Apuntes de Laboratorio de Física III – FCEFyN – UNC

Dr. Eduardo Enrique Bordone

Apuntes De Laboratorio FISICA III – FCEFyN Universidad Nacional de Córdoba Dr. Eduardo Enrique Bordone

INDICE Pág Capítulo 1: Mediciones............................................................................................................................................2 1) Medición ...................................................................................................................................................2 a) Magnitudes Y Cantidades .....................................................................................................................2 b) Los Sistemas Que Intervienen En Una Medición. ..................................................................................2 c) La Apreciación de un Instrumento (abreviación: Ap) ............................................................................2 d) La Estimación de la Incertidumbre de una Lectura (abreviación: Est)....................................................2 e) Caracterización de un instrumento ........................................................................................................3 f) Clasificación de las incertidumbres con las que se miden las cantidades................................................3 (I) Incertidumbres tipo A: (errores aleatorios) ............................................................................................3 (II) Incertidumbres tipo B:...........................................................................................................................3 (i) Errores sistemáticos ..............................................................................................................................4 (ii) Errores por paralaje...............................................................................................................................4 2) Cómo expresar el resultado de la medición ................................................................................................4 3) Mediciones directas ...................................................................................................................................5 a) Haciendo la medición con una única lectura..........................................................................................6 b) Cómo expresar el resultado de la medición con pocas lecturas...............................................................6 Dispersión de las lecturas.................................................................................................................................6 c) Cómo expresar el resultado de la medición con varias lecturas y significado probabilístico....................7 Desviación de una lectura ................................................................................................................................7 Error Cuadrático Medio de las lecturas .........................................................................................................7 4) ¿Cuántas veces debo medir?.......................................................................................................................8 5) Exactitud, Precisión y Calidad de una Medición .......................................................................................9 6) Mediciones indirectas: Propagación de errores.........................................................................................10 7) ¿Cómo saber si dos valores medidos son indistinguibles?.........................................................................11 a) Test de Hipótesis nula .........................................................................................................................11 b) Un criterio aproximado pero mas simple .............................................................................................12 Capítulo 2: Informes ............................................................................................................................................15

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Capítulo 1: Mediciones 1) Medición Es el proceso de comparar una cantidad que se quiere medir con otra cantidad llamada unidad. Esta última cantidad generalmente se encuentra definida internacionalmente con respecto a una unidad patrón, de manera que en todo el mundo el metro, por ejemplo, mide lo mismo para todos.1 a) Magnitudes Y Cantidades Las longitudes en general, las fuerzas en general, las superficies, las masas, los tiempos, son ejemplos de magnitudes. La longitud de una mesa en particular, o el peso de un determinado cuerpo, o la superficie de un cuadrado particular, o la masa de tal cuerpo, etc., son ejemplos de cantidades. La longitud de un cuerpo concreto, determinado es una cantidad; la longitud, en abstracto, sin referirse a ninguna longitud en particular, es una magnitud. La masa de un cuerpo particular es una cantidad de masa; la masa en abstracto, esa propiedad característica de la materia, nombrada así en general, es una magnitud física. b) Los Sistemas Que Intervienen En Una Medición. En el proceso de medir intervienen: un sistema objeto de la medición: la cantidad por medir; un sistema de medición: el equipo o aparato de medición y la teoría sobre la que fundamenta su funcionamiento; un sistema de referencia : la unidad empleada, con su definición y su patrón; el operador, importante e ineludible participante del proceso quien es el responsable de decidir si se han cumplido 1os criterios de operación (o método de medición) para poder entonces, tomar las lecturas en la escala del instrumento. Demos un ejemplo concreto: si se quiere medir la longitud de una pieza con un calibre con vernier de apreciación Ap = 0,1 milímetros, entonces el sistema objeto es la longitud de la pieza; el sistema de medición es el calibre con su vernier y la teoría sobre la que fue construido; el sistema de referencia es el metro; los criterios de medición son: 1) que la pieza esté apoyada de modo que la longitud sea paralela al eje longitudinal del calibre; 2) que la presión no sea excesiva, ni por exceso ni por defecto; 3) que las superficies de la pieza y del calibre estén limpias; 4) que la iluminación de la escala sea correcta; 5) que la posición del observador con respecto a la escala no provoque errores de paralaje; etc. c) La Apreciación de un Instrumento (abreviación: Ap) Es la menor división de la escala de un instrumento. Es una cantidad objetiva porque no depende del observador. Como ejemplo, la cinta métrica cuyo gráfico se presenta, tiene una apreciación Ap = 1mm. d)

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La Estimación de la Incertidumbre de una Lectura (abreviación: Est)

1

Parte de la información presentada en esta sección es extraída del libro “Introducción a las mediciones de laboratorio”, A.P.Maiztegui, R.J.Gleiser, Ed. Guayuqi (1976) 2 Si bien hasta hace poco tiempo los textos hablaban indistintamente de “incerteza”, “error” o “incertidumbre”, en este apunte se siguen las recomendaciones de la Norma IRAM 35050 (2001) 2

