Ein Beitrag zum Einsatz selbsteinstellender PI{Regler mit Fuzzy{Logik am Beispiel einer Bauteilprufmaschine Michael Berger Forschungsbereicht Nr. 22/95 Me-, Steuer- und Regelungstechnik


Ubersicht: In diesem Bericht werden Ein- und Nachstellverfahren zur automatischen

Anpassung der Regelparameter eines PI{Reglers mit Fuzzy{Logik f ur eine Bauteilpr ufmaschine vorgestellt und am Versuchstr ager dokumentiert. Die Ein- und Nachstellverfahren dienen zur Erstinbetriebnahme der Anlage mit dem PI{Regler und der Nachstellung der Regelparameter beim Wechsel der Betriebspunkte und z ahlen zu den selbsteinstellenden Verfahren im geschlossenen Regelkreis.

Gerhard-Mercator-Universit at - GH Duisburg Me-, Steuer- und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. H. Schwarz

Inhaltsverzeichnis

I

Inhaltsverzeichnis Nomenklatur 1 Einleitende U
bersicht 2 Beschreibung des Versuchstr
agers

II 1 3

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

7

2.1 Konventionelle Reglereinstellverfahren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2.2 Reglereinstellverfahren mit der Fuzzy{Logik : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

3.1 Einstellverfahren nach dem Muster des Wendetangenten{Verfahrens : : : : 7 3.2 Einstellverfahren u ber zwei Merkmale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.3 Modikation des Adaptions Algorithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

4 Zusammenfassung und Ausblick 5 Literaturverzeichnis

28 29

Anhang A Me ergebnisse

31 31

Nomenklatur

II

Nomenklatur Ak c cI cirTuning c1
2 e eblb, e1 emax Fist FR soll e(t)dt k kC k~C kCalt] kCneu] ki kI kp krTuning mi mu ov t tan t~an tein ti t~i tialt] tineu] Tu Ts u w W y y1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Fl ache unter der k{ten Fuzzy{Referenzmenge des Ausgangs Federrate Relativer I {Anteil Ausgangsvariable der Fuzzy{Einstellebene Begrenzung des Einubereiches der Fuzzy{Referenzmengen Regelabweichung bleibende Regelabweichung maximale U berschwingweite Ist{Kraft Soll{Kraft Integral der Regelabweichung diskretes Zeitargument Verst arkung Verst arkung nach der Berechnung des Fuzzy{Algorithmus "alte\ Verst arkung ((I ; 1){te Iteration) "neue\ Verst arkung ((I ){te Iteration) Skalierungsfaktor integrale Verst arkung (PI{Regler) proportionale Verst arkung (PI{Regler) Ausgangsvariable der Fuzzy{Einstellebene Modalwert der i{ten Fuzzy{Referenzmenge Anzahl der Fuzzy{Referenzmengen des Ausgangs U berschwingweite Zeit Anregelzeit Anschwingzeit Einschwingzeit Nachstellzeit Nachstellzeit nach der Berechnung des Fuzzy{Algorithmus "alte\ Nachstellzeit ((I ; 1){te Iteration) "neue\ Nachstellzeit ((I ){te Iteration) Verzugszeit Anstiegszeit Stellgr oe F uhrungsgr oe Wendepunkt der Wendetangente Systemantwort Beharrungswert der Systemantwort

Nomenklatur

III

Mengen: A A

D DN D+ N

XiE(Eblbblb) XiT(anTan) XiE(Emax max ) O Ai(Ov v) A;i(;) YiT(Ti i) YiK(KCC ) Tuning ZiCir (CirTuning ) Tuning ZiKr (KrTuning )

: : : : : : : : : : : : : :

Fuzzy{Menge Menge der Fuzzy{Referenzmengen Denitionsbereich Denitionsbereich normierter Gr oen (D N = ;1 1]) Denitionsbereich normierter positiver Gr oen (D +N = ;1 1]) i(Eblb){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. Eblb i(Tan){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. Tan i(Emax){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. Emax i(Ov ){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. Ov i(;){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. ; i(Ti){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. Ti i(KC ){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. KC i(CirTuning){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. CirTuning i(KrTuning ){te Fuzzy{Referenzmenge bzgl. KrTuning

Unscharfe Gr
o en: Eblb Emax KC Ov Tan Ti ;

: : : : : : :

fuzzizierte Gr oe eblb fuzzizierte Gr oe emax fuzzizierte Gr oe kC fuzzizierte Gr oe ov fuzzizierte Gr oe tan fuzzizierte Gr oe ti fuzzizierte Gr oe 

Vektoren und Matrizen: p, p x

: :

Reglerparametervektor Vektor der Eingangsgr oen des Fuzzy{Algorithmus

Griechische Buchstaben:  A A

: : :

Erf ulltheitsgrad linke Spannweite der Fuzzy{Referenzmenge rechte Spannweite der Fuzzy{Referenzmenge

Nomenklatur

 "

IV : :

Einregelverhalten Toleranzband

A U
k ~

: :

~U
k ~

:

Zugeh origkeitsfunktion zur Fuzzy{Menge A Zugeh origkeitsfunktion der Fuzzy{Menge U~k , die Ergebnis aller Regeln mit der Fuzzy{Referenzmenge Uk ist Zugeh origkeitsfunktion der Fuzzy{Menge U~~k , welcher Ausgang des Fuzzy{Systems ist

Funktionen:

Operatoren: max () min ()

2 26 (P)T Wa

i=1

D

8

: : : : : : : : :

Maximum{Operator Minimum{Operator Element von kein Element von transponierte Gr oe Summation Maximum{Operator u ber a{Gr oen Dierenzierer Allquantor

 1 Einleitende Ubersicht

1

1 Einleitende U bersicht Ziel des regelungstechnischen Entwurfes ist die gezielte Beeinussung realer dynamischer Systeme. Dazu wird einerseits eine Regelstruktur und andererseits ein Bewertungskriterium z. B. u ber ein G utefunktional (Schwarz 1981) f ur die G ute der entworfenen Struktur ben otigt. Die ideale L osung w are ein Optimalregler, d. h. eine durch nichts zu verbessernde Struktur. In den meisten F allen wird man auf die Strukturoptimalit at verzichten m ussen, da die wichtigsten Grundvorrausetzungen zur Aufstellung des dynamischen Optimierungsproblems, n amlich die exakte Modellierbarkeit des zu steuernden/regelnden Systems in einer Zustandsraumdarstellung nicht erf ullt werden kann. In der Praxis hilft man sich an dieser Stelle mit vorhandenen und bew ahrten parametrischen Reglerstrukturen, wobei die Parametereinstellung entweder auf dem der Parameteroptimierung oder auf der Basis heuristischer Faustformeln und Tuningvorschriften (Kuhn 1995a) mit dem Ziel einer hinreichenden G ute, welches hier behandelt wird, erfolgt. Zur U berpr ufung der Dauerfestigkeit von Bauteilen l at sich in einer Pr ufmaschine mit Hilfe eines hydraulischen Zylinders ein gew unschtes Belastungsprol erzeugen. Die dynamischen und statischen Eigenschaften der Regelstrecke werden mageblich durch die zu untersuchenden Proben bestimmt und sind daher in der Regel nicht exakt bekannt, so da die Parameter der Kraftregelung an das ver anderliche Streckenverhalten angepat werden m ussen. Der zeitliche Verlauf der Belastungskraft wird mit einem konventionellen PI{Regler geregelt. Die Anpassung erfolgt zur Zeit von Hand, z. B. nach heuristischen Faustformeln oder Tuningvorschriften und soll automatisiert werden. Der Einsatz der automatischen Inbetriebnahmehilfe dient daher zur Verk urzung der Inbetriebnahmezeit und damit zur Senkung der Inbetriebnahmekosten. Als Voraussetzungen f ur die Akzeptanz eines solchen Inbetriebnahmeverfahrens seitens der Anwender sind folgende Punkte zu beachten:  einfache Handhabung,

