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Construction Design Fundamental Construction
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Development and Construction
Einleitung Alle Bauteile werden unter der Einwirkung von äußeren Kräften verformt. Diesen äußeren Kräften wirken im Werkstoffgefüge innere Kräfte entgegen, die der Verformung einen Widerstand entgegen setzen. Je nach Richtung der Belastungskraft und der von ihr am Bauteile bewirkten Verformung werden 5 Grundbeanspruchungsarten unterschieden (Abb.). Grundbeanspruchungen: Normalbeanspruchungen „Sigma“
Zug
σ Grundlagen der KonstruktIonslehre
Schubbeanspruchungen „Tau“
Biegung
Druck
σ
σ
Sonderformen:
Flächenpres. "p" • Unterart der Druckbeanspruchung
Abscherung
Torsion
τ
τ
Knickung "σ" • Unterart der Normalspannungen
Abb.: Grundbeanspruchungen
Die Beanspruchungen Flächenpressung und Knickung (unten rechts) gelten als Sonderformen. Eine weitere wichtige Unterscheidung ist die nach Art der Belastungsrichtung (Abb.).
Normal (σ)
Schub (τ)
Im folgenden sind alle 5 Grundbeanspruchungen sowie die Sonderformen beschrieben. Dieses Skript stützt sich auf die Literaturreihe nach „Alfred Böge“.
2
Development and Construction
1. Beanspruchung auf Zug 1.1. Zugspannungsgesetz
σz =
FN S
σz
= Zugspannung
[N/mm ]
FN S
= Normalkraft in = Querschnitt
[N]
2
2
[ mm ]
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Abb.: Zugbeanspruchung
Innerhalb der Brundbeanspruchung auf Zug erfolgt die Belastung ausschließlich längs zum Querschnitt, es handelt sich also um eine „Normalspannung“. In der Praxis kann sich die Beanspruchung noch am ehesten in einer klassischen Schraubverbindung (Abb.) vorgestellt werden. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „S“: ► 661, 662, 663, 664, 665, 667, 668, 669, 670, 672, 673, 678 Level „M“: ► 666, 675, 676, 681, 682, 684 Level „L“: ► 671, 671, 674, 677 Level „XL“: ► 679, 680, 683, 690 – 694
1.2. Zugversuch/ Hookesches Gesetz Diese Beanspruchungsart bildet dient zur Ermittlung der Festigkeitskennwerte „Rm“ = Zugfestigekeit und „Re“ = Streckgrenze aus dem Zugversuch (Abb.). Die ermittelten Kennwerte bilden die Basis für die Konstruktion von Bauteilen.
Rm Re E
2
= Zugfestigkeit
[N/mm ]
= Streckgrenze
[N/mm ]
2 2
= Elastizitätsmodul [N/mm ]
Das E-Modul ist für jeden Werkstoff ein konstanter Wert, 2 für Stahl ist: E = 210.000 N/ mm
E=
Λl lo
σ ε
ε=
Λl lo
= Längenänderung [mm] = Anfangslänge
[mm]
Abb.: Zugversuch
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „M“: ► 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708 Level „L“: ► 709, 710 (Eigengewicht), 711
3
Development and Construction
1.3. Arbeit (Formänderungsarbeit) 1 Joule (J) ist gleich der Arbeit, die eingesetzt werden muss wenn ein Punkt mittels der Kraft von 1N um den Weg 1m verschoben wird.
Somit gilt: Nm = Kinetische Energie
J = Wärmeenergie
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Das entsprechende Grundgesetz ist: W =
Ws = Elektrische Energie
F ⋅ Λl 2
Beispiel: Ein Fahrzeug wird mit konstanter Kraft von 100 N einen Weg von 10 m gezogen. Dann wist die Arbeit: W = F x s = 1000 J Zum besseren Verständnis dient die zeichnerische Darstellung. Hierbei entspricht die Arbeit dem Flächeninhalt im Kraft, Weg Diagramm (Abb).
Abb.: Kraft, Weg Diagramm
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „M“: ► 698, 700, 706, 708
1.4. Sicherheitsberechnung Die Sicherheitszahl einer jeweiligen Konstruktion ist immer der Quotient aus der maximalen Spannung und der zulässigen Spannung eines Werkstoffes. Die maximale ist bei Beanspruchung auf Zug gleichzeitig die Zugfestigkeit „Rm“ aus dem Zugversuch (siehe oben).
ϑ=
Rm ≥1 σ zul
Rm
= Zugfestigkeit
[N/mm ]
σzul
= Zulässige Spannung in
[N/mm ]
2
2
4
Development and Construction
1.5. Eigengewichtskraft Zum besseren verdeutlichung zunächst eine Schätzfrage: „Wie lange müsste ein Stab aus Stahl werden, damit er allein aufgrund seines Eigengewichtes abreißt“? Stellen wir uns diesen Vorgang anhand einer gekochten Spagetti vor. Spielt die Dicke der Spagetti bzw. des Stahlstabes eine Rolle? Reißlänge:
Grundlagen der KonstruktIonslehre
lR =
σ z ( Rm) 3 ⋅10 [m] δ ⋅g
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 688
Im Folgenden wird das Eigengewicht der Bauteile inkl zusätzlicher Kräfte mit berücksichtigt. Neben der Basisgesetz der Zugspannung wird zusätzlich Länge, Dichte und Erdbeschleunigung berücksichtigt. Hieraus folgt:
σz =
F + l ⋅δ ⋅ g S
Die Schwierigkeit besteht darin das unterschiedliche Einheiten vereinheitlicht werden müssen. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt sich in den folgenden „fertigen“ Zahlenwertgleichungen. Wichtig hierbei ist das ausschließliche Verwenden der Basiseinheiten. 1.
"l ⋅δ ⋅ g ⋅ S % F = σ z ⋅ S −$ [N ] # 10 3 '& 2.
S=
F mm 2 l ⋅ g ⋅ δ ⎡ ⎤ σ z − ⎢ 3 ⎥ ⎣ 10 ⎦
[
3.
