Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 2

Stylized Facts von (station¨ aren) Finanzmarkt-Zeitreihen (Stationarit¨at erfordert i.d.R. Differenzierung (der Logarithmen) → Zeitreihe liegt als Rendite vor)

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

• Bei Finanzmarkt-Zeitreihen hat man (neben den ‘generischen’ Problemen wie Instationarit¨at und Autokorrelation) h¨aufig folgende Ph¨anomene:

K.-H. Schild

– Leptokurtosis der Verteilung (der Renditen)

5. Juli 2017

– Unkorreliertheit, aber keine stochast. Unabh¨ angigkeit der Fehlerterme (D.h.: Autokorrelat. in Fkt.en von ut, z.B. in u2t , selbst wenn ‘keine Autokorrelat. in ut’ erreicht ist) – Volatilit¨ats-Klumpen (’volatility-clustering’) Ist die Volatilit¨at erst einmal hoch, tendiert sie dazu hoch zu bleiben. • Ph¨anomene in der Regel umso ausgepr¨agter je h¨oher die Frequenz der Daten. • Argument f¨ ur ARCH/GARCH-Modelle: Sie k¨onnen diese Ph¨anomene reproduzieren

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 1

Grundlegendes

ARCH(1)-Modell

• ARCH = Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity, Das meint:

Beide:

| |

(re. Seite ohne εt)

2. Conditional : Im autoregr. HS-Mod. l¨asst sich der erkl¨arte Anteil interpretieren als: σt2 = var(ut | ut−1, . . .) = E[u2t | ut−1, . . .] = bedingte Varianz gegeben die vergangenen Schocks ut−1 = Volatilit¨ at des Outcomes yt aus Sicht der Vorperiode t − 1, = Unsicherheit, die u ost hat ¨ber yt besteht, wenn sich die Unsicherh. in t − 1 aufgel¨ ← ’doppelte AR’

• Wichtiger Aspekt: Mit einem ARCH od. GARCH-Modell identifiziert man auch den Effekt vergangener Schocks (News, ut−1) auf die Kurzfrist-Unsicherheit“ σt ” Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

yt = β0 + β1 xt,1 + . . . βK xt,K + ut | {z }

(1)

2 ut2 = δ + % ut−1 + εt

(2)

• Heteroskedastie-Modell autoregressiv, im einfachsten Fall

σt2

• Bei GARCH-Modellen wird auch dieses σt2 autoregressiv.

(aus ¨ okonometr. Sicht, genaue Form: sp¨ ater)

oft nicht vorhanden

Vorher (’statisch’): u2t = δ0 + δ1 x1,t + . . . + εt

σt2 := (durch HS-Modell) erkl¨arter Anteil von u2t

Folie 3

• Outcome-Modell (heißt hier ’mean-model’):

1. Autoregressiv : Im Heteroskedastie-Modell jetzt auch autoregressive Terme: Jetzt (’autoregressiv’): u2t = δ + % u2t−1 + . . . + εt

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K.-H. Schild

K.-H. Schild

wobei angenommen wird: – δ > 0, % ≥ 0 (Positivit¨at des Prozesses σt2, s.u.) – % < 1 (Stationarit¨at im Heteroskedastie-Modell) • Erkl¨ arter Anteil im Heteroskedastie-Modell:

2 σt2 := E[u2t | It−1] = δ + % ut−1

(3)

wird interpretiert als: die bedingte Varianz des St¨orterms ut gegeben die zum Zeitpunkt t − 1 verf¨ ugbare Information It−1. Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Folie 4

• Schreibe Formel f¨ ur σt2 als

E[u2t | It−1] ist eine bedingte Varianz Varianz im Schock ut, die aus Sicht des Zeitpkts t−1 besteht. Unsicherheit u ¨ber den n¨a. Schock ut (und damit yt) Volatilit¨ at (eigentlich bzgl. ut, aber damit auch bzgl. yt)

δ 1−% Indem wir δ durch σ ¯ 2 (1 − %) ersetzen, schreibt sich die Bezhg. (3) als σ ¯ 2 = E[ut2]

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(30)

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Folie 5

2 auf die bedingte Volatilit¨ at σt+1 auswirken

‘good news’ (positives ut) haben gleichen Effekt wie ‘bad news’ (negatives ut) auf die aktuelle Unsicherheit u ¨ber yt+1; Da % > 0, ist ihr Effekt immer Volatilit¨ats/Unsicherheits-steigernd. Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Folie 7

Standard-Formulierung des ARCH-Modells

Eigenschaften des ARCH(1)-Modells • Volatilit¨ ats-Clustering: Da % die Autokorrelation zwischen u2t und u2t−1 darstellt und 0 < % < 1, folgt auf ein großes u2t−1 − σ ¯ 2 tendentiell wieder ein großes u2t − σ ¯ 2 und umgekehrt.