 m oglichst einfaches und verst andliches Konzept,  wenig oder keine Bedienparameter und  keine oder geringe Anforderungen an das Streckenverhalten . Das selbsteinstellende Verfahren dient w ahrend der Inbetriebnahmephase der Anlage oder auf gesonderten Wunsch des Anwenders eine geeignete Reglereinstellung zu gewinnen. Hiebei wird die Reaktion des Prozesses auf ein Testsignal (F uhrungssprung) ausgewertet. Die Auswertung beschr ankt sich dabei auf wenige Merkmale. Anhand dieser werden die Regelparameter sukzessiv eingestellt. In diesem Bericht werden zwei verschiedene Ein- und Nachstellverfahren zur automatischen Anpassung der Regelparameter eines PI{Reglers mit Fuzzy{Logik (Zadeh 1965) f ur eine Bauteilpr ufmaschine vorgestellt und am Versuchstr ager dokumentiert. Die Ein- und Nachstellverfahren dienen zur Erstinbetriebnahme der

 1 Einleitende Ubersicht

2

Anlage mit dem PI{Regler und der Nachstellung der Regelparameter beim Wechsel der Betriebspunkte und z ahlen zu den selbsteinstellenden Verfahren im geschlossenen Regelkreis. Die Ein- und Nachstellverfahren verlangen nur, da die Regelstrecke stabil ist und zeichnen sich durch ein einfaches und verst andliches Konzept aus. Somit ist der universelle Einsatz des Ein- und Nachstellverfahrens f ur verschiedene Bauteilpr ufmaschinen gegeben, wobei entsprechend der Regelstrecke und den Anforderungen G utekriterien wie U berschwingweite, statische Regelabweichung und Anregelzeit festgelegt werden k onnen. Die Parameter des PI{Reglers werden dabei sukzessiv im geschlossenen Regelkreis eingestellt. Im Gegensatz dazu k onnen die meisten konventionellen Ein- und Nachstellverfahren nur angewandt werden, wenn die Regelstrecke eine oder mehrere groe Zeitkonstanten besitzt und/oder die Sprungantwort einen s{f ormigen Verlauf aufweist, womit die Einsatzf ahigkeit der meisten konventionellen Ein- und Nachstellverfahren auf bestimmte Regelstrecken begrenzt ist. Im Abschnitt 2 wird der Versuchstr ager der Bauteilpr ufmaschine mit seinen Meeinrichtungen vorgestellt. Danach werden kurz einige aus der Literatur bekannte konventionelle Einstellverfahren f ur PID{Regler bzw. PI{Regler vorgestellt (Ziegler und Nichols 1942, Chien, Hrones und Reswick 1952, Klein, Hartmut und Pandit 1992, Latzel 1993 und Kuhn 1995b) und auf ihre Anwendbarkeit bez uglich der Bauteilpr ufmaschine untersucht. Der Abschnitt 3 befat sich mit den von Tlili (1993) und von J orissen (1995) optimierten, entwickelten Fuzzy{Einstellverfahren konventioneller PI{Regler nach dem Muster des Wendetangenten{Verfahrens und dem von Chatziioannidis (1995) angepaten von Pfeier (1994) entwickelten Fuzzy{Einstellverfahren. Beide Verfahren wurden bereits in der Simulation mit dem Simulationsprogramm Hyvos 4.0 der Firma Mannesmann{ Rexroth erfolgreich getestet. Die Verfahren zeichnen sich dadurch aus, da sie mit sehr wenigen Merkmalen (zwei bis drei) und Iterationsschritten (Anpassungsschritten) (f unf bis zehn) zur Einstellung der Regelparameter auskommen. Im Vergleich zum erstellten Fuzzy{Einstellverfahren von Zarneckow (1993), welches mehr als sechs Merkmale und mehr als 19 Iterationsschritte ben otigt. In diesem Bericht wird die Leistungsf ahigkeit der beiden Fuzzy{Einstellvefahren am realen Proze einer Bauteilpr ufmaschine dokumentiert. Der Bericht schliet mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick in Abschnitt 4.

2 Beschreibung des Versuchstragers

3

2 Beschreibung des Versuchstragers Bei dem Versuchstr ager (Bild 2.1) handelt es sich um einen Doppelzylinderpr ufstand mit einem Servo{Wegeventil in 4{Wege{Ausf uhrung, einem Servoverst arker, einer Feder und den Meeinrichtungen: inkrementales L angenmesystem und einem Kraftaufnehmer. Das Bild 2.2 illustriert den metechnischen Aufbau des Versuchstr agers.

Bild 2.1: Versuchstr ager Der Kraftaufnehmer enth alt Dehnungsmestreifen, die ihren Widerstand proportional zur aufgebrachten Kraft ver andern. Im Tr agerfrequenzmeverst arker (TFM), wird die Widerstands anderung mit Hilfe einer Wheatstonschen Mebr ucke in eine Spannungs anderung umgeformt. Der TFM ist so eingestellt, da am Ausgang eine Spannung im Bereich zwischen 0 und 10 Volt vorliegt. Der Pr ufstands{PC ist mit einer IK{120 Z ahlerkarte von der Fa. Heidenhain und einer RTI{815 Karte Multifunktionskarte von der Fa. Analog Divices ausgestattet. Die ermittelten Werte liegen anschlieend in vorgegebenen Adrebereichen f ur den Abruf des Programmes bereit (Spielmann 1993). Gefahren wird der Proze mit einer Einstellung des Druckbegrenzungsventils von 80 bar bis 100 bar und einer Pumpendrehzahl von 300 min;1.

