Aufgabe 5.3 Duale Simplexverfahren Knut Krause
Thomas Siwczyk
Stefan Tittel
Technische Universität Dortmund Fakultät für Informatik
Algorithmen und Datenstrukturen 15. Januar 2009
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Aufgabenstellung
Erläutern Sie das duale Simplexverfahren (Tableau-Methode und revidierte Simplex-Methode) und veranschaulichen Sie das Verfahren anhand eines Beispiels.
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Motivation Lösung eines LPs, welches weder in kanonischer Form vorliegt, noch leicht in diese transformiert werden kann Beispiel max s. t.
F(x1 , x2 ) x1 + x2 3x1 + x2 x1 + x2 x1 , x2
= ≥ ≥ ≤ ≥
2x1 + x2 8 12 10 0
Erweiterung eines LPs, zu dem eine optimale Lösung besteht, die nach der Erweiterung des LPs keine Lösung mehr ist Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Überblick
finde zulässige (nicht notwendigerweise optimale) Basislösung für das Problem übergib diese Basislösung an primalen Simplex falls Start mit dual zulässiger1 Lösung, so ist erste primal zulässige Basislösung zugleich optimal Schritt 1 und 2 (Wahl von Pivotzeile und Pivotspalte) anders als beim primalen Algorithmus Schritt 3 (Tableautransformation/Matrizenrechnung) identisch zum primalen Algorithmus
1
alle Eintragungen in der F-Zeile ≥ 0 Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Umwandlung des Ausgangsproblems
Umformung des Ausgangsproblems in kanonische Form mit Schlupfvariablen, aber negative bi zulässig Beispiel – der kanonischen Form zugrundeliegendes LGS F x3 x4 x5
= = = =
2x1 + x2 x1 + x2 − 8 3x1 + x2 − 12 −x1 − x2 + 10
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Start-Tableau/-Matrix für Tableau-Methode: x1 x2 x3 x4 x5 bi x3 −1 −1 1 −8 1 −12 x4 −3 −1 x5 1 1 1 10 F −2 −1 0 0 0 0 für revidierte Simplex-Methode:
−1 −1 1 0 0 −3 −1 0 1 0 1 1 0 0 1 −2 −1 0 0 0 Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
0 −8 0 −12 0 10 1 0
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Wahl der Pivotzeile
Voraussetzung Basislösung eines LPs (muss nicht zulässig sein); aktuelle Eintragungen im Simplextableau seien mit aij′ , bi′ , cj′ bezeichnet 1
gibt es kein bi′ < 0: zulässige Basislösung liegt vor ⇒ Abbruch
2
sonst: wähle Zeile s mit kleinstem bs′ als Pivotzeile (bei mehreren mit gleichem kleinsten Wert wähle beliebige)
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Wahl der Pivotspalte 1
gibt es kein asj′ < 0 in Pivotzeile s: Problem hat keine zulässige Basislösung ⇒ Abbruch des gesamten Verfahrens
2
ansonsten wähle Spalte t mit n c′ o ct′ j ′ = max j = 1, . . . , n mit a < 0 st ′ ast asj′
als Pivotspalte Anmerkung Beim primalen Simplex wird zuerst die Pivotspalte, dann die Pivotzeile ausgewählt, beim dualen ist es andersherum.
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Beispiel – Tableau 1
x3 x4 x5 F
x1 −1 −3 1 −2
x2 x3 x4 x5 −1 1 −1 1 1 1 −1 0 0 0
bi −8 − 12 10 0
1
Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x3 = −8 und x4 = −12!
2
bi = −12 ist minimal, Zeile 2 wird Pivotzeile
3 4
c1′ ′ a21 ′ a22
=
−2 −3
=
2 3
und
c2′ ′ a22
=
−1 −1
= 1 ⇒ Spalte 2 wird Pivotspalte
wird Pivotelement
Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)! Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Beispiel – Tableau 2
x3 x2 x5 F
x1 x2 x3 2 1 3 1 −2 1 0 0
x4 x5 −1 −1 −1 1 −1 0
bi 4 12 −2 12
1
Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x5 = −2!
2
bi = −2 ist minimal, Zeile 3 wird Pivotzeile
3
′ ist einzige Auswahlmöglichkeit, Spalte 1 wird Pivotspalte a31
4
′ wird Pivotelement a31
Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)! Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Beispiel – Tableau 3
x3 x2 x1 F 1
x1 x2 x3 x4 1 1 1 2 1 − 12 0 0 0 − 12
x5 1 3 2
− 21 1 2
bi 2 9 1 11
Test: Basis-Lösung zulässig? Ja! Nun primaler Simplex: x1 x2 x3 x4 x5 bi x3 1 1 2 x4 2 1 3 18 1 10 x1 1 1 F 0 1 0 0 2 20
Optimal: x1 = 10, x3 = 2, x4 = 18, x2 = x5 = 0, F = 20 Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Gliederung
1
Aufgabenstellung und Motivation
2
Erläuterung und Beispiel Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
A˜1 x1
x2 x3 x4 x5 F
−1 −1 1 0 0 0
bi −8
−3 −1 0 1 0 0 −12 1 1 0 0 1 0 10 −2 −1 0 0 0 1
B1
0
B1−1 x2 x3 x5 F x2
−1 1 0 0
x3 −1 0 0 0 x5 1 0 1 0 F
−1 0 0 1
x2 x3 x5 F
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
x2
0 −1 0 0
x3 1 −1 0 0 x5 0 1 1 0 F 0 −1 0 1 Duale Simplexverfahren
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
A˜1 · B1−1 x1 x2 x3 x4 x5 F
3
bi
1 0 −1 0 0 12
2 0 1 −1 0 0 4 −2 0 0 1 1 0 −2 1
0 0 −1 0 1 12
B2
B2−1 x1 x2 x3 F x1
3
1 0 0
2 0 1 0 x3 −2 0 0 0 x2 F
1
0 0 1
x1
x1 x2 x3
F
− 21
0
0 0
x2 1 0
x3 0 1 F
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
0 0
Duale Simplexverfahren
3 2
1 1 2
0 0 1
Allgemeines Vorgehen Tableau-Methode Revidierte Simplex-Methode
Aufgabenstellung und Motivation Erläuterung und Beispiel
A˜2 · B2−1 x1 x2 x3 x4
x5
− 12
− 12
0
1
1 2
3 2
0
9
1
1
0
2
− 21
1 2
1 11
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
F bi
Lösung ist gültige primale Basislösung Algorithmusstop
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
Literatur
Literatur
Wolfgang Domschke und Andreas Drexl. Einführung in Operations Research. Springer, Berlin [u.a.], 2005.
Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel
Duale Simplexverfahren
