Aufgabe 1 Doris hat 8 verschiedene Pullover, 4 verschiedene Jupes und 7 Paar Schuhe. Wie viele verschiedene Kombinationen Pullover/Jupe/Schuhe kann sie tragen? Produktregel: 8 · 4 · 7 = 224
Aufgabe 2 Wie viele siebenstellige Zahlen mit lauter ungeraden Ziffern gibt es? I
An der 1. Stelle kann eine von 5 ungeraden Ziffern stehen.
I
An der 2. Stelle kann eine von 5 ungeraden Ziffern stehen.
I
...
I
An der 7. Stelle kann eine von 5 ungeraden Ziffern stehen.
Nach der Produktregel ergibt das 57 = 78 125 M¨oglichkeiten. (Da die Null keine ungerade Ziffer ist, ergeben sich auch keine Komplikationen mit f¨ uhrenden Nullen.)
Aufgabe 3 Die Ziffern einer Zahl sollen durch Werfen eines W¨ urfels bestimmt werden. Wie viele f¨ unfstellige Zahlen sind denkbar? 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65 = 7776
Aufgabe 4 Ein Restaurant f¨ uhrt auf seiner Speisekarte 12 verschiedene Vorspeisen, 8 Hauptg¨ange und 10 Desserts. (a) Wie viele Men¨ ufolgen aus zwei verschiedenen Vorspeisen, einem Hauptgang und einem Dessert lassen sich zusammenstellen? Produktregel: 12 · 11 · 8 · 10 = 10 560 (b) Wie viele Men¨ ufolgen sind es, wenn man sich auch nur mit einer Vorspeise begn¨ ugen kann? Sich mit einer Vorspeise begn¨ ugen zu k¨onnen bedeutet, dass man entweder ein Men¨ u mit einer oder ein Men¨ u mit zwei Vorspeisen w¨ahlt. Dies ergibt eine Mischung aus Produkt- und Summenregel: 12 · 11 · 8 · 10 + 12 · 8 · 10 = 11 520
Aufgabe 5 Die nachstehende Skizze zeigt vier Ortschaften Aadorf, Bedorf, Cedorf und Dedorf und ihre Verbindungsstrassen.
(a) Auf wie viele Arten kann man von Aadorf nach Dedorf u ¨ber Bedorf und Cedorf fahren? 2 · 6 · 4 = 48 (b) Wie viele verschiedene Rundreisen A–B–C –D–C –B–A gibt es? (Die zweifache Benutzung eines Weges ist erlaubt.) 2 · 6 · 4 · 4 · 6 · 2 = 2304
Aufgabe 6 Die nebenstehende Flagge diene als Modell: Wie viele Nationalflaggen von diesem Muster kann man mit 6 Farben entwerfen, wenn zwei nebeneinanderliegende Streifen nicht die gleiche Farbe haben sollen? Wir verteilen die Farben von links nach rechts: I
Links kann eine von 6 Farben stehen.
I
In der Mitte kann eine von 5 Farben stehen, denn die Farbe des linken Streifens darf hier nicht gebraucht werden.
I
Rechts kann eine von 5 Farben stehen, denn die Farbe vom mittleren Feld darf nicht wieder verwendet werden; hingegen ist die Farbe vom Feld links wieder erlaubt.
Produktregel: 6 · 5 · 5 = 150 M¨ oglichkeiten.
Aufgabe 7 Zw¨olf Spieler bestreiten ein Schachturnier. Die erste Runde besteht aus 6 Partien, die gleichzeitig gespielt werden. Wie viele verschiedene Paarungen sind f¨ ur die erste Runde m¨oglich? Einer der 12 Spieler spielt gegen einen der u ¨brigen 11 Gegner. Das ergibt 11 M¨oglichkeiten f¨ ur die erste Paarung. Einer der restlichen 10 Spieler spielt gegen einen der u ¨brigen 9 Gegner. Das ergibt 9 M¨ oglichkeiten f¨ ur die zweite Paarung. ... Einer der restlichen 4 Spieler spielt gegen einen der u ¨brigen 3 Gegner. Das ergibt 3 M¨ oglichkeiten f¨ ur die f¨ unfte Paarung. Es bleiben noch zwei Spieler und somit eine Paarung u ¨brig. Also sind 11 · 9 · 7 · 5 · 3 · 1 = 10 395 verschiedene Paarungen m¨oglich.
Aufgabe 8 1837 stellte der amerikanische Kunstmaler und T¨ uftler Samuel Morse (1791–1872) sein Morse-Alphabet ¨ offentlich vor. Das in der Telegrafie benutzte Alphabet verwendet Zeichen, die aus zwei verschiedenen Elementen, n¨ amlich Punkt · und Strich − , zusammengesetzt sind. Beispiele: Der Buchstabe L“ wird durch · − · ·“ wiedergegeben; der ” ” Buchstabe R“ durch · − ·“ und der Buchstabe E“ gar nur durch ·“ ” ” ” ” Wie viele verschiedene Zeichen lassen sich aus diesen Elementen bilden, wenn festgesetzt wird, dass zur Bildung eines Zeichens nicht mehr als 5 Elemente verwendet werden k¨ onnen? I Mit einem Element: 21 = 2 Zeichen I Mit zwei Elementen: 22 = 4 Zeichen I ... I Mit f¨ unf Elementen: 25 = 32 Zeichen
Summenregel: 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62 Zeichen
Aufgabe 9 Aus 5 Australiern, 12 Belgierinnen und 6 Chinesen sollen 2 Personen verschiedener Nationalit¨at ausgew¨ahlt werden. Auf wie viele Arten geht das? je einen Australier und eine Beligierin je eine Belgierin und einen Chinesen je einen Chinesen und einen Australier
60 M¨ oglichkeiten 72 M¨ oglichkeiten 30 M¨ oglichkeiten
