Weiteren gibt die Tabelle Aufschluss über die Luftmenge ΔQ∗L , die an den Knoten über die Atmosphäre umgesetzt wird, und ob Luft inhaliert oder exhaliert wird. Zur einfacheren Interpretation wird der Schachtkoeffizient b, mit welchem der Anwender die Kapazität des Luftschachts definiert hat, auch aufgelistet. Ausschnitte aus dem Diagramm lassen sich über die orange hinterlegten Felder bei ➌ vergrössern. Die Schaltfläche «Auto» (➍) setzt die Skalierung zurück. Durch einen Mausklick auf «Zurück» (➎) kehrt das Programm zur Hauptmaske zurück.

28

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

5.2.5. Temperaturverlauf berechnen Erscheint in der Hauptmaske bei den Punkten 1. und 2. ein grünes Häckchen (vgl. mit Abbildung 5.1, ➍), so kann mit der Berechnung der Temperaturprofile begonnen werden. Wird die Rechnung gestartet, erscheint ein Statusfenster (Abbildung 5.5), das den Benutzer bei einer laufenden Berechnung über den Fortgang und bei beendeter Rechnung über die verstrichene Berechnungszeit, die Anzahl durchgeführter Differentialgleichungsevaluationen und die gesamte Absenkung der Wassertemperatur informiert. Das Fenster kann durch Drücken der ‹Enter›-Taste oder per Mausklick auf «Schliessen» geschlossen werden.

5.2.6. Parameter der Numerik Im Dialogfeldfeld «Parameter» (siehe Abbildung 5.6) können die Schrittweite der Numerik, die Schrittweite des Outputs und die Iterationstoleranz bei der Berechnung der Grössen der Geometrie gesetzt werden. Die Schrittweite der Numerik legt fest, in welchen Abständen die Gitterpunkte der Diskretisierung liegen sollen. Je dichter die Punkte liegen, desto genauer wird das berechnete Resultat, aber desto mehr Rechenschritte müssen durchgeführt werden, was sich in einer längeren Rechenzeit niederschlägt. Es wird empfohlen, zuerst mit einer grösseren Schrittweite zu rechnen und die Schrittweite so lange zu verkleiner, bis sich die «Totale Änderung der Wassertemperatur» (Dialogfeld «Berechnungsfortschritt», siehe Abbildung 5.5) bei einer Schrittverkleinerung nicht mehr ändert. Durch die Schrittweite des Outputs kann der Benutzer bestimmen, in welchen Intervallen Datenpunkte abgespeichert werden sollen. Die Schrittweite des Outputs muss ein vielfaches der Schrittweite der Numerik betragen. Die Toleranz setzt das Abbruchkriterium der iterativen Berechnung der geometrischen Grössen. Je kleiner die Toleranz gewählt wird, desto genauer können diese bestimmt werden, aber desto länger dauert die Rechenzeit.

Abbildung 5.5.: Fortschrittsanzeige nach erfolgter Berechnung.

Abbildung 5.6.: Fenster zur Festlegung der Paramter der Numerik.

5.2. Programmoberfläche und Bedienung

29

5.2.7. Darstellung von Luftfeuchtigkeit und Temperaturen

➋

➎ ➌

➍

➊

Abbildung 5.7.: Grafische Darstellung der berechneten Profile von der relativen Luftfeuchtigkeit und der Abwasser- und Kanallufttemperatur.

Nach erfolgter Berechnung der Temperaturprofile und des Profiles der relativen Luftfeuchtigkeit können diese, wie in Abbildung 5.7 gezeigt, in einem Diagramm (➊) aufgezeichnet werden. Wie in der Darstellung der Hydraulik kann auch hier ein Ausschnitt vergrössert (➋) bzw. die ursprüngliche Skalierung wiederhergestellt werden (➌). In ➍ wird zudem die Möglichkeit geboten, Serien ein- oder auszublenden. Per Mausklick auf ➎ kehrt der Benutzer zur Hauptmaske zurück.

5.2.8. Export der berechneten Daten

Abbildung 5.8.: Datenexport der berechneten Grössen.

Für die Weiterverwendung können die berechneten Daten exportiert werden. Abbildung 5.8 zeigt eine Tabelle mit den vier Spalten x, TW , TL und ϕ . Bei der ersten handelt es sich um die Längskoordinate, wobei die Intervalle der Output-Schrittweite entsprechen. Bei den restlichen drei Spalten handelt es sich um die Längsprofile der gesuchten Grössen.

30

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

5.3. Anwendungsbeispiele Die nachfolgenden vier Szenarien sollen exemplarisch die Möglichkeiten des Programmes illustrieren. Alle Eingaben und Rechnungen wurden wie oben beschrieben durchgeführt.

5.3.1. Szenario 1: Berechnung der Abwassertemperatur Das Längsprofil der Abwassertemperatur soll in einem Kanalisationssystem bestehend aus drei Abschnitten berechnet werden. Die Parameter der einzelnen Abschnitte werden nachfolgend mit den Indices 1, 2 und 3 gekennzeichnet, Abbildung 5.9 zeigt die Topographie. Das System liegt zum einen Teil in ungesättigtem, lehmigem Boden mit 40% Porenvolumen und einer Wassersättigung von ca. 15% mit einer Wärmeleitfähigkeit von λB = 1 mWK und zum anderen Teil in lehmigem Boden, der unter Einfluss des Grundwassers steht und deshalb gesättigt ist. Dieser hat eine Wärmeleitfähigkeit von 1.58 mWK . Da der Übergang vom gesättigten zum ungesättigten Boden in der Mitte von Strang ➋ liegt, wird er zweigeteilt. Der Parametersatz von Strang ➋a und Strang ➋b unterscheidet sich lediglich in den Werten der Leitfähigkeiten des Bodens. Die Parameter des neuen Knotens – der hier rein ∗ = 0 und b3 = 0 so gewählt, dass keine imaginärer Natur ist – werden durch Wahl von QW,2b Zu- oder Wegflüsse auftreten. Die Stränge besitzen Längen von 500 m (Strang ➊), 150 m (sowohl Strang ➋a wie ➋b) und 700 m (Strang ➌). Bei allen Kanalrohren handelt es sich um Betonrohre mit einem Strickler-Beiwert von kst = 65m1/3 s−1 , einer Dicke von 0.1 m und einer Wärmeleitfähigkeit von λR = 1 mWK . Rohre ➊ und ➋ haben einen Durchmesser von 0.5 m, Rohr ➌ von 0.7 m. Die Gefälle betragen der Reihe nach 3, 4, 4 und 2. Der Einflussbereich auf die Bodentemperatur wurde auf 1 m und die unbeeinflusste Bodentemperatur auf 8°C geschätzt. Die Biologische Aktivität im Abwasser wird vernachlässigt. ∗ = 12.6°C). Im System sind keine seitlichen ZuDer Abwasserzufluss beträgt 10 L/s (TW,1 flüsse vorhanden. Die Luftaustauschkoeffizienten betragen im Knoten von Strang ➋a und Strang ➌ b = 0.2, bei den anderen beiden sind sie Null. Die Temperatur der Kanalluft ∗ gesetzt und die relative Luftam oberen Rand des Systems wird vom Programm auf TW,1 feuchtigkeit auf 90%. Das Aussenklima wird charakterisiert durch einen Luftdruck von 980 mbar, eine Aussentemperatur von 10°C und eine relative Luftfeuchtigkeit von 80%.

Erdreich ungesättigt

Strang  Strang  a

Erdreich gesättigt Strang b

N

Strang 

Abbildung 5.9.: Topographie des Kanalisationssystems mit Änderung der Bodeneigenschaften.

5.3. Anwendungsbeispiele

12.8

Strang 

31

a

b

1



0.99

ϕ

12.4

0.98 0.97

12.2

TW

0.96 0.95

12

0.94

11.8

0.93 11.6

TL 11.4 11.2

0.92

Relateive Luftfeuchtigkeit ϕ [−]

Temperaturen TW und TL [°C]

12.6

0.91 0

500

1000

0.9 1500

Abbildung 5.10.: Längsprofile von Abwasser- und Kanallufttemperatur TW bzw. TL sowie relativer Luftfeuchtigkeit ϕ . Eingezeichnet sind die einzelnen Stränge. Der Übergang von ungesättigtem zu gesättigtem Erdreich (vertikale, gestrichelte Gerade) führt zu einer leicht steileren Absenkung der Abwassertemperatur.

Werden die beschriebenen Daten in der entsprechenden Maske erfasst, können Hydraulik und Profile berechnet werden. Es erwies sich als günstig, die Schrittweite des Outputs auf 10 m zu erhöhen, die restlichen Parameter der Numerik aber bei den Standardwerten zu belassen. Durch die Wahl einer höheren Schrittweite wird der Export und der Umgang mit den numerischen Werten komfortabler. Abbildung 5.10 stellt den berechneten Verlauf der Temperaturen des Abwassers und der Luft sowie den Verlauf der relativen Luftfeuchtigkeit dar. Die totale Änderung der Abwassertemperatur beträgt 0.457 °C. Die Auswirkungen der unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten des Bodens ist am Übergang zwischen ➋a und ➋b zu erkennen: Luft und Abwasser kühlen sich leicht stärker ab. Die grössere Nennweite des Rohres von Strang ➌ führt dazu, dass die Luft langsamer fliesst. Die Lufttemperatur nähert sich deshalb zuerst schneller derjenigen des Abwassers an, ändert aber ab einem gewissen Punkt die Richtung und fällt anschliessend mit der Abwassertemperatur.

5.3.2. Szenario 2: Einfluss der Parameterwerte Häufig sind nur ungenaue Daten über die einzelnen Parameter des zu simulierenden Kanalisationsabschnittes vorhanden. Es ist deshalb unerlässlich, den Einfluss der Ungenauigkeit des Parameters auf das Resultat der Berechnung zu kennen. Auskunft geben kann die Analyse der lokalen Sensitivitäten: Will der Benutzer beispielsweise die Abwassertemperatur am Auslauf des Systems berechnen, von dessen Boden die Wärmeleitfähigkeit nur unzureichend bekannt ist, so kann er den Parameter λB um einen bestimmten Wert variieren und die Auswirkungen der Variation auf das Endergebnis untersuchen.

32

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

0.2

7.5

0.15

5

0.1

2.5

0.05

0

0

−2.5

−0.05

−5

−0.1

−7.5

−0.15

Sensitivität der Abwassertemperatur T W [%]

10

−10

+ 10 % +1% -1% - 10 %

−0.2

T W*

TA

Q W*

ϕ

p ges

L

k st

D

S0

s

δB

λB

λR

TB,inf

Abbildung 5.11.: Sensitivität von TW am Ende des ersten Stranges von Szenario 1 auf die Modellparameter. Die Zahlenwerte sind in Tabelle A.2 in Anhang A.7 auf Seite 57 angegeben. Die Sensitivität auf TW∗ kann im Diagramm links, die der restlichen Parameter im Diagramm rechts abgelesen werden.

Dieses Verfahren kann auch verwendet werden, um Experimente zu planen («Experimental Design"). Die Sensitivitätsanlyse hilft dabei, die Identifizierbarkeit von Parametern und die notwendige Messgenauigkeit zu beurteilen. Abbildung 5.11 zeigt die lokalen Sensitivitäten aller Parameter des ersten Stranges (➊) von Szenario 1 auf. Dabei wurde jeweils ein Parameter +1%, -1%, +10% und -10% um den Ursprungswert variiert und die Änderung der Abwassertemperatur am Auslauf in Prozent ermittelt. Da der Koeffizient b beim ersten Strang keine Wirkung hat und die biologische Aktivität unbekannt ist, liegt hierzu keine Analyse der Sensitivität vor. Die Sensitivitätsanalyse zeigt, dass der Parameter TW∗ sehr sensitiv ist. Ändert sich TW∗ um +1%, so ändert sich TW nach 500 m Fliessstrecke um +0.98%. Zu beachten ist, dass sich die Snesitivität mit der Rohrlänge ändert.

5.3.3. Szenario 3: Berücksichtigung von seitlichen Zuflüssen Dieses Szenario baut auf Szenario 1 auf. Sämtliche Parameter der Hauptstränge ➊ bis ➌ sind die selben (siehe Abbildung 5.12). Neu ist, dass Strang ➋ einen seitlichen Zufluss besitzt, dessen Temperatur unbekannt ist. Im Knoten von Seitenstrang ➀ existieren Messungen zu Temperatur und Durchfluss. Die Temperaturmessung kann aber nicht direkt als Zuflussgrösse von Strang ➋a verwendet werden, da sich die Temperatur auf der Fliessstrecke bis zur Einmündung des Abwassers in den Hauptstrom am Knoten von ➋a noch ändern wird. Damit nun die Temperatur am Ausfluss von Strang ➌ berechnet werden kann, muss zuerst ein neues System aus den Seitensträngen ➀ und ➁ aufgebaut werden, mit dem die Temperatur am Auslauf des Seitenstranges ➁ berechnet werden kann.

5.3. Anwendungsbeispiele

33

Seitenstrang 

Seitenstrang Erdreich ungesättigt

Strang  Strang  a

Erdreich gesättigt Strang b

N

Strang 

Abbildung 5.12.: Topographie des verzweigten Systems mit einem seitlichen Zufluss. Die Temperatur des seitlichen Zuflusses in den Knoten von Strang ➋ ist nicht bekannt.

Die berechnete Abwassertemperatur und der bekannte Durchfluss des Seitenstranges kann nun als seitlicher Zufluss des Knotens von Strang ➋a in die Eingabemaske geschrieben ∗ ∗ und QW,2a ), für den anschliessend die gesuchte Gesamtabsenkung berechnet werden (TW,2a werden kann. Diese Methodik erlaubt, Temperaturverläufe von verzweigten Systemen zu berechnen. Die Temperaturen seitlicher Zuflüsse müssen nicht unmittelbar an der Stelle des Zusammenflusses mit dem Hauptstrang gegeben sein. Möglich wird dieses Vorgehen, da vereinfachend angenommen wird, dass weder in der Strömung der Kanalluft noch in derjenigen des Abwassers Rückflüsse auftreten.