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Es el menor intervalo que un observador puede estimar con ayuda de la escala. Es el error que el que mide “estima” que está cometiendo; y como tal, es totalmente subjetivo: distintos observadores con un mismo instrumento pueden tener diferentes estimaciones al medir la misma cantidad. Por ejemplo, un observador trata de medir la longitud de una varilla con una regla. Haciendo coincidir lo mejor que puede el origen de la regla (el cero de la regla) con el origen de la varilla, buscará qué división de la regla coincide con el otro extremo de la varilla. Lo más frecuente es que no coincida ninguna, Y que el extremo de la varilla quede entre dos divisiones de la regla. La mayoría de las veces (como en el segundo dibujo mas arriba), la estimación de la lectura coincide con la apreciación del instrumento (Est = Ap = 0.5 cm). En algunas oportunidades, “el ojo” del observador lo lleva a “arriesgar” una estimación menor que la apreciación del instrumento (Est < Ap). Es el caso de primer dibujo: la regla tiene una apreciación de 1cm, pero el observador estima que está completamente seguro que la lectura es muy cercana a los 9 cm; y que asignarle una incertidumbre de 1cm (la apreciación) es muy grande. Estima, por ejemplo, que puede distinguir perfectamente entre 8.5 cm y 9 cm. Su estimación es, por lo tanto, Est = 0.5 cm. Por último, puede darse el caso de la figura en este párrafo. La apreciación del instrumento es Ap = 0.5 cm, pero el objeto que mido es tan irregular que no puedo estimar mejor que 1cm de incertidumbre; o sea Est = 1 cm (cuando “el ojo” del observador ve peor que la apreciación del instrumento, termina siendo Est > Ap). Esto podría haber ocurrido también debido a que no puedo ver claramente, o a que la escala está mal dibujada... etc. e) Caracterización de un instrumento Al hacer un informe, cuando se cita con qué se mide, es necesario dar las dos características típicas de todo instrumento de medición Apreciación (la menor división de la escala del instrumento) Rango ( intervalo de los posibles resultados que puede dar una medición realizada con ese instrumento: desde el mínimo valor posible de medir, al máximo). Cuando el mínimo valor es cero, solo se dice el valor máximo posible. El rango también es a veces denominado capacidad, escala, alcance o amplitud en diferentes textos. Ejemplos: - Un centímetro de costurera tiene Ap = 0,5 cm y rango 2m - Una balanza de carnicero tiene Ap = 50 g y rango 200g – 15 kg (es habitual leer escrito en la escala: no pesar por debajo de 200 g) f)

Clasificación de las incertidumbres con las que se miden las cantidades (I) Incertidumbres tipo A: (errores aleatorios) Son también llamados “errores al azar” porque no pueden predecirse: no se sabe – por ejemplo – si el próximo valor que mida va a caer un poquito por encima o por debajo del valor promedio de las mediciones realizadas anteriormente. Si bien se puede poner a punto el sistema de medición para que estos errores sean mínimos, no pueden evitarse completamente. Estudiando con qué instrumento, cómo se mide, y conociendo los resultados de haber medido varias veces lo mismo, se puede saber “alrededor de cuánto puede ser que me equivoque al medir de este modo”. Cuando se da el resultado de una medición, además de informar cuánto vale la cantidad medida, se da como información suplementaria ese posible error aleatorio cometido. (Ver mas adelante cómo se expresa el resultado de una medición) (II) Incertidumbres tipo B: Todo lo que no sea del tipo anterior. Por ejemplo: 3

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(i) Errores sistemáticos Se originan por las imperfecciones de los instrumentos o métodos de medición. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o adelanta o en una regla dilatada. Los errores introducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultados siempre en un mismo sentido (en exceso o defecto). Estos errores afectan directamente la exactitud de nuestra medición y son fácilmente corregibles cuando se sabe que existen y cuánto valen. La única forma de detectarlos y corregirlos es calibrar los instrumentos y el método de medición (comparar nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizar una análisis crítico y cuidadoso del procedimiento empleado). Los errores sistemáticos más comunes son los errores de calibración de los instrumentos, y entre estos errores, los siguiente dos tipos: - Error sistemático constante o error de cero: Las mediciones realizadas se corrigen sumando (o restando) a todas ellas una misma cantidad. (Por ejemplo, al utilizar una regla rota a la cual le falta un pedazo y la primera marca comienza en la división “7 cm”; los valores correctos son los de la escala de la regla, restándoles a todos ellos 7 cm) - Error sistemático proporcional o error de escala: Las mediciones realizadas son corregidas multiplicando (o dividiendo) a todas ellas por una constante. (Por ejemplo, en una encuesta donde se “mide” el precio de algunos productos y los resultados están en dólares cuando creemos que nos los han dado en pesos; para corregir este error, todos los precios deben ser multiplicados por un factor de cambio). (ii) Errores por paralaje Son los errores debidos a la mala posición del observador. Por ejemplo, cuando se observa la aguja indicadora de un instrumento con un cierto ángulo de inclinación y no perpendicularmente a la misma. Para evitar este error, muchos instrumentos de aguja poseen un espejo debajo de la misma, debiéndose tomar la medida cuando la aguja y su imagen coincidan, ya que en este momento estaremos mirando perpendicularmente al aparato. Normalmente los errores por paralaje son sistemáticos.

2) Cómo expresar el resultado de la medición Al medir alguna cantidad, a uno le interesaría poder conocer el “valor verdadero” de lo que mide. Si analizamos el significado de la palabra “verdadero” y pensamos, por ejemplo, en las dificultades para definir el tamaño de un átomo, podríamos llegar a la conclusión que el “valor verdadero” no existe. Aún así, nos gustaría dar como información en qué intervalo se encontraría ese “valor verdadero”, de existir. La información del resultado de la medición sería entonces no un valor, sino un intervalo dentro del cual uno espera que se encuentre la cantidad que se mide: Incertidumbre (semiancho del intervalo)

X

(X

X) Valor más probable (centro del intervalo)

Ejemplo: Si se informa que la longitud de una mesa es de (9,03 0,02)m estoy diciendo que la cantidad medida está comprendida entre (9,03 - 0,02)m y (9,03 + 0,02)m, o sea en el intervalo [9,01 ; 9,03]m el valor mas probable de la medición es x = 9,03m y su incertidumbre (error o incerteza) x = 0,2m (lo que se le suma y resta al valor mas probable para encontrar los extremos del intervalo) En lo que sigue del apunte, se verá que los valores de x y x dependen de cuántas veces mida la cantidad que se quiere conocer: Si se mide mas de una vez, x es el promedio de los valores medidos. Existen también diferentes criterios para calcular x según se mida una, pocas o muchas veces3. Como sea, dado que en muchas 3

