Algebraische Strukturen - Aufgabe 4a Behauptung M = {(a, b, c, d) ∈ Z 4 |ad − bc = 1} bildet mit * eine kommutative Gruppe z.z.: 1. M ist unter der Verkn¨ upfung * abgeschlossen, d.h. (a, b, c, d), (e, f, g, h) ∈ Z 4 ⇒ (a, b, c, d) ∗ 4 (e, f, g, h) ∈ Z 2. (M,*) ist assoziativ 3. (M,*) besitzt ein neutrales Element, d.h. ∃e ∈ M (a, b, c, d) ∈ M : (a, b, c, d) ∗ e = e ∗ (a, b, c, d) = (a, b, c, d) 4. F¨ ur alle (a,b,c,d) ∈ M existiert ein Inverses Element (a, b, c, d)−1 ∈ M, sodass gilt (a, b, c, d) ∗ (a, b, c, d)−1 = (a, b, c, d)−1 ∗ (a, b, c, d) = e Die Kommutativit¨ at wird separat bewiesen. Beweis:

1) Sei (a, b, c, d), (e, f, g, h) ∈ M daher gilt ad − bc = 1 und eh − f g = 1, sowie nach Definition von *: (a,b,c,d)*(e,f,g,h) = (ae + bg, af+bh,ce+dg,cf+dh) ∈ Z 4 , F¨ ur das Ergebniss der Verkn¨ upfung u ufen wir die Bedingung von M: ¨berpr¨ (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg) = aecf + bgcf + bgdh + aedh - afce - bhce - afdg bhdg = bgcf - bhce + aedh - afdg = eh( ad − bc) + fg(bc − ad) = eh - fg = 1 | {z } | {z } =1

=−1

⇒ die Bedingung ist erf¨ ullt ⇒ (a, b, c, d) ∗ (e, f, g, h) ∈ M ⇒ (M,*) ist abgeschlossen. Bevor wir nun weiter gehen, wollen wir (a,b,c,d)  etwasumschreiben. Dabei lernen wir die Matria b zen kennen, die wie folgt aufgeschrieben werden: Dies ist eine 2 x 2 Matrix mit Elementen c d aus Z. Die Menge aller solcher Matrizen nennen wir Mat(2x2, Z). Unsere Menge M ist somit eine Teilmenge von Mat(2x2, Z). Im Studium werden euch Matrizen noch sehr oft begegnen, darum    wer a b a b den wir hier mit der Matrizenschreibweise weitermachen und zeigen das G = { | c d c d ∈ Mat(2x2, Z) und ad-bc = 1 } eine kommutative Gruppe bildet. Die Bedingung ad-bc= 1 werden   a b wir noch als det ( ) irgendwann wiedersehen und die Matrixmultiplikation auch auf andere c d Mengen wie Mat(3x3,Z), Mat(4x4,R) oder allgemein Mat(n x n, K) ausweiten (n ∈ N und K eine K¨ orper). Jetzt zeigen wir die Assoziativit¨ at erstmal direkt: Nur zur Verst¨ andlichkeit, die Verkn¨ upfung ist die selbe geblieben, sieht jetzt nur so aus:       a b e f ae + bg af + bh ∗ := c d g h ce + dg cf + dh

1

2) 

     a11 a12 b b c c ∗ 11 12 ∗ 11 12 a21 b21 b22 c21 c 22  a22   a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 c c = ∗ 11 12 c21 c22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22  (a11 b11 + a12 b21 )c11 + (a11 b12 + a12 b22 )c21 (a11 b11 + a12 b21 )c12 + (a11 b12 + a12 b22 )c22 = (a21 b11 + a22 b21 )c11 + (a21 b12 + a22 b22 )c21 (a21 b11 + a22 b21 )c12 + (a21 b12 + a22 b22 )c22       a11 a12 b11 b12 c11 c12 ∗ ∗ a21 a22 b b c21 c22    21 22  a11 a12 b11 c11 + b12 c21 b11 c12 + b12 c22 = ∗ b21 c11 + b22 c21 b21 c12 + b22 c22 a21 a22  a11 (b11 c11 + b12 c21 ) + a12 (b21 c11 + b12 c22 ) a11 (b11 c12 + b12 c22 ) + a12 (b21 c12 + b22 c22 ) = a21 (b11 c11 + b12 c21 ) + a22 (b21 c11 + b22 c21 ) a21 (b11 c12 + b12 c22 ) + a22 (b21 c12 + b22 c22 )

Ich will jetzt nur noch anhand des ersten Elements der Matrix (1. Spalte 1. Zeile) zeigen, dass assoziativit¨ at gilt: (a11 b11 + a12 b21 )c11 + (a11 b12 + a12 b22 )c21 = a11 b11 c11 + a12 b21 c11 + a11 b12 c21 + a12 b22 c21 = a11 b11 c11 + a11 b12 c21 + a12 b21 c11 + a12 b22 c21 = a11 (b11 c11 + b12 c21 ) + a12 (b21 c11 + b12 c22 ) Analog kann man es f¨ ur alle anderen Elemente zeigen. ⇒ (M, ∗) ist assoziativ.