Additionsregel: 60 + 72 + 30 = 162 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 10 Armin, Brigitte und Christine stellen sich in einer Reihe f¨ ur ein Gruppenbild auf. Wie viele verschiedene Aufstellungen sind m¨oglich? ABC ACB
BAC BCA
CAB CBA
6 Aufstellungen
Aufgabe 11 Aus 4 Personen soll eine Delegation von 2 Personen ausgew¨ahlt werden. Wie viele verschiedene Delegationen gibt es? AB AC AD
BC BD
CD
6 Delegationen
Aufgabe 12 Vier Athleten k¨ampfen um die Medaillen: Gold, Silber und Bronze. Wie viele Medaillenverteilungen sind m¨ oglich? G 1 1 1 1 1 1
S 2 2 3 3 4 4
B 3 4 2 4 2 3
G 2 2 2 2 2 2
S 1 1 3 3 4 4
B 3 4 1 4 1 3
oder gerechnet: 4 · 3 · 2 = 24
G 3 3 3 3 3 3
S 1 1 2 2 4 4
B 2 4 1 4 1 2
G 4 4 4 4 4 4
S 1 1 2 2 3 3
B 2 3 1 3 1 2
Aufgabe 13 Ein Gl¨ ucksspielautomat besteht aus drei rotierenden R¨adern, auf denen je die Symbole ♣, ♦, ♥ angebracht sind und die unabh¨angig drehen. Werden die R¨ader gestoppt, erscheint auf jedem Rad ein Symbol; man sieht dann zum Beispiel: ♥ ♣ ♥ Wie viele Kombinationen sind m¨ oglich? 3 · 3 · 3 = 27
Aufgabe 14 F¨ unf ununterscheidbare Kaninchen sollen auf drei St¨alle verteilt werden. Auf wie viele Arten ist dies m¨ oglich? S1 5 4 4 3 3 3 2
S2 0 1 0 2 1 0 3
S3 0 0 1 0 1 1 0
21 Verteilungen
S1 2 2 2 1 1 1 1
S2 2 1 0 4 3 2 1
S3 1 2 3 0 1 2 4
S1 1 0 0 0 0 0 0
S2 0 5 4 3 2 1 0
S3 5 0 1 2 3 4 5
Aufgabe 15 Vereinfache und berechne: (a)
10 · 9 · 8 · 7! 10! = = 10 · 9 · 8 = 720 7! 7!
(b)
4 · 5! 4 · 5 · 4! = =4 5 · 4! 5 · 4!
(c)
12! 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 = = 924 2 (6!) 6!
(d) 26! : 2713 = 2720 : 2713 = 2720−713 = 27 = 128
Aufgabe 16 (a) n(n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n! (b)
(2n)! (2n − 0)(2n − 1)(2n − 2)! = = 2n(2n − 1) (2n − 2)! (2n − 2)!
(c)
(n − 1)!(n + 1)! (n − 1)(n − 2)! · (n + 1)! n−1 = = (n − 2)!(n + 2)! (n − 2)! · (n + 2)(n + 1)! n+2
Aufgabe 17 Vereinfache so weit wie m¨ oglich. (a)
(b)
n (n + 2) 1 n − = − (n + 1)!(n + 2) (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)! =
n (n + 2) − (n + 2)! (n + 2)!
=
n+2−2 2 = (n + 2)! (n + 2)!
(n + 3)! (n + 1)! (n + 3)! (n − 1)! : · = n! (n − 1)! n! (n + 1)! =
(n + 3)(n + 2)(n + 1)! · (n − 1)! n(n − 1)! · (n + 1)!
=
(n + 2)(n + 3) n
Aufgabe 18 Bestimme den gr¨ossten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von (a) 12!, 15! ggT = 12!, kgV = 15! (b) 23!, 24!, 25!, 26! ggT = 23!, kgV = 26!
Aufgabe 19 Warum ist keine der Zahlen 50! + 2, 50! + 3, 50! + 4, . . . , 50! + 50 eine Primzahl? n teilt (50! + n) f¨ ur n = 2, . . . , 50
Aufgabe 20 Die sieben Frauen und Herren Bundesr¨ate sollen sich f¨ ur eine Gruppenaufnahme in einer Reihe aufstellen. Auf wie viele Arten ist dies m¨oglich? 7! = 5040
Aufgabe 21 Wie viele verschiedene “W¨ orter“ kann man bilden, wenn jeder der 26 Buchstaben A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z genau einmal verwendet werden soll. 26! = 403291461126605635584000000 ≈ 4.033 · 1026
Aufgabe 22 F¨ unf Kriminalromane, drei Kochb¨ ucher und sieben Bildb¨ande sollen auf einem Regal nebeneinander gestellt werden. (a) Auf wie viele Arten geht dies, wenn alle B¨ ucher verschieden sind? (5 + 3 + 7)! = 15! = 1.308 · 1013 (b) Auf wie viele Arten geht dies, wenn alle B¨ ucher der gleichen Art nebeneinander stehen sollen? 5! · 3! · 7! · 3! = 21 772 800
Aufgabe 23 F¨ unf Damen und f¨ unf Herren kommen an ein Drehkreuz. Sie passieren das Drehkreuz nacheinander. (a) Auf wie viele Arten k¨ onnen sie das Drehkreuz passieren? 10! = 3 628 800 (b) Wie viele Arten verbleiben, wenn die Damen den Vortritt haben? 5! · 5! = 14 400 (c) Es handle sich um 5 Paare, die das Drehkreuz hintereinander passieren. Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es jetzt? F¨ ur die 5 Paare gibt es 5! M¨ oglichkeiten, das Drehkreuz zu passieren. Bei jedem Paar gibt es zudem 2! = 2 Reihenfolgen (Frau oder Mann zuerst). Nach der Produkteregel ergibt das: 5! · (2!)5 = 3 840 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 24 Eine walisische Ortschaft hat den Namen CWMFFRWD. Wie viele verschiedene W¨orter“ lassen sich aus den Buchstaben dieses ” Ortsnamens bilden? 8!/(2! · 2!) = 10 080
Aufgabe 25 Ein Signal kann durch sieben Flaggen, die untereinander h¨angen, gegeben werden. Man hat vier gleiche rote, zwei gleiche blaue und eine gelbe Fahne zur Verf¨ ugung. Wie viele verschiedene Signale kann man damit geben? 7! = 105 4! · 2!
Aufgabe 26 Wie viele verschiedene Folgen aus a Nullen und b Einsen gibt es? (a + b)! a! · b!