2 Beschreibung des Versuchstragers

4

c

M

Kraftaufnehmer

y

TFM A

B

P0

PT

RTI{815

IK{120 PC D

A

Bild 2.2: Schematischer Aufbau des Versuchstr agers

2 Beschreibung des Versuchstragers

5

2.1 Konventionelle Reglereinstellverfahren

Bei der Inbetriebnahme von Regelungen sind h aug u ber die Regelstrecke nur geringe Kenntnisse vorhanden. Auch ist nicht immer und u berall ein Datenerfassungssystem implementiert, um die Regelstrecke zu identizieren und einen Regler anzugeben. Daher mu man sich mit der Strecken ubergangsfunktion begn ugen, um mit deren Hilfe geeignete Regelparameter zu ermitteln (Latzel 1993). Die bekanntesten konventionellen Einstellverfahren beruhen darauf, da man die Strecken ubergangsfunktion durch die Kenng oen Proportionalbeiwert Ks , Anstiegszeit Ts und der Verzugszeit Tu beschreibt. Die empirisch aus einer Vielzahl von Regelkreisuntersuchungen gefundenen Einstellungsregeln von Ziegler und Nichols (1942) haben sich zum Teil in der Praxis bew ahrt. Jedoch k onnen diese Einstellverfahren nicht an jeder Strecke zur Anwendung kommen. Zum einen k onnen einige Prozesse aus technischen Gr unden (Sicherheit, Verschlei) nicht bis an ihre Stabilit atsgrenze gefahren werden und zum anderen besitzt nicht jede Strecke groe Zeitkonstanten, so da eine Approximation des Systemverhaltens durch ein System erster Ordnung mit Totzeit nicht zu rechtfertigen ist. So kann z. B. das Verfahren von Sowa (1989) zur Selbsteinstellung von PI{Reglern, welches vom Grundgedanken her eine Automatisierung des Wendetangentenverfahrens nach Ziegler und Nichols ist, nicht verwendet werden. Das Verfahren eignet sich besonders f ur Prozesse mit den folgenden dynamischen Eigenschaften:

 stabile oene Strecke,  reelle Pole in der linken s{Halbebene (ohne imagin aren Anteil) und  groe Zeitkonstanten. Grunds atzlich wird auch hier eine signikante Ersatztotzeitkonstante Tu zur Bestimmung der Regelparameter ben otigt. Da die Bauteilpr ufmaschine ein System ohne Ausgleich ist (oene Strecke), sehr kleine Zeitkonstanten besitzt und ein schwingungsf ahiges Verhalten aufweisen kann, eignet sich das Verfahren von Sowa (1989) zur automatischen Selbsteinstellung von PI{Reglern f ur diesen Proze nicht. Auch die Chien{Hornes{Reswick{Regeln (Wendetangentenverfahren) (Chien, Hornes und Reswick 1952) erfordern eine nicht zu vernachl assigbare Ersatztotzeit der Strecke. Neuere Verfahren, wie das von Latzel (1993), liefert zwar sehr gute Ergebnisse, erfordert jedoch ein Nachschlagen in Tabellen. Man kann nicht durch rasches Betrachten der Sprungantwort auf die Regelparameter schlieen. Die Einstellregeln f ur PID{Regler nach der T{Summen{Regel von Kuhn (1995b) ergeben vergleichbare Ergebnisse hinsichtlich der zu erzielenden Regelg ute wie das Verfahren von Latzel (1993) (Kuhn 1995b) und haben sich in der Praxis an verschiedenen Strecken bew ahrt. Es wird jedoch zur Auswertung der Einstellregeln die sogenannte s{ f ormige Sprungantwort ben otigt und ist somit f ur den Proze der Bauteilpr ufmaschine nicht geeignet.

2 Beschreibung des Versuchstragers

6

2.2 Reglereinstellverfahren mit der Fuzzy{Logik

Eine Art der Reglereinstellung beinhaltet das on{line{Tuning des Reglers im geschlossenen Kreis. So kann die Reaktion der Regelgr oe auf sprungf ormige A nderungen der F uhrungsgr oen beobachtet und die Regelparameter, beginnend z. B. von kleinen Werten, sukzessiv nachgestellt werden. Um diesen Vorgang zu automatisieren, bietet es sich an, die dabei benutzten "Faustregeln\ mit Hilfe der Fuzzy{Logik zu beschreiben. In den folgenden zwei Abschnitten werden zwei verschiedene Fuzzy{Algorithmen zur Selbsteinstellung von PI{Reglern vorgestellt und ihre Leistungsf ahigkeit an dem beschriebenen Versuchstr ager dokumentiert, wobei nur das von Chatziioannidis (1995) stark modizierte Verfahren von Pfeier (1994) unabh angig von der Anfangseinstellung des PI{Reglers eine voll automatische Reglereinstellung realisiert, welche zu einer hinreichenden G ute der Sprungantwort f uhrt. In Bild 2.3 ist schematisch die Struktur der Selbsteinstellung des PI{Reglers mit der Fuzzy{Einstellebene dargestellt. In beiden Fuzzy{Algorithmen wird

der Ist{Kraftverlauf f ur sprungartige Anderungen des Soll{Kraftverlaufes ausgewertet, jedoch mit unterschiedlichen Merkmalen. Die Fuzzy{Algorithmen sind auf die Selbsteinstellung eines PI{Reglers zugeschnitten, da unter Verwendung eines PID{Reglers schon bei sehr kleiner Vorhaltezeit tv des D{Anteils die Regelgr oe zu Schwingungen neigt. c Kraftaufnehmer M

Fist A

B

P0

PT

PI{Regler

Fsoll

Fuzzy{ Einstellebene Bild 2.3: Schematische Struktur der Selbsteinstellung des PI{Reglers im Regelkreis mit der Fuzzy{Einstellebene

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

7

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik Die folgenden vorgestellten Einstellverfahren werden zur o{line Adaption der PI{Reglerparameter (selbsteinstellende Verfahren im geschlossenen Regelkreis) f ur den Versuchstr ager einer Bauteilpr ufmaschine eingesetzt. Hierbei werden die Parameter eines idealen PI{Reglers

u(t) = kP e(t) + kI

Zt 0

e(t)dt

(3.1)

bzw. in Standardform


 Zt u(t) = kC e(t) + t1 0 e(t)dt i

(3.2)

mit den Verst arkungen kC , der Nachstellzeit ti mit Hilfe der Fuzzy{Logik nachgestellt. Der Vorteil dieser Ans atze liegt in der einfachen Erweiterbarkeit bestehender konventioneller PI{Regler um die Einstellkomponenten (Kroll 1993).

3.1 Einstellverfahren nach dem Muster des Wendetangenten{ Verfahrens

Bei der Beurteilung der G ute einer Regelung erweist es sich als zweckm aig, den zeitlichen Verlauf der Regelgr oe y(t) zu betrachten. Eine typische Antwort eines schwingungsf ahigen Regelungskreises auf eine sprungf ormige Erregung der F uhrungsgr oe ist im Bild 3.1 dargestellt. Zur n aheren Beschreibung dieser F uhrungs ubergangsfunktion werden die folgenden Begrie eingef uhrt:   Die maximale Uberschwingweite emax gibt den Betrag der maximalen Regelabweichung an, die nach erstmaligem Erreichen des Sollwertes (100 %) auftritt.

 Die Anstiegszeit Ts ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Tangente im Wendepunkt W von y(t) mit der 0%{ und 100%{Linie.

 Die Verzugszeit Tu ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Wendetangente mit der t{Achse.

 Die Anregelzeit tan ist der Zeitpunkt, bei dem erstmalig der Sollwert (100 %) erreicht wird. Es gilt n aherungsweise

tan  Tu + Ts :

 Die bleibende Regelabweichung eblb = e1.

