Basics of: Construction Design Fundamental Construction

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Basics of:

Construction Design                                                         Fundamental Construction  

"We believe to have experiences, but experiences make us " (Eugene Ionesco)

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T160201KTL-S1.docx

Development and Construction

Einleitung Alle Bauteile werden unter der Einwirkung von äußeren Kräften verformt. Diesen äußeren Kräften wirken im Werkstoffgefüge innere Kräfte entgegen, die der Verformung einen Widerstand entgegen setzen. Je nach Richtung der Belastungskraft und der von ihr am Bauteile bewirkten Verformung werden 5 Grundbeanspruchungsarten unterschieden (Abb.). Grundbeanspruchungen: Normalbeanspruchungen „Sigma“

Zug

σ Grundlagen der KonstruktIonslehre

Schubbeanspruchungen „Tau“

Biegung

Druck

σ

σ

Sonderformen:

Flächenpres. "p" • Unterart der Druckbeanspruchung

Abscherung

Torsion

τ

τ

Knickung "σ" • Unterart der Normalspannungen

Abb.: Grundbeanspruchungen

Die Beanspruchungen Flächenpressung und Knickung (unten rechts) gelten als Sonderformen. Eine weitere wichtige Unterscheidung ist die nach Art der Belastungsrichtung (Abb.).

Normal (σ)

Schub (τ)

Im folgenden sind alle 5 Grundbeanspruchungen sowie die Sonderformen beschrieben. Dieses Skript stützt sich auf die Literaturreihe nach „Alfred Böge“.

2

Development and Construction

1. Beanspruchung auf Zug 1.1. Zugspannungsgesetz

σz =

FN S

σz

= Zugspannung

[N/mm ]

FN S

= Normalkraft in = Querschnitt

[N]

2

2

[ mm ]

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Abb.: Zugbeanspruchung

Innerhalb der Brundbeanspruchung auf Zug erfolgt die Belastung ausschließlich längs zum Querschnitt, es handelt sich also um eine „Normalspannung“. In der Praxis kann sich die Beanspruchung noch am ehesten in einer klassischen Schraubverbindung (Abb.) vorgestellt werden. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „S“: ► 661, 662, 663, 664, 665, 667, 668, 669, 670, 672, 673, 678 Level „M“: ► 666, 675, 676, 681, 682, 684 Level „L“: ► 671, 671, 674, 677 Level „XL“: ► 679, 680, 683, 690 – 694

1.2. Zugversuch/ Hookesches Gesetz Diese Beanspruchungsart bildet dient zur Ermittlung der Festigkeitskennwerte „Rm“ = Zugfestigekeit und „Re“ = Streckgrenze aus dem Zugversuch (Abb.). Die ermittelten Kennwerte bilden die Basis für die Konstruktion von Bauteilen.

Rm Re E

2

= Zugfestigkeit

[N/mm ]

= Streckgrenze

[N/mm ]

2 2

= Elastizitätsmodul [N/mm ]

Das E-Modul ist für jeden Werkstoff ein konstanter Wert, 2 für Stahl ist: E = 210.000 N/ mm

E=

Λl lo

σ ε

ε=

Λl lo

= Längenänderung [mm] = Anfangslänge

[mm]

Abb.: Zugversuch

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „M“: ► 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708 Level „L“: ► 709, 710 (Eigengewicht), 711

3

Development and Construction

1.3. Arbeit (Formänderungsarbeit) 1 Joule (J) ist gleich der Arbeit, die eingesetzt werden muss wenn ein Punkt mittels der Kraft von 1N um den Weg 1m verschoben wird.

Somit gilt: Nm = Kinetische Energie

J = Wärmeenergie

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Das entsprechende Grundgesetz ist: W =

Ws = Elektrische Energie

F ⋅ Λl 2

Beispiel: Ein Fahrzeug wird mit konstanter Kraft von 100 N einen Weg von 10 m gezogen. Dann wist die Arbeit: W = F x s = 1000 J Zum besseren Verständnis dient die zeichnerische Darstellung. Hierbei entspricht die Arbeit dem Flächeninhalt im Kraft, Weg Diagramm (Abb).

Abb.: Kraft, Weg Diagramm

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „M“: ► 698, 700, 706, 708

1.4. Sicherheitsberechnung Die Sicherheitszahl einer jeweiligen Konstruktion ist immer der Quotient aus der maximalen Spannung und der zulässigen Spannung eines Werkstoffes. Die maximale ist bei Beanspruchung auf Zug gleichzeitig die Zugfestigkeit „Rm“ aus dem Zugversuch (siehe oben).

ϑ=

Rm ≥1 σ zul

Rm

= Zugfestigkeit

[N/mm ]

σzul

= Zulässige Spannung in

[N/mm ]

2

2

4

Development and Construction

1.5. Eigengewichtskraft Zum besseren verdeutlichung zunächst eine Schätzfrage: „Wie lange müsste ein Stab aus Stahl werden, damit er allein aufgrund seines Eigengewichtes abreißt“? Stellen wir uns diesen Vorgang anhand einer gekochten Spagetti vor. Spielt die Dicke der Spagetti bzw. des Stahlstabes eine Rolle? Reißlänge:

Grundlagen der KonstruktIonslehre

lR =

σ z ( Rm) 3 ⋅10 [m] δ ⋅g

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 688

Im Folgenden wird das Eigengewicht der Bauteile inkl zusätzlicher Kräfte mit berücksichtigt. Neben der Basisgesetz der Zugspannung wird zusätzlich Länge, Dichte und Erdbeschleunigung berücksichtigt. Hieraus folgt:

σz =

F + l ⋅δ ⋅ g S

Die Schwierigkeit besteht darin das unterschiedliche Einheiten vereinheitlicht werden müssen. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt sich in den folgenden „fertigen“ Zahlenwertgleichungen. Wichtig hierbei ist das ausschließliche Verwenden der Basiseinheiten. 1.

"l ⋅δ ⋅ g ⋅ S % F = σ z ⋅ S −$ [N ] # 10 3 '& 2.

S=

F mm 2 l ⋅ g ⋅ δ ⎡ ⎤ σ z − ⎢ 3 ⎥ ⎣ 10 ⎦

[

3.