5.3.4. Szenario 4: Effekt der Wärmeentnahme auf die Abwassertemperatur Die Frage, wieviel Wärme dem Abwasser oberhalb einer Kläranlage entnommen werden darf und an welcher Stelle im Kanalisationsnetz der Wärmetauscher gebaut werden soll, ist essentiell. Die Nähe zur Kläranlage garantiert im Allgemeinen einen grossen Durchfluss im Kanalisationsrohr, es können grössere Anlagen gebaut und deshalb theoretisch mehr Wärme entzogen werden. Lange Transportwege der gewonnenen Wärme zum Endverbraucher aber ist mit Verlusten verbunden. Zudem entfällt an dieser Stelle eine mögliche Wiedererwärmung des Abwassers während der Fliesszeit bis zur Kläranlage. Die Nähe zu der Abwasserquelle hat den Vorteil, dass das Abwasser hier eine höhere Temperatur aufweist, aber den Nachteil, dass es in kleineren Mengen anfällt. Zudem beeinflussen bauliche und betriebliche Faktoren, zum Beispiel eine maximal erzielbare Absenkung der Abwassertemperatur in der Anlage, die Wahl des optimalen Standortes. Die Wärmeleistung, die produziert werden kann, berechnet sich aus: Q˙ e = c p,W ρW QW ΔTW

(5.1)

Dabei steht ΔTW für die Absenkung der Abwassertemperatur am Wärmetauscher und Q˙ e für die entnommene Wärmemenge. Wenn die Betreiber der Kläranlage eine minimale Zuflusstemperatur vorgeben, so kann mit dem Excel-Programm an verschiedenen Stellen im Kanalnetz berechnet werden, wie tief die Temperatur des Abwassers gesenkt werden darf, sodass die Randbedingung der

34

Kapitel 5. Bedienungshandbuch

Anlagenbetreiber gerade noch eingehalten wird. Die erzielbare Leistung wird, unter Berücksichtigung der technischen Vorgaben der Anlage, mit Gleichung 5.1 berechnet. Folgendes Vorgehen wird empfohlen: Als erstes soll der Anwender den Ausschnitt des Systems erfassen, der zwischen dem höchstgelegenen in Frage kommenden Standort und der Kläranlage liegt. Anschliessend kann der unbeeinflusste Temperaturverlauf berechnet werden. Die Zulauftemperatur wird nun so lange schrittweise abgesenkt, bis die Temperaturabsenkung gefunden wird, mit der die minimale Zulauftemperatur der Kläranlage gerade noch eingehalten wird. Die mögliche Absenkung ΔT durch einen Wärmetauscher berechnet sich dann aus der Differenz dieser Temperatur und derjenigen des unbeeinflussten Verlaufs. Als nächstes wird die Länge des ersten Strangs sukszessive verkürzt, wobei jeweils – wie oben – die tiefstmögliche Temperatur bestimmt wird. Die erzielbare Absenkung berechnet sich nun aus der Differenz dieser Temperatur und derjenigen des unbeeinflussten Temperaturverlaufs an dieser Stelle. Ist das Ende eines Stranges erreicht – seine Länge beträgt jetzt null Meter – , wird mit dem nächsten auf gleiche Art und Weise fortgefahren. Der Standort, an dem am meisten Wärme entzogen werden kann, ist derjenige mit dem höchsten Q˙ e bei Einhaltung einer vorgegebenen minimalen Temperatur am Ende des Kanalisationssystems.

6

Fazit und Ausblick

In der vorliegenden Arbeit wurde ein mathematisches Modell erstellt, welches die örtliche und zeitliche Veränderung der Abwassertemperatur in einem Kanlisationssystem berechnen kann, und für stationäre Berechnungen mit dem Modell wurde ein Computerprogramm geschrieben. Die Kenntnis des Verlaufs der Abwassertemperatur erlaubt die Beantwortung vieler praxisrelevanter Fragen, unter anderem zur Standortwahl eines Wärmetauschers zur Rückgewinnung von Wärme aus dem Abwasser. Aufgrund der Literatur und der bestehenden Modellansätze wurde ein erweitertes mathematisches Modell entwickelt. Dabei blieb stets das Ziel vor Augen, die Zahl der ins Modell eingehenden unbekannten Parameter möglichst klein zu halten und nur einfach zu messende Grössen zu verwenden. So konnte beispielsweise die Luftströmung in Abhängigkeit zur Abwasserströmung gesetzt und so die Modellierung der Luftströmung ohne a priori Informationen ermöglicht werden. Die entscheidenden Modellannahmen wurden überprüft und ihre Auswirkungen zum grössten Teil auch quantifiziert. Ein Grundelement «Strang» wurde definiert: Es setzt sich aus einem Knoten und einem Kanalrohr zusammen und dient als Grundbaustein für die Modellierung ganzer Kanalisationssysteme. Mit Knoten können Unstetigkeiten im System abgebildet werden. Sie können mit der Atmosphäre in Kontakt stehen und seitliche Zuflüsse berücksichtigen. Mathematisch werden Knoten durch Bilanzgleichungen erfasst. Ein eigener Algorithmus wurde entwickelt, um den Luftaustausch mit der Atmosphäre über die Knoten zu steuern und die Luftströmung in den einzelnen Kanalrohren auszugleichen. In den Rohrabschnitten finden die entscheidenden Wärmeaustauschprozesse statt, die das Temperaturprofil beeinflussen. Grundlagen zur Modellierung dieser Prozesse sind die Kenntnisse der Strömungen von Abwasser und Kanalluft. Die Änderung der Abwasser- und Kanallufttemperatur sowie der Wasserdampfbeladung werden durch ein partielles Differenzialgleichungssystem beschrieben. Stabile numerische Algorithmen mit hoher Genauigkeit und kurzer Rechenzeit wurden für die stationäre und instationäre Lösung des Gleichungssystems programmiert. Das stationäre Modell, welches zeitunabhängige Temperaturprofile berechnen kann, wurde anschliessend in Visual Basic for Applications (VBA) implementiert. Es wurde ein praxistaugliches Werkzeug mit einfach zu bedienender Excel-Oberfläche geschaffen, das den Benutzer bei der Erfassung des abzubildenden Kanalisationssystems unterstüzt, die Berechnungen durchführt und die Resultate anschliessend übersichtlich grafisch darstellt. Im Kapitel «Bedienungshandbuch» wird den Umgang mit dem Programm erläutert. 35

36

Kapitel 6. Fazit und Ausblick

Anhand von vier Anwendungsbeispielen wurden zudem einige mögliche Anwendungszwecke von Modell und Programm gezeigt. Zu diesen gehören beispielsweise die Standortevaluation für Anlagen zur Wärmerückgewinnung aus Abwasser und die Optimierung des «Experimental Design» durch eine Sensitivitätsanalyse. Kritisch anzumerken ist, dass es sich bei den meisten Modellkomponenten zwar um bewährte und validierte Modellansätze aus der Literatur handelt, das Modell aber mangels Daten noch nicht validiert werden konnte. Es ist deshalb unabdingbar, das vorgestellte Modell anhand von Referenzdaten zu testen. Des Weiteren ist anzumerken, dass der Einfluss der Modellannahmen und Vereinfachungen zwar überprüft wurde, aber eine allgemeine quantitative Aussage über die Genauigkeit der Berechnung nur schwer getroffen werden kann, da sie von den Gegebenheiten und den vorhandenen Daten des zu modellierenden Kanalisationssystems abhängt. Ein Werkzeug zur Überprüfung der Genauigkeit wäre die in Abschnitt 5.3.2 vorgestellte Sensitivitätsanalyse. Obwohl das Modell und die numerischen Algorithmen instationäre Berechnungen erlaubten, wurde im Rahmen dieser Arbeit erst die stationäre Lösung der Gleichungen in die Applikation für den Anwender implementiert. Die instationäre Lösung stellt zwar höhere Anforderungen an die vorhanden Daten, erlaubt aber auch, interessantere Szenarien zu simulieren. Als Beispiel soll die Reaktion des Kanalisationssystems auf eine plötzliche Temperaturabsenkung in den Zuflüssen genannt werden. In Anhang A.12 auf Seite 64 befindet sich eine tabellarische Darstellung der Arbeitsschritte, die für instationäre Lösungen bereits durchgeführt wurden. Für eine auf dieser Arbeit aufbauende Weiterentwicklung müssen nur die in Matlab bereits getesteten Algorithmen noch ins Excel-Programm implementiert resp. in VBA übersetzt werden.

Abkürzungsverzeichnis Variablen . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . Querschnittsfläche [m2 ] a . . . . . . . . . . . . . . . Wärmediffusivität [m2 s−1 ] b . . . . . . . . . . . . . . . Knotenkoeffizient (0 ≤ b ≤ 1) [-] c p . . . . . . . . . . . . . . isobare spezifische Wärmekapazität [ kgJ K ] D . . . . . . . . . . . . . . . Nennweite Kanalisationsrohr (Innendurchmesser) [m] J ] eCSB . . . . . . . . . . . . freiwerdende Reaktionsenthalpie bei CSB-Abbau [ kg 3

F . . . . . . . . . . . . . . . gesamter Fehlbetrag [ ms ] ] g . . . . . . . . . . . . . . . Erdbeschleunigung [ m s2 J ] h f g . . . . . . . . . . . . . Verdunstungs-/ Kondensationsenthalpie [ kg

j . . . . . . . . . . . . . . . spezifischer Stofffluss [ mkg2 s ] j . . . . . . . . . . . . . . . spezifischer Stoffumsatz [ mkg3 s ] k . . . . . . . . . . . . . . . Wärmedurchgangskoeffizient [ mW 2 K] kst . . . . . . . . . . . . . . Reibungsbeiwert nach Strickler [m 3 s−1 ] 1

L . . . . . . . . . . . . . . . Länge Leitungsabschnitt [m] N . . . . . . . . . . . . . . . Gesamtzahl Stränge im System [-] P . . . . . . . . . . . . . . . Wasserspiegelbreite [m] p . . . . . . . . . . . . . . . Druck [mbar] Q . . . . . . . . . . . . . . . Durchfluss [m3 s−1 ] Q˙ e . . . . . . . . . . . . . . Wärmeleistung [W] q˙ . . . . . . . . . . . . . . . spezifischer Wärmefluss [ mW2 =

J ] m2 s

q˙ . . . . . . . . . . . . . . . spezifischer Wärmeumsatz [ mW3 ] r . . . . . . . . . . . . . . . Koordinate radial zur Rohrachse [m] rCSB . . . . . . . . . . . . Abbaurate des CSB in der Kanalisation [ kg s ] Rhy . . . . . . . . . . . . . hydraulischer Radius (Rhy = UA ) [m] s . . . . . . . . . . . . . . . Dicke der Rohrwand [m] S0 . . . . . . . . . . . . . . Sohlgefälle [-] S f . . . . . . . . . . . . . . Reibungsgefälle [-] T . . . . . . . . . . . . . . . Temperatur [K] t . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit [s] U . . . . . . . . . . . . . . benetzter Umfang [m] u . . . . . . . . . . . . . . . Fliessgeschwindigkeit [ms−1 ] 37

38

Kapitel 6. Fazit und Ausblick

uW L . . . . . . . . . . . . . Relativgeschwindigkeit Wasser-Luft [ms−1 ] X . . . . . . . . . . . . . . . Massenbeladung [

kgWasserdampf ] kgLuft

x . . . . . . . . . . . . . . . Längskoordinate parallel zur Rohrachse [m] y . . . . . . . . . . . . . . . maximale Wassertiefe [m] Dimensionslose Kennzahlen Fr . . . . . . . . . . . . . . Froude-Zahl [-] Le . . . . . . . . . . . . . . Lewis-Zahl [-] Ma . . . . . . . . . . . . . Mach-Zahl [-] Nu . . . . . . . . . . . . . Nusselt-Zahl [-] Pe . . . . . . . . . . . . . . Péclet-Zahl [-] Pr . . . . . . . . . . . . . . Prandtl-Zahl [-] Re . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Zahl [-]

Griechische Symbole

α . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübergangskoeffizient [ mW 2 K] δb . . . . . . . . . . . . . . Schichtdicke Boden [m] δs . . . . . . . . . . . . . . Schichtdicke Kondensationsschicht [m] γ . . . . . . . . . . . . . . . Winkel über Wasserspiegel im Kreisprofil (vgl. Anhang A.6) [rad] κ . . . . . . . . . . . . . . . von Karman Konstante [-] 3

Λ . . . . . . . . . . . . . . . Korrekturterm [ ms ]

λ . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeleitfähigkeit [ mWK ] 2

ν . . . . . . . . . . . . . . . kinematische Viskosität [ ms ] kg ρ . . . . . . . . . . . . . . . Dichte [ m 3]

ϕ . . . . . . . . . . . . . . . relative Luftfeuchtigkeit [-] ξ . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollparameter Kondensation in der Kanalluft {0, 1} ζ . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollparameter Kondensation an Kondensationsschicht {0, 1} Indices . . . . . . . . . ∗ . . . . . . . . . . . . . . . Knoten

δ . . . . . . . . . . . . . . . Kondensationsschicht ω . . . . . . . . . . . . . . chemische oder biologische Prozesse a . . . . . . . . . . . . . . . Anfang (räumlich) B . . . . . . . . . . . . . . . Boden c . . . . . . . . . . . . . . . Zentrum / Mitte D . . . . . . . . . . . . . . . Wasserdampf e . . . . . . . . . . . . . . . Ende (räumlich) F . . . . . . . . . . . . . . . Festkörper i . . . . . . . . . . . . . . . . Strangnummer in f . . . . . . . . . . . . . unbeeinflusst k . . . . . . . . . . . . . . . Kondensation L . . . . . . . . . . . . . . . Kanalluft

