Algebra y el mundo real Fernando Rodriguez Villegas ICTP University of Texas at Austin

Oct 15, 2013

1

Estructuras algebraicas I

Me voy a concentrar en una estructura particular: grupos

I

Juegos de ingenio

I

Resolucion de ecuaciones algebraicas

I

Contar cuando hay simetr´ıa

I

Criptograf´ıa

2

Juegos de ingenio I

Los 15 n´ umeros

I

I

La meta es poner los n´ umeros en orden moviendo las piezas.

I

Tambien podemos pensar en el camino que recorre el cuadrado negro. 3

Estructura I

Caminos cerrados dan una permutaci´on del los 15 n´ umeros.

I

Concatenar caminos cerrados corresponde a componer permutaciones.

I

Este producto de permutaciones les da una estructura de grupo.

I

Que grupo obtenemos?

4

1 2 3

5

1 2 3

6

2 1 3

7

2 1 3

8

2 3 1

9

Paridad I

1 2 3 I

2 3 1 I

Esta una permutaci´on par (dos inversiones).

I

El producto de permutaciones pares es par. 10

Sam Lloyd I

El juego de la figura no se puede resolver!

I

Cambiar dos n´ umeros cualesquiera es una permutacion impar.

I

R Y M P

A O I L

T E U R N D A

11

El grupo alternante I

El grupo es el de todas las permutaciones pares (el grupo alternante).

I

Es de orden 1 15! = 653837184000 2

I

Que chances de resolver el juego rearmado al azar?

I

La probabilidad es de: 1/2 12

Cubo de Rubik

I

I

Formalmente similar al juego anterior.

I

Seis movimientos generan un grupo de permutaciones de los cuadrados.

I

Cual es el grupo en este caso? 13

Cubo de Rubik

I

El grupo es de tama˜ no: 43252003274489856000.

I

Que chances de resolver el cubo rearmado al azar?

I

La probabilidad es de: 1/12

14

Resoluci´on de ecuaciones I

Polynomio con raices distintas f (x) = (x − x1 ) · · · (x − xn )

I

Buscamos permutaciones de las raices xi que preserven relaciones.

I

E.g. Si xi + xj = 0 entonces xi0 + xj 0 = 0 tambien.

I

Todas estas permutaciones forman el grupo G de Galois de la ecuacion f . 15

Grupo de Galois I

Tipicamente no hay relaciones y el grupo es todo el grupo sim´etrico Sn .

I

δ :=

Y

(xi − xj )

i