σz =

F l ⋅ g ⋅δ + S 10 3

] ⎡ N ⎤ ⎢ mm² ⎥ ⎣ ⎦

Wichtig: Immer in den angegebenen Basiseinheiten einsetzen. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 666, 689

N kg m , , , N , m, mm² dm³ s ²

5

Development and Construction

2. Beanspruchung auf Druck/Flächenpressung Die einfache Druckbeanspruchung ist der Umkehrfall der Zugbeanspruchung. Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse (Abb.). 2.1. Druckspannungsgesetz

Grundlagen der KonstruktIonslehre

σd =

FN S

σd

= Druckspannung

[N/mm ]

FN S

= Normalkraft in = Querschnitt

[F]

2

2

[ mm ]

Abb.: Druckbeanspruchung

Auch hier tritt die Spannung ausschließlich längs zum Querschnitt auf. Die Druckbeanspruchung in seiner Grundform zählt daher auch zur Familie der Normalspannungen. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,

2.2. Flächenpressung (Sonderfall 1 der Druckbeanspruchung) Beanspruchung auf Flächenpressung ist eine Sonderform der Druckbeanspruchung und wird neben der Knickung die auch durch Druck verursacht wird als Sonderfall der Beanspruchungen eingestuft. Die Querschnittfläche die es zu beachten gilt ist hier eine projezierte (Abb.). Es ist also wichtig nicht bei einer Welle etwa die naheliegende Mantelfläche sonder das projezierte Rechteck zu betrachten.

p= p FN S

FN S proj 2

= Flächenpressung

[N/mm ]

= Normalkraft in = Projezierter Querschnitt

[F] 2

[ mm ]

Abb.: Projezierter Querschnitt bei Passfeder

Flächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei Festkörpern. Die Flächenpressung ist im Gegensatz zum Druck nicht isotrop, das heißt, sie hat – wie eine Spannung – eine Richtung, und sie ist über die Kontaktfläche nicht notwendigerweise konstant wie im Schaubild am Farbverlauf zu entnehmen ist. Daher ist das Formelzeichen hier ein ‚p“. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723, 6

Development and Construction

2.3. Lochleibungsdruck (Sonderfall 2 der Druckbeanspruchung) Tritt Flächenpressung in Nietverbindungen auf sprechen wir von „Lochleibungsdruck. Da hier die Kraft isotrop -also Richtungskonstant- auftritt ist es eine Normalspannung und wird mit dem Formelzeichen „σL“ bezeichnet.

Grundlagen der KonstruktIonslehre

σL =

FN S proj

σL

= Flächenpressung

[N/mm ]

FN S

= Normalkraft in = Projezierter Querschnitt

[F]

2

Abb.: Projezierter Querschnitt bei Nietverbindung 2

[ mm ]

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,

2.4. Schraubenverbindungen/ Mutternhöhe Un diesem Abschnitt geht es um die Flächenpressung in Gewinden. Das Ziel ist die sogenannte erforderliche Mutternhöhe zu bestimmen.

p= p P d2 H1 FN m

F⋅P π ⋅ d 2 ⋅ H1 ⋅ m 2

= Flächenpressung

[N/mm ]

= Gewindesteigung

[siehe Tab]

= Flankendurchmesser

[mm]

= Tragtiefe

[siehe Tab]

= Normalkraft in = Mutternhöhe

[F] [mm]

Abb.: Mutternhöhe

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,

2.5. Drücke 1 N/mm² = 10bar F=p*A Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 674

7

Development and Construction

Grundlagen der Trägheitslehre Das Trägheitsmoment „I“ und das Widerstandsmoment „W“ sind ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnitts. Sie werden in den Kapiteln „Biegung“ und „Torsion“ benötigt um die jeweiligen Spannungen zu bestimmen. Da Widerstandsmomente in Abhängigkeit zum Trägheitsmoment stehen, dürfen Widerstandsmomente niemals addiert oder subtrahiert werden. Bei der Aufteilung von zusammengesetzten Flächen in Teilflächen ist zu versuchen, dass die Schwerlinien der Teilflächen mit der Hauptschwerachse zusammen fallen. Gelingt dies nicht, fallen also die Teilschwerlinien nicht mit der Hauptschwerlinie zusammen, so muss diese Verschiebung mittels dem Gesetz des Steinerschen Verschiebesatzes berücksichtigt werden. Verschiebesatz nach Steiner:

Grundlagen der KonstruktIonslehre

2

2

I = I1 + A1 ⋅ l1 + I 2 + A2 ⋅ l2 + ...I n + An ⋅ ln I A

2

3

= Axiales Flächenmoment

[mm ]

= Fläche

[mm ]

2

Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 768, 769, 770, 774,

Das Widerstandsmoment „W“ ist eine „Kennzahl“ über die Steifigkeit von Querschnitten. Wir benötigen es für die Berechnung der Biege- bzw. Torsionsspannung. Wir unterscheiden generell 3 Szenarien:

I. Standard

II. Zusammengesetzt

III. Komplex

Berechnung erfolgt nach Formeln: (Böge 4.13, 4.14) oder Tabellen: (Böge ab 4.24) Übungsempfehlung:  

Berechnung erfolgt durch "Konstruktion" der Einzelflächen auf eine gemeinsame Schwerlinie   Übungsempfehlung:   ► ab 768, 769

Berechnung muss nach Verschiebegesetz nach "Steiner" erfolgen. Vorsicht: Beachte auch Einbaulage. Übungsempfehlung:   ► ab 774, 775, 804

► ab 768, 769

Abb.: Drei Szenarien der Widerstandsmomentenberechnung

Da Szenario 3 relativ aufwendig erscheint, folgt nunmehr ein Musterbeispiel zur Bestimmung der Widerstandsmomente. 8

Development and Construction

Musterbeispiel: 774 Gegeben sei nachfolgend dargestellte Skizze. Gesucht: a) die Schwerpunktsabstände ex1, ex2 b) die axialen Flächenmomente Ix, Iy c) die axialen Widerstandsmomente Wx, Wy.

ex2

b A2 (Fläche Hohlraum)

Y

h1 Schwerlinie Körper 2 (Hohlraum)

b1

h

Schwerlinie Körper 1

X

ex1 =yo

MT- Verlauf

Hauptschwerlinie

Y2

S

Y1

l1

l2

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Anmerkung 1: „l1“ und „l2“ sind die Verschiebungen der Teilschwerlinien zur Hauptschwerlinie gemäß: „Verschiebesatz von Steiner“.

