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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo constante ω. OBSERVACIÓN: Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.

Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0. Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial. Considérese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 , a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)

F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1 ω P(x,y)

T1 ( x, y, K1) = 0

X Figura 1

L T1

Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

6

F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1 ω P(x,y) θ

T1 ( x, y, K1) = 0

φ X L T1

Figura 2

A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde y’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y). A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde y’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y). OBSERVACIÓN: A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a los puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, sólo a efectos de la demostración se escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que: x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φ Se debe ahora establecer una relación entre las derivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Para ello, se trasladará la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de corte de la recta tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).

F1 ( x, y, C1) = 0

Y

L F1 ω T1 ( x, y, K1) = 0

P(x,y) ω θ

φ

θ X

Figura 3

L T1

7 De la Figura 3 se deduce que: θ = φ – ω. Por identidades trigonométricas tg θ = tg (φ – ω) =

tgφ - tg ω 1 + tgφ tg ω

De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir en la ecuación anterior, resulta que: v ' - tg ω y’= 1 + v ' tg ω Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y). Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x, v ' - tg ω y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por , se obtiene 1 + v ' tg ω v ' - tg ω )=0 una nueva ecuación diferencial f(x, y , 1 + v ' tg ω Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x, y, C) = 0.

OBSERVACIÓN: La ecuación diferencial v ' - tg ω ) = 0 1 + v ' tg ω tiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.

f(x, y,

Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es: (tg θ) (tg φ) = -1 Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que: y’ = -

1 v'

8 Por lo tanto, si la ecuación diferencial

asociada a la familia de curvas dada 1 se obtiene una nueva F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por – v 1 ) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia de ecuación diferencial f (x, y, − v' trayectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada. Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual representa la familia de trayectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω = 90º, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales. OBSERVACIÓN: Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.

PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO 1. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma explícita, debe determinarse. Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación del haz dado. 2. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea f(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta. 3.

Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, debe sustituirse y’, en y ' − tgω ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ; así se obtiene 1 + y ' tgω y ' − tgω ) = 0. ecuación diferencial f(x, y, 1 + y ' tgω Si las trayectorias a determinar son ortogonales (ω = 90º), se debe sustituir y’, en ⎛ 1⎞ ⎟⎟ ; así se obtiene ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎜⎜ − ⎝ y'⎠ ecuación diferencial f(x, y, −

la la

la la

1 ) = 0. y'

4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3. 5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representa la familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvas dada. (en el caso en que ω = 90º, recuerde que las trayectorias se denominan trayectorias ortogonales).

9

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS 1. La ecuación y2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales. SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 curvas y = Cx (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 2yy’ = C

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

y 2 = Cx 2yy ' = C Aquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultando 2 y = 2yy’x

(3)

La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolas y = Cx. 2

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = Cx. Para ello, basta con ⎛ 1⎞ sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ 2 y = 2y ⎜⎜ − ⎟⎟ x ⎝ y'⎠

multiplicando por y’/y2 y’ = − 2

x y

10 Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene x dx (4) dy = − 2 y Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por y y dy = – 2 x dx equivalentemente y dy + 2x dx = 0 integrando

∫

y dy + 2

∫

x dx = C1

(5)

Ambas integrales son inmediatas

∫ ∫

y dy =

y2 + k1 2

x dx =

x2 + k2 2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)

y2 2 + x =K 2

Multiplicando por

1 , K y2 x2 + =1 2K K

(6)

La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de 2 parábolas y = Cx OBSERVACIÓN: Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las trayectorias, no es la misma constante del haz de curvas dado.

11 3

2

2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y = Cx SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 3 2 curvas y = Cx (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 2 3y y’ = 2Cx

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

⎧⎪y3 = Cx 2 ⎨ 2 ⎪⎩3 y y ' = 2Cx Aquí basta con despejar C de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando 3 y' x y= (3) 2 3

2

La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y = Cx . Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 3 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = Cx . Para ello, basta con ⎛ 1⎞ sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ x y = 3 ⎜⎜ − ⎝ 2 y'⎠

equivalentemente, y’ = −

3x 2y

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene 3x dy = − dx (4) 2y Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por 2y 2 y dy = - 3x dx

12 integrando

2

∫

y dy = −3

∫

x dx

(5)

Ambas integrales inmediatas son inmediatas

∫ ∫

y dy =

y2 + k1 2

x dx =

x2 + k2 2

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)

2 Multiplicando por

y2 x2 = −3 + k 2 2

1 , 3k y2 x2 + =1 3 k 2k

(6)

La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de 3 2 curvas y = Cx 3. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias 3 2 2 2 y = C1 x , x + a y = C sean ortogonales SOLUCIÓN: Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente las derivadas de cada una de ellas; sean: 3 y’ la derivada de la curva y = C1 x 2 2 2 ŷ’ la derivada de la curva x +ay = C De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas sean ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es: y’. ŷ’ = -1 (1) Derivando implícitamente respecto de x, la curva 2 3 y y’ = C1

3

y = C1 x

(2) (3)

La constante C1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3) ⎧⎪y3 = C x 1 ⎨ 2 ⎪⎩3 y y ' = C1

13 Sustituyendo (3) en (2) se tiene y = 3 y’ x Despejando y’ y’ =

y 3x

(4) 2

2

2

Derivando implícitamente respecto de x, la curva x + ay = C ' 2x+2ay ŷ =0

(5) (6)

'

Despejando ŷ de la ecuación (6) '

ŷ = −

x ay

(7)

Sustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1) ⎛ y ⎞⎛ x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ = -1 3 x ⎝ ⎠ ⎝ ay ⎠ Simplificando y despejando la constante a a =

1 3

4. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C1 e

x

SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia x (1) de curvas y = - x – 1 + C1 e Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta x y’ = - 1 + C1 e

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪y = − x − 1 + C1 e ⎨ ⎪⎩y ' = −1 + C1 e x x

Despejando C1 e de la ecuación (2)

x

14 x

C1 e = y’ + 1

(3)

Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resulta y = - x + y’

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada x y = - x – 1 + C1 e Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con ⎛ 1⎞ sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ ⎟⎟ y = – x + ⎜⎜ − ⎝ y'⎠

equivalentemente, 1 x+y Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene 1 dx (5) dy = x+y

y’ = −

La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias x ortogonales a la curva y = – x – 1 + C1 e La ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puede escribirse de la forma dx + (x + y) dy = 0 (6) resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y ∂P ∂Q ≠ ). ∂y ∂x

∂Q ∂P =0 y = 1; luego la ∂x ∂y ecuación no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y

µ (x,y) = e

Si v = y entonces

∫

entonces

g ( v ) dv

con g(v) =

⎡ ∂ P ∂Q ⎤ − ⎥ ⎢ ⎣ ∂ y ∂x ⎦ ⎡ ∂v ∂v ⎤ −P ⎥ ⎢Q ∂y ⎦ ⎣ ∂x

∂v ∂v =0 = 1 ; sustituyendo en g(v) resulta: ∂x ∂y

15 g(v) = Así, µ (x, y) = e

∫

−1 = 1 −1

g ( v ) dv

v

= e

= ey

Por lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = ey Multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante ey dx + ey (x + y) dy = 0

(7)