Die Beziehung σt2 − σ ¯ 2 = % u2t−1 − σ ¯ 2) zeigt, dass sich diese Verhalten, mit % ged¨ampft, 2 auf die bedingte St¨ ortermvarianz σt u ¨bertr¨agt.

• Unkorreliertheit, aber nicht Unabh¨ angigkeit der St¨ orterme: Falls keine St¨ orterm-AK vorliegt, haben wir beim ARCH-Modell – keine Autokorrelation zwischen ut und ut−1, 2 – aber Autokorrelation zwischen ut2 und ut−1 Das zeigt, dass ut und ut−1 unkorreliert, aber nicht stochastisch unabh¨angig sind (sonst w¨are die Autokorrelation jeder Funktion von ut gleich Null).

• Leptokurtosis: Man kann zeigen: Die Kurtosis der unbedingten Verteilung von ut (bei bedingter Normalverteilung, s.u.) betr¨agt: ( 1−%2 3 1−3% f¨ ur % < √13 ≈ 0.58 2 > 3 Kurtosis(ut) = ∞ f¨ ur % ≥ √13 Leptokurtische Verteilung (Kurtosis > 3): Mehr Masse beim Mittelwert und in den R¨andern der Vtlg. ( ⇐⇒ weniger Masse bei moderaten Abweichungen) als bei einer Normalverteilung.

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die heute verf¨ ugbar werden,

• Da die aktuellen Schocks im Quadrat (als u2t ) eingehen, folgt (per Modell-Annahme):

Die Kurzfrist-Volatilit¨at fluktuiert also mit der Zeit um σ ¯ 2; war der Schock in t−1 groß 2 2 2 2 (ut−1 > E[ut−1] = σ ¯ ), so folgt eine große Volatilit¨at σt > σ ¯ 2 und umgekehrt. Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

wie sich neue Informationen ut bzgl. yt (Schocks, Innovationen),

(σt2= ˆ aktuelle Unsicherheit u ¨ber yt+1)

=

2 2 ¯ 2) = σ ¯ 2 + % u2t−1 − σ σt2 = δ + % ut−1 = σ ¯ 2 (1 − %) + % ut−1

2 σt+1 = δ + % ut2

• Zeigt: Das ARCH-Modell beschreibt,

• Da u2t (annahmegem¨aß) einem station¨aren AR(1)-Prozess folgt, beschreibt u2t eine mean reversion. D.h. es gibt ein ’langfristiges Mittel’ σ ¯ 2, zu dem u2t immer wieder zur¨ uckkehrt. Adjustierungsrate (Reversionsrate) ist −(1−%). Dies nennt man die unbedingte Varianz • Es gilt:

Folie 6

Beziehung zwischen heutigen Schocks und morgiger Volatilit¨ at

Bedingte Varianz (=Volatilit¨ at) vs. unbedingte Varianz • σt2 = = = =

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• Das ARCH-Modell wird meistens als multiplikatives Modell f¨ ur ut eingef¨ uhrt: (20)

ut = ηt · σt, wobei ηt weißes Rauschen ist mit ErwWert 0 u. Varianz 1 (meistens ηt ∼ N (0, 1)) q 2 und σt > 0 der Beziehung (3) gen¨ ugt, d.h. σt = δ + % ut−1 mit δ > 0, 0 ≤ % < 1.

• Ein solches Residualmodell impliziert unser Modell (2),1 allerdings f¨ uhrt unser Modell (2) f¨ ur u2t nur mit einer Vorzeichenregelung auf das Modell (2’) f¨ ur ut. Das korrektere Vorgehen w¨are also, mit (2’) zu beginnen u. (2) daraus herzuleiten. Aber: Form (2) ist viel besser ¨okonometrisch/regressionstechnisch zu interpretieren. (→ z.B.: Effekt von News auf Volatilit¨at) 1 2 Beachte dazu: E[u2t | ut−1 ] = E[ηt2 · σt2 | ut−1 ] = E[ηt2 ] · E[σt2 | ut−1 ] = δ + % ut−1 ; mit εt := u2t − E[u2t | ut−1 ] ergibt sich unser autoregressives Modell (1) f¨ ur u2t , u2t = δ + %u2t−1 + εt . Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Folie 8

Analog zu den Tests auf statische Heteroskedastie (vgl. Breusch-Pagan-Test, White-Test) kann man auf ARCH(1)-Effekte testen: • Sch¨atze mit OLS das ‘Outcome-Modell’ yt = β0 + β1 xt,1 + . . . + βK xt,K + ut

= δ+

2 %u ˆt−1

f (yt|It−1) = p

+ εt

• t-Statistik bzgl. %ˆ zeigt Ablehnbarkeit der H0 : ‘keine ARCH-Effekte’ (d.h. % = 0) ¨ (Wiederum: Anwendbarkeit des t-Tests bedarf weitergehender Uberlegung: Ersetzung von ut durch u ˆt.)

