H¨ orer:

Automaten und Formale Sprachen 1. Vorlesung

Informatikstudierende im 3. Semester, Mathematikstudierende bei Bedarf

Martin Dietzfelbinger

¨ Material: Skript, Folienkopien, Ubungsbl¨ atter

11. Oktober 2005

Webseite: http://www.tu-ilmenau.de/fakia/AFS05.html ¨ Stoff: Skript + Ubungsaufgaben.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

FG KTuEA, TU Ilmenau

Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuh¨ oren verstanden zu werden. • Regelm¨aßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend!

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

1

• Bei Verst¨andnisproblemen fr¨ uh fragen. Zeitaufwand: Mindestens 8 Zeitstunden pro Woche. ¨ D.h.: Neben Vorlesung + Ubung: 5 Stunden.

• Definitionen ( Konzepte“) und S¨atze herausschreiben und ” (auswendig) lernen.

Fr¨ uhzeitig fragen!

¨ ¨ • Ubungsbl¨ atter drucken, zur Ubung mitbringen, vorher L¨ osung ausdenken, an L¨osungen mitarbeiten. ¨ • Regelm¨aßig Ubungen nacharbeiten. Semesterbegleitend! • B¨ ucher konsultieren. (Sch¨oning, Wegener: s. Skript) FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

2

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

3

¨ Ubungsleiterin: Frau Dr. E. H¨ ubel

Tutorium f¨ ur ausl¨ andische Studierende: (kostenpflichtig)

Mittwoch 9.00 - 10.30 Uhr HU 010

Mittwochs, 17.00–18.30 Uhr im Raum Sr K 2077

Donnerstag 13.00 - 14.30 Uhr K 2003B

Tim Kubertschak

Donnerstag 15.00 - 16.30 Uhr HU 012

Beginn: letzte Oktoberwoche.

Pr¨ ufung: Februar 2006, Klausur 80 Minuten (M2004) 120 Minuten (M2003)

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

4

Gegenstand der Vorlesung: (Endliche) Automaten“: ” Endliche Menge von Zust¨anden“, endliche Menge von legalen ”¨ Eingangssignalen“, Ubergangsfunktion, Ausgabefunktion. ” Prinzip aus Rechnerorganisation“ bekannt. Hier: ” Mittel zur Beschreibung und maschinellen Bearbeitung von Formalen Sprachen“ , ” das sind Mengen von Strings (W¨ortern, Zeichenreihen).

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

5

• {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . . , 1001, 1002, . . .}: Menge der Dezimaldarstellungen von nat¨ urlichen Zahlen; erlaubte Zeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, . . .}: Menge der Bin¨ ardarstellungen der nat¨ urlichen Zahlen; erlaubte Zeichen: 0 und 1. • die Menge der korrekten Darstellungen f¨ ur Floating-pointZahlen in Pascal (oder C, oder C++, oder Java). • die Menge der korrekt gebildeten Namen ( identifier“) in ” Pascal-Programmen.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

6

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

7

Thema 1. Regul¨ are Sprachen“: ”

• die Menge der korrekt gebildeten arithmetischen Ausdr¨ ucke in Pascal-Progammen. • die Menge der syntaktisch korrekten Pascal-Programme, die auf allen Eingaben nach endlich vielen Schritten anhalten.

• Beschreibungs-/Spezifikationsm¨oglichkeiten: Grammatiken • Algorithmen zum Erkennen der W¨orter der Sprache: Automaten • Transformationen (effizient?) zwischen Grammatiken und Automaten • Optimale Automaten ( Minimalautomaten“) ” • Synthese von Sprachbeschreibungen: Aufbau aus Elementarbausteinen — regul¨ are Ausdr¨ ucke

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

8

• Konsistenz und Korrektheit von Beschreibungen: (Erkennt Automat A genau die W¨orter, die zu Grammatik G passen?)

