Aplicaciones Lineales

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Apuntes

Aplicaciones Lineales Ejercicios resueltos

Ximo Beneyto Apuntes Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

PROBLEMAS RESUELTOS APLICACIONES LINEALES 1.Dada la aplicación f : ú3 6 ú² / f(x, y, z) = (x+y-z, 2x+3z):

XB

1.1. Probar que f es una aplicación lineal. 1.2. Hallar el núcleo y la imagen de f.

1.3. Obtener la matriz asociada a f en las BASES canónicas de R3 y R² 1.4. Obtener la matriz asociada a f, en las bases B={(1, 1, 2),(2, 1, 0),(1, 1, 1)} de R3 y B'= {(1, 1),(2, 0)} de ú² 1.1 APLICACIÓN LINEAL.

œ =(x, y, z), =(x', y', z') 0 R3 œ ", ß 0 R

¿ f("@

+ ß@

) = "@ f( ) + ß@ f( ) ?.

Apuntes * f("A

+ $A )= f("A ( x, y, z)+ $A (x',y', z'))= f( "x + $x', "y + $Ay', "z + $z')={ Aplicando la

definición de f} = ( "x + $x' + "y + $y' - ("z + $z'), 2("x + $x') + 3("z + $z')) = = ( "x + $x' + "y + $y' - "z - $z', 2"x + 2$x' + 3"z + 3$z' ) ** "Af( ) + $Af( )= "A f( x, y, z) + $A f(x', y', z' )) = "A (x + y - z, 2x + 3z) + $A (x'+ y'- z', 2x'+ 3z') = = ( "x + "y - "z , 2"x + 3"z ) + ($x' + $y' - $z', 2$x' + 3$z') - $z' , 2"x + 3"z + 2$x' + 3$z') = ( "x + "y - "z + $x' + $y' Aplicaciones lineales

Como en ambos casos hemos llegado al mismo resultado Y f("@

+ ß@ ) = "@f( ) + ß@f( ) , por tanto f es una aplicación lineal.

1.2 NÚCLEO Por definición, Ker(f) = { (x, y, z) 0 R3 / f(x, y, z) = (0, 0) } de donde: (x + y - z, 2x + 3z) = (0, 0) Y x + y - z = 0 * 2x + 3z = 0 * Resolviendo, x = -3z/2 ; y = 5z/2 œ z 0 ú .

œ (x, y, z) 0 Ker(f) Y (x, y, z) = (

,

,z) = z@ (

,

, 1) =

@ (-3, 5, 2) Y

Sistema Generador de Ker(f) = {(-3, 5, 2)}, como es un vector linealmente independiente: Una base del núcleo de f = {(-3, 5, 2)} Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

dim Ker(f) = 1. 1.3 IMAGEN Por definición, Im(f) = { f(x, y, z) / (x, y, z) 0 ú3 } f(x, y, z) = (x + y - z, 2x + 3z) = x@ (1, 2) + y@ (1, 0) + z@ (-1, 3), de donde:

XB

Sistema Generador de Im(f) = {(1, 2), (1, 0), (-1, 3)}, analizando la dependencia lineal:

1.4 CLASIFICACIÓN Hemos visto que podemos clasificar una aplicación lineal a partir de la dimensión del núcleo y de la imagen, así: dim Ker(f) = 1 … 0 * dim Im(f) = 2 = dim R² * f es un EPIMORFISMO. ( Aplicación lineal SOBREYECTIVA)

Apuntes 1.5 MATRIZ ASOCIADA EN BASES CANÓNICAS f(1, 0, 0) = (1, 2) * f(0, 1, 0) = (1, 0) * Y La matriz asociada a f en las Bases Canónicas, es: f(0, 0, 1) = (-1, 3) *

[ Observa el "doble lenguaje" empleado en lo que se refiere a la expresión del vector fila/vector columna según la parte de problema ].

Aplicaciones lineales

1.6 MATRIZ ASOCIADA A f RESPECTO DE LAS BASES B Y B' Sean B = {(1, 1, 2), (2, 1, 0), (1, 1, 1)} Base de R3 y B'= {(1, 1), (2, 0)} Base de R². Expresando las imágenes de los vectores de la base B como combinación lineal de los vectores de la Base B': f(1, 1, 2) = (0, 8) = " @ (1, 1) + ß @ (2, 0) * f(2, 1, 0) = (3, 4) = "'@ (1, 1) + ß'@ (2, 0) *Resolviendo: f(1, 1, 1) = (1, 5) = "''@(1, 1) + ß''@(2, 0) *

La matriz asociada a f en las Bases B y B' es:

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

" = 8 ß = -4 "' = 4 ß' = -1/2 "''= 5 ß''= -2

Matricialmente, podríamos haber obtenido la matriz M, mediante la fórmula matricial :

XB

######## 2. Dada la aplicación f(x, y, z) = (x+y-2z, 2x-z, 1). Probar que f no es lineal. Una de las consecuencias de la linealidad de f, es que la imagen del vector 0 del espacio inicial, sea el vector 0 del espacio final. Como en este caso f(0, 0, 0) = (0, 0, 1) … (0, 0, 0) Y f no puede ser una aplicación lineal.

