Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas Departamento de Ingenier´ıa Mec´ anica
APUNTES PARA EL CURSO ME43B Transferencia de Calor
Profesor: Ram´on Frederick G. Colaboraci´on: Sergio Courtin V.
Oto˜ no 2006
´Indice 1.
1 1.1. Definici´ on de Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Ingenier´ıa T´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3. Termodin´ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4. Modos de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5. Conducci´ on, Ley de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6. Ecuaci´ on de Conservaci´ on de Energ´ıa o Ecuaci´on del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7. Formulaci´ on General de Problemas de Conducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8. Procesos Transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9. Procesos Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.10. Casos de Conducci´ on Unidireccional Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.11. Convecci´ on en Ambas Caras de una Placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.12. Otras geometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.13. Casos Simples en Geometr´ıa Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.14. Sistemas con Generaci´ on Interna de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.15. Superficies Extendidas (Aletas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.15.1. Aleta de Longitud Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.15.2. Aleta de Largo Finito L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.15.3. Aleta con Temperatura Impuesta en Ambos Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.15.4. Eficiencia de aletas (η ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.16. Fen´omenos Transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.16.1. Conducci´ on Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.16.2. Conducci´ on Unidireccional Transiente Sin Generaci´on Interna de Calor . . . . . . . . .
21
1.16.3. Extensi´ on a 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.16.4. Conducci´ on Transiente con Resistencia T´ermica Interna Despreciable . . . . . . . . . .
25
2.
26 2.1. Intercambio de Calor Entre Dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2. Balances T´ermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3. Deducci´ on de la Diferencia de Temperatura Media Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
i
ME43B - Transferencia de Calor
ii
2.4. Convecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.1. Como Procede la Convecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.2. Forma Adimensional de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4.3. Flujo Externo: Capa L´ımite Laminar Sobre Placa Plana . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4.4. Capa L´ımite T´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5. Convecci´ on Forzada Interna: Tubos o Canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.1. Flujo en Tubos o Canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.6. Otros Casos de Convecci´ on Forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.6.1. Convecci´ on Forzada en el Interior de Tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6.2. Canales de Secci´ on no Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.3. Flujo en el Exterior de Tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.4. Haces de Tubos en Flujo Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.6.5. Intercambiadores de Carcasa y Tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.
51 3.1. Procesos de Cambio de Fase: Ebullici´on y Condensaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2. Transferencia de Calor en Ebullici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.1. Ebullici´ on en Recipientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3. Condensaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4. Convecci´ on Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4.1. An´ alisis Dimensional de las Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.5. Casos de Flujo Externo (Capa L´ımite Laminar y Turbulenta) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.5.1. Convecci´ on Natural Desde Placas Planas y Cilindros Verticales . . . . . . . . . . . . .
58
3.5.2. Exterior de Cilindros Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5.3. Placas Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.
61 4.1. Radiaci´ on T´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1.1. Emisi´ on y Ley de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.2. Poder Emisivo de un Cuerpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.2. Energ´ıa Radiante Total que Sale de un Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.3. Intensidad de Radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4. Intercambio de Energ´ıa por Radiaci´on Entre Dos Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.4.1. Concepto Factor de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 4.4.2. Factor de Forma Entre un Elemento de Area dA1 y un Area Finita A2 (Isoterma) . . ´ 4.4.3. Factor de Forma Entre Dos Areas Finitas A1 y A2 , Isotermas . . . . . . . . . . . . . .
65
4.5. Radiaci´ on en Cavidades de N Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.5.1. Evaluaci´ on de los Factores de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.6. Interpretaci´ on Circuital de las Ecuaciones de Radiaci´on en Recintos Cerrados . . . . . . . . .
69
4.6.1. Algunos Casos de 2 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
66 66
ME43B - Transferencia de Calor
iii
4.6.2. Problema de 3 Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.7. Radiaci´ on Combinada con Otros Modos de Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . .
72
5. Problemas Propuestos
74
Cap´ıtulo 1
1.1.
Definici´ on de Transferencia de Calor La Transferencia de Calor es:
1. Una Ciencia de la Ingenier´ıa. 2. Una disciplina pr´ actica. Su objetivo: Cuantificar los flujos de transporte de calor en procesos naturales y de Ingenier´ıa.
1.2.
Ingenier´ıa T´ ermica
1. Mec´anica de Fluidos 2. Termodin´ amica 3. Transferencia de Calor En la industria su importancia est´ a en el Dise˜ no de equipos, procesos y productos. Este curso junto con los anteriores (MF, TD) habilita para el estudio y dise˜ no de m´aquinas t´ermicas. Desde el punto de vista b´asico, la transferencia de calor se forma parte de los fen´omenos de transferencia, o de transporte, que incluye adem´ as: 1. el flujo de fluidos, 2. la circulaci´ on de corrientes el´ectricas, y 3. la difusi´ on de un soluto en un solvente (llamada transferencia de masa). En todos los fen´ omenos de transferencia identificamos: Una diferencia de potencial, o fuerza conductora que causa la transferencia Un flujo de la entidad que se transfiere, entre puntos a potenciales diferentes. 1
ME43B - Transferencia de Calor
2
Una resistencia que el medio opone a la transferencia en la regi´on en que existe la diferencia de potencial. El potencial para la transferencia de calor es una diferencia de temperatura (∆T = T1 -T2 ), en la regi´on en que se realiza la transferencia. El calor se transfiere de alta a baja temperatura. El medio a trav´es del cual el calor se transfiere opone una resistencia a la transferencia (R). Por ejemplo: si la pared de una casa tiene 22 o C por el exterior y a 18 o C por el interior, habr´a flujo de calor desde el exterior al interior. La magnitud de este flujo depende de: 1. la diferencia de temperatura (4o C ´ o 4K), 2. de la propiedad del material llamada ”conductividad t´ermica” y del espesor de la pared. Se tiene entonces la siguiente relaci´ on gen´erica para el flujo de calor Q a trav´es de un medio material: Q=
∆T R
(1.1)
el flujo de calor Q se expresa en Watts, la diferencia de temperatura en K (o en o C) y la resistencia en
K W att
El flujo de calor es, entonces la cantidad de calor transferida por unidad de tiempo entre puntos a temperaturas T1 y T2 .
ME43B - Transferencia de Calor
1.3.
3
Termodin´ amica Predice la cantidad de energ´ıa que se requiere para llevar un sistema desde un estado a otro. No
informa sobre la velocidad de este proceso ni sobre el tiempo necesario para completarlo. La transferencia de calor complementa a los principios de la TD, mediante leyes adicionales que permiten calcular la ”velocidad” con que el calor se transfiere.
1.4.
Modos de transferencia de calor
1. Conducci´ on: Transferencia de calor en un s´olido o un fluido en reposo mediante movimiento a escala molecular, que es m´ as intenso a mayor temperatura. 2. Convecci´ on: Transferencia de calor dentro de un fluido que fluye con movimientos a escala macrosc´opica. 3. Radiaci´ on: Emisi´ on de radiaci´ on electromagn´etica por cuerpos a temperaturas distintas al cero absoluto. Las radiaciones en el rango de longitudes de onda entre 0,1 y 100 micrometros tienen efecto t´ermico cuando se emiten o absorben.
1.5.
Conducci´ on, Ley de Fourier Las leyes generales de la f´ısica (principios de la Termodin´amica y leyes de movimiento del fluido) no
son suficientes para el estudio de la transferencia de calor. Se necesitan leyes particulares espec´ıficas para la conducci´on y la radiaci´ on. (La convecci´ on no requiere leyes extras ya que es un fen´omeno que resulta de la combinaci´on entre la conducci´ on de calor y el flujo de un fluido). Se transfiere calor de alta a baja temperatura. Fourier (en 1822) encontr´o que ”el flujo de calor en el interior de un s´ olido o de un fluido en reposo es proporcional al gradiente local de temperatura y a la conductividad t´ermica del material”. Esta ley se deriv´o de observaciones emp´ıricas.
ME43B - Transferencia de Calor
4
Supone que el material se comporta como un medio continuo. La expresi´on matem´atica de la ley es como sigue: En un medio en que existe un campo de temperatura T (X, Y, Z, t), la ley de Fourier expresa los flujos de calor instant´ aneos en las tres direcciones por:
qx = −kx
∂T ∂x
(1.2)
qy = −ky
∂T ∂y
(1.3)
qz = −kz
∂T ∂z
(1.4)
q es el flujo de calor por unidad de tiempo, y por unidad del ´area normal a la direcci´on de propagaci´on. k es la conductividad t´ermica del material. Convenci´ on de signo: Los flujos de calor son positivos en el sentido positivo de la coordenada. Para esto, la temperatura debe decrecer en el sentido positivo de la coordenada, es decir, signo menos sirve para cumplir la convenci´on. Unidades de q: 1.
W m2
2.
kcal hrm2
3.
BT U hrpie2
Unidades de T : 1.
o
C
2. K 3.
o
F
Unidades de las Coordenadas: 1. metros 2. pies
∂T ∂x
5, η=1/(mL).
ME43B - Transferencia de Calor
21
La eficiencia de diversas formas de aleta est´a tabulada en diversos textos, permitiendo el c´alculo del calor transferido en base a este par´ ametro y al calor para k = ∞, el que es f´acil de determinar.
1.16.
Fen´ omenos Transientes
En la mayor´ıa de las aplicaciones, el establecimiento de condiciones estables o permanentes requiere de un tiempo. En los intercambiadores de calor que funcionan en forma continua, el r´egimen permanente se alcanza poco tiempo despu´es del inicio del bombeo de los fluidos, y no se considera en el dise˜ no. En otras aplicaciones, como tratamientos t´ermicos de metales, enfriamiento y congelaci´on de alimentos, e intercambiadores ”batch”del tipo serpent´ın con estanque agitado (por nombrar s´olo algunos casos), la parte relevante del proceso de transferencia de calor est´ a en el estado transiente. En la etapa de dise˜ no de intercambiadores que funcionen en r´egimen transiente es necesario realizar una simulaci´on din´amica (en el tiempo) de su funcionamiento. La simulaci´ on tiene como objetivo determinar el tiempo que se requerir´a para transferir una determinada cantidad de calor, o para alcanzar un determinado nivel de temperatura.
1.16.1.
Conducci´ on Transiente
Se tiene un s´ olido a temperatura inicial uniforme T0 . En un instante t=0, se sumerge el s´olido en un medio a temperatura T∞ . La temperatura del s´olido variar´a en el tiempo hasta alcanzar, como l´ımite, la temperatura del nuevo medio. Dependiendo del signo de T∞ - T0 , se tratar´a de un calentamiento o enfriamiento transiente. Los procesos de ambos tipos se pueden tratar en forma unificada, en t´erminos de la temperatura adimensional:
T − T∞ T0 − T∞ El valor de esta expresi´ on es 1 en el estado inicial y 0 en el final. Por lo tanto, esta temperatura
adimensional decrece con el tiempo, tanto para calentamientos como para enfriamientos.