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

9

Thema 2. Kontextfreie Sprachen“: ” • St¨arkere Klasse: kontextfreie Grammatiken • Syntaxb¨aume, Ableitungssequenzen

• Unm¨ oglichkeitsaussagen ( Sprache L besitzt keinen endlichen Automaten“) ”

• Erkennen der W¨orter der Sprache: Kellerautomaten • Transformationen (effizient?) zwischen Grammatiktypen und Automatentypen • Normalformen von Grammatiken • Unm¨ oglichkeitsaussagen

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

10

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

11

Methoden: Mathematisch

Mathematische Grundbegriffe: ¨ Ubung in dieser Woche

Definition Lemma (Hilfssatz) Satz Beweis (mitunter mit Hilfe eines Algorithmus) Korollar (Folgerung)

• Mengen, Funktionen, Relationen, Potenzmenge, . . . • Endliche Folgen, Tupel: (a1, . . . , an), n ≥ 0

Lernziel auch: Beweise f¨ uhren.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

12

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

13

Endliche Folgen

Kapitel 1: Grundbegriffe

Beispiele:

1.1 Alphabete und Sprachen

(2, 3, 2, 2, 1, 6) (4, 3, 0, 1) (3, 3) (a, b, a) (A, F, S, 2, 0, 0, 5)

Nat¨ urliche Zahlen:

(3, 0, 5)

()

(1)

Allgemein: N = {0, 1, 2, 3, . . .} (a0, a1, . . . , an−1) oder (a1, a2, . . . , an),

Positive ganze Zahlen:

f¨ ur ein n ∈ N. !! Wiederholungen sind erlaubt, Reihenfolge ist wichtig!

+

N = {1, 2, 3, . . .}

Seq(X) = {(a1, . . . , an) | n ≥ 0, a1, . . . , an ∈ X}. Menge aller endlichen Folgen u ¨ber X. FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

14

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

15

Spezialf¨alle: n = 0: Leere Folge ()

Alphabete und n = 1: Einerfolge (a). Beispiele:

Beispiele:

{a, . . . , z, A, . . . , Z, 0, . . . , 9} {0, 1}

Seq(N) und Seq({0, 1}) und Seq({0}) und Seq({a, . . . , z, A, . . . , Z, 0, . . . , 9})

{0} Menge der 128 ASCII-Zeichen {0, 1, . . . , 127} {0, 1}8 — Menge der 256 Bytes {0, 1}16 {0, 1}32 — Menge der Maschinenw¨orter

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

16

Definition: Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge. Symbole f¨ ur Alphabete: Σ (Sigma), ∆ (Delta), Γ (Gamma), . . .

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

17

Wenn ein Alphabet Σ gegeben ist, dann heißen die Elemente von Σ Buchstaben. Beispiele f¨ ur Buchstaben: Schreibmaschinen-Alphabet:

Keine Alphabete: ∅ oder N.

a b c A B

0

7

@

#

...

Alphabet Σ256 = {0, 1, . . . , 255}: 40

64

128

(Eine Zahl — ein Buchstabe!) S Alphabet {0, 1}[1..20] = 1≤i≤20{0, 1}i: 00100011

0010001110011101

Symbole f¨ ur Buchstaben: a, b, c, d, . . . , a0, a1, . . . FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

18

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

19

W¨ orter Klammern und Kommas weglassen, wo keine Verwechslung m¨ oglich!

Alphabet Σ sei gegeben. Beispiel: Σ = Menge der ASCII-Zeichen. Beispiele f¨ ur W¨orter u ¨ber Σ: begin +1.0E2 (2+3)-(2*15) 1001101 abracadabra end. Definition: Ein Wort u ¨ber Σ ist ein Element von Seq(Σ), d.h. eine endliche Folge von Elementen von Σ. Wort u ¨ber Σ:

w = (a1, . . . , an) = a1 . . . an

wobei a1, . . . , an ∈ Σ auch: String, Zeichenreihe, Zeichenkette Das leere Wort: () = ε FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

20

Beispiele: aba

statt

AFS2005

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

Symbole f¨ ur W¨orter: w, u, v, x, y, z, w0, w1, x0, x1

(a, b, a) statt

FG KTuEA, TU Ilmenau

21

usw.