39

l . . . . . . . . . . . . . . . latente Wärme P . . . . . . . . . . . . . . . Wasserspiegel R . . . . . . . . . . . . . . . Rohr r . . . . . . . . . . . . . . . radial S . . . . . . . . . . . . . . . Massenlose, dünne Schicht s . . . . . . . . . . . . . . . fühlbare Wärme sat . . . . . . . . . . . . . Sättigung v . . . . . . . . . . . . . . . Verdunstung v . . . . . . . . . . . . . . . Vollfüllung W . . . . . . . . . . . . . . Abwasser

Literaturverzeichnis

ATV-DVWK, 2002. ATV-DVWK-Regelwerk. Deutsche Vereinigung für Wasserwirtschaft, Abwasser und Abfall e. V. (ATV-DVWK). AWEL, Juli 2003. Wärmenutzung aus Abwasser: Kanalisation (ungereichnigt) und ARAAbläufe (gereinigt). AWEL-Standard. Baehr, H. D., Stephan, K., 2006. Wärme- und Stoffübertragung, 5. Auflage. Springer, Berlin. Balke, K.-D., Kley, W., 1981. Die Grundwassertemperaturen in Ballungsgebieten (Abschlussbericht). Eggenstein-Leopoldshafen. Bischofsberger, W., Seyfried, C., 1984. Wärmeentnahme aus Abwasser. Institut für Bauingenieurwesen V (München) Lehrstuhl und Prüfamt für Wassergütewirtschaft und Gesundheitsingenieurwesen, Institut für Siedlungswasserwirtschaft und Abfalltechnik (Hannover). Eckert, E. R. G., 1959. Einführung in den Wärme- und Stoffaustausch, zweite überarbeitete Auflage. Springer, Berlin. Edwini-Bonsu, S., Steffler, P. M., 2004. Air flow in sanitary sewer conduits due to wastewater drag: a computational fluid dynamics approach. Journal of Environmental Engineering and Science 3 (5), 331–342. Edwini-Bonsu, S., Steffler, P. M., 2006a. Dynamics of air flow in sewer conduit headspace. Journal of Hydraulic Engineering-Asce 132 (8), 791–799. Edwini-Bonsu, S., Steffler, P. M., 2006b. Modeling ventilation phenomenon in sanitary sewer systems: A system theoretic approach. Journal of Hydraulic Engineering-Asce 132 (8), 778–790. Fischer, H. B., 1979. Mixing in inland and coastal waters. Academic Press, New York. Flamink, C., Langeveld, J., Clemens, F., 2005. Aerobic transformations in sewer systems: are they relevant? Water Science and Technology 52 (3), 163–170. Flinspach, D., 1973. Wärmelastplan Neckar Plochingen bis Mannheim Stand Mai 1973. Ministerium für Ernährung, Landwirtschaft und Umwelt Baden-Württemberg, Stuttgart. Gujer, W., 2002. Siedlungswasserwirtschaft, 2. Auflage. Springer, Berlin. 40

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41

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42

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A

Anhang: Ergänzungen

In diesem Anhang sind Ergänzungen zu den Hauptkapiteln dieser Arbeit zusammengestellt. Es sind dies u.a. Erläuterungen zu den Annahmen, Abschätzungen, Hinweise zu Herleitungen und Berechnungen, Tabellenwerte, Beschreibungen zu numerischen Schemen und Bemerkungen zum Status dieser Arbeit.

A.1. Erläuterungen zu den Annahmen A.1.1. Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte und implementierte Werte Die Stoffwerte von Wasser und Luft sind temperaturabhängig. Die Dichte von Luft bspw. ist bei hohen Temperaturen viel kleiner als bei niedrigen. Für viele Stoffwerte hält sich diese Temperaturabhängigkeit aber in Grenzen und da der relevante Temperaturbereich für dieses Modells zwischen 5 und 30°C liegt, kann die Abhängigkeit bei vielen Stoffwerten vernachlässigt werden. Abbildung A.1 zeigt die relative Änderung verschiedener Stoffgrössen für Luft und Wasser im relevanten Temperaturbereich grafisch auf. Im Modell verwendet werden für Luft die Dichte ρL , die Wärmeleitfähigkeit λL , die kinematische Viskosität νL , die Wärmekapazität c p,L und die Prandtl-Zahl PrL . Von diesen Grössen sind einzig die kinematische Viskosität und die Prandtl-Zahl stark temperaturabhängig. Die Erste wird benötigt, um den Austauschprozess q˙δ L zu berechnen und fällt mit dem Exponent −4/5 ins Gewicht. Die Zweite wird für denselben Prozess verwendet, steht aber unter einer dritten Wurzel. Die verwendeten Stoffwerte des Wassers sind die Dichte ρW und die Wärmekapazität c p,W . Keiner dieser beiden Werte weist eine signifikante Temperaturabhängigkeit auf. Die vom Computerprogramm verwendeten Stoffwerte sind in Tablle A.1 aufgeführt. 43

44

Anhang A: Ergänzungen

120

10

100

0

120

10 20 Temperatur [°C]

100

0

10 20 Temperatur [°C]

30

20 30 Temperatur [°C]

Wärmekapazität c

0

120

Kinematische Viskosität ν

10

0

Rel. Ae. [%]

100

10 20 Temperatur [°C]

30

10

20 30 Temperatur [°C]

40

Wärmeleitfähigkeit λ

W

0

120

Wärmediffusivität a

40

100 80

30

20 30 Temperatur [°C]

Prandtl−Zahl PrL

120 p, W

10 20 Temperatur [°C]

0

10

100 80

40

W

80

0

120

100 80

30

W

80

0

Wärmeleitfähigkeit λL

100 80

40

Wärmediffusivität a L

120

Dichte ρ

20 30 Temperatur [°C]

100 80

40

10

Rel. Ae. [%]

Rel. Ae. [%]

20 30 Temperatur [°C]

W

80

0

120

Kinematische Viskosität νL

0

80

40

100 80

100

Rel. Ae. [%]

20 30 Temperatur [°C]

Rel. Ae. [%]

Rel. Ae. [%]

10

120

Wärmekapazität c p,L

Rel. Ae. [%]

0

120

Rel. Ae. [%]

Rel. Ae. [%]

100 80

Rel. Ae. [%]

120

Dichte ρL

Rel. Ae. [%]

Rel. Ae. [%]

120

10 20 Temperatur [°C]

30

Prandtl−Zahl Pr

W

100 80

0

10 20 Temperatur [°C]

30

Abbildung A.1.: Illustration der Temperaturabhängigkeit verschiedener Stoffwerte für Luft (Zeile 1 und 2) und Wasser (Zeile 3 und 4). Dabei wurde jeweils der bei 20°C gemessene Wert als Referenz gesetzt und für die umliegenden Werte die relative Änderung berechnet. Für die Grafiken zur Luft waren Werte bei 0, 20 und 40°C verfügbar, für diejenigen zum Wasser Werte zwischen 0 und 30°C in 5°C-Schritten. Datenquelle: Baehr und Stephan (2006)

Tabelle A.1.: Auflistung der im Excel-Programm integrierten Stoffwerte. Für die Kanalluft werden Werte von Luft bei einer Temperatur von 20°C und 1 bar Luftdruck verwendet, für das Abwasser Werte für Wasser bei denselben Bedingungen. Stoffwerte aus Baehr und Stephan (2006).

Kanalluft

Abwasser

ρL

1.188

kg/m3

ρW

c p,L

1 007

J/(kg K)

c p,W

λL

25.69

·10−3

W/(K m)

νL

153.3 ·10−7

PrL

0.7148

m2 /s

998.21 4 181

kg/m3 J/(kg K)

A.1. Erläuterungen zu den Annahmen

45

A.1.2. Kanalprofile

1.2

1

1

0.8

0.8

T

T

u /u

V

1.2

u /u

V

Es wird vereinfachend angenommen, dass jegliche im System vorkommende Rohre einen Kreisquerschnitt aufweisen. Trotzdem kann auch mit anderen Profilformen gerechnet werden, ohne dass das Resultat stark fehlerbehaftet wird. ATV-DVWK (2002) empfiehlt zum Beispiel sogar, gestreckte und überhöhte Kreisquerschnitte als Kreisprofile zu behandeln. Die restlichen gängigen Profilformen werden zudem auf Ei- und Maulprofile zurückgeführt. Um die Unterschiede zwischen den drei Grundprofilen – Kreis-, Ei- und Maulprofil – quantifizieren zu können, werden in Abbildung A.2 Geschwindigkeiten, Durchflüsse, Querschnittsflächen und Wasserstände gegeneinander aufgetragen.

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6 Q /Q

0.2

1

0

0.2

0.4 0.6 h/D bzw. h/H

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 h/D bzw. h/H

0.8

1

V

1

0.8

0.8

0.6

0.6

T

T

A /A

V

1

A /A

V

T

0.8

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

Q T /QV

Kreisprofil

Eiprofil

Maulprofil

Abbildung A.2.: Vergleich verschiedener Charakteristika von Kreis-, Ei- und Maulprofilen. Aufgetragen sind Beziehungen zwischen den normierten Durchflüssen Q, den Geschwindigkeiten u, Wasserständen h und Querschnittsflächen A. Der Index T steht dabei für Teilfüllung, V für Vollfüllung. D bezeichnet den Durchmesser des Kreisprofils, H die Profilhöhe des Ei- bzw. Maulprofils. Daten aus ATV-DVWK (2002).

A.1.3. Abschätzung der vertikalen und lateralen Mischung Eine grundlegende Annahme dieser Arbeit legt fest, dass in Kompartiment «Abwasser» keine Gradienten im Querschnitt existieren. In der Realität ist aber eine gewisse Fliessstrecke erforderlich, bis sich anfängliche Gradienten ausgeglichen haben. Diese Gradienten können beispielsweise durch seitliche Zuflüsse entstehen, die eine vom Hauptstrom abweichende Temperatur aufweisen.

46

Anhang A: Ergänzungen

Nach Shanahan et al. (2001) kann die Dimensionalität eines Modells unter Berücksichtigung der Skalen von der vertikalen und lateralen Mischungslänge lv und ll festgelegt werden. So kann beurteilt werden, ob ein eindimensionales Modell genügt oder ob ein mehrdimensionales verwendet werden sollte. Die zwei zur Beurteilung benötigten Mischungslängen können geschätzt werden aus: ll =

P2 uW 2Ky

lv =

h2m uW 2Kz

(A.1)

wobei P für die Wasserspiegelbreite und hm = AW /P für die mittlere Wassertiefe steht. ∗ h und der vertikale K ≈ 0.067u∗ h , Der laterale Dispersionskoeffizienten ist Ky ≈ 0.6uW m z W m ∗ wobei uW die Schleppspannung bezeichnet (siehe Gleichung 3.29). Die Formeln für die Dispersionskoeffizienten stammen aus Fischer (1979). Falls gilt, dass L lv und L ll , genügt ein eindimensionales Modell, transversale Gradienten können vernachlässigt werden. In Abbildung A.3 sind die Mischungslängen bei verschiedenen Füllständen und bei verschiedenen Rohrdurchmessern für ein typisches Kanalisationsrohr aufgetragen. Eine weitere Formel zur groben Abschätzung der hydrodynamischen Einlauflänge Le,h bei turbulenter Strömung geben Polifke und Kopitz (2005) an: Le,h < 60 (A.2) 10 < D

0.9 D = 0.2 m

0.4 m

0.6 m

0.8 m

1m

Lateral Vertikal

0.8

0.7

h/D [−]

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

5

10

15 20 Mischungslänge [m]

25

30

35

Abbildung A.3.: Abschätzung der lateralen und vertikalen Mischungslängen für verschiedene Durchmesser D und Füllstände h. Die Resultate gelten für ein Betonrohr mit einem Reibungsbeiwert von kst = 36 m1/3 s−1 und einem Gefälle von 5.

A.1. Erläuterungen zu den Annahmen

47

Für Prandtl-Zahlen Pr ≈ 1 (dem Verhältnis von kinematischer Viskosität – quasi der Impulsleitfähigkeit – zur Temperaturdiffusivität), wie sie in turbulenter Strömung häufig vorkommen, entspricht die thermische Einlauflänge Le,th grob der hydrodynamischen. Für laminare Strömung gilt näherungsweise: Le,th = Pr Le,h . Es bleibt zu erwähnen, dass die abgeschätzten Längen zwar für grosse Temperaturunterschiede zwischen seitlichen Zuflüssen und dem Hauptkanal ins Gewicht fallen können. Da sich die Temperaturen verschiedener Strängen des Kanalisationssystems aber häufig nur gering unterscheiden, genügen oft kleinere Fliessdistanzen bis zur vollständigen Durchmischung.