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Folie 9

Sch¨ atzung des ARCH(1)-Modells

ˆ Sch¨atze das Outcome-Modell (1) mit OLS, liefert β OLS Berechne die Residuen u ˆt von (1) ˆ %ˆ Sch¨atze das Heteroskedastie-Modell (2) mit OLS, mit u ˆt statt ut, liefert δ, Berechne die gefitteten Werte des Modells aus (3), liefert σ ˆt2 ˆ Verwende 1/ˆ σt als Gewichte in der WLS-Sch¨atzung von (1), liefert β F GLS .... iterierte Fortsetzung m¨ oglich

2πσt2

exp − 12 ut2/σt2




wobei ut = yt − β 0xt, σt2 = δ + % u2t−1.

• Bei der ML-Sch¨atzung (wie auch bei FGLS) sind (eigentlich) die Stationarit¨ats- und Positivit¨atsbedingung einzuhalten: δˆ > 0, 0 < %ˆ < 1. Eine Software (wie EViews) h¨alt diese Restriktionen nicht unbedingt ein. D.h. man muss nachtr¨aglich u ufen, ob diese Bedingungen erf¨ ullt sind (sonst unsinniges Ergebnis). ¨berpr¨

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Folie 11

• Verallgemeinerung des ARCH(1)- auf ARCH(p)-Modell: Naheliegend: Verwende das Heteroskedastie-Modell 2 2 u2t = δ + %1 ut−1 + . . . + %p ut−p + εt

(20)

wobei man folgende Bedingungen an die Koeffizienten stellt: – δP> 0, %j ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , p, p – % < 1 j j=1

– FGLS-Sch¨atzung wird fast nie praktiziert, aber Vorteil: R¨ uckwirkung der ARCHModellierung auf die Parameter-Sch¨ atzung des Outcome-Modells wird verst¨andlich: • Zeitpkte mit hoher Volatilit¨ at (großem σ ˆt): Geringes Gewicht im Outcome-Modell; • Zeitpkte mit geringer Volatilit¨ at (kleinem σ ˆt): Hohes Gewicht im Outcome-Modell; • Vgl. OLS: Bei OLS werden dagegen alle Zeitpunkte gleich gewichtet • Sichtweise gibt auch Anhaltspunkt f¨ ur die ML-Sch¨ atzung von ARCH-Modellen Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

1

ARCH(p)-Modell

• Prinzipiell denkbar w¨are es (analog zur FGLS-Sch¨atzung bei statischer Heteroskedastie), das ARCH(1)-Modell mit (iterierten) FGLS zu sch¨atzen: – – – – – –

• Wie immer bei ML-Sch¨atzungen m¨ ussen dazu Verteilungsannahmen getroffen werden; sie beziehen sich hier auf die Dichte von ut gegeben die Informationen in It−1 (nicht auf die unkonditionierte Dichte von ut). • Zum Beispiel: Annahme ist, dass ut|It−1 normalverteilt ist mit Erw.Wert 0 und Varianz σt2. Dann ist die Dichte, die in die Likelihood eingeht:

• Ermittele die Quadrate der Residuen u ˆ2t und u ˆ2t

Folie 10

Sch¨ atzung via ML

Test auf ARCH(1)-Effekte (‘Engle-Test’)

• regressiere sie auf das verz¨ ogerte Residualquadrat, d.h. sch¨atze Gl. (2) mit OLS (und u ˆ2t statt u2t ):

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• Diese Bedingungen sind hinreichend f¨ ur: (1) Positivit¨at von σt2 (s.u.) und (2) Stationarit¨at des Heteroskedastie-Modells. • Der erkl¨arte Anteil im Heteroskedastie-Modell ist 2 2 σt2 := E[ut2 | It−1] = δ + %1 ut−1 + . . . + %p ut−p

(30)

und l¨asst sich als die bedingte Varianz des St¨orterms ut gegeben die zum Zeitpunkt t − 1 verf¨ ugbare Information It−1 interpretieren. Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Folie 12

Unbedingte und bedingte Varianz bei ARCH(p)