####### 3. Sea f: ú² 6 ú² una aplicación lineal, y B =

una Base de (ú²(ú), +, A) . Si:

Apuntes Hallar la matriz asociada a f en la Base B. Determinar la aplicación lineal y clasificarla. Empleando la linealidad de la aplicación, trataremos de conseguir las imágenes de los vectores de la Base B.

Aplicaciones lineales

Tomando los coeficientes de la combinación lineal, (Componentes de las imágenes de los vectores de la base B ) tenemos que la matriz asociada a f en la Base B es: por tanto

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Expresado en forma de vector fila, NÚCLEO Por definición Ker(f) = {(x, y) 0 R² / f(x, y) = (0, 0) }

XB

Y

= (0, 0)

Y

œ (x, y) 0 Ker(f) Y (x, y) = (0, 0) Y Ker(f) = {(0, 0)} ; dim Ker(f) = 0. IMAGEN Recurriendo en este caso al teorema de la dimensión, obtenemos: dim Ker(f) + dim Im(f) = dim R² Y 0 + dim Im(f) = 2 Y dim Im(f) = 2, por lo tanto:

Apuntes Im(f) = ú² dim Im(f) = 2.

CLASIFICACIÓN f: ú² 6 ú²

Endomorfismo

Como dim Ker(f) = 0

Inyectiva

dim Im(f) = dim ú² Sobreyectiva

* * Y f es un AUTOMORFISMO *

(Apl. lineal BIYECTIVA)

#######

Aplicaciones lineales

4. Sea (P2[x](ú),+,A), el Espacio Vectorial de los polinomios de grado "2" en una indeterminada (x), con coeficientes reales, con las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar. Sea f: P2[x] 6 P1[x], la aplicación que a un polinomio de P2[x] le hace corresponder su derivada ( f(p(x)) = p'(x) œ p(x) 0 P2 [x] ). Probar que f es una Aplicación Lineal. Hallar su matriz asociada en las Bases Canónicas. Clasificarla. Hallar la matriz asociada en las bases B = {x²+1, x+2, 1 } de P2 [x] y B'= { x+1, x-1 } de P1 [x]. Organicemos un poco el enunciado antes de afrontar el problema: f: P2 [x] 6 P1 [x] p(x) µ p'(x) ax²+ bx + c µ 2ax + b

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

( pues es su derivada ). Así pues, nuestra aplicación lineal será: f(ax² + bx + c)= 2ax + b. LINEALIDAD

œ p(x) = ax² + bx + c, q(x) = a'x² + b'x + c' 0 P2 [x] * œ ", ß 0 R * ¿ f("@ p(x)+ ß@ q(x)) = "@ f(p(x) ) + ß@ f(q(x))?

XB

* f("@p(x) + ß@q(x)) = f( "@ (ax² + bx + c)+ ß@(a'x² + b'x + c')) = f( ("a + ßa')x² + ("b + ßb')x + ("c + ßc')) = 2 ( "a + ßa')x + ("b + ßb') = 2"ax + 2ßa'x + "b + ßb' . ** "@f(p(x)) + ß@f(q(x)) = "@ f(ax² + bx + c) + ß@ f(a'x² + b'x + c')) = "(2ax + b) + ß( 2a'x +b') = 2" ax + "b + 2ßa'x + $ b'. Como en ambos casos hemos llegado al mismo resultado Y f("@p(x) + ß@q(x)) = "@f(p(x)) + ß@f(q(x)) , por tanto f es una aplicación lineal. MATRIZ ASOCIADA EN BASES CANÓNICAS

Apuntes

Sean B = {x², x, 1 } y B'= {x , 1} las Bases Canónicas de P2 [x] y P1 [x] respectivamente. y su

acción sobre los vectores de P2 [x]: [ Observa la forma de expresar los resultados en la base B' ] y tomando solo componentes en las

Aplicaciones lineales bases canónicas, f(a,b,c)=(2a, b) NÚCLEO

Por definición, Ker(f) = { ax² + bx + c 0 P2 [x] / f(ax² + bx + c) = 0 (Polinomio cero) } f(ax²+bx+c) = 2ax + b = 0x + 0 Y

* 2a = 0 Y a = 0 * b=0 Y b=0

œ ax² + bx + c 0 Ker(f) Y ax²+bx+c = 0x² + 0x + c = c = c@ 1. Base de Ker(f) = { 1 }, también podríamos haber puesto 0x² + 0x + 1 dim Ker(f) = 1

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

IMAGEN Vamos a obtener en esta ocasión el subespacio Im(f) a partir de la propiedad que nos dice que: Las imágenes de una base cualquiera del Espacio Inicial, forman un Sistema Generador del Subespacio Im(f). Para mayor agilidad, tomemos la base canónica de P2 [x],

B = {x², x, 1}.