La ecuación (7) se puede escribir ey dx + x ey dy = – y ey dy

(8)

El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( x e y ), esto es, ey dx + x ey dy = d ( x e y ) Así, la ecuación (8) se transforma en d ( x e y ) = – y ey dy Integrando

∫

Resolviendo las integrales

∫

d ( x ey ) = −

∫

∫

y e y dy

(9)

d ( x e y ) = x e y + K1

y e y dy se resuelve por el método de integración por partes:

∫ ∫

u dv = u v −

∫

y e y dy = y e − y

⎧⎪u = y v du , donde ⎨ ⎪⎩dv = e y dy

∫

v = ey

e y dy = y ey – ey = ey (y – 1) + K2

Sustituyendo los resultados de las integrales en (9) x ey + K1 = – ey (y – 1) + K2 o equivalentemente

du = dy

16 multiplicando por e –y o también

x ey = ey (1 – y) + K x = (1 – y) + K e –y (x + y – 1) ey = K

(10)

La ecuación (10), representa la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = – x – 1 + C1 ex 5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C1)

2

SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 curvas y = (x – C1) (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 2 ( x – C1 )

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪y = ( x − C ) 2 1 ⎨ ⎪⎩y ' = 2 ( x − C1) Despejando ( x – C1 ) de la ecuación (2)

y' 2

( x – C1 ) =

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) ⎛ y' ⎞ y = ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

equivalentemente

2

2

4y = ( y’) esto es, 2

y = y’

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas 2 y = ( x – C1 )

17 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C1 ) ⎛ 1⎞ Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ 1 2 y = − y' equivalentemente, 1 y’= − 2 y Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene 1 dy = − dx (5) 2 y Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por y

y dy = − integrando

∫

y dy = −

1 dx 2

1 2

∫

dx

(6)

Ambas integrales son inmediatas 3

∫

y dy =

∫

y 2 3

+ k1

2

dx = x + k2

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) 3

y 2 3

= −

2

Para despejar y, primero se multiplica por eleva a 2 3

1 x+k 2 3 a ambos lados de la igualdad y luego se 2

2 2 3 ⎞ 3 ⎛ 3 ⎛ − 3x + 6K ⎞ 3 y = ⎜− x + K⎟ = ⎜ ⎟ 4 2 ⎠ ⎝ 4 ⎝ ⎠

18 equivalentemente y= 3

( k − 3x ) 2

(7)

16

La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de 2 parábolas y = ( x – C1 ) 6. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C1 x

2

+ y

2

=1

SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 2 (1) curvas C1 x + y = 1 Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 2 C1 x + 2 y y’ = 0

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪ C x 2 + y 2 = 1 1 ⎨ ⎪⎩ 2 C1 x + 2 y y ' = 0 Despejando C1 de la ecuación (2) C1 = −

y y' x

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) ⎛ y y' ⎞ 2 ⎜− ⎟ x + y2=1 ⎜ x ⎟⎠ ⎝ equivalentemente – yy’ x + y

2

= 1

La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia 2 2 C1 x + y = 1

(4)

19 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 2 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C1 x + y = 1 ⎛ 1⎞ Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ 2 ⎟⎟ x + y = 1 – y ⎜⎜ − ⎝ y'⎠ equivalentemente, xy 2 =1–y y'

Despejando y’ xy

y' =

1− y 2 Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene xy dy = dx (5) 1− y 2

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por

1− y 2 y

1− y 2 dy = x dx y integrando

∫

1− y 2 dy y

=

Ambas integrales son inmediatas

∫

1− y 2 dy = y

∫

1 dy − y

∫

∫

x dx =

∫

x dx

y dy = ln | y | − x2 + k2 2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) ln | y | −

y2 2

multiplicando por 2 2 ln | y | = x

= 2

x2 +k 2 2

+ y + 2K

(6)

y2 + k1 2

20 aplicando propiedades de logaritmo 2 2 2 ln y = x + y + 2K aplicando e a ambos lados de la ecuación y

2

⎛⎜ x 2 + y 2 ⎞⎟ ⎠ = Ce ⎝

(7)

La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 C1 x + y = 1 2

7. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2 + y2 = C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 2 curvas 2 x + y = C (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y’ = 0

(2)

Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 2 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x + y = C ⎛ 1⎞ Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ 4 x + 2 y ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 ⎝ y'⎠ equivalentemente, 2 x y’ – y = 0

Despejando y’

y 2x Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene y dy = dx (3) 2x y' =

21 Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables 2 basta con multiplicar la ecuación (3) por y 2 1 dy = dx y x integrando

2

∫

1 dy y

∫

=

1 dx x

(4)

Ambas integrales son inmediatas

∫ ∫

1 dy = ln y + k1 y 1 dx = ln x + k2 x

Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4) 2 ln | y | = ln | x | + k3 aplicando propiedades de logaritmo 2 ln y - ln | x | = k3 esto es ln

y2 x

= k3

aplicando e a ambos lados de la ecuación 2 y =kx

(5)

La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 2x + y = C 2

8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = e

Cx

SOLUCIÓN: curvas

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de y = eCx (1)

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta Cx y’ = C e

(2)

22 Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

⎧⎪ y = e C x ⎨ ⎪⎩ y' = C e C x Despejando C de la ecuación (1) C =

ln y x

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) ⎛ ln y ⎞ y’ = ⎜ ⎟ y ⎝ x ⎠

(4)

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación Cx diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e ⎛ 1⎞ Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ y ln y 1 = − x y' equivalentemente, x y’ = − y ln y

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene x dx (5) dy = − y ln y La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y) y ln y dy = - x dx integrando

∫

Para resolver la integral

∫

y ln y dy

=

−

∫

x dx

y ln y dy se aplica el método de integración por partes

(6)

23

∫

u dv = u v −

∫

v du ; donde

⎧ ⎪u = ln y ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩dv = y dy

du = v=

1 dy y

y2 2

así

∫

y ln y dy =

y2 ln y − 2

∫

2 ⎛ y2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy = y ln y − ⎜ 2 ⎟ ⎜⎝ y ⎟⎠ 2 ⎝ ⎠

∫

x dx =

∫

y y2 y2 dy = ln y − + k1 2 4 2

x2 + k2 2

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)

y2 y2 x2 ln y − = − +k 2 4 2 multiplicando por 4 2 y 2 ln y − y 2 = – 2 x 2 + 4 k equivalentemente

2

2

y ( ln y

2

- 1 ) + 2 x = C1

(7)

La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas

Cx

y=e

a

b

9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1 x donde a y b son constantes conocidas. SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de a b curvas y = C1 x (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta a–1 b–1 a y y’ = C1 b x

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

24 ⎧⎪ y a = C x b 1 ⎨ a − 1 ⎪⎩ a y y' = C1 b x b − 1

Despejando C1 de la ecuación (1) ya

C1 =

(3)

xb

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) a y

a–1

ya

y’ =

x

b

bx

b–1

(4)

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación a b diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C1 x ⎛ 1⎞ ⎟⎟ , resultando Para ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎝ y'⎠

a y

a–1

⎛ 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = b ⎝ y'⎠

ya x

Despejando y’