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Folie 14

Test auf ARCH(p)-Effekte: ist naheliegend, analog zum Breusch-Pagan- oder White-Test auf statische Heterskedastie:

• Das ARCH(p)-Modell zeichnet sich also dadurch aus, dass es die ‘bedingte Volatilit¨at’ σt (der St¨ orterme) durch ein Auto-Regressives-Conditionales-Heteroskedastie-Modell beschreibt: 2 2 σt2 = δ + %1 ut−1 + . . . + %p ut−p ,

• Ermittele die Quadrate der Residuen u ˆ2t und

σt2 = var(ut, It−1)

• regressiere sie auf p verz¨ogerte Residualquadrate, d.h. sch¨atze (2’) mit OLS u. uˆ2t statt u2t :

• Die unbedingte Varianz (‘Reversionsvarianz’) der St¨ orterme ist: σ ¯ 2 = δ/(1 −

X

• Sch¨atze mit OLS das ‘Outcome-Modell’ yt = β0 + β1 xt,1 + . . . xt,K xt,K + ut

2 2 u ˆ2t = δ + %1 u ˆt−1 + . . . + %p u ˆt−p + εt

%j ) • Nullhypothese lautet ‘keine ARCH-Effekte’, d.h. %j = 0 f¨ ur j = 1, . . . , p. • Kann als F -Test von p Exklusionsrestriktionen oder (asymptotisch) als ‘LM-Test’ durchgef¨ uhrt werden. Die LM-Statistik ist T R2 mit dem R2 der Regression von u ˆ2t , was asymptotisch χ2p-verteilt ist unter H0.

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Folie 13

Eigenschaften des ARCH(p)-Modells:

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Folie 15

Sch¨ atzung des ARCH(p)-Modells:

¨ Ahnlich ARCH(1), allerdings technisch aufwendiger nachzuweisen:

• via iteriertem FGLS (denkbar, aber selten praktiziert) oder (in aller Regel)

• Volatilit¨ats-Clustering,

• mit Maximum-Likelihood (mit Annahmen u ¨ber die bedingte Vtlg. von ut).

• Leptokurtosis der (unbedingten) Verteilung von ut

• Auch hier: In einer Software wie EViews ist nicht sichergestellt, dass die Sch¨atzung die Bedingungen an δ und %j erf¨ ullt;

• usw.

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sie m¨ ussen nachtr¨aglich u uft werden. ¨berpr¨

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Folie 16

GARCH-Modelle

Folie 18

• Dass GARCH-Prozesse ¨ahnliche Eigenschaften wie ARCH(p)-Prozesse mit großem p haben, sieht man daran, dass man einen GARCH(1,1)-Prozess darstellen kann als einen ARCH(∞)-Prozess mit geometrisch abnehmenden Koeffizienten:

• Das ARCH(p)-Modell geht auf Engle (1982) zur¨ uck; eine wesentliche Erweiterung wurde in Bollerslev (1986) mit dem GARCH-Modell (generalized ARCH ) entwickelt. ¨ • Die Verallgemeinerung entspricht formal dem Ubergang von MA- zu ARMA-Modellen in der Box-Jenkins-Theorie • Vorteil: Sparsame Parametrisierung ohne Verlust der gew¨ unschten Eigenschaften; meistens wird von den GARCH(p, q)-Modellen nur das GARCH(1, 1) eingesetzt. • Idee: Betrachte das ARCH(p)-Modell formal als MA(p)-Modell f¨ ur die bedingte Varianz σt2: 2 2 + . . . + %p ut−p ARCH(p) : σt2 = δ + %1 ut−1 und f¨ uge diesem Modell autoregressive Anteile in der bedingten Varianz σt2 hinzu: GARCH(p, q) : σt2 = δ

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2 2 σt2 = δ + % ut−1 + τ σt−1 2 2 2 = δ + % ut−1 + τ δ + % ut−2 + τ σt−2 ) 2 2 2 = δ (1 + τ ) + % (ut−1 + τ ut−2 ) + τ 2 σt−2 2 = .. (rekursives Einsetzen von σt−j )

=

∞ X δ +% τ j−1u2t−j 1−τ j=1

• Sch¨ atzung von GARCH-Modellen: Mit Maximum-Likelihood

2 2 + %1 ut−1 + . . . + %p ut−p 2 2 + τ1 σt−1 + . . . + τq σt−q

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Folie 17

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Folie 19

Varianten des GARCH-Modells und Hinweise zu EViews

• Anmerkung: Anders als bei ARMA-Modellen: kein weißes Rauschen in den Gln.