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

y(t)

8

eblb

emax 0,6

Wendetangente

0,5

Tu Ts tan emax eblb

0,4

W

0,3

: Verzugszeit : Anstiegszeit : Anregelzeit : maximale U berschwingweite : bleibende Reglabweichung

0,2 0,1 0

tan 0

Tu

Ts

5

10

Bild 3.1: Merkmale der Sprungantwort

t

15

Von den hier eingef uhrten Gr oen kennzeichnet emax die D ampfung des Systems und tan bzw. Tu und Ts die Dynamik des Regelkreisverhaltens, w ahrend die bleibende Regelabweichung eblb das statische Verhalten charakterisiert. Zur Ein{ und Nachstellung der Regelparameter p = kp kI ] bzw. p = kC  ti] des PI{Reglers wird die maximale U berschwingweite emax, die Anregezeit tan  Tu + Ts und die bleibende Regelabweichung eblb verwendet. Diese drei Merkmale werden anhand der Sprungantwort des Systems bestimmt und dem Fuzzy{Algorithmus als Eingangsgr oen zugef uhrt. U ber diese drei Merkmale der Sprungantwort berechnet der Fuzzy{Algorithmus die Verst arkung k~C und die Nachstellzeit t~i. Die Regelparameter des PI{Reglers werden dann u ber kC = kCneu] = k~C kCalt] (3.3) bzw.

ti = tineu] = ~ti tialt] berechnet.

(3.4)

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

9

Fuzzizierung:

Nachdem aus dem Verlauf der Sprungantwort die drei Merkmale der Regelgr oe bestimmt wurden, werden sie durch entsprechende Skalierungsfaktoren keblb  ktan und kemax multiplikativ auf einen normierten Denitionsbereich D N bzw. D +N gebracht und anschlieend u ber Fuzzy{Einermengen fuzziziert (Wang 1994).

Denition 1 (Bertram u. a. 1994) Eine Fuzzy{Einermenge A ist eine Fuzzy{Menge, deren Zugeh origkeitsfunktion A nur an einer Stelle x0 von Null verschieden ist, das heit, es gilt x 2 D

A (x) = 1 f ur x = x0 und

A (x) = 0 f ur alle x 6= x0 :

2

Durch die Fuzzizierung u ber Fuzzy{Einermengen erh alt man die unscharfen Merkmale Eblb Tan und Emax (fuzzizierte Gr oen). Die fuzzizierten Gr oen wurden zun achst Emax von Tlili (1993) u ber je f unf Fuzzy{Referenzmengen XiE(Eblbblb) XiT(an Tan ) und Xi(Emax ) (mit i(Eblb) = i(Tan) = i(Emax) = 1 : : :  5) partitioniert und in einer anschlieenden Arbeit von J orissen (1995) auf drei Fuzzy{Referenzmengen optimiert (mit i(Eblb) = i(Tan) = i(Emax) = 1 : : : 3). So konnte die Regelbasis des Fuzzy{Algorithmus von 25 relationalen Regeln auf 9 relationale Regeln reduziert werden, welches eine Minimierung der Rechenzeit zur Auswertung des Fuzzy{Algorithmus bedeutet. Die Fuzzy{Referenzmengen werden u ber st uckweise linerare Zugeh origkeitfunktionen beschrieben: Fuzzy{Referenzmenge als Dreieck: 80 f ur x 62 ]c1 c2 > > > x ; c 1 < f ur x 2 c  m A (x) = > 1m ; c1 f ur x = m 1 > : c2 ; x f ur x 2 ]m c2] c2 ; m mit c1 2 f;1 0g c2 2 f0 5 1g m = f0 0 5g, x = (Eblb  Tan  Emax ). Fuzzy{Referenzmenge als halbes DreieckR: 8 > f ur x 62 ]m c2 1 c ; x > 2 : c ; m f ur x 2 ]m c2] 2

(3.5) A

n

o

2 X2Eblb  X3Eblb  X2Tan  X2Emax und

(3.6)

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik n

10

o

mit c2 = 0 5 m = 0 A 2 X1Tan  X1Emax und x = (Tan Emax). Fuzzy{Referenzmenge als halbes TrapezL: 8 > < 0x ; c f ur x < c1 A (x) = > m ; c11 f ur x 2 c1 m :1 f ur x  m n o mit c1 = 0 5 m = 1 A 2 X4Eblb  X3Tan  X3Emax und x = (Eblb  Tan Emax).

(3.7)

Fuzzy{Referenzmenge als halbes TrapezR: 8 > < 0c ; x f ur x > c2 A (x) = > c22 ; m f ur x 2 c2 m :1 f ur x m mit c2 = 0 m = ;1 A = X1Eblb und x = Eblb.

(3.8)

In den Bildern 3.2 bis 3.4 sind die Fuzzy{Referenzmengen der verschiedenen fuzzizierten Eingangsgr oen dargestellt. Da der Fuzzy{Algorithmus so geschrieben ist, da er zwischen "Unter{ und U berschwingen\ unterscheidet (Tlili 1993) (positive als auch negative eblb{Werte), wird die fuzzizierte Eingangsgr oe Eblb u ber f unf Fuzzy{Referenzmengen partitioniert.

X Eblb 1

XiE(Eblb ) blb 1

X2Eblb

X3Eblb

X4Eblb

0,5 -1 Eblb 0 0,5 1 Bild 3.2: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen XiE(Eblbblb), mit i(Eblb) = 1 : : :  4 u ber den Denitionsbereich D +N

Regelbasis und Inferenz:

Die Regelbasis besteht aus jeweils 9 bzw. 12 relationalen Regeln der Form Wenn (Eblb Ist XiE(Eblbblb)) Und (Tan Ist XiT(anTan)) Dann (T~i Ist YiT(~Ti~i))  (3.9) bzw. Wenn (Emax Ist XiE(Emaxmax)) Und (Tan Ist XiT(anTan)) Dann (K~ C Ist YiK(~K~CC )) :(3.10) In den Tabellen 3.1 bis 3.3 sind die Karnaugh{Tafeln der beiden Regelbasen zur Berechnung der Verst arkungen k~C und der Nachstellzeit t~i dargestellt.

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

XiT(anTan ) 1

X1Tan

X2Tan

11

X3Tan

0,5 0

Tan 0 0,5 1 Bild 3.3: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen XiT(anTan), mit i(Tan) = 1 : : :  3 u ber den Denitionsbereich D N XiE(Emax max ) X Emax X2Emax X3Emax 1 1 0,5 0

Emax 0 0,5 1 E Bild 3.4: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen Xi(Emaxmax), mit i(Emax) = 1 : : :  3 u ber den Denitionsbereich D N Tan X1Tan X2Tan X3Tan X1Eblb Y3T~i Y3T~i Y3T~i Eblb X2Eblb Y2T~i Y2T~i Y2T~i X3Eblb Y2T~i Y1T~i Y1T~i X4Eblb Y1T~i Y1T~i Y1T~i Tabelle 3.1: Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung der Nachstellzeit t~i bei "u berschwingen\ und "unterschwingen\. Tan T an X1 X2Tan X3Tan X2Emax Y2K~ C Y2K~ C Y3K~ C Emax X2Emax Y1K~ C Y2K~ C Y3K~ C X3Emax Y1K~ C Y1K~ C Y3K~ C Tabelle 3.2: Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung der Verst arkung k~C bei "u berschwingen\.

