CAPITULO III

ANILLOS Rodrigo Vargas 1. Anillos y Homomorfismos 1. (a) Sea G un grupo abeliano (aditivo). Definimos una operaci´on de multiplicaci´on en G por ab = 0 (para todo a, b ∈ G). Enonces G es un anillo. (b) Sea S el conjunto de todos los subconjuntosde algun conjunto U fijo. Para A, B ∈ S, defina A + B = (A − B) ∪ (B − A) y AB = A ∩ B. Entonces S es un anillo. ¿Es S conmutativo? ¿Tiene elemento unidad? Soluci´ on: (a) Tenemos que (ab)c = 0 · c = 0 = a · 0 = a(bc) y el producto es asociativo, de manera similar para la ley de distribuci´on a(b + c) = 0 = 0 + 0 = ab + ac . Por lo tanto, G es un anillo. (b)

(i) (S, +) es grupo abeliano. [A + B] + C = [(A − B) ∪ (B − A)] + C =

Existe φ ∈ S tal que A + φ = (A − φ) ∪ (φ − A) = (A ∩ S) ∪ (φ ∩ Ac ) = A ∪ φ = A Para todo A ∈ S existe B = A ∈ S tal que A + B = A + A = (A − A) ∪ (A − A) = φ A + B = (A − B) ∪ (B − A) = (B − A) ∪ (A − B) = B + A luego S es abeliano. (ii) Asociatividad de la multiplicaci´on (AB)C = (A ∩ B)C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A(B ∩ C) = A(BC) 1

(iii) Ley de distribuci´on A(B + C) = A((B − C) ∪ (C − B))

= A ∩ ((B − C) ∪ (C − B))

= (A ∩ (B − C)) ∪ (A ∩ (C − B))

= (A ∩ −A ∩ C) ∪ (A ∩ C − A ∩ B) = A∩B+A∩C = AB + AC

2. Sea {Ri | i ∈ I} una familia Xde anillos con unidad. Hacemos la suma directa de grupos abelianos Ri sobre un anillo definiendo la multiplii∈I X caci´on coordenada a coordenada. ¿Tiene Ri unidad? i∈I

Soluci´ on: Sean 1i la unidad del anillo Ri y xi ∈ Ri , con i ∈ I entonces P el elemento i∈I 1i satisface ! ! X X X X xi 1i = xi · 1i = xi i∈I

Luego,

P

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

Ri tiene unidad.

3. Un anillo R tal que a2 = a para todo a ∈ R es llamado un anillo Booleano. Pruebe que todo anillo Booleano R es conmutativo y a + a = 0 para todo a ∈ R. Soluci´ on: Para cada a ∈ R se tiene que a = a2 = aa = (−a)(−a) = (−a)2 = −a . Sean a, b ∈ R entonces a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b cancelando se obtiene que ab + ba = 0, es decir, ab = −ba = ba luego R es conmutativo y adem´as a + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a ⇒ a + a = 0 . 2

4. Sea R un anillo y S un conjunto no vacio. Entonces el grupo M(S, R) es un anillo con la multiplicaci´on definida como sigue: el producto de f, g ∈ M(S, R) es la funci´on S → R dada por s 7→ f (s)g(s). Soluci´ on: Sabemos que M(S, R) es un grupo conmutativo. Ahora bien, dados f, g, h ∈ M(S, R) se tiene ((f · g) · h)(s) = (f · g)(s)h(s) = (f (s)g(s))h(s)

= f (s)(g(s)h(s)) = f (s)(g · h)(s) = (f · (g · h))(s)

pues el producto en R es asociativo, entonces el producto definido en M(S, R) es asociativo. Lo mismo ocurre con la ley de distribuci´on. L 5. Si A es el grupo abeliano Z Z, entonces End A es un anillo no conmutativo. 6. Un anillo finito con mas de un elemento y sin divisores de cero es un anillo de divisi´on. 7. Sea R un anillo con mas de un elemento tal que para cada elemento no cero a ∈ R existe un u ´ nico b ∈ R tal que aba = a. Pruebe: (a) R no tiene divisores de cero. (b) bab = b. (c) R tiene unidad. (d) R es un anillo de divisi´on. Soluci´ on: (a) Si ax = 0 (o xa = 0) con a 6= 0 entonces axa = 0 · a = 0, sabemos que existe un u ´ nico b tal que aba = a luego a = aba = aba + axa = a(b + x)a por unidad de b implica que b = b + x ⇒ x = 0. Luego, R no tiene divisores de cero. (b) Basta notar que 0 = aba − a = b(aba − a) = baba − ba = (bab − b)a como a 6= 0 y R no tiene divisores de cero por (a) implica que bab = b. 3

(c) Dado a ∈ R con a 6= 0 existe un u ´ nico b ∈ R tal que aba = a. Sea x ∈ R entonces xaba = xa y como R no tiene divisores de cero entonces vale la ley de cancelaci´on entonces xab = x y ab es unidad izquierda. Similarmente, aba = a ⇒ abax = ax ⇒ bax = x y ba es unidad derecha. (d) Como la unidad derecha es igual a unidad izquierda, entonces tenemos que ab = ba = 1 de donde b = a−1 y R es anillo de divisi´on. 8. Sea R el conjunto de todas las matrices 2 × 2 sobre el cuerpo complejo C de la forma ! z w , −w z donde z, w son el conjugado complejo de z y w respectivamente (esto es, √ √ c = a + b −1 ⇔ c = a − b −1). Entonces R es un anillo de divisi´on que es isomorfo al anillo de divisi´on K de los cuaterniones reales. 9. (a) El subconjunto G = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} de el anillo de divisi´on K de los cuaterniones reales forma un grupo bajo la multiplicaci´on. (b) G es isomorfo al grupo cuaternion. (c) ¿Cu´al es la diferencia entre el anillo K y el grupo anillo R(G) (R el cuerpo de los n´ umeros reales)?   n 10. Sea k, n enteros tales que 0 ≤ k ≤ n y el coeficiente binormal k n!/(n − k)!k!, donde 0! = 1 y para n > 0, n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1.     n n (a) = k n−k     n n para k + 1 ≤ n/2. (b) < k k+1       n n+1 n para k < n. = (c) + k+1 k+1 k   n (d) es un entero. k  n p (e) si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn − 1, entonces es divisible por p. k 4