Cuántas veces hace falta medir para que sean “pocas” o “muchas” lecturas es discutido mas adelante. 4

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oportunidades tanto x como x debe ser calculado, se nos presenta la pregunta: ¿con cuántos decimales escribo el resultado? En realidad, esa pregunta está mal formulada: Supongamos que respondemos que debemos escribir x con dos decimales. ¿Cómo haríamos para expresar el número 0,0020 con dos decimales? Esto nos obliga a cambiar el concepto de “decimales” por el de “cifras significativas”. Cifras significativas: Es lo que queda de un número cuando sacamos los ceros que están de “relleno” (todos los ceros a la izquierda y todos los ceros - que no tienen valor como cifra - a la derecha), de manera que todas las cifras son ciertas excepto la menos significativa, a la derecha, que es la que tiene algún grado de incertidumbre. El concepto de cifra significativa aparece como consecuencia de la medición: en matemática, los números 1,2 y 1,20 son iguales. En física no: Si doy como valor más probable del resultado una medición el número 1,2: significa que no tengo ni idea del valor de las centésimas. Pero si informo que éste es 1,20: significa que sí conozco y he medido el valor de las centésimas. A lo sumo éstas podrán variar según la incertidumbre que informe. En este último caso 1,20 tiene 3 cifras significativas (porque el cero de la derecha no es “de relleno”) Por ejemplo, - si mido la altura de una persona con una regla centimetrada, y obtengo la lectura 1,75m: ese número tiene 3 cifras significativas. Y si lo expreso en múltiplos o submúltiplo (1750mm o 0,00175km) siguen siendo números con 3 cifras significativas, porque los 0 que se agregaron son de relleno. - 12,456 tiene 5 cifras significativas (todas sus cifras son significativas) - 12,456x10-5 = 0,00012456 sigue teniendo las mismas 5 cifras significativas - 0,00040500000 tiene tres cifras significativas (los ceros en el medio son cifras significativas) Reglas para expresar correctamente el resultado de una medición: Cuando sea necesario redondear: si la primer cifra que se descarta es 5 o mayor, se redondea para arriba. Si es menor que 5, se redondea para abajo (en este caso no cambia la última cifra). Ejemplo: Redondear el número 0,03756 con dos cifras significativas. Eso significa cortar el número entre el 7 y el 5 ( 0,037|56 : la última cifra significativa debe ser la de las milésimas). Las cifras que descarto son “56”. Como la primera cifra que descarto es un 5, redondeo para arriba; es decir, el 7 se convierte en un 8. Resultado: 0,038 La incertidumbre debe redondearse para ser expresado con una sola cifra significativa. Esta regla puede modificarse en algunas oportunidades para presentar el error con (a lo sumo) dos cifras significativas. Ejemplo: Si x = 0,00437m entonces debe ser expresado x = 0,004m El valor más probable también debe ser redondeado: se expresa de manera que su dígito menos significativo (el que está a la derecha) es justamente el dígito que es corregido por el error. Ejemplo: Si se calcula x = 2,357m y x = 0,43m para expresar el resultado correctamente se procede del siguiente modo: Primero se aplica la regla anterior: se redondea la incertidumbre a una cifra significativa (queda x = 0,4m). La cifra significativa de la incertidumbre (el 4) está en el lugar de los décimos, y por lo tanto corrige los décimos del valor mas probable (el 3). Por lo tanto el 3 debe ser la última cifra significativa del valor más probable, y debo descartar las cifras 57. Redondeando queda x = 2,4m. El resultado final de la medición es: (2,4 ± 0,4)m. No está mal que la incertidumbre ocupe un lugar superior al de las unidades, pero no es conveniente por claridad. Cuando se dé este caso, se debe emplear la notación científica sacando las cifras no significativas fuera del paréntesis. Ejemplo. Supongamos que x = 2397m y x = 835m. En lugar de escribir el resultado (2400 ± 800)m lo haremos (24 ± 8)x102m

Resumiendo lo mas importante: al expresar el resultado de la medición, el error debe ser redondeado a una cifra significativa y el valor leído debe ser redondeado hasta la cifra que es corregida por ese error. 3) Mediciones directas 5

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a) Haciendo la medición con una única lectura Si bien nunca es conveniente realizar una única lectura de la medición (es sumamente aconsejable realizar al menos una pocas; incluso es mejor realizar muchas para dar significado estadístico al error), sucede a veces que no nos queda mas remedio que conformarnos con ese único valor leído. En tal caso, el resultado se expresa así:

X

(X

Estimación del error (Est)

X) Valor leído

Por ejemplo, al medir la longitud L utilizo un centímetro de costurera cuya Ap = 0.5cm. Estimo que el error que cometo al medir es la misma Ap (o sea Est =Ap) y por lo tanto llego al siguiente resultado: L = (9.0 0.5) cm b) Cómo expresar el resultado de la medición con pocas lecturas. Si mido pocas veces (3 o 5 veces por ejemplo) y no estoy interesado en darle un significado probabilístico cuantitativo a la incertidumbre observada, puede ocurrir que el valor leído sea siempre el mismo, o que mida valores diferentes. Para saber cuán dispersos son los datos, definimos: Dispersión de las lecturas Es la diferencia entre el mayor valor leído Xmax y el menor valor leído Xmin.

