Algorithmen und Datenstrukturen II
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Juniorprofessor Dr.-Ing. Tim W. Nattkemper Raum: M7-130 Sprechstunde: Di 13:00 ct - 14:00 Tel.: 0521/106-6059 Email:
[email protected]
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Syntax und Semantik
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Einfu ¨hrung
Programmiersprachen sind formale Sprachen. Es ist pr¨azise festgelegt, • welche Zeichenreihen u ¨berhaupt Programme einer Sprache L sind (Syntax), • welche Ein-/Ausgabefunktion ein Programm berechnet (Semantik).
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Konkrete/abstrakte Syntax
konkrete Syntax:
genaue textuelle Aufschreibung fu ¨r Programme.
abstrakte Syntax:
Bindeglied zur Semantik; gibt an, wie ein Programm(-stu ¨ck) aufgebaut ist.
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Beispiel 0.1 abstrakt
konkret
assign " !
!
#
x ! " var " !
!
y
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# $ add
!
#
# $ const #
x := y + 5
Pascal
x=y+5
C, Fortran, Java
LET x = y + 5
Basic (anno 1963)
ADD 5 TO y GIVING x
COBOL
STORE y + 5 TO x
dBase
$ # 5
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Operatoren und Konstrukte
In der abstrakten Syntax tauchen die primitiven Konstrukte einer Programmiersprache auf, sowie Operatoren, die diese zu neuen Konstrukten kombinieren. primitiv:
Bezeichner, Zahl
Kombination:
var:
Bezeichner
const:
Zahl
add:
Ausdruck × Ausdruck
assign:
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Bezeichner × Ausdruck
→ Ausdruck → Ausdruck → Ausdruck
→ Anweisung
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W¨ orter
Definition 0.2 • Ein Alphabet A ist ein endlicher Zeichenvorrat (eine endliche Menge). • Die Mengen aller endlichen Zeichenreihen u ¨ber einem Alphabet A bezeichnen wir mit A∗ . • Das leere Wort der L¨ ange 0 bezeichnen wir mit ε.
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Formale Sprachen
Definition 0.3 Eine Menge L ⊆ A∗ heißt formale Sprache u ¨ber dem Alphabet A. Einen abstrakteren Sprachbegriff kann man kaum definieren. Die einzige Frage, die man sich u ¨ber w ∈ A∗ stellen kann, ist: Gilt w ∈ L oder w %∈ L? Diese Frage nennt man das Wortproblem von L.
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Programmiersprachen
Definition 0.4 Eine Programmiersprache ist ein Paar (L, L), wobei L ⊆ A∗ eine formale Sprache und L : L → (A∗ → A∗ ) die Semantik von L ist. Damit ordnet L jedem L-Programm l ∈ L als seine Bedeutung die Ein-/Ausgabefunktion L(l) zu, wobei Ein- und Ausgabe ebenfalls Zeichenreihen u ¨ber A sind. Fu ¨r L(l) schreiben wir auch kurz Ll.
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Kontextfreie Grammatiken
Definition 0.5 Eine kontextfreie Grammatik ist ein 4-Tupel G = (N, A, P, S), wobei 1. N ein Alphabet von sogenannten Nonterminalsymbolen, 2. A ein Alphabet von sogenannten Terminalsymbolen mit N ∩ A = ∅, 3. P eine endliche Menge von Produktionen (Regeln) der Form V → α mit V ∈ N und α ∈ (V ∪ A)∗ und 4. S ∈ N ein Startsymbol ist.
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Satzformen einer Grammatik
Die Menge S(G) der Satzformen von G ist die kleinste Teilmenge von (N ∪ A)∗ mit den folgenden Eigenschaften: 1. S ∈ S(G). 2. Wenn αV β ∈ S(G) fu ¨r ein Nonterminalsymbol V ∈ N und Zeichenfolgen α, β ∈ (N ∪ A)∗ und wenn V → γ ∈ P eine Regel ist, so gilt auch αγβ ∈ S(G) ( Ableitungsschritt“). ”
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Sprache einer Grammatik
def
Die durch G definierte Sprache ist L(G) = S(G) ∩ A∗ . Den Test, ob ein gegebenes Wort w durch eine Grammatik G erzeugt werden kann, also ob w ∈ L(G) gilt, nennt man das Wortproblem von G.