Bei Spezifikation der Outcome-Gleichung (= mean equation) die Option ARCH Autoregressive Conditional Heteroscedasticity w¨ahlen. Dadurch ¨offnet sich ein Dialog-Fenster, Seite 1 von 1

• Bedingungen an die Koeffizienten: – – – –

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δ>0 %j ≥ 0 f¨ ur j = 1, . . . , p τP ≥ 0 f¨ u r jP = 1, . . . , q j p q % + j=1 j j=1 τj < 1

• Diese Bedingungen stellen Positivit¨at und Stationarit¨at von σt2 sicher. • (Neuere Arbeiten stellen heraus, dass die Positivit¨at unter schw¨acheren Bedingungen sichergestellt werden kann) • Station¨are unbedingte Varianz des GARCH(p, q)-Prozesses betr¨agt: σ ¯2 =

1−

δ Pq j=1 %j − j=1 τj

Pp

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in dem sich u.a. folgende Parameter eingeben lassen: K.-H. Schild

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Folie 20

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Folie 22

Varianten der GARCH-Modellierung

• Mean equation: Hier wird das Outcome-Modell in der u ¨blichen Form eingegeben. • Model: F¨ ur GARCH(p,q) ist die Voreinstellung GARCH/TARCH zu belassen (weitere Optionen sind EGARCH, PARCH und Component ARCH). • Order: Hier werden die Ordnungen p (hinter ARCH:) und q (hinter GARCH:) eingestellt. Voreingestellt sind ARCH: 1, GARCH: 1, d.h. es wird ein GARCH(1,1)-Modell gesch¨atzt. • Variance Regressors: Hier k¨ onnen weitere Regressoren f¨ ur das Heteroskedastie-Modell (Modell f¨ ur σt2) hinzugef¨ ugt werden; Voreinstellung: (leer)

Zahlreiche Varianten der GARCH-Modellierung bedingter Volatilit¨at sind vorgeschlagen worden, von denen sich viele in EViews implementiert finden. Viele dieser Varianten adressieren folgende Restriktion im urpr¨ unglichen GARCH-Ansatz: Positive und negative Schocks wirken symmetrisch auf die zuk¨ unftige Volatilit¨ at. D.h. ein starker positiver Schock (‘good news’, ut−j > 0) hat den gleichen Effekt auf die zuk¨ unftige Volatilit¨at wie ein (im Betrag gleich großer) negativer Schock (‘bad news’, ut−j < 0).

• Error Distribution: Hier kann die in der ML-Sch¨atzung zu verwendende (bedingte) Verteilung der St¨orterme gew¨ahlt werden (Voreinstellung: Normal (Gaussian); es k¨onnen z.B. auch Student’s t und Gen. Error (GEV) gew¨ahlt werden, wobei die Zahl der Freiheitsgrade ein Parameter der ML-Sch¨atzung sein kann). Weitere Einstellm¨ oglichkeiten sind Threshold order (Voreinstellung: 0), ARCH-M (Voreinstellung: none) und Restrictions, die sich auf Varianten des GARCH-Modells beziehen.

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Folie 23

Ausgabe einer GARCH-Sch¨ atzung

Treshold-GARCH

Die Ausgabe einer GARCH-Sch¨ atzung zeigt nicht nur die gesch¨atzten Parameter des Outcome-Modells, sondern auch diejenigen des Heteroskedastie-Modells.

• TARCH: Das ‘Treshold-GARCH ’-Modell basiert auf folgender Modifikation des GARCH-Ansatzes:

Akronym GARCH steht f¨ ur das (Quadrat) der bedingten Volatilit¨at σt2(GARCH(-1) entspre2 chend f¨ ur σt−1 usw.)

σt2

= δ +

p X

2 %j ut−j

j=1

= δ +

p X j=1

+

q X

2 τj σt−j

+

j=1

2 %j ut−j

1[ut−j ≥ 0] +

r X

2 δj ut−j 1[ut−j < 0]

Ann.: p = q = r = 1

j=1

r X j=1

(%j +

2 δj ) ut−j

1[ut−j < 0] +

q X

2 τj σt−j

j=1

wobei 1[ut−j < 0] gleich 1 ist, falls ut−j < 0 und 0 sonst. Der ARCH-Anteil wird also um einen asymmetrischen Term erg¨anzt, so dass ‘good news’, ut−j > 0, einen anderen Einfluss auf die bedingte Volatilit¨at σt2 haben k¨onnen als ‘bad news’, ut−j < 0: Der Einfluss der ‘good news’ auf die Volatilit¨at betr¨agt %j , w¨ahrend den ‘bad news’ ein Einfluss von %j + δj zukommt. Ist δˆj signifikant gr¨oßer 0, erh¨ohen negative Neuigkeiten die Volatilit¨at also st¨arker als positive. EViews: Um ein TARCH-Modell zu sch¨atzen, muss der Parameter threshold order (= r) von Null auf den gew¨ unschten Wert (in der Regel: 1) gesetzt werden. Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