σz =
F l ⋅ g ⋅δ + S 10 3
] ⎡ N ⎤ ⎢ mm² ⎥ ⎣ ⎦
Wichtig: Immer in den angegebenen Basiseinheiten einsetzen. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 666, 689
N kg m , , , N , m, mm² dm³ s ²
5
Development and Construction
2. Beanspruchung auf Druck/Flächenpressung Die einfache Druckbeanspruchung ist der Umkehrfall der Zugbeanspruchung. Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse (Abb.). 2.1. Druckspannungsgesetz
Grundlagen der KonstruktIonslehre
σd =
FN S
σd
= Druckspannung
[N/mm ]
FN S
= Normalkraft in = Querschnitt
[F]
2
2
[ mm ]
Abb.: Druckbeanspruchung
Auch hier tritt die Spannung ausschließlich längs zum Querschnitt auf. Die Druckbeanspruchung in seiner Grundform zählt daher auch zur Familie der Normalspannungen. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,
2.2. Flächenpressung (Sonderfall 1 der Druckbeanspruchung) Beanspruchung auf Flächenpressung ist eine Sonderform der Druckbeanspruchung und wird neben der Knickung die auch durch Druck verursacht wird als Sonderfall der Beanspruchungen eingestuft. Die Querschnittfläche die es zu beachten gilt ist hier eine projezierte (Abb.). Es ist also wichtig nicht bei einer Welle etwa die naheliegende Mantelfläche sonder das projezierte Rechteck zu betrachten.
p= p FN S
FN S proj 2
= Flächenpressung
[N/mm ]
= Normalkraft in = Projezierter Querschnitt
[F] 2
[ mm ]
Abb.: Projezierter Querschnitt bei Passfeder
Flächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei Festkörpern. Die Flächenpressung ist im Gegensatz zum Druck nicht isotrop, das heißt, sie hat – wie eine Spannung – eine Richtung, und sie ist über die Kontaktfläche nicht notwendigerweise konstant wie im Schaubild am Farbverlauf zu entnehmen ist. Daher ist das Formelzeichen hier ein ‚p“. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723, 6
Development and Construction
2.3. Lochleibungsdruck (Sonderfall 2 der Druckbeanspruchung) Tritt Flächenpressung in Nietverbindungen auf sprechen wir von „Lochleibungsdruck. Da hier die Kraft isotrop -also Richtungskonstant- auftritt ist es eine Normalspannung und wird mit dem Formelzeichen „σL“ bezeichnet.
Grundlagen der KonstruktIonslehre
σL =
FN S proj
σL
= Flächenpressung
[N/mm ]
FN S
= Normalkraft in = Projezierter Querschnitt
[F]
2
Abb.: Projezierter Querschnitt bei Nietverbindung 2
[ mm ]
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,
2.4. Schraubenverbindungen/ Mutternhöhe Un diesem Abschnitt geht es um die Flächenpressung in Gewinden. Das Ziel ist die sogenannte erforderliche Mutternhöhe zu bestimmen.
p= p P d2 H1 FN m
F⋅P π ⋅ d 2 ⋅ H1 ⋅ m 2
= Flächenpressung
[N/mm ]
= Gewindesteigung
[siehe Tab]
= Flankendurchmesser
[mm]
= Tragtiefe
[siehe Tab]
= Normalkraft in = Mutternhöhe
[F] [mm]
Abb.: Mutternhöhe
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 723,
2.5. Drücke 1 N/mm² = 10bar F=p*A Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 674
7
Development and Construction
Grundlagen der Trägheitslehre Das Trägheitsmoment „I“ und das Widerstandsmoment „W“ sind ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnitts. Sie werden in den Kapiteln „Biegung“ und „Torsion“ benötigt um die jeweiligen Spannungen zu bestimmen. Da Widerstandsmomente in Abhängigkeit zum Trägheitsmoment stehen, dürfen Widerstandsmomente niemals addiert oder subtrahiert werden. Bei der Aufteilung von zusammengesetzten Flächen in Teilflächen ist zu versuchen, dass die Schwerlinien der Teilflächen mit der Hauptschwerachse zusammen fallen. Gelingt dies nicht, fallen also die Teilschwerlinien nicht mit der Hauptschwerlinie zusammen, so muss diese Verschiebung mittels dem Gesetz des Steinerschen Verschiebesatzes berücksichtigt werden. Verschiebesatz nach Steiner:
Grundlagen der KonstruktIonslehre
2
2
I = I1 + A1 ⋅ l1 + I 2 + A2 ⋅ l2 + ...I n + An ⋅ ln I A
2
3
= Axiales Flächenmoment
[mm ]
= Fläche
[mm ]
2
Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 768, 769, 770, 774,
Das Widerstandsmoment „W“ ist eine „Kennzahl“ über die Steifigkeit von Querschnitten. Wir benötigen es für die Berechnung der Biege- bzw. Torsionsspannung. Wir unterscheiden generell 3 Szenarien:
I. Standard
II. Zusammengesetzt
III. Komplex
Berechnung erfolgt nach Formeln: (Böge 4.13, 4.14) oder Tabellen: (Böge ab 4.24) Übungsempfehlung:
Berechnung erfolgt durch "Konstruktion" der Einzelflächen auf eine gemeinsame Schwerlinie Übungsempfehlung: ► ab 768, 769
Berechnung muss nach Verschiebegesetz nach "Steiner" erfolgen. Vorsicht: Beachte auch Einbaulage. Übungsempfehlung: ► ab 774, 775, 804
► ab 768, 769
Abb.: Drei Szenarien der Widerstandsmomentenberechnung
Da Szenario 3 relativ aufwendig erscheint, folgt nunmehr ein Musterbeispiel zur Bestimmung der Widerstandsmomente. 8
Development and Construction
Musterbeispiel: 774 Gegeben sei nachfolgend dargestellte Skizze. Gesucht: a) die Schwerpunktsabstände ex1, ex2 b) die axialen Flächenmomente Ix, Iy c) die axialen Widerstandsmomente Wx, Wy.
ex2
b A2 (Fläche Hohlraum)
Y
h1 Schwerlinie Körper 2 (Hohlraum)
b1
h
Schwerlinie Körper 1
X
ex1 =yo
MT- Verlauf
Hauptschwerlinie
Y2
S
Y1
l1
l2
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Anmerkung 1: „l1“ und „l2“ sind die Verschiebungen der Teilschwerlinien zur Hauptschwerlinie gemäß: „Verschiebesatz von Steiner“.