3) 

 0 ist das neutrale Element. 1   1 0 Es gilt (1 ∗ 1 − 0 ∗ 0 = 1) ⇒ ∈G 0 1   a b Sei ∈ G dann gilt außerdem: c d       1 0 a b 1∗a+0∗b 0∗a+1∗b a b ∗ = = 0 1  c d 1 ∗ c + 0 ∗ d 0 ∗ c + 1 ∗ d  c d a b 1 0 a∗1+b∗0 a∗0+b∗1 a b ∗ = = c d 0 1  c∗ 1 + d ∗ 0 c ∗ 0 + d ∗ 1 c d 1 0 ⇒ (1,0,0,1) bzw. ist das neutrale Element von M bzw. G 0 1

Behauptung: e=

1 0

4)  a Sei c

 b ∈G d  a Behauptung: c

−1   b d −b = d c a   a b Beweis: Nach Vorraussetzung ist ∈G c d   d −b ⇒ ad − cb = 1 ⇒ da − (−c)(−b) = 1 ⇒ ∈G −c a Wir ufen:  pr¨        a b d −b ad − bc db − bd 1 0 ∗ = = c d −c a −ca + ac −cb + ad 0 1 Ganz analog:         d −b a b ad − bc db − bd 1 0 ∗ = = −c a c d −ca + ac −cb + ad 0 1

2

⇒ damit folgt die Behauptung ⇒ (G,*) und damit (M,*) ist eine Gruppe. q.e.d.

Kommutativit¨ at Widerlegung einer zeigt man am einfachsten mit einem Gegenbeispiel:    Behauptung  3 4 −2 −1 F¨ ur , ∈ Mat(2x2, Z) gilt n¨amlich: 2 3 5 2     3 4 −2 −1 (3 ∗ 3 − 2 ∗ 4 = 1) und (−2 ∗ 2 − (−1) ∗ 5 = 1) ⇒ , ∈ G aber: 2 3 5 2         3 4 −2 −1 −6 + 20 −3 + 8 14 5 ∗ = = 2 3 5 2 −4 + 15 −2 + 6 11 4         −2 −1 3 4 −6 − 2 −8 − 3 −8 −11 ∗ = = 5 2 2 3 15 + 4 20 + 6 19 26 ⇒ (G,*) und damit (M,*) ist nicht kommutativ ⇒ (G,*) und damit (M,*) ist eine nicht kommutative Gruppe.

Algebraische Strukturen - Aufgabe 4b Nun betrachten wir auch Aufgabenteil b) mit der neuen Schreibweise:   1 a Ist U := (1, a, 0, 1)|a ∈ Z so sagen wir U := { |a ∈ Z}(U ist kein Bezeichnung die 0 1 Standart f¨ ur solche Mengen ist, also nicht wundern wenn Schweigert diese Gruppe anders bennent, z.B. geht auch U’) Aber weiter zur eigentlichen Aufgabe: Behautpung: U ist eine Untergruppe von G Dann ist zu zeigen: 1.1) U ⊆ G d.h. U ist eine TEILMENGE von G 1.2) U ⊂ G d.h. U ist eine NICHTLEERE TEILMENGE von G Nichtleer wird meist dadurch bewiesen, dass man das Neutrale Element (hier von U) findet. 2) a,b ∈ U ⇒ a ∗ b ∈ U 3) a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U 2 und 3 lassen sich auch zusammenfassen zu: 2/3) a,b ∈ U ⇒ a ∗ b−1 ∈ U Ich empfehle jedoch, wenn es noch nicht so mit dem Beweisen klappt die Schritte 2 und 3 zu trennen. Assoziativit¨ at ist nicht verlangt zu zeigen.