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

12

Tan X1Tan X2Tan X3Tan X1Eblb Y1K~ C Y1K~C Y2K~ C Eblb X2Eblb Y1K~ C Y2K~C Y3K~ C X3Eblb Y2K~ C Y3K~C Y3K~ C Tabelle 3.3: Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung der Verst arkung k~C bei "unterschwingen\. Der Erf ulltheitgrad  einer jeden Regel
  (Eblb Tan) = min XiE(Eblb )  XiT(anTan ) (3.11) blb bzw.
  (Emax Tan) = min XiE(Emax   T (3.12) an max ) Xi(Tan ) wird u ber den Minimum{Operator berechnet.

Defuzzizierung:

Die scharfen Ausgangsgr oen werden nach der Summenmethode (Center{of{Sums, Driankov, Hellendoorn und Reinfrank 1993) mU Z X

u(kT ) =

~U
k udu ~ (u)~

k=1 D mU Z X k=1

D

(3.13)

~U
k ~ (u)du

berechnet. Mit der MAX{MIN{Kompensation berechnet sich dann die Verst arkung k~C und die Nachstellzeit t~i zu 3 Z X

=1 D k~C = kX 3 Z

k=1

D

U
k ~ (u)

und

z=1 k=1 

k=1 z=1

12 _

z=1

k
z (Emax Tan) du !

!

k
z (Emax Tan) Ak

k=1 z=1

(3.14)

!

k
z (Eblb Tan) Ak mk

t~i = X 3 _9 z=1 k=1 

k
z (Emax Tan) u~du

k
z (Emax Tan) Ak mk

3 12 X _

_ 3 9 X

z=1

U
k ~ (u)

 12 3 X _

=

12 _

!

k
z (Eblb Tan) Ak

:

(3.15)

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

13

Durch die Verwendung der MAX{MIN{Komposition ist die vertikale Partialaggregation u ber den Max{Operator und die Aktivierung sowie die Pr amissenauswertung u ber den Min{Operator belegt. Die Ausgangsgr oen werden durch drei Fuzzy{Referenzmengen abgebildet (Bild 3.5 und 3.6).

Y T~i i(T~i ) 1

Y1T~i

Y2T~i

Y3T~i

0,5 0 1 2 t~i 3 ~i T Bild 3.5: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen Yi(T~i), mit i(T~i) = 1 : : :  3 u ber den Denitionsbereich D -1

Y K~ C i(K~ C ) 1

Y1K~ C

Y2K~ C

Y3K~ C

0,5 0 1 2 k~C 3 ~ Bild 3.6: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen YiK(K~Ci), mit i(K~ C ) = 1 : : : 3 u ber den Denitionsbereich D -1

In Bild 3.7 ist der Verlauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Medaten der Bauteilpr ufmaschine dargestellt. Ausgehend von einer Parametereinstellung des PI{Reglers von kC = 5 und ti = 1 s (Bild 3.7 a)) (mit deutlichen U berschwingen) werden die Regelparameter in 5 Iterationsschritten so eingestellt, da die F uhrungsgr oe Fsoll = 3000 N ohne U berschwingen mit einer geringen Anstiegszeit und ohne statische Regelabweichung erreicht wird. Bei einer Paramerteinstellung des PI{Reglers, welche zu einem sehr tr agen Systemverhalten f uhrt z. B. f ur kC = 1 und ti = 200 s ist der Fuzzy{Algorithmus nicht in der Lage den PI{Regler automatisch einzustellen. Somit bleibt das Verfahren auf bestimmte Arten von Systemantworten begrenzt und wird aus diesem Grund nicht f ur den Proze der Bauteilpr ufmaschine eingesetzt.

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

4000

4000

Fist

F N] 3000 2000

F N] 3000 2000

Fsoll

1000 a)

F N]

3000 2000 1000

c)

00

Fsoll Fist

1000

00 4000

14

5 t s]

10 b)

00 4000

Fsoll F N] Fist

3000 2000 1000

5

t s]

10

d)

00

5 t s]

10

5

10

Fsoll Fist t s]

Bild 3.7: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 3000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{ Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 2 bzw. 3 Iterationsschritte. Bild d): Systemantwort nach 5 Iterationsschritte

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

5000 4000 F N] 3000 2000 1000 00 a) 5000 4000 F N] 3000 2000 1000 00 c)

Fist

15

5 t s]

5000 Fsoll 4000 F N] 3000 Fist 2000 1000 00 10 b)

5 t s]

10

5 t s]

5000 Fsoll 4000 F N] 3000 Fist 2000 1000 00 10 d)

5 t s]

10

Fsoll

Fsoll Fist

Bild 3.8: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 4000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{ Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 2 bzw. 3 Iterationsschritte. Bild d): Systemantwort nach 5 Iterationsschritte

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

3.2 Einstellverfahren uber zwei Merkmale

16

Bei diesem Einstellverfahren wird genauso wie beim Einstellverfahren nach dem Muster des Wendetangenten{Verfahrens nur verlangt, da die Regelstrecke stabil ist. Es werden keine weiteren A{priori{Kenntnisse u ber Ordnung, Totzeit oder Eigendynamik vorausgesetzt. Das Ziel ist hierbei, ausgehend von sehr kleinen Reglerverst arkungen die Parameter so nachzustellen, da sich "optimale\ feste Regelparameter ergeben. Pfeier (1994) beschr ankt sich mit seinem Verfahren auf PI{Regler. Der Grundgedanke besteht darin, die Regelgr oe einem Soll{Verlauf folgen zu lassen und anhand von G utekriterien und deren Auswertung mittels Fuzzy{Logik die Regelparameter nachzustellen, bis eine hinreichende G ute erreicht ist. Als Bewertungskriterien der Regelg ute werden zwei Merkmale ausgewertet, welche Eingangsgr oen des Fuzzy{Algoritmus sind.   Uberschwingweite ov : Nach der DIN 19226, Teil 2, ist dies die gr ote Abweichung der Sprungantwort vom Beharrungswert y1 nach dem erstmaligen Erreichen der Einschwingtoleranz y1 ". Da der U berschwinger nur in der ersten H alfte der Sprungantwort gesucht wird, k onnen auch negative Werte erreicht werden, falls das Toleranzband gar nicht erreicht wird. Zur Normierung wird der Signalwert auf die H ohe des F uhrungssprunges bezogen.  Einregelverhaltnis  = t~an=tein : beschreibt die Anschwingzeit ~tan, bezogen auf die Einschwingzeit tein . Nach Verstreichen der Einschwingzeit bleiben die Abweichungen des Signals vom Beharrungszustand innerhalb des Toleranzbandes ". Bei der Anschwingzeit t~an erreicht die Sprungantwort erstmals die Einschwingtoleranz (Bild 3.9). Die scharfen Werte der beiden Merkmale U berschwingweite ov und Einregelverh altnis  werden f ur jede sprungartige A nderung der F uhrungsgr oe ermittelt, fuzziziert ( uber Fuzzy{Einermengen) und daraus die Korrekturen der Regelparameter f ur den n achsten Sprung errechnet. Ausgangsvariablen der Fuzzy{Einstellebene sind die Faktoren krTuning und cirTuning zur Anpassung der Regelparameter gem a kc = kc krTuning (3.16) und cI = cI cirTuning (3.17) mit cI = q0+k q1 , kc = p0 und den Ausgangsvariablen der Fuzzy{Einstellebenen krTuning und cirTuning , welche durch Auswertung von ov und  mit der Fuzzy{Logik ermittelt werden. cI ist der relative I {Anteil und kc die Verst arkung der z{U bertragungsfunktion des PI{Reglers  ;1 ! z (3.18) GR (z) = kc 1 + cI 1 ; z;1 

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik y(t)

17

U berschwingweite

1,25

Beharrungswert Einschwingtoleranz 2"

1,0 0,75 0,5 0,25 0

0

1 Anschwingzeit Einschwingzeit

2

3

4

t

5

Bild 3.9: Merkmal der Sprungantwort

welche die z{Transformierte des Regelalgorithmus

u(k) = u(k ; 1) + q0 e(k) + q1 e(k ; 1)

(3.19)

mit q0 = kC und q1 = ;kC (1 ; T=ti) ist.