1.16.2.
Conducci´ on Unidireccional Transiente Sin Generaci´ on Interna de Calor
Se tiene una placa plana de espesor 2L, con las otras dimensiones infinitas. Las propiedades f´ısicas relevantes son: Conductividad t´ermica: k Calor espec´ıfico: C Densidad: ρ Condiciones iniciales y de borde: Temperatura inicial: T0 (uniforme) Temperatura ambiente: T∞
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Coeficiente convectivo entre la superficie y el fluido exterior: h La coordenada x tiene origen en plano de simetr´ıa de la pared. Para conducci´on unidireccional sin generaci´on interna de calor, la ecuaci´ on diferencial y sus condiciones iniciales y de borde son:
∂T ∂2T =α 2 ∂t ∂x
(1.68)
T (x, 0) = T0
(1.69)
∂T (0, t) =0 ∂x
(1.70)
∂T (L, t) = h (T (L, t) − T∞ ) (1.71) ∂x En que α = k/ρC es la difusividad t´ermica del s´olido. Esta propiedad, en m2 /s, representa la raz´on −k
entre las propiedades de transferir calor y las de almacenarlo. La soluci´on de la ecuaci´on se puede obtener por el m´etodo de separaci´ on de variables. La soluci´on es:
∞ X T − T∞ sin (λn L) αt x 2 =2 exp − 2 (λn L) cos λn L T0 − T∞ λ L + sin (λn L) cos (λn L) L L n=1 n
(1.72)
en que los λn L son las infinitas ra´ıces de la ecuaci´on siguiente, que se deriva de la condici´on de borde de convecci´on: tan (λn L) =
Bi λn L
(1.73)
Bi es el ”n´ umero de Biot” = hL/k. Bi es un grupo adimensional que representa la raz´on entre la resistencia t´ermica conductiva en el semi espesor del s´olido y la resistencia convectiva externa, es decir:
Bi =
L/k 1/h
(1.74)
Un alto valor de Bi significa que la resistencia conductiva interior es mayor que la convectiva exterior, luego habr´a grandes gradientes de temperatura en el interior del s´olido. En cambio si Bi es bajo (por ej. 0,1), la resistencia conductiva es baja y la temperatura en el interior del s´olido es pr´acticamente uniforme en cada instante. Otros grupos adimensionales son: F o = αt/L2 (N´ umero de Fourier o tiempo adimensionalizado), y la coordenada adimensional x/L. Se observa que la soluci´on, en t´erminos de grupos adimensionales, se resume en la dependencia:
ME43B - Transferencia de Calor
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T − T∞ (1.75) = f (F o, Bi, x/L) T − T0 La soluci´ on se puede representar gr´aficamente utilizando la dependencia anterior. Los diagramas de Heisler, basados en la soluci´ on anal´ıtica, representan las distribuciones de temperatura en el plano de simetr´ıa (x/L=0). Estos se pueden ver en libros. Los rangos de los grupos adimensionales en estos diagramas son los rangos de inter´es pr´ actico. Existe un gr´ afico adicional que da cuenta de las temperaturas fuera del plano de simetr´ıa. En estos gr´ aficos la temperatura fuera de ese plano se obtiene como producto de las ordenadas de los gr´aficos primario y secundario. En este u ´ltimo las variables independientes son Bi y x/L.
1.16.3.
Extensi´ on a 2D
Se tiene ahora una regi´ on rectangular de lados 2L y 2l sometida a las mismas condiciones anteriores. La ecuaci´on diferencial y las condiciones son ahora: ∂T =α ∂t
−k
∂2T ∂2T + ∂x2 ∂y 2
(1.76)
T (x, y, 0) = T0
(1.77)
∂T (0, y, t) =0 ∂x
(1.78)
∂T (L, y, t) = h (T (L, y, t) − T∞ ) ∂x
(1.79)
∂T (x, 0, t) =0 ∂x
(1.80)
∂T (L, l, t) = h (T (L, l, t) − T∞ ) ∂x Se intenta la separaci´ on de variables siguiente: −k
Θ(x, y, t) =
(1.81)
T − T∞ = X(x, t)Y (y, t) T0 − T∞
(1.82)
reemplazando en la ecuaci´ on diferencial: l Y
∂Y −α ∂t
∂2Y ∂y 2
l = X
∂X −α ∂t
∂2X ∂x2
= ±λ2 (t)
(1.83)
El lado izquierdo depende s´ olo de y, el derecho s´olo de x, luego ambos deben ser solo funciones de t. Sin embargo, las condiciones son estrictamente equivalentes para las dos direcciones. La equivalencia se cumple solo si λ es cero. Por lo tanto, se supone λ=0, y entonces la soluci´on de la distribuci´on de temperatura bidimensional es el producto de dos soluciones unidimensionales, que se obtienen de la soluci´on de:
ME43B - Transferencia de Calor
24
∂X ∂2X =α 2 ∂t ∂x
(1.84)
X(x, 0) = l
(1.85)
∂X(0, t) =0 ∂x
(1.86)
∂X(L, t) = hX(L, t) (1.87) ∂x y de otro conjunto de ecuaciones/condiciones exactamente similar para Y . Estos problemas tienen −k
soluciones adimensionales iguales a la del problema unidimensional, con sus respectivos grupos adimensionales. En consecuencia, la soluci´ on 2D se puede escribir: T − T∞ = T0 − T∞
T − T∞ T0 − T∞
2L
T − T∞ T0 − T∞
(1.88) 2l
Y, por extensi´ on a tres dimensiones, en un paralelep´ıpedo de lados 2L, 2l y 2λ, la temperatura es: T − T∞ = T0 − T∞
T − T∞ T0 − T∞
2L
T − T∞ T0 − T∞
2l
T − T∞ T0 − T∞
(1.89) 2λ
En los casos 2D y 3D la secci´ on rectangular y el paralelep´ıpedo se pueden considerar como las intersecciones de 2 y 3 placas infinitas respectivamente. En el caso de un paralelep´ıpedo rectangular hay que evaluar tres Biots y tres Fourier, ya que aunque las propiedades f´ısicas son id´enticas, la diferencia de longitudes en las distintas direcciones define n´ umeros de Bi y F o distintos para las distintas direcciones. Existen soluciones anal´ıticas exactas para conducci´ on radial en cilindro infinito y en esfera. En estas geometr´ıas definimos las variables adimensionales como: η=
Fo =
r R
(1.90)
αt R2
(1.91)
hR k Cilindro: Distribuci´ on de temperatura y ecuaci´on para valores caracter´ısticos: Bi =
Esfera:
(1.92)
∞ X αt T − T∞ 2J1 (λn R) 2 exp − 2 (λn R) J0 (λn Rη) =2 T0 − T∞ λ R (J02 λn L) + (J12 λn R) R n=1 n
(1.93)
(λn R)J0 (λn R) − BiJ0 (λn R) = 0
(1.94)
ME43B - Transferencia de Calor
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∞ X T − T∞ αt sin (λn R) − λn Rcos (λn R) =2 exp − 2 (λn L)2 cos (λn Rη) T0 − T∞ λ R − sin (λn R) cos (λn R) R n=1 n
(1.95)
(λn R)cos(λn R) + (Bi − 1)sin(λn R) = 0
(1.96)
Tambi´en aparecen gr´ aficos de Heisler para esas geometr´ıas en todos los libros de transferencia de calor. Para cilindro y esfera los n´ umeros de Biot y Fourier se definen en base al radio: Bi =
hR k
αt R2 En el caso de un cilindro finito de radio R y longitud 2L, la distribuci´on adimensional de temperatura Fo =
se representa como el producto de dos distribuciones adimensionales: una para placa infinita de espesor 2L y otra para cilindro infinito de radio R. T − T∞ = T0 − T ∞
1.16.4.
T − T∞ T0 − T∞
2L
T − T∞ T0 − T∞
(1.97) 2R
Conducci´ on Transiente con Resistencia T´ ermica Interna Despreciable
Si la resistencia conductiva interna es mucho menor que la convectiva externa, lo que implica que el o
N de Biot es bajo, se puede tratar los problemas como si la temperatura interna del s´olido fuera uniforme. En estos casos no se puede aplicar la ecuaci´on general del calor, y se debe recurrir a un balance de energ´ıa. Suponiendo que la temperatura inicial T0 es mayor que la del ambiente, T∞ : Energ´ıa que sale + Energ´ıa que se acumula=0. Con lo cual: ∂T = −hA(T (t) − T∞ ) (1.98) ∂t V es el volumen del cuerpo, y A su ´area. Por integraci´on de esta ecuaci´on, para los tres s´olidos de ρCV
geometr´ıa sencilla, cuyo volumen y ´ area se conocen, se puede demostrar que: T − T∞ = e−nBiF o T0 − T∞ En que n=1 para placa, 2 para cilindro y 3 para esfera.
(1.99)
Cap´ıtulo 2
2.1.
Intercambio de Calor Entre Dos Fluidos En el cap´ıtulo anterior se vio que el calor transferido de un fluido a otro a trav´es de una pared cil´ındrica
es: Qr =
2πL(T1 − T2 ) 1 h1 r1
+
ln(r2 /r1 ) k
+
1 h2 r2
(2.1)
Esta ecuaci´ on da la base para el dise˜ no de intercambiadores de calor tubulares. Si se define el coeficiente global de transferencia de calor, U , tal que: Q = U A∆T
(2.2)
Existen dos ´ areas de transferencia posibles: la interna y la externa: Ai = 2πr1 L Ae = 2πr2 L Entonces los U basados en ambas ´ areas son: r2 r2 ln(r2 /r1 ) 1 1 = + + Ue h 1 r1 k h2
(2.3)
1 1 r1 ln(r2 /r1 ) r1 = + + (2.4) Ui h1 k h2 r2 Consideremos un intercambiador simple de tubos conc´entricos. Debido al intercambio de calor, las temperaturas de los dos fluidos var´ıan su temperatura a lo largo del intercambiador. Las disposiciones pueden ser: 1. Flujo paralelo o cocorriente (ambos fluidos avanzan en el mismo sentido, disposici´on mostrada). 2. Flujo contracorriente (fluidos fluyen en sentidos opuestos).