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Syntax und Semantik von Sprachen: Bohrkopfsteuerung N
W
E O S
N, E, W, S:
Bewegung um 1 Gitterpunkt (north, east, west, south)
O:
Einstellen auf Nullpunkt (origin)
D:
Senken des Bohrkopfes mit Bohrung (drill)
U:
Heben des Bohrkopfes (up)
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Programme zur Maschinensteuerung sind z.B. “ON N N EEDO”
Bohrung am Punkt (2,3) mit Ru ¨ckkehr zum Nullpunkt
“ODU DU DU ”
Dreifach-Bohrung am Nullpunkt
“DU N DU W DU SDU ”
bohrt Gitterquadrat, wo der Kopf gerade steht
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In der ersten Variante unserer Steuersprache lassen wir beliebige Befehlsfolgen zu. Außerdem kann jedes Programm als Eingabe ein Paar von Start-Koordinaten erhalten. L1 = {N, E, W, S, U, D, O}∗ Eingabe: (Int, Int) L1 : L1 → (Int, Int) → [(Int, Int)]
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Maschinenzustand
x
aktuelle x-Koordinate
y
aktuelle y-Koordinate
l
aktueller Hebezustand des Bohrkopfes: 0 gesenkt, 1 oben
cs
Liste bisheriger Bohr-Koordinaten
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Semantik von Befehlen bef :: Befehl → Zustand → Zustand bef b (x, y, l, cs) = case b of O N W S E D U
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→
→
(0, 0, 1, cs) (x, y + 1, l, cs)
→
(x − 1, y, l, cs)
→
(x + 1, y, l, cs)
→ →
→
(x, y − 1, l, cs) (x, y, 0, (x, y) : cs) (x, y, 1, cs)
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Befehlsfolgen
beff :: Befehl∗ → Zustand → [(Int, Int)] beff [ ](x, y, l, cs) = reverse cs
beff (b : bs)(x, y, l, cs) = beff bs(bef b (x, y, l, cs))
Die Semantik L1 wird beschrieben durch die Funktion prog :: Befehl∗ → (Int, Int) → [(Int, Int)] prog bs (i, j) = beff bs (i, j, 1, [])
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Programmiersprache L1 und ihre Semantik L1 sind sehr naiv. Man sollte zum Beispiel bedenken, dass das Werkstu ¨ck und vielleicht auch die Maschine besch¨adigt werden, wenn mit abgesenktem Bohrkopf Bewegungen ausgel¨ ost werden. Freilich – solange niemand solche Steuerprogramme erzeugt, geht alles gut. Jedoch wollen wir uns nicht darauf verlassen . . .
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Syntaktische vs. semantische Verfeinerung
Generell gibt es zwei M¨ oglichkeiten, eine Sprache (L, L) zu verfeinern: syntaktisch oder semantisch. Semantisch heisst: das “Unglu ¨ck” kann programmiert werden, tritt aber nicht ein. Syntaktisch heisst: das “Unglu ¨ck” wird bereits als syntaktisch fehlerhaftes Programm abgewiesen.
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Aufgabe 0.6 Modifiziere die Semantik L1 (bei unver¨andertem L1 ) in zwei verschiedenen Weisen. Tritt eine Bewegung mit abgesenktem Bohrkopf auf, so wird a) die Ausfu ¨hrung des Programms abgebrochen und nur die Koordinaten der bisherigen Bohrungen ausgegeben, b) die Ausfu ¨hrung des Programms abgebrochen und keine Koordinaten angegeben.