Fuzzizierung:

Aus dem Verlauf der Sprungantwort werden die zwei Merkmale bestimmt und auf einen Denitionsbereich D abgebildet und anschlieend u ber Fuzzy{Einermengen fuzziziert. Durch die Fuzzizierung u ber Fuzzy{Einermengen erh alt man die unscharfen Merkmale Ov (fuzzizierte Gr oe ov ) und ; (fuzzizierte Gr oe  ). Die Fuzzy{Referenzmengen f ur das U berschwingen ov werden mit den linguistischen Variablen "negativ\ (AO1 v ), "zu klein\ (AO2 v ), "in Ordnung\ (AO3 v ) und "zu gro\ (AO4 v ) sowie f ur das Einregelverh atnis  mit "zu klein\ (A;1), "in Ordnung\ (A;2) und "zu gro\ (A;3) belegt. Die Fuzzy{Referenzmengen werden wie bei dem anderen Fuzzy{Algorithmus u ber st uckweise lineare Zugeh origkeitsfunktionen beschrieben (hier halbe TrapezeL, halbe TrapezeR und ganze Trapeze):

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

18

Fuzzy{Referenzmenge als Trapez: 80 f ur x 62 ]c1 c2 > > > < mx ;;cc1 f ur x 2 c1  m1 (3.20) A (x) = > 1 1 1 f ur x 2 m1 m2] : > : c2 ; x f ur x 2 ]m2 c2 ] c 2 ; m2 In der Tabelle 3.4 sind die Werte der Modalwerte m und die Begrenzungen der Einubereiche der Fuzzy{Referenzmengen (Kruse, Gebhardt und Klawonn 1994) sowie in den Bildern 3.10 und 3.11 die Fuzzy{Referenzmengen u ber D N bzw. D +N dargestellt. Fuzzy{ Referenzmengen AO1 v AO2 v AO3 v AO4 v A;1 A;2 A;3

Kurzschreibweise

m = ;0 1 c2 = ;0 05 c1 = ;0 1 m1 = ;0 05 m2 = 0 c2 = 0 05 c1 = 0 m1 = 0 05 m2 = 0 1 c2 = 0 3 c1 = 0 1 m = 0 3 c2 = 1 c1 = 0 m = 0 1 c2 = 0 25 c1 = 0 1 m1 = 0 25 m2 = 0 6 c2 = 0 8 c1 = 0 6 m = 0 8 c2 = 1

Tabelle 3.4: Fuzzy{Referenzmengen in Kurzschreibweise AO1 v

AOi(vOv ) AO2 v

1

AO3 v

AO4 v

-0,3 -0,2 -0,1 0,3 0,2 0,3 0,4 0,5 Ov 0 Bild 3.10: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen AOi(Ov v) mit i(Ov ) = 1 : : :  4 u ber den Denitionsbereich D N

Regelbasis und Inferenz:

Insgesamt werden jeweils 12 relationale Fuzzy{Regeln der Form Wenn (Ov Ist AOi(Ov v)) Und (; Ist A;i(;)) Dann (KrTuning Ist ZiKr(KrTuning Tuning ) )  (3.21)

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

A;i(A; ) 1

A;1

A;2

19

A;3

0,2 0,4 0,6 0,8 0 1 ; Bild 3.11: Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen A;i(;) mit i(;) = 1 : : :  3 u ber den Denitionsbereich D N bzw.

Tuning Wenn (Ov Ist AOi(Ov v)) Und (; Ist A;i(;)) Dann (CirTuning Ist ZiCir (CirTuning ) )

(3.22) mit i(Ov ) = 1 : : :  4, i(;) = 1 : : :  3, i(KrTuning ) = 1 : : :  10 und i(CirTuning) = 1 : : : 11 ausgewertet. In den Tabellen 3.5 und 3.6 sind die Karnaugh{Tafeln der beiden Regelbasen dargestellt. Da in den Konklusionen der relationalen Regeln nur Fuzzy{Einermengen angesprochen werden, sind in den Karnaugh{Tafeln die entsprechenden Modalwerte m der Fuzzy{Einermengen (scharfe Werte) eingetragen. ; ; A1 A;2 A;3 AO1 v 2,0 2,1 2,5 Ov AO2 v 1,1 1,3 1,5 AO3 v 1,0 1,0 1,0 AO4 v 0,4 0,5 0,6 Tabelle 3.5: Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung des Faktors krTuning ; A A;2 A;3 AO1 v 2,5 1,3 1,2 Ov AO2 v 2,2 1,1 1,0 AO3 v 2,0 1,0 0,9 AO4 v 2,3 0,8 0,7 Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung des Faktors ; 1

Tabelle 3.6: cirTuning

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

20

Der Erf ulltheitsgrad einer jeden Regel

z (Ov  ;) = AOi(vOv ) A;i(;)

(3.23)

berechnet sich u ber das algebraische Produkt. Die Komposition wird u ber den SUM{ PROD{Operator vorgenommen. Dies bedeutet, da die Implikation bzw. Aktivierung nach Larsen erfolgt und die vertikale Partialaggregation durch die Summenbildung belegt ist.

Defuzzizierung:

Die Defuzzizierung erfolgt nach der Schwerpunktmethode f ur Fuzzy{Einermengen (Kahlert und Frank 1993, Bertram u. a. 1994) zur Berechnung der Ausgangsvariablen des Fuzzy{Algorithmus 10 X

z=1

z (Ov  ;) mz

krTuning = X 10 bzw.

z=1 11 X

z=1

(3.24)

z (Ov  ;)

z (Ov  ;) mz

cirTuning = X 11

z=1

z (Ov  ;)

:

3.3 Modikation des Adaptions Algorithmus

(3.25)

Nach Pfeier (1994) mu die Sprungl ange gro genug gew ahlt werden, so da der Proze einen station aren Endwert erreichen kann. Somit k onnen die Merkmale t~an und tein bestimmt werden. U ber die Gr oe des Toleranzbandes macht Pfeier keine Aussagen. Liegt z. B. die Sprungantwort unterhalb der fest vorgegebenen Schranke, kann die Einregelzeit nicht bestimmt werden. Um dies zu vermeiden, wurde ein variables Toleranzband

" 6= const: gew ahlt, da sich nach dem letzten Wert der Sprungantwort richtet. In einem ersten Ansatz wurden die Fuzzy{Referenzmengen der U berschwingweite Ov nach links verschoben und die Modalwerte m sowie die Begrenzungen der Einubereiche c der Fuzzy{Referenzmegen AOi(Ov v) nach heuristischen Gesichtspunkten modiziert (Bild 3.12). Damit wurde eine U berschwingweite von 1%-2% realisiert. Das U berschwingen kann nicht ganz eliminiert werden, da da Verfahren ein schwingungsf ahiges System voraussetzt. Bei der hier vorliegenden Regelstrecke l at sich ein U berschwinger durch eine Vergr oerung der Nachstellzeit kompensieren. Dabei soll die Verst arkung geringf ugig verkleinert werden. Dazu wurde eine zus atzliche vierte Fuzzy{Referenzmenge f ur die Eingangsgr oe ; deniert (Bild 3.13).