26
ME43B - Transferencia de Calor
27
Figura 2.1: Progresi´on de Temperaturas en Cocorriente La diferencia de temperatura entre los dos fluidos tambi´en var´ıa a lo largo. Por lo tanto, el flujo de calor var´ıa.
2.2.
Balances T´ ermicos Sean w, c, te , ts , el caudal, calor espec´ıfico, temperatura de entrada y temperatura de salida para
el fluido fr´ıo. Los valores correspondientes para el fluido caliente son: W , C, Te , Ts . Los balances t´ermicos expresan el calor transferido del fluido caliente al fr´ıo de la siguiente manera: Q = W C(Te − Te ) = wc(ts − te )
(2.5)
Suponiendo que no hay cambios de fase, y que no hay intercambios con otros medios. Las diferencias de temperatura representan el aumento o disminuci´ on de temperatura de cada fluido al pasar por el intercambiador. Adem´ as el calor transferido puede expresarse por la ecuaci´on de transferencia: Q = U A∆T
(2.6)
En que ∆T = T − t, es la diferencia de temperatura entre los dos fluidos. Pero, como ∆T no es uniforme a lo largo del intercambiador, ¿cu´al es la diferencia de temperatura representativa?. La respuesta
ME43B - Transferencia de Calor
28
es: La diferencia media logar´ıtmica de temperatura, ∆Tlog . Si ∆T1 y ∆T2 son las diferencias de temperatura en los extremos (terminales) del intercambiador, el ∆Tlog se define por: ∆Tlog =
∆T1 − ∆T2 ln(∆T1 /∆T2 )
(2.7)
Con cambios de fase los balances se escriben en forma diferente. Un l´ıquido saturado se evapora a temperatura constante. Para evaporarse debe recibir calor, por lo tanto es un fluido fr´ıo. Un vapor saturado tambi´en se condensa a temperatura constante. Como para condensarse entrega calor, se trata de un fluido caliente. Los balances para un fluido evapor´andose y uno condens´andose se escriben: (2.8)
Q = λc W = λ e w
En que λ son los calores latentes de evaporaci´on/condensaci´on. Se puede demostrar que existen l´ımites termodin´amicos a la transferencia de calor en un intercambiador cualquiera: supongamos conocidos W , C, Te , w, c, te . Entonces, si disponemos de un intercambiador de ´area suficiente, el fluido que tenga el menor producto Caudal × CalorEspecif ico Se podr´ a llevar, desde su temperatura de entrada hasta la temperatura de entrada del otro fluido. Ese fluido ser´ a el que controla el intercambio. El segundo fluido no se podr´a llevar hasta la temperatura de entrada del primero. Entonces, el calor m´ aximo que se puede transferir entre dos fluidos con condiciones de entrada dadas es: Qmax = (W C)min (Te − te )
(2.9)
Se define entonces la ”eficiencia”del intercambio como el calor real transferido dividido por el calor m´aximo que se puede transferir: =
Qre W C(te − Ts ) wc(ts − Te ) = = Qmax (W C)min (Te − te ) (W C)min (Te − te )
(2.10)
Se pueden deducir las siguientes expresiones para las eficiencias de los intercambios en cocorriente: 1 − exp −1 − =
1+
Cmin Cmax
UA Cmin
Cmin Cmax
(2.11)
Y en contracorriente: Cmin UA 1 − exp −1 − C Cmin max = Cmin Cmin UA 1+ C exp −1 − C Cmin max max
(2.12)
En las ecuaciones anteriores C representa el producto W C. Se puede ver que entre los factores de mayor importancia en el c´ alculo de intercambiadores de calor est´a el coeficiente global de transferencia, U .
ME43B - Transferencia de Calor
29
El factor U A/Cmin se designa como ”n´ umero de unidades de transferencia del intercambiador”, N U T . U A representa la capacidad de transferencia por grado de diferencia de temperatura entre los fluidos. Cmin = (W C)min representa la cantidad de calor que hay que transferir por grado de calentamiento o enfriamiento. U debe ser conocido para cada aplicaci´on, y se lo determina sobre la base de los conceptos sobre transferencia de calor por convecci´ on. La determinaci´on de los coeficientes individuales (h) y el coeficiente global (U ) se abordar´ a en la pr´ oxima unidad. El factor U A/Cmin se designa como el ”n´ umero de unidades de transferencia”del intercambiador. Representa el cuociente entre la capacidad de transferencia de calor por grado de diferencia de temperatura entre los dos fluidos (representada por U A), y la cantidad de calor a transferir por grado de calentamiento o enfriamiento (representada por Cmin .)
Figura 2.2: Eficiencia de Intercambiadores en Contracorriente
2.3.
Deducci´ on de la Diferencia de Temperatura Media Logar´ıtmica Se trata de representar la ecuaci´ on de transferencia (que relaciona Q, U , A, y T sobre la base de la
diferencia de temperatura representativa para todo el intercambiador. Ecuaciones de transferencia: Para el intercambiador completo: Q = U A∆T
(2.13)
ME43B - Transferencia de Calor
30
Para una franja dA: dQ = U dA∆T
(2.14)
dQ = W CdT = wcdt
(2.15)
Ecuaciones de balance:
De donde: dT =
dQ WC
(2.16)
dt =
dQ wc
(2.17)
Y
Por lo tanto:
d(T − t) = dQ
1 1 − WC wc
= dQF
(2.18)
O bien d(∆T ) = dQF
(2.19)
∆T2 − ∆T1 = QF
(2.20)
Se integra para todo el intercambiador
Se toma d(∆T ) = dQF y se divide por ∆T =
dQ U dA
(2.21)
d(∆T ) dQF = dQ = F U dA ∆T U dA
(2.22)
Esto se integra para dar: ln
∆T2 ∆T1
De donde ln F =
= FUA
∆T2 ∆T1
UA Este F se reemplaza en 2.20 dando, despu´es del despeje: Q = UA
(2.23)
∆T2 − ∆T1 ln (∆T2 /∆T1 )
(2.24)
(2.25)
Que es la ”ecuaci´ on de transferencia” o ”ecuaci´on de dise˜ no”de un intercambiador. Se llama as´ı porque su uso permite determinar el ´ area del intercambiador.
ME43B - Transferencia de Calor
2.4.
31
Convecci´ on Este modo de transferencia de calor se realiza por de movimiento de un fluido. En la conducci´on pura el
calor se transfiere de mol´ecula a mol´ecula. En la convecci´on el movimiento macrosc´opico del fluido transporta calor que se suma a la conducci´ on. El movimiento implica mezcla, por lo cual un flujo unidireccional no puede considerarse como convectivo. Luego, la convecci´on implica la existencia de dos o m´as componentes de velocidad.
2.4.1.
Como Procede la Convecci´ on
Una superficie a temperatura Tp > T0 (ambiente) transferir´a calor por conducci´on directamente a las mol´eculas de fluido m´ as cercanas (figura 2.3). El campo de flujo de velocidad V , transporta las mol´eculas calentadas lejos de la superficie. Esta combinaci´on de conducci´on y movimiento de fluido es lo que llamamos convecci´on.
Figura 2.3: Convecci´on El calor transferido en las direcciones x e y se puede representar por las ecuaciones: qx = −k
∂T + ρCu (T − T0 ) ∂x
(2.26)
qy = −k
∂T + ρCv (T − T0 ) ∂y
(2.27)
Se suma a la conducci´ on la componente convectiva del flujo de calor, evaluada con referencia a la temperatura ambiente (T0 ). k es la conductividad del fluido. La hip´otesis de fluido ideal no es u ´til en transferencia por convecci´ on. Para un fluido viscoso, en la superficie habr´a siempre una velocidad igual a la de la superficie. Si ´esta est´ a en reposo, la velocidad es nula (u=v=0). El calor transferido de la superficie al fluido es el flujo de calor superficial normal a la superficie. Se expresa, por el lado del fluido, por: qy = −k
∂T (y = 0) ∂y
Se puede ahora definir en forma rigurosa el coeficiente convectivo, h:
(2.28)
ME43B - Transferencia de Calor
32
h=
−k ∂T∂y(0) qy = ∆T (Tp − T0
(2.29)
La ecuaci´ on anterior expresa que para calcular el coeficiente convectivo, es necesario evaluar: el campo de temperatura en el interior del fluido, y luego su gradiente normal al nivel de la superficie. La conductividad t´ermica usada es la del fluido. Se necesita adem´as conocer la diferencia de temperatura entre la pared y el fluido lejos de ´esta. Para conocer el campo de temperatura en un fluido en movimiento es necesario saber cual es el campo de velocidades con que se mueve. El campo de velocidad est´a gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad.Ecuaciones generales en su forma incompresible bidimensional (velocidades u, v, presi´ on p, temperatura T ): 1. Continuidad:
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
2. Momentum x:
ρ
∂u ∂u ∂u +u +v ∂t ∂x ∂y
∂v ∂v ∂v +u +v ∂t ∂x ∂y
(2.30)
∂p +µ =− ∂x
∂p +µ ∂y
∂2u ∂2u + 2 ∂x2 ∂y
∂2v ∂2v + 2 2 ∂x ∂y
+ ρgx
(2.31)
+ ρgy
(2.32)
3. Momentum y: ρ
=−
4. Energ´ıa t´ermica: ρC
∂T ∂T ∂T +u +v ∂t ∂x ∂y
=k
∂2T ∂2T + 2 ∂x ∂y 2
+ µφ
(2.33)
En la u ´ltima ecuaci´ on, φ es la funci´on ”disipaci´on viscosa” que representa el calor generado por el roce interno del fluido. φ=2
∂u ∂x
2
+
∂v ∂y
2 !
+
∂v ∂u +v ∂y ∂x
2 (2.34)
En las ecuaciones de movimiento est´an, de izquierda a derecha, los t´erminos de aceleraci´on (o inercia), el gradiente de presi´ on, los t´erminos viscosos, y las fuerzas en el volumen. En la ecuaci´on de la energ´ıa, o ecuaci´on de calor, tenemos los t´erminos convectivos, los t´erminos conductivos y la disipaci´on. El sistema de ecuaciones anterior, con condiciones de borde apropiadas, permite determinar los campos de velocidad y temperatura, y como subproductos, los: Coeficientes de fricci´ on (del campo de velocidades). Flujos de calor y coeficientes convectivos (a partir del campo de temperatura).
ME43B - Transferencia de Calor
2.4.2.