1.1) - U ist Teilmenge von G  Es gilt: (1 ∗ 1 − a ∗ 0 = 1) ⇒

1 0

 a ∈ G f¨ ur beliebiges a ∈ Z ⇒ U ⊆ G 1

2) - Abgeschlossenheit     1 a 1 b Sei , ∈ U, so gilt: 1  0 1   0  1 a 1 b 1∗1+a∗0 ∗ = 0 1 0 1 0∗1+1∗0

  1∗b+a∗1 1 = 0∗b+1∗1 0

3

 b+a ∈U 1

1.2) - Neutrales Element bzw. U ist nichtleer  Behautpung:

1 0

 0 ist das Neutrale Element in U 1

Beweis:   1 0 Es gilt 0 ∈ Z ⇒ ∈U 0 1   1 a Sei ∈ U so gilt: 0   1    1 a 1 0 1 0+a ∗ = 1  0 1 0 1 0 1 0 1 a 1 a+0 ∗ = 0 1 0 1 0 1 ⇒ Die Behauptung bez¨ uglich des Neutralen Elements gilt   1 0 und da ∈U ⇒U = 6 ∅ 0 1

3) - Inverse Elemente 

 a Sei au = ∈U 1   1 −a Behauptung: ist das Inverse Element zu au 0 1 1 0

Beweis:  1 Es gilt a ∈ Z ⇒ −a ∈ Z (da (Z,+) eine Gruppe ist) ⇒ 0       1 −a 1 a 1 a+b ∗ = 0 1 0 1 0 1       1 a 1 −a 1 b+a ∗ = 0 1 0 1 0 1

 −a ∈U 1

Da Gruppe ist, gilt a+b = b+a gilt:  (Z,+) sogar  eine kommutative  1 a+b 1 b+a = 0 1 0 1 ⇒ Die Behauptung bez¨ uglich des Inversen Elementes gilt. Aus 1.1, 1.2, 2, 3 folgt U ist eine Untergruppe von G. q.e.d Manchmal wir noch verlangt zu zeigen, ob eine Gruppe (auch Untergruppen sind wieder Gruppen) kommutativ ist. Dies wollen wir jetzt zum Spaß einmal f¨ ur U zeigen. (ihr braucht es nur zeigen, wenn danach verlangt wir)     1 a 1 b Sei , ∈ U so gilt (und wir erinnern uns nochmal, dass (Z,+) eine kommutative 0 1 0 1 Gruppe bildet):       a+b=b+a       z}|{ 1 a 1 b 1 b+a 1 a+b 1 b 1 a ∗ = = = ∗ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

4

Algebraische Strukturen - Aufgabe 4c Zu zeigen ist, dass (Z,+) und (U, *) isomorph sind. Das heißt, wir definieren eine Funktion ϕ : Z → U und zeigen, dass diese Funktion ein bijektiver Homomorphismus ist. Diese Funktion w¨ ahlen wir wie folgt:   1 x Behauptung: ϕ : Z → U mit ϕ(x) = ist ein Isomorphismus. 0 1 zu zeigen: 1. ϕ ist ein Homomorphismus, d.h. ϕ(x + y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y) (Beachtet dabei, dass einmal die Verkn¨ upfung von Z und einmal von U gilt) 2. ϕ ist surjektiv 3. ϕ ist injektiv Beweis:

1) Sei a,b ∈ Z, so gilt:       1 a+b 1 b 1 a ϕ(a + b) = = ∗ gilt nach 4b - 2) Abgeschlossenheit und da wir 0 1 0 1 0 1 praktischerweise Kommutativit¨ at gezeigt haben ;) folgt auch:         1 b 1 a 1 a 1 b ∗ = ∗ = ϕ(a) ∗ ϕ(b) 0 1 0 1 0 1 0 1 ⇒ ϕ ist surjektiv.

2) Folgt direkt aus der Definition, hier aber einmal genauer gezeigt:     1 a 1 a zu zeigen ∀ ∈ U ∃b ∈ Z : ϕ(b) = 0 1 0 1 Wir w¨ahlen b = a und es gilt nach Definition von ϕ:   1 a ϕ(b) = ϕ(a) = 0 1 ⇒ f¨ ur alle Matrizen aus U findet man ein b ∈ Z, das die Bedingung erf¨ ullt.

3) Injektivit¨ at zeigen wir auch recht einfach: Sei a,b∈ Z mit ϕ(a) = ϕ(b) so gilt     1 a 1 b ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ = 0 1 0 1 ⇒a=b ⇒ ϕ ist injektiv (und nach Teil 2 surjektiv). ⇒ ϕ ist bijetiv (und nach Teil 1 homomorph. ⇒ ϕ ist ein Isomorphismus, der von Z auf U abbildet. ⇒ (Z, +) und (U,*) sind isomorph. q.e.d.

5