Aufgabe 27 Master Mind Auf wie viele verschiedene Arten k¨ onnen 6 Farben auf vier Pl¨atze verteilt werden, wenn eine Farbe mehrfach gebraucht werden darf? 64 = 1296
Aufgabe 28 Der PIN-Code einer EC-Karte besteht aus einer Ziffernfolge von 6 Ziffern (a) Wie viele verschiedene PIN-Codes sind m¨ oglich? 106 M¨oglichkeiten (b) Wenn man pro Code-Eingabe 5 Sekunden ben¨otigt, wie viele Tage br¨auchte man h¨ ochstens, um einen PIN-Code zu ” erraten“? 106 · 5 : 60 : 60 : 24 ≈ 58 Tage
Aufgabe 29 Auf wie viele Arten kann Franz acht voneinander unterscheidbare Murmeln in seinen beiden Hosentaschen unterbringen? I
F¨ ur die 1. Murmel hat er 2 Unterbringungsm¨oglichkeiten
I
F¨ ur die 2. Murmel hat er 2 Unterbringungsm¨oglichkeiten
I
...
I
F¨ ur die 8. Murmel hat er 2 Unterbringungsm¨ oglichkeiten
oglichkeiten Produktregel: 28 = 256 M¨
Aufgabe 30 Wie viele Teilmengen hat eine n-elementige Menge? Schreibe j (ja), wenn ein Element in der Menge liegt, sonst n (nein). {} {1} ... {2, 3} ... {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}
nnnn jnnn ... njjn ... jjjn jjjj
Somit gibt es 2n M¨oglichkeiten, die n Elemente in einer Menge aufzunehmen.
Aufgabe 31 Auf wie viele Arten k¨ onnen sich 7 G¨aste auf 10 St¨ uhle setzen? 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 =
10! = 604 800 3!
Aufgabe 32 Die schweizerische Postverwaltung will eine neue Briefmarkenserie mit vier verschiedenen Frankaturwerten herausgeben. Die Druckerei kann 8 verschiedene Farben offerieren. Wie viele M¨oglichkeiten bieten sich f¨ ur den Druck, wenn jede Markenart eine andere Farbe haben soll? 8·7·6·5=
8! = 1680 4!
Aufgabe 33 Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, (a) 5 Autos 12! = 95 040 (12 − 5)! (b) 11 Autos 12! = 479 001 600 (12 − 11)! (c) 12 Autos 12! = 479 001 600 zu parkieren, wenn 12 Parkpl¨atze frei sind?
Aufgabe 34 Auf wie viele Arten kann man 7 Personen in einem Hotel einquartieren, in dem 20 Einzelzimmer frei sind? 20! = 390 700 800 (20 − 7)!
Aufgabe 35 Bei einem Wettbewerb kommen 1743 Einsendungen in die Schlussverlosung, in der f¨ unf verschiedene Preise vergeben werden. Wie viele verschiedene Auslosungen sind m¨ oglich? 1743 · 1742 · . . . · 1739 =
1743! ≈ 1.599 · 1016 (1743 − 5)!
Aufgabe 36 143! 143! 143! 143 = = = =1 (a) 143! · (143 − 143)! 143! · 0! 143! 143 (b)
17! 17! 17! 17 = = = = 17 16! · (17 − 16)! 16! · 1! 16! 16
101 101 101 · 100 (c) = = = 101 · 50 = 5050 99 2·1 2
Aufgabe 37 n+2 n+2 n+2 n+2 = + (a) + 2 1 n n+1 =
(n + 2)(n + 1) + ·(n + 2) 2·1
=
(n + 2)(n + 1) + 2(n + 2) 2
=
(n + 2)(n + 3) 2
n(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2)(n − 3) n n−1 = : (b) : 3! 3! 3 3 n(n − 1)(n − 2) 3! = · 3! (n − 1)(n − 2)(n − 3) n = n−3
Aufgabe 38 200 Ist der Binomialkoeffizient durch 7 teilbar? 120
200 200! = 120! · 80! 120
200 200 Anzahl der Faktoren 7 in 200!: + = 28 + 4 = 32 7 49 120 120 Anzahl der Faktoren 7 in 120!: + = 17 + 2 = 19 7 49 80 80 Anzahl der Faktoren 7 in 80!: + = 11 + 1 = 12 7 49
31 Der Z¨ahler ist durch 232 und der Nenner durch 2 teilbar. Daher 200 ist nach dem K¨ urzen 120 immer noch (einmal) durch 7 teilbar.
Aufgabe 39 Aus 20 Personen sollen zwei Aussch¨ usse mit 5 bzw. 7 Mitgliedern gew¨ahlt werden. Niemand soll in beiden Aussch¨ ussen sein. Auf wie viele Arten geht das?
20 13 · = 77 520 · 1287 = 99 768 240 M¨ oglichkeiten 7 5
Aufgabe 40 Beweise den Symmetriesatz: n n = k n−k
n n−k
n! (n − k)!(n − [n − k])! n! = (n − k)!k! n n! = = k k!(n − k)!
=
Aufgabe 41 n+k n+k Beweise: n · = (k + 1) · k k +1 n+k (n + k)! (n + k)! (n + k)! n· =n· =n· = k (n + k − k)! k! n! k! (n − 1)! k! n+k (n + k)! (k + 1) · = (k + 1) · k +1 n + k − (k + 1) ! (k + 1)! = (k + 1) ·
(n + k)! (n + k)! = (n − 1)! (k + 1)! (n − 1)! k!
Aufgabe 42 n n n+1 (a) Beweise den Additionssatz: + = k k +1 k +1 n n n! n! + = + k k +1 k! (n − k)! (k + 1)! (n − k − 1)! =
(k + 1)n! n! (n − k) + (k + 1)k!(n − k)! (k + 1)! (n − k − 1)!(n − k)
=
(k + 1) n! n! (n − k) + (k + 1)! (n − k)! (k + 1)! (n − k)!
=
kn! + n! + nn! − kn! n! (n + 1) = (k + 1)! (n − k)! (k + 1)! (n − k)!