Soluci´ on (a) Se tiene que     n n! n! n = = = . n−k (n − (n − k))!(n − k)! k!(n − k)! k (b) Notemos que     n n! n−k n n−k n! = = · = , k+1 (n − k − 1)!(k + 1)! (n − k)!k! k + 1 k k+1 por hip´otesis n/(k + 1) ≥ 2 y k/(k + 1) < 1 entonces basta observar n−k n k = − ≥ 2−1 =1. k+1 k+1 k+1 (c)     n n n! n! + = + k k+1 (n − k)!k! (n − k − 1)!(k + 1)! n!(k + 1 + n − k) = (n − k)!(k + 1)!   (n + 1)! n+1 = = (n − k)!(k + 1)! k+1 11. Sea R un anillo conmutativo con unidad de caracteristica prima p. Si n n n a, b ∈ R, entonces (a ± b)p = ap ± bp para todo entero n ≥ 0. Soluci´ on: Sabemos por 10.(e) que si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn −1  nproblema  p entonces p divide a , como R es de caracteristica p implica que k  n p = 0. Ahora bien, usando el Teorema binomial k p  n X p n n = (±1)p −k ak bp −k k k=0  n  n pn −1  n  X p p p n pn pn pn −k k pn −k (±1) b + (±1) a b + n ap = k p 0 k=1 | {z } | {z } | {z } n

(a ± b)

pn

1 pn

= a

0

pn

±b

5

1

12. Un elemento de un anillo es nilpotente si an = 0 para alg´ un n. Pruebe que en un anillo conmutativo a+b es nilpotente si a y b lo son. Demuestre que este resultado es falso si R no es conmutativo. 13. En un anillo R las siguientes condiciones son equivalentes. (a) R no tiene elementos nilpotentes no cero. (b) Si a ∈ R y a2 = 0, entonces a = 0. Soluci´ on Supongamos que existe a ∈ R tal que an = 0 para alg´ un n ∈ N, donde n es el m´ınimo natural con esta propiedad. Si n = 2k entonces se tiene que b = ak satisface b2 = 0 pero b 6= 0 lo que es una contradicci´on. Si n = 2k − 1 entonces an+1 = 0 y b = ak satisface b2 = a2k = an+1 = 0 pero b 6= 0 lo que es una contradicci´on. Reciprocamente, supongamos que existe a ∈ R con a2 = 0 y a 6= 0 entonces a ∈ R es elemento nilpotente distinto de cero, luego R posee un elemento nilpotente distinto de cero. 14. Sea R un anillo conmutativo con unidad y de caracteristica primo p. La aplicaci´on R → R dada por r 7→ r p es un homomorfismo de anillos llamado el homomorfismo de Frobenius. Soluci´ on: Sea ϕ : R → R el homomorfismo dado por ϕ(r) = r p , dados r, s ∈ R por problema 11 se tiene que ϕ(r + s) = (r + s)p = r p + sp = ϕ(r) + ϕ(s) y adem´as como R es conmutativo ϕ(rs) = (rs)p = r p sp = ϕ(r)ϕ(s). Luego ϕ es un homomorfismo. 15. (a) De un ejemplo de un homomorfismo no cero f : R → S de anillos con unidad tal que f (1R ) 6= 1S . (b) Si f : R → S es un epimorfismo de anillos con unidad, entonces f (1R ) = 1S . (c) Si f : R → S es un homomorfismo de anillos con unidad y u es una unidad de R tal que f (u) es unidad en S, entonces f (1R ) = 1S y f (u−1) = f (u)−1 .

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16. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos tal que f (r) 6= 0 para alg´ un r ∈ R no cero. Si R tiene una unidad y S no tiene divisores de cero, entonces S es un anillo con unidad f (1R ). 17. (a) Si R es un anillo, entonces Rop es definido como sigue. El conjunto base de Rop es precisamente R y la adici´on en Rop coincide con la adici´on en R. Multiplicar en Rop , denotado por ◦, es definido por a ◦ b = ba, donde ba es el producto en R. Rop es llamado el anillo opositor de R. (b) R tiene unidad si y s´olo si Rop lo tiene. (c) R es anillo de divisi´on si y s´olo si Rop lo es. (d) (Rop )op = R. (e) Si S es un anillo, entonces R ∼ = S si y solo si Rop ∼ = S op . 18. Sea Q el cuerpo de los n´ umeros racionales y R cualquier anillo. Si f, g : Q → R son homomorfismos de anillos tal que f | Z = g| Z entonces f = g. Soluci´ on: Sabemos que f (n) = g(n) para todo n ∈ Z. Notemos que     n 1 1 f (1) = g(1) = g = g(n)g = f (n)g n n n usando esta igualdad obtenemos que         1 1 1 1 = f f (1) = f f (n)g f n n n n       1 1 1 = f (1)g = g(1)g =g n n n Por lo tanto, para todo q =

m n

∈ Q tenemos que     m m 1 1 f (q) = f = f (m)f = g(m)g =g = g(q) . n n n n

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