A1 (Fläche groß)
ey =xo
Anmerkung 2: Der Randfaserabstand ey befindet sich aufgrund der Symmetrie in der Mitte des Körpers und muss somit nicht mathematisch bestimmt werden.
Lösung a. Zur Vereinfachung ziehen wir in unserem Beispiel den inneren Hohlraum vom gesamten Körper ab. Zur Erzielung des gleichen Resultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und nach bekanntem Schema vorgehen. Wir bestimmen die Randfaserabstände ex1 und ex2 (siehe Skizze) nach der allgemeinen Formel:
yo =
A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y2 + ... An ⋅ yn b ⋅ h ⋅ y1 − b1 ⋅ h1 ⋅ y2 50 ⋅ 80 ⋅ 40 − 34 ⋅ 40 ⋅ 50 ⇒ yo = = b ⋅ h − b1 ⋅ h1 50 ⋅ 80 − 34 ⋅ 40 Ages (gleiches gilt für ey bzw. xo!)
yo = 34,84mm Wir erinnern uns an das Thema „Schwerpunktslehre“ aus dem Fach Fahrzeugmechanik. Hierbei entspricht:
ex ⇒ yo ey ⇒ xo
Hieraus folgt:
ex1 = 34,84mm
ex 2 = h − ex1 = 45,15mm
Die unterschiedliche Benennung (yo wird ex und xo wird ey) rührt daher, dass es im Fach Mechanik um die Bestimmung und Definition des Schwerpunktes geht und jeweils entlang der X-Achse bzw. der Y-Achse im Koordinatensystem der Abstand des Schwerpunktes berechnet wird. 9
Development and Construction
Im Fach Konstruktionstechnik hingegen geht es um die Bestimmung der Trägheits- und Widerstandsmomente (I und W). Hierbei spielt das Maß für die Verschiebung der Schwerlinien (X oder Y Richtung, je nach dem ob wir Ix oder Iy suchen) eine wichtige Rolle. Lösung b.) Zur Ermittlung der axialen Flächenmomente ist nun der Verschiebesatz von Steiner erforderlich. Auch hier wird in unserem Beispiel zur Vereinfachung der innere Hohlraum vom äußeren Körper abgezogen. Zur Erzielung des gleichen Resultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und die Werte in die Formel einsetzen. 2
2
I = I1 + A1 ⋅ l1 + I 2 + A2 ⋅ l2 + ...I n + An ⋅ ln
2
Grundlagen der KonstruktIonslehre
3
Ix =
b ⋅h b ⋅ h3 2 2 + A1 ⋅ l1 − 1 1 + A2 ⋅ l2 12 12
Ix =
⎡ 34 ⋅ 40 3 50 ⋅ 80 3 2 2 ⎤ + [50 ⋅ 80]⋅ [40 − ex1 ] − ⎢ + [34 ⋅ 40]⋅ [50 − ex1 ] ⎥ 12 ⎣ 12 ⎦
[mm ] 4
I x = 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 Zur Ermittlung von Iy findet der Verschiebesatz von Steiner keine Anwendung, da hier alle Teilschwerlinien mit der Hauptschwerlinie zusammen fallen. Die Hauptschwerlinie ist hierbei die YAchse. 3
Iy =
h ⋅ b3 h1 ⋅ b1 − 12 12
Iy =
80 ⋅ 503 40 ⋅ 343 mm4 − 12 12
[
]
I y = 70,23 ⋅ 10 4 mm4
Lösung c.) Die Grundformel zu Ermittlung von Widerstandsmomenten lautet:
Wx1 =
I x 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 = = 50,11 ⋅ 10 3 mm 3 e x1 34,84mm
Wx 2 =
I x 174,59 ⋅ 10 4 mm 4 = = 38,66 ⋅ 10 3 mm 3 ex2 45,15mm Iy
70,23 ⋅ 10 4 mm 4 Wy = = = 28,09 ⋅ 10 3 mm 3 ey 25mm
W =
I e
(Iy entspricht ½ b)
Die für die Grundbeanspruchungsarten Biegung, Knickung und Torsion erforderlichen Widerstandsmomente sind somit ermittelt. In Y-Richtung ergibt sich aufgrund der Symmetrie nur 1 Wert, in X- Richtung 2 Werte. Übungsempfehlung: „Böge“ Level „L“: ► 795, 796 10
Development and Construction
Ermittlung der günstigsten Einbaulage Wie im Beispiel rechnerisch ersichtlich ergeben sich 2 Steifigkeitswerte über die X-Achse. Daraus folgt das die Einbaulage durchaus von Bedeutung ist (Abb.).
Grundlagen der KonstruktIonslehre
1
2
Abb.: Einbaulagen
Um diese Frage zu klären sei zunächst zu klären ob das Bauteil an der Enden jeweils gestützt wird oder es sich um einen einseitig eingespannten Freiträger handelt. Betrachten wir hierzu zunächst folgendes Beispiel und entscheiden wo an der belasteten Stelle jeweils Zugbelastung und wo Druckbelastung vorliegt (Abb.).
Abb.: Zug- und Druckfasern
Rechnerisch ergibt sich hierbei die Lösung zugunsten Variante 2. Als Fazit kann nunmehr festgehalten werden: wir müssen unterscheiden ob das Bauteil einseitig eingespannt („Freiträger“) ist oder auf 2 Stützen („Stützträger“) aufliegt (siehe Abbildung: „Auftrittsformen der Biegebeanspruchung“) grundsätzlich muss an der „langen Seite“ (großer Randfaserabstand) Druckspannung vorliegen, entsprechend an der kurzen Seite Zugspannung als Ausgangslage ist immer der Schwerpunkt zu betrachten (Böge) bezogen auf unser berechnetes Bauteil oben ist:
→ günstiger als „Freiträger“
→ günstiger als „Stützträger“
11
Development and Construction
3. Beanspruchung auf Biegung Im Vergleich zu den schon behandelten Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck und Abscheren ist bei der Biegung die Lage des Körpers bezogen auf seine Hauptschwerlinie von Bedeutung. Die hierbei verwendete Größe ist das bereits behandelte Widerstandsmoment „Wb“. 3.1. Biegepannungsgesetz Außerdem wird die Biegung durch die Länge und Lage des beanspruchten Körpers beeinflusst, sodass in Verbindung mit der Belastung „F“ das Biegemoment „Mb“ Verwendung findet. Der Quotient aus Biegemoment „Mb“ und Widerstandsmoment „Wb“ ergibt die Biegespannung (Abb.).