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Forderungen an die Steuersprache Wir entscheiden uns nun fu ¨r die syntaktische Verfeinerung und stellen Forderungen an die Steuersprache L: 1. Auf Befehl D muss stets U oder O folgen. 2. Befehl O ist immer m¨ oglich, U nur unmittelbar nach D. 3. Alle Programme enden mit dem Bohrkopf am Nullpunkt. 4. Auf dem Weg von einer Bohrung zur n¨achsten sind gegenl¨aufige Richtungswechsel unerwu ¨nscht, zum Beispiel . . . N SN S . . . oder . . . N ES . . . , weil sie die Maschine in Schwingung versetzen k¨onnen. Alle diese Forderungen lassen sich durch Einschr¨ankungen von L1 erfu ¨llen, erfordern aber verfeinerte Methoden zur syntaktischen Sprachbeschreibung. Solche Mittel sind Grammatiken.
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Grammatik 1 Grammatik G1 (zur Beschreibung von L1 ) A
= { N, E, W, S, U, D, O}
S
=
moves
P
={
moves → ε| move moves
N
= { moves, move}
move → N |E|W |S|U |D|O}
Hier gilt L(G1 ) = A∗ . Es ist w ∈ L(G1 ) mit w = “W EN DEDEN U DOSU ED"" ¨ Ubung: Leite w mit dieser Grammatik ab. Algorithmen und Datenstrukturen II
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Verfeinerte Grammatik 2
Verfeinerte Grammatik G2 (beru ¨cksichtigt Forderungen (1) - (3), aber nicht (4)). A, N, S wie G1
P
={
moves → O|DO| move moves
move → N |E|W |S|O|DU |DO}
Frage: Warum brauchen wir die Regel moves → DO u ¨berhaupt?
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Verfeinerte Grammatik 2
Verfeinerte Grammatik G2 (beru ¨cksichtigt Forderungen (1) - (3), aber nicht (4)). A, N, S wie G1
P
={
moves → O|DO| move moves
move → N |E|W |S|O|DU |DO}
Frage: Warum brauchen wir die Regel moves → DO u ¨berhaupt? Antwort: Sonst ist “DO” ∈ / S(G2 ).
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Warum ist nun w = “W EN DEDEN U DOSU ED” ∈ / S(G2 )? Versuch einer Ableitung: moves →
move
moves
→
W
moves
→
W
moves
moves
→
W
E
moves
→3
W
E
N
move moves
W
E
N
?
→
Hier kann nur DU oder DO erzeugt werden, aber nicht D allein oder DE.
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Verfeinerte Grammatik 3 Verfeinerte Grammatik G3 (beru ¨cksichtigt Forderungen (1) und (4), (2) nur teilweise und (3) gar nicht): A, S N P
wie G1
={
={
moves, ne, nw, se, sw, drill }
moves → ε | ne moves | nw moves | se moves | sw moves ne → N ne | E ne | drill
se → S se | E se | drill
nw → N nw | W nw | drill sw → S sw | W sw | drill
drill → DU |DO }
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RNA-Sekund¨ arstrukturen Ein RNA-Moleku ¨l besteht aus Basen A,C,G,U. Durch Wasserstoff-Bru ¨cken zwischen A–U, G–C, G–U bilden sich Basenpaarungen, die zu einer Sekund¨arstruktur fu ¨hren.
Prim¨arsequenz C A C C U A A G G U C C
Sekund¨arstruktur C A C C U A A G G U C C C
C A
U
C
G
C
G
U
C
← Helix-Bildung schafft Stabilit¨at A
A
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Sekund¨ arstruktur-Grammatik Grammatik zur Beschreibung der Sekund¨arstruktur (Ausschnitt): A={
N={
S=
P={
A, C, G, U }
struct, any, stack, loop }
struct
struct any stack
loop
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→
→ →
→
any | any struct | struct any | stack | ε
A | C | G | U
A stack U | U stack A | G stack C | C stack G |
G stack U | U stack G | loop
any loop | any any any }
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Ableitung von RNA-Sequenzen
Allein mit den ersten beiden Produktionen kann man alle RNA-Sequenzen ableiten: struct → any struct → A struct → A any struct → AC struct . . . Damit ist L(G) = A∗ . Der Witz der Grammatik ist, dass manche Ableitungen das Vorliegen m¨oglicher Sekund¨arstrukturen anzeigen – dann n¨amlich, wenn sie die Produktionen fu ¨r stack benutzen.