Dispersión = Xmax - Xmin De esta manera, al medir pocas veces el resultado se expresa de la siguiente manera:

X Promedio de los valores leídos

(X

X) El mayor entre: la estimación del error de cada lectura la mitad de la dispersión de las lecturas

Ejemplo: Al medir una longitud estimo para cada lectura un error de X=0.1mm. Obtengo los siguientes valores: 2.3mm, 1.9mm, 2.2mm, 2.0mm, 1.9mm. Xmax= 2.3mm Xmin= 1.9mm Dispersión = Xmax - Xmin = (2.3 - 1.9)mm = 0.4mm Error = mayor valor entre la estimación (0.1mm) y la mitad de la dispersión (0.4mm)/2 = 0.2mm Promedio de las lecturas: (2.3 + 1.9 + 2.2 + 2.0 + 1.9)mm / 5 = 2.06mm Resultado final: longitud X = (2.1

0.2)mm donde el error es la mitad de la dispersión de los datos.

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c)

Cómo expresar el resultado de la medición con varias lecturas y significado probabilístico. Para ello necesitamos definir: Desviación de una lectura Cada lectura tiene su propia desviación con respecto al promedio de todas ellas: la resta entre la lectura correspondiente y ese promedio. Desviación de la i-ésima lectura (lectura N° i)

i

Xi

X

Error Cuadrático Medio de las lecturas 2

Se define como

N

1

donde N es el número de lecturas y el símbolo

significa “suma de”. En

otras palabras: se calculan todas las desviaciones, se las eleva al cuadrado a cada una de ellas, se suma los cuadrados calculados, se divide por N-1 y después se saca la raíz cuadrada. 1) Si medimos muchísimas veces (es válida la hipótesis N cercano a infinito)4 En este caso, el error medio cuadrático de las lecturas define un intervalo x con el 68,5% de ,x probabilidad que la próxima lectura que se haga caiga dentro de ese intervalo. De la misma manera, al intervalo x 2 , x 2 le corresponde un 95,4 % de probabilidad, y al intervalo x 3 , x 3 un 99,7%. Ahora bien: si nuestro operador decide comenzar de nuevo a medir la misma cantidad (con el mismo sistema de medición que antes), ¿llegará a obtener el mismo resultado (es decir: el mismo x )? La respuesta es: no. Si el proceso completo de medición se repite un número grande de veces, se obtendrán sucesivos valores medios x1 ,

x2 , x3 … diferentes entre sí pero un mismo valor de . Se define también el error medio cuadrático de los promedios E

E

N

E define un intervalo x E , x E con el 68,5% de probabilidad de que el próximo promedio que se mida caiga dentro de ese intervalo (siempre y cuando sea cierta la hipótesis de N muy grande). Esta es la razón de que muchos autores aconsejen que, cuando se realizan “muchas” lecturas, el resultado de la medición se exprese así:

X

(X

E)

2) Cuando medimos “algunas” N veces Intervalo de confianza del p%: Así se le llama al intervalo alrededor de x al que le corresponde un p% de probabilidad de que el próximo valor medio x medido caiga en ese intervalo. El intervalo definido por E (cuando N es cercano a infinito) es entonces un intervalo de confianza del 68,5%.

4

Para medir “muchas” veces, debo hacerlo hasta que la desviación cuadrática media no cambie (en sus tres primeras cifras significativas) al realizar más lecturas. O sea: cada vez que realizo una nueva lectura, recalculo usando ese último valor medido y compruebo si el valor de ha cambiado o no en sus tres primeras cifras significativas. Si no lo ha hecho, puedo considerar que las mediciones realizadas ya son “muchas” y dejo de medir. Este procedimiento me asegura que los resultados obtenidos tienen significado estadístico (por ejemplo, que hay un 68% de probabilidad que la próxima lectura realizada caiga en el intervalo entre x - y x + 7

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El problema que se plantea es cómo recuperar el significado probabilístico del intervalo definido por la incertidumbre que informamos cuando N no es muy grande. Hacia el año 1908 W. S. Gosset (más conocido por su seudónimo Student) obtuvo la respuesta demostrando que el intervalo

t

(x

N

,x

t

) N es un intervalo de confianza del p%

El parámetro t (denominado t de Student) se tabula para diferentes valores de N y de p en la tabla que se presenta mas abajo. En definitiva, la forma correcta de presentar el resultado de una medición es:

X

(X

t .E )

correspondiente a un intervalo de confianza del p%. En ciencia, es costumbre que cuando no se informa la confianza del intervalo de incertidumbre (el valor de p) , se suponga p = 95%. Ejemplo: Hace algunos años un investigador se dedicó a medir la longitud de la cola “l” en dos especies de ratones. Con el propósito de mejorar la medición, midió varias veces (N=10) la cola de cada animal. Para uno de los animales obtuvo: l1 = 0,065m l2 = 0,063m l3 = 0,060m l4 = 0,061m l5 = 0,064m l6 = 0,062m l7 = 0,063m l8 = 0,064m l9 = 0,063m l10 = 0,062m Exprese correctamente el resultado de la medición realizada utilizando la incertidumbre asociada a un intervalo de confianza del 95%. Solución: N t t t t Utilizando una calculadora científica se obtiene: l= p = 50% p = 90% p = 95% p = 99% 0.0627m El = 10 = 0.000448m l = 0.00141m 2 1 6,314 12,706 63,657 De la tabla obtenemos el valor del t.Student 3 0,816 2,920 4,303 9,925 correspondiente a N=10 y p=95% que vale t = 2,262. 4 0,765 2,353 3,182 5,841 La incertidumbre valdrá entonces l = t.E = 0,001013m. 5 0,741 2,132 2,776 4,604 El resultado final queda expresado de la siguiente 6 0,727 2,015 2,571 4,032 manera: 7 0,718 1,943 2,447 3,707 l (0,063 0,001) m correspondiente a un 8 0,711 1,895 2,365 3,499 9 0,706 1,860 2,306 3,355 intervalo de confianza del 95% 10 0,703 1,833 2,262 3,250 11 0,700 1,812 2,228 3,169 Nota: 12 0,697 1,796 2,201 3,106 13 0,695 1,782 2,179 3,055 1. Observe que al escribir el resultado final con su 14 0,694 1,771 2,160 3,012 error, siempre es conveniente decir si el error 15 0,692 1,761 2,145 2,977 es 16 0,691 1,753 2,131 2,947 La estimación del error realizada por quien 17 0,690 1,746 2,120 2,921 mide 18 0,689 1,740 2,110 2,898 La mitad de la dispersión de los datos 19 0,688 1,734 2,101 2,878 20 0,688 1,729 2,093 2,861 O la desviación cuadrática media de... 30 0,683 1,699 2,045 2,756 (tantas)... lecturas 40 0,681 1,684 2,021 2,704 O la desviación cuadrática media del 60 0,679 1,671 2,000 2,660 promedio de … (tantas) … lecturas, 120 0,677 1,658 1,980 2,617 correspondiente a un intervalo de confianza t-Student para N mediciones y diferentes intervalos de …(p%)… de confianza. 2.