Grundlagen der KonstruktIonslehre
σb =
Mb Wb ( x , y )
σb
= Biegespannung
[N/mm ]
FN Wb
= Normalkraft in = Widerstandsmoment
[F]
2
2
[ mm ] Abb.: Biegebeanspruchung
Biegebeanspruchen sindäufig anzutreffen und können in unterschiedlichen Formen auftreten. Die allgemeinste Unterteilung ist die in Stütz- und Freiträger wie im folgenden Kapitel erläutert. 3.2. Biegebeanspruchungsformen Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden (Abb.).
Fall 1
Fall 2
"Freiträger"
"Stützträger"
Abb.: Auftrittsformen der Biegebeanspruchung
1
Im folgenden werden die einzelnen Unterformen mit Beispielen vorgesetellt. Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden.
1
Böge Aufgabensammlung
12
Development and Construction
Grundlagen der KonstruktIonslehre
In beiden Fällen ist es möglich das die Kräfte jeweils als „Punktlast“ oder als „Streckenlast“ auftreten. (Abb.).
Schneelast
Lager
Eigengewicht
Fall 1
Fall 2
Fall 3
Abb.: Streckenlasten
Punktlasten sind oft zur Vereinfachung theoretische Kraftangriffspunkte wo hingegen Streckenlasten eher den Praxisfall darstellen. Wirken Punkt- und Streckenlasten gemeinsam an einem Bauteil, so sprechen wir von „Mischlasten“. 3.3. Freiträger Der wohl einfachste aller Fälle ist dadurch gekennzeichnet das ein einseitig eingespannter „Träger“ mit ein oder mehreren Einzellasten belastet werden (Abb.).
Abb.: Radnabe
Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist eine Radnabe eines Kraftfahrzeuges. Wird die Belastung über die Lagerbreite berücksichtigt sprechen wir von einer Streckenlast.
13
Development and Construction
3.4. Stützträger Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich Fälle unterschieden (Abb.).
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Rosi
Susi
Hasi
Uti
FA Abb.: Biegebeanspruchung
FB 2
Während Susi, Hasi und Uti sich an Boden abstützen bringt Rosi ihr ganzes Körpergewicht auf die Parkbank. Die am stärksten beanspruchte Stelle liegt in diesem Fall vermutlich also nicht in der Mitte. Die Belastungen die auf die Parkbank wirken sind im einzelnen: Rosi: Susi: Hasi: Uti:
85 kg 45 kg 49 kg 64 kg
Arbeitsplan zur Biegemomenten und Querkraftbestimmung: Schritt 1: Freimachen des Bauteils Schritt 2. Bestimmung der Stützkräfte mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen:
∑F
x
=0→+
∑F
y
=0↑+
∑M = 0 +
Schritt 3: Momentensumme für die Schnittstelle bilden Schritt 4: Kraftsumme für die Schnittstelle bilden. Somit ergibt sich dort die vorhandene Querkraft Fq.
2
Lehrbuch Alfred Böge „Technische Mechanik“.
14
Development and Construction
4. Beanspruchung auf Abscheren Die Scherbeanspruchung zählt zu der Familie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt. 4.1. Scherspannungsgesetz
Grundlagen der KonstruktIonslehre
𝜏𝑎 =
𝐹𝑞 𝑆
τa
= Scherspannung
[N/mm ]
Fq S
= Querkraft in = Querschnitt
[F]
2
2
[ mm ]
Beim Abscheren wirken zwei gleichgroße gegensinnige Kräfte F = Fq auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse (Abb.).
3
Abb.: Abscherbeanspruchung
Überschlägige Ermittlung der „Scherfestigkeit“ von Werkstoffen:
τ a = 0,85 ⋅ Rm
(Umrechnung von Normalspannung („Rm“) aus dem Zugversuch in Schubspannung)
Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ►738, 739, 740, 741(b), 742, 743, 744, 745, 746, 748, 749, 750, 751, 752, 753, 755, 756, 757, 758, 764 765
3
Lehrbuch Alfred Böge „Technische Mechanik“.
15
Development and Construction
5. Beanspruchung auf Torsion Die Torsionsbeanspruchung zählt zu der Familie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt. 5.1. Torsionspannungsgesetz
Grundlagen der KonstruktIonslehre
τt =
!"
!
Mt = 9550 (Nm)
!"
!
τt
= Torsionsspannung
[N/mm ]
Mt Wp P n
= Torsionsmoment = Polares Widerstandsmoment = Leistung = Drehzahl
[Nm]
2
3
[ mm ] [ KW] [ min-1 ]
Beim Torsion wirkt die kritische Kraft an der äusseren Randfaser (Abb.).
Abb.: Torsionsbeanspruchung
Innerhalb dieser Beanspruchunbgsart treten häufig Übersetzungen auf. Der Begriff Übersetzung „i“ ist festgelegt als Verhältnis (Quotient) von:
i=
nan ( Antriebsdrehzahl ) nab ( Abtriebsdrehzahl )
=
n1 ω1 d T 2 z 2 M T 2 = = = = n2 ω 2 d T 1 z1 M T 1
( ω = 2 ⋅π ⋅ n )
d=Teilkreisdurchmesser
Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis der Nutzleistung zur Aufwandsleistung:
η=
PNutzen Pab = PAufwand Pein
1W =
1J 1Nm = s s
i Die Gesamtübersetzung ges ist stets das Produkt aller Einzelübersetzungen: Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung“ ► 809, 812, 815, 816, 817, 818, 820, 822, 824
16
Development and Construction
6. Beanspruchung auf Knickung (Sonderfall) 6.1. Grundlagen Wenn bei Druckbeanspruchung die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittfläche S sehr groß ist, besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze liegt. (Spannungs- Dehnungs-Diagramm). Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erreicht. Knickung ist daher kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem:
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens mit steigender Stablänge! (Abb. S.335 Böge). Die Knickung stellt also ähnlich der Flächenpressung einen Sonderfall dar. Abscher .
