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Algebra y el mundo real
Algebra y el mundo real Fernando Rodriguez Villegas ICTP University of Texas at Austin Oct 15, 2013 1 Estructuras algebraicas I Me voy a concentr...
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Andrés Martin Vargas
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Algebra y el mundo real Fernando Rodriguez Villegas ICTP University of Texas at Austin
Oct 15, 2013
1
Estructuras algebraicas I
Me voy a concentrar en una estructura particular: grupos
I
Juegos de ingenio
I
Resolucion de ecuaciones algebraicas
I
Contar cuando hay simetr´ıa
I
Criptograf´ıa
2
Juegos de ingenio I
Los 15 n´ umeros
I
I
La meta es poner los n´ umeros en orden moviendo las piezas.
I
Tambien podemos pensar en el camino que recorre el cuadrado negro. 3
Estructura I
Caminos cerrados dan una permutaci´on del los 15 n´ umeros.
I
Concatenar caminos cerrados corresponde a componer permutaciones.
I
Este producto de permutaciones les da una estructura de grupo.
I
Que grupo obtenemos?
4
1 2 3
5
1 2 3
6
2 1 3
7
2 1 3
8
2 3 1
9
Paridad I
1 2 3 I
2 3 1 I
Esta una permutaci´on par (dos inversiones).
I
El producto de permutaciones pares es par. 10
Sam Lloyd I
El juego de la figura no se puede resolver!
I
Cambiar dos n´ umeros cualesquiera es una permutacion impar.
I
R Y M P
A O I L
T E U R N D A
11
El grupo alternante I
El grupo es el de todas las permutaciones pares (el grupo alternante).
I
Es de orden 1 15! = 653837184000 2
I
Que chances de resolver el juego rearmado al azar?
I
La probabilidad es de: 1/2 12
Cubo de Rubik
I
I
Formalmente similar al juego anterior.
I
Seis movimientos generan un grupo de permutaciones de los cuadrados.
I
Cual es el grupo en este caso? 13
Cubo de Rubik
I
El grupo es de tama˜ no: 43252003274489856000.
I
Que chances de resolver el cubo rearmado al azar?
I
La probabilidad es de: 1/12
14
Resoluci´on de ecuaciones I
Polynomio con raices distintas f (x) = (x − x1 ) · · · (x − xn )
I
Buscamos permutaciones de las raices xi que preserven relaciones.
I
E.g. Si xi + xj = 0 entonces xi0 + xj 0 = 0 tambien.
I
Todas estas permutaciones forman el grupo G de Galois de la ecuacion f . 15
Grupo de Galois I
Tipicamente no hay relaciones y el grupo es todo el grupo sim´etrico Sn .
I
δ :=
Y
(xi − xj )
i
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