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Folie 24

Exponential GARCH (Nelson-Modell)

(1) Das Modell wird in log(σt2) statt in σt2 formuliert (was den Vorteil hat, dass die Positivit¨ats-Restriktionen entfallen); (2) Der ARCH-Anteil erlaubt eine Unterscheidung der Wirkung positiver und negativer Schocks auf die bedingte Volatilit¨at (wie bei TARCH).

2 τj log(σt−j ) +

j=1

Outcome-Modell (als reines ‘mean-model’): yt = µ + ut,

wobei

r u X ut−j t−j %j + δj σ σt−j t−1 j=1 j=1

p X

(Faktor 52 dient nur dem Zweck, eine j¨ahrliche statt einer w¨ ochentl. Wachstumsrate zu bekommen.)

Ziel: Sch¨atze µ unter unterschiedlichen Heteroskedastie-Modellen f¨ ur ut.

160

5

OP 120

4

100

3 80

2

60 40

1 20

0

0 2000

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Folie 25

2001

2002

2003

2004

Ein solches Modell ist z.B. dann von Interesse, wenn yt eine Rendite darstellt und die Volatitlit¨at σt ein Risiko repr¨asentiert (Rendite-Risiko-Beziehungen, wie z.B. in der Markowitz’schen Portfolio-Selektion) • IGARCH: ‘Integrated GARCH ’: Die Koeffizienten unterliegen den Restriktionen

j=1

q X

2007

2008

2009

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

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Folie 27

OLS-Sch¨atzungen f¨ ur den Zeitraum bis Mitte 2008 (links)

τj = 1

Gesamtzeitraum (bis Mitte 2009, rechts):

Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: Least Squares Date: 07/02/12 Time: 13:41 Sample: 12/27/1999 6/30/2008 Included observations: 445

C

%j +

2006

Beispiel - Reine OLS-Sch¨ atzungen

• GARCH-M: Das GARCH-in-Mean Modell erlaubt es, dass der GARCH-Term σt2 selbst als Regressor in der Outcome-Regression (der mean equation) auftritt. (EViews unterst¨ uzt dabei nicht nur σt2 (GARCH) als Regressor, sondern auch gewisse Funktionen davon, wie σt (@sqrt(GARCH)) oder log(σt2) (log(GARCH)).)

p X

2005

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GARCH in Mean und IGARCH

δ = 0,

Volatilität (Sigma) aus ARCH(3)-Modell

140

das sich geringf¨ ugig von der in Nelson (1991) vorgeschlagenen Varianten unterscheidet. Die Existenz asymmetrischer Wirkungen von Schocks auf die Volatilit¨at kann durch den Test der Nullhypothese δj = 0, j = 1, . . . r u uft werden. ¨berpr¨

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yt := 52 · ∆ log(OPt)

St¨ orterm ut ist hier schlicht die Abweichung der log-Wachstumsrate von ihrem Mittelw. µ.

Die Implementierung in EViews (Model: EGARCH) sch¨atzt folgendes Modell: q X

Folie 26

Beispiel - Mittlere Wachstumsrate OP 2000-2009 (w¨ ochentl. Daten)

• EGARCH: Das Exponential GARCH -Modell von Nelson (1991) modifiziert den GARCH-Ansatz in zweifacher Hinsicht:

log(σt2) = δ +

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: Least Squares Date: 07/02/12 Time: 13:38 Sample: 12/27/1999 6/29/2009 Included observations: 497

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

0.198887

0.099592

1.997010

0.0464

0.000000 0.000000 2.100901 1959.721 -961.2802 1.709061

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.198887 2.100901 4.324855 4.334064 4.328486

C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

0.104390

0.110428

0.945320

0.3450

0.000000 0.000000 2.461824 3006.046 -1152.460 1.727060

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.104390 2.461824 4.641692 4.650160 4.645016

j=1

Sch¨atzungen scheinen unproblematisch (Abgesehen von der DW-Statistik, eine Behandlung der residualen AK ¨andert aber nicht viel an Sch¨atzwerten)

Das heißt: Das Heteroskedastie-Modell eine Unit-Root.