Druck
Zug
Biegung
Torsion
Grundbeanspruchungsarten
Knickung
Flächenpressung
Abb. 6-1: Grundbeanspruchungsarten
Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt (s. S 335 ).
Fk = Knickkraft
σk = Knickspannungen i = Trägheitsradius I = axialesFlächenmoment / 2.Grades
⇒ Fk =
E ⋅ I min ⋅ π 2 S2
I erf =
ν ⋅ Fk ⋅ S 2 E ⋅π 2
λ = Schlankheitsgrad ν = Knicksicherheit Hinweis: Die Druckspannung muss immer kleiner der Knickspannung und die Knickkraft kleiner der Druckkraft sein.
Die Knickkraft/ Spannung ist diejenige Kraft/ Spannung, bei der das Ausknicken beginnt.
17
Development and Construction
6.2. Elastische Knickung (Eulerfall) Ein Stab knickt stets um diejenige Achse, für die das axiale Flächenmoment den kleinsten Wert hat. Um die These nach Euler praktisch anwenden zu können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
λvorh > λ0 Die Eulergleichung gilt nur solange der errechnete Schlankheitsgrad Lambda gleich oder größer ist als der Grenzschlankheitsgrad.
Grundlagen der KonstruktIonslehre
6.3. Unelastische Knickung (Tetmayerfall) Die Tetmyerthese wird immer dann angewendet, wenn:
λvorh < λ0 Tetmayer und andere Forscher haben für diesen Fall mittels Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt (siehe Formelsammlung oder S.339-340 Sachbuch). Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung Böge“ ► 900, 901, 906, 907, 908, 909, 911, 912, 913
Arbeitsplan für Knickungsaufgaben: Schritt 1: Knickkraft Fk aus Sicherheit V und Belastung F berechnen. Schritt 2: Erforderlicher Flächenmoment 2. Grades Ierf nach Euler berechen. Schritt 3: Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad vergleichen.
λvorh > λ0 ⇒ Ende Euler-Fall Schritt 4:
λvorh < λ0 ⇒ Knickspannungσ k nachTetmayer ,
Schritt 5: Vorhandene Sicherheit bestimmen und mit geforderter Sicherheit vergleichen. Bei Bedarf den Vorgang ab Schritt 3 wiederholen in dem der Querschnitt vergrößert wird.
18
Development and Construction
7. Zusammengesetzte Beanspruchung 7.1. Grundlagen Treten 2 oder mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auf liegt eine zusammengesetzte Beanspruchung vor. Beanspruchungen
Torsion, Abscheren
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Zug, Druck, Biegung
Normalspannungen
Schubspannungen
(Parallel zum Querschnitt)
(Senkrecht zum Querschnitt)
Lastfälle
Ruhende Beanspruchung
Schwellende Beanspruchung
Wechselnde Beanspruchung
(Lastfall 1)
(Lastfall 2)
(Lastfall 3)
Spannung steigt auf bestimmten Wert und hält diesen einen längeren Zeitraum,
Spannung steigt ständig von Null auf einen Höchstwert und sinkt wieder auf Null,
Betrag und Richtung ändert sich nicht.
Richtung ändert sich nicht.
Statische Belastung
Betrag ändert sich,
Spannung schwankt ständig zwischen positivem und negativen Höchstwert, Betrag und Richtung ändert sich.
Dynamische Belastung
Innerhalb zusammengesetzter Beanspruchungen können 3 Ausprägungsformen auftreten (Abb.). Zusammengesetzte Normalspannung o Biegung und Zug/ Druck Zusammengesetzte Schubspannung o Torsion und Abscheren Zusammengesetzte Normal- und Schubspannung o Biegung und Torsion Bei gleichartigen Beanspruchungen (nur Schub- oder nur Normalspannungen) können diese addiert bzw. subtrahiert werden. In den folgenden Kapiteln werden die beiden wichtigsten Formen (fett) ausführlich thematisiert.
19
Development and Construction
7.2. Biegung und Torsion Wellen dienen zur Übertragung von Drehmomenten die durch Kupplungen, Zahnräder und dergleichen ein- und weitergeleitet werden. Durch das zu übertragende Drehmoment werden in den gefährdeten Querschnitten Verdreh- und Biegespannungen hervorgerufen. MT Kupplung
Grundlagen der KonstruktIonslehre
FA
FB
Fq- Verlauf
Abb. Biegung und Torsion
Die zusammengesetzte Beanspruchung, die als Vergleichsspannung bezeichnet wird, lässt sich nach folgender Formel ermitteln:
σ v = σ b 2 + 3(α 0 ⋅τ t )2 Ist Biege- und Drehmoment bekannt, so können bei der Dimensionierung von Wellen die erforderlichen Wellendurchmesser aus dem Vergleichsmoment „Mv“ berechnet werden. Deren Herleitung erfolgt aus der Vergleichsspannung. 2
2
M v = M b + 0,75(α 0 ⋅τ t )
σv
4 5
π ⋅ dH M v Mv ⇒W = = 32 σ bzul W
Böge Formelsammlung Abschnitt 4.9 Böge Formelsammlung Abschnitt 4.9
⇒d =3
4
M v ⋅ 32 σ bzul ⋅ π
5
20
Development and Construction
Grundlagen der KonstruktIonslehre
7.3. Biegung und Zug/Druck Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge wollen wir uns Klarheit über das innere Kräfte- und Spannungssystem verschaffen.
21
Development and Construction
Schritt 1: Freimachen des Bauteils. Hierzu legen wir einen Schnitt an eine zweckmäßige Querschnittsfläche an und entwickeln so das innere Kräftesystem. Schritt 2: Anwendung der 3 bekannten Gleichgewichtsbedingungen:
∑F Grundlagen der KonstruktIonslehre
x
=0
∑F
y
=0
∑M = 0
Die innere Normalkraft (FN) ruft im schraffierten Querschnitt eine gleichmäßig verteile Zugspannung hervor. Durch das innere Biegemoment (Mb) entsteht im Querschnitt das bekannte System der Biegespannung. Im hier symmetrischen Querschnitt sind die Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß.