XB

f(x²) = 2x * Por tanto, Sistema Generador de Im(f) = { 2x, 1, 0 }, tomando los vectores Linealmente * Independientes, f(x) = 1 f(1) = 0 * Base de Im(f) = { 2x, 1 } dim Im(f) = 2 CLASIFICACIÓN f:P2 [x] 6 P1 [x] dim Ker(f) = 1 … 0

* * f es un EPIMORFISMO (Apl. lineal SOBREYECTIVA

) *

dim Im(f) = 2 = dim P1 [x]

Apuntes

MATRIZ ASOCIADA EN LAS BASES B y B'

Sean B = {x²+1, x+2, 1 } de P2 [x] y B'= { x+1, x-1 } de P1 [x], las bases del enunciado. Como: f(x²+1) = 2x = "@ (x+1) + ß@ (x-1) f(x+2) = 1 = "'@ (x+1) + ß'@ (x-1) f(1) = 0 = "''@ (x+1) + ß''@ (x-1)

* Resolviendo: * *

" = 1 ß = 1 "' = 1/2 ß' = -1/2 "''= 0 ß''= 0

Por consiguiente, la matriz asociada a la aplicación respecto de estas dos bases, será:

Aplicaciones lineales ####### 5. Sea f: R 6 R , una aplicación lineal. Consideremos las bases B = {(1, 2), (0, -1)} y B' = { (1, 2

3

1, 0),(0, 1, 1),(0, 0, 1)} sobre (R2(ú),+,A) y (R3(ú),+,A), respectivamente. Si la matriz asociada a f respecto de las Bases B y B' es: . Hallar la matriz asociada a f en las Bases Canónicas de R2 y R3 .

Tomando como referencia la expresión matricial de la repercusión del cambio de base en un

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

espacio vectorial sobre la matriz asociada a una aplicación lineal, obtenemos: A : Matriz asociada en {(1, 0), (0, 1)} y {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} M = Q-1 @ A @ P Y A = Q @ M @ P-1 , y tomando matrices convenientemente:

XB

####### 6. A partir de tres materias primas, que llamaremos A ,B , C , obtenemos mediante un proceso de fabricación, tres productos finales, que llamaremos P1 ,P2 ,P3 . Sabemos que el vector de cantidades de producción final (p1 ,p2 ,p3 ) viene en función de las cantidades de materia empleada

Apuntes

de cada tipo a,b,c.

Siendo la relación: (p1 ,p2 ,p3) = t(a ,b ,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b). 6.1. Obtener las cantidades de A, B, C para un vector de producción (1, 6, 2) 6.2. ¿ Podemos obtener cualquier vector de producción ?. 6.3. Con cantidades diferentes de materia prima, ¿ Podemos obtener la misma producción ? 6.4. Obtener el vector de producción, para un vector de materias primas (2, 2, 2) e interpretar el resultado.

Aplicaciones lineales Si nos fijamos un poco en la estructura del problema, observaremos que "t" es una aplicación lineal de ú3 en ú3 , t: R3 6 R3 t(a ,b ,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b). 6.1 Veamos si existe (a, b, c) 0 R3 / t(a, b, c) = (1, 6, 2). Tendremos que: t(a ,b ,c) = ( a+b-c, 2a+3b+c, a+b) = (1, 6, 2) de donde: a+b-c=1

% a = 1 - b +c

2a +3b + c = 6

% b + 3c = 4

%b=1

a+b =2

%

%c=1

c=1

a=1

Hemos encontrado, pues, (a ,b ,c) = (1, 1, 1). Por tanto deberemos emplear: 1 unidad de materia prima A, 1 unidad de materia prima B y una unidad de materia prima C para obtener: 1 unidad de producto P1, 6 unidades de producto P2 y 2 unidades de producto Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

P3 . 6.2 Nos preguntamos si œ (p1 ,p2 ,p3 ) 0 R3 existe (a, b, c ) 0 R3 / t(a, b, c) = (p1 ,p2 ,p3 ), es decir,

si la aplicación es SOBREYECTIVA. Recordemos la caracterización de la

sobreyectividad a partir de la dimensión de la imagen, dim Im(f) = dim F, mejor trabajar con