L¨ ange eines Wortes: |a1 . . . an| = n

(A, F, S, 2, 0, 0, 5)

Klammern n¨ otig bei:

Anzahl der Buchstaben!

w = (11, 7, 9, 13, 20) bei Σ = {0, . . . , 31}

|ε| = 0

w = (010, 100, 110, 000, 111) bei Σ = {0, 1}3 (Oktalziffern, bin¨ar dargestellt)

Menge aller W¨orter u ¨ber Σ: Σ∗ := Seq(Σ) =

[

{Σn | n ∈ N} = Σ0 ∪ Σ1 ∪ Σ2 ∪ · · ·

Beispiel: Σ = {0, 1}. {0, 1}∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, . . .} FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

22

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

23

Gr¨ oßere W¨ orter:

• Der Inhalt des Hauptspeichers eines PC der Gr¨oße 128 MB, gruppiert in W¨orter `a 32 Bit: Wort u ¨ber Σ = {0, 1}32 der L¨ange 227/4 = 32 · 220 ≈ 32 Mio.

• Ein Pascal-Programm. Alphabet: Menge der druckbaren ASCII-Zeichen plus carriage return-, newline- und Tabulator-Zeichen. • Ein Textfile. Alphabet: Menge der druckbaren ASCII-Zeichen plus carriage return-, newline-, Tabulator- und eof -Zeichen. • Ein ASCII-File. Alphabet: Alle ASCII-Zeichen inklusive der Steuerzeichen.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

24

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

Konkatenation von W¨ortern:

◦ ist eine

Beispiele: 010 ◦ 1110 = 0101110. abra ◦ cadabra = abracadabra. (010, 10) ◦ (11, 01) = (010, 10, 11, 01).

• Abbildung / Funktion ◦ : Σ∗ × Σ∗ → Σ∗

25

• oder eine zweistellige Operation auf Σ∗. Neutrales Element: ε ◦ w = w ◦ ε = w

Definition (a1, . . . , an) ◦ (b1, . . . , bm) = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm) Kurz: a1 . . . an ◦ b1 . . . bm = a1 . . . anb1 . . . bm Auch: a1 . . . an · b1 . . . bm. Manchmal: u · w statt u ◦ w Meistens: uw statt u ◦ w FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

26

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

27

Eigenschaften:

Konsequenz: Bei mehrfacher Konkatenation kann man eventuelle Klammern weglassen, z. B. 00 ◦ 01 ◦ 101 ◦ 01 ◦ 110 statt ((00 ◦ 01) ◦ 101) ◦ (01 ◦ 110).

Assoziativit¨ at: (u ◦ v) ◦ w = u ◦ (v ◦ w). Neutrales Element: ε ◦ u = u ◦ ε = u. Beispiel: (010 ◦ 1110) ◦ 01 = 010111001 = 010 ◦ (1110 ◦ 01) ε ◦ 1110 = 1110 ◦ ε = 1110. ε ◦ ε = ε. (Σ∗ mit Operation ◦ ist Monoid mit neutralem Element ε.)

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

28

Klar: |u ◦ v| = |u| + |v|.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

29

Klar: |u ◦ v|a = |u|a + |v|a. Pk Und: |u| = i=1 |u|bi , wenn u = (a1, . . . , an) Wort u ¨ber dem Alphabet Σ = {b1, . . . , bk } ist.

Notation: Wenn w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ, schreibt man |w|a f¨ ur die Anzahl der Vorkommen von a in w.

!! Zwei Bedeutungen von Σ“. ”

Beispiel: |ababdabb|a = 3 |ababdabb|b = 4 |ababdabb|c = 0 |ababdabb|d = 1.

Beispiel: |ababdabb|a + |ababdabb|b + |ababdabb|c + |ababdabb|d = 3 + 4 + 0 + 1 = 8 = |ababdabb|.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

30

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

31

Wiederholungen

Achtung: Klammerung oft n¨otig.