(n + 1)! (n + 1)! = = = (k + 1)!(n − k)! (k + 1)! [(n + 1) − (k + 1)]!
n+1 k +1
Aufgabe 42 (Fortsetzung) n n n n+2 (b) Beweise: +2 + = k k +1 k +2 k +2 Der Beweis folgt aus der mehrfachen Anwendung von (a): n n n +2 + k k +1 k +2 n n n n + + = + k +1 k +2 k k +1 {z } | {z } | (a)
(a)
n+1 n+1 = = + k +1 k +2 {z } | (a)
n+2 k +2
Aufgabe 43 Beweise:
n X n k=0
k
=
n n n n + + ··· + + = 2n 0 1 n−1 n
Vollst¨andige Induktion nach n: Induktionsverankerung (n = 0): 0 X 0 n = = 1 = 20 (ok) 0 k k=0
Aufgabe 43 Induktionsschritt (n → n + 1): X n+1 n X n+1 n+1 n+1 n+1 = + + k 0 k n+1 k=0 k=1 n X n n =1+ + + 1 (Additionssatz) k −1 k k=1 X n n X n n =1+ + +1 k −1 k k=1 k=1 X n−1 n X n n n n = + + + n k k 0 k=0 k=1 n n X X n n IVss. n = = 2 + 2n = 2n+1 + k k k=0
k=0
Aufgabe 44 Auf wie viele Arten kann man aus 11 Personen einen Viererausschuss w¨ahlen? 11 = 330 4
Aufgabe 45 An zwei Tischen gibt es drei bzw. vier freie Pl¨atze. Auf wie viele Arten kann man sieben G¨aste auf die beiden Tische verteilen? 7 3 · = 35 · 1 = 35 4 3 oder: 7 4 · = 35 · 1 = 35 3 4
Aufgabe 46 Auf wie viele Arten kann man aus 10 Frauen und 5 M¨annern einen Ausschuss aus 6 Frauen und 3 M¨annern ausw¨ahlen? 10 5 · = 2100 6 3
Aufgabe 47 In der Ebene sind 45 Punkte gegeben. (a) Wie viele Geraden sind durch sie h¨ ochstens bestimmt? 45 = 990 2 (b) Wie viele Kreise sind durch sie h¨ ochstens bestimmt? 45 = 14 190 3
Aufgabe 48 Auf wie viele Arten kann man aus 10 Volleyballspielern zwei F¨ unfermannschaften bilden? 10 : 2 = 126 5 (Wenn nicht zwischen einer ersten und einer zweiten Mannschaft unterschieden wird.)
Aufgabe 49 Aus wie vielen Personen besteht eine Gesellschaft, wenn beim Anstossen 190 mal die Gl¨aser klingen? n = 190 2 n · (n − 1) = 190 1·2 n2 − n = 380 n2 − n − 380 = 0 n1 = 20 n2 = −19
Unsinn
Die Gesellschaft besteht aus 20 Personen.
Aufgabe 50 Auf wie viele Arten kann man x Nullen und y Einsen in einer Reihe anordnen? x +y x +y Auf = Arten. x y
Aufgabe 51 (8|8) t
(3|4) t
t
Lehrer Frei wohnt in (0|0) und arbeitet in (8|8). (a) Wie viele k¨ urzeste Arbeitswege (wie den eingezeichneten) gibt es? 16 = 12 870 8
(0|0)
(b) Herr Frei nimmt jeden Morgen seine Kollegin mit, die in (3|4) wohnt. Wie viele verschiedene Wege gibt es nun? 7 9 · = 4410 3 5
Aufgabe 52 Auf wie viele Arten kann man 12 gleiche Tafeln Schokolade auf 3 Kinder verteilen, wenn kein Kind leer ausgehen soll? L¨osungsidee: Zuerst jedem Kind ein Tafel geben und dann die restlichen 9 Tafeln verteilen: 9+2 1· = 55 2
Aufgabe 53 Ein H¨andler verkauft Bananen, Orangen und Grapefruits zu je einem Franken. Wie viele verschiedene Eink¨aufe sind mit 10 Franken m¨oglich? 10 + 2 = 66 2
Aufgabe 54 Wie viele L¨osungen (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ N4 hat die Gleichung x1 + x2 + x3 + x4 = 10 xi ∈ N,
(i = 1, 2, 3, 4)
Da xi = 0 in der urspr¨ unglichen Aufgabestellung nicht m¨oglich (aber w¨ unschenswert) ist, setzen wir yi = xi − 1 f¨ ur alle i. Dabei bleibt die Anzahl der L¨ osungen unver¨andert. x1 + x2 + x3 + x4 = 10
⇔
y1 + y2 + y3 + y4 = 6
Z¨ahlschema: (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (1, 2, 0, 3) ⇔ 1|11||111 6+3 9 = = 84 M¨ oglichkeiten (L¨ osungen) 3 3
Aufgabe 55 Ein Eishockeyspiel endet mit 8 : 5. Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es f¨ ur die Drittelsresultate? Die gesamte Torzahl jeder Mannschaft wird durch die zwei Pausen in drei Torgruppen aufgeteilt. Zum Beispiel so: Heimmanschaft: G¨aste:
TT|TTT|TTT TTT||TT
T|T|TTTTTT TT|TT|T
... ...
Da jedes Ergebnis der einen Mannschaft mit jedem Ergebnis der Anderen Mannschaft kombiniert“ werden kann, erhalten wir ” folgende Anzahl m¨oglicher Zwischenresultate: 8+2 5+2 · = 945 2 2
Aufgabe 56 Zauberformel: Sieben Bundesratssitze sind auf vier Parteien zu verteilen. Wie viele M¨ oglichkeiten ( Zauberformeln“) gibt es?1 ” 7+3 = 120 3
1
Die Aufgabe ist mittlerweile veraltet.