33
Forma Adimensional de las Ecuaciones
Como en Mec´ anica de Fluidos, la transferencia de calor se puede caracterizar por n´ umeros o grupos adimensionales.Para encontrar estos n´ umeros, veremos la forma adimensional de las ecuaciones. Pasos de la adimensionalizaci´ on: 1. Se eligen magnitudes de referencia para las diferentes variables: para convecci´on forzada. Estas son: L, longitud significativa del cuerpo (para coordenadas) U0 , velocidad del flujo libre o velocidad de gasto (para velocidades) ρU02 (para presiones) Tp − T0 (para temperaturas) 2. Se definen las variables adimensionales en funci´on de las dimensionales y las magnitudes de referencia: X = x/L, Y = y/L, Z = z/L, U = u/U0 , etc. 3. Se despejan las variables dimensionales de estas definiciones. 4. Se sustituyen las variables dimensionales as´ı expresadas en las ecuaciones diferenciales. 5. Se reducen factores, y las ecuaciones adimensionalizadas con estas magnitudes de referencia, quedan de la siguiente manera, en que se han omitido los t´erminos de fuerzas en el volumen y el t´ermino transiente: a) Continuidad: ∂U ∂V + =0 ∂X ∂Y
(2.35)
b) Momentum x: ∂U ∂U ∂P U +V =− + ∂X ∂Y ∂X
∂V ∂V ∂P U +V =− + ∂X ∂Y ∂Y
1 Re
1 Re
∂2U ∂2U + ∂X 2 ∂Y 2
∂2V ∂2V + ∂X 2 ∂Y 2
(2.36)
c) Momentum y: (2.37)
d ) Energ´ıa t´ermica: ∂Θ ∂Θ U +V = ∂X ∂V
1 ReP r
∂2Θ ∂2Θ + ∂X 2 ∂Y 2
+
E Φ Re
(2.38)
Aparecen los grupos adimensionales: Re = U0 ρL/µ, n´ umero de Reynolds, raz´on entre fuerzas de inercia y viscosas, indicativo del r´egimen de flujo, laminar o turbulento. P r = µC/k = ν/α, n´ umero de Prandtl, relaciona las propiedades de transporte de cantidad de movimiento y de calor. E = U02 /C(Tp −T0 ), n´ umero de Eckert, raz´on entre energ´ıa disipada por roce viscoso, y calor transferido por convecci´ on
ME43B - Transferencia de Calor
34
En la mayor´ıa de las aplicaciones la disipaci´on viscosa es despreciable. En consecuencia, la distribuci´on de temperatura, su gradiente superficial, y el coeficiente convectivo depender´an de los adimensionales Re y P r: h = f (Re, P r) El coeficiente convectivo h puede ser adimensionalizado con la dimensi´on del cuerpo y la conductividad t´ermica del fluido, definiendo el n´ umero de Nusselt, N u: hL = f (Re, P r) (2.39) k El n´ umero de Nusselt tiene la misma forma que el Biot, Bi, pero en N u la conductividad usada es la Nu =
del fluido.
2.4.3.
Flujo Externo: Capa L´ımite Laminar Sobre Placa Plana
La resoluci´ on directa anal´ıtica de las ecuaciones de convecci´on es posible en muy pocos casos. El problema siguiente es un caso representativo de flujo externo sobre superficies s´olidas. Un flujo viscoso a velocidad y temperatura uniforme (U0 , T0 ) incide paralelo a una pared s´olida de largo L a temperatura Tp >T0 . Se generan gradientes de velocidad y temperatura en el fluido en la vecindad de la superficie. Si el n´ umero de Reynolds del flujo (U0 ρL/µ) es alto, estos gradientes existen en franjas estrechas adyacentes a la pared, de espesores δ y δt . Estas zonas se denominan ”capas l´ımite” din´amica y t´ermica respectivamente. El peque˜ no espesor de estas capas implica: L >> δ y L >> δt . La superficie impone velocidad axial nula (u=0) en la superficie s´olida a este flujo de velocidad inicialmente uniforme. Esto causa que parte del fluido migre transversalmente. Se define entonces una componente de velocidad transversal v, que es de peque˜ na magnitud frente a U0 . Los gradientes ∂u/∂y y ∂T /∂y son grandes en las capas l´ımite, debido a que la superficie impone diferencias grandes de velocidad y temperatura entre la pared y el flujo libre, y estas diferencias deben resolverse en los peque˜ nos espesores δ y δt . Las diferencias axiales de velocidad y temperatura, en cambio, se desarrollan en longitudes grandes (L >> δ y L >> δt ), con lo cual los gradientes ∂u/∂x y ∂T /∂x son extremadamente peque˜ nos respecto a ∂u/∂y y ∂T /∂y respectivamente. De las consideraciones anteriores se desprende que los t´erminos de inercia no pueden despreciarse, y tampoco los t´erminos convectivos. La ecuaci´ on de movimiento en v aplicada fuera que la capa l´ımite indica que (∂p/∂y)=0 en esa zona, debido a que en ella la velocidad v es nula. Dado que la placa genera velocidades transversales v muy peque˜ nas, el gradiente de presi´ on normal a la superficie (∂p/∂y) dentro de la capa l´ımite es despreciable, y se considera tambi´en nulo. Esto conduce a que el gradiente axial de presi´on (∂p/∂x) sea el u ´nico significativo, y es impuesto por el flujo externo. En las condiciones de flujo libre, sin embargo, en que el flujo se mueve sin inercia ni roce viscoso, ∂p/∂x debe ser forzosamente cero, condici´on que se extiende al interior de la
ME43B - Transferencia de Calor
35
capa l´ımite. Con todas estas consideraciones, las ecuaciones de capa l´ımite en r´egimen permanente se pueden escribir: ∂u ∂u ∂2u +v =v 2 ∂x ∂y ∂y
(2.40)
∂T ∂T ∂2T +v =α 2 ∂x ∂y ∂y
(2.41)
u
u
Con α=k/(ρC) y ν = µ/ρ. Las condiciones de borde son: u=v=0, T =Tp en y=0, ∂u ∂y =0
y
∂u ∂y
en y → ∞.
u=U0 y T =T0 en x=0. Dado que en estas ecuaciones no existen segundas derivadas en la direcci´on x, los campos de velocidad y temperatura dependen de las condiciones aguas arriba (x=0), y no existen condiciones de borde de salida para la placa. A estas ecuaciones se agrega la de continuidad, con lo cual el sistema es capaz de entregar las dos componentes de velocidad y la temperatura: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
(2.42)
Las condiciones en el infinito pueden expresarse tambi´en en t´erminos de los espesores, es decir: ∂u ∂y =0, ∂T ∂y
en y=δ
=0, en y=δt
Se resolver´ a el problema de capa l´ımite laminar sobre placa plana, para determinar las distribuciones de velocidad y de temperatura, y el flujo de calor desde la placa al fluido. Se utilizar´a el m´etodo integral. Este m´etodo es el de mayor simplicidad y entrega soluciones bastante aproximadas a las obtenidas por el m´etodo exacto (”m´etodo de similitud”). Se considera propiedades f´ısicas constantes, no dependientes de la temperatura. Esto permite resolver el problema din´amico independiente del problema t´ermico. Pasos del m´etodo integral. Problema din´ amico: 1. Se expresa el perfil de velocidad en la C.L. mediante un polinomio en y: u(x, y) = C0 + C1 y + C2 y 2 + C3 y 3
(2.43)
En que los coeficientes son funciones de x. El car´acter aproximado del m´etodo se debe a expresar el perfil con solo 4 t´erminos. Aplicando las condiciones se obtienen esos coeficientes: u=0 en y=0 implica C0 =0. Por otra parte, ∂u/∂y=0 en y=δ implica: 0 = C1 + 2C2 δ + 3C3 δ 2
(2.44)
ME43B - Transferencia de Calor
36
En y=δ, la velocidad en la capa l´ımite alcanza el valor correspondiente al flujo libre: U0 = C1 δ + C2 δ 2 + C3 δ 3
(2.45)
Se necesita una condici´ on m´ as. Esta se obtiene aplicando la ecuaci´on de movimiento en y=0, en que u=v=0. 0=
∂2u = 2C2 δ 2 + 6C3 · 0 ∂y 2
(2.46)
Lo que implica que C2 =0. Despejando las constantes se obtiene el perfil de velocidad siguiente: 3 y 1 y 3 u(x, y) − = U0 2 δ 2 δ
(2.47)
2. Se obtiene la ecuaci´ on integral de cantidad de movimiento integrando la ecuaci´on diferencial de movimiento seg´ un x respecto a y entre y=0 e y=δ: d dx
δ
Z
(U0 − u)udy = v
0
∂u ∂y
(2.48) y=0
La obtenci´ on de esta ecuaci´ on se ver´ a aparte. Substituyendo el perfil de velocidad en la ecuaci´on integral de la energ´ıa se obtiene: d dx
39 (U 2 δ 280 0
=
3 vU0 2 δ
(2.49)
La cual es una ecuaci´ on diferencial para el espesor δ. Si se resuelve la ecuaci´on considerando δ=0 en x=0, se obtiene: δ = 4,64
vx U0
0,5
= 4,64xRex−0,5
Donde Rex =U0 x/ν . Se observa que el espesor crece con
√
(2.50)
x y decrece con aumentos de U0 . Es decir,
la capa l´ımite din´ amica es m´ as delgada, o se ”adhiere m´as” a la superficie a mayores velocidades. Es importante notar que el par´ ametro de flujo (o de r´egimen) en este caso es Rex , el n´ umero de Reynolds local, que tiene un valor para cada posici´on axial. Por lo tanto, se trata de un flujo en desarrollo a lo largo de la direcci´ on x, cuyas caracter´ısticas se modifican continuamente a medida que se avanza seg´ un x. Cuando Rex llega a las cercan´ıas de 5×105 , aparecen inestabilidades que causan la aparici´on de la turbulencia. El esfuerzo de corte al nivel de la pared, τp , se calcula como: τp = µ
∂u ∂y
= y=0
3µU0 2δ
(2.51)
Y el coeficiente de fricci´ on, Cf : Cf =
τp = 0,646Rex−0,5 0,5ρU02
(2.52)
Este coeficiente de fricci´ on disminuye con aumentos de x, lo que se explica por que el gradiente de velocidad en la pared disminuye al aumentar el espesor de la capa l´ımite.
ME43B - Transferencia de Calor
2.4.4.