A1 (Fläche groß)

ey =xo

Anmerkung 2: Der Randfaserabstand ey befindet sich aufgrund der Symmetrie in der Mitte des Körpers und muss somit nicht mathematisch bestimmt werden.

Lösung a. Zur Vereinfachung ziehen wir in unserem Beispiel den inneren Hohlraum vom gesamten Körper ab. Zur Erzielung des gleichen Resultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und nach bekanntem Schema vorgehen. Wir bestimmen die Randfaserabstände ex1 und ex2 (siehe Skizze) nach der allgemeinen Formel:

yo =

A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y2 + ... An ⋅ yn b ⋅ h ⋅ y1 − b1 ⋅ h1 ⋅ y2 50 ⋅ 80 ⋅ 40 − 34 ⋅ 40 ⋅ 50 ⇒ yo = = b ⋅ h − b1 ⋅ h1 50 ⋅ 80 − 34 ⋅ 40 Ages (gleiches gilt für ey bzw. xo!)

yo = 34,84mm Wir erinnern uns an das Thema „Schwerpunktslehre“ aus dem Fach Fahrzeugmechanik. Hierbei entspricht:

ex ⇒ yo ey ⇒ xo

Hieraus folgt:

ex1 = 34,84mm

ex 2 = h − ex1 = 45,15mm

Die unterschiedliche Benennung (yo wird ex und xo wird ey) rührt daher, dass es im Fach Mechanik um die Bestimmung und Definition des Schwerpunktes geht und jeweils entlang der X-Achse bzw. der Y-Achse im Koordinatensystem der Abstand des Schwerpunktes berechnet wird. 9

Development and Construction

Im Fach Konstruktionstechnik hingegen geht es um die Bestimmung der Trägheits- und Widerstandsmomente (I und W). Hierbei spielt das Maß für die Verschiebung der Schwerlinien (X oder Y Richtung, je nach dem ob wir Ix oder Iy suchen) eine wichtige Rolle. Lösung b.) Zur Ermittlung der axialen Flächenmomente ist nun der Verschiebesatz von Steiner erforderlich. Auch hier wird in unserem Beispiel zur Vereinfachung der innere Hohlraum vom äußeren Körper abgezogen. Zur Erzielung des gleichen Resultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und die Werte in die Formel einsetzen. 2

2

I = I1 + A1 ⋅ l1 + I 2 + A2 ⋅ l2 + ...I n + An ⋅ ln

2

Grundlagen der KonstruktIonslehre

3

Ix =

b ⋅h b ⋅ h3 2 2 + A1 ⋅ l1 − 1 1 + A2 ⋅ l2 12 12

Ix =

⎡ 34 ⋅ 40 3 50 ⋅ 80 3 2 2 ⎤ + [50 ⋅ 80]⋅ [40 − ex1 ] − ⎢ + [34 ⋅ 40]⋅ [50 − ex1 ] ⎥ 12 ⎣ 12 ⎦

[mm ] 4

I x = 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 Zur Ermittlung von Iy findet der Verschiebesatz von Steiner keine Anwendung, da hier alle Teilschwerlinien mit der Hauptschwerlinie zusammen fallen. Die Hauptschwerlinie ist hierbei die YAchse. 3

Iy =

h ⋅ b3 h1 ⋅ b1 − 12 12

Iy =

80 ⋅ 503 40 ⋅ 343 mm4 − 12 12

[

]

I y = 70,23 ⋅ 10 4 mm4

Lösung c.) Die Grundformel zu Ermittlung von Widerstandsmomenten lautet:

Wx1 =

I x 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 = = 50,11 ⋅ 10 3 mm 3 e x1 34,84mm

Wx 2 =

I x 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 = = 38,66 ⋅ 10 3 mm 3 ex2 45,15mm Iy

70,23 ⋅ 10 4 mm 4 Wy = = = 28,09 ⋅ 10 3 mm 3 ey 25mm

W =

I e

(Iy entspricht ½ b)

Die für die Grundbeanspruchungsarten Biegung, Knickung und Torsion erforderlichen Widerstandsmomente sind somit ermittelt. In Y-Richtung ergibt sich aufgrund der Symmetrie nur 1 Wert, in X- Richtung 2 Werte. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 795, 796 10

Development and Construction

Ermittlung der günstigsten Einbaulage Wie im Beispiel rechnerisch ersichtlich ergeben sich 2 Steifigkeitswerte über die X-Achse. Daraus folgt das die Einbaulage durchaus von Bedeutung ist (Abb.).

Grundlagen der KonstruktIonslehre

1

2

Abb.: Einbaulagen

Um diese Frage zu klären sei zunächst zu klären ob das Bauteil an der Enden jeweils gestützt wird oder es sich um einen einseitig eingespannten Freiträger handelt. Betrachten wir hierzu zunächst folgendes Beispiel und entscheiden wo an der belasteten Stelle jeweils Zugbelastung und wo Druckbelastung vorliegt (Abb.).

Abb.: Zug- und Druckfasern

Rechnerisch ergibt sich hierbei die Lösung zugunsten Variante 2. Als Fazit kann nunmehr festgehalten werden: wir müssen unterscheiden ob das Bauteil einseitig eingespannt („Freiträger“) ist oder auf 2 Stützen („Stützträger“) aufliegt (siehe Abbildung: „Auftrittsformen der Biegebeanspruchung“) grundsätzlich muss an der „langen Seite“ (großer Randfaserabstand) Druckspannung vorliegen, entsprechend an der kurzen Seite Zugspannung als Ausgangslage ist immer der Schwerpunkt zu betrachten (Böge) bezogen auf unser berechnetes Bauteil oben ist:

→ günstiger als „Freiträger“

→ günstiger als „Stützträger“

11

Development and Construction

3. Beanspruchung auf Biegung Im Vergleich zu den schon behandelten Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck und Abscheren ist bei der Biegung die Lage des Körpers bezogen auf seine Hauptschwerlinie von Bedeutung. Die hierbei verwendete Größe ist das bereits behandelte Widerstandsmoment „Wb“. 3.1. Biegepannungsgesetz Außerdem wird die Biegung durch die Länge und Lage des beanspruchten Körpers beeinflusst, sodass in Verbindung mit der Belastung „F“ das Biegemoment „Mb“ Verwendung findet. Der Quotient aus Biegemoment „Mb“ und Widerstandsmoment „Wb“ ergibt die Biegespannung (Abb.).