Aufgabe 57 (a) Wie viele Glieder entstehen beim Ausmultiplizieren von (a + b)5 , bevor gleichartige Glieder zusammengefasst werden? 25 = 32 (b) Wie viele verschiedene Typen von Gliedern entstehen? 6 Typen: a6 , a5 b, a4 b 2 , a3 b 3 , a2 b 4 , ab 5 , b 6 (c) Bestimme den Koeffizienten von a3 b 2 . 5 5 = = 10 2 3
Aufgabe 58 (a) Wie viele Glieder entstehen beim Ausmultiplizieren von (a + b)n , bevor gleichartige Glieder zusammengefasst werden? 2n (b) Wie viele verschiedene Typen von Gliedern entstehen? n + 1 Typen: an , an−1 b, . . . , ab n−1 , b n (c) Bestimme den Koeffizienten von an−k b k (0 ≤ k ≤ n). n n = n−k k
Aufgabe 59 Berechne: (a) (x + y )6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 (b) (2m − n)5 = 32m5 − 80m4 n + 80m3 n2 − 40m2 n3 + 10mn4 − n5 (c) (p 5 + q)4 = p 20 + 4p 15 q + 6p 10 q 2 + 4p 5 q 3 + q 4
Aufgabe 60 1 6 1 6 Berechne: a + − a− a a 1 6 1 6 a+ − a− a a = a6 + 6a4 + 15a2 + 20 +
6 1 15 + 4+ 6 2 a a a
15 6 1 − a − 6a + 15a − 20 + 2 − 4 + 6 a a a 6
4
= 12a4 + 40 +
2
12 a4
Aufgabe 61 Frau Huber verschwindet in einem Hutladen, der 8 Modelle f¨ uhrt. Auf wie viele Arten kann dieses Experiment“ ausgehen? ” I
1. Modell: nicht kaufen (0) oder kaufen (1)
I
2. Modell: nicht kaufen (0) oder kaufen (1)
I
...
I
8. Modell: nicht kaufen (0) oder kaufen (1)
11111111 bedeutet dann, dass sie alle Modelle gekauft hat. 00000101 bedeutet dann, dass sie das 6. und 8. Modell gekauft hat. Es gibt insgesamt 28 M¨ oglichkeiten.
Aufgabe 62 Im DNA-Molek¨ ul sind Erbinformationen in einer Kette aus den vier Elementen A (Adenin), G (Guanin), C (Cytosin) und T (Thymin) gespeichert. Je drei Elemente bilden ein Triplet (z. B. CGA, ATG, TAA, . . . ), die kleinste Informationseinheit auf dem DNA-Molek¨ ul. (a) Wie viele verschiedene Triplets sind m¨ oglich? 4 · 4 · 4 = 64 Triplets (b) In wie vielen Triplets liegen keine zwei gleichen Elemente nebeneinander? I I I
Erstes Element (links): 4 M¨ oglichkeiten Zweites Element (mitte): 3 M¨ oglichkeiten Drittes Element (rechts): 3 M¨ oglichkeiten
4 · 3 · 3 = 64 M¨oglichkeiten
Aufgabe 62 (Fortsetzung) (c) Wie viele Triplets enthalten mindestens ein A? Mindestens ein A bedeutet: genau ein A:
1·3·3·
genau zwei A: 1 · 1 · 3 · genau drei A:
1·1·1·
3 1 3 2 3 3
= 27 ⇒ 37 Triplets =9 =1
Einfacher: Von der gesamten Anzahl M¨ oglichkeiten, diejenigen subtrahieren, die kein A enthalten: 64 − 3 · 3 · 3 = 37 Triplets
Aufgabe 63 In der Ebene sind n Geraden in allgemeiner Lage gegeben, d. h. keine sind zwei parallel und keine drei gehen durch einen Punkt. (a) Wie viele Schnittpunkte haben die Geraden? Jeweils zwei Geraden ergeben einen Schnittpunkt. n Also gibt es Schnittpunkte. 2 (b) Wie viele Dreiecke werden durch die Geraden gebildet? Jeweils drei Geraden bilden ein Dreieck. n Also gibt es Dreiecke. 3
Aufgabe 64 Auf wie viele Arten kann man 54 Parlamentssitze auf vier Parteien verteilen? 54 + 3 = 29 260 3
Aufgabe 65 Eine Klasse mit 10 Sch¨ ulerinnen und 8 Sch¨ ulern m¨ochte eine vierk¨opfige Delegation bilden, in der beide Geschlechter vertreten sein sollen. Auf wie viele Arten ist dies m¨ oglich? Additive L¨osung: 10 8 10 8 10 8 + · + · = 560+1260+960 = 2708 · 2 2 3 1 1 3 Subtraktive L¨osung: 18 10 8 10 8 − · − · = 3060 − 70 − 210 = 2780 4 0 4 4 0
Aufgabe 66 Neun Personen sollen auf drei Boote A, B und C verteilt werden. (a) Wie viele Verteilungen in die Boote gibt es, wenn in jedes Boot drei Personen kommen? Innerhalb des Bootes ist die Reihenfolge unwesentlich, darum gen¨ ugt es, die Besatzungen gruppenweise auszuw¨ahlen: 9 M¨oglichkeiten f¨ ur Boot A: 3 = 84 6 M¨oglichkeiten f¨ ur Boot B: 3 = 20 3 M¨oglichkeiten f¨ ur Boot C : 3 =1 Produktregel: 84 · 20 · 1 = 1680 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 66 (Fortsetzung) (b) Wie viele Verteilungen gibt es, wenn in jedes Boot mindestens 2 und h¨ochstens 4 Personen kommen? Die Rahmenbedingungen erlauben nur folgende Passagierzahlen: 3 + 3 + 3 und 2 + 3 + 4. Letztere M¨oglichkeit kann auf 3! = 6 verschiedene Arten realisiert werden. Also: Fall 3 + 3 + 3: 93 · 63 · 33 = 1680 Fall 2 + 3 + 4: 92 · 73 · 44 · 3! = 1260 · 6 = 7560 Summenregel: 9240 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 66 (Fortsetzung) (c) Wie viele Verteilungen gibt es, bei denen kein Boot leer bleibt? 1 + 1 + 7: 91 · 81 · 77 · 3 = 216 1 + 2 + 6: 91 · 82 · 66 · 6 = 1512 1 + 3 + 5: 91 · 83 · 55 · 6 = 3024 1 + 4 + 4: 91 · 84 · 54 · 3 = 1890 2 + 2 + 5: 92 · 72 · 55 · 3 = 2268 2 + 3 + 4: 92 · 74 · 44 · 6 = 7560 3 + 3 + 3: 93 · 63 · 33 · 1 = 1680 Summenregel: 18 150 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 67 Am Sporttag tr¨agt jede der 15 Sch¨ ulerinnen einer Klasse ein Leibchen. Es hat 6 rote, 5 blaue und 4 gelbe Leibchen, welche mit den Nummern 1–15 versehen sind. (a) Auf wie viele Arten k¨ onnen die Leibchen auf die Klasse verteilt sein? Auf 15! = 1.307674368 · 1012 Arten (b) Wie gross ist die Anzahl Verteilungsm¨ oglichkeiten, wenn die Sch¨ ulerinnen Angela, Brigitte und Christine blaue Leibchen tragen? 5 · 4 · 3 · 12! = 2.8740096 · 1010 Verteilungsm¨oglichkeiten
Aufgabe 67 (Fortsetzung) (c) Wie viele Verteilungsm¨ oglichkeiten gibt es, wenn mindestens zwei der drei genannten Sch¨ ulerinnen gleichfarbige Leibchen tragen? Additive L¨ osung 1. Fall: rrr , bbb, ggg (6 · 5 · 4 + 5 · 4 · 3 + 4 · 3 · 2) · 12! = 97 716 326 400 2. Fall: je dreimal rr r , bbb, gg g 3 · (6 · 5 · 9 + 5 · 4 · 10 + 4 · 3 · 11) · 12! = 865 076 889 600 Summenregel: 962 793 216 000 Subtraktive (indirekte) L¨ osung Z¨ahle von allen M¨oglichkeiten diejenigen ab, die nicht gemeint sind: 15! − 6 · 5 · 4 · 3! · 12! ≈ 9.63 · 1011
Aufgabe 67 (Fortsetzung) (d) Beim Waschen der Leibchen verschwinden die Nummern, so dass am n¨achsten Sporttag gleichfarbige Leibchen nicht unterscheidbar sind. Beantworte auch f¨ ur diesen Fall die unter (a), (b) und (c) gefragten Anzahlen. (a’)
15! = 630 630 6! · 5! · 4!