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Ableitung == Struktur
struct →2 C struct →4 C struct CC → C stack CC
→ CA stack UCC →2 CACC stack GGUCC → CACC loop GGUCC →4 CACCUAAGGUCC
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Syntaxbaum struct ! ! any struct ! ! " " C any struct " " " " C any struct " " C stack ! " ! " A U stack ! " ! " C G stack ! " ! " C G stack
U
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loop ! " ! " any any any ! " ! " A
A
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Chomsky-Hierarchie
Typ 0:
XaY b
Typ 1:
aXb
Typ 2:
X
Typ 3:
X
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→
cXZ
(allgemein)
→
aZY b
(kontextsensitiv)
→
aY bZc
(kontextfrei)
→
aY
(regul¨ar)
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Komplexit¨ at des Wortproblems
Typ 0:
unentscheidbar
Typ 1:
exponentiell
Typ 2:
polynomiell (Θ(n3 ) oder besser; bei Grammatiken fu ¨r Programmiersprachen in de Θ(n))
Typ 3:
linear
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EBNF, Historisches
• Syntaxbeschreibung von FORTRAN und COBOL (am Anfang) durch Beispiele und Gegenbeispiele. • 1958 formale Beschreibung der Syntax von ALGOL durch John Backus; Backus-Normalform (BNF). • Kleine Verbesserungen in der Notation durch Peter Naur, daher spricht man heute von der Backus-Naur-Form (BNF). • Niklaus Wirth hat die Backus-Naur-Form noch einmal u ¨berarbeitet und erweitert (EBNF – Extended BNF).
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EBNF, Definition
Die Metazeichen der EBNF (vgl. Klaeren [5], S. 104) sind: das Definitionszeichen
=
das Alternativzeichen
|
die Anfu ¨hrungszeichen die Wiederholungsklammern die Optionsklammern
{ }
[ ]
die Gruppenklammern
( )
der Punkt
.
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EBNF, Terme Die Menge ET der EBNF-Terme ist gegeben durch: 1. Ist V eine Folge von Buchstaben und Ziffern, die mit einem Buchstaben beginnt, so gilt V ∈ ET und gilt als Nonterminalsymbol. 2. Ist w eine Folge von beliebigen Symbolen, so ist “w”∈ ET und gilt als ein (!) Terminalsymbol. 3. Fu ¨r α ∈ ET sind auch (a) (α) ∈ ET ,
(b) [α] ∈ ET und (c) {α} ∈ ET .
4. Fu ¨r α1 , . . . , αn ∈ ET sind auch (a) α1 | . . . |αn ∈ ET und
(b) α1 α2 . . . αn ∈ ET . Algorithmen und Datenstrukturen II
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Eine EBNF-Definition besteht aus einer endlichen Menge von EBNF-Regeln der Form V
=
α.
wobei V ein Nonterminalsymbol entsprechend obiger Konvention und α ein EBNF-Term ist. Das Nonterminalsymbol auf der linken Seite der ersten Regel ist das Startsymbol.