37
Capa L´ımite T´ ermica
En la situaci´ on descrita, aplicaremos el m´etodo integral para encontrar la distribuci´ on de temperatura y el flujo de calor desde la placa a temperatura Tp hasta el flujo a T0 . La ecuaci´ on de la energ´ıa para la capa l´ımite t´ermica en t´erminos de una temperatura adimensional es: u
∂Θ ∂Θ ∂2Θ +v =α 2 ∂x ∂y ∂y
En que Θ=
(2.53)
T − Tp T0 − Tp
es la temperatura adimensional, que toma valores de 0 en la pared y de 1 en y=δt . Se supone un perfil de temperatura de la forma: Θ(x, y) = C0 + C1 y + C2 y 2 + C3 y 3
(2.54)
En que los C son funciones de x. Con las condiciones: Θ=0 en y=0 Θ=1 en y=δt ∂Θ/∂y=0 en y=δt ∂ 2 Θ/∂y 2 =0 en y=0 Se obtiene el perfil: 3y 1 Θ(x, y) = − 2 δt 2
y δt
3 (2.55)
Ahora, para encontrar el espesor en funci´on de x, es necesario integrar la ecuaci´on de la energ´ıa sobre el espesor de la capa l´ımite t´ermica. Como que se hizo con la ecuaci´on integral de cantidad de movimiento, se obtiene: d dx
Z
δt
(1 − Θ)udy = α
0
∂Θ ∂y
(2.56) y=0
En esta ecuaci´ on se reemplazan los perfiles de velocidad y temperatura, y se realiza la integral. Para hacerlo es necesario considerar dos hip´ otesis: 1. La primera, consiste en suponer que la temperatura de la placa es Tp desde una posici´on x=x0 > 0, siendo T0 para x < x0 . Sin esta suposici´on no se puede integrar la ecuaci´on. 2. La segunda suposici´ on, es que el espesor de la C.L. t´ermica es menor que el de la din´amica. (δt < δ).
ME43B - Transferencia de Calor
38
Definiendo ∆=δt /δ, (raz´ on entre los espesores) y haciendo la integraci´on, se obtendr´a una ecuaci´on diferencial para la raz´ on entre los espesores: d 3 2 3 4 3 α U0 δ ∆ − ∆ = dx 20 280 2 ∆δ
(2.57)
Como ∆ < 1 y 3/280 < 3/20, se descarta el t´ermino de cuarto grado frente al de segundo. Esto permite resolver la ecuaci´ on para ∆. Si se diferencia la ecuaci´on simplificada, se obtiene: U0 10
2δ 2 ∆2
dδ d∆ + ∆3 δ dx dx
=α
(2.58)
De la soluci´ on para δ (obtenida anteriormente) se tiene, para los factores que aparecen en la ecuaci´on anterior: δdδ =
140 ν dx 13 U0
(2.59)
Y 280 νx 13 U0 Haciendo los reemplazos la ecuaci´ on diferencial queda: δ2 =
∆3 + 4∆2
(2.60)
13 α d∆ = dx 14 ν
(2.61)
Que tiene como soluci´ on:
13 α (2.62) 14 ν Con espesor t´ermico nulo en x=0, se obtiene la soluci´on (considerando que P r=ν/α, n´ umero de ∆3 = Cx−3/4 +
Prandtl): x 3/4 1/3 δt 1 0 −1/3 ∆= = Pr 1− δ 1,026 x
(2.63)
δt = 0,975P r−1/3
(2.64)
Para x0 :
Se observa que la raz´ on de los espesores depende s´olo del n´ umero de Prandtl del fluido. A > P r, menor es el espesor de la capa l´ımite t´ermica, ya que d no depende de P r. El coeficiente convectivo se obtiene de su definici´on, combinada con el perfil de temperatura: −k hx =
∂T ∂Y
y=0
Tp − T0
=
3k = 0,332kP r1/3 2 δt
U0 νx
1/2 (2.65)
Adimensionalizando hx obtenemos el No de Nusselt local: N ux =
hx x = 0,332P r1/3 Re1/2 x k
(2.66)
Esta ecuaci´ on expresa en forma adimensional la transferencia de calor local de la placa al fluido. El n´ umero de Nusselt es la forma adimensional del coeficiente convectivo. Existe un valor de N u, h y q para cada valor de x. Los valores medios de h y N u para una longitud L son:
ME43B - Transferencia de Calor
39
k h = 0,664 P r1/3 L
U0 L ν
1/2 (2.67)
hL 1/2 = 0,664P r1/3 ReL (2.68) k El an´alisis anterior es v´ alido para capas l´ımite laminares. La capa l´ımite comenzar´a siempre laminar Nu =
desde el borde x=0 (borde de ataque). El desarrollo de los perfiles de velocidad causa un aumento progresivo del espesor de la capa l´ımite din´ amica, lo que implica que los gradientes de velocidad disminuyen al aumentar x. Disminuyen entonces las fuerzas viscosas en la capa y pasan a dominar las de inercia. Esto causa inestabilidades que llevan a r´egimen turbulento, lo que ocurre en la posici´on x tal que Rex =5 × 105 . Ejemplo: Supongamos que se tiene una placa plana a Tp =50o C. Sobre ella cual pasa un flujo paralelo con T0 =0 o C, U0 =2 m/s. El fluido es aire, para el cual las propiedades f´ısicas son: ρ=1.17 kg/m3 , C=1005 J/kgK, k=0,026 W/mK, µ=1.85×10−5 kg/ms. Queremos determinar el flujo local de calor a 0.5 metros del borde de ataque: Primero obtenemos los grupos adimensionales independientes: µC = 0,715 k U0 ρx = 46200 Rex = µ Pr =
Luego usamos la ecuaci´ on que nos da el grupo adimensional de transferencia de calor (N´ umero de Nusselt) en funci´ on de los grupos adimensionales independientes: N ux =
hx x = 0,332P r1/3 Re1/2 = 6,151 x k
A continuaci´ on obtenemos las magnitudes dimensionales de transferencia de calor, h y q: N ux k = 0,32W/m2 K x qx = hx (Tp − T0 ) = 15,994W/m2 hx =
Las ecuaciones 2.66 y 2.68 tienen la forma de las ecuaciones o correlaciones de origen experimental que se usan para evaluar los coeficientes convectivos en diversas situaciones. El ejemplo mostrado ilustra el uso de estas correlaciones en la evaluaci´ on de flujos de calor en problemas convectivos. El c´alculo procede seg´ un el siguiente esquema: Identificaci´ on de la geometr´ıa y los datos. C´alculo de los grupos adimensionales independientes relevantes C´alculo de Nusselt mediante la expresi´on obtenida para el problema. Desadimensionalizaci´ on del Nusselt, para obtener h y q.
ME43B - Transferencia de Calor
40
Junto con este apunte se env´ıa un archivo excel (planilla con tres gr´aficos) que ilustra diversas caracter´ısticas de la capa l´ımite en un caso particular. Modificando los datos b´asicos, usted puede estudiar la sensibilidad de los espesores y n´ umero de Nusselt ante cambios en U0 , en temperaturas y en las propiedades f´ısicas.
2.5.
Convecci´ on Forzada Interna: Tubos o Canales Cuando un flujo de velocidad uniforme V y temperatura Te ingresa en un tubo o canal rectangular,
se generan capas l´ımite de velocidad y temperatura en las paredes. Al juntarse las capas l´ımite en el eje del tubo, se producen los reg´ımenes din´ amicamente establecido y t´ermicamente establecido. Veamos el problema din´amico. Flujo incompresible de propiedades constantes. En la regi´on de r´egimen din´amicamente establecido, la componente radial de la velocidad (v) es cero. Por lo tanto, la ecuaci´on de continuidad implica ∂u/∂z=0. Los t´erminos de inercia se anulan, quedando s´olo los t´erminos viscosos y el gradiente de presi´on: 1 dp d2 u 1 du + = 2 dr r dr µ dz
(2.69)
La velocidad u es nula en r=R y su derivada es nula en r=0 (m´axima velocidad en el eje). Si el gradiente de presi´ on es constante, se obtiene el conocido perfil parab´olico del r´egimen de Poiseuille: r 2 1 dp 2 u(r) = − R 1− (2.70) 4µ dz R La velocidad media o de gasto, V , se eval´ ua como: 1 V = πR2 Con lo cual:
Z
R
2πru(r)dr = − 0
R2 dp 8µ dz
r 2 u(r) =2 1− V R
(2.71)
(2.72)
El factor de fricci´ on, Λ, se define como: Λ=
dp/dz µ 64 = 64 = ρV D Re /D
1 2 2 ρV
(2.73)
El cual permite predecir la p´erdida de presi´on para una velocidad media dada: ∆P =
(Λ/2)V 2 ρL D
(2.74)
Veamos ahora la distribuci´ on de temperatura en la zona de r´egimen din´ amicamente establecido (v=0). Esta responde a la ecuaci´ on siguiente. El t´ermino convectivo axial no puede eliminarse, porque hay una transferencia convectiva de calor en esa direcci´on. Tambi´en hay conducci´on, especialmente radial. Si no hay disipaci´on viscosa, la ecuaci´ on de la energ´ıa se escribe: ∂2T 1 ∂T ∂2T u(r) = + + ∂r2 r ∂r ∂z 2 α ∂T ∂z
(2.75)
ME43B - Transferencia de Calor
41
Para encontrar la distribuci´ on de temperatura, debemos definir las condiciones de borde en la superficie interna del tubo. Se usan las condiciones de temperatura de pared uniforme o de flujo de calor uniforme. Se elegir´a esta u ´ltima por su mayor simplicidad. Para evaluar la transferencia de calor necesitamos una diferencia de temperatura apropiada. Como la temperatura va aumentando axialmente, necesitamos una temperatura media del flujo Tm (z) en cada posici´on axial. La diferencia de temperatura que causa el flujo de calor es, entonces, Tp (z)-Tm (z). Definici´on de Tm : RR Tm (z) =
0
T (r, z)u(r)2πrdr RR u(r)2πrdr 0
(2.76)
Esta representa la temperatura ”de mezcla” del fluido en una secci´on z. Ahora, con la condici´on de flujo uniforme q0 en la pared, se puede demostrar que Tm crece linealmente con z. Esto se obtiene del siguiente balance de calor: q0 πDz = W C(Tm (z) − Te )
(2.77)
Despu´es de una zona de entrada, la temperatura de pared tambi´en crece linealmente con z. Esto se deriva de: 1. El flujo es uniforme seg´ un z. 2. El perfil de velocidades es el mismo en dos estaciones separadas por una cierta distancia seg´ un z. Para que se cumpla 1, teniendo en cuenta 2, es necesario que la pared aumente su temperatura a la misma tasa que la media, es decir, las curvas de Tp y Tm vs. son paralelas. Ahora, si dTp /dz y dTm /dz son iguales, tambi´en ser´ an iguales a dT /dz, la derivada axial de temperatura en cualquier posici´on radial. Por lo tanto, la derivada de temperatura en el t´ermino convectivo es constante y se obtiene una ecuaci´on diferencial ordinaria. Se suprime tambi´en el t´ermino conductivo axial. Esta ecuaci´on es: u(r) dTm d2 T 1 dT = + α dz dr2 r dr Reemplazando el perfil de velocidad y arreglando, se obtiene: r 2 d dT r = Ar 1 − dr dr R Con: A=
2V dTm = cte α dz
(2.78)
(2.79)
(2.80)
Las condiciones son: dT /dr=0 en r=0 y T =Tp (z) en r=R. Resolviendo esta ecuaci´ on se obtiene: Tm (z) − Tp (z) = −
11 AR2 48 2
(2.81)
ME43B - Transferencia de Calor
42
Dado que el flujo de calor en la pared es kdT (R)/dr y dT (R)/dr = AR/4, resulta: h=
q kAR/4 = 11 AR2 Tp − Tm 48 2
(2.82)
48 k 11 D
(2.83)
h= De donde:
hD 48 (2.84) = = 4,364 k 11 Entonces, el n´ umero de Nusselt en un tubo en r´egimen laminar establecido no depende de Re ni de Nu =
P r. ¿Desmiente esto nuestra conclusi´ on anterior de que N u=f (Re, P r)? No, porque en este caso no hay condiciones realmente convectivas (v=0). A diferencia del caso de capa l´ımite, ahora tenemos convecci´ on axial, pero solo conducci´ on radial. El perfil de Nusselt en un caso similar (Tp cte) se muestra en la Figura:
Figura 2.4: Variaci´on Axial de Nusselt a Tp Uniforme
2.5.1.