XB

la caracterización que demostrar el concepto sobreyectividad, ¡ más sencillo !. f(1, 0, 0) = (1 ,2 ,1)

% Y Sistema Generador de Im(f) = {(1 ,2 ,1), (1 ,3 ,0), (-1, 1, 0)}, veamos

f(0, 1, 0) = (1 ,3 ,0)

% son Linealmente Independientes:

f(0, 0, 1) = (-1,1 ,0)

%

Apuntes

Base de Im(f) = {(1 ,2 ,1), (1 ,3 ,0), (-1, 1, 0)} 3

dim Im(f) = 3 = dim R Y f es SOBREYECTIVA, así pues, cualquier vector de producción se puede obtener a partir del correspondiente vector de materias primas. [ Desde un punto de vista económico, el resultado sería discutible al no tener sentido cantidades negativas de materias primas ]. 6. 3 Naturalmente, si la aplicación es inyectiva, no podrá obtenerse un vector de producto final a partir de dos vectores diferentes de materia prima. Empleando de nuevo la caracterización de INYECTIVIDAD ( dim Ker(f) = 0 ), vamos a tratar de clasificar f.

Aplicaciones lineales

Como dim Ker(f) + dim Im(f) = dim R3 Y dim ker(f) + 3 = 3 Y dim Ker(f) = 0 Y f es INYECTIVA. Por lo tanto, vectores de materias primas diferentes, dan lugar a vectores de producto final diferentes según concepto de inyectividad. Si además juntamos los resultados, obtenemos que f es un AUTOMORFISMO, que establecería una correspondencia " uno a uno ", entre los vectores de materia prima y los vectores de producto acabado ". 6.4 Como f(2 ,2 ,2) = (2 ,12, 4) Y obtendremos: 2 unidades de producto P1 , 12 unidades de producto P2 , 4 unidades de producto P3 .

####### 7. Sea P2 [x], el Espacio

Vectorial

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

de

los

polinomios de grado "2" en una

indeterminada(x), con coeficientes reales, con las operaciones usuales de suma de polinomios f: P2 [x] 6 P2 [x], la aplicación f(p(x)) = x@p'(x) - p(x) œ p(x)

y producto por un escalar. Sea

0 P2 [x] ). Probar que f es una Aplicación Lineal. Hallar su matriz asociada en las Bases Canónicas. Hallar Núcleo e Imagen. Clasificarla. Hallar la matriz asociada en la base B = {x²+1, x+2, 1 } de P2 [x] .

XB

Organicemos un poco el enunciado antes de empezar el problema: f: P2 [x] 6 P2 [x] p(x) 6 x@p'(x) - p(x) ax²+ bx + c 6 x@(2ax + b) - ( ax²+bx+c) = ax² - c Nuestra aplicación lineal será:

f(ax² + bx + c) = ax² - c.

A partir de esta construcción el problema se resuelve con la misma estructura que el problema nº 4. ( Dejamos al lector la tarea de resolverlo).

####### Apuntes 8. Sea f: R3 6 R3 un Endomorfismo, B = {

} una Base de R3 . Si sabemos que:

. ", $, : 0 ú. Hallar la matriz asociada a f:

8.1. En la Base B 8.2. En la Base

Aplicaciones lineales Vamos a emplear el concepto de matriz asociada a un Endomorfismo respecto de una Base B. Recordemos que la matriz asociada se obtenía mediante las imágenes de los vectores de la Base B expresados por columna como combinación lineal de los vectores de la Base B.( Ya que al ser un endomorfismo, la Base del Espacio Inicial y la Base del Espacio Final es la misma (Salvo mención explícita en sentido contrario)). 8.1 Como :

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

La matriz asociada será:

[ Observemos que la matriz asociada a un Endomorfismo, respecto de una Base que

XB

cumpla la condición de que sus vectores se transforman en múltiplos de sí mismos mediante f, es una matriz DIAGONAL ] 8. 2 Como :

razonando como en el problema anterior

Apuntes ####### 9. Dada la aplicación f : ú2 6 M2 tal que : 9.1. Probar que f es una plicación lineal 9.2. Hallar núcleo e imagen de f 9.3. Clasificar f 9.4. Hallar la matriz asociada a f en bases canónicas de ú2 y M2.

Aplicaciones lineales

9.1. ¿ f lineal ?