Grundlagen der KonstruktIonslehre

σb =

Mb Wb ( x , y )

σb

= Biegespannung

[N/mm ]

FN Wb

= Normalkraft in = Widerstandsmoment

[F]

2

2

[ mm ] Abb.: Biegebeanspruchung

Biegebeanspruchen sindäufig anzutreffen und können in unterschiedlichen Formen auftreten. Die allgemeinste Unterteilung ist die in Stütz- und Freiträger wie im folgenden Kapitel erläutert. 3.2. Biegebeanspruchungsformen Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden (Abb.).

Fall  1  

Fall  2  

"Freiträger"  

"Stützträger"  

Abb.: Auftrittsformen der Biegebeanspruchung

1

Im folgenden werden die einzelnen Unterformen mit Beispielen vorgesetellt. Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden.

1

Böge Aufgabensammlung

12

Development and Construction

Grundlagen der KonstruktIonslehre

In beiden Fällen ist es möglich das die Kräfte jeweils als „Punktlast“ oder als „Streckenlast“ auftreten. (Abb.).

Schneelast

Lager

Eigengewicht

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Abb.: Streckenlasten

Punktlasten sind oft zur Vereinfachung theoretische Kraftangriffspunkte wo hingegen Streckenlasten eher den Praxisfall darstellen. Wirken Punkt- und Streckenlasten gemeinsam an einem Bauteil, so sprechen wir von „Mischlasten“. 3.3. Freiträger Der wohl einfachste aller Fälle ist dadurch gekennzeichnet das ein einseitig eingespannter „Träger“ mit ein oder mehreren Einzellasten belastet werden (Abb.).

Abb.: Radnabe

Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist eine Radnabe eines Kraftfahrzeuges. Wird die Belastung über die Lagerbreite berücksichtigt sprechen wir von einer Streckenlast.

13

Development and Construction

3.4. Stützträger Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden (Abb.).

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Rosi

Susi

Hasi

Uti

FA Abb.: Biegebeanspruchung

FB 2

Während Susi, Hasi und Uti sich an Boden abstützen bringt Rosi ihr ganzes Körpergewicht auf die Parkbank. Die am stärksten beanspruchte Stelle liegt in diesem Fall vermutlich also nicht in der Mitte. Die Belastungen die auf die Parkbank wirken sind im einzelnen: Rosi: Susi: Hasi: Uti:

85 kg 45 kg 49 kg 64 kg

Arbeitsplan zur Biegemomenten und Querkraftbestimmung: Schritt 1: Freimachen des Bauteils Schritt 2. Bestimmung der Stützkräfte mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen:

∑F

x

=0→+

∑F

y

=0↑+

∑M = 0  +

Schritt 3: Momentensumme für die Schnittstelle bilden Schritt 4: Kraftsumme für die Schnittstelle bilden. Somit ergibt sich dort die vorhandene Querkraft Fq.

2

Lehrbuch Alfred Böge „Technische Mechanik“.

14

Development and Construction

4. Beanspruchung auf Abscheren Die Scherbeanspruchung zählt zu der Familie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt. 4.1. Scherspannungsgesetz

Grundlagen der KonstruktIonslehre

𝜏𝑎 =

𝐹𝑞 𝑆

τa

= Scherspannung

[N/mm ]

Fq S

= Querkraft in = Querschnitt

[F]

2

2

[ mm ]

Beim Abscheren wirken zwei gleichgroße gegensinnige Kräfte F = Fq auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse (Abb.).

3

Abb.: Abscherbeanspruchung

Überschlägige Ermittlung der „Scherfestigkeit“ von Werkstoffen:

τ a = 0,85 ⋅ Rm

(Umrechnung von Normalspannung („Rm“) aus dem Zugversuch in Schubspannung)

Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ►738, 739, 740, 741(b), 742, 743, 744, 745, 746, 748, 749, 750, 751, 752, 753, 755, 756, 757, 758, 764 765

3

Lehrbuch Alfred Böge „Technische Mechanik“.

15

Development and Construction

5. Beanspruchung auf Torsion Die Torsionsbeanspruchung zählt zu der Familie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt. 5.1. Torsionspannungsgesetz

Grundlagen der KonstruktIonslehre

τt =

!"

!

Mt = 9550  (Nm)

!"

!

τt

= Torsionsspannung

[N/mm ]

Mt Wp P n

= Torsionsmoment = Polares Widerstandsmoment = Leistung = Drehzahl

[Nm]

2

3

[ mm ] [ KW] [ min-1 ]

Beim Torsion wirkt die kritische Kraft an der äusseren Randfaser (Abb.).

Abb.: Torsionsbeanspruchung

Innerhalb dieser Beanspruchunbgsart treten häufig Übersetzungen auf. Der Begriff Übersetzung „i“ ist festgelegt als Verhältnis (Quotient) von:

i=

nan ( Antriebsdrehzahl ) nab ( Abtriebsdrehzahl )

=

n1 ω1 d T 2 z 2 M T 2 = = = = n2 ω 2 d T 1 z1 M T 1

( ω = 2 ⋅π ⋅ n )

d=Teilkreisdurchmesser

Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis der Nutzleistung zur Aufwandsleistung:

η=

PNutzen Pab = PAufwand Pein

1W =

1J 1Nm = s s

i Die Gesamtübersetzung ges ist stets das Produkt aller Einzelübersetzungen: Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung“ ► 809, 812, 815, 816, 817, 818, 820, 822, 824

16

Development and Construction

6. Beanspruchung auf Knickung (Sonderfall) 6.1. Grundlagen Wenn bei Druckbeanspruchung die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittfläche S sehr groß ist, besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze liegt. (Spannungs- Dehnungs-Diagramm). Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erreicht. Knickung ist daher kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem:

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens mit steigender Stablänge! (Abb. S.335 Böge). Die Knickung stellt also ähnlich der Flächenpressung einen Sonderfall dar. Abscher .

