Cap¶³tulo 3 Aplicaciones de las integrales m¶ ultiples a la Mec¶ anica.

Introducci¶ on. Los conceptos de integral doble y triple se aplican al estudio de propiedades f¶³sicas de fuerzas distribuidas sobre super¯cies planas y sobre vol¶ umenes, llamadas fuerzas m¶asicas, cuyo valor viene dado en cada punto por su intensidad (que se mide en unidades de fuerza por unidad de super¯cie o fuerza por unidad de volumen). Cuando la fuerza m¶asica se debe a la atracci¶on de la gravedad, la intensidad se escribe como ½g, donde ½ representa el peso espec¶³¯co del cuerpo y g la aceleraci¶on de la gravedad. En los problemas a que nos referimos, la intensidad de la fuerza var¶³a siempre de forma continua en la regi¶on que se considera y por tanto, es posible aplicar, para su resoluci¶on, los conceptos estudiados en los dos temas anteriores. En particular, vamos a proporcionar f¶ormulas para el c¶alculo de masas, centros de masa y momentos de inercia de l¶aminas y s¶ olidos, que se deducen de las correspondientes a sistemas de part¶³culas, cuando se considera el cuerpo subdividido en elementos in¯nitesimales en los que la intensidad puede ser aproximada por una constante. Los conceptos f¶³sicos que aparecen en este tema se suponen conocidos por el alumno y pueden encontrarse en cualquier libro elemental de mec¶anica est¶atica. Desde un punto de vista matem¶atico, una referencia v¶alida es el libro de TaylorWade, C¶alculo diferencial e integral, Ed. Limusa.

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3.1

Masa y centro de masa de un cuerpo.

Masa de un cuerpo ² Sea V un cuerpo tridimensional acotado ( es decir, un cuerpo continuo) de volumen ¯nito. Sea ½(x; y; z) la densidad en cada punto de V. La masa total del s¶olido viene dada por: M=

ZZZ

½(x; y; z)dxdydz

V

² Si V es un s¶olido cuyas secciones por planos paralelos a uno dado son id¶enticas ( en cuyo caso se denomina l¶amina) y la densidad es constante a lo largo de cualquier l¶³nea perpendicular a las caras planas de la l¶amina, en ese caso se puede representar la densidad en cada punto como una funci¶ on de dos variables y el c¶alculo de la masa total ser¶a el espesor de la l¶amina multiplicado por la \masa super¯cial" de la misma: Si una de las caras planas de la l¶amina es una regi¶on D en el plano XY, h es el espesor de la l¶amina y ½(x; y) es la densidad en cada punto de esta regi¶on, M =h

ZZ

½(x; y)dx dy D

Las dos f¶ormulas anteriores se obtienen considerando V inclu¶³do en un paralelep¶³pedo I y subdividiendo ¶este por medio de una partici¶on P de I, de forma que cada subparalelep¶³pedo de la partici¶on se puede considerar un elemento de masa, cuya masa viene dada por la densidad en un punto del subparalelep¶³pedo Iijk , multiplicada por el volumen de dicho paralelep¶³pedo: ½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk ). Los puntos (xi ; yj ; zk ) constituyen una elecci¶on en I respecto de P, y X

½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk )

ijk

es una aproximaci¶on a la masa del s¶olido, por una parte, y por otra, es una suma de Riemann para la funci¶on ½. Cuando el tama~ no de la partici¶on tienda a cero, la proposici¶on del tema 2 a¯rma que las sumas tienden a la integral triple y, por otra parte, estas sumas tienden a la masa de V. Centro de masa. Siguiendo con la notaci¶on del apartado anterior, las coordenadas (xG ; yG ; zG ) del centro de masa de un s¶olido V vienen dadas por las ecuaciones: ² xG =

RRR

V

x½(x;y;z)dx dy dz M

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yG = zG =

RRR

V

y½(x;y;z)dx dy dz M

V

z½(x;y;z)dx dy dz M

RRR

² Si V es una l¶amina:

RR 8 x½(x;y)dx dy > RRD > x = G > ½(x;y)dx dy > < D RR > > > y½(x;y)dx dy > : yG = RRD D

½(x;y)dx dy

Centro geom¶ etrico de la ¯gura. Las coordenadas (¹ x; y¹; z¹) del centro geom¶etrico de un s¶olido V se obtienen a partir del centro de masas, al considerar que la densidad es constante en cada punto. En ese caso, la masa es la densidad multiplicada por el volumen del cuerpo y simpli¯cando se obtiene: ² x¹ =

RRR

xdx dy dz ¹(V )

V

² Si V es una l¶amina:

y¹ =

RRR

V

ydx dy dz ¹(V )

x¹ =

RR

z¹ =

xdx dy ¹(D)

D

RRR

V

y¹ =

zdx dy dz ¹(V )

RR

ydx dy ¹(D)

D

Propiedades de los centros de masa y geom¶ etricos. 1. El centro de masas y el centro geom¶etrico s¶olo dependen del cuerpo y no del sistema de referencia considerado. 2. Si el cuerpo posee un eje de simetr¶³a, el centro geom¶etrico se encontrar¶a en ¶el y si tiene dos ejes de simetr¶³a, se encontrar¶a en la intersecci¶on de ambos.