⎛ a x⎞ ⎟⎟ y’ = ⎜⎜ − ⎝ b y⎠ Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene ⎛ a x⎞ ⎟⎟ dx dy = ⎜⎜ − (5) ⎝ b y⎠ Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (b y) b y dy = - a x dx integrando

b

∫

y dy

Ambas integrales son inmediatas

∫

=

−a

∫

x dx

y2 y dy = + k1 2

(6)

25

∫

x dx =

x2 + k2 2

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)

by2 ax2 = − + k 2 2 Multiplicando por

1 k

y2 x2 + =1 ⎛ 2K ⎞ ⎛ 2K ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠

(8)

La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1 x b a

10. Determine la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales al haz de 1 + C1 x curvas y = 1 − C1 x SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 1 + C1 x curvas y = (1) 1 − C1 x Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta C ( 1 − C1 x ) + C1 ( 1 + C1 x ) y’ = 1 ( 1 − C1 x ) 2 desarrollando y simplificando y’ =

2 C1

( 1 − C1 x ) 2

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

26

1 + C1 x ⎧ ⎪y=1 − C x 1 ⎪ ⎨ 2 C1 ⎪ y' = ⎪⎩ ( 1 − C1 x ) 2 Despejando C1 de la ecuación (1)

⇒

y ( 1 – C1 x ) = 1 + C1 x

C1 =

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) ⎛ y −1 2 ⎜⎜ ⎝ (y + 1 ) x y’ = ⎡ ⎛ y −1 ⎢ 1 − ⎜⎜ ⎝ ( y +1) x ⎣

y −1 ( y +1) x

(3)

⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ x⎥ ⎦

2

desarrollando y simplificando y’ =

2 x

⎛ y −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y +1 ⎠ 4

=

( y +1) 2

( y − 1) ( y + 1) 2x

de aquí resulta que y 2 −1 2x

y’ =

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 1 + C1 x y= 1 − C1 x Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 1 + C1 x diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia y = . Para ello, 1 − C1 x ⎛ 1⎞ basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠

y 2 −1 2x

1 = − y'

despejando y’ y’ = −

2x y

2

−1

=

2x 1− y 2

27

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene 2x dy = dx (5) 1− y 2 Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables 2 basta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y ) 2 ( 1 – y ) dy = 2 x dx integrando

∫

(1 − y 2 ) dy

Ambas integrales son inmediatas

∫

(1 − y 2 ) dy =

∫ ∫ dy −

∫

= 2

x dx =

∫

x dx

y 2 dy = y −

(6)

y3 + k1 3

x2 + k2 2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) y3 = x2 +k y− 3 multiplicando por 3 2 3 3x +y –3y = C

(7)

La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 1 + C1 x y= 1 − C1 x 11. Determine la ecuación del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 2 2x +y =4Cx SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 2 (1) curvas 2 x + y = 4 C x Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 x + 2 y y’ = 4 C simplificando 2 x + y y’ = 2 C

(2)

28

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪ 2 x 2 + y 2 = 4 C x ⎨ ⎪⎩ 2 x + y y' = 2 C

Despejando C de la ecuación (2) C=

2 x + y y' 2

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) ⎛ 2 x + y y' ⎞ 2 2 2x +y = 4 ⎜ ⎟ x 2 ⎝ ⎠ desarrollando y simplificando

2

2

2

2 x + y = 4 x + 2 x y y’ equivalentemente

2

2

y – 2 x = 2 x y y’

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 2 2x +y =4Cx 2

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación 2 2 diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x + y = 4 Cx . Para ello, se ⎛ 1⎞ sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ 2 2 y – 2 x = 2 x y ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ y'⎠

despejando y’ y’ =

2xy 2x 2 − y 2

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene ⎛ ⎞ 2xy ⎟ dx dy = ⎜ ⎜ 2x 2 − y 2 ⎟ ⎝ ⎠ equivalentemente 2 2 (5) 2 x y dx + ( y – 2 x ) dy = 0 La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos de homogeneidad.

29 2

Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0) ⎫ ⎧ ⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤ ⎪ 2 ⎪ ⎛ 2y ⎞ ⎢ ⎥ x ⎨⎜ dx 2 dy + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ = 0 x x ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎧ y ⇒ y = xt ⎪t = y efectuando el cambio de variable ⎨ x Multiplicando por x2 ⎪⎩dy = x dt + t dx 1

2 t dx + ( t2 – 2 ) ( x dt + t dx ) = 0 Desarrollando y sacando factor común dx 3 2 t dx + ( t - 2) x dt = 0

(6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor , así resulta 3 xt 1 t2 − 2 dx + dt = 0 x t3

integrando l

∫

1 dx + x

∫

t2 −2 t3

dt = C1

(7)

Ambas integrales son inmediatas

∫

t2 −2 t

3

dt =

∫ ∫

1 dx = ln | x | + k1 x 1 dt − 2 t

∫

1 t

3

dt = ln | t | +

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7) 1 = k ln | x | + ln | t | + t2 aplicando propiedades de logaritmo ln | x t | +

Devolviendo el cambio de variables ( t = Ln | y | +

1 t2

= k

y ) x x2 y2

= k

1 t2

+ k2

30

Aplicando e y

⎛x ⎞ ⎜ y⎟ e⎝ ⎠

2

= C1

(8)

La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2 2x +y =4Cx 2

12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 2 2y 4 y + x + 1 + C1 e = 0 SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 4 y + x 2 + 1 + C1 e 2y = 0 (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 4 y’ + 2 x + 2 C1 y’ e2y = 0

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

⎧ 4 y + x 2 + 1 + C e 2y = 0 1 ⎪ ⎨ ⎪⎩ 4 y' + 2 x + 2 y' C1 e 2y = 0 Despejando C1 de la ecuación (2) C1 = −

4 y ' + 2x

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) ⎛ 4 y ' + 2x 2 4 y + x + 1 + ⎜− ⎜ 2 y' e 2 y ⎝ simplificando 2 ( 4y + x + 1 ) y’ – 2 y’ + sacando factor común y’

2

(3)

2 y' e 2 y

⎞ 2y ⎟ e = 0 ⎟ ⎠ x = 0

(4y + x – 1) y’ + x = 0

(4)

31

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 2 4 y + x + 1 + C1 e 2y = 0 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se ⎛ 1⎞ sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ resultando ⎝ y'⎠ ⎛ 1⎞ 2 (4y + x – 1) ⎜⎜ − ⎟⎟ + x = 0 ⎝ y'⎠

despejando y’

1 − 4y − x2 y’ = x Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene ⎛ 1 − 4y − x2 ⎞ ⎟ dx dy = ⎜ ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ esto es 2 ( x + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe g ( v ) dv , donde determinarse un factor integrante de la forma µ = e ∫ ⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ g(v) = ; ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ Q ⎜ ⎟ − P⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎧ ∂v ⎪⎪ ∂x = 1 Si v = x ⎨ ⎪ ∂v = 0 ⎪⎩ ∂y

;

∂P =4 ∂y

P(x, y) = x

2

+ 4y - 1 ;

Q(x, y) = x

∂Q 3 3 3 = 1 , entonces g(v) = = = ∂x Q x v

;

Por lo tanto, el factor integrante es

3

µ= e

∫v

dv

=e

3 ln| v |

= v

3

= x

3

Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante 2 3 4 ( x + 4 y - 1 ) x dx + x dy = 0