Aber: Auff¨alligkeiten → ... Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

K.-H. Schild

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

K.-H. Schild

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 28

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Beispiel: Auff¨ alligkeiten bei reinen OLS-Sch¨ atzungen Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: Least Squares Date: 07/02/12 Time: 13:41 Sample: 12/27/1999 6/30/2008 Included observations: 445 Coefficient C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.198887 0.000000 0.000000 2.100901 1959.721 -961.2802 1.709061

Beispiel: ARCH-Tests ARCH-Tests (exemplarisch f¨ ur 3 Lags): • Zeitraum bis Mitte 2008 (links): Keine Signifikanz f¨ ur ARCH-Effekte • Gesamtzeitraum (rechts): H0 : ‘keine ARCH-Effekte’ kann hochsignifik. abgelehnt werden

Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: Least Squares Date: 07/02/12 Time: 13:38 Sample: 12/27/1999 6/29/2009 Included observations: 497 Std. Error

t-Statistic

0.099592

1.997010

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

Prob.

Coefficient

0.0464 0.198887 2.100901 4.324855 4.334064 4.328486

C

0.104390

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.000000 0.000000 2.461824 3006.046 -1152.460 1.727060

Std. Error

t-Statistic

0.110428

0.945320

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

F¨ ur Gesamtzeitraum gesch¨atzte OP-Wachstumsrate: ≈ 10% p.a. F¨ ur Teilzeitraum gesch¨atzte OP-Wachstumsrate: ≈ 20% p.a.

Prob.

Heteroskedasticity Test: ARCH

0.3450

F-statistic Obs*R-squared

0.104390 2.461824 4.641692 4.650160 4.645016

← nur halb so groß

Auch: Bei Sch¨atzung f¨ ur Gesamtzeitraum ist die Konstante insignifikant (OP-Wachstumsrate ist ‘statistisch nicht von Null verschieden’ – absurd)

K.-H. Schild

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 29

Beispiel: Was macht die OLS-Sch¨ atzung hier? OLS-Sch¨atzung f¨ ur µ ist schlicht das arithmetische Mittel der ∆ log’s: µ ˆ=

µ ˆ OLS =

∆ log(OP1)

+

∆ log(OP2)

+

...

+

0.617463 1.861434

1 T

P



T  1 = log(OP1) − log(OP0) + log(OP2) − log(OP1) + . . . + log(OPT ) − log(OPT −1) T = log(OPT ) − log(OP0)

⇒ In OLS-Sch¨atzung geht nur die Differenz (der Logs) des Anfangs- u. Endzeitpnkts ein.

0.6040 0.6017

Std. Error

t-Statistic

Prob.

4.868413 -0.054541 -0.014922 -0.034581

0.567851 0.047754 0.047829 0.047762

8.573406 -1.142126 -0.311990 -0.724033

0.0000 0.2540 0.7552 0.4694

C RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3)

0.004211 -0.002609 8.865514 34425.63 -1589.680 0.617463

F-statistic Obs*R-squared

26.17105 68.22269

Prob. F(3,490) Prob. Chi-Square(3)

0.0000 0.0000

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Sample (adjusted): 1/17/2000 6/29/2009 Included observations: 494 after adjustments

Coefficient

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

4.408896 8.853971 7.211223 7.248249 7.225827 1.984232

C RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

2.964604 0.124969 0.262528 0.122602

0.678368 0.044835 0.043608 0.044836

4.370197 2.787299 6.020157 2.734463

0.0000 0.0055 0.0000 0.0065

0.138103 0.132826 12.78360 80076.03 -1957.740 26.17105

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

6.062890 13.72777 7.942268 7.976296 7.955627 2.016945

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

K.-H. Schild

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 31

Wir sch¨atzen (dennoch f¨ ur beide Zeitr¨ aume) ein GARCH(1,1)-Modell Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Sample: 12/27/1999 6/30/2008 Included observations: 445 Convergence achieved after 48 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)

C

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

0.203280

0.105223

1.931901

Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Sample: 12/27/1999 6/29/2009 Included observations: 497 Convergence achieved after 19 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) Prob. 0.0534

C

Variance Equation

Aber: Das beruht entscheidend auf einer gleichm¨ aßigen Gewichtung der Zeitpkte. ARCH/GARCH: Sch¨ atzung mit verminderter Gewichtung volatiler Phasen. Dies k¨ onnte zu starker Ver¨anderung bei Sch¨atzung f¨ ur den Gesamtzeitraum f¨ uhren, denn ¨ • im Zeitraum nach Mitte 2008: Stark negative Anderungsraten (die bei der OLS-Sch¨atzung mit gleichem Gewicht wie vorhergehende eingehen) • Gleichzeitig ist Zeitraum nach Mitte 2008 ein Zeitraum hoher Volatilit¨ at Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

Prob. F(3,438) Prob. Chi-Square(3)