(b’)
(15 − 3)! = 13 860 6! · (5 − 3)! · 4!
(c’)
15! (15 − 3)! − 3! · = 464 310 6! · 5! · 4! (6 − 1)! · (5 − 1)! · (4 − 1)!
Aufgabe 68 In einem Raum gibt es 10 Lampen, die man unabh¨angig voneinander ein- und ausschalten kann. (a) Wie viele verschiedene Beleuchtungsarten gibt es? 210 = 1024 Beleuchtungsarten (b) Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn genau 7 Lampen brennen sollen? 10 7 = 120 Beleuchtungsarten (c) Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn h¨ ochstens 2 Lampen brennen sollen? 10 10 10 0 + 1 + 2 = 1 + 10 + 45 = 66 Beleuchtungsarten (d) Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn mindestens 2 Lampen brennen sollen? 10 210 − 10 0 − 1 = 1024 − 1 − 10 = 1013 Beleuchtungsarten
Aufgabe 69 Wie viele verschiedene W¨ orter kann man mit den 13 Buchstaben des Wortes ANTEATEREATER bilden? H¨aufigkeiten der Buchstaben: A 3 13! = 3 603 600 3! · 3! · 4! · 2!
N 1
T 3
E 4
R 2
Aufgabe 70 Auf einem Parkplatz sind noch 6 Parkpl¨atze frei. Gleichzeitig kommen (a) 3 Autos an.
(b) 6 Autos an.
(c) 8 Autos an.
Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, die freien Parkpl¨atze den ankommenden Autos zuzuteilen? (a) 6 · 5 · 4 = 120 (b) 6! = 720 (c) 8 · 7 · . . . · 4 · 3 = 20 160
Aufgabe 71 Ein Polypeptid ist eine Kette mit 100 bis 30 000 Gliedern. Die einzelnen Glieder sind Aminos¨auren, von denen es 20 verschiedene gibt. Wie viele Polypeptide k¨ onnte die Natur theoretisch erzeugen? I
Kette mit 100 Gliedern: 20100
I
Kette mit 101 Gliedern: 20101
I
...
I
Kette mit 30 000 Gliedern: 2030 000
Geometrische Reihe mit a1 = 20100 und q = 20 s29 901 = 20100 ·
2029 901 − 1 19
= 8.36 · 1039 030
≈
sn = a1 ·
qn − 1 q−1
2030 001 = 1030 001·lg 20−lg 19 19
Aufgabe 72 Wie viele Diagonalen hat ein regelm¨assiges 37-Eck? Wie viele Diagonalen hat allgemein ein regelm¨assiges n-Eck? I
regelm¨assiges 37-Eck:
I
regelm¨assiges n-Eck:
37 · 34 = 629 2
n(n − 3) 2
Aufgabe 73 Bei einem Schachturnier soll jeder Spieler gegen jeden andern Spieler spielen. Kurz vor Beginn des Turniers melden sich einige zus¨atzliche Spieler. Dadurch werden 19 Partien mehr gespielt. Wie viele Spieler waren zuerst gemeldet, wie viel kamen noch dazu? n n+k + 19 = 2 2 n · (n − 1) (n + k)(n + k − 1) + 19 = 2·1 2·1 n2 − n + 38 = n2 + k 2 + 2nk − n − k 38 = k(k + 2n − 1) Da nur ganzzahlige L¨ osungen sinnvoll sind, schr¨ankt dies die L¨osungsmenge ein: Aus 38 = 2 · 19 folgt, dass k = 2 und k + 2n − 1 = 19 woraus wiederum folgt, dass n = 9 gilt.