(6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere decir que existe una función F(x,y) = K, tal que

32

∂F = x 5+ 4 x 3 y − x 3 ∂x ∂F =x4 ∂y

(7 ) (8 )

Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )

∫

y

∫

⎛ ∂F ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂y = ⎝ ∂y ⎠

x 4 dy

x ctte.

resolviendo las integrales F( x, y ) = x

4

y + h(x)

(9)

Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de x ∂F d h( x ) = 4x 3 y + ∂x dx

(10)

Comparando las ecuaciones (7) y (10) resulta 5

3

3

3

x + 4x y - x = 4 x y +

d h( x ) dx

simplificando

d h( x ) 5 3 = x - x dx d h( x ) ⎛ d h( x ) ⎞ Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx, sustituyendo dx ⎝ dx ⎠ 5 3 dh(x) = ( x – x ) dx integrando

∫

d h ( x) =

∫

( x5 − x3 ) dx

Ambas integrales son inmediatas

∫

∫

d h ( x ) = h(x) + k1

x6 x4 ( x − x ) dx = − + k2 6 4 5

3

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (11) h (x ) = Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)

x6 x4 − + k 6 4

(11)

33

F( x, y ) = x

4

y +

x6 x4 − + k 6 4

De aquí resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia y + x

2

+ 1 + C1 e

2y

= 0

es

x

4

6

4

4

x x − + k =0 6 4

y +

13. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 1

1

x 3 + y 3 = C1 SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 1

1

curvas x 3 + y 3 = C1

(1)

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 1 −2 3 1 −2 3 x + y y'= 0 3 3

(

)

(

)

(2)

Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) ⎛ 1⎞ por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠

(

1 −2 3 x 3

)

+

(

)

1 −2 3 ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 y 3 ⎝ y'⎠

( ) ( )

2 2 ⎤ ⎡ multiplicando por ⎢3 y' x 3 y 3 ⎥ ⎦ ⎣

y’ y

( 23 )

– x

( 23 )

= 0

Despejando y’ 2

⎛ x ⎞ 3 ⎟⎟ y’ = ⎜⎜ ⎝ y ⎠ Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene

34 2

⎛ x ⎞ 3 ⎟⎟ dy = ⎜⎜ dx ⎝ y ⎠

(3)

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (3) por

y integrando

∫

( 23 ) 2

y

( 23 )

x

dy =

y 3 dy

∫

=

( 2 3 ) dx 2

x 3 dx

(4)

Ambas integrales son inmediatas

∫ ∫

5

2

y 3 dy = 2

x 3 dy =

y 3 5

+ k1

5

+ k2

3 5 x 3 3

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) 5

3y 3 5

5

=

3x 3 +k 5

Multiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)

( )

⎛ 5 y = ⎜⎜ x 3 ⎝

3

+

⎞ 5 C ⎟⎟ ⎠

(5)

La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas 1

1

x 3 + y 3 = C1 14. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas x + y = C1 ey que pasa por el punto (0, 5) SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas x + y = C1 ey (1) Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.

35

Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta 1 + y’ = C1 ey y’

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪ x + y = C e y 1 ⎨ ⎪⎩ 1 + y ' = C1 e y y '

Despejando C1 de la ecuación (1) C1 =

x+ y ey

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) ⎛ x+ y ⎞ y 1 + y’ = ⎜⎜ ⎟⎟ e y’ ⎝ ey ⎠ desarrollando y simplificando ( x + y – 1 ) y’ = 1

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x + y = C1 ey Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación y diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 e Para ello, basta ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ , resultando con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎝ y' ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = 1 ( x + y – 1 ) ⎜⎜ − ⎝ y' ⎠

despejando y’ y’ = 1 – x – y Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene dy = ( 1 – x – y ) dx equivalentemente ( x + y – 1 ) dx + dy = 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y). Sea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; factor integrante de la forma µ = e ∫

g ( v ) dv

∂P ∂Q =1 ; = 0 ; la ecuación (5) admite un ∂y ∂x

, donde

36

⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ g(v) = ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ Q ⎜ ⎟ − P ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ Si v = x ,

∂v =1 , ∂x

∂v = 0 entonces sustituyendo en g(v), se tiene ∂y 1− 0 1 = =1 g(v) = Q (1) − P (0) Q

Luego, el factor integrante es µ = e∫

g ( v ) dv

= e∫

dv

= ev = ex

Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = ex ex ( x + y - 1 ) dx + ex dy = 0

(6)

Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = ex ( x + y - 1 ) y N(x, y) = ex ∂M ∂N = ex = = ex . resulta ∂y ∂x Por definición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) dF(x, y) = ⎜ ⎟ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ dy es ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ dF(x,y) = M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 es decir, ⎛ ∂F ⎞ x (7) ⎜ ⎟ = M ( x, y ) = e ( x + y − 1) ⎝ ∂x ⎠

(

)

⎛ ∂F ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = N ( x, y ) = e x ⎝ ∂y ⎠

(8)

Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y

∫

y

⎛ ∂F ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂y = ⎝ ∂y ⎠

∫

x =ctte

Ambas integrales son inmediatas

y

N ( x, y ) dy =

∫

e x dy

x =ctte

(9)

37

∫ ∫

⎛ ∂F ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ dy = F (x, y) ⎝ ∂y ⎠

e x dy = ex y + h(x)

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F (x, y) = ex y + h(x) derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de x ∂F dh( x ) = ex y + ∂x dx

(10) (11)

Comparando las ecuaciones (7) y (11)

dh( x ) ex ( x + y – 1 ) = e x y + dx simplificando

dh( x ) = ex ( x − 1) dx d h ( x) ⎛ dh( x ) ⎞ Ya que la diferencial de la función h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx , sustituyendo dx ⎝ dx ⎠ dh(x) = e x ( x − 1 ) dx integrando

∫

dh ( x ) =

Resolviendo las integrales

La integral

∫

∫ ∫

∫

∫

e x ( x − 1 ) dx

dh ( x ) = h ( x )

e x ( x − 1 ) dx se resuelve por el método de integración por partes u dv = u v −

∫

v du

e x ( x − 1 ) dx = ( x – 1 ) ex −

∫

⎧⎪u = ( x − 1) ⇒ du = dx donde ⎨ ⎪⎩dv = e x dx ⇒ v = e x

e x dx = ( x – 1 ) ex – ex + C = ( x – 2 ) ex + C

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)

(12)

38

h (x) = ( x – 2 ) ex + C

(12)

Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (10) F (x,y) = ex y + ( x – 2 ) ex + C De aquí que,

ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 y es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 e

(13)

Para obtener la curva perteneciente a la familia ex y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pase por el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5 e0 5 + (0-2) e0 + C = 0 ⇒ C = – 3 este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13) ex y + ( x – 2 ) ex = 3 (14) La ecuación (14) es la ecuación de la curva perteneciente a la familia e y + ( x – 2 ) ex + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas de la familia x + y = C1 ey x

15. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = x + C1 e − x que pasa por el punto (3,0) SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = x + C1 e − x

(1)

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 1 – C1 e − x

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

⎧ y = x + C e −x 1 ⎪ ⎨ ⎪⎩ y' = 1 − C1 e − x Despejando C1 de la ecuación (2) C1 = ( 1 – y ’ ) ex sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) y = x + ( 1 – y ’ ) ex e -x simplificando