A.1.4. Erwärmung des Abwassers durch Reibung Die Erwärmung des Abwassers durch Reibung kann einfach abgeschätzt werden, wenn angenommen wird, dass die gesamte zur Aufrechterhaltung des Fliessvorganges eingebrachte potentielle Energie dem Wasser als Reibungswärme zugeführt wird (Bischofsberger und Seyfried, 1984). Die eingebrachte potentielle Energie pro Masse ΔE/m beträgt bei einer Höhendifferenz Δh: ΔE = gΔh = cW ΔTW m

(A.3)

Wird Gleichung A.3 nach ΔTW aufgelöst, erhält man: ΔTW =

g Δh cW

mit

g = 2.3 · 10−3 K/m für Wasser cW

(A.4)

Die Erwärmung ΔTW durch Reibung beträgt also pro 100 Meter Höhendifferenz nur etwa 0.23°C. Bei einem Kanal mit einer Neigung von 3 ist diese Höhendifferenz erst ab 33 Kilometer Fliesstrecke erreicht. Umgerechnet entspricht dies lediglich einer Erwärmung K und kann vernachlässigt werden. von 7 · 10−6 m

A.1.5. Wärmelängsleitung Die Péclet-Zahl gibt das Verhältnis des Wärmetransports durch Advektion zum Wärmestrom infolge Wärmediffusion an. Es gilt: Pe =

uL uL ν = = Re Pr a ν a

(A.5)

Dabei steht u für die Geschwindigkeit des Mediums, L für eine charakteristische Länge, ν für die kinematische Viskosität und a für die Temperaturdiffusivität. Letztere zwei sind Stoffkonstanten. Ist Pe gross (Pe 1), überwiegt der Wärmetransport infolge Advektion und die Längsleitung kann vernachlässigt werden. Nach Gujer (2002) darf die minimale Fliessgeschwindigkeit bei Trockenwetterabfluss während den Tagesstunden in einem Kanal mit einem Innendurchmesser D ≤ 0.4m den Wert von 0.6 ms−1 nicht unterschreiten. Dieser Wert

48

Anhang A: Ergänzungen

wird folglich als untere Schranke verwendet. Als charakteristische Länge wird der hydraulische Radius RW,hy eingesetzt. In einem zu 50% gefüllten Kreisrohr mit D = 0.4 m beträgt RW,hy = 0.1 m. Die Reynolds-Zahl beträgt demnach Re = 60·103 mit ν = 10−6 m2 s−1 (Wasser bei 20°C). Die Wärmediffusivität von Wasser bei derselben Temperatur ist a = 0.14 · 10−6 m2 s−1 . Somit ist die Prandtl-Zahl Pr = 7 Die berechnete Reynolds- und Prandtl-Zahl werden nun in Gleichung A.5 eingesetzt, man erhält Pe = 4.2·105 . Daher ist es gerechtfertigt, die Wärmelängsleitung zu vernachlässigen. Um die Péclet-Zahl für Luft abzuschätzen, wird die Schlussfolgerung von Edwini-Bonsu und Steffler (2004) herbeigezogen. Sie besagt, dass die Strömungsgeschwindigkeit der Luft rund die Hälfte derer des Wassers in der Mitte der Wasserspiegeloberfläche beträgt. In oben definiertem Kanalrohr und unter Verwendung der Wärmediffusivität a = 21.47 · 10−6 m2 s−1 von Luft bei 20°C ergibt sich Pe = 1396. Wiederum ist Pe 1 und die Annahme demzufolge auch für die Luftströmung zulässig.

A.2. Erwärmung des Abwassers durch biologische Prozesse Ein Teil des im Abwasser enthaltenen Substrats – vorwiegend die schnellabbaubaren organischen Stoffe – wird bereits während der Fliesszeit durch Bakterien abgebaut. Die biochemischen Prozesse, die für diesen Abbau verantwortlich sind, setzen Reaktionswärme frei, die das Abwasser erwärmt. Die Erwärmung des Abwassers lässt sich abschätzen, falls die Abbaurate des Substrates bekannt ist. Nachfolgend wird das Substrat durch den Summenparameter CSB (chemischer Sauerstoffbedarf, siehe z.B. Gujer, 2002) quantifiziert. Huisman et al. (2004) fanden heraus, dass der totale CSB-Abbau in einem untersuchten Kanalabschnitt von knapp zwei Kilometern Länge in Rümlang (Schweiz) rund 3% des gelösten CSB oder 2.3 kg CSB/d beträgt. Hochgerechnet auf das gesamte Kanalisationssystem schätzen die Autoren den Gesamtabbau des gelösten CSB auf rund 30%. Flamink et al. (2005) bauten auf der Untersuchung von Huisman et al. (2004) auf und beurteilten, ob der CSB-Abbau in einem für die Niederlande repräsentativen Kanalisationssystem einen Beitrag zu den Schwankungen im Zulauf der Kläranlage leistet. Die Autoren fanden, dass die maximale aerobe CSB-Umwandlung in ihrem System mit 18 bis 25g CSB/m3 keinen relevanten Beitrag zu den Schwankungen im Zulauf leisten. Werden die mittleren Abbauraten mit den Werten aus den zwei genannten Publikationen abgeschätzt, erhält man Werte für rCSB von 0.6 bzw. 2.8 mg CSB m−3 s−1 . Diese zwei Schätzungen sollen den Bereich illustrieren, in dem realistische Werte der Abbauraten von CSB in der Kanalisation liegen können.

A.3. Dimensionslose Kennzahlen

49

A.3. Dimensionslose Kennzahlen A.3.1. Froude-Zahl u gh

Fr = √

(A.6)

Die Froude-Zahl ist ein Mass für das Verhältnis von Trägheitskräften zu Schwerekräften.

A.3.2. Lewis-Zahl

Le =

a DAB

(A.7)

Mit der Lewis-Zahl wird das Verhältnis zwischen thermischer und stofflicher Diffusion (a bzw. DAB ) beschrieben.

A.3.3. Mach-Zahl

Ma =

u c

(A.8)

Die Mach-Zahl setzt die Strömungsgeschwindigkeit u mit der Schallgeschwindigkeit c ins Verhältnis.

A.3.4. Nusselt-Zahl

Nu =

αL λ

(A.9)

Die Nusselt-Zahl ist als dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient definiert. Sie bezieht den Wärmestrom infolge Konvektion auf den Wärmestrom infolge Leitung durch die laminare Grenzschicht.

A.3.5. Péclet-Zahl

Pe =

uL uL ν = = Re Pr a ν a

(A.10)

Die Péclet-Zahl gibt das Verhältnis des konvektiven Wärmetransportes zum Wärmestrom infolge Wärmeleitung an.

50

Anhang A: Ergänzungen

A.3.6. Prandtl-Zahl

Pr =

ν a

(A.11)

Die Prandtl-Zahl stellt den Impuls- mit dem Wärmetransport ins Verhältnis. Sie enthält nur Stoffgrössen.

A.3.7. Reynolds-Zahl

Re =

uL ν

Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis von Trägheitskraft zur Reibungskraft dar.

(A.12)

A.4. Herleitung der Bilanzgleichungen

51

A.4. Herleitung der Bilanzgleichungen In diesem Abschnitt wird die mathematische Herleitung der Erhaltungsgleichungen des analytischen Modells aufgezeigt.

A.4.1. Allgemeine intensive Grösse ψ Abbildung A.4 zeigt ein Kontrollvolumen, über das nachfolgend bilanziert wird. Es wird von einer allgemeinen spezifischen Zustandsgrösse ψ ausgegangen. Das System ist eindimensional, die Vektoren der Hauptflüsse im System liegen parallel zur x-Achse. Durch transversale Austauschprozesse sind auch seitliche Zu- oder Wegflüsse möglich. Als Konvention wird festgelegt, dass Flüsse ins Kontrollvolumen ein positives und Flüsse aus dem Kontrollvolumen ein negatives Vorzeichen haben.

Transversaler Zufluss ιt (über Breite l t ):

Summe aller Quellen und Senken: ∑r

Zufluss: I x

Wegfluss: I x+Δ x

Fläche: A Länge Kontrollvolumen: Δx

Abbildung A.4.: Darstellung des Kontrollvolumens.

Die zeitliche Änderung von ψ im Kontrollvolumen ist gleich der Summe aller Zuflüsse minus der Summe aller Abflüsse plus der Summe aller Quellen- und Senkenterme:

∂ (A Δx ψ ) = Ix − Ix+Δx + lt Δx ιt + A Δx ∂t

∑r

(A.13)

Mit Ix+Δx = Ix + ΔIx und nach Division durch Δx folgt:

∂ (A ψ ) Ix − Ix − ΔIx = + lt ιt + A ∂t Δx ΔIx + lt ιt + A ∑ r =− Δx

∑r

(A.14) (A.15)

Mit limΔx→0 wird:

∂ (A ψ ) ∂ Ix =− + lt ιt + A ∂t ∂x

∑r

(A.16)

Den Variablen sind dabei folgende Dimensionen zugeordnet: Eigenschaft L3 Eigenschaft [Ix ] = T

[ψ ] =

Eigenschaft L2 T Eigenschaft [r] = L3 T

[ιt ] =

A.4.2. Massenbilanz im Kompartiment «Abwasser» Die spezifische Grösse der Masse ist die Dichte, also Masse pro Volumen. Somit wird für die allgemeine Zustandsgrösse ψ die Dichte verwendet: ψ = ρW [ LM3 ]. Der Massenfluss in

52

Anhang A: Ergänzungen

x-Richtung ist Ix = ρW QW [ M T ]. Für den transversale Massefluss gilt ιt = jt , jt mit der Dimension [ L2MT ]. Weder Quellen- noch Senken sind vorhanden, deshalb ist ∑ r = 0. Ferner wird angenommen, dass die Dichte ρW konstant ist. Nach Einsetzen der genannten Ausdrücke in Gleichung A.16 erhält man:

ρW

∂ AW ∂ QW = −ρW + lt jt ∂t ∂x

(A.17)

Um aus Gleichung A.17 die Massenbilanz des Wassers (Gleichung 3.1) des analytischen Modells zu erhalten, sind folgende Anpassungen notwendig: Als transversalen Austauschprozess wurde einzig die Verdunstung von Wasser identifiziert, sie wird mit jvP bezeichnet. Der Flussvektor der Verdunstung zeigt aus dem Kontrollvolumen und besitzt deshalb ein negatives Vorzeichen, es gilt jt = − jvP . Der Austauschprozess findet über die Wasserspiegelbreite P statt, es gilt also lt = P. Somit erhält man Gleichung 3.1 auf Seite 9:

ρW

∂ AW ∂ QW = −ρW − P jvP ∂t ∂x

(3.1)

Die Massenbilanzen für die Kanalluft und für den Wasserdampf (3.2 und 3.3) lassen sich auf gleiche Art und Weise herleiten.

A.4.3. Wärmebilanz im Kompartiment «Abwasser» Wird über die Wärme im Kompartiment «Abwasser» bilanziert, betragen die allgemeinen Grössen ψ , Ix , ιt und ∑ r:

ψ = c p,W ρW TW Ix = c p,W ρW QW TW ιt = q˙t ∑ r = q˙ω Obige Variablen eingesetzt in Gleichung A.16 und unter der Annahme, dass c p,W und ρW konstant sind, ergibt: c p,W ρW

∂ (AW TW ) ∂ (QW TW ) = −c p,W ρW + lt q˙t + AW q˙ω ∂t ∂x

(A.18)

Der transversale Wärmefluss q˙t setzt sich zusammen aus einem Wärmezufluss aus dem Erdreich über die Rohrwand q˙RW , der am benetzten Umfang UW wirkt, einem Wärmeverlust durch Wärmeübergang q˙vP an das Kompartiment «Luft» am Wasserspiegel über die Breite P und einem Wärmeverlust durch Verdunstung q˙vP , wiederum am Wassserspiegel. Wird der Term lt · q˙t ersetzt und wird die Gleichung durch c p,W · ρW dividiert, erhält man die Gleichung 3.5 des analytischen Modells:   1 ∂ (AW TW ) ∂ (QW TW ) =− + q˙RW UW − q˙W L P − q˙vP P + q˙ω  AW ∂t ∂x c p,W ρW

(3.5)

Analog erfolgt die Herleitung der Wärmebilanzen für die Kanalluft und für den Wasserdampf in der Kanalluft (3.7 und 3.8).

A.5. Stationäre und instationäre Konduktion

53

A.5. Stationäre und instationäre Konduktion In Kapitel 3.1.4 wurde erwähnt, dass die in Tabelle 3.1 angegebenen Austauschprozesse q˙RW und q˙Rδ nur gelten, wenn sich das System im Gleichgewicht befindet. In diesem Abschnitt wird diese Tatsache erläutert und anhand eines Beispieles gezeigt, wie diese Prozesse angesetzt werden können, falls kein Gleichgewicht vorherrscht. Ausgegangen für die Erläuterungen wird von einem halbunendlichen Körper, bestehend aus sandigem Boden mit 40% Porenvolumen und 20% Wassersättigung (spez. Wärmekapazität c = 1180 J kg−1 K−1 , Dichte ρ = 1800 kg m−3 , Wärmeleitfähigkeit λ = 1.8 W m−1 K−1 und Wärmediffusivität a = 0.85 · 10−6 m2 s−1 ; Daten aus Unsworth und Monteith, 1990). Die Temperatur an der Oberfläche des Bodens (x = 0) wird mit TA und die unbeeinflusste Bodentemperatur im unendlichen (x = ∞) mit TB,∞ bezeichnet. Es wird definiert, dass der Wärmefluss in den Boden ein positives Vorzeichen besitzt. Die allgemeine Formel, welche die eindimensionale Wärmediffusion im Boden in kartesischen Koordinaten beschreibt, ist:

∂ T (x,t) ∂ 2 T (x,t) =a ∂t ∂ x2

(A.19)

A.5.1. Stationäre Berechnung Um den Wärmefluss durch den Körper für ein System im Gleichgewicht zu berechnen, wird das 1. Fourier’sche Gesetz angewendet: q˙ = −λ

dT (x) dx

(A.20)

Diese Gleichung wird nun unter Verwendung von Annahme 10 (Tabelle 2.1, Seite 7) diskretisiert. Annahme 10, die die von TA beeinflusste Schichtdicke des Bodens auf δB beschränkt, ist notwendig, da die Integrationsgrenzen zur Lösung von Gleichung A.20 endlich bleiben müssen. Man erhält: TA − TB,∞ (A.21) q˙ = λ δB Ausserhalb dieser Schicht gilt T (x > δB ) = TB,∞ . Innerhalb der Schicht ist das Temperaturprofil linear und hat eine Steigung von (TB,∞ − TA )/δB .