Statt

Beispiele: 000120 = 000110 00(01)20 = 0001010 (0001)20 = 000100010

abacabacabacabac = abac ◦ abac ◦ abac ◦ abac schreibe kurz (abac)4. Induktive Definition“: F¨ ur Wort w definiere: ” (i)

w0 := ε.

(ii)

ur i ≥ 1. wi := w ◦ wi−1 , f¨

Wenn a = 0 und w = 101: a0 = w0 = ε a6 = 000000 w3a2 = 10110110100. Schachtelung m¨oglich: (a3w)2 = (000101)2 = 000101000101

Anschaulich: wi = |w ◦ w ◦{z· · · ◦ w} = ww · · · w}. | {z i−mal

FG KTuEA, TU Ilmenau

i−mal

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

32

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

33

Definition

Beispiel: • Im Wort abracadabra “ kommt racada“ als (zusam” ” menh¨angender) Teil vor. → Teilwort

u Pr¨ afix/Anfangsst¨ uck von w: ⇔ ∃v ∈ Σ∗ : w = uv u Suffix/Endst¨ uck von w: ⇔ ∃v ∈ Σ∗ : w = vu u Infix/Teilwort von w: ⇔ ∃v1, v2 ∈ Σ∗ : w = v1uv2

• Das Wort if 1+1 = 3 then a := false endif“ ” → Pr¨ afix beginnt mit if“. ” • Das Wort if 1+1 = 3 then a := false endif“ ” endet mit dif“. → Suffix ”

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

34

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

35

Definition

Teilw¨ orter von abracadabra: ε, abra, racada, abracadabra

Σ∗ = Seq(Σ) = {w | w Wort u ¨ber Σ} D.h.: Σ∗ = {a1 . . . an | n ∈ N, a1, . . . , an ∈ Σ}

Pr¨afixe von abracadabra: ε, abrac, abracadabra

Die Menge aller Zeichenketten u ¨ber Σ. Konvention: a ∈ Σ ⇒ a ∈ Σ∗

Suffixe von abracadabra: ε, cadabra, abracadabra

(Betrachte (a) als mit a identisch“.) ” Also: Σ ⊆ Σ∗ Unterscheide Σ (endlich) und Σ∗ (unendlich) Beispiel: Σ = {1, 2, 3} 2, 3}, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, . . .} Σ∗ = {ε, 1, | {z Σ

∗

+

Σ := Σ − {ε} = {a1 . . . an | n ≥ 1, a1, . . . , an ∈ Σ}

FG KTuEA, TU Ilmenau

Definition:

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

36

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

37

Die Menge aller Dezimaldarstellungen von Primzahlen bildet eine Sprache u ¨ber

(Formale) Sprache

(a) Sei Σ ein Alphabet. Eine Sprache u ¨ber Σ ist eine Menge L ⊆ Σ∗.

Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

(b) Eine Menge L heißt eine Sprache, wenn es ein Alphabet Σ gibt, so dass L ⊆ Σ∗. ( Σ ist durch L nicht eindeutig festgelegt.)

n¨amlich: L = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .}. Aber Achtung: Die Menge {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .} ⊆ N aller Primzahlen ist keine Sprache! (Es ist kein Alphabet da! Die Elemente sind Zahlen und nicht W¨ orter.)

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

38

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

39

Weitere Beispiele f¨ ur Sprachen:

• {ε, 1, 11, 111, 1111, 11111, . . .}: Un¨ardarstellungen nat¨ urlichen Zahlen ( Strichlisten“) ”

• L∅ = ∅: die leere Sprache

der

• Lε = {ε}: enth¨alt das leere Wort und sonst nichts • Σ ⊆ Σ∗, daher ist Σ Sprache. • F¨ ur Σ = {0, 1}: Σ8 enth¨alt genau die 256 Bytes Σ32 enth¨alt genau die 232 verschiedenen Maschinenw¨ orter • Lbin = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, . . .}: Bin¨ardarstellungen bin(n) der nat¨ urlichen Zahlen FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

40

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

41

Satz

Annahme: Das geht doch: Alle Elemente von LΣ als Folge L1, L2, L3, L4, . . .