(3)

39

y = x + 1 – y’

(4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = x + C1 e − x Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C1 e − x . Para ello, ⎛ 1⎞ se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ 1 y=x+1+ y' despejando y’ 1 y’ = y − x −1 Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ 1 dx dy = y − x −1 multiplicando por ( x + 1 – y ) dx + ( x + 1 – y ) dy = 0

(5)

La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe e∫

g ( v ) dv

determinarse un factor integrante de la forma µ = , donde ⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂Q ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y g(v) = ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎞ Q ⎜ ⎟ − P⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

⎧ ∂v ⎪⎪ ∂x = 0 ∂P =0 Si v = y ⇒ ⎨ ; ∂y ⎪ ∂v = 1 ⎪⎩ ∂y

;

∂Q −1 −1 = 1, entonces g(v) = = =1 ∂x −P −1

Por lo tanto, el factor integrante es dv = ev = ey µ = e∫

Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante e y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0

(6)

40

= ey

La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = ey y N(x,y) ∂M ∂N = ey = = ey . ( x + 1 – y ) , entonces ∂y ∂x

Por definición de función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencial total de F(x,y) (dF = = 0) es ⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂F ⎞ dF = ⎜ ⎟ dx + ⎜⎜ ⎟⎟ dy = M(x,y) dx + N(x,y) dy = ey dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ De aquí resulta que,

∂F = ey ∂x

(7)

∂F = ey ( x + 1 − y ) ∂y

(8)

Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )

∫

x

⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟ ∂x = ⎝ ∂x ⎠

∫

e y dx

(9)

y ctte.

Ambas integrales son inmediatas

∫ ∫

⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟ ∂x = F(x, y) ⎝ ∂x ⎠

x

e y dy = x ey + h(y)

y =ctte

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F( x, y ) = x ey + h(y) derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de y d h( y ) ∂F = x ey + dy ∂y Comparando las ecuaciones (8) y (11) resulta ( x + 1 – y ) ey = x e y + despejando

d h( y ) dy

d h( y ) dy d h ( y) = ( 1 – y ) ey dy

(10)

(11)

41

⎛ d h( y ) ⎞ d h ( y) ⎟⎟ dy, sustituyendo Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) = ⎜⎜ dy ⎝ dy ⎠ y dh(y) = (1 – y ) e dy integrando

∫

d h ( y) =

Resolviendo las integrales

La integral

∫

∫

∫

∫

( 1 − y ) e y dy

(12)

dh ( y ) = h ( y )

e y (1 − y ) dy se resuelve por el método de integración por partes:

∫

u dv = u v −

e y (1 − y ) dy = ( 1 – y ) ey +

∫ ∫

v du .

⎧⎪u = (1 − y ) ⇒ du = − dy Sea ⎨ ⎪⎩dv = e y dy ⇒ v = e y

e y dy = ( 1 – y ) ey + ey + C = ( 2 – y ) ey + C

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12) y h (y) = ( 2 – y ) e + C sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9) F (x, y) = x ey + h (y) = ( 2 – y ) ey + C por lo tanto, ( x + 2 – y ) ey + C = 0 es la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C1 e

(13)

(14) −x

Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0 que pase por el punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 0 C=–5 3 e0 + (2 - 0) e0 + C = 0 ⇒ Luego, ( x + 2 – y ) ey = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey + C = 0 que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y = x + C1 e − x 16. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto π 8 , 0

(

)

SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas y = C tg2x + 1 (1)

42

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta y’ = 2 C sec22x

(2)

Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

⎧⎪ y = C tg 2x + 1 ⎨ ⎪⎩ y' = 2 C sec 2 2x despejando C de la ecuación (2) y'

C =

2 sec 2 2x sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)

=

y ' cos2 2x 2

y =

y ' cos2 2x tg 2x + 1 2

y =

y ' cos 2x sen 2x + 1 2

(3)

simplificando (4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C tg 2x + 1 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se ⎛ 1⎞ sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎜⎜ − ⎟⎟ , resultando ⎝ y'⎠ y=

⎛ −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ cos 2x sen 2x ⎝ y' ⎠ + 1 2

despejando y’ y’ =

− cos 2x sen 2x 2 ( y − 1)

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ − cos 2x sen 2x dy = dx 2 ( y − 1) multiplicando por 2 ( y – 1 ) cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0 La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando

(5)

43

∫

cos 2x sen 2x dx + 2

∫

( y − 1 ) dy = C1

(6)

Ambas integrales son inmediatas

∫

cos 2x sen 2x dx =

1 1 sen 2 2 x 2 sen 2 x cos 2 x dx = sen 2 x d(sen 2 x ) = 2 2 2

∫

∫

∫

( y − 1 ) dy =

( y − 1 )2 2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta

sen 2 2x + ( y − 1 ) 2 = C1 2

(7)

La ecuación (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C tg2x + 1. Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales 2

(

)

sen 2x + ( y − 1 ) 2 = C1 que pasa por el punto π 8 , 0 , se sustituye en la ecuación de la 2 familia x = π 8 , y = 0

[ ( 8 )] + ( 0 −1 ) 2 = C

sen 2 2 π

1

2

esto es,

C1 =

sen2

( 4π )

2

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ +1 = ⎝ 2

2

+ 1 =

1 5 +1 = 4 4

Sustituyendo el valor obtenido de C1 en la ecuación (7)

sen2 2x 5 + ( y − 1) 2 = 2 4

(8)

La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia 2

(

)

sen 2x + ( y − 1 ) 2 = C1 que pasa por el punto π 8 , 0 y es ortogonal a cada una de las 2 curvas de la familia y = C tg2x + 1

44 2

17. Obtenga las trayectorias a 45º de la familia de curvas x = C1 y SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de 2 curvas dada x = C1 y (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x 2x = C1 y’ (2) Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 no representa la ecuación diferencial. La constante C1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2) ⎪⎧ x 2 = C1 y ⎨ ⎪⎩ 2x = C1 y ' despejando C1 de la ecuación (2) 2x C1 = (3) y' sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) 2xy 2 x = y' multiplicando por y’ 2 x y’ = 2 x y (4) La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x = C1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º y '− tg 45 º y ' −1 = debe sustituirse en la ecuación (4) y’ por 1 + y ' tg 45 º 1+ y ' 2

2 ⎛ y ' −1 ⎞ ⎟⎟ = 2 x y x ⎜⎜ ⎝ 1+ y ' ⎠

multiplicando por ( 1 + y’ )

2

2

x y’ – x sacando factor común y’

= 2 x y + 2 x y y’

2

2

( x – 2 x y ) y’ = 2 x y + x

(5)

La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de trayectorias a 45º de 2 la familia x = C1 y. Despejando y’ de la ecuación (5) y' =

2xy + x2 x2 − 2xy

45

Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ ⎛ 2xy + x2 ⎞ ⎟ dx dy = ⎜ ⎜ x2 − 2xy ⎟ ⎝ ⎠ 2 multiplicando por ( x – 2xy ) 2 2 ( 2 x y + x ) dx + ( 2 x y - x ) dy = 0

(6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de 2 homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (6)