A.5.2. Instationäre Berechnung Da die Temperatur bei der instationären Berechnung eine Funktion von Ort und Zeit ist, ist das Temperaturprofil innerhalb der Grenzen x = [0, δB ] nicht mehr linear. Eine Änderung der Temperatur an der Bodenoberfläche benötigt eine gewisse Zeit, um sich zu propagieren. Für einen Temperatursprung der Grösse ΔT an der Oberfläche, kann Gleichung A.19 analytisch unter Verwendung der komplementären Error-Function erfc gelöst werden:   x + TB,∞ (A.22) T (x,t) = ΔT erfc √ 2 at

54

Anhang A: Ergänzungen

Diese Lösung lässt sich aber nur beschränkt in der Realtiät anwenden, da sich die Temperatur an der Oberfläche ständig ändert und somit ganz viele einzelne Temperatursprünge auftreten würden. Grundsätzlich wäre es möglich, durch Superposition von Gleichung A.22 in der Zeit zu einer Lösung zu gelangen. Es erwies sich aber als ungünstig, da die einzelnen Glieder erst nach langer Zeit fallen gelassen werden können und deshalb viel Rechenzeit aufgewendet wird. Eine weiterer Weg, das Problem des instationären Wärmetransports zu fassen, ist, die Wärmetransportgleichung A.19 zu diskretisieren und numerisch zu lösen. Um den Ressourcenverbrauch und den Speicherbedarf klein zu halten, wird wiederum davon ausgegangen, dass die Temperaturänderungen im Boden auf die Schichtdicke δB beschränkt bleiben. Diese Schicht kann je nach gewünschter Genauigkeit und vorhandenen Ressourcen in eine beliebige Anzahl Unterschichten aufgeteilt werden. Wird Gleichung A.19 diskretisiert, erhält man nach Baehr und Stephan (2006) zur expliziten Lösung j j + (1 − 2M)Ti j + MTi+1 Ti j+1 = MTi−1

M=a

mit

Δt Δx2

(A.23)

wobei i die Unterschicht und j die Zeitebene bezeichnet. Das numerische Verfahren A.23 ist stabil, falls M ≤ 12 . In Abbildung A.5 wird die analytische Lösung des Problems mit Gleichung A.22 verglichen mit der numerischen Lösung mit unterschiedlicher Anzahl Unterschichten (Anfangszustand: 8°C, dann Temperatursprung um 2°C bei x = 0). Zusätzlich eingezeichnet ist der Wärmefluss im Gleichgewicht (Gleichung A.21) für verschiedene δB . Analytisch

Δt = 0.5h

0

0.5 Distanz [m]

8

1

0

0.5 Distanz [m]

Wärmefluss [W/m2 ]

50

0

0

2

4

100

50

0

6

0

2

2 1

2

4 Zeit [h]

6

10

10

1

2

4 Zeit [h]

9 8.5

0

0.5 Distanz [m]

50

6

10

10

1

150

0

2

4

100 δB = 50

0

6

0

2

Zeit [h]

2

0

9.5

8

1

100

0

6

2

2

0

4

Wärmefluss [W/m ]

10

0.5 Distanz [m]

Zeit [h] Wärmefluss [W/m ]

2

Wärmefluss [W/m ]

Zeit [h] 10

0

150

2

2

100

8.5 8

1

150 Wärmefluss [W/m ]

150 Wärmefluss [W/m ]

8.5

9

2

1

0

2

4 Zeit [h]

4

0.1 m 0.5 m 1m 2m 6

Zeit [h]

2

8.5

9

9.5

Wärmefluss [W/m ]

9

9.5

Temperatur [°C]

t = 0h t = 5h

10

Wärmefluss [W/m2 ]

9.5

Numerisch: 100 Schichten

10 Temperatur [°C]

10 Temperatur [°C]

Temperatur [°C]

10

8

Numerisch: 10 Schichten

Numerisch: 5 Schichten

6

10

2

δB = 0.1 m 10

1

0.5 m

0

2

4

1m 2m 6

Zeit [h]

Abbildung A.5.: Analytisch und numerisch berechnete Profile mit δB = 1m (1. Zeile) und zeitliche Änderung (2. u. 3. Zeile) des Wärmeflusses in den Boden bzw. an der Bodenoberfläche. Zusätzlich gestrichelt eingezeichnet ist der Wärmefluss der stationären Lösung für verschiedene Schichtdicken.

A.6. Kanalgeometrie

55

A.6. Kanalgeometrie In die Austauschprozesse der Wärme- und Stofftransportgleichungen gehen geometrische Grössen des Kanalprofils ein. Abbildung A.6 illustriert einen kreisförmigen Kanalquerschnitt und kennzeichnet die unterschiedlichen Längen und Flächen, deren Berechnung weiter unten erläutert wird.

UL

P/2

D AL s γ/2

AW

y UW

Abbildung A.6.: Querschnitt eines Kreisprofiles.

A.6.1. Geometrische Zusammenhänge Ausgehend vom Innendurchmesser D und von γ , dem Winkel gemessen im Zentrum des Kreisrohrs, der in einem leeren Rohr 0° und bei Vollfüllung 360° beträgt, können die restlichen Grössen der Geometrie bestimmt werden. In den folgenden Formeln muss γ in rad (Radiant) eingesetzt werden. Die Wasserspiegelhöhe y, gemessen am tiefsten Punkt des Rohres erhält man aus: γ D

1 − cos (A.24) y= 2 2 Die vom Wasser benetzte Querschnittsfläche AW ist: AW =

D2 (γ − sin γ ) 8

(A.25)

Der von der Kanalluft benetzte Querschnitt berechnet sich aus der Differenz der gesamten Kreisfläche und AW nach: AL =

D2 π − AW 4

(A.26)

56

Anhang A: Ergänzungen

Für die benetzten Umfänge UW und UL gelten:

γ γ resp. UL = D π − UW = D 2 2

(A.27)

Die Wasserspiegelbreite P beträgt: P = D sin

γ 2

(A.28)

Die hydraulischen Radien in den Kompartimenten «Abwasser» und «Kanalluft» lassen sich nun wie folgt berechnen: RW,hy =

AW UW

resp.

RL,hy =

AL UL

(A.29)

A.6.2. Iterative Berechnung von γ Ausgehend von Gleichung 3.27, der Normalabflussformal nach Strickler, können bei gegebenem Abfluss QW , Sohlgefälle S0 und Reibungskoeffizient kst die Grössen der Geometrie berechnet werden. Leider lässt sich genannte Gleichung nicht geschlossen nach einem Querschnitt oder einem benetzen Umfang umformen, da Angaben zur Geometrie sowohl in der Fläche AW mit Exponent 1 als auch im hydraulischen Radius RW,hy mit Exponent 2/3 enthalten sind. Deshalb ist eine iterative Berechnung notwendig. Zur iterativen Berechnung des Winkels γ wird das Newton-Raphson-Verfahren (vgl. Oelschlägel und Matthäus, 1991 und Smith, 2004) verwendet, das eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit besitzt. Der Wert von γ kann gemäss Smith (2004) aus der iterativen Lösung von f (γ ) = γ − sin γ −C

(A.30)

gefunden werden. Diese Gleichung drückt das Verhältnis zwischen dem Abfluss QW und dem Abfluss QW,voll bei Vollfüllung aus. Dabei ist  C=

2π QW QW,voll

3/5

γ 2/5

(A.31)

Gleichung A.30 wird durch das Newton-Raphson-Verfahren gelöst, d.h.:

γn+1 = γn − Δγn = γn −

f (γn ) f  (γn )

(A.32)

mit f  (γ ) = 1 − cos γ −

2C 5γ

(A.33)

Gleichung A.32 wird so lange iteriert, bis |Δγ | = |γn+1 − γn | einen definierten Toleranzwert unterschreitet.

A.7. Sensitivitätsanalyse

57

A.7. Sensitivitätsanalyse Tabelle A.2 enthält die numerischen Werte der Sensitivitätsanalyse zu Szenario 2 (Abbildung 5.11, Seite 32). Tabelle A.2.: Numerische Werte der Sensitivitätsanalyse. Eine Variable wurde jeweils um ihren Ausgangswert variiert. Dabei wurde jeweils die relative Änderung der Abwassertemperatur am Ende des Stranges berechnet.

Wert:

∗ QW

TA

TW∗

ϕ

pges

L

kst

0.01 m3 /s

12.6 °C

12.6 °C

0.9

980 mbar

500 m

65 m 3 s−1 1

Variation: (die relativen Änderungen sind in % angegeben) + 1%

0.0081

0.0001

0.9789

0.0004

0

-0.0110

0.0013

- 1%

-0.0082

-0.0001

-0.9789

-0.0005

0

0.0109

-0.0014

+ 10%

0.0746

0.0097

9.7853

0.0042

0.0003

-0.1094

0.0126

- 10%

-0.0886

-0.0094

-9.7917

-0.0051

-0.0001

0.1096

-0.0148

D

S0

s

δB

0.5 m

0.003

0.1 m

1m

Wert:

λR 1

W mK

λB 1

W mK

TB,in f 8 °C

Variation: (die relativen Änderungen sind in % angegeben) +1

0.0014

0.0006

0.0028

0.0008

-0.0034

-0.0060%

0.0190

-1

-0.0015

-0.0007

-0.0029

-0.0009

0.0034

-0.0060

-0.0191

+ 10

0.0135

0.0060

0.0278

0.0082

-0.0321

-0.0573

0.1928

- 10

-0.0155

-0.0069

-0.0303

0.010

0.0364

0.0622

-0.1898

58

Anhang A: Ergänzungen

A.8. Luftfeuchtigkeit und Beladung Der Anwender des Computerprogrammes gibt den Wassergehalt der Luft als relative Luftfeuchtigkeit ϕ an und erhält den Verlauf der relativen Luftfeuchtigkeit als Resultat. Intern bilanziert das Programm aber die Beladung X [kgWasserdampf kg−1 trockene Luft ] der Luft mit Wasser. Es ist deshalb notwendig, Routinen zur Verfügung zu stellen, die zwischen X und ϕ umrechnen können. Zu beachten gilt, dass es sich bei der Beladung X um eine absolute Grösse handelt, bei der relativen Luftfeuchtigkeit ϕ aber um eine – wie der Name schon sagt – relative, die das Verhältnis vom momentanen Wasserdampfgehalt in der Luft zum maximal möglichen Wasserdampfgehalt bezeichnet. Erstere ist temperaturunabhängig, letztere aber ist aufgrund der Temperaturabhängigkeit des maximal möglichen Wasserdampfgehalts auch temperaturabhängig. Nachfolgend werden die drei vom Programm zur Umrechnung verwendeten Beziehungen angegeben. Der Sättigungspartialdruck von Wasserdampf bei einer bestimmten Temperatur T (anzugeben in der Einheit Kelvin) lässt sich approximieren durch: psat (T ) = ps0 e

Ts0 T

(A.34)

Dabei beträgt ps0 = 1.73 · 109 mbar und Ts0 = −5311 K (Bischofsberger und Seyfried, 1984). Um die relative Luftfeuchtigkeit aus der Beladung X und der Temperatur T zu berechnen, kann nachstehende Beziehung verwendet werden:

ϕ (X, T ) =

pges X 0.622 + X psat (T )

(A.35)

Dabei bezeichnet pges den Luftdruck im System und muss in mbar angegeben werden. Die Beladung bestimmt man als Funktion der Temperatur und der relativen Luftfeuchtigkeit aus: X(T, ϕ ) = 0.622

ϕ psat (T ) pges − ϕ psat (T )

(A.36)

Zur Berechnung der maximalen Beladung kann ebenfalls Gleichung A.36 verwendet werden, wobei ϕ = 1 gesetzt wird.

A.9. Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung

59

A.9. Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung Das Runge-Kutta Verfahren ist ein Einschrittverfahren1 zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Anfangswertprobleme bezeichnet diejenige Gruppe von Problemen, bei der anhand einer Differentialgleichung y = f (y) und vorgegebenen Anfangsdaten y0 = y(x0 ) an einem Ort x0 Funktionswerte y(x) für beliebige x berechnet werden sollen. Gleichungen 3.1 bis 3.5 und 3.8 (siehe Seite 9ff.) stellen ein Anfangswertproblem: Gegeben sind die Funktionen und die Funktionswerte am linken Rand des Rohres, gesucht werden die Funktionswerte für beliebige Stellen im Rohr, insbesondere aber der Wert am Ende des Rohrs. Die Gleichungen sind gekoppelt, d.h. die Unbekannte einer Funktion kann auch in einer anderen Funktion vorkommen. Man spricht von einem Differentialgleichungssystem. Aus Gründen der Konsistenz und der hohen Konvergenz wird zur Lösung des gegebenen Anfangswertproblemes das Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung2 verwendet. Dieses Verfahren berechnet für jeden Ortsschritt vier Stützstellen k1..4 , die anschliessend mit unterschiedlicher Gewichtung in die Berechnung von yx+Δx an Stelle x + Δx aus yx an Stelle x eingehen. Die Herleitung des Verfahrens kann in Wenzel und Meinhold (1994) nachgelesen werden. Nachfolgend werden die Gleichungen dargelegt, die zur Lösung des Anfangswertproblems in das Computerprogramm implementiert wurden. Von einem Differentialgleichungssystem mit n Gleichungen ist der Vektor yx mit den Lösungen an der Stelle x gegeben, gesucht werden die unbekannten Lösungen an der Stelle x + Δx, also yx+Δx . Die Funktionen des Gleichungssystems werden ebenfalls als Vektor zusammengefasst: ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ y1,x f1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ y2,x ⎟ ⎜ f2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ und den Werten an Stelle x: yx = ⎜ . ⎟ F=⎜ . ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ fn yn,x Die Stützstellen k1..4 sind k1 = Δx Fx (yx )   k1 k2 = Δx Fx yx + 2   k2 k3 = Δx Fx yx + 2 k4 = Δx Fx (yx + k3 )

(A.37) (A.38) (A.39) (A.40)

und der neue Wert yx+Δx wird dann yx+Δx = yx + 1 Zur

k1 k2 k3 k4 + + + 6 3 3 6

(A.41)

Berechnung der Näherung an die Lösung zum nächsten Ortspunkt werden ausschliesslich Daten des aktuellen Ortspunkts benutzt. 2 Der Fehlerterm hat den Wert O(Δx4 ), Δx bezeichnet die Schrittweite der Diskretisierung

60

Anhang A: Ergänzungen

Ausgehend von den Anfangswerten y0 können die Werte von y fortlaufend in einem Intervall von Δx berechnet werden. Die Gütediskussion gestaltet sich schwierig, da Fehlerabschätzungen der hergestellten Näherungen sehr aufwendig sind (Wenzel und Meinhold, 1994). Ein pragmatischer Weg, den Fehler abzuschätzen, ist, die «grobe» Rechnung nochmals mit halber Schrittweite durchzuführen («feine» Rechnung). Unterscheidet sich die «grobe» Rechnung nicht oder nur geringfügig von der «feinen», dann kann von einem genauen Resultat ausgegangen werden.