Druck

Zug

Biegung

Torsion

Grundbeanspruchungsarten

Knickung

Flächenpressung

Abb. 6-1: Grundbeanspruchungsarten

Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt (s. S 335 ).

Fk = Knickkraft

σk = Knickspannungen i = Trägheitsradius I = axialesFlächenmoment / 2.Grades

⇒ Fk =

E ⋅ I min ⋅ π 2 S2

I erf =

ν ⋅ Fk ⋅ S 2 E ⋅π 2

λ = Schlankheitsgrad ν = Knicksicherheit Hinweis: Die Druckspannung muss immer kleiner der Knickspannung und die Knickkraft kleiner der Druckkraft sein.

Die Knickkraft/ Spannung ist diejenige Kraft/ Spannung, bei der das Ausknicken beginnt.

17

Development and Construction

6.2. Elastische Knickung (Eulerfall) Ein Stab knickt stets um diejenige Achse, für die das axiale Flächenmoment den kleinsten Wert hat. Um die These nach Euler praktisch anwenden zu können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

λvorh > λ0 Die Eulergleichung gilt nur solange der errechnete Schlankheitsgrad Lambda gleich oder größer ist als der Grenzschlankheitsgrad.

Grundlagen der KonstruktIonslehre

6.3. Unelastische Knickung (Tetmayerfall) Die Tetmyerthese wird immer dann angewendet, wenn:

λvorh < λ0 Tetmayer und andere Forscher haben für diesen Fall mittels Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt (siehe Formelsammlung oder S.339-340 Sachbuch). Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung Böge“ ► 900, 901, 906, 907, 908, 909, 911, 912, 913

Arbeitsplan für Knickungsaufgaben: Schritt 1: Knickkraft Fk aus Sicherheit V und Belastung F berechnen. Schritt 2: Erforderlicher Flächenmoment 2. Grades Ierf nach Euler berechen. Schritt 3: Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad vergleichen.

λvorh > λ0 ⇒ Ende Euler-Fall Schritt 4:

λvorh < λ0 ⇒ Knickspannungσ k nachTetmayer ,

Schritt 5: Vorhandene Sicherheit bestimmen und mit geforderter Sicherheit vergleichen. Bei Bedarf den Vorgang ab Schritt 3 wiederholen in dem der Querschnitt vergrößert wird.

18

Development and Construction

7. Zusammengesetzte Beanspruchung 7.1. Grundlagen Treten 2 oder mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auf liegt eine zusammengesetzte Beanspruchung vor. Beanspruchungen

Torsion, Abscheren

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Zug, Druck, Biegung

Normalspannungen

Schubspannungen

(Parallel zum Querschnitt)

(Senkrecht zum Querschnitt)

Lastfälle

Ruhende Beanspruchung

Schwellende Beanspruchung

Wechselnde Beanspruchung

(Lastfall 1)

(Lastfall 2)

(Lastfall 3)

Spannung steigt auf bestimmten Wert und hält diesen einen längeren Zeitraum,

Spannung steigt ständig von Null auf einen Höchstwert und sinkt wieder auf Null,

Betrag und Richtung ändert sich nicht.

Richtung ändert sich nicht.

Statische Belastung

Betrag ändert sich,

Spannung schwankt ständig zwischen positivem und negativen Höchstwert, Betrag und Richtung ändert sich.

Dynamische Belastung

Innerhalb zusammengesetzter Beanspruchungen können 3 Ausprägungsformen auftreten (Abb.). Zusammengesetzte Normalspannung o Biegung und Zug/ Druck Zusammengesetzte Schubspannung o Torsion und Abscheren Zusammengesetzte Normal- und Schubspannung o Biegung und Torsion Bei gleichartigen Beanspruchungen (nur Schub- oder nur Normalspannungen) können diese addiert bzw. subtrahiert werden. In den folgenden Kapiteln werden die beiden wichtigsten Formen (fett) ausführlich thematisiert.

19

Development and Construction

7.2. Biegung und Torsion Wellen dienen zur Übertragung von Drehmomenten die durch Kupplungen, Zahnräder und dergleichen ein- und weitergeleitet werden. Durch das zu übertragende Drehmoment werden in den gefährdeten Querschnitten Verdreh- und Biegespannungen hervorgerufen. MT Kupplung

Grundlagen der KonstruktIonslehre

FA

FB

Fq- Verlauf

Abb. Biegung und Torsion

Die zusammengesetzte Beanspruchung, die als Vergleichsspannung bezeichnet wird, lässt sich nach folgender Formel ermitteln:

σ v = σ b 2 + 3(α 0 ⋅τ t )2 Ist Biege- und Drehmoment bekannt, so können bei der Dimensionierung von Wellen die erforderlichen Wellendurchmesser aus dem Vergleichsmoment „Mv“ berechnet werden. Deren Herleitung erfolgt aus der Vergleichsspannung. 2

2

M v = M b + 0,75(α 0 ⋅τ t )

σv

4 5

π ⋅ dH M v Mv ⇒W = = 32 σ bzul W

Böge Formelsammlung Abschnitt 4.9 Böge Formelsammlung Abschnitt 4.9

⇒d =3

4

M v ⋅ 32 σ bzul ⋅ π

5

20

Development and Construction

Grundlagen der KonstruktIonslehre

7.3. Biegung und Zug/Druck Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge wollen wir uns Klarheit über das innere Kräfte- und Spannungssystem verschaffen.

21

Development and Construction

Schritt 1: Freimachen des Bauteils. Hierzu legen wir einen Schnitt an eine zweckmäßige Querschnittsfläche an und entwickeln so das innere Kräftesystem. Schritt 2: Anwendung der 3 bekannten Gleichgewichtsbedingungen:

∑F Grundlagen der KonstruktIonslehre

x

=0

∑F

y

=0

∑M = 0

Die innere Normalkraft (FN) ruft im schraffierten Querschnitt eine gleichmäßig verteile Zugspannung hervor. Durch das innere Biegemoment (Mb) entsteht im Querschnitt das bekannte System der Biegespannung. Im hier symmetrischen Querschnitt sind die Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß.