Para comprobarlo, vamos a desarrollar ambos lados de la igualdad : ** f ‡ " (x, y) + $ (x', y') = f ‡ " x + $ x', " y + $ y'  = [ Definición de f ] =

** " A f(x, y) + $ f (x', y') = [ Definición de f ] Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

=

[ suma usual en M2 ]=

XB

En ambos casos llegamos al mismo vector ( matriz ) Y f es aplicación lineal 9.2 ¿ Núcleo ?

Como

Ker (f) = { (0, 0) } ; dim Ker (f) = 0 ¿ Imagen ?

Apuntes

Y ahora definamos la imagen de f Im (f) = { f (x, y) 0 M2 / (x, y) 0 ú2 } Como

Sistema Generador de

Aplicaciones lineales Es fácil comprobar que se trata de dos vectores linealmente independientes Y una base de dim Im (f) = 2 9.3. ¿ Clasificación ? Recordemos la opción de clasificar una aplicación lineal a partir del núcleo y de la imagen

Y f es un MONOMORFISMO [ Aplicación Lineal

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Inyectiva ] 9.4. ¿ Matriz asociada a f en bases canónicas ?

6 Base canónica de (ú2(ú), +, A)

{ (1, 0), (0, 1) }

6 Base canónica de (M2(ú), +, A)

XB

Resolviendo de una forma muy sencilla Y

"1 = 1 "2 = 1 $1 = 0 $2 = 1

"3 = 0 $3 = 0

"4 = 0 $4 = 1

Y La matriz asociada a f en bases canónicas será :

Apuntes

Comentario :

La imagen de un vector mediante la matriz A, la obtenemos multiplicando la matriz por el vector columna. El resultado es un vector columna y no una matriz de M2. Para obtener ésta basta con desarrollar las componentes obtenidas en la base de M2 considerada ( En este caso la base canónica ) .

Aplicaciones lineales Para hallar

f(1, 3) =

f(1, 3) =

¿ Comprendido ? Obviamente el vector (1, 3) en base canónica de (ú2(ú), +, A) tiene por componentes (1, 3)

####### 10. Se considera el homomorfismo f: ú3 6 ú2 que hace corresponder a los vectores { (1, 0, 1), (0, Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

1, 1), (1, 1, 0)} los vectores { (1, 0), (0, 2), (1, 1) } respectivamente. Se pide : 10.1. Matriz asociada a f en las bases canónicas de ú3 y ú2 10.2. Núcleo e Imagen de f 10.3. f-1 (2, 3)

XB

6 Ordenando la transformación de la que nos hace mención el enunciado Sea f: ú3 6 ú2 /

La primera comprobación que hacemos es observar si { (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) } forman una base de ú3, pues, de lo contrario, no podríamos considerar definido el homomorfismo.

6 Vamos a dar tres maneras diferentes de resolver el problema de obtener la imagen mediante f de un vector cualquiera de ú3. ( Hay más, por supuesto ) 6 1ª Solución

Apuntes

Utilizando el concepto de base œ (x, y, z) 0 ú3, sean " , $, ( 0 ú / (x, y, z) = " A(1, 0, 1) + $A (0, 1, 1) + (A (1, 1,0)

Y

Aplicaciones lineales Aplicando f a ambos lados y teniendo en cuenta la linealidad de f

Y

Sustituyendo las imágenes :

Y y operando Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Como :

XB

La matriz asociada a f en las bases canónicas de ú3 y ú2 es :

Apuntes 6 2ª Solución.Utilizando más el concepto linealidad de f.

Llamemos

Sustituyendo en las relaciones iniciales

Aplicaciones lineales Resolviendo : ( Vamos a detallar la solución )

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Y La matriz asociada a f en

Sustituyendo en las demás relaciones :

XB bases canónicas de ú3 y ú2 es :

6 3ª Solución La llamamos técnica de la matriz incógnita.

Apuntes

Sea A la matriz asociada a f en bases canónicas Y En cada caso hemos cimentado la demostración sobre una idea diferente:

6 Buscando la imagen de un vector cualquiera de ú3 6 Buscando las imágenes de los vectores de la base canónica de ú3 . Opera, en lo sucesivo, con la

Aplicaciones lineales

que te resulte más sencilla. 10.2 ¿ Núcleo, Imagen, Clasificar ? Si

es la matriz asociada a f en canónicas Y œ (x, y, z) 0 ú3

y en vector fila

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

NÚCLEO Ker (f) =/{ (x, y, z) 0 ú3 / f (x, y, z) = (0, 0) }

si x = 0 Y 3y + z = 0 Y z = - 3y

XB

œ (x, y, z) 0 Ker (f) Y (x, y, z) = (0, y, -3y) = y (0, 1, -3) Ker (f) = < (0, 1, -3) > Una Base Ker (f) = { (0, 1, -3) } dim Ker (f)) = 1 IMAGEN Im (f) = { f(x, y, z) 0 ú2 / (x, y, z) 0 ú3 }