Wenn LΣ := {L | L Sprache u ¨ber Σ}, dann ist LΣ u ¨berabz¨ahlbar.

Dann definiere eine neue Sprache

Es gibt sehr viele Sprachen u ¨ber Σ.

Schreibe die Elemente von Σ∗ als Folge: w1, w2, w3, . . .

Das heißt: Man kann die Elemente von LΣ nicht als Folge

L× = {wi | i ≥ 1, wi ∈ / Li}.

L1, L2, L3, L4, . . .

Nun sei j beliebig. Wir haben:

anordnen.

/ L× wj ∈ Lj ⇔ wj ∈

Beweis: Indirekt. ( Diagonalisierung“) ”

Daraus folgt, dass L× 6= Lj ist. Also kommt L× nicht in der Liste L1, L2, L3, L4, . . . vor. Widerspruch.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

42

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

43

Operationen mit Sprachen:

Neutrales Element Lε:

Sind L1 und L2 Sprachen, so heißt L1L2 = {w1w2 | w1 ∈ L1, w2 ∈ L2}

LεL = LLε = L f¨ ur jede Sprache L. (auch L1◦L2 oder L1·L2) Ausl¨ oschendes Element L∅:

die Konkatenation von L1 und L2. L∅L = LL∅ = L∅ = ∅ f¨ ur jede Sprache L.

Beispiele: {0}∗{1}∗ = {0i1j | i, j ≥ 0}, {0} ∪ {1}{0, 1}∗ = Lbin. Die Konkatenation ist assoziativ, d. h. (L1L2)L3 = L1(L2L3).

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

44

L∗ :=

Formal: L0 := Lε; L

i−1

:= LL

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

45

Kleene-Abschluss von L:

Potenzen von Sprachen ur i ≥ 0. Li := {w1w2 · · · wi | w1, . . . , wi ∈ L}, f¨

i

FG KTuEA, TU Ilmenau

[

L+ :=

f¨ ur i ≥ 1.

{Li | i ≥ 0} = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ · · ·

[

{Li | i ≥ 1} = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ · · · .

¨ Ubung: L+ = LL∗ = L∗L

Beachte: {wi | w ∈ L} ⊆ Li, meist nicht Gleichheit! Beispiel: 6 {0101, 1010} {01, 10}2 = {0101, 0110, 1001, 1010} =

Beachte Unterschied zwischen L∗ und {wi | w ∈ L, i ≥ 0}! Beispiel: F¨ ur L = {0, 11} ist 011001111011 = 0(11)00(11)(11)0(11) in L∗ enthalten, nicht aber in {wi | w ∈ L, i ≥ 0}.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

46

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

47

Mengenoperationen f¨ ur Sprachen:

Sprechweise: Klasse“ von Sprachen (nicht Menge“). ” ” Beispiele: Die Klasse aller Sprachen“, ” die Klasse der unendlichen Sprachen“, die Klasse der Spra” ” chen u ¨ber einem einelementigen Alphabet“, die Klasse der regul¨aren Sprachen“, usw. ”

Vereinigung L1 ∪ L2 und Durchschnitt L1 ∩ L2. Ist L Sprache u ¨ber Σ, ist auch das Komplement L = Σ∗ − L Sprache u ¨ber Σ.

(Sind keine Mengen im eigentlichen Sinn.)

Beispiele: F¨ ur L1 = {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 = |w|1} und L2 = {0}∗{1}∗ = {0i1j | i, j ≥ 0}: L1 ∩ L2 = {0i1j | i = j} = {ε, 01, 0011, 000111, . . .} und L1 = {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 6= |w|1}. FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

48

Bis n¨achste Woche: Skript besorgen/drucken. Skript Seiten 8–15. Skript Seiten 202–205: b-¨are Zahldarstellung. Definitionen lernen, Beispiele ansehen, Fragen vorbereiten. ¨ Ubungsaufgaben vorbereiten.

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

50

FG KTuEA, TU Ilmenau

Automaten und Formale Sprachen – 11.10.2005

49