σ bz = σ bd = σ b =

Mb W

Da es sich bei Zug/ Druck als auch bei Biegespannungen um Normalspannungen (Sigma) handelt (rechtwinklig auf der Schnittfläche stehend), können diese addiert bzw. subtrahiert werden. Tragen wir die Spitzen der Biegespannung an die Zugspannung richtungsgemäß an, so erhalten wir nebenstehendes Bild der resultierenden Gesamtspannung. Aus diesem Bild lassen sich nun die Beziehungen der resultierenden Spannungen leicht ablesen und wir erhalten nebenstehende Gleichungen. Bei unsymmetrischen Bauteilen mit verschiedenen Randfaserabständen “e“ ist es erforderlich die Biegespannungen

σ bz / d =

σ bd

und

σ bz

über das axiale Flächenmoment 2. Grades „I“ zu bestimmen:

M b M b ⋅ e1/ 2 F ⋅ l ⋅ e1/ 2 = = W I I

sodass:

σ resZug =

F ⋅l ⋅e I

+

F ≤ σ zzul S

σ resDruck =

F ⋅l ⋅e F + ≤ σ dzul I S

22

Development and Construction

7.4. Biegung und Druck Diese Beanspruchung unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass sich hier der Biegespannung nicht eine Zugspannung, sondern eine Druckspannung überlagert.

Grundlagen der KonstruktIonslehre

So erhalten wir neben stehenden Bild der resultierenden Spannung, indem wir an die Spitze der Biegespannung richtungsgemäß die über den Querschnitt konstante Druckspannung auftragen. Es ergibt sich nebenstehende Gleichung. Ist die Stablänge eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils im Verhältnis zum Querschnitt sehr groß, muss das Bauteil auf Knickung nachgerechnet werden.

Im Bild der resultierenden Spannung ist zu sehen, dass die spannungsfreie Faserschicht „a“ nach links verschoben ist. Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhalten wir eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebegröße „a“ führt. Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung Böge“ ► Böge Sachbuch, Übung S.351. ► Biegung + Zug/Druck 927, 928, 932, 931, 934, 935, 938, 937. ► Biegung + Torsion: 939 – 948 , (949)

23

Development and Construction

8. Statik in der Ebene In der Konstruktionslehre unterscheiden wir generell 2 Kernbereiche:

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Konstruktionslehre

Innere Kräfte (S)

Äußere Kräfte (A)

Festigkeitslehre (KTL)

Physik (KTL)

Abb.: Einteilung der Konstruktionstechnik

6

8.1. Momente In diesem Kapitel soll in kompakter Form das gebiet der Drehmomente gefestigt werden. Das „Momenten Gesetz“ lautet:

M = F ⋅l

(F=Kraft; l=Weg)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------An dieser Stelle soll bereits auf die 3 Gleichgewichtsbedingungen hingewiesen werden die in der Folge von großer Bedeutung sind:

∑F

x

=0→+

∑F

y

= 0 ↑+

∑M = 0  +

Für Anzahl und Richtungssinn der Belastungskräfte „F“ gibt es keine Beschränkung. Gleichungssysteme dieser Art sind Grundsteine für die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Staat. Gepr. Techniker für seine Arbeit in der Praxis erstellen und anwenden kann.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lernziel: Technisches Verständnis für Momente entwickeln Ausführliche Herleitungen: Kapitel 1, Böge Lehrbuch 1.1.3. Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 1-8 Böge Aufgabensammlung

8.2. Freimachen der Bauteile Um Berechnungen an Bauteilen möglich zu machen ist eine genaue Analyse der an dem jeweiligen Bauteil wirkenden Kräfte notwendig. Durch „Freimachen“ werden alle Bauteile die das zu berechnende Bauteil berühren entfernt und durch Kraftpfeile ersetzt. Lernziel: Verständnis für Krafteinwirkungen an Bauteilen entwicklen Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch 1.1.7. Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 9-28 Böge Aufgabensammlung

6

Eigene Darstellung

24

Development and Construction

8.3. Zentrales Kräftesystem Ein zentrales Kräftesystem liegt vor wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen Punkt treffen (Abb.).

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Um Richtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist i.d.R. eine zeichnerische als auch eine rechnerische Lösung möglich.

Zentral

Kräftesystem

Aufgabenart

Lösungsweg

Kräfte bekannt

1.G-Aufgabe Resultierende rechnerisch

2.G-Aufgabe Resultierende zeichnerisch

Kräfte unbekannt

3.G-Aufgabe Recherische Lösung

4.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung

Lernziel: Betrag und Wirkrichtung der resultierenden Kraft (roter Pfeil in Skizze) analysieren. Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 1/2. Grundaufgabe: 29-41, 47, Böge Ag./ (einfacher-mittlerer Schwierigkeitsgrad) ► 3/4. Grundaufgabe: 49,50,51,58,61,62,63,66,68 Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad)

Notizen:

25

Development and Construction

8.4. Allgemeines Kräftesystem Beim allgemeinen Kräftesystem haben die Wirklinien der Einzelkräfte keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Um Richtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist eine zeichnerische Lösung nur bedingt möglich und empfehlenswert.

Allgemei n

Kräftesystem

Aufgabenart

Lösungsweg  

(kursiv  vernachlässigbar)  

Kräfte bekannt

5.G-Aufgabe Resultierende rechnerisch

6.G-Aufgabe Resultierende zeichnerisch

Kräfte unbekannt

7.G-Aufgabe Recherische Lösung

8.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung

Lernziel: Berechnen von unbekannten Kräften (rote Pfeile in Skizze). Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 5. Grundaufgabe: 72-76,79, 80, Böge Ag. (Einfacher-Mittlerer Schwierigkeitsgrad) ► 8. Grundaufgabe: 85, 87,89,91,(93,94),108, 139, 143, 144, 146, 147, 151, Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad)

Notizen:

26

1 2

Development and Construction

9. Schwerpunkts Lehre

9.2. Flächenschwerpunkt Von bekannten Flächen wie Kreis, Rechteck, Dreieck ist die Lage des Schwerpunktes bekannt. Für die Ermittlung des Gesamtschwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche wird diese in Flächen mit bekannten Schwerpunkten zerlegt. Mit Hilfe dieser Flächen (Dichte, Erdbeschleunigung und Volumen sind bekannt) und den dazu gehörigen Abständen bezogen auf einen Drehpunkt werden mittels Momentensatz die Momente gebildet um die Lage des Hauptschwerpunktes zu bestimmen (Abb.):

Y

Xo Teilschwerpunkt Hauptschwerpunkt

A1

A2

A3

Yo

Y1

Y2

Drehpunkt

Y3

Grundlagen der KonstruktIonslehre

9.1. Vorwort Weil für die Grundbeanspruchungsarten Biegung und Torsion die so genannten Flächenmomente 2. Grades erforderlich sind, wird nachfolgend die Ermittlung des Schwerpunktes von zusammengesetzten Flächen behandelt.