⎡⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎤ 2 + 1 ⎟ dx + ⎜ 2 − 1 ⎟ dy ⎥ = 0 2 x ⎢⎣⎜⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦

( x ≠ 0)

y ⎧ ⎪v = multiplicando por y efectuando el cambio de variable ⎨ x x2 ⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv la ecuación (7) se transforma en ( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0 desarrollando y sacando factor común dx 2 ( 2 v + 1 + 2 v – v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0 simplificando 2 ( 2 v + v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0

(7)

1

(8)

La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor x 2 v 2 + v +1

(

1 dx + x

integrando

∫

1 dx + x

Resolviendo las integrales

En la integral

∫

(2v

∫

(

2v − 1

( 2v

∫(

(

2

)

+ v +1

2v − 1 2

) dv )

2 v + v +1

)

= 0

) dv

= C2

(9)

1 dx = ln | x | + C3 x

− 1)

( 2 v 2 + v + 1 ) dv , debe observarse que el polinomio del denominador

del integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar

46 2

Completando cuadrados en (2 v + v + 1) ⎡ 1⎤ v 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 2 v + v + 1 = 2 ⎜ v2 + + ⎟ = 2 ⎢ v2 + 2 ⎜ ⎟ v + ⎥ 2⎦ 2 2 ⎠ ⎝4⎠ ⎝ ⎣ 2 2 ⎡ 1⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 2 = 2 ⎢ v + 2⎜ ⎟ v +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + ⎥ 2⎥ ⎢⎣ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎦ 2 2 ⎡⎛ ⎡⎛ 1⎞ 7⎤ 1⎞ 1 1⎤ = 2 ⎢ ⎜v + ⎟ − + ⎥ = 2 ⎢ ⎜v + ⎟ + ⎥ 4⎠ 16 ⎥ 4⎠ 16 2 ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎢⎣ ⎝ ⎦ ⎦ 2 ⎡⎛ ⎤ ⎤ ⎡ (4v + 1)2 1⎞ ⎢ ⎜v + ⎟ ⎥ ⎥ ⎢ 7 ⎢ 7 ⎢⎝ 4⎠ ⎥ 16 + 1⎥ = + 1⎥ = 7 7 ⎥ 8 ⎢ 8 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 16 ⎢⎣ 16 ⎥⎦ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡ (4v + 1)2 2 ⎥ ⎢ ⎤ 7 ⎢ 7 ⎡ ⎛ 4v + 1 ⎞ 16 ⎢⎜ ⎥ + 1⎥ = = 1 + ⎟ 7 ⎥ 8 ⎢⎝ 7 ⎠ 8 ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎥ ⎢ 16 ⎦ ⎣ Sustituyendo en la integral

∫

(2v

− 1)

(2 v 2 + v +1)

dv =

∫

(2v

− 1)

2 ⎤ 7 ⎡ ⎛ 4v + 1⎞ ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ 8⎢⎝ 7 ⎠ ⎥⎦ ⎣

dv =

8 7

∫

(2v

− 1)

⎡ ⎛ 4v + 1 ⎞2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ ⎢⎣ ⎝ 7 ⎠ ⎥⎦

dv

Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica ⎧ 4v + 1 = tg θ ⎪ ⎪ 7 ⎨ ⎪ ⎪⎩

⇒

v= dv =

7 tg θ − 1 4 7 sec 2 θ 4

Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación (10)

∫( 2

(2v

− 1)

2 v 2 + v +1

)

2

dv =

8 7

∫

⎡ ⎛ ⎢ 2 ⎜⎜ ⎣⎢ ⎝

⎤ 7 tg θ − 1⎞⎟ −1⎥ ⎟ 4 ⎠ ⎦⎥ tg2θ + 1

Pero tg θ + 1 = sec θ, desarrollando y simpliicando

⎞ ⎛ 7 ⎜ sec 2 θ ⎟ d θ ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝

(10)

47

∫(

(2v

− 1)

2

2 v + v +1

)

dv =

2

7 7

∫

⎛ 7 3⎞ ⎜ tg θ − ⎟ d θ = ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝

∫

tg θ d θ −

3 7 7

∫

dθ

3 7 θ 7

= ln | sec θ | −

Devolviendo el cambio de variable efectuado

4 v +1 7

= tg θ =

cat op cat ady

7 + ( 4 v + 1 )2

4v + 1

7 sec θ =

hip = cat ady

7 + ( 4 v + 1 )2 7

y

⎛ 4 v +1 ⎞ θ = arctg ⎜ ⎟ 7 ⎠ ⎝

−

3 7 ⎛ 4 v +1 ⎞ arctg ⎜ ⎟ + C4 7 7 ⎠ ⎝

Por lo tanto

∫(

(2v

− 1)

2 v 2 + v +1

)

dv = ln

7 + ( 4 v + 1 )2 7

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)

ln | x | + ln

7 + ( 4 v + 1 )2 7

−

3 7 ⎛ 4 v +1 ⎞ arctg ⎜ ⎟ = C 7 7 ⎠ ⎝

Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v =

ln | x | + ln

desarrollando

⎞ ⎛ ⎛y⎞ 7 + ⎜⎜ 4 ⎜ ⎟ + 1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎝x⎠ 7

2

−

y x

⎛ ⎛y⎞ ⎜ 4 ⎜ ⎟ +1 3 7 x arctg ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 7 7 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ = C ⎟ ⎟ ⎠

48 7 x 2 + ( 4 y + x )2 2

x 7

ln | x | + ln

−

⎛ ⎛ 4y + x ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 3 7 x ⎠ ⎝ ⎜ arctg ⎜ 7 7 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ = C ⎟ ⎟ ⎠

realizando operaciones ln | x | + ln

7 x 2 + 16 y 2 + 8 x y + x 2 7 x

aplicando propiedades de logaritmo ⎛ 16 y 2 + 8 x y + 8 y 2 ⎜ ln x ⎜ ⎜ 7x ⎝ simplificando

ln

−

16 y 2 + 8 x y + 8 y 2 7

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

−

−

⎛ 4y + x 3 7 arctg ⎜ ⎜ 7 7 x ⎝

⎛ 4y + x 3 7 arctg ⎜⎜ 7 7x ⎝

⎛ 4y + x 3 7 arctg ⎜⎜ 7 7x ⎝

⎞ ⎟ = C ⎟ ⎠

⎞ ⎟ =C ⎟ ⎠

⎞ ⎟ =C ⎟ ⎠

(11)

La ecuación (11) representa la ecuación de la familia de trayectorias a 45º de la familia x = C1 y 2

18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas y = C1 x SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x y’ = C1 (2) Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2). ⎧y = C1 x ⎨ ⎩y ' = C1 Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta y = y’ x

(3)

La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C1 x

49

Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe y '− tg 45 º y ' −1 = sustituirse en la ecuación (3) y’ por 1+ y ' tg 45 º 1+ y '

⎛ y ' −1 ⎞ ⎟⎟ x y = ⎜⎜ 1 + y ' ⎝ ⎠ multiplicando por ( 1 + y’ ) y + y y’ = x y’ - x sacando factor común y’ ( y - x ) y’ + y + x = 0

(4)

La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de la familia y = C1 x. Despejando y’ de la ecuación (4)

y' =

x+y x−y

Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ ⎛ x+y ⎞ ⎟⎟ dx dy = ⎜⎜ ⎝ x−y ⎠ multiplicando por ( x – y ) (x + y) dx + (y -x ) dy = 0