Flujo en Tubos o Canales
Se acaba de concluir que, para regiones alejadas de la entrada, en un tubo con flujo laminar, y flujo de calor uniforme en la pared, el n´ umero de Nusselt basado en el di´ametro es constante e igual a 4.364. Similar resultado se obtiene con temperatura de pared uniforme, en cuyo caso N u=3.66. En ambos casos, a la entrada las condiciones son similares a las de capa l´ımite, es decir, t´erminos de inercia y convectivos significativos. En la regi´ on de entrada, el n´ umero de Nusselt depender´a, por lo tanto, de los n´ umeros de Reynolds y Prandtl. En una capa l´ımite, el coeficiente convectivo local decrec´ıa desde el borde de ataque.
ME43B - Transferencia de Calor
43
Esto ocurre tambi´en a la entrada de un tubo. Adimensionalizando este h decreciente con una longitud fija (el di´ametro D), el n´ umero de Nusselt resultante (N uD =hD/k) en un gr´afico de N uD versus z, presenta una zona decreciente y luego una zona de valor constante. Se han obtenido expresiones emp´ıricas para la longitud de entrada, que son del tipo: z = 0,1ReP r (2.85) R Por lo tanto, a mayor n´ umero de Prandtl m´as se retarda la aparici´on de la zona de n´ umero de Nusselt uniforme. P r tiene valores del orden de 0.05 para metales l´ıquidos, 0.71 para aire, 1.3-1.75 para agua, y de centenas y miles para productos org´ anicos livianos y pesados respectivamente. El aumento en la longitud de la zona de entrada se relaciona con la disminuci´on del espesor de capa l´ımite t´ermica que ocurre al aumentar el P r. Para fines pr´ acticos, interesa obtener un valor medio del n´ umero de Nusselt, el cual se definir´a como: 1 Nu = L
L
Z
N udz
(2.86)
0
En que L es la longitud del tubo. Como N u local depende (en general) de Re y P r, el promedio depender´a de estos par´ ametros, y adem´ as de L. En t´erminos adimensionales, N u = f (Re, P r, D/l) Como resulta dif´ıcil obtener una soluci´on anal´ıtica de las ecuaciones en la regi´on de entrada, la dependencia anterior ha sido llevada a f´ ormula algebraica concreta mediante datos experimentales. La correlaci´on m´as importante ha sido propuesta por Sieder y T ate (1936): N u = 1,86
GD µ
1/3
µC k
1/3
D L
1/3
µm µp
0,14 (2.87)
G es la ”velocidad m´ asica” =V ρ. En la formulaci´on y uso de esta ecuaci´on se debe especificar la temperatura a la cual se eval´ uan las propiedades f´ısicas (que var´ıan con T ). Hay variaci´on axial y radial de las propiedades. La variaci´ on axial se tiene en cuenta evaluando las propiedades a Tm =(Te + Ts )/2. La variaci´on radial, de menor magnitud, tendr´ a efecto s´ olo sobre propiedades muy sensibles a T , como la viscosidad. El u ´ltimo factor (correcci´ on por viscosidad variable) contiene el cuociente entre la viscosidad evaluada a Tm y la viscosidad evaluada a Tp . En ecuaciones como la anterior, los factores de mayor exponente son m´as influyentes. La parte correspondiente a flujo laminar (Re hasta 2100) corresponde a la ecuaci´on anterior. Sigue una regi´on de transici´ on (hasta Re=10000) en que la dependencia de N u con D/L va disminuyendo gradualmente. Para Re > 10000, se tiene la parte turbulenta, en que N u es independiente de D/L. En esa zona, la correlaci´on toma la forma: N u = 0,027
GD µ
0,8
µC k
1/3
µm µp
0,14 (2.88)
ME43B - Transferencia de Calor
44
En r´egimen turbulento, hay una intensa mezcla transversal (torbellinos) pr´acticamente desde la entrada. Por lo tanto, la zona de entrada es muy corta. No influye entonces la raz´on D/L. El exponente de Re se eleva a 0.8, pasando a ser Re el principal factor independiente. En 1933, Dittus y Boelter hab´ıan formulado la siguiente correlaci´ on para flujo turbulento en tubos: N u = 0,023
GD µ
0,8
µC k
n (2.89)
En que n=1/3 para enfriamiento y 0.4 para calentamiento. Esta ecuaci´on, obtenida con fluidos de P r hasta 100 aproximadamente, se usa cuando la viscosidad es baja y su variaci´on es peque˜ na (peque˜ nas diferencias de temperatura pared-fluido). Veremos algunos ejemplos del uso de estas correlaciones. Calentamiento de un fluido de caudal W , temperatura de entrada Te en r´egimen laminar en un tubo de largo L y di´ametro D con temperatura interna de pared uniforme, Tp . Determinar la temperatura de salida. En este caso necesitamos una diferencia media de temperatura entre pared y fluido. Usamos la diferencia media logar´ıtmica: El balance de energ´ıa y la ecuaci´on de transferencia:
Q = W C(Ts − Te ) = hA∆Tln
(Tp − Te ) − (Tp − Ts ) = hA ln(Tp − Te )/(Tp − Ts )
(2.90)
Reduciendo t´erminos en la u ´ltima expresi´on, se encuentra: ln(Tp − Te )/(Tp − Ts ) = ehA/W C
(2.91)
h i Ts − Te = (Tp − Te ) 1 − ehA/W C
(2.92)
De donde se obtiene:
Luego, si el ´ area de transferencia es nula, Ts =Te . Si el ´area es ∞, Ts =Tp . Conocidas las condiciones de entrada, propiedades y ´ area, el problema se reduce a determinar h, lo cual se logra mediante una correlaci´on apropiada. Similar razonamiento se puede hacer para el caso de flujo externo cruzado o perpendicular al eje de un tubo que conduce otro fluido. En este caso, se reemplaza h por el coeficiente global de transferencia de calor.
2.6.
Otros Casos de Convecci´ on Forzada Para dise˜ nar dispositivos de transferencia de calor por convecci´on es necesario disponer de una base
de informaci´on sobre coeficientes convectivos. Esta est´a generalmente contenida en correlaciones de origen experimental. Las correlaciones est´ an basadas en las dependencias b´asicas entre grupos adimensionales. El uso de las correlaciones requiere conocer propiedades f´ısicas de los fluidos y su variaci´on con la temperatura. En general, en un problema dado aparecer´a m´as de un coeficiente convectivo a evaluar. Se debe determinar entonces un coeficiente global de transferencia de calor.
ME43B - Transferencia de Calor
45
Factores a identificar en cada problema: Geometr´ıa (dimensi´ on significativa para Re y N u). Flujo interno o externo. R´egimen de flujo (laminar o turbulento) Condiciones de borde t´ermicas (Tp uniforme, q0 uniforme o ninguna de las 2 variables uniforme). Propiedades f´ısicas (C, µ, k y eventualmente ρ). Diferencia de temperatura significativa (∆T ). Herramientas: Correlaciones adimensionales para h (o N u). Balances t´ermicos. Aproximaciones iterativas. Tablas de datos de propiedades. Se har´ a una breve discusi´ on de las situaciones m´as comunes en la pr´actica.
2.6.1.
Convecci´ on Forzada en el Interior de Tubos
Generalmente se toman como base las ecuaciones de Sieder T ate (1936) para r´egimen laminar y turbulento. Estas est´ an afectas a errores de ±20 %. Otra correlaci´on, con errores de ±10 % ha sido propuesta por P etukhov (1963).Se aplica s´ olo a flujo turbulento (Re > 105 ). Nu =
(f /8)ReP r 1,07 + 12,7(f /8)0,5 (P r0,66 − 1)
µm µp
0,14 (2.93)
En que f = (1,82log10 Re − 1,64)−2
(2.94)
Todas las ecuaciones anteriores se aplican a tubos lisos. La influencia de la rugosidad sobre la transferencia de calor en tubos rugosos no est´ a suficientemente documentada. Sin embargo, reconociendo que la rugosidad incrementar´ a la transferencia de calor, el c´alculo de N u suponiendo que se da la condici´on de tubo liso es una medida conservativa.
ME43B - Transferencia de Calor
2.6.2.
46
Canales de Secci´ on no Circular
Las ecuaciones para flujo interno se aplican a estos casos. Para definir Re y N u se usa un di´ametro equivalente, De . El Di´ ametro equivalente se define como: 4A (2.95) P En que A es el ´ area de flujo (secci´ on transversal del ducto) y P es el per´ımetro de transferencia de De =
calor. Para un tubo, el De =D. Para un canal de secci´on cuadrada, De = lado del cuadrado. El concepto de De es muy u ´til para c´ alculos en intercambiadores compactos. Para el espacio entre dos tubos conc´entricos (intercambiador de doble tubo) tenemos 4 di´ametros: Dee , Die (di´ametros exterior e interior del tubo exterior), Dei y Dii (exterior e interior del tubo interior) Entonces, 2 2 Die − Die (2.96) 4Dei En este caso la p´erdida de carga se calcula en base a un Re basado en el Di´ametro Hidr´aulico, en que
De =
P es el per´ımetro mojado. Un ejemplo mostrar´a el c´alculo de un intercambiador de tubos conc´entricos, con flujo turbulento.