σ bz = σ bd = σ b =
Mb W
Da es sich bei Zug/ Druck als auch bei Biegespannungen um Normalspannungen (Sigma) handelt (rechtwinklig auf der Schnittfläche stehend), können diese addiert bzw. subtrahiert werden. Tragen wir die Spitzen der Biegespannung an die Zugspannung richtungsgemäß an, so erhalten wir nebenstehendes Bild der resultierenden Gesamtspannung. Aus diesem Bild lassen sich nun die Beziehungen der resultierenden Spannungen leicht ablesen und wir erhalten nebenstehende Gleichungen. Bei unsymmetrischen Bauteilen mit verschiedenen Randfaserabständen “e“ ist es erforderlich die Biegespannungen
σ bz / d =
σ bd
und
σ bz
über das axiale Flächenmoment 2. Grades „I“ zu bestimmen:
M b M b ⋅ e1/ 2 F ⋅ l ⋅ e1/ 2 = = W I I
sodass:
σ resZug =
F ⋅l ⋅e I
+
F ≤ σ zzul S
σ resDruck =
F ⋅l ⋅e F + ≤ σ dzul I S
22
Development and Construction
7.4. Biegung und Druck Diese Beanspruchung unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass sich hier der Biegespannung nicht eine Zugspannung, sondern eine Druckspannung überlagert.
Grundlagen der KonstruktIonslehre
So erhalten wir neben stehenden Bild der resultierenden Spannung, indem wir an die Spitze der Biegespannung richtungsgemäß die über den Querschnitt konstante Druckspannung auftragen. Es ergibt sich nebenstehende Gleichung. Ist die Stablänge eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils im Verhältnis zum Querschnitt sehr groß, muss das Bauteil auf Knickung nachgerechnet werden.
Im Bild der resultierenden Spannung ist zu sehen, dass die spannungsfreie Faserschicht „a“ nach links verschoben ist. Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhalten wir eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebegröße „a“ führt. Übungsempfehlung: „ Aufgabensammlung Böge“ ► Böge Sachbuch, Übung S.351. ► Biegung + Zug/Druck 927, 928, 932, 931, 934, 935, 938, 937. ► Biegung + Torsion: 939 – 948 , (949)
23
Development and Construction
8. Statik in der Ebene In der Konstruktionslehre unterscheiden wir generell 2 Kernbereiche:
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Konstruktionslehre
Innere Kräfte (S)
Äußere Kräfte (A)
Festigkeitslehre (KTL)
Physik (KTL)
Abb.: Einteilung der Konstruktionstechnik
6
8.1. Momente In diesem Kapitel soll in kompakter Form das gebiet der Drehmomente gefestigt werden. Das „Momenten Gesetz“ lautet:
M = F ⋅l
(F=Kraft; l=Weg)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------An dieser Stelle soll bereits auf die 3 Gleichgewichtsbedingungen hingewiesen werden die in der Folge von großer Bedeutung sind:
∑F
x
=0→+
∑F
y
= 0 ↑+
∑M = 0 +
Für Anzahl und Richtungssinn der Belastungskräfte „F“ gibt es keine Beschränkung. Gleichungssysteme dieser Art sind Grundsteine für die Entwicklung von Rechnerprogrammen, die der Staat. Gepr. Techniker für seine Arbeit in der Praxis erstellen und anwenden kann.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lernziel: Technisches Verständnis für Momente entwickeln Ausführliche Herleitungen: Kapitel 1, Böge Lehrbuch 1.1.3. Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 1-8 Böge Aufgabensammlung
8.2. Freimachen der Bauteile Um Berechnungen an Bauteilen möglich zu machen ist eine genaue Analyse der an dem jeweiligen Bauteil wirkenden Kräfte notwendig. Durch „Freimachen“ werden alle Bauteile die das zu berechnende Bauteil berühren entfernt und durch Kraftpfeile ersetzt. Lernziel: Verständnis für Krafteinwirkungen an Bauteilen entwicklen Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch 1.1.7. Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 9-28 Böge Aufgabensammlung
6
Eigene Darstellung
24
Development and Construction
8.3. Zentrales Kräftesystem Ein zentrales Kräftesystem liegt vor wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen Punkt treffen (Abb.).
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Um Richtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist i.d.R. eine zeichnerische als auch eine rechnerische Lösung möglich.
Zentral
Kräftesystem
Aufgabenart
Lösungsweg
Kräfte bekannt
1.G-Aufgabe Resultierende rechnerisch
2.G-Aufgabe Resultierende zeichnerisch
Kräfte unbekannt
3.G-Aufgabe Recherische Lösung
4.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung
Lernziel: Betrag und Wirkrichtung der resultierenden Kraft (roter Pfeil in Skizze) analysieren. Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 1/2. Grundaufgabe: 29-41, 47, Böge Ag./ (einfacher-mittlerer Schwierigkeitsgrad) ► 3/4. Grundaufgabe: 49,50,51,58,61,62,63,66,68 Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad)
Notizen:
25
Development and Construction
8.4. Allgemeines Kräftesystem Beim allgemeinen Kräftesystem haben die Wirklinien der Einzelkräfte keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Um Richtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist eine zeichnerische Lösung nur bedingt möglich und empfehlenswert.
Allgemei n
Kräftesystem
Aufgabenart
Lösungsweg
(kursiv vernachlässigbar)
Kräfte bekannt
5.G-Aufgabe Resultierende rechnerisch
6.G-Aufgabe Resultierende zeichnerisch
Kräfte unbekannt
7.G-Aufgabe Recherische Lösung
8.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung
Lernziel: Berechnen von unbekannten Kräften (rote Pfeile in Skizze). Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► 5. Grundaufgabe: 72-76,79, 80, Böge Ag. (Einfacher-Mittlerer Schwierigkeitsgrad) ► 8. Grundaufgabe: 85, 87,89,91,(93,94),108, 139, 143, 144, 146, 147, 151, Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad)
Notizen:
26
1 2
Development and Construction
9. Schwerpunkts Lehre
9.2. Flächenschwerpunkt Von bekannten Flächen wie Kreis, Rechteck, Dreieck ist die Lage des Schwerpunktes bekannt. Für die Ermittlung des Gesamtschwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche wird diese in Flächen mit bekannten Schwerpunkten zerlegt. Mit Hilfe dieser Flächen (Dichte, Erdbeschleunigung und Volumen sind bekannt) und den dazu gehörigen Abständen bezogen auf einen Drehpunkt werden mittels Momentensatz die Momente gebildet um die Lage des Hauptschwerpunktes zu bestimmen (Abb.):
Y
Xo Teilschwerpunkt Hauptschwerpunkt
A1
A2
A3
Yo
Y1
Y2
Drehpunkt
Y3
Grundlagen der KonstruktIonslehre
9.1. Vorwort Weil für die Grundbeanspruchungsarten Biegung und Torsion die so genannten Flächenmomente 2. Grades erforderlich sind, wird nachfolgend die Ermittlung des Schwerpunktes von zusammengesetzten Flächen behandelt.