(5)

La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 ) ⎡⎛ y⎞ ⎛ y ⎞ ⎤ x ⎢ ⎜1 + ⎟ dx + ⎜ − 1⎟ dy ⎥ = 0 (6) x⎠ ⎝ x ⎠ ⎦ ⎣⎝ multiplicando por

1 y efectuando el cambio de variable x

y ⎧ ⎪v = x ⎨ ⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv

la ecuación (6) queda ( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0 Desarrollando y sacando factor común dx 2 ( 1 + v + v – v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0 simplificando

2

( 1 + v ) dx + x ( v – 1 ) dv = 0

(7)

La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor x 1+ v 2

(

)

50

1 ( v − 1) dx + dv = 0 x ( 1 + v2 ) integrando

∫

1 dx + x

∫

v−1

dv = C2

1+ v 2

(8)

Ambas integrales son inmediatas

∫

∫ v−1 1+ v

2

1 dx = ln | x | + C3 x

∫ ∫

dv =

1+ v

1 2

= =

v 2

dv –

2v 1+ v

1 ln 1 + v 2 2

2

∫ ∫

1

1+ v 2

dv –

dv

1 1+ v 2

dv

– arctg v + C4

Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) 1 ln 1 + v 2 – arctg v = C ln | x | + 2

(9)

Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) se transforma en

(

ln x 2 1 + v 2

)

- 2 arctg v = 2C

Devolviendo el cambio de variable ⎛ ⎛ y ⎞2 ⎞ ⎛y⎞ ln x 2 ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C ⎜ ⎝x⎠ ⎟ ⎝x⎠ ⎠ ⎝ desarrollando y simplificando ⎛y⎞ ln x 2 + y 2 - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C ⎝x⎠ aplicando e

(x

2

+y

2

)

− 2 arctg ⎛⎜ y ⎞⎟ ⎝ x ⎠= e

K

(10)

La ecuación (10) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas y = C1 x

51 19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas x2 + y2 = C1 x SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x 2 x + 2 y y’ = C1 (2) Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2). ⎧⎪x 2 + y 2 = C x 1 ⎨ ⎪⎩2 x + 2 y y ' = C1 Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta 2 2 x + y = ( 2 x + 2 y y’ ) x desarrollando y simplificando 2 2 y – x = 2 x y y’

(3)

La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 x Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe y '− tg 45 º y ' −1 = sustituirse y’ en la ecuación (3) por 1 + y ' tg 45 º 1+ y '

⎛ y ' −1 2 2 y – x = 2 x y ⎜⎜ ⎝ 1+ y '

⎞ ⎟⎟ ⎠

multiplicando por ( 1 + y’ ) ( y2 – x2 ) + ( y2 – x2 ) y’ = 2 x y y’ – 2 x y sacando factor común y’

2

2

2

2

( y – x – 2 x y ) y’ + y – x + 2 x y = 0

(4)

La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de la familia x2 + y2 = C1 x Despejando y’ de la ecuación (4) y' =

y2 − x2 + 2 x y x 2 − y 2 + 2xy

Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta

52

⎛ y2 − x2 + 2 x y ⎞ ⎟ dx dy = ⎜ ⎜ x 2 − y 2 + 2xy ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 multiplicando por ( x – y + 2xy ) 2 2 2 2 (y – x + 2 x y) dx + (y – x – 2 x y ) dy = 0

(5)

La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de homogeneidad. Sacando factor común x2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0) ⎡⎛ y 2 ⎛ y 2 y ⎞ ⎤ y ⎞ ⎢⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ − 1 + 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ dx + ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ − 1 − 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ dy⎥ = 0 x ⎢⎜ ⎝ x ⎠ ⎜⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎟⎠ ⎥ ⎝ x ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦ 2

y ⎧ ⎪v = y efectuando el cambio de variable ⎨ multiplicando por x x2 ⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv la ecuación (6) queda 2 2 ( v + 2v – 1) dx + ( v – 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0 desarrollando y sacando factor común dx 2 3 2 2 (v + 2v – 1 + v – 2v - v ) dx + x (v – 2v – 1 ) dv = 0 simplificando 3 2 2 ( v – v + v – 1 ) dx + x ( v – 2v – 1 ) dv = 0

(6)

1

(7)

La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor x v3 − v 2 + v − 1

)

(

(v2 − 2v − 1) 1 dx + dv = 0 x ( v3 − v 2 + v − 1) integrando

∫

1 dx + x

Resolviendo las integrales

En la integral

∫

∫

∫

( v3 − v 2 + v − 1)

dv = C2

1 dx = ln | x | + C3 x

(v2 − 2v − 1) ( v3 − v 2 + v − 1)

sustituyendo en la integral

(v2 − 2v − 1)

dv , factorizando el denominador

v3 – v2 + v – 1 = ( v – 1 ) ( v2 + 1 )

(8)

53

∫

(v2 − 2v − 1) ( v3 − v 2 + v − 1)

dv =

∫

v 2 − 2v − 1 ( v − 1) ( v 2 + 1)

dv

El integrando se descompone como suma de fracciones simples v 2 − 2v − 1 ( v − 1) ( v 2 + 1)

=

A Bv + C ( A + B)v 2 + (C − B) v + ( A − C) + = ( v − 1) v 2 + 1 ( v − 1) ( v 2 + 1)

(9)

Comparando los numeradores 2 v – 2v – 1 = ( A + B ) v2 + ( C – B ) v + ( A – C ) por igualdad entre polinómios ⎧A + B = 1 ⎪ ⎨C − B = −2 ⎪A − C = −1 ⎩ resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene A=–1 B=2 C=0 sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)

∫

v 2 − 2v − 1 2

( v − 1) ( v + 1)

= −

∫

1 dv + v −1

∫

2v 2

v +1

dv

(10)

Ambas integrales son inmediatas

∫ ∫

1 dv = ln | v – 1 | v −1 2v 2

2

v +1

dv = ln | v + 1 |

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (10)

∫

v 2 − 2v − 1 2

( v − 1) ( v + 1)

2

= – ln | v – 1 | + ln | v + 1 |

aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable 2

∫

v 2 − 2v − 1 ( v − 1) ( v 2 + 1)

= ln

v2 + 1 + C4 = ln v −1

⎛y⎞ ⎜ ⎟ +1 ⎝x⎠ + C4 = ln ⎛y⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝x⎠

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) ln | x | + ln

y2 + x2 x (y − x)

= C5

y2 + x2 x ( y − x)

+ C4

54

Aplicando las propiedades de logaritmo

aplicando e

ln

x 2+ y 2 = C5 y−x

2

2

(x +y ) =C(y–x)

(11)

La ecuación (11) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas x + y = C1 x 2

2

20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60º de la familia de curvas ⎛1 3⎞ ⎟ x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎜⎜ , ⎟ ⎝2 2 ⎠ SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x 2 x + 2 y y’ = 0 equivalentemente x + y y’ = 0 (2) Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C1, está representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada x2 + y2 = C1 Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º debe y '− tg 60 º y'− 3 sustituirse y’ en la ecuación (2) por = 1 + y ' tg 60 º 1+ 3 y ' ⎛ y'− 3 ⎞ ⎟ =0 x + y ⎜⎜ ⎟ 1 3 y ' + ⎝ ⎠ multiplicando por ( 1 +