Beispiel: GARCH(1,1)-Sch¨ atzung (Li: bis Mitte ’08, Re: Gesamt)

t ∆ log(OPt )

∆ log(OPT )

Heteroskedasticity Test: ARCH

Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Sample (adjusted): 1/17/2000 6/30/2008 Included observations: 442 after adjustments

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

Daher ( Teleskopsumme“): ” 1

Folie 30

K.-H. Schild

C RESID(-1)^2 GARCH(-1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

2.463973 -0.043071 0.481074 -0.000004 -0.006807 2.108040 1959.730 -957.7103 1.709054

1.954635 0.006297 0.431202

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

0.165355

0.104120

1.588129

0.1123

1.614411 3.102662 15.25077

0.1064 0.0019 0.0000

Variance Equation 1.260580 -6.839979 1.115658

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.2075 0.0000 0.2646 0.198887 2.100901 4.322294 4.359130 4.336819

Ergebnis li. (bis Mitte ‘08) nicht ok, warum? Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

C RESID(-1)^2 GARCH(-1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.345154 0.068432 0.868967 -0.000615 -0.006703 2.470061 3007.893 -1119.235 1.726000

0.213796 0.022056 0.056979

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.104390 2.461824 4.520062 4.553934 4.533357

Ergebnis re. (Gesamtzeitraum): scheint ok. K.-H. Schild

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 32

Beispiel: Diskussion der GARCH-Sch¨ atzung bis Mitte ‘08

C

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

0.203280

0.105223

1.931901

(Es mag ein Max. der Likelihood gefunden worden sein)

Prob. 0.0534

Variance Equation C RESID(-1)^2 GARCH(-1)

2.463973 -0.043071 0.481074

1.954635 0.006297 0.431202

1.260580 -6.839979 1.115658

0.2075 0.0000 0.2646

Folie 34

Beispiel: GARCH-Diagramm (f. Gesamtzeitraum)

Aus numerischer Sicht vielleicht ok

Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Sample: 12/27/1999 6/30/2008 Included observations: 445 Convergence achieved after 48 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Aber: Ergebnis vermutlich ein Artefakt, denn: Positivit¨atsbed. %1 ≥ 0 (hochsignif.) verletzt. Damit w¨ urden Schocks einen reduzierenden Effekt auf die Volatilit¨at haben. F¨ ur diesen Zeitraum ist ein GARCH-Modell auch gar nich angebracht, siehe ARCH-Test.

Der auf Basis des GARCH-Modells ermittelte Volatitilit¨atsverlauf zeigt neben dem Volatilit¨atssprung Mitte 2008 (Beginn der Finanzkrise) auch eine sprunghafte Zunahme der Volatilit¨at nach dem 11. Sept. 2001 und dem Einmarsch in den Irak Anfang 2003: 5.5 5.0 Conditional standard deviation 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

-0.000004 -0.006807 2.108040 1959.730 -957.7103 1.709054

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.198887 2.100901 4.322294 4.359130 4.336819

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

1.5 2000

K.-H. Schild

Autoregressiv bedingte Heteroskedastie (ARCH-GARCH-Modelle)

Folie 33

Beispiel: Diskussion der GARCH-Sch¨ atzung f. Gesamtzeitraum Dependent Variable: 52*DLOG(OP) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Sample: 12/27/1999 6/29/2009 Included observations: 497 Convergence achieved after 19 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)

Ergebnis scheint verwertbar. Demnach: ¨ Olpr. hat eine Wachstumsrate von 16.5% p.a.,

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

C

0.165355

0.104120

1.588129

0.1123

C RESID(-1)^2 GARCH(-1)

0.345154 0.068432 0.868967

1.614411 3.102662 15.25077

0.1064 0.0019 0.0000

Variance Equation

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

-0.000615 -0.006703 2.470061 3007.893 -1119.235 1.726000

0.213796 0.022056 0.056979

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

Das liegt erheblich u ¨ber der OLS-Sch¨atzung f¨ ur den Gesamtzeitraum (10%), es liegt sogar n¨aher an der OLS-Sch¨atzung ‘bis Mitte 08’ (20%) Zu erkl¨aren dadurch, dass Phasen hoher Volatilit¨at, wie die von Mitte 2008 bis 2009, vom GARCH-Modell schw¨acher gewichtet werden.

0.104390 2.461824 4.520062 4.553934 4.533357

Abt. Statistik, Fb. Wirtschaftswissenschaften, Philipps-Universit¨at Marburg

K.-H. Schild

2001

2002

2003

2004

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2005

2006

2007

2008

2009

K.-H. Schild