Cuando no se informa del error de un valor citado, se supone que la última cifra significativa puede variar en 1. Ejemplo: En un trabajo se informa que hay 0,33 gramos de azúcar sin mas aclaraciones sobre su error. Este dato se debe entender como (0,33 0,01) gramos de azúcar.

4) ¿Cuántas veces debo medir? 8

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Esta pregunta está a propósito mal formulada. Porque el proceso de medición es uno solo, aunque para hacerlo debamos realizar muchas lecturas y algunos cálculos para expresar el resultado final. Deberíamos haber preguntado: al realizar una medición directa, ¿cuántas lecturas debo tomar? La respuesta es: Nunca una sola (a menos que sea inevitable) Siempre se comienza realizando unas pocas lecturas (3 o 4 por ejemplo) y en función del resultado, decido si continúo midiendo: si la dispersión de las lecturas realizadas es del orden o menor a Est (la estimación del error de una lectura), dejo de medir y expreso el resultado con la incertidumbre igual a Est. Si es mayor, se justifica seguir midiendo hasta que las mediciones sean “muchas” y expresar el resultado con significado estadístico. Si ocurre la segunda situación y decido medir “muchas” veces, debo hacerlo hasta que la desviación cuadrática media no cambie (en sus tres primeras cifras significativas) al realizar más lecturas. O sea: cada vez que realizo una nueva lectura, recalculo usando ese último valor medido y compruebo si el valor de ha cambiado o no en sus tres primeras cifras significativas. Si no lo ha hecho, puedo considerar que las mediciones realizadas ya son “muchas” y dejo de medir. Este procedimiento me asegura que los resultados obtenidos tienen significado estadístico (por ejemplo, que hay un 68% de probabilidad que la próxima lectura realizada caiga en el intervalo entre x - y x + Ejemplo: Al medir el largo de una mesa, se utiliza una cinta métrica de 1mm de apreciación y 2m de rango. Se estima que los errores cometidos son del orden de la apreciación del instrumento (Est = 1mm) y los primeros resultados obtenidos son (todos ellos en m): 1,45 – 1,47 – 1,45 – 1,46 ¿Debo seguir midiendo? Respuesta: Estimación del error de cada lectura Est = 0,001 m Mitad de la dispersión = (1,47- 1,45)m / 2 = 0,001 m Debido a que ambos valores son muy parecidos (en este caso son iguales) dejo de medir. El error será la Est =0,001 m y el valor más probable el promedio = 1.4575 m. Resultado final: (1.456 0,001) m. 5) Exactitud, Precisión y Calidad de una Medición Los errores con los cuales se expresan los resultados de las mediciones son conocidos también con el nombre de errores absolutos. Ellos nos dan una idea de cuán precisa es una medición. Mientras menor es el error absoluto, mayor la precisión. Por lo tanto la precisión de una medición se pone de manifiesto con el error absoluto (son inversamente proporcionales). Al mismo tiempo, se observará que medir el ancho de la provincia y el de una regla requieren diferentes cuidados: para lograr la misma precisión (por ejemplo medir con un error absoluto de 1 milímetro en cada caso) es necesario pensar en una medición de mas calidad al medir la cantidad más grande (cualquiera mide el ancho de una regla al milímetro; pero no cualquiera mide el ancho de la provincia al milímetro). Por ello es que la calidad de una medición se pone de manifiesto con el error relativo (o el error porcentual; también son inversamente proporcionales).

error relativo

error absoluto o, dicho de otro modo: promedio

error porcentual = error relativo x 100 %

er ep

X X X X

100

er

100 %

Es habitual expresar el resultado de la medición acompañado del error porcentual (o relativo, si se prefiere) como forma de resaltar la “calidad” de la medición. Los ejemplos anteriores concluirían con la siguiente expresión: longitud X = (2.1 0.4)mm, ep= 19% masa m = (1.24 0.03) x 103 g, ep= 2.4% (Los errores relativos o porcentuales se expresan con 2 cifras significativas) Por último, el concepto de exactitud solo es aplicable cuando se hace referencia a cuán cercano es el valor medido con respecto al valor verdadero; el cual generalmente no se conoce. Por ejemplo: si tomamos una medida con una regla muy bien calibrada y de una apreciación muy chiquita; pero al leer la medida creemos que la regla está 9

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graduada en cm cuando en realidad marca pulgadas, el resultado podrá ser muy preciso (es reproducible en un intervalo de error muy chico), de buena calidad (el error relativo puede ser también muy chico) pero es inexacto. (En este ejemplo hemos cometido un error sistemático de escala). La exactitud expresa la corrección de una medición y la precisión su reproducibilidad.