2.6.3.
Flujo en el Exterior de Tubos
Los casos m´ as importantes corresponden a flujo perpendicular al eje de un tubo (flujo cruzado). Te , Ts : temperaturas de entrada y salida del fluido interior. Te : temperatura del flujo externo. La temperatura del flujo externo es la misma a ambos extremos del tubo que conduce al fluido interior. Este tiene un caudal W . Por lo tanto, el balance de energ´ıa y la ecuaci´on de transferencia son:
Q = W C(Ts − Te ) = U A∆Tln
(T − Te ) − (T − Ts ) = UA ln(T − Te )/(T − Ts )
(2.97)
De donde se deduce que: h i Ts − Te = (T − Te ) 1 − e−U A/W C
(2.98)
Luego, Ts se aproxima a T a medida que aumenta el ´area. El coeficiente global de transferencia basado en el ´area externa es:
1 1 re ln(re /ri re = + + (2.99) U he k ri hi Correlaciones para he : Dada la naturaleza complicada del proceso de flujo alrededor del un cilindro
en flujo cruzado, no hay soluciones anal´ıticas de este caso. Los resultados experimentales de transferencia de calor se han expresado mediante correlaciones emp´ıricas en funci´on de Re y P r. Las m´as simples son de la forma: hD =C k
U0 D ν
n
P r1/3
(Knudsen y Katz, 1958). C y n se tabulan de la siguiente manera:
(2.100)
ME43B - Transferencia de Calor
47
Re
C
n
0.4-4
0.989
0.33
4-40
0.911
0.385
40-4000
0.683
0.466
4000-40000
0.193
0.618
40000-400000
0.0266
0.805
El conjunto de datos experimentales para Re entre 102 y 107 ha sido correlacionado por Churchill y Bernstein (1977) en una sola ecuaci´ on, de la forma: " 5/8 #4/5 Re 0,62Re0,5 P r1/3 1+ N u = 0,3 + h 2/3 i3/4 282000 1 + 0,4 Pr
(2.101)
Las propiedades se eval´ uan a la temperatura media entre la pared y el flujo libre.
2.6.4.
Haces de Tubos en Flujo Cruzado
Como se vio en un ejemplo, los intercambiadores de gran ´area deben contener varios tubos formando un haz a fin de proporcionar un ´ area de transferencia grande en un espacio reducido. Se tienen dos disposiciones posibles para los tubos de un haz: en l´ınea y alternados. Para ambos casos se definen los espaciados Sp (paralelo al flujo) y Sn (normal al flujo). Se adopta una correlaci´on simple, de la forma de la de Knudsen y Katz, pero los coeficientes C y n dependen del arreglo. La dependencia se resume en la siguiente tabla (para 10 filas o m´ as): Sp/D
Sn/D 1.25
1.5
2
3
C
n
C
n
C
n
C
n
1.25
0.386
0.592
0.305
0.608
0.111
0.704
0.07
0.752
1.5
0.407
0.586
0.278
0.62
0.112
0.702
0.075
0.744
2
0.464
0.57
0.332
0.602
0.254
0.632
0.22
0.648
3
0.322
0.601
0.396
0.584
0.415
0.581
0.317
0.608
0.495
0.571
0.445
0.581
En l´ınea
Alternados 0.9 1
0.552
0.558
1.25
0.575
0.556
0.561
0.554
0.576
0.556
0.579
0.562
1.5
0.501
0.568
0.511
0.562
0.502
0.568
0.542
0.568
2
0.448
0.572
0.462
0.568
0.535
0.556
0.498
0.57
3
0.344
0.592
0.395
0.58
0.488
0.562
0.467
0.574
Para un n´ umero de filas menor que 10, se multiplican los coeficientes obtenidos por la tabla anterior, por los factores de la siguiente tabla: hN/h10.
ME43B - Transferencia de Calor
2.6.5.
48
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E.l.
0.68
0.75
0.83
0.89
0.92
0.95
0.97
0.98
0.99
1
Alt
0.64
0.8
0.87
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
0.99
1
Intercambiadores de Carcasa y Tubos
Est´an formados por un haz de tubos que conduce uno de los fluidos y una carcasa o envolvente (usualmente cil´ındrica) por la cual circula el segundo fluido. Estos intercambiadores se pueden usar para pr´acticamente cualquier intercambio entre dos fluidos, incluyendo aquellos con cambio de fase. En l´aminas se presentan las configuraciones geom´etricas de los intercambiadores de carcasa y tubo m´as importantes. El flujo en los tubos no presenta problemas para determinar los coeficientes convectivos. Para el flujo en la carcasa, la configuraci´ on es m´ as complicada, y requiere nuevas correlaciones. El flujo del fluido en la carcasa no es paralelo al haz de tubos. Para aumentar el coeficiente de transferencia, se usan baffles o cortacorrientes que, bloquean parte de la secci´ on transversal para el fluido en la carcasa e inducen en ´este un movimiento alternante. El flujo es entonces una combinaci´on de flujo cruzado y paralelo con respecto al haz. Los baffles son segmentos circulares con perforaciones para dejar pasar los tubos. Las l´aminas ilustran los diferentes tipos de carcasas y cabezales. Pueden combinarse carcasas y cabezales en infinidad de formas. Veremos con mayor detenci´ on tres tipos comunes: Intercambiador 1-1: Un paso por la carcasa, un paso por los tubos. Estos pueden hacerse funcionar en contracorriente. Intercambiador 1-2: Un paso por la carcasa, dos pasos por los tubos. El haz de tubos est´a dividido en dos, permitiendo el retorno del fluido, con entrada y salida de ´este por el mismo terminal. Esto hace que una parte del haz est´e en contracorriente y la otra en cocorriente. Evaporador tipo kettle: Un haz de tubos sumergido es calentado por alg´ un medio (por ejemplo vapor en condensaci´ on). El fluido que moja los tubos se evapora (ebullici´on). La carcasa est´a considerablemente expandida para dejar espacio para la separaci´on de vapor y l´ıquido. M´ etodo de Kern Para Determinar Coeficientes Convectivos en Carcasas La determinaci´ on de coeficientes convectivos para el fluido del lado de la carcasa, la realiza Kern mediante la siguiente ecuaci´ on, obtenida mediante extensos conjuntos de datos industriales: hDe = 0,36 k
De G µ
0,55 Pr
0,33
µ µp
0,14 (2.102)
Para valores de Re entre 2000 y 107 . Para aplicar esta ecuaci´on debe tenerse en cuenta que el flujo en carcasas es un flujo parcialmente cruzado con respecto al haz de tubos y parcialmente paralelo al haz. Ambas caracter´ısticas del flujo influyen sobre los coeficientes de transferencia. Para determinar la velocidad m´asica G se considera el flujo cruzado. G=W/A en que W es el caudal m´asico total y A es el ´area de flujo. Esta ´area de flujo para flujo cruzado, se define como el ´area libre que queda en el espacio definido por dos baffles consecutivos en el plano medio horizontal de la carcasa. El ´area total de esta zona es Ls DI , en que Ls
ME43B - Transferencia de Calor
49
es el espaciado entre baffles y DI , el di´ ametro interno de la carcasa. Solo parte de esta area est´a disponible para el flujo. Si el di´ ametro exterior de los tubos es d0 y la distancia entre ejes de tubos es P , entonces el ´area de flujo ser´ a: (P − d0 ) (2.103) P En cambio, para determinar el di´ ametro equivalente, De , se usar´a la noci´on de flujo paralelo al haz A = Ls DI
de tubos. En las figuras adjuntas se muestra la configuraci´on unitaria de los arreglos cuadrado y triangular. El di´ametro equivalente se define en ambos casos como: De = 4
A1 pm
(2.104)
En que A1 es el ´ area achurada y pm es el per´ımetro mojado de los sectores circulares que limitan el ´area considerada. Para arreglo cuadrado tenemos, en consecuencia: A1 = P 2 − π
d20 4
pm = πd0
(2.105)
(2.106)
Para arreglo triangular: r A1 = P
2
3 d2 −π 0 4 8
(2.107)
d0 (2.108) 2 Diferencia Real de Temperatura en Intercambiadores de un Paso por la Carcasa y pm = π
N´ umero Par de Pasos por los Tubos La diferencia real de temperatura, ∆T se calcular´a de la siguiente manera: ∆T = ∆Tlog FT
(2.109)
En que ∆Tlog es la diferencia de temperatura que existir´ıa si los fluidos se dispusieran en contracorriente y FT es un factor de correcci´ on que da cuenta del hecho de que los fluidos se cruzan parcialmente en contracorriente y parcialmente en cocorriente en un intercambiador 1-2. FT es siempre menor que 1 ya que la disposici´ on contracorriente es la que proporciona la m´axima diferencia media de temperatura en un intercambiador. Para intercambiadores de un paso por la carcasa, y n´ umero par de pasos por los tubos, Kern entrega una relaci´on anal´ıtica para calcular FT en funci´on de las temperaturas terminales. Sea: R=
T1 − T2 t2 − t1
(2.110)
S=
t 2 − t1 T 1 − t1
(2.111)
ME43B - Transferencia de Calor
50
T designa a las temperaturas del fluido en la carcasa y t a las del fluido en los tubos. R representa la raz´on de los productos W C para los dos fluidos, y S es la raz´on entre el calor real transferido en el intercambiador, y el m´ aximo calor que termodin´amicamente ser´ıa posible transferir entre esos dos fluidos con temperaturas de entrada y caudales dados. El factor S se asimila entonces a la noci´on de ”eficiencia del intercambiador de calor”. En funci´ on de ´estos par´ametros, √ FT =
R2 + 1ln [(1 − S)/(1 − RS] h i √ R2 +1) √ (R − 1)ln 2−S(R+1− 2−S(R+1+ R2 +1)
(2.112)
Se recomienda no usar aquellas disposiciones de tubos que generen valores de FT inferiores a 0.8 (Para no reducir demasiado la diferencia de temperatura). Para m´as de 1 paso por la carcasa, deben utilizarse gr´aficas de FT que aparecen en la mayor´ıa de los textos de transferencia de calor.
Cap´ıtulo 3
3.1.