A.10. Zwei-Schritt Lax-Wendroff Verfahren

61

A.10. Zwei-Schritt Lax-Wendroff Verfahren Das 2-Schritt Lax-Wendroff Verfahren ist auch unter dem Namen Richtmyer-Verfahren bekannt und kann verwendet werden, um partielle Differentialgleichungen oder -gleichungssysteme zu lösen. Es nutzt die Methode der finiten Volumen, ist ein explizites Schema und ist zweiter Ordnung in Raum und Zeit (O(Δx2 , Δt 2 )). Es verhindert grosse numerische Dispersion, hat keine Amplitudendissipation und keine Instabilität infolge «mesh drifting»3 . Ein allgemeines Anfangswertproblem in einer Dimension kann in einer flusskonservativen Form geschrieben werden als F(u) ∂u =− ∂t ∂x

(A.42)

wobei u und F Vektoren sind. F kann nicht nur von u, sondern auch von räumlichen Ableitungen von u abhängen. Das Zwei-Schritt Lax-Wendroff-Verfahren definiert Zwischenwerte ui+1/2 zu den halben Zeitschritten t j+1/2 . Diese werden nach dem Lax-Schema berechnet: j+1/2

ui+1/2 =

 Δt

 1 j j ui+1 + uij − Fi+1 − Fi j 2 2Δx

(A.43) j+1/2

Mit diesen Variablen können dann die Flüsse Fi+1/2 berechnet werden. Die gesuchten Werte uij+1 erhält man anschliessend aus: uij+1 = uij −

 Δt j+1/2 j+1/2 Fi+1/2 − Fi−1/2 Δx

(A.44)

j+1/2

Die provisorischen Zwischenwerte ui+1/2 können nun verworfen werden. Damit das Schema stabil bleibt, muss das Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Kriterium eingehalten werden. Detailliertere Betrachtungen zur Stabilität können in Press (2005) nachgelesen werden. Zur Demonstration dieses Verfahrens wird an dieser Stelle ein Problem der Wärmeleitung in Matlab gelöst. Zwei Fluide A und B strömen geschichtet bei gleichförmiger Strömung in einem Rohr. Fluid A hat die Geschwindigkeit uA und die Temperatur TA , Fluid B die Geschwindigkeit uB und die Temperatur TB . Jedes der zwei Fluide beanspruchen exakt die Hälfe der Querschnittsfläche. Zwischen den Fluiden findet konvektiver Wärmeübergang (Koeffizient α ) statt.

∂ TA ∂ TA = −uA − ηA(TA − TB) ∂t ∂x ∂ TB ∂ TB = −uB − ηB(TA − TB) ∂t ∂x

(A.45) (A.46)

3 «Mesh

drifting» kann beispielsweise in einem versetzten Leapfrog-Schema bei sehr grossen Gradienten auftreten. Die Ursache liegt darin, dass in derartigen Schemen benachbarte Zellen mit ihren für die Berechnung benötigten Partnerzellen im Zeit-Ort-Diagramm vollständig entkoppelt sind. Beim Leapfrog-Schema j+1 j j j−1 (i bezeichnet den Ort, j die Zeit) die Punkte ui−1 , ui+1 und ui und zur sind zur Berechnung von ui j+1

j

j

j−1

j+1

Berechnung von ui+1 die Punkte ui , ui+2 und ui+1 notwendig. ui

j+1

und ui+1 sind vollständig entkoppelt.

62

Anhang A: Ergänzungen

Die Variable η ist dabei eine Subsitution für ηA = α /(ρA cA AA ) für Fluid A bzw. ηB = α /(ρB cB AB ) für Fluid B. In Abbildung A.7 ist die Lösung des partiellen Differenzialgleichungssystem mit den Glei2 chungen A.45 und A.46 aufgezeigt. Als Anfangsbedingung gilt TA (x) = e−x und TB (x) = 0 im Gebiet x = [−2m, 2m]. Die Randbedingungen sind periodisch. Die numerischen Werte der Parameter betragen: uA = 0.2m/s, uB = 0.1m/s, ηA = 0.04s−1 und ηA = 0.08s−1 . Es wurde über eine Zeit von ca. 50 Sekunden integriert. Das gelöste Gleichungssystem ist vom gleichen Typ wie die Gleichungen des analytischen Modells. Das vorgestellte Verfahren kann somit zur instationären Lösung des Wärmetransportproblems verwendet werden. 2

2

2

1

1

1

0 −2

0 t=0

2

0 −2

0 t = 3.6s

2

0 −2

2

2

2

1

1

1

0 −2

0 t = 10.8s

2

0 −2

0 t = 14.4s

2

0 −2

2

2

2

1

1

1

0 −2

0 t = 21.6s

2

0 −2

0 t = 25.2s

2

0 −2

2

2

2

1

1

1

0 −2

0 t = 32.4s

2

0 −2

0 t = 36s

2

0 −2

2

2

2

1

1

1

0 −2

0 t = 43.2s

2

0 −2

0 t = 46.8s

2

0 −2

0 t = 7.2s

2

0 t = 18s

2

0 t = 28.8s

2

0 t = 39.6s

2

0 t = 50.4s

2

Abbildung A.7.: Lösung des Differentialgleichungssystems. Das Gebiet [-2m,2m] ist als Abszisse aufgetragen, die Temperatur mit der Einheit [°C] als Ordinate. Die Temperaturen TA (—) und TB (- - -) sind für verschiedene Zeiten eingezeichnet. Die Strömung zeigt in positive Abszissen-Richtung. Durch die periodische Randbedingung treten die Werte, welche das Gebiet rechts verlassen, links wieder ein.

A.11. Makrosicherheit

63

A.11. Makrosicherheit Da das in dieser Arbeit präsentierte Excel-Programm Makros verwendet, könnte während dem Öffnen der Excel-Arbeitsmappe ein Hinweis erscheinen, dass die Makros aus Sicherheitsgründen deaktiviert wurden. Dann ist es notwendig, mindestens die «Mittlere Sicherheitsstufe» für die Makrosicherheit einzustellen. Von einer niedrigeren Stufe ist unbedingt abzuraten, da sie Makroviren ungehinderten Zugang verschafft. Die Sicherheitsstufe kann angepasst werden, wenn unter «Extras» – «Makro» der Menupunkt «Sicherheit...» angewählt wird (vgl. Abbildung A.8 ➊). Anschliessend kann in der Registrierkarte «Sicherheitsstufe» die Sicherheit auf «Mittel» gesetzt werden (vgl. Abb. A.8 ➋). Mit dieser Sicherheitsstufe wird jeweils beim Öffnen nachgefragt, ob die Makros aktiviert werden sollen (vgl. Abb. A.8 ➌). Wurde die Sicherheitsstufe angepasst, muss die Arbeitsmappe ggf. geschlossen und wieder geöffnet werden.

➊

➋

➌

Abbildung A.8.: Bildschirmfotos zu den Erläuterungen, wie die Makrosicherheit angepasst werden kann (hier am Beispiel von Microsoft Excel 2003).

64

Anhang A: Ergänzungen

A.12. Status der Arbeit Eine Software, die dem Benutzer erlaubt, instationäre – das heisst zeitabhängige – Simulationen des Temperaturverlaufs im Kanalnetz in kurzer Zeit und mit vertretbarem Rechenaufwand durchzuführen, wäre eine grosse Hilfe, um die Veränderung der Abwassertemperatur während der Fliesszeit in der Kanalisation zu quantifizieren. Lastszenarien, dazu zählen beispielsweise Regenfälle und die Schneeschmelze an einem warmen und sonnigen Frühlingstag, könnten simuliert und deren Dämpfung im Kanalisationsnetz untersucht werden. Aus Sicht des Kläranlagenbetreibers einerseits würde dies helfen, Randbedingungen festzulegen, die Betreiber von Wärmerückgewinnungsanlagen einzuhalten haben. Den Betreibern würde dies andererseits helfen, ihre Anlage zu optimieren. Da für die Diplomarbeit nur eine beschränkte Zeit zur Verfügung stand, wurde die Programmierung einer stationären Anwendung, die intern ein System ordinärer Differentialgleichungen löst, in der Aufgabenstellung als Ziel definiert. Während der Arbeit wurde das Fernziel, instationäre Simulationen zu ermöglichen, aber stets im Auge behalten, und deshalb versucht, die Gleichungen und Austauschprozesse instationär zu formulieren und den Matlab-Prototypen sowie die Excel-Applikation so zu programmieren, dass die Befähigung zu einer instationären Simulation keine totale Reimplementierung bedingt. Abbildung A.9 stellt die verschiedenen Ebenen dar, auf die das Programm gehoben werden kann. Für jede dieser Ebenen sind die notwendigen Arbeitsschritte aufgeführt und für jeden dieser Schritte ist der am Ende der Diplomarbeit erreichte Status festgehalten. Es ist ersichtlich, dass sowohl das konzeptionelle wie auch das analytische Modell vollständig ausgeführt wurden. Ein geeigneter numerischer Algorithmus zur Lösung der instationären Probleme wurde programmiert, nämlich die Lösungen eines partiellen Differenzialgleichungssystems nach Richtmyers Zwei-Schritt Lax-Wendroff Schema (siehe Anhang A.10). Zusätzlich liegt dem Autor der Fortran-Quellcode des von Leon et al. (2006) vorgestellten Godunov-Schemas zur Lösung des vollständigen Gleichungssystems von de Saint-Venant (Gleichungen 3.1 und 3.4) vor. Die Implementierung eines Prototyps in Matlab zur instationären Lösung wurde bereits vorbereitet.

n Stränge

1 Strang

n Stränge

1 Strang

n Stränge

1 Strang

Konzept. Modell

Analyt. Modell

Num. Algorithmen

Prototyp Matlab

Applikation Excel

Sensitivitätsanalyse

Ausgeführt Konzept erarbeitet Aufgabenstellung

ReferenzLösungen

Abbildung A.9.: Schematische Darstellung der verschiedenen Stufen, die das in dieser Diplomarbeit erstellte Modell und der darauf basierten, im Microsoft Excel implementierten Anwendung erreichen kann. Jede Stufe wird zudem aufgegliedert in die Hauptarbeitsschritte und den erreichten Status am Ende dieser Diplomarbeit. Die farbig hinterlegten Arbeitsschritte schrieb die Aufgabenstellung vor.

Temperatur instationär:

Hydraulik instationär

Temperatur instationär:

Temperatur stationär:

Hydraulik stationär

Status der Arbeit

A.12. Status der Arbeit 65

66

Anhang A: Ergänzungen

B

Anhang: Stoff- und Materialwerte

Aus der Literatur zusammengetragene Werte der Wärmeleitfähigkeit für Böden und Baustoffe wie auch Reibungsbeiwerte für verschiedene Rohrtypen werden in den folgenden Abschnitten präsentiert. Sie können ohne Umrechnung für Berechnungen mit der Excel-Applikation verwendet werden.

67

68

Anhang B: Stoff- und Materialwerte

B.1. Reibungsbeiwerte kst Zur Beschreibung des Abwasserabflusses mit der Fliessformel von Strickler (vgl. Gleichung 3.27, Seite 15) werden Reibungsbeiwerte benötigt. Eine Auswahl für verschiedene Rohrmaterialien ist in Tabelle B.1 angegeben. Tabelle B.1.: Äquivalente Sandrauhigkeit ks und Reibungsbeiwerte kst nach Manning-Strickler für verschiedene Rohrmaterialien, Auswahl nach Hager (1994).

ks [mm]

kst [m1/3 s−1 ]

Asbest-Zementrohr

0.3 - 3

67 - 91

Backstein

1.5 - 6

58 - 77

0.3 - 3

67 - 91

Rohrmaterial

Zustand

Rohre

Gusseisenrohr

neu, zementiert

Beton, monolitisch

glatt

0.3 - 1.5

70 - 83

rauh

1.5 - 6

58 - 67

0.3 - 3

67 - 91

roh

30 - 60

38 - 45

Bodenanstrich

10 - 30

45 - 55

teer-beschichtet

0.3 - 3

67 - 90

3

70 - 90

0.3 - 3

70 - 90

Asphalt

–

60 - 77

Backstein

–

55 - 83

0.3 - 1

50 - 90

6

30 - 50

Betonrohr Wellblechrohr

Kunststoffrohr Gebranntes Tonrohr

glatt

Kanäle Beschichtet mit

Beton Steinwurf

B.2. Wärmeleitfähigkeiten λR verschiedener Rohrmaterialien

69

B.2. Wärmeleitfähigkeiten λR verschiedener Rohrmaterialien Eine Auswahl von Zahlenwerten für die Wärmeleitfähigkeit verschiedener Rohrmaterialien ist in Tabelle B.2 angegeben. Tabelle B.2.: Auswahl an Werten der Wärmeleitfähigkeit λR für verschiedene Rohrmaterialien.