Aufgabe 74 Ein Fussballspiel endet mit 2 : 4. Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es f¨ ur das Halbzeitresultat? 2+1 4+1 · = 3 · 5 = 15 M¨ oglichkeiten 1 1
Aufgabe 75 (a) Die Herren Amberg, Brechb¨ uhl, Christinger und Dietler jassen einen Schieber. Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es, die 36 Karten gleichm¨assig auf die vier Spieler aufzuteilen? 36 27 18 9 · · · ≈ 2.145 · 1019 9 9 9 9 (b) Herr Dietler ist krank und die andern spielen zu dritt. Jeder bekommt 12 Karten. Gibt es nun mehr oder weniger Verteilungsm¨oglichkeiten als beim Schieber? 36 24 12 · · ≈ 3.385 · 1015 12 12 12
Aufgabe 75 (c) Wie viele Verteilungen beim Schieber gibt es, bei denen Amberg vier Nell (d.h. vier Neuner) und Dietler vier Bauern hat? 28 23 14 5 · · · ≈ 1.608 · 1014 5 9 9 5
Aufgabe 76 Zahlenlotto Beim Schweizer Zahlenlotto muss man erraten, welche 6 Gewinnzahlen aus den 45 Zahlen 1, 2, 3, . . . , 45 gezogen werden. Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, ist nicht wesentlich. Zum Beispiel wurden am 5. Januar 2000 folgende Zahlen gezogen: 1, 19, 34, 39, 42, 43. (a) Berechne die Anzahl x verschiedener Ziehungen von 6 Zahlen aus 45. x ist auch die Anzahl M¨ oglichkeiten, einen Lottotipp korrekt auszuf¨ ullen. Weil nur eine dieser M¨ oglichkeiten wirklich gezogen wird und jede Ziehung gleich wahrscheinlich“ ist, ist die ” Wahrscheinlichkeit, mit einem Tipp einen Lottosechser zu erzielen 1 : x. 45 = 8 145 060 6
Aufgabe 76 (Fortsetzung) (b) Bei wie vielen m¨oglichen Lottotipps, sind genau k = 6, 5, 4, . . . , 1, 0 Zahlen richtig angekreuzt? Wie gross sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pk ? Bei der oben erw¨ahnten Ziehung kamen die beiden Nachbarn 42 und 43 vor. Ist das erstaunlich? I
6 Richtige: x =
I
5 Richtige: x =
I
4 Richtige: x =
I
3 Richtige: x =
I
2 Richtige: x =
I
1 Richtige: x =
I
0 Richtige: x =
6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 0
· · · · · · ·
39 0 39 1 39 2 39 3 39 4 39 5 39 6
=1
p6 = 1.23 · 10−7
= 234,
p5 = 2.87 · 10−5
= 11 115
p4 = 0.00136
= 182 780
p3 = 0.0224
= 1 233 765
p2 = 0.151
= 3 454 542
p1 = 0.424
= 3 262 623
p0 = 0.401
Aufgabe 76 (Fortsetzung) (c) Auf wie viele Arten k¨ onnen 6 Zahlen aus 45 gezogen werden, ohne dass mindestens ein Paar Nachbarn vorkommt? Wenn keine zwei der 6 gezogenen Zahlen z1 , z2 , . . . , z6 Nachbarn sind, muss es 5 Zahlen ( Abstandshalter“) dazwischen geben: ” z1 < a1 < z2 < a2 < . . . < z5 < a5 < z6 Das bedeutet, dass ich von den urspr¨ uglich 45 Zahlen nur 40 verwenden darf, wenn ich Nachbarn vermeiden will. Also gibt es: 40 = 3 838 380 Ziehungen 6 bei denen keine Zahlennachbarn auftreten.
Aufgabe 76 (Fortsetzung) (d) Auf wie viele Arten k¨ onnen 6 Zahlen aus 45 gezogen werden, so dass mindestens ein Paar Nachbarn vorkommt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit p, dass bei einer Ziehung mindestens ein Paar Nachbarn vorkommt? 45 40 − = 4 306 680 6 6
Aufgabe 77 Eine Baufirma besch¨aftigt insgesamt 30 Arbeiter auf 4 verschiedenen Baustellen. Auf der ersten Baustelle werden 12 Arbeiter, auf der zweiten 10 Arbeiter und auf der dritten 5 Arbeiter eingesetzt. (a) Auf wie viele verschiedene Arten k¨ onnen die Arbeiter auf die 4 Baustellen verteilt werden, wenn jeder Arbeiter auf jeder Baustelle eingesetzt werden kann? 30 18 8 3 · · · = 2.11 · 1014 12 10 5 3
Aufgabe 77 (Fortsetzung) (b) Auf jeder Baustelle wird ein Vorarbeiter fest eingesetzt und bleibt dort. Auf wie viele Arten k¨ onnen die u ¨brigen Arbeiter auf den vier Baustellen eingesetzt werden? Die vier Vorarbeiter reduzieren die Gesamtzahl der zu verteilenden Arbeiter um 4 und bewirken auch, dass pro Baustelle ein Arbeiter weniger zu verteilen ist: 26 15 6 2 · · · ≈ 5.80 · 1011 11 9 4 2
Aufgabe 77 (Fortsetzung) (c) Auf jeder Baustelle bleibt ein Team von drei Arbeitern fest eingesetzt und bleibt dort. Auf wie viele Arten k¨onnen die u ¨brigen Arbeiter auf den vier Baustellen eingesetzt werden? Die vier Teams zu je drei (Vor-)Arbeitern reduzieren die Gesamtzahl der zu verteilenden Arbeiter um 12 und bewirken, dass pro Baustelle drei Arbeiter weniger zu verteilen sind: 18 9 2 0 · · · = 1 750 320 9 7 2 0
Aufgabe 78 Drei Studentinnen und zwei Studenten fahren mit einem Auto in die Ferien. Nur zwei Studentinnen haben einen F¨ uhrerschein. Wie viele Sitzverteilungen gibt es, wenn es genau 5 Pl¨atze im Auto gibt? Fahrerin: 2 M¨oglichkeiten u ¨brige Mitfahrende: 4! = 24 Sitzverteilungen Produktregel: 2 · 4! = 48 Sitzverteilungen