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

AO1 v

AOi(vOv ) AO2 v 1 AO3 v

21

AO4 v

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Ov Bild 3.12: Modizierte Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen AOi(Ov v) mit i(Ov ) = 1 : : : 4 u ber den Denitionsbereich D A;i(;) ; A; A;4 A;3 1 A1 2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Ov Bild 3.13: Modizierte Partitionierung der Fuzzy{Referenzmengen A;i(;) mit i(;) = 1 : : : 4 u ber den Denitionsbereich D Die Konklusionen wurden in der Simulation f ur die modizierten Mengen angepat und erweitert. In der Tabelle 3.7 sind die Modalwerte m und die Begrenzungen der Einubereiche c der Fuzzy{Referenzmengen AOi(Ov v) und A;i(;) zusammengefat. Fuzzy{ Referenzmengen AO1 v AO2 v AO3 v AO4 v A;1 A;2 A;3 A;4

Kurzschreibweise

m = ;0 13 c2 = ;0 08 c1 = ;0 13 m1 = ;0 08 m2 = ;0 06 c2 = 0 01 c1 = ;0 06 m1 = 0 01 m2 = 0 02 c2 = 0 1 c1 = 0 01 m = 0 1 m = 0 c2 = 0 05 c1 = 0 m1 = 0 05 m2 = 0 1 c2 = 0 25 c1 = 0 1 m1 = 0 25 m20 = 0 9 c2 = 1 1 c1 = 0 9 m = 1 1

Tabelle 3.7: Fuzzy{Referenzmengen in Kurzschreibweise Aufgrund der zus atzlich eingef uhrten Fuzzy{Referenzmenge A;1 werden nun 16 relationale Fuzzy{Regeln der Form (3.19) und (3.20) mit i(Ov ) = 1 : : : 4, i(;) = 1 : : : 4, i(KrTuning ) = 1 : : :  13 und i(CirTuning) = 1 : : :  14 ausgewertet. In den Tabellen 3.8

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

22

und 3.9 sind die modizierten Karnaugh{Tafeln der beiden Regelbasen dargestellt. ;

A A A;3 A;4 AO1 v 2,0 2,1 2,2 2,5 Ov AO2 v 1,1 1,2 1,5 1,8 AO3 v 1,0 1,0 1,0 1,0 AO4 v 0,4 0,9 0,65 0,7 Tabelle 3.8: Modizierte Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung des Faktors krTuning

AO1 v Ov AO2 v AO3 v AO4 v

; 1

; 2

A 2,5 2,2 2,0 2,3

A 1,3 1,2 0,8 0,4

; 1

; 2

;

A;3 1,3 1,1 1,0 0,75

A;4 1,2 1,0 0,9 0,7

Tabelle 3.9: Modizierte Karnaugh{Tafel des Fuzzy{Algorithmus zur Berechnung des Faktors cirTuning

cirTuning

3 2,5 2 1,5 1 0,5 00

0,2

0,4 0,6  0,8

1

0,4

0,2

-0,2 0 ov

Bild 3.14: Kennfeld des Faktors cirTuning

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

krTuning

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 ov

0.3

0,4 0,5 0

0,2

0,8 0,6  0,4

23

1

Bild 3.15: Kennfeld des Faktors krTuning Die Kennfelder der Ausgangsgr oen des Fuzzy{Algorithmus sind in den Bildern 3.14 und 3.15 aufgetragen. In dem Bild 3.16 ist der Verlauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Medaten der Bauteilpr ufmaschine dargestellt. Ausgehend von einer Parametereinstellung des PI{Reglers von kC = 1 und ti = 100 s (Bild 3.16 a)) (sehr tr ages Systemverhalten) werden die Regelparameter in 10 Iterationsschritten so eingestellt, da die F uhrungsgr oe Fsoll = 3000 N ohne U berschwingen mit einer geringen Anstiegszeit und ohne statische Regelabweichung erreicht wird. W ahrend des gesamten Einstellvorgangs konnten gef ahrliche Parameter{Einstellungen des PI{Reglers mit heftigen Oszillationen vermieden werden. Im Bild 3.17 sind die Parameter Verst arkung kC und Nachstellzeit ti des PI{Reglers u ber die Iterationsschritte aufgetragen. Auch bei einer Ausgangseinstellung der Parameter, welches zu einem U berschwingen der Systemantwort f uhrt, stellt der Fuzzy{Algorithmus die Parameter wieder so ein, da ein gutes Ergebnis hinsichtlich der Regelg ute erreicht wird (Bild 3.18). Sehr sch on k onnen in den Bilder 3.17 und 3.19 die unterschiedlichen Tendenzen in der Parametereinstellung der Verst arkung kC und der Nachstellzeit ti f ur die beiden unterschiedlichen Grundeinstellungen des PI{Reglers mit dem damit verbundenen Systemverhalten der Bauteilpr ufmaschine erkannt werden. Weitere Meergebnisse sind im Anhang dargestellt.

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

4000

F N]

Fsoll

3000

2000

F N] 2000

Fist

1000 a)

00

F N]

2000

Fsoll

5

t s]

Fist

1000 c)

00

Fist

1000

4000 3000

Fsoll

4000

3000

24

5 t s]

10

b)

00

5000 4000 F N] 3000 2000 1000 10 d) 00

5

t s]

10

Fsoll Fist

5 t s]

10

Bild 3.16: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 4000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 3 bzw. 6 Iterationsschritten. Bild d): Systemantwort nach 10 Iterationsschritten

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

25

6

kC

ti

4 2 01

2

3

4

5

6

200 190 180 170 160 1501

7 Iterations8 9 schritte

2

3

4

5

6

7

10

8 9 10 Iterationsschritte Bild 3.17: A nderungen der Parameter des PI{Reglers kC und ti u ber die Iterationsschritte f ur Fsoll = 4000 N ausgehend von einem sehr tr agem Systemverhalten (mit einer Parametereinstellung (Anfangseinstellung) von kC = 0 5 und ti = 200 s)

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

8000

F N]

8000

Fist

6000

Fsoll

4000

F N]

2000 a)

F N]

6000 4000

5 t s]

10 b)

c)

Fist

00 8000

Fsoll F N]

Fist

2000 00

4000

Fsoll

2000

00 8000

6000

26

6000 4000

5 t s]

10

5 t s]

10

Fsoll Fist

2000 5 t s]

10 d)

00

Bild 3.18: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 3000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 6 bzw. 9 Iterationsschritten. Bild d): Systemantwort nach 15 Iterationsschritten