Apuntes

dim Im(f) = 2

CLASIFICACION

Aplicaciones lineales Y f es un EPIMORFISMO [ Aplicación Lineal

Sobreyectiva ] 10.3 ¿ f-1 (2, 3) ? Si (x, y, z) 0 f-1 (2, 3) Y f(x, y, z) = (2, 3) Y

Resolviendo : x = 2 -1

3y + z = 8 Y z = 8 - 3y 3

( Hay infinitas soluciones )

f (2, 3) = { (x, y, z) 0 ú / x = 2 ; z = 8 - 3y œ y 0 ú } Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

####### 11. Determinar, si es posible, las siguientes aplicaciones : 11.1. f :ú3 6 ú2 Aplicación Lineal Im (f) generada por { (1, 1), (0, -2) }

XB

Ker (f) generado por { (-1, 0, 0), (1, 3, 2) }

6 Como (1, 1) y (0, -2) son linealmente independientes Y Una base de Im(f) = { (1, 1), (0, -2) } dim Im (f) = 2

6 Como (-1, 0, 0) y (1, 3, 2) son linealmente independientes Y Una base de Ker(f) = { (-1, 0, 0), (1, 3, 2) } dim Ker(f) = 2 El teorema de la dimensión nos dice que dim Ker(f)+ dim Im(f) = dim ú3, pero en este caso 2 + 2 … 3

Y no es posible determinar una aplicación lineal con las condiciones anteriores.

Apuntes

11.2. f :ú4 6 ú3 Aplicación Lineal Im (f) = < (1, 1, 1), (0, -2, 1) > Ker (f) = < (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) >

6 Razonando como en el apartado anterior Y Una base de Im(f) = { (1, 1, 1), (0, -2, 1) } dim Im (f) = 2

6

Y Una base de Ker(f) = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) }

Aplicaciones lineales

dim Ker(f) = 2

dim Ker(f)

+

dim Im(f)

=

dim ú4

2

+

2

=

4

Y En este caso, si es posible determinar una aplicación lineal que cumpla las condiciones anteriores. Puesto que una aplicación lineal queda determinada conocidas las imágenes de una base del Espacio Inicial, vamos a seguir este camino con los datos que tenemos.

6

En primer lugar, ampliemos la base del núcleo a una base de ú4, añadiendo dos vectores linealmente independientes con los que ya tenemos. (La selección la haremos de forma intuitiva )

* Base Ker(f) = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0) }

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

* Base ú4 = { (-1, 0, 0, 1), (1, 3, 2, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) } Hallemos sus imágenes, apoyándonos en el concepto de núcleo e imagen

6 (-1, 0, 0, 1) 0 Ker(f) Y f(-1, 0, 0, 1) = (0, 0, 0) ( 1, 3, 2, 0) 0 Ker(f) Y f( 1, 3, 2, 0) = (0, 0, 0)

XB

6 ( 1, 1, 1) 0 Im(f) Y f( 1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) ( 0, -2, 1) 0 Im(f) Y f( 0, 1, 0, 0) = (0, -2, 1) Con lo cual queda determinada una aplicación lineal f :ú4 6 ú3 cumpliendo las condiciones. [ NOTA :

f no es , desde luego, única. Los vectores con los que ampliamos la base de ker(f), no son únicos, ni la asignación de las imágenes de estos vectores es única ]

####### 12. Sea f : ú3 6 ú3 una aplicación lineal /

Apuntes

6 Dado el subespacio de ú3, S = { (x, y, z) 0 ú3 / x + y + z = 0 } Y f(v) = v œ v 0 S 6 Ker (f) = { w 0 ú3 / wt A v = 0 œ v 0 S } 12.1. Dar la matriz asociada a f, considerando en el espacio inicial, la base B = { (1, 0, -1), (0, 1, -1), (1, 1, 1)} y en el esapcio final, la base canónica de ú3. 12.2. Definir la imagen de un vector cualquiera (x, y, z) 0 ú3 12.1. ¿ Matriz de f en base B ? Vamos a comenzar, imponiendo a f las dos condiciones del enunciado.