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EBNF-Definition fu ¨r Mini-Java
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program = “class” ident “{” mainMethod “}”. mainMethod = “public”“static”“void”“main”“(”“String”“[”“]” argsIdent “)” block. statement = “int” ident “=” expression “;” | ident “=” expression “;” | “if”“(” condition “)” statement | “while”“(” condition “)” statement | block | “System”“.”“out”“.”“println”“(” expression “)”“;” | “;” | “int”“[”“]” arrayIdent “=”“new”“int”“[” expression “]”“;” | arrayIdent “[” expression “]”“=” expression “;”. block = “{” { statement } “}”. condition = expression ( “==” | “!=” | “=” ) expression. expression = [ ( “+” | “-” ) ] term { ( “+” | “-” ) term }. term = factor { ( “*” | “/” ) factor }. factor = ident | number | “(” expression “)” | “Integer”“.”“parseInt”“(” argsIdent “[” expression “]”“)” | argsIdent “.”“length” | arrayIdent “.”“length” Algorithmen und Datenstrukturen II
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ident number digit letter argsIdent arrayIdent
| arrayIdent “[” expression “]”. = ( letter | “_” | “$” ) { letter | digit }. = ( “0” | digit { digit | “0” } ). = “1” | “2” | . . . | “9”. = “A” | . . . | “Z” | “a” | . . . | “ z”. = ident. = ident.
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Operationen auf Sprachen
Seien L, L1 und L2 beliebige Sprachen (Wortmengen) u ¨ber einem gemeinsamen Alphabet. Dann definieren wir: def
1. Komplex-Produkt: L1 L2 = {w1 w2 | w1 ∈ L1 , w2 ∈ L2 } (also L∅ = ∅L = ∅; L{ε} = {ε}L = L) def
2. n-fache Iteration: L0 = {ε}, Ln+1 := LLn ! ∗ def 3. Stern-Operation: L = n∈N Ln
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Beispiele
1. {aa, ab} {aa, ε} = {aaaa, abaa, aa, ab} 2. {a, b, c}2 = {a, b, c} {a, b, c} = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} 3. {a, b}∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, . . . }
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Semantik der EBNF Die Semantik der EBNF definieren wir durch Rekursion u ¨ber die EBNF-Terme. Sei E eine EBNF-Definition (wobei S das Startsymbol, N die Menge der Nonterminals und A die Menge der Terminals sei) und ET die Menge der EBNF-Terme. Dann ist die von E erzeugte Sprache L(E) definiert als !S"E , wobei ! "E : ET ! P (A∗ )
wie folgt definiert ist (vgl. Klaeren [5], S. 107): !α" falls V = α. eine Regel in E ist E def 1. Fu ¨r V ∈ N ist !V "E = ∅ sonst def
2. !“w”"E = {w} # $ def 3. (α) E = !α"E
# $ def 4. [α] E = {ε} ∪ !α"E
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# $ def 5. {α} E = !α"∗E def
6. !α1 . . . αn "E = !α1 "E . . . !αn "E def
7. !α1 | · · · | αn "E = !α1 "E ∪ · · · ∪ !αn "E
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Beispiel
Gegeben sei die EBNF-Definition E mit dem Startsymbol Rna sowie den beiden Regeln Rna = Any [“A”] und
Any =
(“A” | “C” | “G” | “U”).
Durch wiederholte Anwendung der verschiedenen Gleichungen aus der Semantikdefinition ergibt sich die von dieser EBNF definierte Sprache folgendermaßen:
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RNA-Sprache !Rna"E
(1)
=
(6)
=
(1),(4)
=
(3),(2)
=
(7)
=
= = =
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# $ Any [“A”] E # $ !Any"E [“A”] E # $ % & (“A” | “C” | “G” | “U”) E {ε} ∪ !“A”"E % & !“A” | “C” | “G” | “U”"E {ε} ∪ {A} ' ( !“A”"E ∪ !“C”"E ∪ !“G”"E ∪ !“U”"E {ε, A} % & {A} ∪ {C} ∪ {G} ∪ {U} {ε, A}
{A, C, G, U}{ε, A}
{A, C, G, U, AA, CA, GA, UA}.
