Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Summanden sind nicht in der richtigen Reihenfolge und m¨ ussen deshalb nach absteigenden xPotenzen geordnet werden.
Anstelle von x heißt die Variable jetzt t. Zun¨achst muss der Funktionsterm vereinfacht werden (Klammer aufl¨osen und gleichnamige Summanden zusammenz¨ahlen). Es ergibt sich die Funktionsgleichung
Da der Koeffizient a0 fehlt, kann x ausgeklammert werden.
f (t) = −t4 + 365t2 − 33 124
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also ist x1 = 0 eine Nullstelle von f . Die weiteren Nullstellen ergeben sich durch Nullsetzen des zweiten Faktors (mit der ”Mitternachtsformel”).
f ist also eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, wobei die ungeraden Koeffizienten Null sind. Durch Substitution u = t2 erh¨alt man eine gemischt-quadratische Gleichung, deren L¨osungen man mit der ”Mitternachtsformel” berechnet.
Gruppenarbeit Nullstellen
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Aufgabe 3 — Tippkarte
Die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmt man durch Berechnen der Nullstellen. Hierzu wendet man die Substitution u = x3 an. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat auf jeden Fall die x-Koordinate Null. Also S(0 | ?). Den y-Wert berechnet man durch Einsetzen der Zahl Null in die Funktionsgleichung.
Aufgabe 4 — Tippkarte
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind diejenigen Achsenpunkte, deren xKoordinaten die Nullstellen von h sind. Trick zur Berechnung der Nullstellen: Den Faktor x3 ausklammern.
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Aufgabe 5 — Tippkarte
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Aufgabe 6 — Tippkarte
Pr¨ ufen: x1 ist Nullstelle von f , wenn f (x1 ) = 0 gilt. Also setzt man x1 in die Funktionsgleichung ein und berechnet f (x1 ). Weitere Nullstellen: durch (x − x1 ):
Polynomdivision
a) (x3 + 10x2 + 7x − 18) : (x − 1) = . . .
Zuerst s ausklammern, dann Substitution u = s2 .
b) (2x3 −0, 8x2 −6, 72x+5, 76) : (x+2) = . . . Die Ergebnisse der Polynomdivisionen sind Polynome zweiten Grades. Die weiteren Nullstellen berechnet man dann mit der ”Mitternachtsformel”.
Gruppenarbeit Nullstellen
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Aufgabe 7 — Tippkarte
Aufgabe 8 — Tippkarte
Man setzt alle gegebenen Zahlen nacheinander in die Funktionsgleichung ein und stellt fest, dass f (−2) = 0 gilt. x1 = −2 ist also eine Nullstelle.
a) Zuerst Polynomdivision durch (x − x1 ). Das Ergebnis ist ein Polynom vom Grad 4 ohne ungerade Koeffizienten. Dann Substitution u = x2 .
Nach dem Sortieren der Summanden f¨ uhrt man eine Polynomdivision durch (x+2) durch.
b) Zuerst x Ausklammern (x2 = 0). Dann Polynomdivision durch (x − x1 ).
2
ACHTUNG: hier fehlt der x -Summand (a2 = 0). Da diese fehlende Stelle aber bei der Polynomdivision gebraucht wird, erg¨anzt man den Funktionsterm am besten um den Summanden 0x2 .
c) Zuerst Polynomdivision durch (x − x1 ). Das Ergebnis ist ein Polynom vom Grad 6. Dann Substitution u = x3 .
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Aufgabe 9 — Tippkarte
Zun¨achst f¨ uhrt man eine Polynomdivision durch (x + 4) durch. Das erhaltene Polynom teilt man in einer zweiten Polynomdivision durch (x − 1). Das Ergebnis ist dann ein Polynom vom Grad 2.
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Aufgabe 10 — Tippkarte Um z.B. den Funktionsterm f0 (x) anzugeben, setzt man in der Funktionsgleichung f¨ ur t die Zahl 0 ein. Zur Nullstellenberechnung l¨ost man wie gewohnt die Gleichung ft (x) = 0 nach x auf. Mit dem Scharparameter t rechnet man dabei wie mit einer Zahl!. Die Nullstellen k¨onnen dann vom Scharparameter t abh¨angen. ACHTUNG: Bei b) m¨ ussen die Summanden noch nach absteigenden xPotenzen sortiert werden, denn x ist die Variable, nach der man aufl¨osen muss. Das Schaubild von ft geht durch den Punkt N(2 | 0), wenn eine der Nullstellen 2 ist.
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Aufgabe 11 — Tippkarte
Das Schaubild von ft geht durch den Punkt P(u | v), wenn die Gleichung ft (u) = v gilt. Man setzt also die beiden Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung ein (u f¨ ur x und v f¨ ur ft (x)) und l¨ost nach t auf.