3 Einstellverfahren klassischer PI{Regler mit der Fuzzy{Logik

kC

ti

4,5 4 3,5 3 2,5 20

5

10

50 40 30 20 10 00

5

10

Iterationsschritte

27

15

15 Iterationsschritte Bild 3.19: A nderungen der Parameter des PI{Reglers kC und ti u ber die Iterationsschritte ausgehend von einem stark u berschwingenen Systemverhalten (mit einer Parametereinstellung (Anfangseinstellung) von kC = 2 und ti = 1 s)

4 Zusammenfassung und Ausblick

28

4 Zusammenfassung und Ausblick

Zur U berpr ufung der Dauerfestigkeit von Bauteilen l at sich in einer Pr ufmaschine mit Hilfe eines hydraulischen Zylinders ein gew unschtes Belastungsprol erzeugen. Die dynamischen und statischen Eigenschaften der Regelstecke werden mageblich durch die zu untersuchenden Proben bestimmt und sind daher in der Regel nicht exakt bekannt, so da die Parameter der Kraftregelung an das ver anderliche Streckenverhalten angepat werden m ussen. Der zeitliche Verlauf der Belastungskraft wird mit einem konventionellen PI{Regler geregelt. Die Anpassung erfolgt zur Zeit von Hand z. B. nach heuristischen Faustformeln oder Tuningvorschriften. In diesem Bericht werden zwei Fuzzy{Algorithmen zur voll automatisierten Regeleinstellung vorgestellt. Beide zeichnen sich durch  eine einfache Handhabung,

 ein einfaches und verst andliches Konzept,  keine Bedienparameter  sowie eine geringe Anforderung an das Streckenverhalten aus. Das selbsteinstellende Verfahren dient dazu, w ahrend der Inbetriebnahmephase der Anlage oder auf gesonderten Wunsch des Anwenders eine geeignete Reglereinstellung zu gewinnen. Die Parameter der PI{Regler werden dabei sukzessiv im geschlossenen Regelkreis eingestellt. Die besten Ergebnisse konnten mit dem stark modizierten selbsteinsstellenden Verfahren von Pfeier erzielt werden (Chatziioannidis 1995). Das Verfahren zeigte in der Simulation mit dem Simulationsprogramm Hyvos 4.0 der Firma Mannesmann{ Rexroth f ur unterschiedlichste Federsteigkeiten und auch am Versuchstr ager einer Bauteilpr ufmaschine hervorragende Ergebnisse. Das Verfahren zeichnet sich durch die sehr wenige Merkmale (zwei) und Iterationsschritte (Anpassungsschritte) (zehn) zur Einstellung der Regelparameter aus. Weiter ist der Algorithmus sehr logisch aufgebaut und in seiner Berechnung der Parameter des PI{Reglers sehr gut nachvollziebar und somit sehr transparent und seine Anwendbarkeit ist unabh angig von der Anfangseinstellung des PI{ Reglers. Zur Anwendung des selbsteinstellenden Verfahrens ist kein mathematisches Prozemodell und keine weiteren A{priori Informationen hinsichtlich Ordnung oder Totzeit eines Prozesses n otig. Vorausgesetzt werden mu lediglich, da der Proze stabil ist und das ein PI{Regler prinzipiell geeignet ist. Nachdem eine automatische Inbetriebnahme der Bauteilpr ufmaschine m oglich ist, kann nun eine on{line Adaption der Regelparameter des PI{Reglers durchgef uhrt werden. Eine M oglichkeit besteht in der Adaption der Regelparameter des konventionellen PI{Reglers nach jedem Abtastschritt w ahrend des Betriebs nach Entscheidungstafeln (Tzafestas und Papanikolopoulos 1990, He, Tan und Hang 1993, He, Tan und Xu 1993).

5 Literaturverzeichnis

29

5 Literaturverzeichnis Bertram, T., F. Svaricek, T. Bindel, R. B
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5 Literaturverzeichnis

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Ziegler, J.G. und N.B. Nichols. 1942. Optimum Setting for Automatic Controllers. Trans. AMSE 64, 759{769.

A Meergebnisse

31

A Meergebnisse Fsoll

3000

3000

F N] 2000

F N] 2000 Fist

1000 a)

00

Fsoll

3000

5 t s]

1000 10 b)

F N]

1000

Fist

00 4000

Fist

F N] 2000

c)

Fsoll

3000 2000

5 t s]

10

5 t s]

10

Fsoll Fist

1000

00

5 t s]

10 d)

00

Bild A.1: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 3000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 3 bzw. 6 Iterationsschritten. Bild d): Systemantwort nach 10 Iterationsschritten

A Meergebnisse

kC

5 4 3 2 1 01

32

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

200

ti

8 9 Iterationsschritte

10

180 160 1401

8 9 10 Iterationsschritte

Bild A.2: Anderungen der Parameter des PI{Reglers kC und ti u ber die Iterationsschritte ausgehend von einem sehr tr agem Systemverhalten (mit einer Parametereinstellung (Anfangseinstellung) von kC = 0 5 und ti = 200 s)

A Meergebnisse

33

6000

F N] 4000

5 t s]

5000 4000 F N] 3000 2000 1000 00 10 b)

5 t s]

5000 4000 F N] 3000 2000 1000 00 10 d)

Fist Fsoll

2000 a)

00

5000 4000 F N] 3000 2000 1000 00 c)

Fsoll Fist

Fist Fsoll

5 t s]

10

5 t s]

10

Fsoll Fist

Bild A.3: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 4000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 3 bzw. 6 Iterationsschritten. Bild d): Systemantwort nach 10 Iterationsschritten

A Meergebnisse

34

3,5

kC

3 2,5 2 1.5

0

2

4

6

2

4

6

40

ti

8

10 Iterationsschritte

12

30 20 10 00

8 Iterations10 12 schritte

Bild A.4: Anderungen der Parameter des PI{Reglers kC und ti u ber die Iterationsschritte ausgehend von einem stark u berschwingenen Systemverhalten (mit einer Parametereinstellung (Anfangseinstellung) von kC = 2 und ti = 1 s)

A Meergebnisse

10000 8000 F N] 6000 4000 2000 00 a) 8000

F N]

35

Fist Fsoll

F N]

5t s]

10 b)

Fsoll

c)

6000

Fist

4000 00 8000

F N]

Fist

2000 00

Fsoll

2000

6000 4000

8000

6000 4000

5 t s]

10

5 t s]

10

Fsoll Fist

2000 5t s]

10 d)

00

Bild A.5: Ablauf der Einstellung des PI{Reglers anhand von Meergebnissen der Sy-

stemantwort der Bauteilpr ufmaschine f ur einen Sollwertsprung von Fsoll = 7000 N. Bild a): Systemantwort bei der Anfangseinstellung der Parameter des PI{Reglers. Bild b) und c): Systemantwort nach 9 bzw. 15 Iterationsschritten. Bild d): Systemantwort nach 20 Iterationsschritten

A Meergebnisse

36

8

kC

6 4 2

ti

00

2

4

6

8

10

12

100 80 60 40 20 00

2

4

6

8

10

12

14 16 Iterationsschritte

18

20

14 16 18 20 Iterationsschritte Bild A.6: A nderungen der Parameter des PI{Reglers kC und ti u ber die Iterationsschritte ausgehend von einem stark u berschwingenen Systemverhalten (mit einer Parametereinstellung (Anfangseinstellung) von kC = 2 und ti = 1 s)