X
X1
D
X2 X3
Abb.: Flächenschwerpunkt
7
Stellen wir nun die Grundgleichungen auf, so erhalten wir die Schwerpunktsabstände Xo und Yo.
Xo =
7
Eigene Darstellung
A1 ⋅ X 1 + A2 ⋅ X 2 .. + An ⋅ X n Ages
Yo =
A1 ⋅ Y1 + A2 ⋅ Y2 .. + An ⋅ Yn Ages
27
Development and Construction
9.3. Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Musterbeispiel (Aufgabe 268): Eine Mauer soll mit Hilfe eines Seiles umgekippt werden, dass unter dem Winkel α = 30° an der Mauerkrone zieht. Die Abmessungen entnehmen Sie der beiliegenden Skizze. Gesucht:
Lösung a.)
l =0,5m
S=
Fx α
S h = 2m
Grundlagen der KonstruktIonslehre
a) die zum Ankippen erforderliche Seilkraft F! b) Wie groß ist der Winkel β beim Ankippen? c) die erforderliche Kipparbeit bis zum Selbstkippen!
Fx = cos α ⋅ F
F
S
F=
a
γ
Fg ⋅ 0,5l 16 KN ⋅ 0,25m = = 2,31KN S ⋅ cos α ⋅ h 1⋅ cos 30° ⋅ 2m
Anmerkung: S=1 Beim Ankippen ist die Kippsicherheit 1.
b β
Ms Fg ⋅ 0,5l Fg ⋅ 0,5l = = Mk Fx ⋅ h F ⋅ cos α ⋅ h
D
Lösung b.)
Die Mauer kippt in dem Moment, wo die Senkrechte des Schwerpunktes durch den Kippdrehpunkt verläuft (siehe Skizze).
Gk a 0,25m = = = 0,25 Ak b 1m inv tan(0,25) = 14,03° ⇒ γ = 14,03° tan γ =
Wenn β=75,96° ist, beginnt die Mauer zu kippen.
β = 90° − γ = 90° − 14,03° = 75,96° Lernziel: Berechnung der Kipp -und Standmomente von Körpern Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► Schwerpunkt: 201, 202, 203, 205, 212, 217, 218 ► Standsicherheit: 278 (s.o.), 266, 267, 268, 269, 273, 274, 277
28
Development and Construction
10. Reibung
Grundlagen der KonstruktIonslehre
10.1. Grundlagen Wollen wir einen Körper auf einer Fläche verschieben, so spüren wir einen Widerstand. Die Bewegungshemmende Kraft ist die Reibkraft. Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen sprechen wir von Ruhe oder Haftreibung, ansonsten sprechen wir von Gleitreibung (Abb.):
Abb.: Reibarten
Die Reibkraft FR ist eine in der Berührungsfläche wirkende Tangentialkraft welche versucht den schnelleren Körper zu verzögern und den langsameren oder stehenden zu beschleunigen. Die Kupplung ist hierfür ein gutes Beispiel. Bewegen sich beide Körper gegenseitig zueinander, so wirkt die Reibkraft auf beide verzögernd.
Die Reibkraft FR ist unabhängig von der Größe der Gleitfläche und stets proportional mit der Normalkraft FN mit der die beiden Flächen zusammen gedrückt werden
Auch ein rollender Körper wird durch eine Kraft abgebremst, die wir Rollwiderstand nennen. Er ist erfahrungsgemäß kleiner als die Gleit- oder Haftreibkraft. Innerhalb bewegter Flüssigkeiten und Gase tritt ebenfalls Reibung auf.
FR = Re ibkraft
FG
FN = Normalkraft Fe = Ersatzkraft
µ 0 = Haftreibung µ = Gleitreibung µ R = Rollreibung
tan α =
FR ⇒ µ (Re ibzahl ) FN
F FR
FN
FR = FN ⋅ µ
f = wirksamerHebelarm δ = Re ibwinkel 29
Development and Construction
Mit zunehmender Reibkraft FR vergrößert sich der Winkel (Delta) zwischen der Normal- und der Ersatzkraft. Hierbei ist die Reibkraft der Tangensfunktion des Reibwinkels stets proportional. Die Tangensfunktion des Reibwinkels wird als Reibzahl (Müh) bezeichnet (Abb.3-2). FR
FR
FN
FN
Grundlagen der KonstruktIonslehre
FG
FG
δ F
F
Gleitreibzahlµ = tan δ Aus diesen Beziehungen erhalten wir die Gleichung zur Errechnung der Reibkraft.
Re ibkraft = Normalkraf tx Re ibzahl
FR = FN ⋅ µ Ruhen beide Körper aufeinander, kann die Haftreibkraft von null bis auf einen Höchstwert anwachsen, der größer ist als FR. Dann ist:
Haftreibzahlµ 0 = tan δ 0
µ 0 > µ , weilδ 0 > δ Somit wird: Abb.: Herleitung der Reibgesetze
8
Haftreibkr aft = Normalkraf t ⋅ Haftreibza hl
FR 0 = FN ⋅ µ 0 Reibzahlen bzw. Reibwinkel werden durch Versuche ermittelt. Sie können auch bei gleichartigen Bedingungen (Rautiefen, Werkstoff, Schmierung) voneinander abweichen. Angegebene Werte sind stets Richtwerte (Tab.).