Wärmeleitfähigkeit [ mWK ] Ziegela : Ziegelsteinmauerwerk als Aussenwand

0.64

dasselbe als Innenwand

0.52

Ziegelsteinb

0.38 - 0.52

Ziegelmauerwerka

0.52 - 0.64

Mauerwerk, wassergesättigtc

0.60

Zement, abgebundena

0.69

Betona : Stahlbeton

1.12

Kiesbeton

0.95

Schlackenbetonstein-Mauerwerk

0.52

Zellenbetonstein-Mauerwerk

0.34

Beton, wassergesättigtc a Aus

VDI (1963) Baehr und Stephan (2006) c Aus Bischofsberger und Seyfried (1984)

b Aus

1

70

Anhang B: Stoff- und Materialwerte

B.3. Wärmeleitfähigkeiten λB verschiedener Böden Tabelle B.3 führt Wärmeleitfähigkeiten für unterschiedliche Böden auf. Tabelle B.3.: Auswahl an Werten der Wärmeleitfähigkeit λB für verschiedene Bodentypen

Wassergehalt

Wärmeleitfähigkeit

[-]

[ mWK ]

Grobkiesiges Erdreicha

-

0.52

Kies (Schotter)b

-

0.37

Sandiger Bodenc

0.0

0.30

(40% Porenvolumen)

0.2

1.80

0.4

2.20

-

0.27

-

0.58

Ton- / Lehmbodenc

0.0

0.25

(40% Porenvolumen)

0.2

1.18

0.4

1.58

Tonbodena

-

1.28

Torfbodenc

0.0

0.06

(80% Porenvolumen)

0.4

0.29

0.8

0.50

Humusd

-

0.25

Erdreiche

-

2.00

Sandboden, trockena Sandboden,

a Aus

feuchta

Baehr und Stephan (2006) VDI (1963) c Aus Unsworth und Monteith (1990) d Aus Scheffer et al. (2002) e Aus Bischofsberger und Seyfried (1984) b Aus

B.4. Bodentemperaturen

71

B.4. Bodentemperaturen Abbildung B.1 zeigt Jahresganglinien der Bodentemperaturen von Stadtgebiet und freiem Gelände in verschiedene Tiefen auf, gemessen von Balke und Kley (1981). Laut den Autoren sei der Jahresgang bis in Tiefen von 15 bis 20 Meter nachweisbar, der Tagesgang aber lediglich bis in Tiefen von 0.80 Meter. °C 14

Stadtgebiet

Tiefe 2 m

12 Freies Gelände

10 8 6 Jan °C 14

Feb

Mär

Apr

Mai

Jun

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Stadtgebiet

Tiefe 3 m

12 Freies Gelände

10 8 6 Jan

Feb

Mär

Apr

Mai

Jun

Jul

Aug

Sep

°C 14

Okt

Nov

Stadtgebiet

Tiefe 4 m

12 Freies Gelände

10 8 6 Jan

14

Feb

Mär

Apr

Mai

Jun

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Stadtgebiet

Tiefe 5 m

12 10

Freies Gelände

8 6 Jan

Feb

Mär

Apr

Mai

Jun

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Abbildung B.1.: Jahresgang der Bodentemperatur in Tiefen von 2, 3, 4 und 5 Metern, gemessen in Kölner Stadtgebiet («Stadtgebiet») und unter lockerem Baumbestand am Ortschaftsrand von Mengenich («Freies Gelände»). (Daten aus Balke und Kley, 1981)

72

Anhang B: Stoff- und Materialwerte

C

Anhang: Programmdokumentation

Dieses Kapitel erläutert den internen Aufbau der in «Visual Basic for Applications» (VBA) programmierten und in eine ExcelArbeitsmappe integrierten Applikation. Neben den Fehler- und Informationsmeldungen und den numerischen Werten zu den eingebauten Rohr- und Bodentypen wird auch der interne Aufbau des Programmes beschrieben: Jedes Excel Objekt, Formular, Modul und jede Klasse wird mit seinen Deklarationen, Subroutinen und Funktionen vorgestellt, wobei auch kurz auf die Aufgabe jedes dieser Bestandteile eingegangen wird.

73

74

Anhang C: Programmdokumentation

Inhaltsübersicht Anhang C Fehler- und Informationsmeldungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Eingebaute Rohr- und Bodentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Excel Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Sheet: Hauptblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Sheet: dataSheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Sheet: HydrData. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Sheet: Temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Sheet: HydrChartData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Sheet: HydrU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Sheet: ProfilesU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 ThisWorkbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Formulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 formLineInfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 formParameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 formStatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 CalcHydraulics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 CalcTempProfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Humidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 MainMacros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 NewtonRaphsonIterator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Store . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Timing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TypeCheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 WorkBookMacros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ODEClass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 RK4OdeSolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

C.1. Fehler- und Informationsmeldungen

75

C.1. Fehler- und Informationsmeldungen In der Excel-Applikation sind vier Informationsmeldungen, sechs Fragen und zehn Fehlermeldungen implementiert. Diese Meldungen werden benötigt, um den Benutzer über Handlungen des Programms zu informieren, bei kritischen Aktionen nachzufragen und um ihn auf Fehler hinzuweisen. In Tabelle C.1 sind die Meldungen zusammengestellt. Tabelle C.1.: Zusammenstellung der implementierten Fehler- und Informationsmeldungen mit Fehlercode und Kurzbeschrieb.

Fehlercode

Fehler (Kurzbeschrieb)

Informationsmeldungen (User Information): U01

Zuerst Daten erfassen.

U02

Zuerst Daten erfassen und Hydraulik berechnen.

U03

Temperaturprofile zuerst berechnen.

U04

Parameter der Numerik zurückgesetzt.

Fragen (Question): Q01

Strang geändert - Speichern?

Q02

Letzter Strang erreicht - neuen Strang anfügen?

Q03

Strang wirklich entfernen?

Q04

Daten bearbeitet - Hydraulik neu rechnen?

Q05

Hydraulik jetzt berechnen?

Q06

Änderungen speichern?

Fehlermeldungen (Error): E01

Strang kann nicht nach unten verschoben werden.

E02

Strang kann nicht nach oben verschoben werden.

E03

Nicht alle Datenfelder korrekt ausgefüllt.

E04

Iterationstoleranz ungültig.

E05

Format Schrittweite Numerik ungültig.

E06

Format Schrittweite Output ungültig.

E07

Schrittweite Output muss Vielfaches der Schrittweite Numerik sein.

E08

Eingabe nicht vom Typ «Zahl».

E09

Zu viele Datenpunkte.

E10

Rohr überfüllt.

76

Anhang C: Programmdokumentation

C.2. Eingebaute Rohr- und Bodentypen Werden die Daten der Stränge mit dem Strangerfassungs-Assistenten (siehe Abschnitt 5.2.3, Seite 26) bearbeitet, können die Parameter der Wärmeleitfähigkeit von Boden und Rohr (λB bzw. λR ) sowie der Reibungskoeffizient kst des Rohrs anhand Vorgaben in Listenmenus gsetzt werden. Die einzelnen Vorgabewerte sind in Tabelle C.2 aufgelistet. Bei den Werten handelt es sich um eine Auswahl aus den in Anhang B , ab Seite 67, angegebenen Stoff- und Materialwerte. Tabelle C.2.: Zusammenstellung aller im Programm über Listenmenus zugänglichen Rohr- und Bodentypen.

Wassergehalt

Wärmeleitfähigkeit

Reibungsbeiwert

[%]

[ mWK ]

[ ms ]

1/3

Rohrtypen Beton, monolithisch (glatt)

−

1.0

77

Beton, monolithisch (rauh)

−

1.0

62

Mauerwerk, wassergesättigt

−

0.6

68

Kies (Schotter)

−

0.37

−

Sandiger Boden

0

0.30

−

Sandiger Boden

20

1.80

−

Sandiger Boden

40

2.20

−

Ton- / Lehmboden

0

0.25

−

Ton- / Lehmboden

20

1.18

−

Ton- / Lehmboden

40

1.58

−

Bodentypen

C.3. Excel Objekte

77

C.3. Excel Objekte Sheet: Hauptblatt Das Hauptblatt ist die Hauptmaske (vgl. Abbildung 5.1, Seite 24), die beim Öffnen der Arbeitsmappe erscheint. Sie dient als Schaltzentrale.  Deklarationen auf Ebene Arbeitsblatt Dim ws As Worksheet

 Private Subroutinen Private Sub Worksheet_Activate()

Blendet beim Öffnen Symbolleisten, Formelleisten, Gitterlinien etc. aus.

 Öffentliche Subroutinen Public Sub updateStatus()

Prüft, welche Aktionen bereits durchgeführt wurden und setzt die Status-Symbole.

Sheet: dataSheet In dieser Maske werden die Daten zu den Strängen erfasst. Die meisten Funktionen, die mit diesem Blatt arbeiten, befinden sich in Modul WorkbookMacros.  Private Subroutinen Private Sub Worksheet_Activate()

Blendet beim Öffnen Symbolleisten, Formelleisten, Gitterlinien etc. aus. Private Sub Worksheet_Change(ByVal Target As Range)

Setzt hydraulicsCalculated und temperatureCalculated auf false.

Sheet: HydrData Auf diesem versteckten Tabellenblatt werden die berechneten hydraulischen Daten abgelegt.

78

Anhang C: Programmdokumentation

Sheet: Temperature Die berechneten Profile werden auf dieses Blatt geschrieben. Die einzelnen Datenpunkte liegen jeweils um dout auseinander. Falls der Benutzer die Daten exportieren möchte, wird er auf dieses Arbeitsblatt geleitet.  Private Subroutinen Private Sub Worksheet_Activate()

Blendet beim Öffnen Symbolleisten, Formelleisten, Gitterlinien etc. aus.

Sheet: HydrChartData Dieses für den Benutzer nicht sichtbare Arbeitsblatt enthält die relavanten Informationen für die Darstellung der Hydraulik.

Sheet: HydrU Das Blatt HydrU stellt die berechnete Hydraulik grafisch dar und führt wichtige Werte zur Hydraulik in einer Tabelle auf. Ausschnitte aus dem Diagramm chtChart können zudem per Eingabe der Koordinaten in Zellen auf dem Tabellenblatt vergrössert oder verkleinert werden.  Deklarationen auf Ebene Arbeitsblatt Dim chtChart As Chart

 Private Subroutinen Private Sub Worksheet_Activate()

Blendet beim Öffnen Symbolleisten, Formelleisten, Gitterlinien etc. aus. Private Sub Worksheet_Change(ByVal Target As Range)

Prüft, ob chtChart neu skaliert werden muss und führt dies ggf. gleich durch.

Sheet: ProfilesU Diese Maske stellt die berechneten Temperaturprofile grafisch dar. Es ist wiederum möglich, Ausschnitte per Koordinateneingabe zu vergrössern.  Private Subroutinen Private Sub Worksheet_Activate()

C.4. Formulare

79

Blendet beim Öffnen Symbolleisten, Formelleisten, Gitterlinien etc. aus. Private Sub Worksheet_Change(ByVal Target As Range)

Prüft, ob chtChart neu skaliert werden muss und führt dies ggf. gleich durch.

ThisWorkbook Die Arbeitsmappe beinhaltet die Arbeitsblätter.  Private Subroutinen Private Sub Workbook_Open()

Setzt die Standardparameter, öffnet das Hauptblatt und setzt den Status zurück. Private Sub Workbook_BeforeClose(Cancel as Boolean)

Speichert die Änderungen und zeigt Formelleiste etc. wieder an.

C.4. Formulare formLineInfo Dieses Formular hilft dem Benutzer, die Daten der Stränge zu erfassen.  Private Subroutinen Private Sub UserForm_Initialize()

Lädt die Abbildung, die im Formular angezeigt wird. Private Sub UserForm_Terminate()

Prüft auf ungespeicherte Änderungen und weist den Benutzer ggf. auf diese hin. Private Sub lineScroll_Change()

Liest die Stränge aus dem dataSheet und passt die Formularfelder an; kann bei Bedarf neuen Strang anfügen. Private Sub saveButton_Click()

Speichert die Eingaben in dataSheet ab.

80

Anhang C: Programmdokumentation

formParameter In diesem Formular können die Parameter der Numerik bearbeitet werden.  Private Subroutinen Private Sub UserForm_Activate()

Liest die Parameter aus dem Parametermodul und füllt sie in die Formularfelder. Private Sub saveButton_Click()

Speichert die Parameter im Parametermodul ab. Private Sub closeButton_Click()

Schliesst das Formularfenster.

formStatus Dieses Formular dient als Statusfenster und informiert den Benutzer über den Fortschritt der laufenden Berechnung. Nach Abschluss der Rechnung werden weitere Informationen zur Berechnung angezeigt.  Deklarationen auf Formularebene Public rk4Steps As Double

Zähler für die Gesamtzahl der Integrationsschritte.  Private Subroutinen Private Sub UserForm_Terminate()

rk4Steps und Meldungen zurücksetzen. Private Sub CommandButton1_Click()

EventHandler des Schliessen-Knopf: Das Statusformular wird bei Klick geschlossen.  Öffentliche Subroutinen Public Sub addInformation(ByVal info)

Fügt dem Mitteilungsfeld eine Mitteilung an.

C.5. Module

81

C.5. Module CalcHydraulics Dieses Modul enthält alle Funktionen, die die Strömungen von Abwasser und Kanalluft berechnen. Die meisten Funktionen werden von dem Modul MainMacros aufgerufen.  Deklarationen auf Modulebene Dim helement(7) As Double

Enthält Ergebnisse eines Stranges. Dim hydraulics As Collection

Enthält mehrere helement. Dim nodes() As Double

Eine n x m Matrix mit Knotendaten. Dim pipes() As Double

Eine n x m Matrix mit Rohrdaten.  Öffentliche Funktionen Public Function run() As Boolean

Führt die Berechnung der Hydraulik durch. Public Function Qfull(D, K, S) As Double

Berechnet den Abfluss in einem Rohr bei Vollfüllung. Public Function vWc(qw, AW, UW, ByVal y, D, S) As Double

Berechnet die Fliessgeschwindigkeit des Abwassers in der Mitte der Wasseroberfläche. Public Function calcvL(P, UL, vWc) as Double

Berechnet die Geschwindigkeit der Luft.  Öffentliche Subroutinen Public Sub saveResults()

Speichert die Resultate der Berechnung in der Tabelle HydrData ab und berechnet die Werte für die grafische Darstellung, welche dann in der Tabelle HydrChartData gespeichert werden.