Aplicaciones lineales

Busquemos una base de S :

œ (x, y, z) 0 S Y x + y + z = 0 Y z = -x -y Y (x, y, z) = (x, y, -x-y) = x (1, 0, -1) + y (0, 1, -1) Y S = < (1, 0, -1), (0, 1, -1)> Y Base S = { (1, 0, -1), (0, 1, -1) } [ Observa la pequeña habilidad para que los vectores obtenidos "coincidan" con los dos primeros vectores de la base B. ¡ Casualidad preparada ! ] Como f (v) = v œ v 0 S

Y f(1, 0, -1) = (1, 0, -1)

Y f(0, 1, -1) = (0, 1, -1) Como Ker(f) = { w 0 ú3 / wt A v = 0 œ v 0 S }

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Y si (x, y, z) 0 ker(f)

XB Y (x, y, z) = (z, z, z) = z (1, 1, 1) Base Ker(f) = {(1, 1, 1)} Como (1, 1, 1) 0 ker(f) Y f(1, 1, 1) = (0, 0, 0)

Y La matriz asociada a f en la base B de ú3 (inicial) y CANONICA en ú3 (final) será

Apuntes

[ Imágenes de los vectores de la base del Espacio Inicial como combinación lineal de los vectores de la base del Espacio Final ] 12.2. ¿ f(x, y, z) ? Vamos a utilizar la tercera salida al problema de obtener la matriz en bases canónicas de una

Aplicaciones lineales

aplicación lineal construída sobre bases cualesquiera. En este caso, tendremos una bonita resolución matricial. Sea A, la matriz asociada a f en base canónica. Como f(v) = A A v

œ v 0 ú3 Y

Es decir :

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

y, despejando matricialmente,

XB

Existencia garantizada por formarla vectores de una base.

Apuntes

Y de la forma habitual :

Aplicaciones lineales ####### 13. Sea f : ú3 6 ú2 una aplicación lineal / f(x, y, z) = (x+y, y+z) œ (x, y, z) 0 ú3, se consideran las bases B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } de ú3 y B' = { (1, 1), (1, 2) } de ú2. Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases B y B'. Utilizar la matriz anterior para hallar f(v) siendo v = (1, 2, 1).

6 MB, B' (f) Utilizando fundamentos Y Como

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

" = 2 $ = -1 "' = 3 $' = -1 "'' = 2 $'' = 0

Resolviendo ( Es supersencillo )

XB

cuya acción será [ ATENCION :

Problema propuesto para comprender el significado de la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de cualquier par de bases ]

6 ¿ f(v) ? Puesto que la matriz anterior opera sobre vectores expresados en la base B Y al ser v = (1, 2, 1) necesitamos conocer sus componentes en la base B. Veamos :

Apuntes

Sean " , $ , ( 0 ú / (1, 2, 1) = " (1, 0, 0) + $ (1, 1, 0) + ( (1, 1, 1) Resolviendo Y " = -1 , $ = 1 , ( = 1 Y v = (-1, 1, 1)B

Aplicando la matriz anterior Y

(3, 0)B'

Y f(vB) =

Aplicaciones lineales

para obtener las coordenadas del vector, expresándolo mediante su relación con B' (3, 0)B' = 3 A (1, 1) + 0 A (1, 2) = (3, 3) [ Observa que sustituyendo en la definición original de la aplicación : f (1, 2, 1) = (1+2, 2+1) = (3, 3) que es el mismo resultado que hemos obtenido ]

####### 14. Considera (P3(x)(ú),+,A),(M2(ú)(ú),+,A) y sus bases: B = {x3,x2,x,1} y . Sea la aplicación lineal

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

f:P3(x)6M2(ú)/f(ax3+bx2+cx+d)=

. Hallar:

14.1. Matriz de la aplicación en las bases citadas. 14.2. Base y dimensión del núcleo y de la imagen 14.3. Clasificación.

XB

14.1. ¿ M B, B' (f) ? Desarrollando el problema, tal vez un poco más de lo habitual. Hallemos las imágenes de los vectores de la base B y expresémoslas como combinación lineal de los vectores de la base B'. B = {x3, x2, x, 1 } f(x3) = f(1 A x3 + 0 A x2 + 0 A x + 0 } =

f(x2) = f(0 A x3 + 1 A x2 + 0 A x + 0 } =

Apuntes

f(x) = f(0 A x3 + 0 A x2 + 1 A x + 0 } =

f(1) = f(0 A x3 + 0 A x2 + 0 A x + 1 } = Como la base de M2(ú ) es la base canónica Y las componenetes de cada una de las imágenes obtenidas coincidirá con los elementos de la matriz respectiva en el orden marcado por las matrices de la base

Aplicaciones lineales

B={x3, x2, x, 1 } f(x3) = (1 0 0 0)B' f(x2) = (0 1 -1 0)B' f(x) = (0 -1 1 0)B' f(1) = (0 0 0 0)B'