Procesos de Cambio de Fase: Ebullici´ on y Condensaci´ on Conceptos necesarios:
Curva de saturaci´ on o curva de presi´ on de vapor de una sustancia pura: A cada presi´on, existe una temperatura en que las dos fases l´ıquido y vapor coexisten. La temperatura en esa curva es el ”punto de ebullici´ on” del l´ıquido a la presi´on considerada. Calor latente de evaporaci´ on/condensaci´ on: Es la diferencia entre las entalp´ıas espec´ıficas de las fases l´ıquido-vapor en estado de saturaci´on. En los puntos de la curva de saturaci´on, un fluido s´olo puede entregar energ´ıa mediante condensaci´on y recibirla mediante evaporaci´on. En la fase l´ıquida, fuera de la curva de saturaci´ on, el l´ıquido est´a subenfriado. Tambi´en fuera de esa curva el vapor est´a sobrecalentado. La transferencia de calor hacia o desde los fluidos en esos estados se realiza con variaci´on de temperatura (calor sensible). Punto cr´ıtico: Para cada fluido puro existe un estado (T,P) en que las fases vapor y l´ıquido son indistinguibles. Por lo tanto, el calor latente de evaporaci´on es cero en ese estado. Los gases ”permanentes”(aire, etc) est´ an en estado supercr´ıtico. Evaporaci´ on: Paso de una sustancia de la fase l´ıquida a la fase vapor. Condensaci´ on: Paso de una sustancia de la fase vapor a la fase l´ıquida. La evaporaci´ on se puede producir de varias maneras: 1. Reducci´ on de la presi´ on ambiente sobre un l´ıquido. (Evaporaci´on instant´anea o flash). Si la presi´on baja a un nivel inferior a la presi´ on de saturaci´on correspondiente a la temperatura inicial del l´ıquido, una parte de ´este se evapora, extrayendo el calor necesario del l´ıquido restante, el cual se enfr´ıa hasta la temperatura de saturaci´ on correspondiente a la nueva presi´on. Este proceso se observa, por ejemplo, a la salida del l´ıquido de una trampa de vapor, y en la v´alvula de expansi´on en un sistema de refrigeraci´on. Si una masa M de l´ıquido se descomprime entre presiones p1 y p2 , con temperaturas de saturaci´on t1 y t2 , el balance de calor se escribe: M xλ = M C(1 − x)(t1 − t2 ) 51
(3.1)
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52
En que x es la fracci´ on m´ asica evaporada. Del balance anterior, esta fracci´on se puede determinar: C∆T C∆T x= 1+ (3.2) λ λ 2. Evaporaci´ on superficial. El aire siempre tiene un contenido de humedad (vapor de agua disuelto). Una masa de agua mantiene la capa de aire inmediatamente adyacente a su superficie en condiciones de humedad m´ axima (100 %). La diferencia entre las humedades de aire en la superficie y en la masa de aire provoca difusi´ on de humedad. Al renovarse la condici´on de saturaci´on en la superficie, se genera una evaporaci´ on continua, la cual extrae calor desde el l´ıquido restante. 3. Ebullici´ on. Esta se produce por aporte de calor a un l´ıquido desde una superficie sumergida. Una vez que el l´ıquido alcanza su temperatura de saturaci´on (o punto de ebullici´on a la presi´on del sistema) el calor entregado por la superficie que est´a a Tp >Tsat , produce burbujas de vapor sobre ´esta. S´olo una peque˜ na parte del vapor se genera sobre la superficie sumergida. Las burbujas formadas agitan el l´ıquido permitiendo la transferencia de calor a ´este. La mayor parte de la evaporaci´ on tiene lugar desde la superficie del l´ıquido. La condensaci´on se produce cuando un vapor saturado se pone en contacto con una superficie a temperatura inferior a la de saturaci´on, cediendo calor a ´esta. El condensado formado tiende a formar una pel´ıcula sobre la superficie. Esta pel´ıcula constituye la principal resistencia t´ermica en un proceso de condensaci´on. La ebullici´on y la condensaci´on son procesos esencialmente isot´ermicos, en lo que respecta al fluido que experimenta el cambio de fase, y mientras se mantiene la coexistencia de ambas fases. Uno de los campos de aplicaci´ on m´ as importantes de estos procesos es el de la refrigeraci´on. El medio a ser enfriado transfiere calor a un fluido refrigerante en estado saturado, el cual se evapora (evaporador). El vapor es comprimido elevando su presi´ on y temperatura, lo cual le permite entregando calor a un fluido auxiliar (agua o aire) en el condensador. El refrigerante en estado l´ıquido a alta presi´on es descomprimido en forma adiab´ atica en una v´ alvula de expansi´on, que lo lleva de nuevo a la temperatura apropiada para la evaporaci´on. En la v´ alvula tiene lugar una descompresi´on, con evaporaci´on instant´anea de parte del l´ıquido.
3.2.
Transferencia de Calor en Ebullici´ on
3.2.1.
Ebullici´ on en Recipientes
Una vez establecido el r´egimen de ebullici´on, la temperatura del l´ıquido ser´a la de saturaci´on (Tsat ) a la presi´on del sistema. Para que exista ebullici´on, la temperatura de la superficie sumergida (Tp ) debe estar algunos grados por sobre Tsat . La diferencia de temperatura es entonces ∆T = Tp − Tsat . Otra condici´ on necesaria para producir ebullici´on es la existencia de microcavidades en la superficie. Las burbujas se forman en estas microcavidades. La figura siguiente ilustra la ”Curva de ebullici´on” para
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agua. Representa la relaci´ on q − ∆T para este proceso. Fue mostrada por primera vez por N ukiyama (1935). Se observan varios reg´ımenes: 1. Convecci´ on natural 2. Ebullici´ on nucleada. Formaci´ on de burbujas en la superficie. 3. Ebullici´ on inestable, en transici´ on. 4. Ebullici´ on estable en pel´ıcula. La forma de la curva est´ a determinada por los diversos mecanismos de transferencia que se suceden al aumentar ∆T o q. La parte de ebullici´ on nucleada est´a descrita por la correlaci´on de Rohsenow (1952). Esta ecuaci´on es: " 0,5 #0,33 σ q Cl ∆T = Csf P rl1,7 λ µl λ g(ρl − ρv )
(3.3)
La obtenci´ on de esta ecuaci´ on es semiemp´ırica, y se basa en los siguientes supuestos: 1. La ebullici´ on es un proceso convectivo que compromete al l´ıquido. Las burbujas provocan la agitaci´on (convecci´ on) desde que se desprenden de la superficie. En este sentido, se trata de una microconvecci´on. La longitud significativa de este proceso convectivo es el di´ametro de la burbuja al desprenderse (Db). Las dimensiones de la superficie calefactora no ejercen, por lo tanto, ninguna influencia. 2. La relaci´ on q − ∆T variar´ a con cada fluido y superficie. Esto est´a dado cuenta por el factor emp´ırico Csf . Valores de Csf : Agua-cobre: 0.013 Agua- acero inoxidable: 0.0132 Agua-platino: 0.013 Hay tablas extensas de este coeficiente en todos los libros de transferencia de calor. La obtenci´on de la ecuaci´on de Rohsenow se basa en los siguientes razonamientos: Como todo proceso convectivo que se efect´ ua en un l´ıquido, la ebullici´ on se puede caracterizar por una ecuaci´on del tipo: N u = CRea P rlb
(3.4)
La convecci´ on es generada por el movimiento de las burbujas. Estas crecen adheridas a la superficie. Durante el crecimiento la agitaci´ on que provocan es escasa. Luego de desprenderse, no pueden seguir creciendo. La longitud significativa es, por lo tanto, el di´ametro medio de las burbujas al desprenderse, Db . El n´ umero de Nusselt se forma con Db y con la conductividad t´ermica del l´ıquido: Nu =
qDb (Tp − Tsat )kl
(3.5)
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La diferencia significativa de temperatura es ∆T = Tp − Tsat . q es el calor total transferido por la superficie al fluido en ebullici´ on. El n´ umero de Reynolds es GDb /µl. G es la masa de vapor generada por unidad de ´area y tiempo sobre la superficie. El calor total q se divide en una parte empleada en generar vapor (qb ) y otra transferida directamente al l´ıquido (ql ), q = qb + ql
(3.6)
En que qb = Gλ. Al crecer G aumenta qb . Adem´as, debido a la mayor agitaci´on causada por un mayor G (mayor n´ umero de burbujas), ql , y luego q tambi´en crecen con G. Entonces: q = C1 Gλ
(3.7)
q C1 λ
(3.8)
Y como consecuencia, G=
C1 es una constante de proporcionalidad. El n´ umero de Reynolds (GDb /µl ) queda expresado por: Re = Por lo tanto:
qDb =C ∆T kl
Ca C1 ∆T = 1 λ C
qDb C1 λµl qDb C1 λµl
(3.9) a
P rlb
(3.10)
P rl1−b
(3.11)
Que se arregla a: qDb λµl
1−a
El u ´nico par´ ametro todav´ıa no determinable es Db . Las fuerzas que act´ uan sobre una burbuja en las fases finales de su crecimiento son: La tensi´ on superficial, que tiende a mantener la burbuja en su puesto, y La fuerza de empuje ocasionada por la diferencia de densidad entre el l´ıquido y el vapor. Esta fuerza tiende a desprender la burbuja. En base a estas dependencias, F ritz (1935) mediante filmaciones de alta velocidad determin´ o un valor m´ as probable para el di´ametro de una burbuja al desprenderse:
σ Db = C2 β g(ρl − ρv )
0,5 (3.12)
σ es la tensi´ on superficial gas-l´ıquido, g la constante de gravedad y β es el ´angulo de contacto de la burbuja con la superficie. El ´ angulo β depende de la naturaleza combinada de la superficie y el fluido. Usando esta expresi´ on para Db se llega a la expresi´on final: " 0,5 #1−a C1 ∆T q σ = Csf P rl1−b λ µl λ g(ρl − ρv )
(3.13)
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Rohsenow hizo experimentos para encontrar el valor de los exponentes, determinando 1-a=0.33 y 1-b=1.7. El coeficiente Csf est´ a tabulado en funci´on de la combinaci´on fluido-superficie. Existen otras correlaciones m´as modernas para este mismo fen´omeno. En particular, la predicci´on de que q ∝ ∆T 3
(3.14)
Es desmentida en muchos estudios, en que se encuentran exponentes a´ un m´as altos. La ecuaci´on de Rohsenow nos permite encontrar ´ ordenes de magnitud de los flujos de calor encontrados en ebullici´on nucleada. Esto se ilustrar´ a con un ejemplo.
3.3.
Condensaci´ on Ecuaci´ on de Nusselt (1916). Condensaci´on de un vapor saturado a Tv sobre un plano inclinado (α)
a temperatura Tp