3 y’ ) x+

3 x y’ + y y’ –

3 y=0

sacando factor común y’ ( 3 x + y ) y’ + x –

3 y=0

(3)

La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º de la familia x 2 + y 2 = C1 Despejando y’ de la ecuación (3) y' =

3y−x 3x+y

55

Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta ⎛ 3y−x ⎞ ⎟ dx dy = ⎜⎜ ⎟ + 3 x y ⎝ ⎠ multiplicando por 3x+y

(

)

3 y ) dx + ( 3 x + y ) dy = 0

(x–

(4)

La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) ( x ≠ 0) ⎡⎛ ⎛ ⎛ y ⎞⎞ ⎜⎜ 1 − 3 ⎜ ⎟ ⎟⎟ dx + ⎜⎜ ⎢ x ⎝ ⎝ x ⎠⎠ ⎝ ⎣

⎛ y ⎞⎞ ⎤ 3 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ dy ⎥ = 0 ⎝ x ⎠⎠ ⎦

(5)

y ⎧ 1 ⎪v = multiplicando por y efectuando el cambio de variable ⎨ x x ⎪⎩y = v x ⇒ dy = v dx + x dv la ecuación (5) queda

(1–

3 v ) dx + ( 3 + v ) (v dx + x dv ) = 0

Desarrollando y sacando factor común dx (1 –

3 v+

3 v + v2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0

simplificando 2 ( 1 + v ) dx + x ( 3 + v) dv = 0

(6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor x 1+ v2

(

)

1 3+v dx + dv = 0 x (1+ v 2 ) integrando

∫

1 dx + x

∫

⎛ 3 +v⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 1+ v2 ⎟ dv = C2 ⎠ ⎝

Ambas integrales son inmediatas

∫

1 dx = ln |x| + C3 x

(7)

56

∫

∫

⎛ 3 +v⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 1+ v2 ⎟ dv = ⎠ ⎝

3 1+ v2

dv +

3 arctg v +

=

1 2

∫

2v 1+ v2

dv

1 2 ln | 1 + v | + C4 2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)

3 arctg v +

ln | x | +

devolviendo el cambio de variable ln | x | +

y 3 arctg ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝x⎠

1 2 ln | 1 + v | = C5 2

(8)

⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤ 1 ln ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = C5 2 ⎢⎣ ⎝ x ⎠ ⎥⎦

multiplicando por 2 y efectuando las operaciones

⎡ x2 + y2 ⎤ ⎛y⎞ 2 ln | x | + 2 3 arctg ⎜ ⎟ + ln ⎢ ⎥ = 2 C5 2 ⎝x⎠ ⎣⎢ x ⎦⎥ aplicando las propiedades de logaritmo ⎡ ⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤ ⎟⎥ + 2 3 arctg ⎛⎜ y ⎞⎟ = 2C5 ln ⎢ x 2 ⎜ ⎝x⎠ ⎢⎣ ⎜⎝ x 2 ⎟⎠⎥⎦ aplicando e 2

2

(x +y )

⎛ y ⎞ 2 3 actrg ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ e

=K

(9)

La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 60º a la familia de curvas x2 + y2 = C1 Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que ⎛1 3⎞ ⎟ se sustituye en dicha ecuación x = 1 , y = 3 . pasa por el punto ⎜⎜ , ⎟ 2 2 ⎝2 2 ⎠

⎡ 2 ⎛ ⎞2⎤ 3 ⎛ 1⎞ K = ⎢⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

1 3 e2 3 arctg 3 = ⎡⎢ + ⎤⎥ ⎣4 4⎦

2 3 ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝3⎠ e

= e

⎛2 3π⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝

Este valor de K se sustituye en la ecuación (10)

2

2

(x +y ) multiplicando por

e

⎛y⎞ 2 3 actrg ⎜ ⎟ ⎝x⎠ e

= e

⎛2 3π⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 2 3π⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝

⎡ ⎛ y ⎞ π⎤ 2 3 ⎢actrg⎜ ⎟ − ⎥ 2 2 ⎝ x ⎠ 3⎦ = 1 ⎣ (x +y ) e

(10)

57

La ecuación (10), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de trayectorias ⎛1 3⎞ ⎟ a 60º del haz de curvas x2 + y2 = C1, que pasa por el punto ⎜⎜ , ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135º de la familia de curvas y = C e −2x SOLUCIÓN:

Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e-2x + 3x (1) El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x y’ = - 2 C e − 2 x + 3

(2)

Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, esta deberá eliminarse del sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)

⎧⎪y = C e − 2x + 3 x ⎨ ⎪⎩y ' = − 2C e −2x + 3 despejando C e − 2 x de la ecuación (1), C e − 2 x = y – 3x sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3

(3) (4)

La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e − 2 x + 3x Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º debe y '− tg 135 º y ' +1 = sustituirse y’ en la ecuación (4) por 1+ y ' tg 135 º 1− y ' y ' +1 = –2y + 6x + 3 1− y ' multiplicando por ( 1 – y’ ) y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3) sacando factor común y’ (– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2 (5) La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º de la familia y = C e − 2 x + 3x

58

Despejando y’ de la ecuación (5) − 2y + 6 x + 2 − y + 3x + 1 = y' = − 2y + 6 x + 4 − y + 3x + 2 Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ ⎛ − y + 3x + 1 ⎞ ⎟⎟ dx dy = ⎜⎜ ⎝ − y + 3x + 2 ⎠ multiplicando por (3x – y + 2) ( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0

(6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, ya que las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones de rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3). Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable ⎧v = 3 x − y ⎨ ⎩y = 3 x − v ⇒ dy = 3 dx − dv sustituyendo el cambio de variable en (6) ( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0 desarrollando y sacando factor común dx ( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 simplificando (–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0

(7)

La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor ( − 2v − 5 )

⎛ v+2 dx – ⎜⎜ ⎝ 2v + 5 integrando

∫ ∫ dx –

⎞ ⎟⎟ dv = 0 ⎠

⎛ v+2 ⎞ ⎜ ⎟ dv = C2 ⎝ 2v + 5 ⎠

Ambas integrales son inmediatas

∫

∫

∫

dx = x + C3

∫ ∫

1⎡ ⎛ 2v + 5 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ dv = ⎢ 2⎢ ⎝ 2v + 5 ⎠ ⎣ 1 1⎡ ⎤ = ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ + C4 = 2 2⎣ ⎦

1 ⎛ v+2 ⎞ ⎜ ⎟ dv = 2 ⎝ 2v + 5 ⎠

⎤ 1 dv ⎥ 2v + 5 ⎥ ⎦ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎢ 2 v − 4 ln 2v + 5 ⎥ + C4 ⎣ ⎦ dv −

(8)

59

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) 1 ⎡ 1 ⎤ x – ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ = C5 4 ⎣ 2 ⎦ multiplicando por 4 y devolviendo el cambio de variable 4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C5 efectuando las operaciones – 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C5 aplicando e 2(y–x) e ( 6x – 2y + 5 ) = K

(9)

La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 135º a la familia de curvas y = C e − 2 x + 3x