6) Mediciones indirectas: Propagación de errores Hay veces que para medir algo debemos primero realizar varias mediciones y luego operar con ellas. Es el caso de las mediciones indirectas. Ejemplo 1: para medir el peso de una moneda con una determinada balanza, se mide el peso de N monedas y al resultado se lo divide por N Ejemplo 2: para determinar la longitud mínima de una cartuchera se mide la longitud de un lápiz y la de un sacapuntas. La longitud buscada es la suma de las otras dos. Ejemplo 3: para medir la velocidad promedio de un auto, se mide la distancia recorrida y el tiempo que demora. Luego se dividen ambas cantidades. En todos los casos, las cantidades medidas directamente estarán acompañadas por su error absoluto y error relativo. Pero ¿Cuál es el error de la cantidad medida indirectamente? Si llamamos W a la cantidad que mido indirectamente, y ésta se calcula a partir de las variables A, B, C… que se miden directamente, se puede ver que la respuesta a la pregunta anterior es:

W

(

W A

A) 2

(

W B

B) 2

(

W C

C ) 2 ...

Una forma mas simple: Cuando W es una función monótonamente creciente o decreciente de cada variable, es posible calcular W (W max W min) / 2 donde Wmax es el valor máximo de W calculado con las variables A,B,C… a las que se les ha sumado o restado su incertidumbre, a fin de maximizar el valor de W. De forma similar, Wmin es el mínimo valor de W calculado con las variables A,B,C… a las que se les ha sumado o restado su incertidumbre, a fin de minimizar el valor de W. El ejemplo 3 anterior nos da la posibilidad de cómo sería usar este método: Supongamos que deseo calcular la velocidad de un móvil con su incertidumbre, cuando se ha medido un desplazamiento del auto X = (307 5)m y el tiempo que demoró en t =(75 2) segundos. La velocidad será de

v

307m = 4.09333333 m/s 75s

Como v es directamente proporcional a X e inversamente proporcional a t, para calcular el máximo posible valor de la velocidad usaré el máximo de X= (307+5)m y el mínimo de t= (75-2)seg.

vmax

307 5 m 75 2 s

4,274 ms y vmin

307 5 m 75 2 s

3,922 ms

v

( 4 , 274 3, 922 ) m 2 s

0,176 ms

0,2 ms

Por lo que el resultado se expresa: Velocidad v = (4.1 0.2) m/s, con ep= 4,9%

Otra forma mas simple: Otra forma mas simple de estimar esa incertidumbre, está dada por las siguientes reglas que permiten establecer una cota superior de la misma Al multiplicar o dividir una cantidad por una constante, su error queda multiplicado o dividido por la misma constante. Esto nos permite solucionar el problema presentado por el primer ejemplo. Supongamos que 100 monedas tienen una masa de m100 = (85 1)g. Cada moneda masará (85/100)g = 0.85g. El error de esta última cantidad lo 10

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obtenemos dividiendo el error de las 100 monedas por el mismo número: 100. El resultado para la masa de una sola moneda será entonces: m = (0.85 0.01)g Al sumar o restar dos cantidades, sus errores absolutos se suman Es el caso del segundo ejemplo. Medimos la longitud del lápiz l 1=(7.2 0.1)cm y la del sacapuntas l 2=(2.5 0.1)cm. De manera que la longitud buscada será L = l1 + l2 = (7.2+2.5)cm = 7.7 cm Y tendrá un error: L = (0.1+ 0.1) cm Y el resultado se expresa: L = (7.7 0.2) cm Al multiplicar o dividir dos cantidades, sus errores relativos se suman Es el caso del tercer ejemplo. Se ha medido la distancia recorrida por el auto en X = (307 5)m y el tiempo que demoró en t =(75 2) segundos. La velocidad será de

v

307m = 4.09333333 m/s 75s

Pero el error no se calcula directamente: lo que sabemos es que su error relativo será la suma de los errores relativos de la distancia y el tiempo. O sea:

v v

X X

t t v

Por lo tanto

5 307

2 = 0.04295331 75

0.04295331 v

0.04295331 4.09333333

m = 0.17582222 m/s s

Por fin, el resultado es:

Velocidad v = (4.1 0.2) m/s, con ep= 4,9% 7) ¿Cómo saber si dos valores medidos son indistinguibles? Frecuentemente tenemos que comparar los resultados de las mediciones efectuadas. ¿Con qué criterio lo hago? a) Test de Hipótesis nula Supongamos que hemos medido una magnitud mediante dos métodos diferentes y que como resultado de dicha medición hemos obtenido dos valores distintos. Nos preguntamos si la diferencia entre ambos valores es significativa. Para abordar este problema partiremos de la siguiente hipótesis: “los valores de ambas mediciones son idénticos”, es decir indistinguibles (a esta suposición se la conoce con el nombre de hipótesis nula). ¿Cuál es el criterio que nos permite decidir, con una cierta confianza (del p% por ejemplo) si la hipótesis nula es correcta o no? La respuesta que la estadística da a este problema es la siguiente: Si x1 y x 2 son los valores medios obtenidos para el conjunto de observaciones realizadas en cada uno de los dos métodos diferentes, y las respectivas desviaciones estándar, y N1 y N2 el número de observaciones realizadas en cada medición, podemos entonces calcular el estadístico t dado por: x1

t P

1 N1

x2

2

1 N2

con

p

N1 1 1 N2 1 N1 N 2 2

2 2

11

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El valor del estadístico t así calculado se lo compara con el valor t´ obtenido de la distribución t-Student (ver Tabla anterior) para la probabilidad p% deseada (tomando N=N1+N2-1). t < t´ la hipótesis nula es correcta (ambos valores son iguales – dentro de los errores experimentales – con una confianza del p%) t > t´ no se puede decir que la hipótesis nula sea correcta. Es necesario analizar el origen de las diferencias entre ambos valores. Ejemplo: El investigador que midió la longitud de la cola “l” de un ratón (ver ejemplo visto anteriormente), repitió al cabo de 4 días las mediciones realizadas, solo que esta vez lo hizo con 15 lecturas. Obtuvo l1 = 0,066m l2 = 0,063m l3 = 0,065m l4 = 0,061m l5 = 0,065m l6 = 0,063m l7 = 0,064m l8 = 0,065m l9 = 0,063m l10 = 0,063m l11 = 0,065m l12 = 0,062m l13 = 0,063m l14 = 0,064m l15 = 0,066m