Tab.: Reibzahlen
8 9
9
Böge Sachbuch S. 91 Böge Sachbuch S. 92
30
Development and Construction
Bestimmung von Reibzahlen: Zur Ermittlung von Reibzahlen wird eine schiefe Ebene benutzt. Der Prüfkörper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene so lange in Ruhestellung, bis:
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Neigungswinkelα = Haftreibwinkelδ 0 Liegt die Ebene unter dem Reibungswinkel , gleitet der Körper nach dem Anstoßen mit V=C abwärts. In beiden Fällen ist der Körper im Gleichgewicht und es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft und Gewichtskraft ist während des Gleitens = δ denn hier ist:
FG = Fe Aus den geometrischen Verhältnissen resultiert:
δ =α Seine Tangensfunktion ist die Reibzahl µ . Zum gleichen Resultat gelangen wir mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als X-Achse legen wir die Richtung der schiefen Ebene fest und zerlegen die Gewichtskraft in: Abb.: Herleitung der Reibgesetze
10
FG ⋅ sin αundFG ⋅ cosα Beim gleichförmigen Abwärtsgleiten ist: Die Gleichungsentwicklung belegt:
Experimente mit variablem Neigungswinkel verharrt bis:
α
∑ Fx = 0
und
∑ Fy = 0
tan α = µ
folglich ist:
α =δ
zeigen, dass der Körper so lange in seiner Stellung
α ≤ δ0 Der Bereich zwischen den Winkeln null und
10
Böge Lehrbuch
δ0
heißt „Selbsthemmungsbereich.
31
Development and Construction
10.2. Reibwinkel und Reibzahl (Haft- und Gleitreibung) Aufgabe 309: Ein Stahlquader mit der Gewichtskraft Fg soll durch die Zugkraft F unter dem Zugwinkel α mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts gezogen werden. Die Zugkraft F greift im Körperschwerpunkt S an.
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Gesucht: a) Eine Gleichung für die Zugkraft F in Abhängigkeit von der Gewichtskraft Fg, dem Zugwinkel α und der Gleitreibzahl µ. b) Der Betrag der Zugkraft F für Fg = 1000N, α=30° und µ=0,15.
F
V = konstant α
Der Lösungsansatz erfolgt in Anlehnung an die 3 bekannten Bedingungen:
FR
∑ F = 0 → + FR = cos 30° ⋅ F ∑ F = 0 ↑ + FN = FG − sin 30° ⋅ F ∑M = 0 +
Fe
µ = tan α =
x
y
FG
FN
FR (cos 30° ⋅ F ) FN ( FG − sin 30° ⋅ F )
FR = FN ⋅ µ cos 30° ⋅ F = ( FG − sin 30° ⋅ F )µ cos 30° ⋅ F = FG ⋅ µ − sin 30° ⋅ F ⋅ µ FG ⋅ µ = cos 30° ⋅ F + sin 30° ⋅ F ⋅ µ
⇒F=
FG ⋅ µ cos 30° + sin 30°µ
FG ⋅ µ = F (cos 30°µ + sin 30°µ )
32
Development and Construction
10.3.
Kupplungen
Kupplungen (329):
Grundlagen der KonstruktIonslehre
geg: FN = 400N,
M R = FRges ⋅
dm 2
dm = 116mm,
M Rges = FR ⋅
dm ⋅n 2
µ = 0,09
n: Anzahl der Reibflächen
M = F ⋅l M R = ∑ FRi ⋅ li ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Alternativ:
M = F ⋅l
FR = FN ⋅ µ ⋅ n a.)
FR = 400 N ⋅ 0,09 ⋅ 8 FR = 288N
M R = FR ⋅ b.)
l 2
0,116m 2 M R = 16,7 Nm M R = 288N ⋅
FR = FN ⋅ µ ⇒ 400 N ⋅ 0,09 = 36 Nm l M R = FR ⋅ ⇒ 36 N ⋅ 0,058m = 2,088Nm 2 M Rges = M R ⋅ 8 = 2,088Nm ⋅ 8 = 16,7 Nm
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33
Development and Construction
10.4.
Trommel- und Backenbremse
Grundlagen der KonstruktIonslehre
db=250 mm l=200mm b=100mm, µ=0,4
ablaufende Seite
auflaufende Seite
∑M
B
=0←+
− FP ⋅ l − FR ⋅ lb + FN ⋅
l =0 2
l FN ⋅ − FR ⋅ lb = FP ⋅ l 2 FR l ⋅ − FR ⋅ lb = FP ⋅ l µ 2 FP ⋅ l FR = = 454,54 N l − lb µ ⋅2 db MR = FR ⋅ = 56,81Nm 2
∑M
A
=0←+
l − FR ⋅ lb − FN ⋅ + FP ⋅ l = 0 2 FR l FR ⋅ lb + ⋅ = FP ⋅ l µ 2 ⎛ 1 l ⎞ FR ⋅ ⎜⎜ lb + ⋅ ⎟⎟ = FP ⋅ l µ 2 ⎠ ⎝ FP ⋅ l FR = = 357,14 N ⎛ l ⎞ ⎜⎜ lb + ⎟ 2 ⋅ µ ⎟⎠ ⎝ MR = FR ⋅
db = 44,64 Nm 2 34
Development and Construction
Mges = M RA + M RB = 101,45Nm
Grundlagen der KonstruktIonslehre
10.5.
MBR
Scheibenbremse
= 516 Nm,
Fp = 2543 N,
µ = 0,4
Durchmesser der Scheibenbremse:
dm ⋅2 2 FR = FN ⋅ µ = Fp ⋅ µ
MbR = FR ⋅
MBR = Fp ⋅ µ ⋅ dm
dm =
MBR = 0,507m Fp ⋅ µ
Ermittlung des Bremsdruckes:
d = 18mm FP 500 N ⋅ 4 N p= = = 1,96 = 19,6bar A π ⋅ (18mm )² mm² Lernziel: Berechnung der Reibwiderstände Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: „Böge Aufgabensammlung“ ► Haft –und Gleitreibung: 301-310, 312, 316, 327, 328 ► Kupplungen: 329, 330, 331, 333 ► Bremsen: 363, 375 ► Rollreibung: 379-385
35
Grundlagen der KonstruktIonslehre
Development and Construction
36