X

X1

D

X2 X3

Abb.: Flächenschwerpunkt

7

Stellen wir nun die Grundgleichungen auf, so erhalten wir die Schwerpunktsabstände Xo und Yo.

Xo =

7

Eigene Darstellung

A1 ⋅ X 1 + A2 ⋅ X 2 .. + An ⋅ X n Ages

Yo =

A1 ⋅ Y1 + A2 ⋅ Y2 .. + An ⋅ Yn Ages

27

Development and Construction

9.3. Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Musterbeispiel (Aufgabe 268): Eine Mauer soll mit Hilfe eines Seiles umgekippt werden, dass unter dem Winkel α = 30° an der Mauerkrone zieht. Die Abmessungen entnehmen Sie der beiliegenden Skizze. Gesucht:

Lösung a.)

l =0,5m

S=

Fx α

S h = 2m

Grundlagen der KonstruktIonslehre

a) die zum Ankippen erforderliche Seilkraft F! b) Wie groß ist der Winkel β beim Ankippen? c) die erforderliche Kipparbeit bis zum Selbstkippen!

Fx = cos α ⋅ F

F

S

F=

a

γ

Fg ⋅ 0,5l 16 KN ⋅ 0,25m = = 2,31KN S ⋅ cos α ⋅ h 1⋅ cos 30° ⋅ 2m

Anmerkung: S=1 Beim Ankippen ist die Kippsicherheit 1.

b β

Ms Fg ⋅ 0,5l Fg ⋅ 0,5l = = Mk Fx ⋅ h F ⋅ cos α ⋅ h

D

Lösung b.)

Die Mauer kippt in dem Moment, wo die Senkrechte des Schwerpunktes durch den Kippdrehpunkt verläuft (siehe Skizze).

Gk a 0,25m = = = 0,25 Ak b 1m inv tan(0,25) = 14,03° ⇒ γ = 14,03° tan γ =

Wenn β=75,96° ist, beginnt die Mauer zu kippen.

β = 90° − γ = 90° − 14,03° = 75,96° Lernziel: Berechnung der Kipp -und Standmomente von Körpern Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► Schwerpunkt: 201, 202, 203, 205, 212, 217, 218 ► Standsicherheit: 278 (s.o.), 266, 267, 268, 269, 273, 274, 277

28

Development and Construction

10. Reibung

Grundlagen der KonstruktIonslehre

10.1. Grundlagen Wollen wir einen Körper auf einer Fläche verschieben, so spüren wir einen Widerstand. Die Bewegungshemmende Kraft ist die Reibkraft. Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen sprechen wir von Ruhe oder Haftreibung, ansonsten sprechen wir von Gleitreibung (Abb.):

Abb.: Reibarten

Die Reibkraft FR ist eine in der Berührungsfläche wirkende Tangentialkraft welche versucht den schnelleren Körper zu verzögern und den langsameren oder stehenden zu beschleunigen. Die Kupplung ist hierfür ein gutes Beispiel. Bewegen sich beide Körper gegenseitig zueinander, so wirkt die Reibkraft auf beide verzögernd.

Die Reibkraft FR ist unabhängig von der Größe der Gleitfläche und stets proportional mit der Normalkraft FN mit der die beiden Flächen zusammen gedrückt werden

Auch ein rollender Körper wird durch eine Kraft abgebremst, die wir Rollwiderstand nennen. Er ist erfahrungsgemäß kleiner als die Gleit- oder Haftreibkraft. Innerhalb bewegter Flüssigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf.

FR = Re ibkraft

FG

FN = Normalkraft Fe = Ersatzkraft

µ 0 = Haftreibung µ = Gleitreibung µ R = Rollreibung

tan α =

FR ⇒ µ (Re ibzahl ) FN

F FR

FN

FR = FN ⋅ µ

f = wirksamerHebelarm δ = Re ibwinkel 29

Development and Construction

Mit zunehmender Reibkraft FR vergrößert sich der Winkel (Delta) zwischen der Normal- und der Ersatzkraft. Hierbei ist die Reibkraft der Tangensfunktion des Reibwinkels stets proportional. Die Tangensfunktion des Reibwinkels wird als Reibzahl (Müh) bezeichnet (Abb.3-2). FR

FR

FN

FN

Grundlagen der KonstruktIonslehre

FG

FG

δ F

F

Gleitreibzahlµ = tan δ Aus diesen Beziehungen erhalten wir die Gleichung zur Errechnung der Reibkraft.

Re ibkraft = Normalkraf tx Re ibzahl

FR = FN ⋅ µ Ruhen beide Körper aufeinander, kann die Haftreibkraft von null bis auf einen Höchstwert anwachsen, der größer ist als FR. Dann ist:

Haftreibzahlµ 0 = tan δ 0

µ 0 > µ , weilδ 0 > δ Somit wird: Abb.: Herleitung der Reibgesetze

8

Haftreibkr aft = Normalkraf t ⋅ Haftreibza hl

FR 0 = FN ⋅ µ 0 Reibzahlen bzw. Reibwinkel werden durch Versuche ermittelt. Sie können auch bei gleichartigen Bedingungen (Rautiefen, Werkstoff, Schmierung) voneinander abweichen. Angegebene Werte sind stets Richtwerte (Tab.).