3.2

Momentos de inercia.

3.2.1 De¯nici¶ on.- El momento de inercia de una ¯gura respecto de un punto un plano o un eje se de¯ne como la integral correspondiente ( triple o doble ) de la densidad en cada punto de la ¯gura multiplicada por el cuadrado de la distancia de dicho punto al punto, plano o eje. Momento de inercia respecto de los planos coordenados. ² Iyz = Izx = Ixy =

RRR

V

x2 ½(x; y; z)dx dy dz

V

y 2 ½(x; y; z)dx dy dz

V

z 2 ½(x; y; z)dx dy dz

RRR

RRR

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² Si V es una l¶amina:

8 RR 2 > I = > yz D x ½(x; y)dx dy > > > > > < RR 2 = I zx D y ½(x; y)dx dy > > > > > > > :

Ixy = 0

Momento de inercia respecto de los ejes coordenados. ² Ix = Iy = Iz =

RRR

2

+ z 2 )½(x; y; z)dx dy dz

2 V (x

+ z 2 )½(x; y; z)dx dy dz

2 V (x

+ y 2 )½(x; y; z)dx dy dz

RRR

RRR

V (y

² Si V es una l¶amina:

8 RR 2 > I = x > D y ½(x; y)dx dy > > > > > < RR 2 I y = D x ½(x; y)dx dy > > > > > > RR > : 2 2

Iz =

D (x

+ y )½(x; y)dx dy

Momento de inercia respecto del origen. ² I0 =

RRR

2 V (x

+ y 2 + z 2 )½(x; y; z)dx dy dz

² Si V es una l¶amina: I0 =

RR

2 D (x

+ y 2 )½(x; y)dx dy

Propiedades de los momentos de inercia. 1. El momento de inercia respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia respecto a dos planos perpendiculares entre s¶³, que lo contienen. En particular, el momento de inercia respecto de un eje coordenado es la suma de los momentos de inercia respecto a los planos coordenados que pasan por ¶el. 2. El momento de inercia respecto de un punto es la suma de los momentos de inercia respecto de tres planos perpendiculares que lo contienen. 33 Observaci¶ on: Todas las propiedades del tema se obtienen de forma directa a partir de la de¯nici¶on.

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3.3

Ejercicios

1. Calcular, en forma breve,

ZZZ

(x + y) dx dy dz

extendida al interior de la esfera (x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 + (z ¡ a)2 = a2 (Sol:8¼a4 =3) 2. Calcular la masa de un s¶olido limitado por dos semiesferas conc¶entricas de radios r y R (0 < r < R), si la densidad en cada punto es el cuadrado de la distancia del punto al centro. 3. Calcular el momento de inercia de una esfera maciza de radio R respecto a uno 5 de sus di¶ametros si la densidad es constante. (Sol:8¼k R15 ) 4. Demostrar que el momento de inercia de un tri¶ angulo de base a, respecto de esa base, depende s¶olo de la altura del mismo. (Supondremos la densidad constante). 5. Demostrar que si Q es una regi¶on plana situada entre las gr¶a¯cas de dos funciones continuas f y g en el intervalo [a; b], siendo 0 · g · f , y si consideramos el s¶olido de revoluci¶on S, engendrado al girar Q alrededor del eje OX, entonces el volumen de S es igual al a¶rea de Q multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe el centro geom¶etrico de la regi¶on Q. ( Dicho resultado es conocido como Teorema de Pappus ) 6. (Teorema de los ejes paralelos de Steiner) Demostrar que el momento de inercia de una ¯gura plana respecto a un eje es igual a M d2 + IC , donde M es la masa, d es la distancia entre el eje y el centro de gravedad de la ¯gura, e IC es el momento de inercia de un eje paralelo al eje dado y que pasa por el centro de gravedad de la ¯gura. 7. Si D es la regi¶on del primer octante limitada por las gr¶a¯cas de y =x; y =x¡2; y =1; y =3; z =0; z =5; calcular: 8. Calcular:

RRR

D

z dx dy dz

Z

2

4

Z

2

¡2

Z

(Sol:50)

1

¡1

(x + y + z) dx dy dz (Sol:48)

9. Calcula el centro de masa del s¶olido limitado por las gr¶a¯cas de x2 + z 2 = 4; y = 0 ; y = 3 ; si la densidad en un punto P es directamente proporcional a la distancia al plano OXZ. ( Sol:(0,2,0) )

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10. Calcula el momento de inercia del s¶olido del primer octante limitado por los planos coordenados y por x + y + z = 1 , respecto del eje OZ, si la densidad es constante. 11. Considera el s¶olido determinado al girar en torno al eje OX la super¯cie limitada por y = x2 ; y = 2. Calcula su volumen. 12. Calcula el volumen del toro, es decir, de la super¯cie obtenida al girar una circunferencia (x ¡ a)2 + y 2 = b2 ; con 0 < b < a , entorno al eje OY. (Sol:2¼ 2 ab2 )

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