Y MB, B'(f) =

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

14.2. Núcleo de f, Imagen de f Ker(f) = { ax3 + bx2 + cx + d 0 P3(x) / f (ax3 + bx2 + cx + d ) =

}

Y f (ax3 + bx2 + cx + d ) =

XB

œ ax3 + bx2 + cx + d 0 Ker(f) Y ax3 + bx2 + cx + d = cx2 + cx + d = c (x2+ x) + d A 1 Ker(f) = < x2 + x, 1 > Base Ker(f) = { x2 + x, 1 } dim Ker(f) = 2 Im(f) = { f(ax3 + bx2 + cx + d) 0 M2(ú ) / ax3 + bx2 + cx + d 0 P3(x) }

Y f (ax3 + bx2 + cx + d ) =

Apuntes

Im(f) =


Es fácil comprobar que son Linealmente Independientes Base Im(f) = {

}

Aplicaciones dim Im(f) = 3 lineales 14.3. Clasificación

Y f es una aplicación lineal u HOMOMORFISMO

ordinario

####### 15. Sea la aplicación f : ú3 6 ú3 definida por f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) 15.1. Probar que f es una aplicación lineal 15.2. Hallar núcleo e imagen. Clasificarla Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

15.3. Hallar su matriz asociada en : 15.3.1. Base canónica de ú3 15.3.2. Base B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } 15.1. ¿ f lineal ?

XB Desarrollando ambos lados : ** f ( " (x, y, z) + $ (x', y', z')) = f (" x + $x', " y + $y', " z + $z') = ( " x + $x' + " y + $y', " y + $y' - (" z + $z'), " x + $x' + " y + $y' + " z + $z' ) = ( " x + $x' + " y + $y', " y + $y' - " z - $z', " x + $x' + " y + $y' + " z + $z' ) ** " f (x, y, z) + $ f (x', y', z') = " ( x+y, y-z, x+y+z) + $ (x'+y', y'-z', x'+y'+z') =

Apuntes

= (" x + " y + $ x' + $y', " y - " z + $y' - $z', " x +" y + " z + $x' + $y' + $z' ) Coordenada a coordenada ambos vectores son iguales.

Y f es una aplicación lineal 15.2. ¿ Núcleo e Imagen ? * NÚCLEO Como f : ú3 6 ú3

3

Ker (f) = { (x, y, z) 0 ú / f(x, y, z) = (0, 0, 0) } Aplicaciones lineales

Como f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) = (0, 0, 0) Y

Y Ker(f) = {(0, 0, 0) } Y dim Ker(f) = 0 * IMAGEN Im(f) = { f(x, y, z) 0 ú3 / (x, y, z) 0 ú3 } f(x, y, z) = (x+y, y-z, x+y+z) = x A (1, 0, 1) + y A (1, 1, 1) + z A (0, -1, 1) Im(f) = < (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1) > Estudiemos su dependencia lineal Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Son Linealmente Independientes

XB

Y Base Im(f) = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1) } Y dim Im(f) = 3 Im (f) = ú3 * Clasificación Como f : ú3 6 ú3 ENDOMORFISMO dim Ker (f) = 0

INYECTIVA

dim Im(f) = 3 = dim ú3 SOBREYECTIVA f es un AUTOMORFISMO ( Endomorfismo BIYECTIVO ) 15.3. ¿ Matriz ? 15.3.1.

¿ Matriz asociada a f en base canónica ?

Apuntes

Como f : ú3 6 ú3 tomaremos la misma base en el espacio inicial como en el final. Sea B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } la base canónica de ú3.

15.3.2 Matriz asociada a f en base B = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } Vamos a dar dos resoluciones :

Aplicaciones lineales

a) Concepto de matriz de una aplicación lineal respecto de bases en un espacio inicial y final. f(1, 0, 0) = (1, 0, 1)

; Sea (1, 0, 1) = " (1, 0, 0) + $ (1, 1, 0) + ( (1, 1, 1)

f(1, 1, 0) = (2, 1, 2)

; Sea (2, 1, 2) = "' (1, 0, 0) + $'(1, 1, 0) + ('(1, 1, 1)

f(1, 1, 1) = (2, 0, 3)

; Sea (2, 0, 3) = "'' (1, 0, 0) + $''(1, 1, 0) + (''(1, 1, 1)

Resolviendo

[ Observa : MB(f), pues no es necesario MB,B(f) al ser ENDOMORFISMO ] b) Mediante la relación matricial. Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.

Hagamos un pequeño DIAGRAMA de apoyo

XB P A vB = vCAN

Y MB(f) = P-1 A MCAN (f) A P Y

Como :

Apuntes

Operando :

[ Ambas resoluciones han sido muy elegantes ]

#######

Aplicaciones lineales

Tema: Aplicaciones Lineales. Ejercicios resueltos.