Tab.: Reibzahlen

8 9

9

Böge Sachbuch S. 91 Böge Sachbuch S. 92

30

Development and Construction

Bestimmung von Reibzahlen: Zur Ermittlung von Reibzahlen wird eine schiefe Ebene benutzt. Der Prüfkörper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene so lange in Ruhestellung, bis:

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Neigungswinkelα = Haftreibwinkelδ 0 Liegt die Ebene unter dem Reibungswinkel , gleitet der Körper nach dem Anstoßen mit V=C abwärts. In beiden Fällen ist der Körper im Gleichgewicht und es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft und Gewichtskraft ist während des Gleitens = δ denn hier ist:

FG = Fe Aus den geometrischen Verhältnissen resultiert:

δ =α Seine Tangensfunktion ist die Reibzahl µ . Zum gleichen Resultat gelangen wir mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als X-Achse legen wir die Richtung der schiefen Ebene fest und zerlegen die Gewichtskraft in: Abb.: Herleitung der Reibgesetze

10

FG ⋅ sin αundFG ⋅ cosα Beim gleichförmigen Abwärtsgleiten ist: Die Gleichungsentwicklung belegt:

Experimente mit variablem Neigungswinkel verharrt bis:

α

∑ Fx = 0

und

∑ Fy = 0

tan α = µ

folglich ist:

α =δ

zeigen, dass der Körper so lange in seiner Stellung

α ≤ δ0 Der Bereich zwischen den Winkeln null und

10

Böge Lehrbuch

δ0

heißt „Selbsthemmungsbereich.

31

Development and Construction

10.2. Reibwinkel und Reibzahl (Haft- und Gleitreibung) Aufgabe 309: Ein Stahlquader mit der Gewichtskraft Fg soll durch die Zugkraft F unter dem Zugwinkel α mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts gezogen werden. Die Zugkraft F greift im Körperschwerpunkt S an.

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Gesucht: a) Eine Gleichung für die Zugkraft F in Abhängigkeit von der Gewichtskraft Fg, dem Zugwinkel α und der Gleitreibzahl µ. b) Der Betrag der Zugkraft F für Fg = 1000N, α=30° und µ=0,15.

F

V = konstant α

Der Lösungsansatz erfolgt in Anlehnung an die 3 bekannten Bedingungen:

FR

∑ F = 0 → + FR = cos 30° ⋅ F ∑ F = 0 ↑ + FN = FG − sin 30° ⋅ F ∑M = 0  +

Fe

µ = tan α =

x

y

FG

FN

FR (cos 30° ⋅ F ) FN ( FG − sin 30° ⋅ F )

FR = FN ⋅ µ cos 30° ⋅ F = ( FG − sin 30° ⋅ F )µ cos 30° ⋅ F = FG ⋅ µ − sin 30° ⋅ F ⋅ µ FG ⋅ µ = cos 30° ⋅ F + sin 30° ⋅ F ⋅ µ

⇒F=

FG ⋅ µ cos 30° + sin 30°µ

FG ⋅ µ = F (cos 30°µ + sin 30°µ )

32

Development and Construction

10.3.

Kupplungen

Kupplungen (329):

Grundlagen der KonstruktIonslehre

geg: FN = 400N,

M R = FRges ⋅

dm 2

dm = 116mm,

M Rges = FR ⋅

dm ⋅n 2

µ = 0,09

n: Anzahl der Reibflächen

M = F ⋅l M R = ∑ FRi ⋅ li ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Alternativ:

M = F ⋅l

FR = FN ⋅ µ ⋅ n a.)

FR = 400 N ⋅ 0,09 ⋅ 8 FR = 288N

M R = FR ⋅ b.)

l 2

0,116m 2 M R = 16,7 Nm M R = 288N ⋅

FR = FN ⋅ µ ⇒ 400 N ⋅ 0,09 = 36 Nm l M R = FR ⋅ ⇒ 36 N ⋅ 0,058m = 2,088Nm 2 M Rges = M R ⋅ 8 = 2,088Nm ⋅ 8 = 16,7 Nm

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

33

Development and Construction

10.4.

Trommel- und Backenbremse

Grundlagen der KonstruktIonslehre

db=250 mm l=200mm b=100mm, µ=0,4

ablaufende Seite

auflaufende Seite

∑M

B

=0←+

− FP ⋅ l − FR ⋅ lb + FN ⋅

l =0 2

l FN ⋅ − FR ⋅ lb = FP ⋅ l 2 FR l ⋅ − FR ⋅ lb = FP ⋅ l µ 2 FP ⋅ l FR = = 454,54 N l − lb µ ⋅2 db MR = FR ⋅ = 56,81Nm 2

∑M

A

=0←+

l − FR ⋅ lb − FN ⋅ + FP ⋅ l = 0 2 FR l FR ⋅ lb + ⋅ = FP ⋅ l µ 2 ⎛ 1 l ⎞ FR ⋅ ⎜⎜ lb + ⋅ ⎟⎟ = FP ⋅ l µ 2 ⎠ ⎝ FP ⋅ l FR = = 357,14 N ⎛ l ⎞ ⎜⎜ lb + ⎟ 2 ⋅ µ ⎟⎠ ⎝ MR = FR ⋅

db = 44,64 Nm 2 34

Development and Construction

Mges = M RA + M RB = 101,45Nm

Grundlagen der KonstruktIonslehre

10.5.

MBR

Scheibenbremse

= 516 Nm,

Fp = 2543 N,

µ = 0,4

Durchmesser der Scheibenbremse:

dm ⋅2 2 FR = FN ⋅ µ = Fp ⋅ µ

MbR = FR ⋅

MBR = Fp ⋅ µ ⋅ dm

dm =

MBR = 0,507m Fp ⋅ µ

Ermittlung des Bremsdruckes:

d = 18mm FP 500 N ⋅ 4 N p= = = 1,96 = 19,6bar A π ⋅ (18mm )² mm² Lernziel: Berechnung der Reibwiderstände Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► Haft –und Gleitreibung: 301-310, 312, 316, 327, 328 ► Kupplungen: 329, 330, 331, 333 ► Bremsen: 363, 375 ► Rollreibung: 379-385

35

Grundlagen der KonstruktIonslehre

Development and Construction

36