Aufgabe 79 Eine Fahrsch¨ ulerin muss bei einer Pr¨ ufung 8 von 12 Fragen beantworten. (a) Wie viele Auswahlm¨ oglichkeiten hat sie? 12 = 495 M¨oglichkeiten 8 (b) Wie viele Auswahlm¨ oglichkeiten bleiben ihr, wenn sie die ersten vier Fragen beantworten muss? 12 − 4 8 = = 70 M¨ oglichkeiten 8−4 4 (c) Wie viele M¨oglichkeiten bleiben ihr, wenn sie genau vier von den ersten sieben Fragen beantworten muss? 7 5 · = 175 M¨ oglichkeiten 4 4
Aufgabe 79 (Fortsetzung) (d) Wie viele M¨oglichkeiten bleiben ihr, wenn sie mindestens vier von den ersten sieben Fragen beantworten muss? 7 5 4 der ersten 7 richtig: = 175 · 4 4 7 5 5 der ersten 7 richtig: · = 210 5 3 7 5 6 der ersten 7 richtig: · = 70 6 2 7 5 7 der ersten 7 richtig: · =5 7 1 Summenregel: 460 M¨ oglichkeiten
Aufgabe 80 Wie viele K¨orperdiagonalen hat ein regelm¨assiges Dodekaeder? Das Dodekaeder wird begrenzt durch zw¨ olf kongruente F¨ unfecke. Direkte Methode: Aus einer r¨aumlichen Darstellung des K¨orpers z¨ahlt man ab, dass von jeder der 20 Ecken nur 10 als Endpunkte in Frage kommen. (Die Ecke selbst und 9 weitere Ecken scheiden aus.) 20 · 10 = 100 Raumdiagonalen 2 Indirekte Methode: Es sind 20 2 = 190 Strecken zwischen zwei beliebigen verschiedenen Ecken m¨ oglich. Davon nicht gez¨ahlt werden d¨ urfen sind: 5(5 − 3) Fl¨achendiagonalen: 12 · = 60 Kanten: 30 2 Also:
Subtraktionsregel: 190 − 60 − 30 = 100 Raumdiagonalen
Aufgabe 81 (a) Auf wie viele Arten k¨ onnen 17 Skifahrer auf drei Gondeln verteilt werden, wenn alle drei Gondeln f¨ ur s¨amtliche Personen gen¨ ugend Platz h¨atten? Modellieren wir das Problem, indem wir Skifahrer die Gondeln w¨ahlen lassen“, erhalten wir: ” I I I I
Skifahrer(in) 1 hat 3 M¨ oglichkeiten Skifahrer(in) 2 hat 3 M¨ oglichkeiten ... Skifahrer(in) 17 hat 3 M¨ oglichkeiten
Produktregel: 317 = 129 140 163
Aufgabe 81 (b) Wie viele M¨oglichkeiten verbleiben, wenn die eine Gondel noch 6, die zweite noch 4 und die dritte noch 7 freie Pl¨atze haben? 11 7 17 oglichkeiten 6 · 4 · 7 = 4 084 080 M¨ (c) Wie viele M¨oglichkeiten verbleiben, wenn ausserdem (neben den Bedingungen von Teilaufgabe (b) die beiden Freundinnen Nicole und Ruth zusammen in der gleichen Gondel fahren m¨ochten? Aufgabe zerlegen und Additionssatz anwenden: 11 7 Nicole und Ruth in Gondel 1: 15 4 · 4 · 7 = 450 450 9 7 Nicole und Ruth in Gondel 2: 15 6 · 2 · 7 = 180 180 9 5 Nicole und Ruth in Gondel 3: 15 6 · 4 · 5 = 630 630 Summenregel: 1 261 260
Aufgabe 82 In wie vielen Punkten schneiden sich 30 Geraden, (a) wenn die Geraden allgemeine Lage haben, d. h. wenn keine zwei Parallelen auftreten und in keinem Fall mehr als 2 Geraden durch einen Punkt gehen? 30 = 435 Geraden 2 (b) wenn 10 von 30 Geraden parallel sind? Die 20 nicht parallelen Geraden schneiden sich in Punkten
20 2
= 190
Jede der 10 parallelen Geraden schneidet die u ¨brigen 20 Geraden in 20 Punkten: 10 · 20 = 200 Summenregel: 390 Schnittpunkte
Aufgabe 82 (Fortsetzung) wenn 10 Geraden parallel sind und 8 andere durch einen gemeinsamen Punkt gehen? 12 2
I
Schnittpunkte der 12 Geraden in allgemeiner Lage:
I
Schnittpunkte der 12 Geraden in allgemeiner Lage mit den 10 parallelen Geraden: 12 · 10 = 120
I
Schnittpunkte der 12 Geraden in allgemeiner Lage mit den 8 Geraden, die durch einen Punkt gehen: 12 · 8 = 96
I
Schnittpunkte der 10 parallelen Geraden mit den 8 Geraden, die durch einen Punkt gehen: 10 · 8 = 80
I
Schnittpunkte der der 8 Geraden die durch einen Punkt gehen: 1
Summenregel: 66 + 120 + 96 + 80 + 1 = 363 Schnittpunkge
= 66
Aufgabe 83 Wie viele sechstellige Zahlen haben mindestens vier Einsen? I
Genau 6 Einsen: 1
I
Genau 5 Einsen mit einer 1 ganz links: 9 · 5 = 45
I
Genau 5 Einsen mit einer 2, 3, . . . , 9 ganz links: 8 · 1 = 8 Genau 4 Einsen mit einer 1 ganz links: 9 · 9 · 52 = 810
I I
Genau 4 Einsen mit einer 2, 3, . . . , 9 ganz links: 8 · 9 · 51 = 360
Summenregel: 1224 Zahlen
Aufgabe 84 Vier Lehrer kommen am Skitag an einen Vierersessellift. Weit und breit sind keine anderen Skifahrer zu sehen. Auf wie viele Sitzarten insgesamt k¨onnen sich die vier Lehrer nach oben bef¨ordern lassen, wenn sie zwar kein ganzes Sesseli, wohl aber einzelne oder mehrere Sitzpl¨atze leer lassen d¨ urfen? Es k¨ onnen also im einen Extremfall gerade alle vier auf ein Sesseli gehen und im andern alle vier einzeln auf ein Sesseli. Personen
Sesseli
4
1
3+1
2
2+2
2
2+1+1
3
1+1+1+1
4
Summenregel: 14 712
M¨ oglichkeiten 4! = 24 4 · 4 · 3 · 2 · 11 · 4 · 2 = 768 3 4 · 4 · 3 · 22 · 4 · 3 = 864 24 2 1 ·4·3 · ·4 · · 4 · 3 = 6912 24 3 1 2 1 1 · 4 · 1 · 4 · 1 · 4 · 1 · 4 = 6144 1
Aufgabe 85 Auf wie viele Arten kann man 4 Hotelg¨aste in 11 freien Einzelzimmern unterbringen? 11 · 10 · 9 · 8 =
11! = 7920 M¨ oglickeiten 7!