82

Anhang C: Programmdokumentation

CalcTempProfiles Diese Funktionen werden verwendet, um die Profile der Abwasser-, und Lufttemperatur sowie der relativen Luftfeuchtigkeit zu berechnen. Die meisten Funktionen werden von dem Modul MainMacros aufgerufen.  Deklarationen auf Modulebene Dim solver As RK4OdeSolver

Instanz der Gleichungslöserklasse. Dim solution(2) As Variant

Enthält aktuelle Werte der Lösungen. Dim ODEs As ODEClass

ODE-System.  Öffentliche Subroutinen Public Sub run()

Führt die Berechnung durch und speichert die Werte in das Tabellenblatt Temperature ab.

Geometry Dieses Modul umfasst die Funktionen, um aus dem Durchmesser und dem Winkel über dem Wasserspiegel (vgl. Abbildung A.6, Seite 55) weitere Grössen der Geometrie zu berechnen.  Öffentliche Funktionen Public Function calcAW(D, alpha) As Double

Berechnet die vom Abwasser beanspruchte Querschnittsfläche. Public Function calcUW(D, alpha) As Double

Berechnet den benetzten Umfang im Kompartiment Wasser. Public Function calcy(D, alpha) As Double

Berechnet die Wasserspiegelhöhe, gemessen am tiefsten Punkt im Kreisprofil.

C.5. Module

83

Public Function calcAL(D, alpha) As Double

Berechnet die von der Kanalluft beanspruchte Querschnittsfläche. Public Function calcUL(D, alpha) As Double

Berechnete den benetzten Umfang der Luft. Public Function calcP(D, alpha) As Double

Berechnet die Wasserspiegelbreite.

Humidity Um zwischen relativer Luftfeuchtigkeit und der Wasserdampfbeladung der Luft umzurechnen, und um die maximale Sättigung zu berechnen, stellt das Modul Humidity vier öffentliche Funktionen zur Verfügung.  Deklarationen auf Modulebene Private Const ps0 = 1730000000# Private Const Ts0 = −5311

Beide Konstanten werden zur Berechnung des Sättigungspartialdruckes benötigt.  Private Subroutinen Public Function pSat(t) As Double

Berechnet den Sättigungspartialdruck des Wasserdampfes bei der Temperatur t. Public Function xSat(t) As Double

Berechnet die Sättigungsbeladung bei der Temperatur t. Public Function XfromTphi(t, rel)

Rechnet phi in X um, wobei die aktuelle Temperatur t mitanzugeben ist. Public Function phi(X, t) As Double

Berechnet phi aus X und der aktuellen Temperatur t.

84

Anhang C: Programmdokumentation

MainMacros Dieses Modul stellt die Schnittstelle zwischen den zwei Modulen CalcHydraulics und CalcTempProfiles und der Arbeitsmappe her. Die Subroutinen in diesem Modul prüfen, ob alle benötigten Angaben und Berechnungen vorliegen und geben bei Fehlern Warnungen aus.  Private Funktionen Private Function calculateHydraulics() As Boolean

Ein Wrapper um CalcHydraulics, gibt bei Fehler false zurück.  Private Subroutinen Private Sub calculateTempProfiles()

Ein Wrapper um CalcTempProfiles.

NewtonRaphsonIterator Dieser Iterator wird verwendet, um aus der bekannten Querschnittsfläche AW den Winkel über dem Wasserspiegel (vgl. Abbildung A.6) zu berechnen.  Deklarationen auf Modulebene Dim Qfull As Double Dim alpha As Double Dim delta_alpha As Double

 Öffentliche Funktionen Public Function iterate(ByVal qw As Double, ByVal D As Double, _ ByVal K As Double, ByVal S As Double) As Double

Benötigt Angaben zur Hydraulik als Argumente und gibt alpha zurück.

Parameters Dieses Modul sammelt die verwendeten Parameter. Dazu zählen physikalische Konstanten, die Namen der Tabellenblätter, der Fortschritt der Berechnung, die Parameter der Numerik und die vordefinierten Boden- und Rohrtypen.  Deklarationen auf Modulebene Konstanten: Public Const pi# = 3.14159265 Public Const g# = 9.81 ’m/s^2

C.5. Module

Public Const karman# = 0.4 ’− Public Const cpW# = 4181 ’J/(kg K) Public Const cpL# = 1007 ’J/(kg K) Public Const rhoL# = 1.188 ’kg/m^3 Public Const lambdaL# = 0.02569 ’W/(K m) Public Const muL# = 0.0000153 ’m^s/s Public Const rhoW# = 998.21 ’kg/m^3 Public Const hfg# = 2453300 ’J/kg Public Const PrL# = 0.7148 ’−

Tabellennamen: Public Const tabHydraulics = "HydrData" Public Const tabHyChartData = "HydrChartData" Public Const tabHydrU = "HydrU" Public Const tabProfilesU = "ProfilesU" Public Const tabInput = "dataSheet" Public Const tabMainSheet = "Hauptblatt" Public Const tabProfilesData = "Temperature"

Programmzustand: Public dontUpdate As Boolean Public dataSheetFilled As Boolean Public hydraulicsCalculated As Boolean Public temperatureCalculated As Boolean

Numerik: Public NewtonRaphsonTolerance As Double Public TdeltaTolerance As Double Public TdeltaMaxIterations As Integer Public rk4Tolerance As Double Public dxRK4 As Double Public doutRK4 As Double

Vordefinierte Rohre und Böden: Public groundTypes(1, 2) As Variant Public pipeTypes(1, 3) As Variant

 Öffentliche Subroutinen: Public Sub setDefaultParams()

Ordnet den nicht als const deklarierten Parametern zur Laufzeit Werte zu.

85

86

Anhang C: Programmdokumentation

Processes Jeder der Austauschprozesse aus Tabelle 3.1 besitzt eine Funktion in diesem Modul. Die Konstanten bezieht das Modul aus Parameters, die aktuellen Werte der Temperaturen und der relativen Luftfeuchtigkeit wird als Array vals an die Funktion übergeben. Die Funktionen werden aus der ODEClass aufgerufen. Auf die genauen Beschreibungen der Prozesse wird an dieser Stelle verzichtet, sie können in genannter Tabelle nachgelesen werden.  Öffentliche Funktionen Public Function qRW(vals) As Double Public Function qWL(vals) As Double Public Function qdL(vals) As Double Public Function qRd(vals) As Double Public Function qvP(vals) As Double Public Function qkd(vals) As Double Public Function qkL(vals) As Double Public Function qw(vals) As Double Public Function jvP(vals) As Double Public Function jkd(vals) As Double Public Function jkL(vals) As Double

Public Function calTdelta(vals) As Double

Hilfsfunktion, berechnet Tdelta direkt aus der Bilanz. Diese Funktion wird vom Modul Store aufgerufen.

Store Das Modul Store ist für das Auslesen der Benutzereingaben aus dem dataSheet zuständig. Zusätzlich sorgt es dafür, dass die Werte für den aktuellen Strang direkt abrufbar sind. Die Aktualisierung von Tδ wird auch von diesem Modul durchgeführt.  Deklarationen auf Modulebene Public pipes() As Double Public nodes() As Double Public hydraulics As Collection Dim N As Integer

Werte des aktuellen Stranges (Knoten, Rohr): Public curQWin, curb, curTA, curTWin, curphiin, curpges as Double Public curL, curK, curD, curS, cursd, curdB, curlR As Double Public curlB, curTBinf, curkCSB As Double

Hydraulik des aktuellen Stranges:

C.5. Module

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Public curQW, curAW, curUW, cury, curQL, curAL, curUL, curP As Double

Hydraulik des letzten Stranges: Public lastQL As Double

Tdelta: Public lastTdelta As Double

 Öffentliche Funktionen Public Function systemSize() As Integer

Gibt die Anzahl definierter Stränge zurück  Öffentliche Subroutinen Public Sub readSystem(rng As Range)

Liest das System aus dem Tabellenblatt dataSheet in die Arrays nodes und pipes. Public Sub initNode(lineNr As Integer)

Wechselt zu Strang linNr und aktualisiert die aktuellen Werte. Public Sub updateTdelta(vals)

Berechnet das aktuelle Tdelta.

Timing Dieses Modul wird verwendet, um die während der Berechnung verstrichene Zeit zu messen.  Deklarationen auf Modulebene Dim dteStart As Date, dteEnde As Date

 Öffentliche Funktionen Public Sub startTiming()

Hält die aktuelle Zeit fest. Public Function stopTiming() As String

Gibt die verstrichene Zeit als formatierte Zeichenfolge zurück.

88

Anhang C: Programmdokumentation

TypeCheck Das Modul TypeCheck enthält eine Funktion, die vom Benutzer eingegebene Daten auf Konformität mit dem Datentyp double prüft.  Öffentliche Funktionen Public Function isDouble(value, showErrorMsg) As Boolean

Prüft, ob der angegebene Wert vom Typ double ist; gibt true oder false zurück und zeigt, falls gewünscht, eine MsgBox an.

WorkBookMacros Dieses Modul ist eine Sammlung von Funktionen, die die Handhabung des Programmes vereinfachen, Änderungen am Layout und den Tabellenblättern vornehmen können und der Navigation dienen.  Deklarationen auf Modulebene Dim wb As Workbook Dim ws As Worksheet

 Öffentliche Funktionen Public Function getGroundID() As Integer

Gibt die interne ID des im aktuellen Strang gewählten Bodens zurück und -1, falls der Bodentyp benutzerdefiniert ist. Public Function getPipeID() As Integer

Gibt die interne ID des im aktuellen Strang gewählten Rohrs zurück und -1, falls der Rohrtyp benutzerdefiniert ist. Public Function hasFormLineInfoChanged(id As String) As Boolean

Prüft, ob der Benutzer im Formular formLineInfo Änderungen vorgenommen hat.  Subroutinen Sub goToMainPage()

Hauptblatt öffnen. Sub goToDataPage()

Maske für die Dateneingabe öffnen.

C.5. Module

89

Sub goToProfilesPage()

Berechnete Temperaturprofile anzeigen. Sub goToExportPage()

Zum Tabellenblatt mit den Profildaten wechseln. Sub goToHydraulicsChartPage()

Hydraulik darstellen. Sub dataSheetGoToMainPage()

Zum Hauptblatt wechseln, aber zuerst die Angaben auf Vollständigkeit prüfen. Sub showParameterForm()

Öffnet Formular mit den Parametern der Numerik. Sub autoScaleHydruChart1()

Setzt die Skalierung des Hydraulik-Diagramms zurück. Sub autoScaleProfilesuChart1()

Setzt die Skalierung des Temperatur-Diagramms zurück. Sub showHideProfilesTW()

Wird benötigt, um die Serien des Temperatur-Diagramms ein- und auszuschalten. Sub addLineBottom()

Fügt dem Datenblatt eine Zeile für einen neuen Strang an. Sub btnDown(id As String)

Wird bei Klick auf den Button, um einen Strang nach unten zu verschieben, aufgerufen. Sub btnUp(id As String)

Wird bei Klick auf den Button, um einen Strang nach oben zu verschieben, aufgerufen. Sub btnRemove(id As String)

90

Anhang C: Programmdokumentation

Wird bei Klick auf den Button, um einen Strang zu löschen, aufgerufen. Sub btnInfo(id As String)

Öffnet das Formular formLineInfo. Sub updateFormLineInfo(ByVal id As String)

Aktualisiert die angezeigten Daten in formLineInfo. Sub saveFormLineInfoChanges(id)

Überträgt die Daten aus formLineInfo in das Datenblatt. Sub reNumberLines()

Ordnet den Strängen neue IDs zu.

C.6. Klassen ODEClass Die ODEClass ist ein Behälter für eine beliebige Anzahl einfacher Differentialgleichungen. Jede Gleichung besitzt eine eigene Methode. Mit der Anweisung callOde und der Angabe des Namens der Gleichung kann diese ausgewertet werden.  Deklarationen auf Klassenebene Public odeList As Collection Private Const eqCount = 3

 Konstruktoren und Destruktoren Private Sub Class_Initialize ()

 Öffentliche Methoden Public Function getEqCount() As Integer

Gibt die Anzahl vorhandener Gleichungen zurück. Public Function callOde(ByVal name As String, vals() As Variant) As Double

Wertet die Gleichung mit der Bezeichnung name aus.

C.6. Klassen

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Public Function dTWdx(ByRef vals() As Variant) As Double

Die Differentialgleichung, welche die Änderung der Abwassertemperatur beschreibt. Public Function dTLdx(ByRef vals() As Variant) As Double

Die Differentialgleichung, welche die Änderung der Kanallufttemperatur beschreibt. Public Function dXdx(ByRef vals() As Variant) As Double

Die Differentialgleichung, welche die Änderung der relativen Luftfeuchtigkeit beschreibt.

RK4OdeSolver Diese Klasse implementiert einen Runge-Kutta Löser vierter Ordnung.  Deklarationen auf Klassenebene Private dx As Double Dim odeSystem As ODEClass Dim Kp() As Double Dim weight(3) As Integer

 Konstruktoren und Destruktoren Private Sub Class_Initialize () Private Sub Class_Terminate()

 Property Anweisungen Property Get getDx() As Double

Gibt dx zurück.  Öffentliche Methoden Public Sub setOdeSystem(ByRef setODS As ODEClass)

Gleichungssystem (Klasseninstanz) übergeben. Public Sub setDx(ByVal sdx As Double)

Setzt den Gitterabstand dx. Public Sub rk4Step(ByRef solution() As Variant)

Führt den nächsten Intergrationsschritt durch, das Array solution im Argument wird aktualisiert (ByRef). Private Function calPoint(ByRef vals() As Variant, ByVal i As Integer)

Wertet das Gleichungssystem aus.