(0,063 0,001) m correspondiente a un intervalo En la medición anterior había obtenido un resultado l de confianza del 95%. Exprese correctamente el resultado de la medición realizada utilizando la incertidumbre asociada a un intervalo de confianza del 95%. ¿Es posible afirmar que en esos días la cola de ese ratón no ha crecido? Solución: Utilizando una calculadora científica se obtiene:

l = 0.06387m

l=

0.001457m

El =

10

= 0.000376m

De la tabla obtenemos el valor del t.Student correspondiente a N=15 y p=95% que vale t = 2,145. La incertidumbre valdrá entonces l = t.E = 0,00081m. El resultado final queda expresado de la siguiente manera:

l

(0,0639 0,0008) m

correspondiente a un intervalo de confianza del 95% Por último, para comparar los dos valores obtenidos, utilizamos el test de hipótesis nula. Es decir, veremos si podemos asegurar (con una confianza del 95%) que ambas medidas son indistinguibles. De la tabla obtenemos para N=10+15-1=24 e intervalo de confianza p=95%, un valor aproximado de t´ = 2,07 (es aproximado porque no figura N=24 sino 20 y 30, por lo que tuvimos que poner un valor intermedio a los dos) Por otro lado, el estadístico t que debemos calcular (con las ecuaciones que se dan mas arriba) nos da: t = 1,9414 Como t < t´ concluimos que nuestra hipótesis es correcta con una confianza del 95%. La cola del ratón no ha crecido (dentro de los errores experimentales con los que se ha trabajado).

b) Un criterio aproximado pero mas simple Por ejemplo, si tres grupos de alumnos miden la misma cantidad (supongamos la velocidad de caminar) pero encuentran resultados aparentemente diferentes: V1= (4.1 0.2) m/s V2= (4.3 0.2) m/s V3= (4.9 0.3) m/s Aparentemente estos resultados son diferentes porque sus valores medios son diferentes. Pero ¿qué hay con el error?. El error me dice que el verdadero valor medido no es ese promedio, sino que está cercano a él, y me marca una zona dentro de la cual se encuentra: esa zona se llama el intervalo de error. El intervalo de error se obtiene sumando y restando al valor medio el error. Por ejemplo, el intervalo de error de V1 abarca desde (4.1-0.2) m/s hasta (4.1+0.2)m/s. Intervalo de error de V1 Zona de superposición de los intervalos de error de V1 y V2

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4 Intervalo de error de V3

Intervalo de error de V2 12

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En el gráfico anterior se pueden ver los intervalos de error de las tres cantidades medidas. Se observa que los únicos intervalos de error que se superponen son los de V1 y V2. Por lo tanto, se concluye que las cantidades V1 y V2 son iguales. Como V3 no tiene ningún punto de su intervalo de error en común con las otras cantidades, es diferente a ellas. Dos cantidades son iguales si existe una zona de superposición entre sus intervalos de error. Otro Ejemplo Supongamos que deseamos comprobar si la 2ª ley de Newton es cierta. Para ello Cecilia se sube arriba de un carrito que es tirado por una soga. Juan utiliza un dinamómetro para tirar de la soga y conocer al mismo tiempo la fuerza con la que está tirando. Y Manuel, separado de ellos dos, observa y mide la distancia que recorre el carrito y el tiempo que demora; con estos datos hace cálculos y conoce la aceleración. La 2ª ley de Newton dice que F = M.a donde F es la resultante de todas las fuerza aplicadas a un sistema, M la masa del sistema y a su aceleración. Los chicos concluyen que para demostrarla deben comparar F (la fuerza con la que Juan tira del carro) con el producto M.a donde M es la masa de Cecilia y el carro, y a la aceleración medida por Manuel. Se juntan con los siguientes datos: La fuerza que hizo Juan para tirar del carrito: F1 = 110N medida con un dinamómetro que tiene apreciación de 5N. Por lo tanto F1 = (110 5)N. La masa de Cecilia es M1=(47,0 0,7)kg. y la del carrito M2=(53 1)kg La aceleración calculada por Manuel es de a=(1,0 0,2) m/s2. Se trata de comparar F1 con el resultado de hacer (M1 + M2).a Llamemos F2 a esta última cantidad, F2 = M.a (M es la suma de las masas de Cecilia y del carrito). M = M1 + M2 = 47,0 kg + 53 kg = 100 kg El error de M lo obtengo por propagación de los errores de M1 y M2. Como M es la suma de ellos, el error de M será la suma de los errores de M1 y M2 (ver 1.g: los errores son llamados también errores absolutos ) M = M1 + M2 = 0,7 kg + 1 kg = 1,7 kg Redondeando el error a una solo cifra significativa, se concluye que M = (100 2)kg De la misma manera, F2 = M.a = 100 kg

x 1 m/s2 = 100 N

Como F2 se calcula con el producto de estas otras dos cantidades, el error relativo de F2 es la suma de los errores relativos de M y de a:

F2 F2

M M

a a

2 100

0, 2 1

0,22

y por lo tanto F2 = 0.22 F2 = 0.22 x 100N = 22 N Por fin, se trata de comparar F1=(110 5)N con F2=(100 22)N. Los intervalos de error graficados son los siguientes 105 N 78 N

F2

F1

115 N 122 N

Y gracias a que la zona de superposición entre las dos zonas de error existe, se puede afirmar que, dentro de la precisión utilizada en esta experiencia, F1 = F2 . 13

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Observación: Cuando se desea demostrar un hecho conocido, no siempre es posible hacerlo. No llegar a los resultados esperados no siempre quiere decir que no se cumpla una ley. En cambio hay que sentarse a pensar y ver si en realidad es que no se está cumpliendo la “ley” que se quiere demostrar, o está pasando algo no previsto que haga que nuestras hipótesis no sean válidas. Al día siguiente de haber hecho el trabajo al que nos hemos referido, Cecilia, Juan y Manuel se propusieron realizar nuevamente la experiencia con el objetivo de medir mas cuidadosamente todo, y así disminuir los errores de las mediciones realizadas. Hecha nuevamente la experiencia y los cálculos, concluyen que F1=(115 5)N y F2=(84 15)N 110 N F2

69 N

F1

120 N

99 N

Para sorpresa de los tres jóvenes, los intervalos de error no se superponían. Aparentemente habían demostrado que la ley de Newton no se cumple. En realidad, estuvieron de acuerdo en la siguiente conclusión: tal como hemos aplicado la ley de Newton, ésta no se cumple en las condiciones con las que hemos realizado la experiencia. Razonaron que la fuerza que hizo Juan para empujar el carro dio mayor que el producto de masa por aceleración. Y estuvieron seguros de haber medido bien. ¿Qué pudo haber pasado? Revisando el carro observaron que una de las ruedas traseras estaba un poco frenada por un hilo que se había introducido en el rodamiento. Este hecho introduce la presencia de una fuerza de fricción que antes no existía. La hipótesis que falló fue que la fuerza que Juan hizo era la única aplicada al carro. En términos de diagrama de cuerpos libres: Antes: Carro con Cecilia

Ahora:

FR

F1

Carro con Cecilia

F1

Y recordaron que aplicar correctamente la ley de Newton F = M.a significaba incluir en F todas las fuerzas exteriores al sistema que se acelera. Por lo tanto, si ellos conocieran el valor de la fuerza de rozamiento FR podrían ver si se cumple la ley de Newton comparando F1+FR con F2. Esta explicación los satisfizo porque demostró porqué les dio tan grande F1: debía ser suficiente como para acelerar el carro y vencer al mismo tiempo el rozamiento. En estas condiciones, sin medir la fuerza de fricción no podían cumplir con el objetivo de verificar la ley de Newton. Cambiaron el objetivo de su trabajo: Suponiendo que la ley de Newton en válida, calcular la fuerza de rozamiento: F1 + FR = F2

FR = F2 – F1 = 84N – 115 N = -31N

Recordando que en el caso de resta de magnitudes, el error absoluto es la suma de los errores absolutos: FR = F2 + F1 = 5N + 15N = 20 N Concluyeron, por fin, que

FR = (-31 20)N

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Capítulo 2: Informes El informe de cada Trabajo Práctico deberá ser confeccionado en un procesador de textos que permita incluir gráficos, esquemas o dibujos, los que podrán ser realizados con medios informáticos o a mano y posteriormente escaneados. Soporte en papel: Impresión en hoja tamaño IRAM A4 (21 x 29,7 cm.) simple faz, interlineado 1,5. Las páginas deberán estar numeradas, con los márgenes superior, inferior y derecho: 2 cm y margen izquierdo 4 cm. Letra tipo Times New Roman tamaño 12. Presentado en carpeta tamaño A4 con tapa transparente. La redacción se realizará en tercera persona y deberá constar de: 1) En la carátula: a. Título: Debe ser claro, breve, atractivo e informar acerca del objetivo fundamental de la investigación. b. Autores: Nombre de los alumnos que realizan el trabajo. c. Tipo de trabajo: Informe de trabajo práctico de laboratorio (en otros casos podrá ser investigación, monografía, estudio bibliográfico, informe de avance… etc) d. Materia, curso, profesor y fecha. e. Resumen: Describir en forma clara y breve todos los pasos del trabajo. El resumen sirve para dar al lector una idea clara y completa sobre el mismo. Su extensión no debe exceder las 250 palabras 2) Introducción En ella se exponen los antecedentes y razones que motivaron al trabajo, los objetivos, situación problemática, su delimitación e hipótesis (si las hubiera). 3) Marco Teórico (que puede formar parte de la Introducción o tener un título propio) Incluye el análisis y síntesis de la recapitulación bibliográfica, clarificación de los conceptos o definiciones a emplear, identificación de las variables significativas, sus dimensiones y sus relaciones. 4) Materiales y Métodos Diseño de la investigación. Operacionalización de las variables y del universo (si fuese necesario). Técnicas utilizadas. Descripción del experimento o instrumento utilizado. 5) Resultados y análisis Se presentan los resultados obtenidos (recolección y elaboración de los datos), sus errores, tratamiento, análisis de los mismos y discusiones a partir de los resultados obtenidos. 6) Conclusiones Es la parte final del informe científico. Constituye la respuesta que propone el investigador para el problema que originó la investigación de acuerdo con los datos recogidos y la teoría elaborada o aplicada. Debe redactarse en forma sencilla, exhibiendo concordancia con las hipótesis aceptadas. Como proyectos pueden surgir nuevos problemas en base a la investigación realizada. 7) Bibliografía Las referencias bibliográficas se escriben de acuerdo con un modelo utilizado universalmente: Apellido y nombre del autor, año de edición, titulo del libro o revista, lugar, editorial, numero, volumen y pág./s.

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