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Beispiel eines syntaktisch korrekten Mini-Java-Programms
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class BubbleSort { public static void main(String[] args) { int[] array = new int[args.length]; int i = 0; while (i < args.length) { array[i] = Integer.parseInt(args[i]); i = i+1; } i = 1; while (i < array.length) { int j = array.length - 1; while (j >= i) { if (array[j] < array[j-1]) { int tmp = array[j]; array[j] = array[j-1]; array[j-1] = tmp; } Algorithmen und Datenstrukturen II
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j = j-1; } i = i+1; } i = 0; while (i < array.length) { System.out.println(array[i]); i = i+1; } } }
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Syntaxdiagramme
Eine EBNF-Definition kann man folgendermaßen in Syntaxdiagramme u ¨berfu ¨hren:
“w” :
V:
#$ % w !"
%
% V
%
fu ¨r alle w ∈ A.
fu ¨r alle V ∈ N .
% α [α] : Algorithmen und Datenstrukturen II
& % 52
α ' {α} :
α1 . . . αn :
α1 | · · · | αn :
&
% α1
%
% ···
% α1 .. .
% αn
%
% (
% αn
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Beispiel: Syntaxdiagramme fu ¨r Mini-Java
"
program
#
#
class
$ # %
ident
# {!# mainMethod # }! #
'% '% ' % '% % public % static % void % main (& & (& (& ( ' % % ()% String % [)% ])% argsIdent % ))% block & (
mainMethod
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% 54
% ' %expression % ;) int % ident % =) & ( % ident % =)% expression % ;) %' % if % ()% condition % ))% statement &( ' % % while % ()% condition % ))% statement & ( % block % ' % ' % ' % System % .)% out % .)% println % ()%expression % ))% ;) & ( & ( & ( % ;) % ' % int % [)% ])%arrayIdent % =) & ( % '% ' % new % int % [)%expression % ])% ;) & (& ( %arrayIdent % [)%expression % ])% =)%expression % ;)
statement
%
Algorithmen und Datenstrukturen II
% ( ( ( ( ( ( (
(
55
block
#
()
&' $
#
{
statement
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%
() &' }
#
56
condition
% expression
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,-
% != *+ ,&% expression % == *+ ( ,% < *+ ( ,% = *+ ( ,% > *+
%
57
expression
term
# () $ # + &' $ () # &'
#
factor
term
$ term
$ factor
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%
() % + % $ &' () - % &'
() * % &' () / % &'
#
#
58
factor
# $
# ident
# number
$
# (!# expression # )! $ $ " " $ # Integer # .!# parseInt # (!# argsIdent # [!# expression # ]!# )! # % # % $ " $ # argsIdent # .!# length # % $ " $ # arrayIdent # .!# length # % $ # arrayIdent # [!# expression # ]!
ident
% letter
,-
% _ *+ ,% $ *+
( ( (
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(
% letter
'
digit
' 59
number
% digit
( (
,-
% 0 *+
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digit
'
,0 ' *+
% (
60
digit
,-
% 1 % *+ ( ,% ... *+ ( ,% 9 *+
argsIdent
% ident
letter ,-
% % A *+ ( ,% ... *+ ( ,% Z *+ ( ,% a *+ ( ,% ... *+ ( ,% z *+
arrayIdent
%
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% ident
%
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Literatur [1] K. Arnold, J. Gosling: JavaT M - Die Programmiersprache. Addison-Wesley, 1996. [2] T.H. Cormen, C.E. Leierson, R.L. Rivest: Introduction to Algorithms. MIT Press, 1990. [3] D. Flanagan: Java in a Nutshell. O’Reilly & Associates Inc., 1996. [4] F. Jobst: Programmieren in Java. Hanser Verlag, 1996. [5] H. Klaeren: Vom Problem zum Programm. 2.Auflage, B.G. Teubner Verlag, 1991. [6] K. Echtle, M. Goedicke: Lehrbuch der Programmierung mit Java. dpunkt-Verlag, 2000.
